2019届四川省成都石室中学高三适应性考试(一)数学(理)试题(解析版)

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四川省成都石室中学2019届高三2月开学考试数学(理)试题及答案及解析

四川省成都石室中学2019届高三2月开学考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在复平面内，复数z=2+3ii对应的点的坐标为（）A. (3,2)B. (2,3)C. (−2,3)D. (3,−2)2.已知集合A={x|y=ln（-x2-3x+4）}，B={y|y=22−x2}，则A∪B=（）A. (−4,4]B. (0,1)C. (−∞,4]D. (−4,+∞)3.设命题p：∀x≤0，√x2=-x，则￢p为（）A. ∀x≤0，√x2≠−xB. ∃x0≤0，√x02=−x0C. ∀x>0，√x2=−xD. ∃x0≤0，√x02≠−x04.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=12（弦+矢）×矢，弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差现有圆心角为2π3，半径等于20米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（）（参考数据：π≈3.14，√3≈1.73）A. 220平方米B. 246平方米C. 223平方米D. 250平方米5.已知双曲线8x2-8y2=-1有一个焦点在抛物线C：x2=2py（p＞0）准线上，则p的值为（）A. 2B. 1C. 12D. 146.已知正项递增等比数列{a n}的前n项和为S n，若a4+a7=20，a4•a7=64，则S6S9=（）A. 313B. 521C. 14D. 157.如图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A. P=3N1000B. P=3M1000C. P=3M2000D. P=3N20008. 已知√2sin （θ-π4）cos （π+θ）=cos2θ，且sinθ≠0，则tan （θ+π6）的值为（）A. √3B. √33C. 2−√3D. 2+√39. 某柱体的正视图与侧视图是全等的正方形，俯视图是圆，记该柱体的表面积为S 1，其内切球的表面积为S 2，且S 1=λS 2，则λ=（）A. 1B. 23C. 32D. 4310. 已知AB 是半径为2的圆M 的一条直径，四边形ABCD 是圆M 内接四边形，∠CMD =120°，若P 在线段CD 上（端点C 、D 除外）运动，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ •PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围（）A. (0,3)B. (1,3)C. [−3,0)D. (−3,3)11. 已知椭圆C 1：x 2a2+y 2b2=1（a ＞b ＞0），双曲线C 2：x 2b2-y 2a 2−2b 2=1，F 1，F 2分别为C 2的左、右焦点，P 为C 1和C 2在第一象限内的交点，若△PF 1F 2的内切圆的圆心的横坐标为2，C 1和C 2的离心率之积为32，则该内切圆的半径为（）A. 4√2−2√6B. 4√2+2√6C. 4√3−2√6D. 4√6−2√312. 已知函数f （x ）=xe x +lnx+1x，若关于x 的方程f 2（x ）-mf （x ）+m 2-1=0恰好有4个不相等的实根，则m的取值范围是（）A. (1,1e +1)B. (0,1e +1)C. (1,2√33)D. (0,2√33)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 如图，动点P （x ，y ）在平行四边形ABCD 内部（含边界）运动，则z =2x -4y的最小值为______． 14. 将6个相同的小球放入4个不同的盒子中，要求不出现空盒，共有______种放法．（用数字作答）15. 已知函数f （x ）={13x 3−ax +1，0≤x ＜1alnx ，x ≥1，若f （x ）≥f （1）恒成立，则正实数a 的取值范围是______．16. 已知f （x ）=m sinωx -cosωx （m ＞0，ω＞0），g （x ）=e x ，若对∀x 1∈R ，∃x 2∈[0，ln2]，使得f （x 1）≤g（x 2）成立，若f （x ）在区间[0，π]上的值域为[-1，√2]，则实数ω的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 已知数列{a n }，a 1=3，且对任意n ∈N *，都有a n +a n+22=a n +1．（1）设b n =a n +1-a n ，判断数{b n }是否为等差数列或等比数列．（2）若a 2=5，c n ={2a n −1,为偶数a n ,n 为奇数，求数列{c n }的前2n 项的和S 2n ．18. 某房产中介公司对2018年成都市前几个月的二手房成交量进行统计，y 表示2018年x 月该中介公司的二手房成交量，得到统计表格如下：x i 1 2 3 4 5 6 7 8 y i1214202224202630（1）通过散点图初步分析可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明；（计算结果精确到0.01）；（2）该房产中介为增加业绩，决定针对二手房成交客户开展抽奖活动．若抽中“一等奖”获5千元奖金；抽中“二等奖”获3千元奖金；抽中“祝您平安”，则没有奖金．已知一次抽奖活动中获得“一等奖”的概率为14，获得“二等奖”的概率为12，现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额X （千元）的分布列及数学期望．参考数据：∑8i=1x i y i =850，∑8i=1x i 2=204，∑8i=1y i 2=3776，√21≈4.58，√31≈5.57．参考公式：相关系数r =∑x i n i=1y i −nx −y−√∑x i 2ni=1−nx −2√∑y i 2n i=1−ny−219. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，△PAD 是等边三角形，四边形ABCD 是矩形，CD =√2，F 为棱PA 上一点，且AF =λAP （0＜λ＜1），M 为AD 的中点，四棱锥P -ABCD 的体积为2√63．（1）若无λ=12，N 是PB 的中点，求证：平面MNF ∥平面PCD ，（2）是否存在λ，使得平面FMB 与平面PAD 所成的二面角余弦的绝对值为√3311？20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）上任意一点到其两个焦点F 1，F 2的距离之和等于2√5，焦距为2c ，圆O ：x 2+y 2=c 2，A 1，A 2是椭圆的左、右顶点，AB 是圆O 的任意一条直径，四边形A 1AA 2B 面积的最大值为2√5．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，若直线l 1：y =kx +m （m ≠0）与圆O 相切，且与椭圆相交于M ，N 两点，直线l 1与l 2平行且与椭圆相切于P （O ，P 两点位于l 1的同侧），求直线l 1、l 2距离d 的取值范围．21. 已知函数f （x ）=12x 2+m ln （1-x ），其中m ∈R ．（1）求函数f （x ）的单调区间；（2）若函数f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2，证明：f （x 1）+f （x 2）＞14-14ln4．22. 在平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为{y =2sinθx=3cosθ，（θ为参数），P （x 0，y 0）是曲线C 上的任意一点，动点Q （x ，y ）满足{2y =3y 0x=x 0，记Q （x ，y ）轨迹为E ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极轴建立极坐标系，l 的极坐标方程为θ=π4（ρ∈R ），A 点的极坐标为（5，0）．（1）求E 的普通方程；（2）若l与E交于M，N两点，求△AMN的面积；23.已知函数f（x）=|x|．（1）求不等式f（x-1）+f（2x-1）≤2x的解集；（2）若a＞0，b＞0，c＞0，且1a +4b+9c=1，证明：f（x+a）+f（x-b-c）≥36．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵z==，∴在复平面内，复数z=对应的点的坐标为（3，-2）．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.【答案】A【解析】解：∵集合A={x|y=ln（-x2-3x+4）}={x|-4＜x＜1}，B={y|y=2}={x|0＜y≤4}，∴A∪B={x|-4＜x≤4}=（-4，4]．故选：A．分别求出集合A，B，由此能求出A∪B．本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】D【解析】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即，∃x0≤0，≠-x0，故选：D．根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．4.【答案】C【解析】解：如图，由题意可得：∠AOB=，OA=20，在Rt△AOD中，可得：∠AOD=，∠DAO=，OD=AO=×20=10，可得：矢=20-10=10，由AD=AO•sin=20×=10，可得：弦=2AD=2×10=20，所以：弧田面积=（弦+矢）×矢=（20+10）×10≈223平方米．故选：C．在Rt△AOD中，由题意OA=20，∠DAO=，即可求得OD，AD的值，根据题意可求矢和弦的值，即可利用公式计算求值得解．本题考查扇形的面积公式，考查学生对题意的理解，考查学生的计算能力，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：双曲线8x2-8y2=-1即为-=1，∴c2=+=，∴c=，∵抛物线C：x2=2py（p＞0）准线为y=-，∴-=-，即p=1，故选：B．根据双曲线的方程可得c=，再求出抛物线的准线方程，即可求出p的值．本题考查了双曲线的抛物线的方程和简单性质，考查了运算能力，属于基础题6.【答案】B【解析】解：∵正项递增等比数列{a n}的前n项和为S n，a4+a7=20，a4•a7=64，∴a4，a7是一元二次方程x2-20x+64=0的两个根，且a4＜a7，解方程x2-20x+64=0，得a4=4，a7=16，∴，解得a1=1，q3=4，∴====．故选：B．推导出a4，a7是一元二次方程x2-20x+64=0的两个根，且a4＜a7，解方程x2-20x+64=0，得a4=4，a7=16，列方程组求出a1=1，q3=4，由此能求出的值．本题考查等比数列的前6项和与前9项和的比值的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】B【解析】解：随机输入X i∈（0，1），Y i∈（0，1），Z i∈（0，1），那么点P（X i，Y i，Z i）构成的区域为以1为边长的正方形，判断框内x2i+y2i+z2i≤1，若是，说说明点P（x i，y i，z i）在单位球内部（球）内，并累计记录点的个数M，若否，则说明点P（x i，y i）在单位圆内部（球）外，并累计记录点的个数N，第2个判断框i＞2000，是进入计算此时落在单位球内的点的个数为M，一共判断了2000个点，那么球的体积/正方体的体积=，即=，解得：π=，（π的估计值），即执行框内计算的是P=．故选：B．由题意以及框图的作用，直接推断空白框内应填入的表达式．本题考查程序框图的作用，考查模拟方法估计圆周率π的方法，考查计算能力．8.【答案】D【解析】解：∵sin（θ-）cos（π+θ）=（sinθ-cosθ）•（-cosθ）=cos2θ-sinθcosθ，∵cos2θ=cos2θ-sin2θ，而已知sin（θ-）cos（π+θ）=cos2θ，∴cos2θ-sinθcosθ=cos2θ-sin2θ，即sinθcosθ=sin2θ．∵sinθ≠0，∴tanθ=2，则tan（θ+）===2+，故选：D．由题意利用两角和差的三角公式，化简所给的式子，求得tanθ=2，从而求得tan（θ+）的值．本题主要考查两角和差的三角公式的应用，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：由题意知，该柱体是圆柱体，且底面圆的直径等于母线长，如图所示；设底面圆的半径为R，则圆柱的母线长为2R，内切球的半径也为R，则圆柱体的表面积为S1=2πR2+2πR•2R=6πR2，其内切球的表面积为S2=4πR2，又S1=λS2，则λ===．故选：C．由题意知该柱体是圆柱，且底面圆的直径等于母线长，设底面圆的半径为R，求出圆柱的表面积和内切球的表面积，计算λ的值即可．本题考查了利用三视图求几何体表面积的应用问题，也考查了旋转体的结构特征应用问题，是基础题．10.【答案】C【解析】解：根据题意，建立平面直角坐标系，如图所示；不妨设CD∥AB，由AB=4，∠CMD=120°，得M（0，0），A（-2，0），B（2，0），C（，1），D（-，1），由P在线段CD上（端点C、D除外），可设P（x，1），其中x∈（-，）；则=（-2-x，-1），=（2-x，-1），所以•=（-2-x）（2-x）+1=x2-3；又x∈（-，），所以γx2-3∈[-3，0），即•的取值范围是[-3，0）．故选：C．根据题意，建立平面直角坐标系，不妨设CD∥AB，设出点P的坐标，用坐标表示向量，即可求出•的取值范围．本题考查了平面向量的数量积与应用问题，也考查了圆与三角形的应用问题，是中档题．11.【答案】A【解析】解：设△PF1F2的内切圆的圆心为I，且与PF1，PF2，F1F2的切点为M，N，K，可得|PM|=|PN|，|F2N|=|F2K|，|MF1|=|F1K|，由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2b，即有|F1K|-|F2K|=2b，又|F2K|+|F1K|=2c，可得|F1K|=c+b，可得内切圆的圆心I的横坐标为b=2，C1和C2的离心率之积为，可得•=，解得a=4，可得椭圆方程为+=1，即有|PF1|-|PF2|=4，|PF1|+|PF2|=8，解得|PF2|=2，可得4-x P=2，解得x P=，P的纵坐标为，设内切圆的半径为r，可得r（|PF1|+|PF2|+|F1F2|）=•4•，即r==4-2．故选：A．设△PF1F2的内切圆的圆心为I，且与PF1，PF2，F1F2的切点为M，N，K，由切线长相等，以及双曲线的定义，可得内切圆的圆心横坐标为b，运用离心率公式，可得a=4，运用椭圆的焦半径公式可得P的坐标，再由三角形的等积法，解方程可得所求内切圆的半径．本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，考查离心率公式和三角形的内切圆的切线性质，以及等积法，考查运算能力，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：因为f（x）=+，所以f′（x）=，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0，即函数f（x）在（0，1）为增函数，在（1，+∞）为减函数，设t=f（x），则关于x的方程f2（x）-mf（x）+m2-1=0可化为t2-mt+m2-1=0，设关于t的方程t2-mt+m2-1=0有两根t=t1，t=t2，则关于x的方程f2（x）-mf（x）+m2-1=0恰好有4个不相等的实根，等价于函数t=f（x）的图象与直线t=t1，t=t2的交点个数为4个，函数t=f（x）的图象与直线t=t1，t=t2位置关系如图，得：关于t的方程t2-mt+m2-1=0有两不等实根，且t1，t2∈（0，），设g（t）=t2-mt+m2-1，则有：，解得：1，故选：C．由方程解的个数与函数图象的交点个数的关系可得：关于x的方程f2（x）-mf（x）+m2-1=0恰好有4个不相等的实根等价于函数t=f（x）的图象与直线t=t1，t=t2的交点个数为4个，利用导数研究函数的图象t=f（x）的图象，再利用二次方程区间根问题可得：关于t的方程t2-mt+m2-1=0有两不等实根，且t1，t2∈（0，），设g（t）=t2-mt+m2-1，则有：，解得：1，得解本题考查了方程解的个数与函数图象的交点个数的转化，利用导数研究函数的图象及二次方程区间根问题，属中档题13.【答案】-12【解析】解：由动点P（x，y）在平行四边形ABCD内部（含边界）运动，可行域如图，==（1，0）+（-1，2）+（3，2）=（2，4）．可得C（2，4）化目标函数z=2x-4y的最小值为×2-4×4=-12．故答案为：-12．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14.【答案】10【解析】解：根据题意，将6个小球排成一排，排好后有5个可用的空位，在5个空位中任选3个，插入挡板，有C53=10种情况，可以将6个小球分成4组，依次放入4个不同的盒子中即可，则有10种不同的放法；故答案为：10．根据题意，用挡板法分析，将6个小球排成一排，排好后有5个可用的空位，在其中任选3个插入挡板即可，由组合数公式计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，注意用挡板法分析，属于基础题．15.【答案】（0，4]3【解析】因为由f（x）≥f（1）恒成立，又f（1）=0，故f（x）≥0恒成立．因为a＞0，故当x≥1时，f（x）=alnx是增函数，所以f（x）≥f（1）=0成立；当0≤x＜1时，恒成立，此时f′（x）=x2-a，故f（x）在上单调递减，在（上单调递增，当a≥1时，f（x）在[0，1）上单调递减，故，解得；当0＜a＜1时，成立；综上可知，a的取值范围是．故答案为：（0，]．由f（x）≥f（1）恒成立，又f（1）=0，故f（x）≥0，即函数f（x）在0≤x＜1和x≥1时f（x）≥0恒成立．本题考查分段函数最值得求法、导数在求解函数最值中的应用，属于中档题．16.【答案】43【解析】解：已知f（x）=msinωx-cosωx=sin（ωx+θ），其中tanθ=；可得f（x）的最大值为，由g（x）=e x在x∈[0，ln2]的最大值2，∴≤2，可得：0＜m≤1．要使ω最大，周期T最小，那么x∈[0，π]上单调性．∴．则ω≤2．根据区间[0，π]上的值域为[-1，]，可得（0＜m≤1）∴m=1，那么θ=或，当θ=时，则=，k∈Z；∴ω=．ω最大值为．当θ=时则=，k∈Z；∴ω=-．可得ω最大值为．故答案为：．由题意，求解f （x 1）的最大值和），g （x ）=e x 在x ∈[0，ln2]的最大值，结合f （x ）在区间[0，π]上的值域为[-1，2]，即可求解实数ω的最大值．本题主要考查三角函数的图象和性质，恒成立问题的转化思想，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．17.【答案】解：（1）数列{a n }，a 1=3，且对任意n ∈N *，都有a n +a n+22=a n +1．所以：a n +2-a n +1=a n +1-a n ，所以：数列{a n }的公差为0时，b n +1=b n =0，所以：数列{b n }是等差数列，不是等比数列．当数列{a n }的公差不为0时，b n +1=b n ≠0，所以：数列{b n }既是等差数列，又是等比数列．（2）若a 2=5，由（1）知：a n +1-a n =a 2-a 1=2，所以：a n =2n +1．则：c n ={2n +1(n =2k −1)4n (n =2k)，则：S 2n =S 奇+S 偶，=（3+7+11+…+2n +1）+（42+44+…+42n ）， =2n 2+n +16(16n −1)15．【解析】（1）首先利用分类讨论思想的应用，求出数列的通项公式．（2）利用分组法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组法在数列的求和中项的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 18.【答案】解：（1）由题意，计算x −=4.5，y −=21，又∑8i=1x i y i =850，∑8i=1x i 2=204，∑8i=1y i 2=3776，√21≈4.58，√31≈5.57；所以相关系数r =∑x i n i=1y i −nx −y−√∑x i 2ni=1−nx −2√∑y i 2n i=1−ny−2=850−8×4.5×21√204−8×452⋅√3776−8×212=94√42×√248=944×4.58×5.57≈0.92；因为0.92非常趋近1，所以变量x 、y 线性相关性很强，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系；（2）二人所获奖金总额X 的所有可能取值有0，3，5，6，8，10千元，计算P （X =0）=14×14=116， P （X =3）=2×12×14=14， P （X =5）=2×14×14=18， P （X =6）=12×12=14，P （X =8）=2×12×14=14，P （X =10）=14×14=116；所以随机变量X 的分布列为： X 0 3 5 6 8 10 P116 14 18 14 14 116数学期望为E （X ）=0×116+3×14+5×18+6×14+8×14+10×116=5.5（千元）．【解析】（1）由题意计算、，求出相关系数r ，判断变量x 、y 线性相关性的强弱情况，以及是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系；（2）二人所获奖金总额X 的所有可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望．本题考查了利用相关系数判断线性相关性问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望计算问题，是中档题．19.【答案】证明：（1）∵λ=12，∴F 是A 的中点，∵N 是PB 的中点，∴FN ∥AB ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，故FN ∥CD ， ∵CD ⊂平面PCD ，FN ⊄平面PCD ， ∴FN ∥平面PCD ，FM ∥DP ，DP ⊂平面PCD ，FM ⊄平面PCD ， ∴FM ∥平面PCD ，FM ∩FN =F ，FM ，FN ⊂平面FMN ， ∴平面FMN ∥平面PCD ．解：（2）连结PM ，过M 作ME ∥CD ，交BC 于E ，由△PAD 是等边三角形，得PM ⊥AD ，面PAD ⊥面ABCD ，面PAD ∩面ABCD =AD ，PM ⊥AD ，PM ⊂面PAD ，∴PM ⊥平面ABCD ，以M 为原点，MA 为x 轴，ME 为y 轴，MP 为z 轴，建立空间直角坐标系，假设存在λ，满足题意，设AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAP⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ∈（0，1），则A （1，0，0），P （0，0，√3），B （1，√2，0），M （0，0，0），MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，√2，0），AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAP⃗⃗⃗⃗⃗ =（-λ，0，√3λ），则MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AF⃗⃗⃗⃗⃗ =（1-λ，0，√3λ），设面FMN 的法向量m⃗⃗⃗ =（x ，y ，z ），则{m ⃗⃗⃗ ⋅MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{x +√2y =0(1−λ)x +√3λz =0，取y =-√2，得m⃗⃗⃗ =（2，-√2，2λ−2√3λ），取PAD 的法向量n⃗ =（0，1，0），由题知|cos ＜m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=|−√2|√6+(2λ−2√3λ)2=√3311，解得λ=12， ∴存在λ=12，使得平面FMB 与平面PAD 所成的二面角余弦的绝对值为√3311．【解析】（1）由，推导出四边形ABCD 是矩形，从而AB ∥CD ，FN ∥CD ，进而FN ∥平面PCD ，同理FM ∥平面PCD ，由此能证明平面FMN ∥平面PCD ．（2）连结PM ，过M 作ME ∥CD ，交BC 于E ，以M 为原点，MA 为x 轴，ME 为y 轴，MP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出存在λ=，使得平面FMB 与平面PAD 所成的二面角余弦的绝对值为．本题考查面面平行的证明，考查满足二面角的余弦值的实数值是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.【答案】解：（1）椭圆C ：x 2a 2+y2b 2=1（a ＞b ＞0）中，2a =2√5，解得a =√5；又圆的直径AB ⊥x 轴时四边形A 1AA 2B 的面积最大，最大为2ac =2√5，解得c =1，所以b 2=a 2-c 2=4，所以椭圆C 的方程为x 25+y 24=1；（2）由直线l 1：y =kx +m （m ≠0）与圆O 相切，得√k 2+1=1，即|m |=√k 2+1；再设直线l 2：y =kx +n ，联立{x 25+y 24=1y =kx +n ，消去y 得（5k 2+4）x 2+10knx +5n 2-20=0；所以△=（10kn ）2-4（5k 2+4）（5n 2-20）=0，化简得n 2=5k 2+4；因为d =√k 2+1=|m−n||m|=|1-n m |，且(nm )2=5k 2+4k 2+1=5-1k 2+1；由k 2≥0，得0＜1k 2+1≤1，所以4≤(nm )2＜5；由O 、P 两点位于l 1的同侧，m 、n 异号，所以-√5＜nm ≤-2；所以d =1-nm ∈[3，1+√5），即直线l 1、l 2距离d 的取值范围是[3，1+√5）．【解析】（1）根据题意求出a 、a 和b 2，即可写出椭圆C 的方程；（2）由直线l 1与圆O 相切，得出d=r ，列出方程|m|=；再由直线l 2与椭圆方程联立，消去y 得关于x 的方程；再结合椭圆，从而求出直线l 1、l 2距离d 的取值范围．本题考查了椭圆的定义与简单几何性质的应用问题，也考查了直线与圆方程的应用问题，是中档题．21.【答案】解：（1）函数的定义域为（-∞，1），f ′（x ）=x -m1−x =−x 2+x−m1−x，1-x ＞0，令-x 2+x -m =0，判别式△=1-4m ，当△≤0，则f ′（x ）≤0恒成立，即f （x ）在（-∞，1）上是减函数，当△＞0，即m ＜14时，由x 2-x +m =0，得x 1=1−√1−4m2，x 2=1+√1−4m2，若0＜m ＜14，则x 1＜x 2＜1，则当x ＜x 1时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减，当x 1＜x ＜x 2时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，当x 2＜x ＜1时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减．若m ≤0，则x 1＜1≤x 2，则x ＜x 1时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减， x 1＜x ＜1时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增综上m ≤0时，f （x ）的单调递减区间为（-∞，1−√1−4m2），单调递增区间为（1−√1−4m2，1）．0＜m ＜14时，f （x ）的单调递减区间为（-∞，1−√1−4m 2），（1+√1−4m 2，1），单调递增区间为（1−√1−4m 2，1+√1−4m2），m ≥14时，f （x ）的单调递减区间为（-∞，1）．（2）函数的定义域为（-∞，1），f ′（x ）=x -m1−x =−x 2+x−m 1−x，若函数f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2， ∴f ′（x ）=0在（-∞，1）上有两个不同的根x 1，x 2，设g （x ）=-x 2+x -m ，则{△=1−4m ＞0−12×(−1)＜1g(1)＜0，得0＜m ＜14，从而{x 1x 2=m x 1+x 2=1，且x 1＜x 2，得0＜x 1＜12，0＜x 2＜12，f （x 1）+f （x 2）=12x 12+m ln （1-x 1）+12x 22+m ln （1-x 2）=12（x 12+x 22）+m ln （1-x 1）（1-x 2）] =12[（x 1+x 2）2-2x 1x 2]+m ln[（1-（x 1+x 2）+x 1x 2]=12（1-2m ）+m lnm ，构造函数h （x ）=x lnx-x +12，0＜x ＜14，则h ′（x ）=ln x ＜0，即h （x ）在0＜x ＜14上单调递减， ∴h （x ）＞h （14）=14-14ln4．即证．【解析】（1）求函数的导数，结合一元二次方程根与判别式△的关系进行判断即可．（2）根据函数f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，得到f′（x ）=0有两个不同的根x 1，x 2，利用根与系数之间的关系转化证明即可．本题主要考查导数的综合应用，结合函数单调性，不等式与导数之间的关系，进行转化为一元二次方程，结合根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．22.【答案】解：（1）由已知Q （x ，y ）满足{2y =3y 0x=x 0及{y 0=2sinθx 0=3cosθ得{y =3sinθx=3cosθ， ∴曲线E ：x 2+y 2=9，（2）由于l 的极坐标方程为θ=π4（ρ∈R ），即为y =x ，A （5，0）∵|MN |=6，d =5√2，S =12⋅6⋅5√2=15√22．【解析】（1）由已知Q （x ，y ）满足及得，消去θ可得E 的普通方程，（2）l 的极坐标方程化为直角坐标方程为y=x ，MN 为圆的直径，点到直线的距离求出三角形的高，代入面积公式可得．本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．23.【答案】解：（1）f （x -1）+f （2x -1）=|x -1|+|2x -1|，当x ＞1时，|x -1|+|2x -1|=3x -2≤2x ，解得：x ≤1，故1＜x ≤2，当12≤x ≤1时，|x -1|+|2x -1|=x ≤2x ，解得：x ≥0，故12≤x ≤1，当x ＜12时，|x -1|+|2x -1|=2-3x ≤2x ，解得：x ≥25，故25≤x ＜12，综上，不等式的解集是{x |25≤x ≤2}；（2）由绝对值不等式的性质得： f （x +a ）+f （x -b -c ）=|x +a |+|x -b -c |≥|x +a -x +b +c |=a +b +c ， ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，且1a +4b +9c =1， ∴a +b +c=（a +b +c ）（1a +4b +9c ） =1+4+9+b+c a+4a+4c b+9a+9b c≥14+2√b a⋅4a b+2√c a⋅9a c+2√4c b⋅9b c=36，当且仅当b =2a ，c =3a 时“=”成立，故原命题成立．【解析】（1）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）根据基本不等式的性质求出代数式的最小值，从而证明结论．本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．。

2019届四川省成都石室中学高三适应性考试（一）数学理科试题

2019届四川省成都石室中学高三适应性考试（一）数学理科试题学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、单选题1. 已知集合，则（）A．B．C．D．2. 设为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3. 计算等于( )A．B．C．D．4. 党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（）A．B．C．D．5. 在长方体中，，则直线与平面所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6. 执行下面的程序框图，若输出的的值为63，则判断框中可以填入的关于的判断条件是（）A．B．C．D．7. 已知平面向量满足与的夹角为，且，则实数的值为（）A．B．C．D．8. 已知直三棱柱( )A．B．C．D．9. 若函数的图象经过点，则函数图象的一条对称轴的方程可以为( ) A．B．C．D．10. 已知为抛物线的焦点，点在上，若直线与的另一个交点为，则( )A．B．C．D．11. 过点的直线与曲线交于两点，若，则直线的斜率为( )A．B．C．或D．或12. 若函数为自然对数的底数)在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是( )A．B．C．D．二、填空题13. 在的展开式中，的系数为________．14. 已知长方形，，，则以，为焦点，且过，的椭圆的离心率为_____.15. 已知函数，则关于的不等式的解集为_______．16. 已知数列满足对任意，若，则数列的通项公式________．三、解答题17. 在国家“大众创业，万众创新”战略下，某企业决定加大对某种产品的研发投入.为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格试销，试销价格(元)产品销量(件)已知变量且有线性负相关关系，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得回归直线方程分别为:甲；乙；丙，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的.（1）试判断谁的计算结果正确？（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过，则称该检测数据是“理想数据”，现从检测数据中随机抽取个，求“理想数据”的个数的分布列和数学期望.18. 已知在平面四边形中，的面积为.（1）求的长；（2）已知，为锐角，求.19. 如图，在四面体中，.（1）求证:平面平面；（2）若，二面角为，求异面直线与所成角的余弦值.20. 已知，分别是椭圆：的左，右焦点，点在椭圆上，且抛物线的焦点是椭圆的一个焦点．（1）求,的值：（2）过点作不与轴重合的直线，设与圆相交于A，B两点，且与椭圆相交于C，D两点，当时，求△的面积．21. 已知函数是自然对数的底数. （1）若，讨论的单调性；（2）若有两个极值点，求的取值范围，并证明:.22. 在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为，且经过点．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线，从原点O作射线交于点M，点N为射线OM上的点，满足，记点N的轨迹为曲线A．（Ⅰ）求出直线的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线与曲线C交于P，Q两点，求的值．23. 已知函数.(1)求不等式的解集；(2)若对任意恒成立，求的取值范围.。

成都石室中学12月份一诊模拟数学(理科参考答案)

（2）设 M ( x1 , y1 ) ， N ( x2 , y2 ) ，
x2 y 2 1 ； ……………………5 分 6 2
6km x1 x2 3k 2 1 x2 y 2 1 3m 2 6 2 2 2 (1 3 k ) x 6 kmx 3 m 6 0 x x 2 6 1 2 3k 2 1 y kx m 12(2 m2 6k 2 ) 0
· · · · · · · · · · · 9分
n (1,0,1)
设直线 AE 与平面 CED 的所成角为
sin cos n, EA
3 6 6 ,则直线 AE 与平面 CED 的所成角的正弦值为 .· · · · · · · · · · · 12 分 4 4 22
（2）由（1）可知 DO EO, DO AB, EO AB ，如图，以 O 为坐标原点， OE 为 x 轴正方向， OB 为
理科数学参考答案第1页共 6页
y 轴正方向， OD 为 z 轴正方向建立空间直角坐标系 O xyz
由已知得 E
· · · · · · · · · · · 7分
2
……………………10 分
2 2 2
由 12(2 m 6k ) 0 对任意 k 恒成立，则 m 2 6k 0 m 2 ， ( 标注：对于任意的 k ，直线 l : y kx m均与椭圆相交，直接得到点 (0, m) 位于椭圆内部，也可得
理科数学参考答案
第3页共 6页
CBF 2 CBF 3 4
2 2
· · · · · · · · · · · 9分 · · · · · · · · · · · 10 分

成都石室中学2019届三诊模拟数学理科试题

9.
已知各项为正数的数列{an} 的前 n 项和 Sn 满足 Sn
an
2, 1且
0,
若
a6
,
1 2
a5
,
2a4
成等差数
列，则{ 1 }的前 6 项和为（） anA. Leabharlann 26B. 25463
C.
64
31
D.
32
10．已知 A, B 为双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b 0) 的左右顶点，过右顶点 B 与双曲线的一条渐近线平行的直线
积等于16 ，则球心 O 与圆 C 形成的圆锥的体积等于
．
16．已知抛物线 C : y2 4x 的焦点为 F ，过点 F 且斜率大于 0 的动直线 l 交抛物线 C 于 A, B 两点，B 在 x 轴
上方，P,Q 分别为圆 (x 1)2 y2 1 上的两个动点，当 4 AP BQ 最小时，原点 O 到 l 的距离为 _________．
A. 0.23
B. 0.27
C. 0.46
D. 0.54
5. 已知函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数，且当 x 0 时， f (x) log2 (1 x) ，若 f (a2 1) 1，则实数 a
的取值范围是（）
A. ( 2,0) (0, 2)
B. ( 2, 2)
C. (1,0) (0,1)
t2, 70 M 75
5
20．（本小题满分 12 分）
已知椭圆
C
:
x2 a2
y2 b2
1(a b 0) ，焦距为 2 ，直线 l :
y
x 与椭圆 C
交于 A, B 两点，

成都石室中学一诊模拟试卷数学理科

成都石室中学高2019届十二月份一诊模拟试卷数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集R U =，集合{|A x y ==，集合12{|,0}B y y x x ==>，那么集合()U C A B =A ．∅B ．(0,1]C ．(0,1)D ．(1,)+∞2．若向量,a b 是非零向量，则“||||a b a b +=-”是“,a b 夹角为2π”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3. 已知等差数列{}n a 中，前n 项和n S 满足7235S S -=，则9S = A ．54B ．63C ．72D ．814. 已知双曲线C ：2221(0)9y x b b-=>，其焦点F 到C 的一条渐近线的距离为2，该双曲线的离心率为 ABC ．23D ．325. 下列结论正确的是A ．当0x >且1x ≠时，1ln 2ln x x+≥ B ．当0x >时，ln x x > C ．当2x ≥时，1x x-无最小值 D ．当2x ≥时，12x x +≥6．72(a x的展开式中，常数项为14，则a =A ． 14-B ． 14C ．2-D ． 27.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)=(2)f x f x +-，且当(2,0)x ∈-时，2()log (3)f x x a =++，若(13)2(7)1f f =+，则a =A ．43-B ．34-C ．43D ．348．已知()cos22,cos68AB =，()2cos52,2cos38AC =，则ABC △的面积为A ．12BCD ．19. 如图，已知底面为直角三角形的直三棱柱111ABCA B C ，其三视图如图所示，则异面直线1B A 与1A C 所成角的余弦值为A.45 B.C.D.10.已知函数()3sin 22f x x x =，将()f x 图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，已知()g x 分别在1x ，2x 处取得最大值和最小值，则12x x +的最小值为 A.3π B.23π C.π D.43π11. 已知抛物线2:C y ax =的焦点坐标为(0,1)，点(0,3)P ，过点P 作直线l 交抛物线C 于,A B 两点，过,A B 分别作抛物线C 的切线，两切线交于点Q ，则QAB ∆面积的最小值为A． B． C． D．12. 已知函数2()24(0)f x ax bx a a =+->，241()exx x g x ++=，且(2e)0f ->，则方程[()]0f g x =的实数根的个数不可能为A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若,x y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =+的最大值为 . 14. 执行如图所示的程序框图，若输入12x =，则输出y 的值为______.15. 已知数列{}n a 中，121n n a a +=-，12a =，设其前n 项和为n S ，若对任意的*n N ∈，(1)23nSn k n +-≥-恒成立，则k 的最小值为________.16. 如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，ED ⊥平面ABCD ，FB ⊥平面ABCD ，且1ED FB ==，G 为线段EC 上的动点，则下列结论中正确的是_________.①EC AF ⊥；②该几何体外接球的表面积为3π； ③若G 为EC 中点，则//GB 平面AEF ； ④22AG BG +的最小值为3.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分 17.（本题满分12分）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知6C π=，2a =，ABC ∆F 为边AC 上一点.（1）求c ；（2）若CF =，求sin BFC ∠.18.（本题满分12分）如图，在四棱锥E ABCD -中，底面为菱形,已知60DAB EAB ∠=∠=︒，2AD AE ==，DE =.（1）求证：平面ABE ⊥平面ABCD ；（2）求直线AE 与平面CED 的所成角的正弦值．19．（本题满分12分）基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验．某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，结果如下表：（1）请用相关系数说明可用线性回归模型拟合月度市场占有率y 与月份代码x 之间的关系；（2）求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2018年12月份的市场占有率；（3）根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，现有采购成本分别为1000元/辆和800元/辆的A ，B 两款车型报废年限各不相同．考虑到公司的经济效益，该公司决定先对两款单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：经测算，平均每辆单车每年可以为公司带来收入500元．不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且用频率估计每辆单车使用寿命的概率，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据．如果你是该公司的负责人，你会选择采购哪款车型？回归直线方程为ˆˆˆybx a =+，其中20. （本题满分12分）已知圆221:(2)24O x y ++=，点2(2,0)O ，C 为圆1O 上任意一点，点P 在直线1O C 上，且满足222O C O M =，20PM CO ⋅=，点P 的轨迹为曲线E .（1）求曲线E 的方程；（2）若直线:l y kx m =+（不与坐标轴重合）与曲线E 交于,M N 两点，O 为坐标原点，设直线OM 、ON 的斜率分别为1k 、2k ，对任意的斜率k ，若存在实数λ，使得12()0k k k λ++=，求实数λ的取值范围.21. （本题满分12分）已知函数()=ln 1f x a x -，其中0a ≠，()2=1g x x -，()()()h x f x g x =+.（1）若23y x =-是()f x 的一条切线，求a 的值；（2）在（1）问的前提下，对任意的实数[1,2]λ∈，若存在正实数12,x x ，使得()1212()()h x h x x x λ+=+，求12x x +的最小正整数值.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22. 选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为:2cos (1sin x t t y t αα=+⎧⎨=-+⎩为参数），在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为：=6cos 8sin ρθθ-，直线1C 与曲线2C 交于,A B 两点，（1）求曲线2C 的普通方程及AB 的最小值；（2）若点(2,1)P -，求22PA PB +的最大值.23. 选修4-5：不等式选讲（1）当2a =时，解不等式()2f x x +<；（2的解集非空，求b 的取值范围.。

成都石室中学高2019届三诊模拟考试-数学理科试题答案解析

一名高三学生，其成绩不低于 115 分的概率是（）
A. 0.23
B. 0.27
C. 0.46
D. 0.54
解析：由于 X N(105, 2 ) ， P(95 X 115) 0.54 ，则 P(105 X 115) 0.27 ，所以
P(x 1 1 5 ) 0 . 5 0 . 2，7故选0A. 2 3
解析：
z

i 2018 i2019 1

i50442 i50443 1

i2 i3 1

1 i 1

1 2

1 2
i
，所以复数
z
的虚部是

1 2
，故选
D
.
2.
已知集合 A {x | x 3}, B {x | log 4 x
1} ，则（ 2
）
A. A B
B. (CU A) B R
2
2
B. ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 e2
D. [0, ] ，使 e1 e2 2
解析： e1 e2 | e1 | | e2 | cos cos 1，故选 D .
4. 经统计，成都市高三二诊理科数学成绩 X N(105, 2 ) ，且 P(95 X 115) 0.54 ，则从成都市任选
．
解：设 OC h, OMC 30 , OM 2h,OA 3h, 延长 MC 交圆 C 于 B , 在 RT OBC 中，
BC 2 2h 4 h 2 ， S 42 2 16 2 ;
3
3
16．已知抛物线 C : y2 4x 的焦点为 F ，过点 F 且斜率大于 0 的动直线 l 交抛物线 C 于 A, B 两点，B 在 x 轴

成都石室中学2019届12月份一诊模拟试卷数学(理科解析)

A． 1 2
B． 2 2
C． 3 2
D．1
理科数学答题解析版第 2 页共 14 页
【答案】A．
【解析】根据题意， AB cos22 ,sin22 ， AC 2sin38 , 2cos38 ，
有| AB | 1，| AC | 2 ，
则 AB AC 2 cos 22 sin 38 sin 22 cos38 2sin 60 3 ，
理科数学答题解析版第 6 页共 14 页
【答案】①②③ 【解析】如图所示，几何体可补形为正方体，
以 D 为原点， DA 为 x 轴正方向， DC 为 y 轴正方向，
DE 为 z 轴正方向建立空间直角坐标系 O xyz ，①由正方体性质易得 EC AF ；②该几何体的外接球与
正方体外接球相同，外接球半径为 3 ，故外接球表面积为 3 ； ③ 已知平面 AEF 的法向量为 2

C7r
(
a x2
)7r
(
3
x )r

C7r
(1)r
a7r
(
x)
7 3
r
14
，
取
7 3
r
14

0
，得
r

6
，则
C76a

14
，即
a

2
，故选：D
7.已知定义在 R 上的奇函数 f (x) 满足 f (x 2)=f (x 2) ，且当 x (2, 0) 时， f (x) log2 (x 3) a ，
S9

9(a1 2
a9 )

2019届四川省成都市石室中学高三下学期三诊模拟数学(理)试题(解析版)

2019届四川省成都市石室中学高三下学期三诊模拟数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}211|10,|24,2x M x x N x x Z +⎧⎫=-≤=<<∈⎨⎬⎩⎭，则M N ⋂=（）A ．{}1,0B ．{}1C ．{}1,0,1-D ．φ【答案】A【解析】试题分析：{}{}{}{}2|10|11,1,0,1,0M x x x x N M N =-≤=-≤≤=-∴⋂=-,故选A.【考点】集合的运算.2．设1z i =-（i 是虚数单位），则2z z+=（） A ．22i - B ．22i +C ．3i -D ．3i +【答案】B【解析】利用复数的除法运算、共轭复数的定义可计算出2z z+的值. 【详解】1z i =-Q ，1z i =+，则()()()()2122112122111i z i i i i z i i i ++=++=++=+=+--+，故选：B. 【点睛】本题考查复数的计算，考查复数的除法、共轭复数的相关计算，考查计算能力，属于基础题.3．若多项式()210011x x a a x +=++()()91091011a x a x +++++L ，则9a =（）A ．9B ．10C ．-9D ．-10【答案】D【解析】()()9011010019910999991...1[...]n n n x C C x C x a x a C C x C x +=++⇒+=++，()10101a x +=019910101010101010(...)a C C x C x C x ++++，根据已知条件得9x 的系数为0，10x 的系数为19999910101010101010011a a C a C a a C =-⎧⋅+⋅=⎧⇒⇒⎨⎨=⋅=⎩⎩ 故选D. 4．一个几何体的三视图如右图所示,且其左视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为( )A ．(4)3π+B (8)3π+C ．(8)3π+D ．(43π+【答案】B【解析】试题分析：该几何体是圆锥的一半与一四棱锥的组合体．圆锥底半径为1，四棱锥的底面是边长为2的正方形，高均为2×3(8)3π+选B ．【考点】本题主要考查三视图，几何体的体积计算．点评：基础题，三视图是高考必考题目，因此，要明确三视图视图规则，准确地还原几何体，明确几何体的特征，以便进一步解题．5．设0x >，0y >，且1142x y+=，422log log z x y =+，则z 的最小值是（） A ．4- B ．3-C ．2log 6-D ．232log 8【答案】B【解析】利用基本不等式可求出xy 的最小值，利用换底公式以及对数的运算律可得出z 的最小值. 【详解】0x Q >，0y >，且1142x y +=，11111422222x y x y xy ∴=+≥⋅=122xy≤，18xy ∴≥，当且仅当2x y =时取等号.42222212log log log log log log 38z x y x y xy =+=+=≥=-，则z 的最小值是3-. 故选：B. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，同时也考查了换底公式以及对数运算性质的应用，考查计算能力，属于基础题.6．若A 为不等式组0{02x y y x ≤≥-≤所示的平面区域，则当a 从-2连续变化到1时，动直线x+ y =a 扫过A 中的那部分区域面积为（） A ．2 B ．1 C ．34 D ．74【答案】D【解析】试题分析：如图，不等式组0{02x y y x ≤≥-≤表示的平面区域是,动直线在轴上的截距从变化到1,知是斜边为3等腰直角三角形，是直角边为1的等腰直角三角形,所以区域的面积,故选D.【考点】二元一次不等式（组）与平面区域点评：平面区域的面积问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合有关面积公式求解．7．函数y=sin(πx+)(＞0)的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A ，B 是图象与x 轴的交点，记∠APB=θ，则sin2θ的值是( )A ．1665B ．6365C ．1665-D ．1663-【答案】A【解析】由周期公式可知函数周期为2，∴AB =2，过P 作P C ⊥AB 与C ，根据周期的大小看出直角三角形中直角边的长度，解出∠APC 与∠BPC 的正弦和余弦，利用两角和与差公式求出sinθ，进而求得sin2θ．【详解】. ,BAP a PBA β∠=∠=()a θπβ=-+P C ⊥AB 与C115||,||||142AC T AP PC ====||255sin ,cos ||55PC a a AP ===3313||,||422BC T PB '===213313sin ββ==16sin 22sin cos 2sin()cos()2(sin cos cos sin )(cos cos 65=a a a θθθβαβαβββ=-++=-+=, 故选：A. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查了两角和的正弦公式以及二倍角的正弦公式，属于综合题.8．下列命题中：①若“x y >”是“22x y >”的充要条件；②若“x R ∃∈，2210x ax ++<”，则实数a 的取值范围是()(),11,-∞-+∞U ；③已知平面α、β、γ，直线m 、l ，若αγ⊥，m γα=I，l γβ=I ，l m ⊥，则l α⊥；④函数()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭. 其中正确的个数是（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】利用充分条件与必要条件的关系判断①的正误；根据特称命题成立的等价条件求实数a 的取值范围，可判断②的正误；由面面垂直的性质定理可判断③的正误；利用零点存在定理可判断④的正误. 【详解】①由x y >，可知0x >，所以有22x y >，当0x y <<时，满足22x y >，但x y >不成立，所以①错误；②要使“x R ∃∈，2210x ax ++<”成立，则有对应方程的判别式>0∆，即2440a ->，解得1a <-或1a >，所以②正确； ③因为αγ⊥，m γα=I，l γβ=I ，所以l γ⊂，又l m ⊥，所以根据面面垂直的性质定理知l α⊥，所以③正确；④因为111332111103333f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，111222111102332f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且函数()y f x =连续，所以根据零点存在定理可知在区间11,32⎛⎫⎪⎝⎭上，函数()y f x =存在零点，所以④正确.所以正确的是②③④，共有三个. 故选：C. 【点睛】本题考查命题的真假判断．正确推理是解题的关键．要求各相关知识必须熟练，考查推理能力，属于中等题.9．某教师一天上3个班级的课，每班上1节，如果一天共9节课，上午5节，下午4节，并且教师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位教师一天的课表的所有不同排法有（）A ．474种B ．77种C ．462种D ．79种【答案】A【解析】试题分析：根据题意，由于某教师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，上午5节、下午4节，并且教师不能连上3节课（第5和第6节不算连上），所有的上课方法有99A ，那么连着上3节课的情况有533A 种，则利用间接法可知所求的方法有99A -533A =474，故答案为A. 【考点】排列组合点评：主要是考查了排列组合的运用，属于基础题． 10．已知函数()xf x xe =，方程()()2+1=0fx tf x +()t R ∈有四个实数根，则t 的取值范围为（）A ．21,e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭B ．21,e e ⎛⎫+-∞- ⎪⎝⎭C ．21,2e e ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭D ．212,e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】利用导数，判断函数()f x 的单调性及最值，从而画出该函数的图像；再用换元，将问题转化为一元二次方程根的分布问题，即可求解参数范围. 【详解】令()xg x xe =，故()()1xg x ex '=+，令()0g x '=，解得1x =-，故函数()g x 在区间(),1-∞-单调递减，在()1,-+∞单调递增，且在1x =-处，取得最小值()11g e-=-. 根据()f x 与()g x 图像之间的关系，即可绘制函数()f x 的图像如下：令()f x m =，结合图像，根据题意若要满足()()2+1=0fx tf x +有四个根，只需方程210m tm ++=的两根1m 与2m 满足：其中一个根110,?m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，另一个根21m e >或20m =.①当方程210m tm ++=的一个根110,?m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，另一个根20m =，将0m =代入，可得10=矛盾，故此种情况不可能发生； ②当方程210m tm ++=的一个根110,?m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，另一个根21m e>()2 1m m tm ϕ=++，要满足题意，只需()10,00e ϕϕ⎛⎫⎪⎝⎭即可即2110,?1?0te e++，解得21,e t e ⎛⎫+∈-∞- ⎪⎝⎭.故选：B. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，以及二次方程根的分布问题，属重点题型.二、填空题11．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝________. 【答案】【解析】试题分析：利用互斥事件的概率及古典概型概率计算公式求出事件A 的概率，同样利用古典概型概率计算公式求出事件AB 的概率，然后直接利用条件概率公式求解．解：P （A ）=，P （AB ）=．由条件概率公式得P （B|A ）=．故答案为．点评：本题考查了条件概率与互斥事件的概率，考查了古典概型及其概率计算公式，解答的关键在于对条件概率的理解与公式的运用，属中档题．12．下图给出了一个程序框图,其作用是输入x 的值,输出相应的y 值．若要使输入的x 值与输出的y 值相等,则这样的x 值有________个.【答案】3【解析】试题分析：该程序框图是计算分段函数的函数值，从自变量的取值情况看，由三种情况，故应考虑1x x=，224,x x x x -==所得x 值，有3个．【考点】本题主要考查程序框图的功能识别，简单方程的求解．点评：简单题，注意到应考虑1x x=，224,x x x x -==所得x 值，一一探讨． 13．已知在平面直角坐标系中，()2,0A -，()1,3B ，O 为原点，且OM OA OB αβ=+u u u u r u u u r u u u r，（其中1αβ+=，α，β均为实数），若()1,0N ，则MN u u u u v的最小值是_____.32【解析】根据OM OA OB αβ=+u u u u ru u u ru u u r可化简为BM BA α=u u u u r u u u r，可得出A 、B 、M 三点共线，求出直线AB 的方程，然后利用点到直线的距离公式可计算出MN u u u u v的最小值.【详解】OM OA OB αβ=+u u u u r u u u r u u u rQ （其中1αβ+=，α、β均为实数）， ()1OM OA OB αα=+-u u u u v u u u v u u u v ，即()OM OB OA OB α-=-u u u u v u u u v u u u v u u u v ，即BM BA α=u u u u r u u u r，//BM BA ∴u u u u r u u u r ，A ∴、B 、M 三点共线，MN ∴u u u u v的最小值即为点N 到直线AB 的距离，直线AB 的方程为23012y x +=-+，即20x y -+=，因此，MN u u u u v的最小值为()221232211d +==+-.故答案为：2【点睛】本题考查利用向量判断三点共线，同时也考查了点到直线距离公式计算线段长度的最小值，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.14．已知双曲线()2222:10x y C a b a b -=>>的右焦点为F ，过F 的直线交C 于A 、B 两点，若4AF FB =u u u r u u u r，则C 的离心率为______.【答案】65【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，将直线的方程和双曲线的方程联立消元得出24121222223,33c b y y y y a b a b-+==--，由4AF FB =u u u r u u u r 可得124y y =-，这几个式子再结合222b c a =-化简可得65c a = 【详解】因为直线AB 过点(c,0)F所以直线AB 的方程为：)y x c =-与双曲线22221x y a b-=联立消去x ，得222241033b a y cy b ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭设()()1122,,,A x y B x y所以24121222223,33c b y y y y a b a b-+==-- 因为4AF FB =u u u r u u u r，可得124y y =-代入上式得24222222233,433c b y y a b a b--=-=-- 消去2y 并化简整理得：22243(3)34c a b =- 将222b c a =-代入化简得：223625c a =解之得65c a =因此，该双曲线的离心率65c e a == 故答案为：65【点睛】1.直线与双曲线相交的问题，常将两个的方程联立消元，用韦达定理表示出横（纵）坐标之和、积，然后再结合条件求解2.求离心率即是求a 与c 的关系.15．设函数()f x 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意()x M M D ∈⊆，有x l D +∈，且()()f x l f x +≥，则()f x 为M 上的l 高调函数，如果定义域为R 的函数()f x 是奇函数，当0x ≥时，22()f x x a a =--，且()f x 为R 上的4高调函数，那么实数a 的取值范围是__________．【答案】[1,1]-【解析】定义在R 上的函数()f x 是奇函数，当0x ≥时，222222,()||,0x a x a f x x a a x x a⎧-≥=--=⎨-≤<⎩，作出()y f x =的图像如图所示， ∵()f x 为R 上的4高调函数，当0x <时，函数的最大值为2a ，要满足(4)()f x f x +≥，4大于等于区间长度223()a a --，∴2243()a a ≥--，即244a ≤，解得11a -≤≤．故实数a 的取值范围是[1,1]-．三、解答题16．已知向量()sin ,1a x =-r ，13,2b x ⎫=-⎪⎭r ，函数()()2f x a b a =+⋅-r r r .（1）求函数()f x 的最小正周期T 及单调减区间；（2）已知a 、b 、c 分别为ABC ∆内角A 、B 、C 的对边，其中A为锐角，a =4c =，且()1f A =.求A 、b 的长和ABC ∆的面积.【答案】（1）T π=，递减区间是()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）3A π=，2b =，ABC S ∆=【解析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算得出()()2f x a b a =+⋅-v v v，并利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式为()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，利用正弦函数周期公式及其单调性即可得到函数()y f x =的最小正周期T 及单调减区间；（2）利用（1）即可得到A ，再利用正弦定理即可得到C ，利用三角形内角和定理即可得到B ，利用直角三角形含6π角的性质即可得出边b ，进而得到三角形的面积. 【详解】（1）()sin ,1a x =-vQ，1,2b x ⎫=-⎪⎭v ，()()233sin ,sin ,1sin cos 22a b a x x x x x x ⎛⎫∴+⋅=+-⋅-=+⎪⎝⎭v vv 1cos 2231sin 2cos 22sin 22222226x x x x x π-⎛⎫=++=-+=-+ ⎪⎝⎭， ()()2sin 26f x a b a x π⎛⎫∴=+⋅-=- ⎪⎝⎭v v v ，所以，22T ππ==，由()3222262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，解得536k x k ππππ+≤≤+()k Z ∈，所以，函数()y f x =的单调递减区间是()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）()1f A =Q ，sin 216A π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭， A Q 为锐角，即02A π<<，52666A πππ∴-<-<，262A ππ∴-=，解得3A π=.由正弦定理得sin sin a cA C=，4sin sin 3sin 123c A C a π⨯∴===， ()0,C π∈Q ，2C π∴=，6B AC ππ∴=--=，122b c ∴==，因此，ABC ∆的面积为1223232ABC S ∆=⨯⨯=. 【点睛】本题综合考查了向量数量积的坐标运算、正弦函数的单调性及其性质、正弦定理、直角三角形的边角关系及其面积等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力． 17．如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直，且2AB =，1AD EF ==.（Ⅰ）求证：AF ⊥平面CBF ；（Ⅱ）求三棱锥C OEF -的体积. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ3【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）平面ABCD ⊥平面ABEF ，CB AB ⊥, 平面ABCD I 平面ABEF AB =，CB ∴⊥平面ABEF ，∵AF 在平面ABEF 内，∴AF CB ⊥，又AB 为圆O 的直径，∴AF BF ⊥， ∴AF ⊥平面CBF .（Ⅱ）由（1）知CB ABEF ⊥面即CB OEF ⊥面， ∴三棱锥C OEF -的高是CB ， ∴1CB AD ==,连结OE 、OF ，可知1OE OF EF ===∴OEF ∆为正三角形，∴正OEF ∆∴11111332C OEF OEF V CB S -∆=⨯=⨯⨯=18．小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功，每过一关可一次性获得价值分别为1000元，3000元，6000元的奖品（不重复得奖），小王对三关中每个问题回答正确的概率依次为45，34，23，且每个问题回答正确与否相互独立.（1）求小王过第一关但未过第二关的概率；（2）用X 表示小王所获得获品的价值，写出X 的概率分布列，并求X 的数学期望. 【答案】（1）725；（2）分布列见详解，2160EX = 【解析】（1）小王过第一关但未过第二关，包括小王第一关两道题都答对，第二关第一道题答错，或者小王第一关两道题都答对，第二关第一道题答对，第二道题答错，据此计算概率；（2）根据题意，分别写出X 可取的值，再计算每个可取值对应的概率，求得分布列即可. 【详解】（1）设小王过第一关但未过第二关的概率为1P ，则容易知2141317544425P ⎛⎫⎛⎫=+⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）X 的取值为0，1000，3000，6000，则()1419055525P X ==+⨯=， ()2413171000544425P X ⎛⎫⎛⎫==+⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()222212432217300015433375P X C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，()22221243221460005433315P X C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，∴X 的概率分布列为∴X 的数学期望97740100030006000216025257515EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查概率的计算，离散型随机变量的分布列和数学期望，以及计算能力，属中档题.19．各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ，且2421n n n S a a =++，n ∈+N .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知公比为()q q N +∈的等比数列{}n b 满足11b a =，且存在m N +∈满足m m b a =，13m m b a ++=，求数列{}n b 的通项公式.【答案】（1）21n a n =-；（2）17n n b -=或13n n b -=.【解析】（1）令1n =，利用数列递推式求出1a 的值，由2421n n n S a a =++得出2111421n n n S a a +++=++，两式相减，结合数列{}n a 各项均为正数，可得数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，从而可求数列{}n a 的通项公式；（2）利用m m b a =，13m m b a ++=，求出公比q ，即可求得数列{}n b 的通项公式．【详解】（1）当1n =时，211114421S a a a ==++，整理得()2110a -=，11a ∴=. 2421n n n S a a =++Q ，2111421n n n S a a +++∴=++，两式相减得22111422n n n n n a a a a a +++=-+-，即2211220n n n n a a a a ++---=，即()()1120n n n n a a a a +++--=，Q 数列{}n a 各项均为正数，10n n a a ++>∴，12n n a a +∴-=，∴数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，故()12121n a n n =+-=-；（2）111b a ==Q ，111n n n b b q q --=∴=，依题意得12125m m q m q m -⎧=-⎨=+⎩，相除得25612121m q N m m ++==+∈--211m ∴-=或213m -=，所以17m q =⎧⎨=⎩或23m q =⎧⎨=⎩，当1m =时，17n n b -=；当2m =时，13n n b -=. 综上所述，17n n b -=或13n n b -=.【点睛】本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设不过原点O 的直线l 与椭圆C 交于两点M 、N ，且直线OM 、MN 、ON 的斜率依次成等比数列，求△OMN 面积的取值范围.【答案】(1)2214x y +=；(2) (0,1)．【解析】【详解】(1)由已知得222222{a bc a c a b =⨯==-⇒2{1a b ==∴C 方程：2214x y += (2)由题意可设直线l 的方程为：y kx m =+(0,0)k m ≠≠联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理，得：222(14)84(1)0k x kmx m +++-= 则△22226416(14)(1)k m k m =-+-2216(41)0k m =-+>,此时设11(,)M x y 、22(,)N x y ∴212122284(1),1414km m x x x x k k-+=-=++ 于是2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++又直线OM 、MN 、ON 的斜率依次成等比数列，∴2221211121212()y y k x x km x x m k x x x x +++⋅==⇒22228014k m m k-+=+ 由0m ≠得：214k =⇒12k =±.又由△0>得：202m <<显然21m ≠（否则：120x x =，则12,x x 中至少有一个为0，直线OM 、ON 中至少有一个斜率不存在，矛盾！）设原点O 到直线l 的距离为d ,则212211·1221OMNmS MN d k x x k ==+-+V 2212121()4(1)12m x x x x m =+-=--+ 故由m 得取值范围可得△OMN 面积的取值范围为(0,1) 21．已知f （x ）=x-ax（a>0），g （x ）=2lnx+bx 且直线y=2x －2与曲线y=g （x ）相切．（1）若对[1，+∞）内的一切实数x ，小等式f （x ）≥g （x ）恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当a=l 时，求最大的正整数k ，使得对[e ，3]（e=2．71828是自然对数的底数）内的任意k 个实数x 1，x 2，，x k 都有121()()()16()k k f x f x f x g x -+++≤L 成立；（3）求证：*2141(21)()41ni i n n n N i =>+∈-∑．【答案】（1）；（2）的最大值为．（3）见解析．【解析】【详解】试题分析：（1）设点为直线与曲线的切点，则有．（），．（）由（）、（）两式，解得，．由整理，得，，要使不等式恒成立，必须恒成立．设，，，当时，，则是增函数，，是增函数，，因此，实数的取值范围是．（2）当时，，，在上是增函数，在上的最大值为．要对内的任意个实数都有成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，当时不等式左边取得最大值，时不等式右边取得最小值．，解得．因此，的最大值为．（3）证明（法一）：当时，根据（1）的推导有，时，，即．令，得，化简得，．（法二）数学归纳法：当时，左边=，右边=，根据（1）的推导有，时，，即．令，得，即．因此，时不等式成立．（另解：，，，即．）假设当时不等式成立，即，则当时,，要证时命题成立，即证，即证．在不等式中，令，得．时命题也成立．根据数学归纳法，可得不等式对一切成立．【考点】函数的性质；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；数学归纳法．点评：（1）本题主要考查导数的几何意义及其应用和数学归纳法等综合知识，考查学生的计算推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意识．对学生的能力要求较高，尤其是分析问题解决问题的能力．（2）解决恒成立问题常用变量分离法，变量分离法主要通过两个基本思想解决恒成立问题，思路1：在上恒成立；思路2:在上恒成立．。

四川省成都石室中学2019届高三第二次模拟考试数学(理)试题(解析版)

石室中学高2019届2018～2019学年下期二模考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，集合，.若，则复数等于（）A.1 B. -1 C. D.【答案】C【解析】【分析】由复数的概念得到集合Q，计算集合P与集合Q的补集，即可确定出复数z.【详解】,,则，即zi=-1,z=,故选：C【点睛】本题考查集合的交集运算和复数的运算，属于简单题.2.已知为第二象限角，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将平方得到cos sin，再将所求平方，结合为第二象限角即可得到答案.【详解】∵，平方得，∴2cos sin＝﹣∴，∵为第二象限角，∴【点睛】本题考查同角三角函数关系式，考查之间关系的应用，属于基础题.3.已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为，则（）A.， B. ，C.， D. ，【答案】A【解析】分析：首先根据平均数的求解方法，代入式子，求得，利用方差的定义和计算公式，求得，从而可以判断其大小关系，求得结果.详解：根据题意有，而，故选C.点睛：该题考查的是有关一组数据的平均数和方差的计算公式，所以在解题的过程中，利用平均数和方差的公式，求新添一个值之后的平均数和方差，从而得到结果.4.设，则使成立的必要不充分条件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式可得，然后再结合题意对每个选项进行验证、判断后可得结果．【详解】由可得，解得．选项A中，“”是“”成立的充要条件，所以A不符合题意；选项B中，由“”成立不能得到“”成立，反之，当“”成立时，“”成立，所以“”是“”的必要不充分条件，所以B符合题意；选项C中，“”是“”的既不充分也不必要条件，所以C不符合题意；选项D中，“”是“”的充分不必要条件，所以D不符合题意．故选B．【点睛】解题的关键是正确理解“使成立的必要不充分条件”的含义，即由可得所选结论成立，而由所选的结论不能得到成立．本题考查对充分、必要条件概念的理解，属于基础题．5.设等比数列的前项和为，公比为.若，，则（）A. 3B.C.D. 2【分析】根据题意分析可得等比数列{a n}的公比q≠±1，进而由等比数列的前n项和公式可得q＝2，从而可得a1值.【详解】等比数列{a n}中，若S6＝9S3，则q≠±1，若S6＝9S3，则，解可得q3＝8，则q＝2，又由S5＝62，则有S5＝＝31a1＝62，解得a1＝2；故选：D．【点睛】本题考查等比数列的前n项和公式的应用，属于基础题．6. 甲、乙、丙、丁四位同学各自在周六、周日两天中随机选一天郊游，则周六、周日都有同学参加郊游的情况共有（）A. 2种B. 10种C. 12种D. 14种【答案】D【解析】试题分析：甲、乙、丙、丁四位同学各自在周六、周日两天中随机选一天郊游的情况有种，其中周六或周日没有同学参加郊游的情况有种，故周六、周日都有同学参加郊游的情况共有种.考点：计数原理．7.函数的零点构成一个公差的等差数列，要得到的图象，可将的图象（）A. 向右平移个单位B. 向左平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位【答案】B【解析】【分析】由题意得函数周期为π，得ω＝2，即f（x）＝sin（2x+）．再根据函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律可得结论．【详解】根据函数的图象与x轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，可得函数的周期为π，即＝π，得ω＝2，即f（x）＝sin（2x+）．函数＝sin（+2x+）＝sin[2（x+）+]，【点睛】本题考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图像和性质的应用，考查图像的平移变换规律，要注意平移是在给变量x 本身做变化．8.已知动直线与圆相交于，两点，且满足，点为直线上一点，且满足，若为线段的中点，为坐标原点，则的值为（）A. 3B.C. 2D. -3【答案】A【解析】动直线与圆：相交于，两点，且满足，则为等边三角形，于是可设动直线为，根据题意可得，，∵是线段的中点，∴，设，∵，∴，∴，解得，∴，∴，故选A．9.体积为的三棱锥的顶点都在球的球面上，平面，，，则球体积的最小值为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】先用锥体体积公式以及三角形的面积公式得AB•BC＝6，利用余弦定理得出AC的最小值，再利用正弦定理得△ABC 的外接圆半径的最小值r，利用公式可得球半径R的最小值，再利用球体体积公式可得出答案．【详解】因为P A⊥平面ABC，三棱锥P﹣ABC的体积为，得，另一方面，可得AB•BC＝6，由余弦定理得＝AB2+BC2﹣AB•BC≥2AB•BC﹣AB•BC＝AB•BC＝6，当且仅当时，等号成立，则AC≥，所以，△ABC的外接圆的直径的最小值为2r=，则球O的半径的最小值为，因此，球O的体积的最小值为．故选：B．【点睛】本题考查球体体积计算，考查利用锥体体积公式以及三角形的面积公式，考查基本不等式，考查计算能力，属于中等题．10.已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为A. B. C. D.【答案】C【解析】在中，设,右焦点E,由椭圆的对称性，知是平行四边形，所以在中，由余弦定理得,，选C.【点睛】本题的关键是要看到椭圆的对称性把，转化到焦点中，再应用比值及余弦定理，可得离心率。

2019年5月四川省成都石室中学高2019届高2016级高考适

18. （本小题满分 12 分）
已知在平面四边形 ABCD 中， ∠ABC =3π，AB ⊥ AD，AB =1，∆ABC 的面积为 1 .
4
2
（Ⅰ）求 AC 的长；
（Ⅱ）已知 CD = 17 ，求 tan ∠ADC . 2
解析：（Ⅰ）在△ ABC 中，由面积公式：
S ABC
=1 × | 2
AB
|×|
C．2＋ 3 或 2－ 3
D．2－ 3 或 3 －1
解析：设 PQ 与曲线=y 13 − x2 相切于点 Q ，则 | PQ |2 =| PA | ⋅ | PB |=| PA | ⋅(| PA | +|AB |)
适应性考试一理答第 3 页
= 7 | PA |2 =| PO |2 − | OQ |2 = 35 ，所以= | PA | 5= ,| AB | 2 ， O 到弦 AB 的距离为 2 3 ， 5
解析：依题意 an (an−1 + 2an+1) = 3an−1an+1 ，两边同时除以 an−1 ⋅ an ⋅ an+1 得
1 23 11 11
+ = ⇒ − = 2( − )
an+1 an−1 an
an+1 an
an an−1
，所以
1 − 1 = 2n−1
，
an an−1
1 =( 1 − 1 ) + ( 1 − 1 ) + + ( 1 − 1 ) + 1 =1 + 2 + 22 + + 2n−1 =2n −1，
A．－7 B．－3
C．2
D．3
适应性考试一理答第 2 页

2019年四川省成都市石室中学高考数学一诊试卷和答案(理科)

2019年四川省成都市石室中学高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|y＝}，集合B＝{y|y＝x，x＞0}，那么集合（∁U A）∩B＝（）A．∅B．（0，1]C．（0，1）D．（1，+∞）2．（5分）若向量，是非零向量，则“|+|＝|﹣|”是“，夹角为”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知等差数列{a n}中，前n项和S n，满足S7﹣S2＝35，则S9＝（）A．54B．63C．72D．814．（5分）已知双曲线C：＝1（b＞0），其焦点F到C的一条渐近线的距离为2，该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lnx+≥2B．当x＞0时，x＞lnxC．当x≥2时，x﹣无最小值D．当x≥2时，x+≥26．（5分）（）7的展开式中，常数项为14，则a＝（）A．﹣14B．14C．﹣2D．27．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）＝f（x﹣2），且当x∈（﹣2，0）时，f（x）＝log2（x+3）+a，若f（13）＝2f（7）+1，则a＝（）A．﹣B．﹣C．D．8．（5分）已知＝（cos22°，cos68°），＝（2cos52°，2cos38°）．则△ABC的面积为（）A．B．C．D．19．（5分）如图，已知底面为直角三角形的直三棱柱ABC﹣A1B1C1，其三视图如图所示，则异面直线B1A与A1C所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）＝3sin2x+cos2x，将f（x）图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，已知g（x）分别在x1，x2处取得最大值和最小值，则|x1+x2|的最小值为．（）A．B．C．πD．11．（5分）已知抛物线C：y＝ax2的焦点坐标为（0，1），点P（0，3），过点P作直线l 交抛物线C于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线，两切线交于点Q，则△QAB 面积的最小值为（）A．6B．6C．12D．1212．（5分）已知函数f（x）＝ax2+2bx﹣4a（a＞0），g（x）＝，且f（﹣2e）＞0，则方程f[g（x）]＝0的实数根的个数不可能为（）A．3B．4C．5D．6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝5x+y的最大值．14．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入x＝12，则输出y的值为．15．（5分）已知数列{a n}中，a n+1＝2a n﹣1，a1＝2，设其前n项和为S n，若对任意的n∈N*，（S n+1﹣n）k≥2n﹣3恒成立，则k的最小值为．16．（5分）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，ED⊥平面ABCD，FB⊥平面ABCD，且ED＝FB＝1，G为线段EC上的动点，则下列结论中正确的是①EC⊥AF；②该几何体外接球的表面积为3π；③若G为EC中点，则GB∥平面AEF；④AG2+BG2的最小值为3．三、解答题：共70分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝，a＝2，△ABC 的面积为，F为边AC上一点．（1）求c；（2）若CF＝BF，求sin∠BFC．18．（12分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面为菱形，已知∠DAB＝∠EAB＝60°，AD ＝AE＝2，DE＝．（1）求证：平面ABE⊥平面ABCD；（2）求直线AE与平面CED的所成角的正弦值．19．（12分）基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验．某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，结果如下表：（1）请在给出的坐标纸中作出散点图，并用相关系数说明可用线性回归模型拟合月度市场占有率y 与月份代码x 之间的关系；（2）求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2018年2月份的市场占有率；（3）根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，现有采购成本分别为1000元/辆和800元/辆的A ，B 两款车型报废年限各不相同．考虑到公司的经济效益，该公司决定先对两款单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：经测算，平均每辆单车每年可以为公司带来收入500元．不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且用频率估计每辆单车使用寿命的概率，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据．如果你是该公司的负责人，你会选择采购哪款车型？参考数据：，，．参考公式：相关系数＝，回归直线方程为其中：，．20．（12分）已知圆O1：（x+2）2+y2＝24，点O2（2，0），C为圆O1上任意一点，点P在直线O1C上，且满足，＝0，点P的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）若直线l：y＝kx+m（不与坐标轴重合）与曲线E交于M，N两点，O为坐标原点，设直线OM、ON的斜率分别为k1、k2，对任意的斜率k，若存在实数λ，使得λ（k1+k2）+k＝0，求实数λ的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝alnx﹣1，其中a≠0，g（x）＝x2﹣1，h（x）＝f（x）+g（x）．（1）若y＝2x﹣3是f（x）的一条切线，求a的值；（2）在（1）间的前提下，对任意的实数λ∈[1，2]，若存在正实数x1，x2，使得h（x1）+h（x2）＝λ（x1+x2），求x1+x2的最小正整数值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为：（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为：ρ＝6cosθ﹣8sinθ，直线C1与曲线C2交于A，B两点，（1）求曲线C2的普通方程及|AB|的最小值；（2）若点P（2，﹣1），求|P A|2+|PB|2的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+a|+1，（1）当a＝2时，解不等式f（x）+x＜2；（2）若存在a∈[﹣，1]，使得不等式f（x）≥b+|2x+a2|的解集非空，求b的取值范围．2019年四川省成都市石室中学高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：解lnx≥0得，x≥1；∴A＝[1，+∞）；∵x＞0；∴；∴B＝（0，+∞）；∴∁U A＝（﹣∞，1）；∴（∁U A）∩B＝（0，1）．故选：C．2．【解答】解：∵|+|＝|﹣|⇔||2+||2+2＝||2+||2﹣2⇔＝0，∵向量，是非零向量，∴＝0⇔⊥⇔，夹角为∴“|+|＝|﹣|”是“，夹角为”的充要条件．故选：C．3．【解答】解：∵等差数列{a n}中，前n项和S n，满足S7﹣S2＝35，∴a3+a4+a5+a6+a7＝5a5＝35，∴a5＝7，∴S9＝＝9a5＝63．故选：B．4．【解答】解：双曲线C：＝1（b＞0），其焦点F（0，）到C的一条渐近线y＝的距离为2，可得＝2，可得b＝2，a＝3，所以c＝，所以双曲线的离心率为：e＝．故选：A．5．【解答】解：当x＞1时，lnx＞0，可得lnx+≥2；当）＜x＜1时，lnx＜0，lnx+≤﹣2，故A错误；由y＝x﹣lnx的导数为y′＝1﹣，当x＞1时，函数y递增；当0＜x＜1时，函数y递减，可得函数y的最小值为1，即x﹣lnx≥1，即x＞lnx，故B正确；当x≥2时，x﹣递增，可得x＝2时，取得最小值，故C错误；当x≥2时，x+递增，可得最小值为，故D错误．故选：B．6．【解答】解：（）7的展开式的通项为．取，得r＝6．则，即a＝2．故选：D．7．【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（x+2）＝f（x﹣2），则有f（x+4）＝f（x），即函数的周期为4，故f（13）＝f（1），f（7）＝f（﹣1），若f（13）＝2f（7）+1，则有f（1）＝2f（﹣1）+1，又由函数f（x）为奇函数，则有﹣f（﹣1）＝2f（﹣1）+1，变形可得f（﹣1）＝﹣，又由当x∈（﹣2，0）时，f（x）＝log2（x+3）+a，则有log2（2）+a＝a+1＝﹣，解可得a＝﹣；故选：A．8．【解答】解：根据题意，＝（cos22°，sin22°），＝（2sin38°，2cos38°），有||＝1，||＝2，则•＝2（cos22°sin38°+sin22°cos38°）＝2sin60°＝可得cos A＝＝，则∠A＝30°则S△ABC＝||||sin∠A＝×故选：A．9．【解答】解：如图所示，可以将四三棱柱补形为长方体ABCD﹣A1B1C1D1，可得B1D∥A1C，则异面直线B1A与A1C所成角为∠DB1A，由三视图可知，，∴cos．即异面直线B1A与A1C所成角的余弦值为．故选：D．10．【解答】解：∵函数f（x）＝3sin2x+cos2x＝2（sin2x+cos2x）＝2sin（2x+），将f（x）图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得y＝2sin（x+）的图象；再向左平移个单位，得到函数g（x）＝2sin（x+）的图象．已知g（x）分别在x1，x2处取得最大值和最小值，∴x1+＝2kπ+k∈Z，x2+＝2nπ﹣n∈Z．则|x1+x2|＝|2kπ+2nπ﹣|，故当k+n＝0时，|x1+x2|取得最小值为，故选：B．11．【解答】解：物线C：y＝ax2的焦点坐标为（0，1），∴＝1，∴a＝，抛物线C：x2＝4y，设A（x1，x12），B（x1，x12），∵y＝x2，∴y′＝x，过点A的切线方程为y＝x1x﹣x12，过点B的切线方程为y＝x2x﹣x22，则两切线的交点为Q（，），由AB过点（0，3），设直线方程为y＝kx+3，由，消y可得x2﹣4kx﹣12＝0，∴x1+x2＝4k，x1x2＝﹣12，∴Q（2k，﹣3），∴|AB|＝•|x1﹣x2|＝•＝4•，∵点Q到直线AB的距离d＝∴S△QAB＝×4•×＝4（k2+3）≥12当k＝0时，此时面积最小，最小值为12，故选：C．12．【解答】解：设t＝g（x），则f（t）＝0，由题意知f（t）＝0有两个根t1，t2，且t1t2＝＝﹣4＜0，∵f（﹣2e）＞0，∴不妨设﹣2e＜t1＜0，则t2＝﹣＞，g′（x）＝，当x＜﹣3或x＞1时，g′（x）＜0，当﹣3＜x＜1时，g′（x）＞0，则在x＝﹣3时，g（x）取得极小值g（﹣3）＝﹣2e3，在x＝1处取得极大值g（1）＝，当x→﹣∞，f（x）→+∞，x→+∞，f（x）→0，则由图象知，当﹣2e＜t1＜0，＜t2＜时，方程g（x）＝t，有5个不同的解，当﹣2e＜t1＜0，t2＝时，方程g（x）＝t，有4个不同的解，当﹣2e＜t1＜0，t2＞时，方程g（x）＝t，有3个不同的解，即方程f[g（x）]＝0的实数根的个数为3或4或5，不可能是6个，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图，由图象可知：目标函数z＝5x+y过点A（2，2）时z取得最大值，z max＝12，故答案为：12．14．【解答】解：模拟程序的运行，可得当x＝12时，y＝5，此时|y﹣x|＝7；当x＝5时，y＝，此时|y﹣x|＝；当x＝时，y＝﹣，此时|y﹣x|＝；当x＝﹣时，y＝﹣，此时|y﹣x|＝＜1；故输出的y的值为：﹣．故答案为：﹣．15．【解答】解：由a n+1＝2a n﹣1，变形为：a n+1﹣1＝2（a n﹣1），a1﹣1＝1，∴数列{a n﹣1}是公比为2，首项为1的等比数列．∴a n＝1+2n﹣1．∴S n＝+n＝2n﹣1+n．∵对任意的n∈N*，（S n+1﹣n）k≥2n﹣3恒成立，∴k≥．令b n＝，则n＝1时，b1＝﹣＜0．n≥2时，b n＞0．b n+1﹣b n＝﹣＝，数列{b n}的前3项单调递增，从第3项开始单调递减．∴n＝3时，数列b n取得最大值，b3＝．故答案为：．16．【解答】解：以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，可得D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），F（1，1，1），E（0，0，1），即有＝（0，1，﹣1），＝（0，1，1），由•＝0+1﹣1＝0，可得EC⊥AF，故①正确；由球心在过正方形ABCD的中心的垂面上，即为矩形BDEF的对角线的交点，可得半径为＝，即有该几何体外接球的表面积为4π•＝3π，故②正确；若G为EC中点，可得G（，1，），＝（﹣，0，），＝（﹣1，0，1），＝（0，1，1），设平面AEF的法向量为＝（x，y，z），可得﹣x+z＝0，且y+z＝0，可设x＝1，可得一个法向量为（1，﹣1，1），由•＝﹣+＝0，可得⊥．则GB∥平面AEF，故③正确；设G（0，t，1﹣t）（0≤t≤1），AG2+BG2＝1+t2+（1﹣t）2+1+（1﹣t）2+（1﹣t）2＝4t2﹣6t+5＝4（t﹣）2+，当t＝时，取得最小值，故④错误．故答案为：①②③．三、解答题：共70分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵C＝，a＝2，△ABC的面积为＝ab sin C＝，∴解得：b＝2，…3分∴由余弦定理可得：c＝＝＝2， (6)分（2）∵由（1）可得a＝c＝2，∴A＝C＝，∠ABC＝π﹣A﹣C＝，…7分∵在△BCF中，由正弦定理，可得：sin∠CBF＝，∵CF＝，∴sin∠CBF＝，…9分∵∠CBF，∴∠CBF＝，…10分∴sin∠CBF＝sin（∠CBF+∠BCF）＝sin（+）＝sin cos+cos sin＝．…12分18．【解答】证明：（1）如图，过D作DO⊥AB，连结EO，∵∠DAB＝∠EAB＝60°，AD＝AE＝2，AO＝AO，∴△DAO≌△EAO，∴∠DOA＝∠EOA＝90°，DO＝EO＝，∵DE＝，∴DO2+EO2＝DE2，由勾股定理逆定理得∠DOE＝90°，∴DO⊥EO，∵DO⊥AB，AB∩EO＝O，AB⊂面ABE，EO⊂面ABE，∴DO⊥面ABE，∵DO⊂面ABCD，∴平面ABE⊥平面ABCD．解：（2）由（1）知DO⊥EO，DO⊥AB，EO⊥AB，如图，以O为坐标原点，分别以OE，OB，OD为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，由已知得E（，0，0），A（0，﹣1，0），D（0，0，），C（0，2，），∵＝（），＝（0，﹣2，0），＝（﹣，﹣1，0），设面CED的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，0，1），设直线AE与平面CED所成角为θ，则sinθ＝|cos＜＞|＝＝，∴直线AE与平面CED的所成角的正弦值为．19．【解答】解：（1）散点图如图所示＝（11+13+16+15+20+21）＝16，∴＝76，∴r＝≈0.96，所以两变量之间具有较强的线性相关关系，故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系．（2）＝＝2，又＝（1+2+3+4+5+6）＝3.5，∴＝﹣＝9，∴回归直线方程为＝2x+9，2018年2月的月份代码x＝7，∴y＝23，所以估计2018年2月的市场占有率为23%．（3）用频率估计概率，A款单车的利润X的分布列为：∴E（X）＝﹣500×0.1+0×0.3+500×0.4+1000×0.2＝350（元）．B款单车的利润Y的分布列为：∴E（Y）＝﹣300×0.15+200×0.4+700×0.35+1200×0.1＝400（元）以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，故应选择B款车型．20．【解答】解：（1）由|CP|＝|PO2|，可得|PO2|+|PO1|＝2＞4，则点P的轨迹是以O1O2为焦点的椭圆，则a＝，c＝2，∴b＝＝，则曲线E的方程为+＝1，（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），则，消y可得（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣6＝0，∴△＝36k2m2+4（1+3k2）（3m2﹣6）＝12（2﹣m2+6k2）＞0∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，∵λ（k1+k2）+k＝λ（+）+k＝λ（+）+k＝λ[2k+]+k＝当k＝0时，λ∈R，当k≠0时，λ＝＝，由于△＝12（2﹣m2+6k2）＞0对任意k恒成立，则m2＜2+6k2，∴0≤m2＜2，∴﹣≤λ＜0，综上所述λ∈[﹣，0）．21．【解答】解：（1）f（x）＝alnx﹣1的导数为f′（x）＝，设y＝2x﹣3与f（x）相切于（m，n），可得2m﹣3＝alnm﹣1，2＝，化为mlnm﹣m+1＝0，设F（x）＝xlnx﹣x+1，导数为F′（x）＝lnx，当x＞1时，F（x）递增；0＜x＜1时，F（x）递减，可得x＝1处F（x）取得最小值0，则m＝1，a＝2；（2）h（x1）+h（x2）＝λ（x1+x2），可得2lnx1x2+x12+x22﹣4＝λ（x1+x2），即（x1+x2）2﹣λ（x1+x2）﹣4＝2x1x2﹣2lnx1x2，设x1x2＝t＞0，令m（t）＝2t﹣2lnt，m′（t）＝2﹣，0＜t＜1时，m（t）递减；t＞1时，m（t）递增，可得m（t）≥m（1）＝2，即有（x1+x2）2﹣λ（x1+x2）﹣4≥2，设x1+x2﹣＝n＞0，n2﹣λn﹣6≥0对λ∈[1，2]恒成立，令φ（λ）＝﹣nλ+n2﹣6，﹣n＜0，φ（λ）在[1，2]递减，可得φ（λ）≥φ（2）＝n2﹣2n﹣6≥0，可得n≥1+（n≤1﹣舍去），由n为正整数，可得n的最小值为4，即x1+x2的最小值为4．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）∵曲线C2的极坐标方程为：ρ＝6cosθ﹣8sinθ，∴ρ2＝6ρcosθ﹣8ρsinθ，∴曲线C2的普通方程为x2+y2＝6x﹣8y，即（x﹣3）2+（y+4）2＝25．∵直线C1的参数方程为：（t为参数），直线C1与曲线C2交于A，B两点，∴|AB|最小时，圆心距最大为，∴|AB|的最小值为：2＝2．（2）设直线C1上点A，B对应参数方程（t为参数）的参数分别为t1，t2，将直线C1与C2方程联立方程，得：（t cosα﹣1）2+（t sinα+3）2＝25，∴t2﹣2t cosα+6t sinα﹣15＝0，∴t1+t2＝2cosα﹣6sinα，t1t2＝﹣15，∴|P A|2+|PB|2＝＝（2cosα﹣6sinα）2+30＝4cos2α+36sin2α﹣24sinαcosα+300＝34+16（1﹣cos2α）﹣12sin2α＝50﹣20sin（2α+γ）≤70（sin），当sin（2α+γ）＝﹣1时，取最大值70．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（1）当a＝2时，函数f（x）＝|2x+2|+1，解不等式f（x）+x＜2化为|2x+2|+1+x＜2，即|2x+2|＜1﹣x，∴x﹣1＜2x+2＜1﹣x，解得﹣3＜x＜﹣，∴不等式的解集为{x|﹣3＜x＜﹣}；（2）由f（x）≥b+|2x+a2|，得b≤|2x+a|﹣|2x+a2|+1，设g（x）＝|2x+a|﹣|2x+a2|+1，则不等式的解集非空，等价于b≤g（x）max；由g（x）≤|（2x+a）﹣（2x+a2）|+1＝|a2﹣a|+1，∴b≤|a2﹣a|+1；由题意知存在a∈[﹣，1]，使得上式成立；而函数h（a）＝|a2﹣a|+1在a∈[﹣，1]上的最大值为h（﹣）＝，∴b≤；即b的取值范围是（﹣∞，]．。

【全国百强校】四川省成都石室中学2019届高三上学期入学考试数学(理)试题

P K
2
a b c d a c b d
0.05 3.841 0.025 5.024
n ad bc
2
．

2
k0

0.10 2.706
0.010 6.635
0.005 7.879
0.001 10.828
k0
20.（本小题满分 12 分）如图 O 为坐标原点，圆 O : x 2 y 2 4, 点 F1( 3, 以线段 F1 M 为直径的圆 N 0), F2( 3, 0)，内切于圆 O，切点为 P，记点 M 的轨迹为曲线 C. （I）证明： | F1M | | F2 M | 为定值，并求曲线 C 的方程；（II）设 Q 为曲线 C 上的一个动点，且 Q 在 x 轴的上方，过 F2 作直线
1.设 z A． 0
1 i 2i ，则 | z | 1 i
B．
1 2
C． 1
D． 2
2.设集合 A x | y log 2 ( 2 x ) ，若全集 U A ， B x | 1 x 2，则 CU B A．
,1
B． ,1
C． 2,
18届涨100分学生达20人罗老师18215571552
周末班、寒暑假班、全日制、志愿填报、自主招生中学小班教学、一对一教学，针对性布局
书山有路勤为径优径皆在为学溪
认为直播答题模式可持续认为直播答题模式不可持续
360 240
280 120
(I)根据表格中的数据，能否在犯错误不超过 0.5% 的前提下，认为对直播答题模式的态度与性别有关系？ (II)随着答题的发展，某平台推出了复活卡，每期游戏中回答错误后自动使用复活卡复活，即默认此题回答正确，并可接着回答下一题，但一场仅可使用一次.已知某网友拥有复活卡，在某期的答题游戏中，前 8 个题都会，第九题到第十二题都不会，他选择从三个选项中随机选择一个选项.求该网友本场答题个数 X 的分布列，并求该网友当期可平分奖金的概率. 参考公式： K 临界值表：

成都石室中学高2019届三诊模拟考试-数学理科试题答案

石室中学高2019届2018~2019学年三诊模拟考试数学参考答案（理科）1-5.DCDAA 6-10.CABCD 11-12.BC13.12-. 14． 14425. 15.17. 解：（Ⅰ）由题意知， 34ADC π∠=，AD = 由正弦定理得sin sin AD AC C ADC=∠……………………………………………2分所以1sin 2C =，因为C 为锐角，所以6C π=………………………….4分所以sin sin()464BAC ππ∠=+=…………………………………6分（Ⅱ）因为3BD CD =，所以ACD ∆面积14ACD ABC S S ∆∆=设,AB x BC y ==，所以1142216ACD S xy xy ∆=⋅⋅=，…………………..8分在ABC ∆中，由余弦定理2242x y xy +=≥，所以 4xy ≤=+x y =时，xy 最大值是4+………………11分所以ACD ∆面积的最大值为14)164=……………………………12分 18. 解：(1)如图，连接CA 交BQ 于F ,//AP 面MQB ,又面MQB ⋂面PAC MF =,AP ⊆面//PAC MF AP ⇒， ………………………3分又//AQ BC BCDQ =⇒为平行四边形，F ⇒平分AC M ⇒平分,PC 12PM PC =；…………5分(2)如图，以Q 为坐标原点O ,,,OA OB OP 分别为轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系o xyz -,则有x(0,0,0),(1,0,0),(O A B C-P ;则面BQC 的法向量为：1(0,0,1),n =过M 作MH QC ⊥交QC 于H ,作HE QB ⊥交QB 于E ,060MEH ∠=为二面角M BQ C --的平面角，设,,EH a MH ==由0,130,CD OB BC COB ===⇒∠=2,QH a ∴=,MH PQ ==2,CH a ∴=42CB a ∴==,12a ∴=,H ∴平分QC , M ∴平分PC ,…………………………………8分1(2M ∴-(AB ∴=-,1(,2CM =, 设ABM 的法向量为2(,,),n x yz =则22003002x n AB n AM x y z ⎧-=⎧⋅=⎪⎪⇒⇒⎨⎨⋅=-+=⎪⎪⎩⎩2(3,1,2),n =………………………10分2(|cos|14CM n ∴<⋅>== 故CM 与平面ABM ………………………12分19. 解：（Ⅰ）由题知用A 配方生产的产品为二级品的概率为25，用B 配方生产的产品为二级品的概率为14，所以恰好抽到3件二级品的概率22112222222132319()()()()544554100P C C C C =⋅⋅+=； ……………..5分（Ⅱ）A 配方生产的产品的分布列为： B 配方生产的产品的分布列为：∴A 配方生产的产品平均利润率2()20.6E A t t =+…………………..7分∴B 配方生产的产品平均利润率2() 1.30.7E B t t =+………………………..9分∴2()()0.70.10.1(71)E A E B t t t t -=-=-综上，当10,()()7t E A E B <<<，投资B 配方产品平均利润率较大；当1,()()7t E A E B ==，投资A 配方和B 配方产品平均利润率一样大； 11,()()75t E A E B <<>，投资A 配方产品平均利润率较大……………………………..12分 20．【答案】(1)2212x y +=；【解析】(1)22222,c a b c ==+ 221a b ∴=+设(,)A A A x y，由对称性可知12OA BA == A A x y =223A A x x ∴=⇒=即A .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分将A 代入椭圆方程222211x y b b +=+422232(1)(32)0b b b b ⇒--=-+= 221,2b a ∴==，∴椭圆C 的方程为2212x y +=.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分 (2) 设直线:(0)l y kx b b '=+≠，1122(,),(,)M x y N x y 联立方程2212x y y kx b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 可得222(12)4220k x kbx b +++-=因为有两个交点，即22222(4)4(12)(22)88160kb k b b k ∆=-+-=-+>2212b k ⇒<+① 由韦达定理12221224122212kb x x k b x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，121222()212b y y k x x b k ∴+=++=+⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分 PM PN =即P 为MN 的中点，P ∴的坐标为222(,)1212kb b P k k -++ P 在y x =上222112122kb b k k k -∴=⇒=-++⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分将12k =-代入①可得232b ⇒<12MN x =-，O 到直线l '的距离为o MN d-1122MON o MN S MN d -∴=⋅⋅=23b =23(0)2b <<⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分∴当234b =，即b =时， MON ∆．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分 21. 解析：（Ⅰ）当4a =时，()84x f x xe x =-+，(1)4f e =-，()8x x f x xe e '=+-，(1)28f e '=-，所以切线方程为(4)(28)(1)y e e x --=--，即(28)4y e x e =--+⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分（Ⅱ）因为2()()()(2)(1)x h x f x g x x e a x =-=-+-，所以()(1)(2)x h x x e a '=-+.①当0a >时，()h x 在(1,)+∞上单调递增，在(,1)-∞上单调递减.因为(1)0,(2)0h e h a =-<=>，所以()h x 在(1,)+∞上有且只有一个零点.下面考虑()h x 在(,1)-∞上零点的情况（考虑到()h x 中含有x e ,为了化简()h x ，所以想到ln 2a ），取b ，使0b <，且ln 2a b <，则223()(2)(1)()022a hb b a b a b b >-+-=->，即()h x 有两个不同的零点.⋯⋯6分 ②当0a =时，()(2)x h x x e =-，此时()h x 只有一个零点. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分③当0a <时，令()0h x '=，得1x =或ln(2)x a =-.（i ）当2e a =-时，()(1)(),()0x h x x e e h x ''=--≥恒成立，所以()h x 在R 上单调递增. ⋯⋯⋯⋯8分（ii ）当2e a >-时，即ln(2)1a -<，当ln(2)x a <-或1x >时，()0h x '>；当ln(2)1a x -<<时，()0h x '<，所以()h x 在(,ln(2))a -∞-和(1,)+∞上单调递增，在(ln(2),1)a -上单调递减. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分（iii ）当2e a <-时，即ln(2)1a ->，当1x <或ln(2)x a >-时，()0h x '>；当1ln(2)x a <<-时，()0h x '<，所以()h x 在(,l)-∞和(ln(2),)a -+∞上单调递增，在(1,ln(2))a -上单调递减. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分当0a <时，因为(1)0h e =-<，22(ln(2))(2)[ln(2)2][ln(2)1][(ln(2)2)1]0h a a a a a a a -=---+--=--+<，所以无论上述（i ）（ii ）（iii ）哪一种情况，()h x 都没有两个零点，不符合题意.综上，a 的取值范围是(0,)+∞.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．【答案】(1)221x y +=； (2) 1.【解析】(1)将直线,l l 12的参数方程化一般方程，分别为:()l y k x 1=+1①， :()l y x k21=--1② ················································ 2分 ①⨯②消去k 可得：221x y +=,即P 的轨迹方程为：221x y +=. ·························· 5分(2) 设,M N 的极坐标分别为(,)3M M πρ,(,)3N N πρ曲线C 的极坐标方程为1ρ=，∴1M ρ= ······················································ 7分将()03πθρ=≥2N ρ= ···························· 9分 ∴由极坐标的几何意义可得1N M MN ρρ=-=． ············································ 10分23．解析：（Ⅰ）当2a =时，26,2,()|4|2,24,26, 4.x x f x x x x x -+≤⎧⎪+-=<<⎨⎪-≥⎩当2x ≤时，由()4|4|f x x ≥--得264x -+≥，解得1x ≤；当24x <<时，()4|4|f x x ≥--无解；当4x ≥时，由()4|4|f x x ≥--得264x -≥，解得5x ≥；所以()4|4|f x x ≥--的解集为{|1x x ≤或5}x ≥.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分（Ⅱ）记()(2)2(),h x f x a f x =+-则2,0,()42,0,2,.a x h x x a x a a x a -≤⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩由|()|2h x ≤，解得1122a a x -+≤≤. 又已知|()|2h x ≤的解集为{|12}x x ≤≤，所以11,21 2.2a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，于是解得3a =. ⋯⋯⋯⋯⋯10分。

2019届四川省成都石室中学高三适应性考试数学理科试题

成都石室中学高2021届高考适应性测试〔、选择题1 .集合 A= x|0 x2 ,B={ 1,0,1,2},那么 A B=〔〕 A. 0,2 B. 0,1,2C. -1,2【答案】B 【解析】【分析】根据交集的定义,即可求解.【详解】由于 A {x|0 x 2}, B 1,0,1,2 ,那么 AI B 0,1,2 , 应选：B . 【点睛】此题考查集合间的运算,属于根底题.. .. ...... ....... . (2)2.设i 为虚数单位,那么复数 z ——在复平面内对应的点位于〔〕1 iA.第一象限B.第二象限C.第三象限【答案】A 【解析】【分析】利用复数的除法运算化简 z,求得z 对应的坐标,由此判断对应点所在象限2 2 1 i【详解】Q z —— ------------------- 1 i, 对应的点的坐标为 1,1 ,1 i 1 i 1 i应选：A.【点睛】本小题主要考查复数除法运算,考查复数对应点所在象限,属于根底题、一,,5 …3 .计算log 2 sin —cos ——等于〔〕4 3利用诱导公式、特殊角的三角函数值,结合对数运算,求得所求表达式的值A.3 B.— 2C.2 D.—3〕数学试卷〔文科〕D. —1,0,1D.第四象限位于第一象限【详解】原式 log 2 -- cos 2— log 2 cos - 23 23应选：A【点睛】本小题主要考查诱导公式,考查对数运算,属于根底题4 .党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能社会化平台与他人共享,进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活泼度的影响,在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济比照试验,根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图,最【答案】D 【解析】根据四个列联表中的等高条形图可知,图中D 中共享与不共享的企业经济活泼度的差异最大, 它最能表达共享经济对该部门的开展有显著效果,应选5 .在长方体 ABCD A 1B 1C 1D 1 中,AB 1, AD亚,AA J 3,那么直线DD 1与平面ABC 1所成角的余弦值为〔〕能表达共享经济对该部门的开展有显著效果的图形是〔1O KK QiUa ¥«*布事声串D.3血2 2.共享经济是公众将闲置资源通过D.D.【解在长方体中AB / /C 1D 1,得DD i 与平面ABC i 交于D 1,过D 做DO A 〕于O ,可证DO 平面ABCR , 可得 DD i A 为所求解的角,解 Rt ADD/即可求出结论.【详解】在长方体中 AB//C 1D 1,平面ABC 1即为平面ABC 1D 1, 过 D 做 DO AD i 于 O , Q AB 平面 AA i D i D ,DO 平面 AAD i D, AB DO, AB I AD i D,DO 平面ABC i D i , DD i A 为DD i 与平面ABC i 所成角,在 Rt ADD i ,DD i AA V 3, AD V 2, AD i 展,DD i 「3 .i5cos DD i A ---------- -=. ------------AD i .5 5【点睛】此题考查直线与平面所成的角,定义法求空间角要表达“做〞 “证〞 “算〞,三步骤缺一不可, 属于根底题6 .执行下面的程序框图,假设输出的 S 的值为63,那么判断框中可以填入的关于 i 的判断条件是〔直线DD i 与平面ABC i 所成角的余弦值为应选：C.B. iC. i 7D. i 8【解析】【分析】根据程序框图,逐步执行,直到S的值为63,结束循环,即可得出判断条件【详解】执行框图如下:初始值: 0,i 1,第一步: 1,i 2 ,此时不能输出,继续循环;第二步: 3,i 3,此时不能输出,继续循环;第三步: 7,i 4 ,此时不能输出,继续循环;第四步: 15,i 5,此时不能输出,继续循环;第五步: 15 16 31, i 1 6 ,此时不能输出,继续循环;第六步: 31 32 63, i 1 7 ,此时要输出, 结束循环;故,判断条件为i6.应选B【点睛】此题主要考查完善程序框图,只需逐步执行框图,结合输出结果, 即可确定判断条件,属于常考题型.7. r r 一一…’•平面向量a,b满足a=2,b=1,a与b 夹角为2 「,r一,且(a+3b) (2a— b),那么实数的值为()A. 7B. 3C. 2D. 3【解析】【分析】由可得r2a 0 ,结合向量数量积的运算律,建立方程,求解即可.【详解】依题意得2 cos一r2a 0,r2得2a3r2b 3.应选：D .【点睛】此题考查向量数量积运算,向量垂直的应用, 考查计算求解水平,属于根底题8.三棱柱ABC AB1c l的6个顶点都在球O的球面上.假设AB3, AC 4, AB AC,A. X 一24 B.37x —24 C. x1724D. X1324【分析】定正确选项【详解】由题可知2sin 2 -0,12人 5令 2x - - k ,k Z , 12 2 /口 k 倚 x — —, k Z24 237令k 3,得x 3— 24应选：B【点睛】本小题主要考查根据三角函数图象上点的坐标求参数,考查三角恒等变换,考查三角函数对称轴的求法,属于中档题.10.F 为抛物线C : y 2 8x 的焦点,点A 1,m 在C 上,假设直线 AF 与C 的另一个交点为 B ,那么AB ()【答案】C 【解析】【分析】求得A 点坐标,由此求得直线 AF 的方程,联立直线 AF 的方程和抛物线的方程,求得 B 点坐标,进而求得AB【详解】抛物线焦点为 F 2,0,令x 1 , y 28 ,解得y2%/2 ,不妨设A 1,2行,那么直线AF 的方程为 y 2 x 22V2 x 2,由,2 2石*x 2 ,解得 A 1,2^2 , B 4, 4 V 2 ,所以1 2y 28xAB J 4 1 24& 2& 29.应选：C【点睛】本小题主要考查抛物线的弦长的求法,属于根底题^由点—,0求得12的值,化简f x 解析式,根据三角函数对称轴的求法,求得f x 的对称轴,由此确所以 f x sin 2x cos 2x 一6 672 sin 2x 一 —6 4\ 2 sin 2x12A. 12B. 10C. 9D. 811.过点P〔2强276〕的直线l与曲线y 713 x2交于A,B两点,假设uur uuu2PA 5AB ,那么直线l的斜率为A. 2 3B. 2 .3C. 2 .,3或2 .3D. 2【解析】【分析】利用切割线定理求得PA , AB,利用勾股定理求得圆心到弦AB的距离,从而求得APO 30 ,结合POx 45°,求得直线l的倾斜角为15°,进而求得l的斜率.【详解】曲线y .,桁口为圆X213的上半局部,圆心为0,0 ,半径为而.设PQ与曲线y J13~X2相切于点Q,_ 2那么PQ PA PB PA PA 所以|PA 5, AB| 2, AB7一PA5PO OQ 35.到弦AB的距离为.3 1 2.3, sin APO 2、3 2,3OP广厂一,所以APO 30 ,由于2.6 2 2POx 45°,所以直线l的倾斜角为45°30°15°,斜率为tan15°tan 45°30°tan 45°tan30°1 tan 45°tan30°2 3.应选：A【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系,考查数形结合的数学思想方法,属于中档题 12.假设函数f x mx 2 e x 〔e 2.71828…为自然对数的底数〕在区间1,2上不是单调函数,那么实数m 的取值范围是 A. 一,2 5 10B. 5 10 2, 3C.2130c 10 D. 2,一3求得f x 的导函数f ,由此构造函数 2 m x 2 m,根据题意可知g x 在〔1,2〕上有变号零点.由此令g 0 ,利用别离常数法结合换元法, 求得 m 的取值范围.2 m, x 在区间1,2上不是单调函数, 在〔1,2〕上有变号零点,令 0, 那么 x 22x2,3 ,那么问题即m1 _在t1t 2,3上有零点,由于t -在2,3上递增,所以m 的取值t范围是52应选：B【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性,考查方程零点问题的求解策略,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题 .二、填空题6 4 2 313.在1 x 1 y 的展开式中,x2y3的系数为 .【答案】60【解析】【分析】根据二项展开式定理,求出(1 x)6含x2的系数和(1 y)4含y3的系数,相乘即可.6 4【详解】1 x 1 y的展开式中,所求项为：c2x2C：y3.4x2y360x2y3,2x2y3的系数为60.故答案为：60.【点睛】此题考查二项展开式定理的应用,属于根底题^14.矩形ABCD , AB= 4 , BC =3 ,以A, B为焦点,且过C, D两点的双曲线的离心率为【答案】2【解析】【分析】根据A,B为焦点,得c 2；又AC| |BC 2a求得a ,从而得到离心率.【详解】A, B为焦点2c 4 c 2C在双曲线上,那么AC BC 2a又AC J AB2 BC25 2a 2 a 1e c 2a此题正确结果：2【点睛】此题考查利用双曲线的定义求解双曲线的离心率问题,属于根底题^15 .函数f(x) e x e x1,那么关于x的不等式f (2x) f (x 1) 2的解集为…1【答案】(,) 3【解析】【分析】判断g x f x 1的奇偶性和单调性, 原不等式转化为g 2x > 0 x 1 g x 1 ,运用单调性, 可得到所求解集. 【详解】令g x f x 1 ,易知函数g x 为奇函数,在 R 上单调递增,f 2x f x 12 f 2x 1 f x 1 1 >0,即 g 2x g x 1 >0,. . g 2x > g x 1 g x 112x> x 1 ,即 x> 一3,1故答案为一,3【点睛】此题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式,考查转化思想和运算水平,属于中档题. __ ____ ,一 1 .16 .数列 a n 满足a 1 1,a 2—对任意n 2,n N * ,假设a na n1 2a n13a nd 〔,那么数列 a n 的3通项公式a n .【解析】【分析】 ,八八1 1〜11、 …生——一由a n a n 1 2a n 13a n 1a n 1可得 ------ ---- 2( ------------- ),利用等比数列的通项公式可得a n 1 a n a n a n 11 1 1 1——2,数列｛—— —｝是等比数列,首项为 2,公比为2, a 2 a 1 a n 1 a na n 11 a n2n ,再利用累加法求和与等比数列的求和公式, 即可得出结论【详解】由1a n a n 1 2a n 13a n 1a n 1 ,得一 a n 1a n2(i—)a n 1【点睛】此题考查数列的通项公式,递推公式转化为等比数列是解题的关键,利用累加法求通项公式,属于中档题.三、解做题17.在国家“群众创业,万众创新〞战略下,某企业决定加大对某种产品的研发投入 .为了对新研发的产品进变量x,y 且有线性负相关关系,现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得回归直线方程分别为：甲y 4X 53 ；乙$ 4x 105；丙§ 4.6X 104,其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的.(1)试判断谁的计算结果正确？(2)假设由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过 1,那么称该检测数据是“理想数据〞,现从检测数据中随机抽取 3个,求“理想数据〞的个数 X 的分布列和数学期望. 【答案】(1)乙同学正确3(2)分布列见解析, E X -2a no n2, n 2,— a na n 1n n 12,1 a n 1) a n 11 1 ( ------------- )a n 1 a n 2 a 2 a 12n 12n 21 2n2nn 1,— 1 ,满足上式, a 11 2n 1故答案为1 2n 1【分析】〔1〕由可得甲不正确,求出样本中央点〔X,］〕代入验证,即可得出结论；〔2〕根据〔1〕中得到的回归方程,求出估值,得到“理想数据〞的个数,确定“理想数据〞的个数X 的可能值,并求出概率,得到分布列,即可求解 ^【详解】〔1〕变量x,y 具有线性负相关关系,故甲不正确,Q X 6.5,y 79,代入两个回归方程,验证乙同学正确,故回归方程为：$ 4x 105〔2〕由〔1〕得到的回归方程,计算估计数据如下表:“理想数据〞有3个,故“理想数据〞的个数X 的取值为：0,1,2,3 .c °C 31C 2斗工P X 1CC 3旦C 6320 'C 3 2021 3 0P X 2 外—P X 1 瞪C 3 20 'C 3于是“理想数据〞的个数 X 的分布列,以及离散型随机变量的分布列和期望,意在考查逻辑推理、数学计算水平,属于中档题1 202092020 20.................................... . ― 3 — — — ____ 1 18 .在平面四边形 ABCD 中, ABC ——,AB AD, AB 1,VABC 的面积为一.42(1)求AC 的长;(2)CD 画, ADC 为锐角,求tan ADC . 2【答案】(1)有；(2) 4. 【解析】【分析】tan ADC 4(1)利用三角形的面积公式求得BC ,利用余弦定理求得 AC .(2)利用余弦定理求得 cos CAB,由此求得sin DAC ,进而求得sinADC,利用同角三角函数的基本关系式求得tan ADC .(1)在V ABC 中,由面积公式:S V ABCAB BC sin ABC BCBC在V ABC 中,由余弦定理可得:AC AB BC22 AB BC cos ABC 5AC 75(2)在VABC 中,由余弦定理可得:cos CABABAC |2 |BC2|AB | |BC |2.5 5sin DAC sin( DAB CAB)sinCAB2sin DAC〜r 2 -5 cos CAB----------------------5在VADC 中, 由正弦定理可得：ACCDsin ADC sin DAC 'sin ADC4<17 17Q ADC 为锐角cos ADC .1 sin 2ADC.17 17【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形,考查三角形面积公式,考查同角三角函数的根本关系式,属于中档题.19 .如图,在四面体DABC中,AB BC, DA DC DB.〔1〕求证：平面ABC 平面ACD ；〔2〕假设CAD 30 ,二面角C AB D为60°,求异面直线AD与BC所成角的余弦值.【答案】〔1〕证实见解析⑵31 6 【解析】【分析】〔1〕取AC 中点F,连接FD,FB ,得DF AC, AB BC ,可得FA FB FC, 可证VDFA^VDFB ,可得DF FB ,进而DF 平面ABC ,即可证实结论；〔2〕设E,G,H 分别为边AB,CD,BD 的中点,连DE,EF ,GF , FH ,HG ,可得GF//AD ,GH //BC,EF//BC ,可得FGH 〔或补角〕是异面直线AD与BC所成的角,BC AB ,可得EF AB, DEF为二面角C AB D的平面角,即DEF 60°,设AD a,求解FGH ,即可得出结论.【详解】〔1〕证实：取AC中点F,连接FD,FB ,由DA DC,那么DF AC,Q AB BC,那么FA FB FC ,故VDFA^VDFB, DFB DFA 一,2Q DF AC, DF FB, AC FB F 二• DF 平面ABC ,又DF 平面ACD ,故平面ABC 平面ACD(2)解法一：设G,H 分别为边CD, BD 的中点,那么 FG //AD,GH //BC ,FGH (或补角)是异面直线 AD 与BC 所成的角.设E 为边AB 的中点,那么EF//BC, 由 AB BC,知 EF AB . 又由〔1〕有DF 平面ABC, DF AB,EFI DF F,AB 平面 DEF, DE AB.,所以 DEF 为二面角C AB D 的平面角, DEF设 DA DC DB a,那么 DF AD CAD -2在RtADEF 中,EF a 旦旦a2 36从而 GH -BC EF —a 26「 1又 FG -AD2从而在VFGH 中,因FG FH ,12GH 近 FG 6在 RtVBDF 中,FH -BD60°,cos FGH因此,异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为解法二：过点F 作FM AC 交AB 于点M ,8A,C,D 的坐标分别为A(0, 73,0),C(0,73,0), D 0,0,1二面角C AB设B m, n,0 ,那么muur3,AB (m,n 、.3,0) r设平面ABD的法向量为n x,y,z , uuiv v 皿AD n 那么uuiv vAB n mx n二1一3r r cosk,n uur r ik nl -r-r-k n由上式整理得9n22、3n 解之得n 囱〔舍〕或n4.6 7.3 八----- , ------ ,09 9cos juuruurrAD,CBHJLTAD41321 0 ,uuuCBJJJCBjuir uurAD CB4.692,30----- ,0 ,92—3-c 2 32 -------由〔1〕易知FC,FD,FM两两垂直,以F为原点,射线FM , FC,FD分别为x轴,y轴, z轴的正半轴,建立空间直角坐标系 F xyz. 不妨设AD 2,由CD AD, CAD易知点juur那么AD(0, ,3,1)r显然向量k 0,0,1 是平面ABC的法向量因此,异面直线 AD 与BC 所成角的余弦值为 31.【点睛】此题考查空间点、线、面位置关系,证实平面与平面垂直,考查空间角,涉及到二面角、异面直线所成的角,做出空间角对应的平面角是解题的关键,或用空间向量法求角,意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算水平,属于中档题2 - 、1(a> b>0)的左,右焦点,点P( 1,—)在椭圆E 上,且抛物线b 222y 4x 的焦点是椭圆E 的一个焦点.(1)求a , b 的值：uuuv uuuvD 两点,当F 1A F 1B 1时,求^ F i CD 的面积.【解析】【分析】(1)由根据抛物线和椭圆的定义和性质,可求出(2)设直线i 方程为x ty 1,联立直线与圆的方程可以求出t 2,再联立直线和椭圆的方程化简,由根与系数的关系得到结论,继而求出面积.【详解】(1) y 2= 4x 焦点为 F (1, 0),那么 F 1 (1 , 0), F 2 (1, 0),2a= PF 1 + PF 2 =2五,解得 a 衣,c=1, b = 1,(n)由,可设直线l 方程为x ty 1, A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)2X20.F i, F 2分别是椭圆E ： -2 a (2)过点F 2作不与x 轴重合的直线l ,设l 与圆x 222_ 2 .y a b 相交于A, B 两点,且与椭圆 E 相交于C,【答案】(1) a夜,b 1 ； (2)迤 7x= ty 1 联立 x 22 ,得(t 2+2) y 2+2ty-1 =0 , △= 8(t 2+1) >0—y =1 21,8 3 _ 4 . 6 ----------- ------- 77 3【点睛】此题主要考查抛物线和椭圆的定义与性质应用,同时考查利用根与系数的关系,解决直线与圆, 直线与椭圆的位置关系问题.意在考查学生的数学运算水平.a 2 _ ____21.函数f x xlnx - x x, a R, e 2.71828 是自然对数的底数2(1)假设a e,讨论f x 的单调性；(2)假设f x 有两个极值点x,x 2,求a 的取值范围,并证实：x 1x 2 x 1 x 2. 公一 ,、口 c 1 2 、口 1 -1…【答案】(1)减区间是 0,-,增区间是一,；(2)0,-,证实见解析.eee【解析】【分析】'''(1)当a e 时,求得函数f x 的导函数f x 以及二阶导函数 f x ,由此求得f x 的单调区间2t x ty 122联立 22 得(t 1)y 2ty 2 0 ,易知△> 0,那么x y 3 y i y 2 t 2+iy 〔y 22 p+1uuuz uuv F i A F i B=(x i1)(x 21) y 1y 2= (ty i +2)(ty 2+2)+y 1y 2=(t 2 +1)/ 、 2-2t 2y 1y 2 + 2t (y i +y 2)+4=- t +1uuu uuu 由于F 1A F 1B1,所以孕_ = 1,t 2+ 1解得t 2= 13设C9芈),B(x 4, y 4),那么丫3+丫42t t 2+2 y 3 y 4=i t 22S F 1CDIn xIn x ……,,,---,构造函数g x -利用导数求得 g x 的单调区间、极值和最值,结合f x 有两个极值点,求得 a 的取值范围.将x,x 2代入f x lnx ax 列方程组,由0,一一 1又f" x - e 0 ,所以f x 在〔0,〕单增, x 一, 「一从而当x 0,-时,f ' x 0, f x 递减,e,1 , .............当x -, 时,f x 递增.e1 ln x2x故g x 在0,e 递增,在〔e,〕递减,1所以g x m g e —.注意到当x 1时g x 0 , e 所以当a 0时,f x 有一个极值点,1 .当0 a -时,f x 有两个极值点,.. 1 , • ............ 当a —时,f x 没有极值点, C 1综上a 0,- e由于x,x 2是f x 的两个极值点,不妨设x x 2,得1x 1e x 2,(2)令 f (x )= 0求得 a ln x i x 2 lnx 2 ------------- --------- a ln x 1x 2 x x 2 x 2x 1 x 2证彳x x 1 x 2 x 1 x 2.【详解】〔1〕 Q f' xlnx ax lnx ex,(2) f x lnx ax .令 f ' x 0ln xln x 所以ln 斗 ln x 2 a% 0 ax 2 0ln % a4 ln x 2 ax 2由于g x 在(e,)递减,且X i X 2 X 2,m 、Jn x i X 2lnx 2 In X i X 2所以 ---------- ------ 2------------------------aX 1 X 2X 2X 1 X 2In x 1 x 2 In x 1x 2 所以 ---------- ----------- X 1X 2X 1 x 2X i X 2X iX 2【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间,考查利用导数研究函数的极值点,考查利用导数证实不等式,考查化归与转化的数学思想方法,属于难题^22.在平面直角坐标系 xOy 中,直线I i 的倾斜角为30°,且经过点A 2,1 .以坐标原点.为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线I 2： cos 3,从原点.作射线交I 2于点M 点N 为射线OMk 的点,满足OM ON i2,记点N 的轨迹为曲线C.(I)求出直线Ii 参数方程和曲线 C的直角坐标方程;又 In % In X 2a X 1 X 2In x 1x 2 x 1 x 2(n)设直线I i与曲线C交于P, Q两点,求AP AQ值.21t24x(I)直接由写出直线即p= 4cos 0,然后化为普通方(n)将Ii的参数方程代入|AP|?|AQ| 的值.【详解】(I )直线Ii的参数数方程,直角坐标万程得到关于t的o30°, (t为参数)工可得0 x 0 . ； ( n) 3.,小(P1, 91),P1>0)t的几2y为y 1(t为参数),X2,t i t 2=-3 , |AP|?|AQ|=|t i t 2|=|-3|=3 .【点睛】此题考查简单曲线的极坐标方程,考查直角坐标方程与直角坐标方程的互化,练习了直线参数方程中参数t 的几何意义的应用,是中档题.的范围.当2 x 4时,原不等式等价于 x 2 x 4 3x,解得x 2,所以2 x 4综上所述,不等式解集为 2,Jt21 t2 (t 为参数).设 N (p, 9) , M (p 1,.1), (p > 0, p 1>0),P1P 12那么9 01,即P 3 一一 ------ 12 ,即 p =4cos 0 , cos 0,曲线C 的直角坐标方程为 x 2-4x+y 2=0 (xw 0).(D) 将l i 的参数方程代入 C 的直角坐标方程中,得(2 餐 2 4 2 “1 卡..即t 2 —t 3 0, t 1, t 2为方程的两个根, 223.函数 f(x) |X 2| |x 4|.(1)求不等式 f(x) 3x 的解集;(2)假设 f(x) 1|对任意x R 恒成立, k 的取值范围.【答案】(1) 2, ；(2) ,2(1)通过讨论x 的范围,分为x 4, 2, x 4三种情形,分别求出不等式的解集即可;(2)通过别离参数思想问题转化为 ,根据绝对值不等式的性质求出最值即可得到 k【详解】(1)当x 4时,原不等式等价于 4 3x, 解得x 2 ,所以x 4,当x 2时,原不等式等价于 x 2 x 4 3x, 解得x 2 ,所以此时不等式无解, 5(2)由f X由于1时, 1时, 1x31当且仅当1所以k 2 ；0恒成立,所以4或XW 2时,等号成立,综上k的取值范围是,2 .【点睛】此题考查了解绝对值不等式问题,考查绝对值不等式性质以及分类讨论思想,转化思想,属于中档题.。

2019届四川省成都石室中学高三12月一诊模拟数学(理)试题(解析版)

2019届四川省成都石室中学高三12月一诊模拟数学（理）试题一、单选题1．已知全集，集合，集合，那么集合（）A．[0,1）B．C．D．【答案】C【解析】可以求出集合A，B，然后进行补集、交集的运算即可．【详解】解得，；；；；；；．故选：C．【点睛】考查对数函数和幂函数的单调性，描述法、区间的定义，以及交集和补集的运算．2．若向量，是非零向量，则“”是“，夹角为”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据充分条件和必要条件的定义结合向量的运算进行判断即可．【详解】，向量，是非零向量，，夹角为“”是“，夹角为”的充要条件．故选：C．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量的运算是解决本题的关键．3．已知等差数列中，前n项和，满足，则（）A．54 B．63 C．72 D．81【答案】B【解析】利用等差数列前n项和公式得，求出，再由，能求出结果．【详解】等差数列中，前n项和，满足，，，．故选：B．【点睛】本题考查等差数列的前9项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．对于等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.4．已知双曲线C：，其焦点F到C的一条渐近线的距离为2，该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】求出双曲线的焦点坐标以及双曲线的渐近线方程，然后利用已知条件求解即可．【详解】双曲线C：，其焦点到C的一条渐近线的距离为2，可得，可得，，所以，所以双曲线的离心率为：．故选：A．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程以及离心率求法，考查计算能力．双曲线的离心率问题，主要是有两类试题：一类是求解离心率的值，一类是求解离心率的范围．基本的解题思路是建立椭圆和双曲线中的关系式，求值问题就是建立关于的等式，求取值范围问题就是建立关于的不等式．5．下列结论正确的是（）A．当且时，B．当时，C．当时，无最小值D．当时，【答案】B【解析】讨论，，结合对数的性质，以及基本不等式可判断A；由的导数，判断单调性和最小值，可判断B；由当时，递增，可判断C；由当时，递增，可判断D．【详解】当时，，可得；当时，，，故A错误；由的导数为，当时，函数y递增；当时，函数y递减，可得函数y的最小值为1，即，即，故B正确；当时，递增，可得时，取得最小值，故C错误；当时，递增，可得最小值为，故D错误．故选：B．【点睛】本题考查函数的最值求法，注意运用基本不等式和导数判断单调性，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题．6．的展开式中，常数项为14，则A．B．14 C．D．2【答案】D【解析】写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r值，再由常数项为14求得a 值．【详解】的展开式的通项为．取，得．则，即．故选：D．【点睛】本题考查二项式定理及其应用，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.7．已知定义在R上的奇函数满足，且当时，，若，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据题意，分析可得函数的周期为4，进而可得，，据此可得，则有，结合函数的周期性可得，结合函数的解析式可得答案．【详解】根据题意，函数满足，则有，即函数的周期为4，故，，若，则有，又由函数为奇函数，则有，变形可得，又由当时，，则有，解可得；故选：A．【点睛】本题考查函数的周期性与奇偶性的应用，注意分析函数的周期，属于基础题．8．已知，则的面积为（）A．B．C．D．1【答案】A【解析】根据向量数量积和面积公式可求得．【详解】根据题意，，，有，，则可得，则则故选：A．【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.9．如图，已知底面为直角三角形的直三棱柱，其三视图如图所示，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，可以将四三棱柱补形为长方体，得到异面直线与所成角，再由余弦定理求解．【详解】如图所示，可以将四三棱柱补形为长方体，可得，则异面直线与所成角为，由三视图可知，，．即异面直线与所成角的余弦值为．故选：D．【点睛】本题考查空间几何体的三视图，考查异面直线所成角的求法，关键是找出异面直线所成角，是中档题．异面直线的夹角的求法；常见方法有：将异面直线平移到同一平面内，转化为平面角的问题；或者证明线面垂直进而得到面面垂直，这种方法适用于异面直线垂直的时候.10．已知函数，将图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍纵坐标不变，再向左平移个单位，得到函数的图象，已知分别在，处取得最大值和最小值，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】利用三角恒等变换化简的解析式，再利用函数的图象变换规律求得的解析式，根据正弦函数的最值条件求得的最小值．【详解】函数，将图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍纵坐标不变，可得的图象；再向左平移个单位，得到函数的图象．已知分别在，处取得最大值和最小值，，．则，故当时，取得最小值为，故选：B．【点睛】本题主要考查三角恒等变换，函数的图象变换规律，正弦函数的最值，属于中档题．三角函数的平移问题，首先保证三角函数同名，不是同名通过诱导公式化为同名，在平移中符合左加右减的原则，在写解析式时保证要将x的系数提出来，针对x本身进行加减和伸缩.11．已知抛物线C：的焦点坐标为，点，过点P作直线l交抛物线C于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线，两切线交于点Q，则面积的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】先求出抛物线的方程，再分别表示出两个切线方程，联立可求得Q的坐标表示出点Q到直线AB的距离，设直线AB的方程，抛物线联立求，根据韦达定理和弦长公式求出AB，利用三角形面积公式表示出三角形面积，即可求出面积的最大值.【详解】抛物线C：的焦点坐标为，，，抛物线C：，设，，，，过点A的切线方程为，过点B的切线方程为，则两切线的交点为，由AB过点，设直线方程为，由，消y可得，，，，，点Q到直线AB的距离当时，此时面积最小，最小值为，故选：C．【点睛】本题主要考查了抛物线与直线的位置关系，点到直线距离公式的应用考查了学生分析推理和运算的能力，属于中档题；本题所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．12．已知函数，，且，则方程的实数根的个数不可能为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】利用换元法设，则，结合t的范围，以及，的根的个数，利用数形结合进行判断即可．【详解】设，则，由题意知有两个根，，且，，不妨设，则，，当或时，，当时，，则在时，取得极小值，在处取得极大值，当，，，，则由图象知，当，时，方程，有5个不同的解，当，时，方程，有4个不同的解，当，时，方程，有3个不同的解，即方程的实数根的个数为3或4或5，不可能是6个，故选：D．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法转化为两个函数图象交点个数，结合数形结合是解决本题的关键综合性较强．二、填空题13．若x，y满足约束条件，则的最大值______．【答案】12【解析】先画出x，y满足约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数的最小值．【详解】x，y满足约束条件的可行域如图，由图象可知：目标函数过点时z取得最大值，，故答案为：12．【点睛】在解决线性规划的问题时，我们常用“角点法”，其步骤为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标将坐标逐一代入目标函数验证，求出最优解．14．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出y的值为______．【答案】-【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】模拟程序的运行，可得当时，，此时；当时，，此时；当时，，此时；当时，，此时；故输出的y的值为：．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．15．已知数列中，，，设其前n项和为，若对任意的，恒成立，则k的最小值为____．【答案】【解析】由，变形为：，，利用等比数列的通项公式可得，利用求和公式可得代入，化简，通过作差利用数列的单调性即可得出最小值．【详解】由，变形为：，，数列是公比为2，首项为1的等比数列．．．对任意的，恒成立，．令，则时，．时，．，数列的前3项单调递增，从第3项开始单调递减．时，数列取得最大值，．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、转化法、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．数值最值的求解方法如下：1．邻项比较法，求数列的最大值，可通过解不等式组求得的取值范围；求数列的最小值，可通过解不等式组求得的取值范围；2．数形结合，数列是一特殊的函数，分析通项公式对应函数的特点，借助函数的图像即可求解；3．单调性法，数列作为特殊的函数，可通过函数的单调性研究数列的单调性，必须注意的是数列对应的是孤立的点，这与连续函数的单调性有所不同；也可以通过差值的正负确定数列的单调性．16．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，G为线段EC上的动点，则下列结论中正确的是______；该几何体外接球的表面积为；若G为EC中点，则平面AEF；的最小值为3．【答案】【解析】以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，分别求得D，A，B，C，F，E的坐标，由，的坐标表示，可判断；确定球心为矩形BDEF的对角线交点，求得半径，可判断；求得G的坐标，求得平面AEF的法向量，计算可判断；设出G的坐标，由两点的距离公式，结合二次函数的最值求法，可判断．【详解】以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，可得0，，0，，1，，1，，1，，0，，即有1，，1，，由，可得，故正确；由球心在过正方形ABCD的中心的垂面上，即为矩形BDEF的对角线的交点，可得半径为，即有该几何体外接球的表面积为，故正确；若G为EC中点，可得1，，0，，0，，1，，设平面AEF的法向量为y，，可得，且，可设，可得一个法向量为，由，可得则平面AEF，故正确；设t，，，当时，取得最小值，故错误．故答案为：．【点睛】本题考查空间线面的位置关系和空间线线角的求法，以及向量法解决空间问题，考查运算能力，属于中档题．涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.三、解答题17．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，的面积为，F为边AC上一点．求c；若，求．【答案】（1）c=2（2）【解析】由已知利用三角形的面积公式可求b的值，根据余弦定理可得c的值；由可得，可求，，由已知根据正弦定理，由，可求，根据两角和的正弦函数公式即可计算得解的值．【详解】，，的面积为，解得：，由余弦定理可得：，由可得，，，在中，由正弦定理，可得：，，，，，【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，正弦定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.18．如图，在四棱锥中，底面为菱形，已知，，求证：平面平面ABCD；求直线AE与平面CED的所成角的正弦值．【答案】（1）见证明；（2）【解析】过D作，连结EO，推导出≌，，，从而面ABE，由此能证明平面平面ABCD;由，，，以O为坐标原点，分别以OE，OB，OD为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AE与平面CED的所成角的正弦值．【详解】如图，过D作，连结EO，，，≌，，，，，由勾股定理逆定理得，，，，面ABE，面ABE，面ABE，面ABCD，平面平面ABCD．由知，，，如图，以O为坐标原点，分别以OE，OB，OD为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，由已知得0，，，0，，2，，，，，设面CED的法向量y，，则，取，得0，，设直线AE与平面CED所成角为，则，直线AE与平面CED的所成角的正弦值为．【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19．基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，结果如下表：请在给出的坐标纸中作出散点图，并用相关系数说明可用线性回归模型拟合月度市场占有率y与月份代码x之间的关系；求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2018年2月份的市场占有率；根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，现有采购成本分别为1000元辆和800元辆的A，B两款车型报废年限各不相同考虑到公司的经济效益，该公司决定先对两款单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：经测算，平均每辆单车每年可以为公司带来收入500元不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且用频率估计每辆单车使用寿命的概率，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据如果你是该公司的负责人，你会选择采购哪款车型？参考数据：，，．参考公式：相关系数，回归直线方程为其中：，．【答案】（1）见解析；（2），估计2018年2月的市场占有率为．（3）见解析【解析】(1)画出散点图，求出相关系数，判断线性相关性即可；(2)求出回归方程的系数，求出回归方程，代入函数值检验即可；(3)求出分布列，求出数学期望比较即可判断．【详解】散点图如图所示，，，所以两变量之间具有较强的线性相关关系，故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系．，又，，回归直线方程为，2018年2月的月份代码，，所以估计2018年2月的市场占有率为．用频率估计概率，A款单车的利润X的分布列为：元．B款单车的利润Y的分布列为：元以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，故应选择B款车型．【点睛】本题考查了散点图，考查回归方程以及分布列和数学期望，是一道中档题．在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x 与Y之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.20．已知圆：，点，C为圆上任意一点，点P在直线OC上，且满足，，点P的轨迹为曲线E．求曲线E的方程；若直线l：不与坐标轴重合与曲线E交于M，N两点，O为坐标原点，设直线OM、ON的斜率分别为、，对任意的斜率k，若存在实数，使得，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】由题意可得点P的轨迹是以为焦点的椭圆，即可求出曲线E的方程;设，根据韦达定理结合斜率公式，以及，可得，再分类讨论，根据判别式即可求出的取值范围.【详解】由，可得，则点P的轨迹是以为焦点的椭圆，则，，，则曲线E的方程为，设，，则，消y可得，，，当时，，当时，，由于对任意k恒成立，则，，，综上所述．【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要灵活运用圆锥曲线性质，注意合理地进行等价转化，是中档题．其中涉及方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．21．已知函数，其中，，．若是的一条切线，求a的值；在间的前提下，对任意的实数，若存在正实数，，使得，求的最小正整数值．【答案】（1）（2）最小值为4【解析】求得的导数，设出切点，可得切线的斜率，可得a，m的方程，解得m，a；由题意可得可得，即，设，令，求得导数和单调性，可得最小值，再由不等式恒成立和一次函数的单调性，解不等式可得所求最小值．【详解】的导数为，设与相切于，可得，，化为，设，导数为，当时，递增；时，递减，可得处取得最小值0，则，；，可得，即，设，令，，时，递减；时，递增，可得，即有，设，对恒成立，令，，在递减，可得，可得舍去，由n为正整数，可得n的最小值为4，即的最小值为4．【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值和最值，考查构造函数法，以及化简整理的运算能力，属于中档题．在研究函数零点时，有一种方法是把函数的零点转化为方程的解，再把方程的解转化为函数图象的交点，特别是利用分离参数法转化为动直线与函数图象交点问题，这样就可利用导数研究新函数的单调性与极值，从而得出函数的变化趋势，得出结论.22．在平面直角坐标系xOy中，直线的参数方程为：为参数，在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为：，直线与曲线交于A，B两点，求曲线的普通方程及的最小值；若点，求的最大值．【答案】（1）曲线的普通方程为．的最小值为．（2）最大值70【解析】由曲线的极坐标方程，能求出曲线的普通方程由最小时，圆心距最大为，能求出的最小值;将直线与方程联立方程，得，从而，，进而，由此能求出的最大值．【详解】曲线的极坐标方程为：，，曲线的普通方程为，即．直线的参数方程为：为参数，直线与曲线交于A，B两点，最小时，圆心距最大为，的最小值为：．设直线上点A，B对应参数方程为参数的参数分别为，，将直线与方程联立方程，得：，，，，，当时，取最大值70．【点睛】本题考查曲线的普通方程的求法，考查弦长的求法，考查两线段平方和的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23．已知函数，当时，解不等式；若存在，使得不等式的解集非空，求b的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】时不等式化为，根据绝对值的定义求出解集即可；由不等式得，构造函数，不等式的解集非空等价于，利用绝对值不等式求出在上的最大值即可．【详解】当时，函数，解不等式化为，即，，解得，不等式的解集为；由，得，设，则不等式的解集非空，等价于；由，；由题意知存在，使得上式成立；而函数在上的最大值为，；即b的取值范围是【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了函数在某一区间上的最值问题，是中档题．。

成都石室中学高2019级 “一诊”模拟考试(数学理)

成都石室中学高2019届一诊模拟一.选择题(本题共有12小题, 每题5分,共60分,每题恰有一个答案) 1. 已知1z i =+，则21z1z ++等于（）A ． 4355i + B ． 4355i - C ．i D ．i -2. 下列函数中，周期为π，且在[,]42ππ上为减函数的是（）A.sin()2y x π=+ B.cos(2)2y x π=+ C.sin(2)2y x π=+ D.cos()2y x π=+3.(81展开式中不含4x 项的系数的和为（）A.-1B.0C.1D.24.若函数()log a f x x =（其中0,1)a a >≠满足(5)2f =，则15(2l o g 2)f -的值为（）A ．5log 2 B. 2log 5 C.4 D.25.将4名新来的同学分配到A 、B 、C 三个班级中,每个班级至少安排1名学生,其中甲同学不能分配到A 班，那么不同的分配方案有 ( )A. 18种B. 24种C. 54种D. 60种6．设{}n a 、{}n b 分别为等差数列与等比数列，且114a b ==，441a b ==,则以下结论一定成立的是()A ．22a b >B ．33a b <C ．55a b >D ．66a b >7.已知函数()cos(),f x x R θθ=+∈.若0()()lim1x f x f xππ→+-=，则函数f(x)的解析式为（）A.()sin f x x =-B. ()cos f x x =-C. ()sin f x x =D. ()cos f x x =8. 设随机变量ξ服从标准正态分布()0 1N ，，在某项测量中，已知()196P .ξ<=0.950，则ξ在()1.-∞-，96内取值的概率为（）A ．0.025B ．0.050C ．0.950D ．0.9759.设,,a b c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足a 与b 不共线,a c ⊥,||||a c =,则||b c ⋅的值一定等于 ( )A ．以,a b 为邻边的平行四边形的面积 B. 以,b c 为两边的三角形面积C ．,a b 为两边的三角形面积 D. 以,b c 为邻边的平行四边形的面积 10.已知p 是r 的充分条件而非必要条件,q 是r 的充分条件,s 是r 的必要条件,q 是s 的必要条件.现有下列命题： ①s 是q 的充要条件； ②p 是q 的充分非必要条件；③r 是q 的必要非充分条件； ④p s ⌝⌝是的必要非充分条件；⑤r 是s 的充分条件而不是必要条件，则正确命题序号是（）A.①④⑤B.①②④C.②③⑤D. ②④⑤11.某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于．．6 ．时再增选一名代表. 那么各班可推选代表人数y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x]（[x]表示不大于x 的最大整数）可以表示为（）A.y ＝[10x ]B.y ＝[310x +]C.y ＝[410x +]D.y ＝[510x +]12. 如图,在长方形ABCD 中，，E 为线段DC 上一动点，现将∆AED 沿AE 折起,使点D在面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则K 所形成轨迹的长度为 ( ) AC ．2πD ． 3πBA二.填空题(每题4分,共16分)13.设()y f x =存在反函数1()y f x -=,且函数()y x f x =-的图象过点(1,2),则函数1()y f x x -=-的图象一定过点 .14.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足2()32(2)f x x xf '=+，则(5)f '=15.将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 对折成120的二面角,则B,D 在四面体A-BCD 的外接球球面上的距离为16．已知定义域为 0+∞（，）的函数f(x)满足：对任意x 0∈+∞（，），恒有 f(2x)=2f(x)成立；当x ]∈（1，2时，f(x)=2-x 。

四川省成都石室中学2019届高三上学期入学考试数学(理)试卷附答案

成都石室中学2019届高三上学期入学考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i iiz 211++-=，则=||z A ．0 B ．12C ．1D 2 2.设集合{})2(log |2x y x A -==，若全集A U =，{}21|<<=x x B ，则U C B = A ． (),1-∞B ．(],1-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞3.命题“0x ∀>，1ln 1x x≥-”的否定是 A ．0x ∀>，1ln 1x x<-B ．00x ∃>，001ln 1x x <-C ．00x ∃≤，001ln 1x x <-D ． 0x ∀>，1ln 1x x≤- 4.在如图的程序框图中，若输入77,33m n ==，则输出的n 的值是 A ．3 B ．7 C ．11 D ．335.在区间[0，2]上随机取一个数x ，使232sin≥x π的概率为 A ．13 B ．12C ．23D ．346. 《九章算术》中，将底面是等腰直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵” ，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该 “堑堵”的体积为A. 2B.32C. 1D. 462+ 7.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，2531=+a a 且4542=+a a ，则=nn a S A ．14n - B ．41n - C ．12n - D ．21n -8.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，()()11f x f x +=-+，且当01x ≤≤时，()11cos f x x=-，则下列结论正确的是 ()32129f f f ⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()19322f f f ⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. ()22913f f f ⎛⎫⎛⎫<<-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()19223f f f ⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9．已知约束条件为32402020x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩，若目标函数y kx z +=取最大值时的最优解有无数多个,则k 的值为A. 1B. 1-C. 32- D. 1-或110.已知抛物线x y 42=的一条弦AB 经过焦点,F O 为坐标原点，点M 在线段OB 上，且3OB OM =，点N 在射线OA 上，且3ON OA =，过,M N 向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,C D ,则CD 的最小值为A ．4B ．6C ．8D ．1011.向量c b,a,满足：||4=a ，||42=b ，b 在a 上的投影为4，()()0-⋅-=a c b c ，则⋅b c 的最大值是A. 24B. 2824-C. 2824+D. 2812．已知函数()(1)(2)e e x f x m x x =----，若关于x 的不等式0)(>x f 有且只有一个正整数解，则实数m 的最大值为A ．3e e 2+B ．2e e 2+C ．3e e 2-D ．2e e 2-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若nxx )1(-的展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为．14. 直线:2(5)l y x =过双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的右焦点F 且与双曲线C 只有一个公共点，则C 的离心率为．15.已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若134,12AB AC AB AC AA ==⊥=,,,则球O 的直径为．16.函数2()32cos (0)2xf x x ωωω=->，已知()f x 在区间2(,)33ππ-恰有三个零点，则ω的范围为 . 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17.（本小题满分12分）某服装店对过去100天其实体店和网店的销售量（单位：件）进行了统计，制成如下频率分布直方图，已知实体店与网店销售量相互独立.实体店销售量（单位：件）频率组距0.0400.0340.0320.0240.0200.0140.012706560555045403530250频率组距网店销售量（单位：件）70656055504540350.0680.0460.0440.0100.0080.004（Ⅰ）若将上述频率视为概率，已知实体店每天销售量不低于50件可盈利，网店每天销量不低于45件可盈利，求任取一天,实体店和网店都盈利的概率；（Ⅱ）根据销售量的频率分布直方图，求该服装店网店销售量中位数的估计值（精确到0.01）．（Ⅲ）若将上述频率视为概率，记该服装店未来三天实体店销售量不低于40件的天数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.18.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知4,2,2cos ,c b c C b === ,D E 分别为线段BC 上的点，且BD CD =，BAE CAE ∠=∠．(I)求线段AD 的长； (II)求ADE ∆的面积．19.（本小题满分12分）直播答题是最近很热门一款游戏，其答题规则如下：每次都有12道题，每题三个选项中恰有一个正确选项，若中途答错，则退出游戏，若正确回答完12题就可以平分当期奖金. 随着直播答题的发展，平台“烧钱大战”模式的可持续性受到了质疑，某网站随机选取1000名网民进行了调查，得到的数据如下表：男女认为直播答题模式可持续 360 280 认为直播答题模式不可持续240120(I)根据表格中的数据，能否在犯错误不超过0.5%的前提下，认为对直播答题模式的态度与性别有关系？(II)随着答题的发展，某平台推出了复活卡，每期游戏中回答错误后自动使用复活卡复活，即默认此题回答正确，并可接着回答下一题，但一场仅可使用一次.已知某网友拥有复活卡，在某期的答题游戏中，前8个题都会，第九题到第十二题都不会，他选择从三个选项中随机选择一个选项.求该网友本场答题个数X 的分布列，并求该网友当期可平分奖金的概率.参考公式： ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．临界值表：()20P K k ≥0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.7063.8415.0246.6357.87910.82820.（本小题满分12分）如图O 为坐标原点，圆 22:4,O x y +=点 ),(),,(030321F F -，以线段M F 1为直径的圆N 内切于圆O ，切点为P ，记点M 的轨迹为曲线C .（I ）证明：12||||F M F M +为定值，并求曲线C 的方程；（II ）设Q 为曲线C 上的一个动点，且Q 在x 轴的上方，过2F 作直线Q F l 1//，记l 与曲线C 的上半部分交于R 点，求四边形21F RQF 面积的取值范围.21.（本小题满分12分）已知函数()ln m xf x x=，()()1g x n x =-+，其中0mn ≠. （I ）若m n =，讨论()()()h x f x g x =+的单调区间；（II ）若()()0f x g x +=的两根为12,x x ，且12x x >，证明：()121220g x x mx x ++<+.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，曲线041=-+y x C :，曲线为参数）θθθ(sin 1cos :2⎩⎨⎧+==y x C ，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（I ）求曲线21C C ,的极坐标方程；（II ）射线),(:200παραθ<<≥=l 分别交21C C , 于N M ,两点，求||||OM ON 的最大值．23．选修4-5：不等式选讲已知函数()13f x x x =-+-．（I ）解不等式()1f x x ≤+；（II ）设函数()f x 的最小值为c ，实数a ，b 满足0,0,a b a b c >>+=，求证：11122≥+++b b a a ．石室中学高2019届2018~2019学年上期入学考试数学参考答案（理科）1-5：CBBCA 6-10：ADDBA 11-12：CA 13、-20 14、5 15、13 16、7(3,]217解：（Ⅰ）由题意，任取一天，实体店盈利的概率1(0.0320.0200.0122)50.38P =++⨯⨯= 网店盈利的概率21(0.0040.020)50.88P =-+⨯= 由实体店和网店销售量相互独立，故任取一天,实体店和网店都盈利的概率0.380.880.3344.P =⨯= .…………3分（Ⅱ）因为网店销售量频率分布直方图中，销售量低于50的直方图面积为()0.0040.0200.04450.340.5++⨯=<，销售量低于55的直方图面积为()0.0040.0200.044+0.06850.680.5++⨯=>故网店销售量的中位数的估计值为0.5-0.3450+552.350.34⨯≈（件）…………6分（Ⅲ）由题意，实体店销售量不低于40件的概率31(0.0120.0140.024)54P =-++⨯=……7分故3~(3,)4X B ,X 的可能取值为0,1,2,3.相应的概率为()3033101464P X C ⎛⎫==⋅-= ⎪⎝⎭, ()2133********P X C ⎛⎫==⋅-=⎪⎝⎭, ()22333272()14464()P X C ==⋅-=, ()3333273()464P X C ==⋅=,分布列为X 0 1 2 3 P16496427642764…………11分因为3~(3,)4X B ,所以期望为39(X)344E =⨯=.…………12分18.解：（1）根据题意，2=b ，4=c ，b C c =cos 2，则412cos ==c b C ；又由4141642cos 2222=-+=-+=a a ab c b a C ，解可得4=a即4=BC ，则2=CD ，在ACD ∆中，由余弦定理得：6cos 2222=⋅-+=C CD AC CD AC AD ，则6=AD ；…………………（6分）（2）根据题意，AE 平分BAC ∠，则21==AB AC BE CE ，变形可得：3431==BC CE ，41cos =C ，则415sin =C ， 615=-=∆∆∆ACE ACD ADE S S S …………………（12分） 19、解析：（I ）依题意，2K 的观测值()210003601202402801257.87960040064036012k ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，故可以在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为对直播大题模式的态度与性别有关系；…………5分（Ⅱ）由题意X 的取值为10,11,12，且后四个题每个题答对的概率为13.………………6分 224(X 10);339P ==⨯=2121228(X 11)33333327P ==⨯⨯+⨯⨯=；2233331217(X 12)()()33327P C C ==⨯+=.故X 的分布列为…………………………………………9分记该网友当期可平分奖金为事件A ，则3344441211()()()3339P A C C =⨯+=.X10 11 12 P49827727故该网友当期可平分奖金的概率为19. ………………………12分 20、解：（1）由题知：O ，P ，N 三点共线，连2MF则4222221=+=+=+||||||||||||ON NP ON MN MF MF ，所以点M 的轨迹是以21F F ,为焦点，长轴长为4的椭圆，其中，，，，则动点M 的轨迹方程是．……………………………………4分（2）如图：PR F QPR PQMR F PQF S S S S 12121===………………………………6分因为l 不与y 轴垂直，设PR ：3+=ty x ， ),(),,(2211y x Q y x P所以⎪⎩⎪⎨⎧=++=14322y x ty x 消去x 有：0132422=-++ty y t )(由弦长公式可得：41441616122222++=++⋅+=t t t t t PR )(||又因为点1F 到直线l 的距离2132td +=所以S ＝131344134212222+++=++⋅=⋅t t t t d PR ||……………10分因为R t ∈，所以3213122≥+++t t （当2=t 等号成立）所以],(20∈S ……………………12分21、解:（Ⅰ）由已知得()()()ln (1)xh x =f x +g x =m x x--，所以()2221ln 1(1ln )x h'x =m =x x x xm-⎛⎫---⎪⎝⎭，……………2分当01x <<时，2210,ln 0,1ln 0x x x x ->->∴-->Q ；当1x >时，2210,ln 0,1ln 0x x x x -<-<∴--<Q ．……………3分故若0m >，)(h x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞；若0m <，)(h x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞．……………5分（Ⅱ）依题意()111ln 1x m n x x =+， ()2111ln ...+m x n x x ∴=①，同理，()2222+ln ...m x n x x =②由①-②得，()()()221112212122l 1+nx m n x x x x n x x x x x =--=-++，……………7分 ()()121212ln1x m x n x x x x ∴++=-，()11212221ln g (1)xx x n x x x m m x x +-++==-，……………8分要证()121220g x x mx x ++<+，即证：122112ln 20xx x x x x +<-+，即证：11212221ln+01x x x x x x ->+（），……………9分令121x t x =>，即证()1ln +20,11t p t t t t -=>∀>+． ()()()()222114'011t p t t t t t -=-=>++Q ，……………10分()p t ∴在区间[)1,∞+上单调递增，()()10,1p t p t ∴>=∀>成立．故原命题得证．……………12分22. 解：（1）因为，，，所以的极坐标方程为04=-+θρθρsin cos ，因为的普通方程为，即，对应极坐标方程为．……………………5分（2）因为射线),(:200παραθ<<≥=l ，则),(),,(αραρ21N M ，则αρααρsin ,cos sin 2421=+=，所以)cos (sin sin ||||αααρρ+==2112ON OM ＝414242+-)sin(πα 又，),(43442πππα-∈-，所以当 242ππα=-，即83πα= 时，||||ON OM 取得最大值 412+……10分 23、解：①当1<x 时，不等式可化为124+≤-x x ，1≥x ．又∵1<x ，∴∈x ∅；②当31≤≤x 时，不等式可化为12+≤x ，1≥x ．又∵31≤≤x ，∴31≤≤x ．③当3>x 时，不等式可化为142+≤-x x ，5≤x ．又∵3>x ，∴53≤<x ．综上所得，51≤≤x ．∴原不等式的解集为]5,1[．…………………（5分）（Ⅱ）证明：由绝对值不等式性质得，|1||3||(1)(3)|2x x x x -+-≥-+-=， ∴2=c ，即2=+b a ．令m a =+1，n b =+1，则1>m ，1>n ，1,1-=-=n b m a ，4=+n m ，n n m m b b a a 2222)1()1(11-+-=+++n m n m 114++-+=mn 4=1)2(42=+≥n m ，原不等式得证．…………………（10分）。

四川省成都石室中学2019届高三上学期入学考试数学(理)试题(含答案)

石室中学高2019届2018~2019学年上期入学考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i iiz 211++-=，则=||z A ．0 B ．12C ．1D 2 2.设集合{})2(log |2x y x A -==，若全集A U =，{}21|<<=x x B ，则U C B = A ． (),1-∞B ．(],1-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞3.命题“0x ∀>，1ln 1x x≥-”的否定是 A ．0x ∀>，1ln 1x x<- B ．00x ∃>，001ln 1x x <- C ．00x ∃≤，001ln 1x x <-D ． 0x ∀>，1ln 1x x≤- 4.在如图的程序框图中，若输入77,33m n ==，则输出的n 的值是 A ．3 B ．7 C ．11 D ．335.在区间[0，2]上随机取一个数x ，使232sin≥x π的概率为 A ．13 B ．12C ．23D ．346. 《九章算术》中，将底面是等腰直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵” ，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该 “堑堵”的体积为A. 2B.32C. 1D. 4+7.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，2531=+a a 且4542=+a a ，则=n n a S A ．14n - B ．41n - C ．12n - D ．21n -8.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，()()11f x f x +=-+，且当01x ≤≤时，A. ()32129f f f ⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. ()19322f f f ⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. ()22913f f f ⎛⎫⎛⎫<<-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D. ()19223f f f ⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9．已知约束条件为32402020x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩，若目标函数y kx z +=取最大值时的最优解有无数多个,则k 的值为A. 1B. 1-C. 32- D. 1-或110.已知抛物线x y 42=的一条弦AB 经过焦点,F O 为坐标原点，点M 在线段OB 上，且3OB OM =，点N 在射线OA 上，且3ON OA =，过,M N 向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,C D ,则CD 的最小值为A ．4B ．6C ．8D ．1011最大值是A. 24B. 2824-C. 2824+D. 2812．已知函数()(1)(2)e e x f x m x x =----，若关于x 的不等式0)(>x f 有且只有一个正整数解，则实数m 的最大值为A ．3e e 2+B ．2e e 2+C ．3e e 2-D ．2e e 2-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若nxx )1(-的展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为．14. 直线:2(5)l y x =-过双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的右焦点F 且与双曲线C 只有一个公共点，则C 的离心率为．15.已知直三棱柱11A B C A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若134,12A B A C A B A C A A ==⊥=,,,则球O 的直径为．16.函数2()3sin 2cos(0)2xf x x ωωω=->，已知()f x 在区间2(,)33ππ-恰有三个零点，则ω的范围为 .三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17.（本小题满分12分）某服装店对过去100天其实体店和网店的销售量（单位：件）进行了统计，制成如下频率分布直方图，已知实体店与网店销售量相互独立.实体店销售量（单位：件）0网店销售量（单位：件）（Ⅰ）若将上述频率视为概率，已知实体店每天销售量不低于50件可盈利，网店每天销量不低于45件可盈利，求任取一天,实体店和网店都盈利的概率；（Ⅱ）根据销售量的频率分布直方图，求该服装店网店销售量中位数的估计值（精确到0.01）．（Ⅲ）若将上述频率视为概率，记该服装店未来三天实体店销售量不低于40件的天数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.18.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知4,2,2cos ,c b c C b === ,D E 分别为线段BC 上的点，且BD CD =，BAE CAE ∠=∠．(I)求线段AD 的长； (II)求ADE ∆的面积．19.（本小题满分12分）直播答题是最近很热门一款游戏，其答题规则如下：每次都有12道题，每题三个选项中恰有一个正确选项，若中途答错，则退出游戏，若正确回答完12题就可以平分当期奖金. 随着直播答题的发展，平台“烧钱大战”模式的可持续性受到了质疑，某网站随机选取1000名网民进行了调查，得到的数据如下表：男女认为直播答题模式可持续 360 280 认为直播答题模式不可持续240120(I)根据表格中的数据，能否在犯错误不超过0.5%的前提下，认为对直播答题模式的态度与性别有关系？(II)随着答题的发展，某平台推出了复活卡，每期游戏中回答错误后自动使用复活卡复活，即默认此题回答正确，并可接着回答下一题，但一场仅可使用一次.已知某网友拥有复活卡，在某期的答题游戏中，前8个题都会，第九题到第十二题都不会，他选择从三个选项中随机选择一个选项.求该网友本场答题个数X 的分布列，并求该网友当期可平分奖金的概率.参考公式： ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．临界值表：20.（本小题满分12分）如图O 为坐标原点，圆 22:4,O x y +=点 ),(),,(030321F F -，以线段M F 1为直径的圆N 内切于圆O ，切点为P ，记点M 的轨迹为曲线C .（I ）证明：12||||F M F M +为定值，并求曲线C 的方程；（II ）设Q 为曲线C 上的一个动点，且Q 在x 轴的上方，过2F 作直线Q F l 1//，记l 与曲线C 的上半部分交于R 点，求四边形21F RQF 面积的取值范围.21.（本小题满分12分）已知函数()ln m xf x x=，()()1g x n x =-+，其中0mn ≠. （I ）若m n =，讨论()()()h x f x g x =+的单调区间；（II ）若()()0f x g x +=的两根为12,x x ，且12x x >，证明：()121220g x x mx x ++<+.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，曲线041=-+y x C :，曲线为参数）θθθ(sin 1cos :2⎩⎨⎧+==y x C ，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（I ）求曲线21C C ,的极坐标方程；（II ）射线),(:200παραθ<<≥=l 分别交21C C , 于N M ,两点，求||||OM ON 的最大值．23．选修4-5：不等式选讲已知函数()13f x x x =-+-．（I ）解不等式()1f x x ≤+；（II ）设函数()f x 的最小值为c ，实数a ，b 满足0,0,a b a b c >>+=，求证：11122≥+++b b a a ．石室中学高2019届2018~2019学年上期入学考试数学参考答案（理科）1-5：CBBCA 6-10：ADDBA 11-12：CA 13、-20 14、5 15、13 16、7(3,]217解：（Ⅰ）由题意，任取一天，实体店盈利的概率1(0.0320.0200.0122)50.38P =++⨯⨯= 网店盈利的概率21(0.0040.020)50.88P =-+⨯= 由实体店和网店销售量相互独立，故任取一天,实体店和网店都盈利的概率0.380.880.3344.P =⨯= .…………3分（Ⅱ）因为网店销售量频率分布直方图中，销售量低于50的直方图面积为()0.0040.0200.04450.340.5++⨯=<，销售量低于55的直方图面积为()0.0040.0200.044+0.06850.680.5++⨯=>故网店销售量的中位数的估计值为0.5-0.3450+552.350.34⨯≈（件）…………6分（Ⅲ）由题意，实体店销售量不低于40件的概率31(0.0120.0140.024)54P =-++⨯=……7分故3~(3,)4X B ,X 的可能取值为0,1,2,3.相应的概率为()3033101464P X C ⎛⎫==⋅-= ⎪⎝⎭, ()2133********P X C ⎛⎫==⋅-=⎪⎝⎭, ()22333272()14464()P X C ==⋅-=, ()3333273()464P X C ==⋅=,分布列为…………11分因为3~(3,)4X B ,所以期望为39(X)344E =⨯=.…………12分18.解：（1）根据题意，2=b ，4=c ，b C c =cos 2，则412cos ==c b C ；又由4141642cos 2222=-+=-+=a a ab c b a C ，解可得4=a即4=BC ，则2=CD ，在ACD ∆中，由余弦定理得：6cos 2222=⋅-+=C CD AC CD AC AD ，则6=AD ；…………………（6分）（2）根据题意，AE 平分BAC ∠，则21==AB AC BE CE ，变形可得：3431==BC CE ，41cos =C ，则415sin =C ， 615=-=∆∆∆ACE ACD ADE S S S …………………（12分） 19、解析：（I ）依题意，2K 的观测值()210003601202402801257.87960040064036012k ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，故可以在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为对直播大题模式的态度与性别有关系；…………5分（Ⅱ）由题意X 的取值为10,11,12，且后四个题每个题答对的概率为13.………………6分 224(X 10);339P ==⨯=2121228(X 11)33333327P ==⨯⨯+⨯⨯=；2233331217(X 12)()()33327P C C ==⨯+=.故X 的分布列为…………………………………………9分记该网友当期可平分奖金为事件A ，则3344441211()()()3339P A C C =⨯+=.故该网友当期可平分奖金的概率为19. ………………………12分 20、解：（1）由题知：O ，P ，N 三点共线，连2MF则4222221=+=+=+||||||||||||ON NP ON MN MF MF ，所以点M 的轨迹是以21F F ,为焦点，长轴长为4的椭圆，其中，，，，X10 11 12 P49827727则动点M 的轨迹方程是．……………………………………4分（2）如图：PR F QPR PQMR F PQF S S S S 12121===………………………………6分因为l 不与y 轴垂直，设PR ：3+=ty x ， ),(),,(2211y x Q y x P所以⎪⎩⎪⎨⎧=++=14322y x ty x 消去x 有：0132422=-++ty y t )(由弦长公式可得：41441616122222++=++⋅+=t t t t t PR )(||又因为点1F 到直线l 的距离2132td +=所以S ＝131344134212222+++=++⋅=⋅t t t t d PR ||……………10分因为R t ∈，所以3213122≥+++t t（当2=t 等号成立）所以],(20∈S ……………………12分21、解:（Ⅰ）由已知得()()()ln (1)xh x =f x +g x =m x x--，……………2分当01x <<时，2210,ln 0,1ln 0x x x x ->->∴-->；当1x >时，2210,ln 0,1ln 0x x x x -<-<∴--<．……………3分故若0m >，)(h x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞；若0m <，)(h x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞．……………5分 ()2111ln ...+m x n x x ∴=①，同理，()2222+ln ...m x n x x =②由①-……………7分……………8分122112ln 20xx x x x x +<-+，即证：11212221ln+01x x x x x x ->+（），……………9分，即证()1ln +20,11t p t t t t -=>∀>+． ()1'p t t =……………10分 ()p t ∴在区间[)1,∞+上单调递增，()()10,1p t p t ∴>=∀>成立．故原命题得证．……………12分22. 解：（1）因为，，，所以的极坐标方程为04=-+θρθρsin cos ，因为的普通方程为，即，对应极坐标方程为．……………………5分（2）因为射线),(:200παραθ<<≥=l ，则),(),,(αραρ21N M ，则αρααρsin ,cos sin 2421=+=，所以)cos (sin sin ||||αααρρ+==2112ON OM＝414242+-)sin(πα 又，),(43442πππα-∈-，所以当 242ππα=-，即83πα= 时，||||ON OM 取得最大值 412+……10分 23、解：①当1<x 时，不等式可化为124+≤-x x ，1≥x ．又∵1<x ，∴∈x ∅；②当31≤≤x 时，不等式可化为12+≤x ，1≥x ．又∵31≤≤x ，∴31≤≤x ．③当3>x 时，不等式可化为142+≤-x x ，5≤x ．又∵3>x ，∴53≤<x ．综上所得，51≤≤x ．∴原不等式的解集为]5,1[．…………………（5分）（Ⅱ）证明：由绝对值不等式性质得，|1||3||(1)(3)|2x x x x -+-≥-+-=， ∴2=c ，即2=+b a ．令m a =+1，n b =+1，则1>m ，1>n ，1,1-=-=n b m a ，4=+n m ，n n m m b b a a 2222)1()1(11-+-=+++n m n m 114++-+=mn 4=1)2(42=+≥n m ，原不等式得证．…………………（10分）。

2019届四川省成都石室中学高三上学期入学考试数学(理)试题(解析版)

四川省成都石室中学2019届高三上学期入学考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设，则A. 0B.C. 1D.【答案】C【解析】解：，则．故选：C．利用复数的代数形式的混合运算化简后，然后求解复数的模．本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力．2.设集合，若全集，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：，，，故选：B．求出集合A的等价条件，结合补集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件，以及利用补集的定义进行求解即可．3.命题“，”的否定是A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“，”的否定是，；故选：B．直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．本题考查命题的否定，基本知识的考查．4.在如图的程序框图中，若输入，，则输出的n的值是A. 3B. 7C. 11D. 33【答案】C【解析】解：该程序的作用是：用较大的数字m除以较小的数字n，得到商和余数r，然后再用上一式中的除数和得到的余数中较大的除以较小的，以此类推，直到余数r为零即整除时，最后得到m，n的最大公约数．，的最大公约数是11，则输出的n的值是11．故选：C．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是：用较大的数字除以较小的数字，得到商和余数，然后再用上一式中的除数和得到的余数中较大的除以较小的，以此类推，当整除时，就得到要求的最大公约数．本题考查用辗转相除法求两个数的最大公约数，本题是一个基础题，在解题时注意数字的运算不要出错，注意与更相减损术进行比较．5.在区间上随机取一个数x，使的概率为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，，，，即，．故选：A．根据正弦函数的性质得出x的范围，从而得出概率．本题考查了几何概型的概率计算，属于中档题．6.《九章算术》中，将底面是等腰直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的体积为A. 2B.C. 1D.【答案】A【解析】解：根据三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直角边为，斜边为2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，几何体的体积为．故选：A．根据三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图中的数据求出几何体的体积．本题考查了几何体三视图的应用问题，也考查了体积的计算问题，是基础题．7.已知等比数列的前n项和为，，且，则A. B. C. D.【答案】D【解析】解：设等比数列的公比为q，，，解得：，，，，故选：D．设出等比数列的公比为q，利用等比数列的性质，根据已知等式求出q的值，进而求出的值，表示出与，即可求出之比．此题考查了等比数列，熟练掌握等比数列的性质是解本题的关键．8.已知函数是定义域为R的奇函数，，且当时，，则下列结论正确的是A. B.C. D.【答案】D【解析】解：是R上的奇函数；又；；；即；的周期为4，且时，；在上单调递增；，，；；；；．故选：D．先根据是R上的奇函数，并且，可得出，即得出的周期为4，从而得出，，，根据时的解析式可判断出在上单调递增，从而可得出，进而得出，从而比较出的大小关系．考查奇函数的定义，周期函数的定义，以及增函数的定义，余弦函数的单调性．9.已知约束条件为，若目标函数取最大值时的最优解有无数多个，则k的值为A. 1B.C.D. 或1【答案】B【解析】解：由约束条件为作出可行域如图，化目标函数为，若，则，由图可知使目标函数取得最大值的最优解唯一，为，不合题意；若，则，要使目标函数取最大值时的最优解有无数多个，则直线与直线重合，此时．故选：B．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，对k分类可知，若，则，由图可知使目标函数取得最大值的最优解唯一，为，不合题意；若，则，要使目标函数取最大值时的最优解有无数多个，则直线与直线重合，由此求得k值．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．10.已知抛物线的一条弦AB经过焦点F，O为坐标原点，点M在线段OB上，且，点N在射线OA上，且，过M，N向抛物线的准线作垂线，垂足分别为C，D，则的最小值为A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】A【解析】解：设直线AB的方程为，代入抛物线，可得，设，，则，，，点的纵坐标为，，点的纵坐标为，，当且仅当时，取等号，即的最小值为4，故选：A．设直线AB的方程为，代入抛物线，可得，利用基本不等式即可得出结论本题考查的最小值的求法，具体涉及到抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．11.向量，，满足：，，在上的投影为4，，则的最大值是A. 24B.C.D.【答案】C【解析】解：以所在的直线为x轴，以的起点为原点，建立平面直角坐标系，，，在上的投影为4，设的夹角为，，，．，，设，又，，，，整理可得，，法一：令，，则，根据正弦函数的性质可知，最大值是，法二：设，当直线与圆的相切时，b取最值，此时由点到直线的距离公式可得，，，的最大值故选：C．法一：以所在的直线为x轴，以的起点为原点，建立平面直角坐标系，根据向量数量积的运算及正弦函数的性质即可求解；法二：设，当直线与圆的相切时，b取最值，由点到直线的距离公式可求本题主要考查了向量数量积的基本运算及圆的参数方程的应用，点到直线的距离公式及直线与圆相切的性质的应用．12.已知函数，若关于x的不等式有且只有一个正整数解，则实数m的最大值为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，，设，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，，当时，，当，，函数恒过点，分别画出与的图象，如图所示，，若不等式有且只有一个正整数解，则的图象在图象的上方只有一个正整数值，，，故实数m的最大值为，故选：A．若不等式有且只有一个正整数解，则的图象在图象的上方只有一个正整数值，利用导数求出的最小值，分别画出与的图象，结合图象可得．本题考查了函数图象及单调性，导数的应用，转化思想、数形结合思想，是难题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若的展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为______．【答案】【解析】解：的展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，，，，它的展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中的常数项为，故答案为：．由题意利用二项式系数的性质求得，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于零，求得r的值，可得展开式中的常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14.直线l：过双曲线C：的右焦点F且与双曲线C只有一个公共点，则C的离心率为______．【答案】【解析】解：双曲线C：的渐近线方程为，因为线l：过双曲线C：的右焦点F且与双曲线C只有一个公共点，所以，又因为，解得，．，故答案为：8，2．结合双曲线的性质，推出a、b关系，然后求解双曲线的离心率即可．本题给出双曲线方程，求经过双曲线的右交点且与双曲线只有一个公共点的直线的条数着重考查了直线的方程、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．15.已知直三棱柱的6个顶点都在球O的球面上若，，，，则球O的直径为______．【答案】13【解析】解：因为三棱柱的6个顶点都在球O的球面上，若，，，，所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，的外心是斜边的中点，上下底面的中心连线垂直底面ABC，其中点是球心，即侧面，经过球的球心，球的直径是侧面的对角线的长，因为，，，，所以球的直径为：13．故答案为：13通过球的内接体，说明几何体的侧面对角线是球的直径，求出球的半径．本题考查球的内接体与球的关系，球的半径的求解，考查计算能力．16.函数，已知在区间恰有三个零点，则的范围为______．【答案】【解析】解：根据题意，令可得；恰有三个交点，那么：，且，解得：，且当时，可得故答案为：．利用三角函数公式化简，令，结合在区间恰有三个零点，根据三角函数的性质即求解；本题考查三角函数的恒等变形，涉及正弦函数的图象以及性质，关键是掌握三角函数的恒等变形的公式．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某服装店对过去100天其实体店和网店的销售量单位：件进行了统计，制成如下频率分布直方图，已知实体店与网店销售量相互独立．Ⅰ若将上述频率视为概率，已知实体店每天销售量不低于50件可盈利，网店每天销量不低于45件可盈利，求任取一天，实体店和网店都盈利的概率；Ⅱ根据销售量的频率分布直方图，求该服装店网店销售量中位数的估计值精确到．Ⅲ若将上述频率视为概率，记该服装店未来三天实体店销售量不低于40件的天数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．【答案】解：Ⅰ由题意，任取一天，实体店盈利的概率，网店盈利的概率，由实体店和网店销售量相互独立，故任取一天，实体店和网店都盈利的概率分Ⅱ因为网店销售量频率分布直方图中，销售量低于50的直方图面积为：，销售量低于55的直方图面积为．故网店销售量的中位数的估计值为件分Ⅲ由题意，实体店销售量不低于40件的概率分故～，X的可能取值为0，1，2，相应的概率为：，，，，的分布列为：分因为～，，所以期望为分【解析】Ⅰ推导出任取一天，实体店盈利的概率，网店盈利的概率，由实体店和网店销售量相互独立，能求出任取一天，实体店和网店都盈利的概率．Ⅱ网店销售量频率分布直方图中，销售量低于50的直方图面积为，销售量低于55的直方图面积为由此能求出网店销售量的中位数的估计值．Ⅲ实体店销售量不低于40件的概率从而～，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．本题考查概率、中位数的求法，考查离散型随机变量概率分布列、数学期望的求法，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.如图，在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，D，E分别为线段BC上的点，且，．求线段AD的长；求的面积．【答案】解：根据题意，，，，则；又由，解得，即，则，在中，由余弦定理得：，则；根据题意，AE平分，则，变形可得：，，则，．【解析】在中，利用余弦定理计算BC，再在中利用余弦定理计算AD；根据角平分线的性质得出CE，于是．本题考查应用余弦定理解三角形，涉及角平分线的性质，关键是掌握余弦定理的形式和变形应用．19.直播答题是最近很热门一款游戏，其答题规则如下：每次都有12道题，每题三个选项中恰有一个正确选项，若中途答错，则退出游戏，若正确回答完12题就可以平分当期奖金随着直播答题的发展，平台“烧钱大战”模式的可持续性受到了质疑，某网站随机选取1000名网民进行了调查，得到的数据如表：Ⅰ根据表格中的数据，能否在犯错误不超过的前提下，认为对直播答题模式的态度与性别有关系？Ⅱ随着答题的发展，某平台推出了复活卡，每期游戏中回答错误后自动使用复活卡复活，即默认此题回答正确，并可接着回答下一题，但一场仅可使用一次已知某网友拥有复活卡，在某期的答题游戏中，前8个题都会，第九题到第十二题都不会，他选择从三个选项中随机选择一个选项求该网友本场答题个数X的分布列，并求该网友当期可平分奖金的概率．参考公式：．临界值表：【答案】解：依题意，的观测值，故可以在犯错误的概率不超过的前提下，认为对直播大题模式的态度与性别有关系；分Ⅱ由题意X的取值为10，11，12，且后四个题每个题答对的概率为；分；；；故X的分布列为分记该网友当期可平分奖金为事件A，则；故该网友当期可平分奖金的概率为分【解析】依题意计算的观测值，对照临界值得出结论；Ⅱ由题意知X的取值，计算对应的概率值，写出分布列，再求出该网友当期可平分奖金的概率．本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列计算问题，是中档题．20.如图O为坐标原点，圆O：点，，以线段为直径的圆N内切于圆O，切点为P，记点M的轨迹为曲线C．Ⅰ证明：为定值，并求曲线C的方程；Ⅱ设Q为曲线C上的一个动点，且Q在x轴的上方，过作直线，记l与曲线C的上半部分交于R点，求四边形面积的取值范围．【答案】Ⅰ证明：由题知：O，P，N三点共线，连接，则，点M的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，其中，，，则，则动点M的轨迹方程是；Ⅱ解：如图：．设l：，，，联立，消去x有：．，．由弦长公式可得：．又点到直线l的距离．当且仅当等号成立．四边形面积的取值范围是．【解析】Ⅰ由题知：O，P，N三点共线，连接，可得，由此可知M的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，则轨迹方程可求；Ⅱ，由题意设l：，与椭圆方程联立，利用弦长公式求弦长，再由点到直线的距离公式求点到直线l的距离，代入三角形面积公式，然后利用基本不等式求最值．本题考查直线与圆、直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．21.已知函数，，其中．Ⅰ若，求的单调区间；Ⅱ若的两根为，，且，证明：．【答案】解：Ⅰ由已知得，所以，当时，，，即，当时，，，即．故的单调递增区间为，单调递减区间为，Ⅱ依题意，，，同理，，，由得，，，，要证，即证：，即证：，令，即证，，，在区间上单调递增，，成立．故原命题得证．【解析】Ⅰ利用导数和函数单调性的关系即可求出，Ⅱ由的两根为，，且，可得，要证证，只要证明，构造函数，利用导数即可求出本题考查了导数和函数的关系，以及导数和函数的最值得关系，考查了运算能力和问题解决能力，属于难题．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线：，曲线：为参数，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．Ⅰ求曲线，的极坐标方程；Ⅱ射线l：分别交，于M，N两点，求的最大值．【答案】解：因为，，，所以的极坐标方程为，因为的普通方程为，即，对应极坐标方程为，因为射线l：，则，，则，，所以，又，，，所以当，即时，取得最大值．【解析】用，代入的普通方程可得的极坐标方程；先把的参数方程化成普通方程，在把，代入可得的极坐标方程；因为射线l：，则，，则，，所以，再由得范围可求得最大值．本题考查了曲线的普通方程和参数方程化成极坐标方程，三角函数的性质，属基础题，23.已知函数．Ⅰ解不等式；Ⅱ设函数的最小值为c，实数a，b满足，，，求证：．【答案】本小题满分10分选修：不等式选讲Ⅰ解：，即．当时，不等式可化为，．又，；当时，不等式可化为，．又，．当时，不等式可化为，．又，．综上所得，，或，即．原不等式的解集为分Ⅱ证明：由绝对值不等式性质得，，，即．令，，则，，，，，，原不等式得证分【解析】Ⅰ，即通过当时，当时，当时，去掉绝对值符号，求解即可．Ⅱ由绝对值不等式性质得，，推出令，，利用基本不等式转化求解证明即可．本题考查绝对值不等式的解法，不等式的证明，考查转化思想以及计算能力．。