惠更斯原理法射线追踪

(7) (8)
(xij − xij+1)(xij+1 − xij−1) + (zij − zij+1)(zij+1 − zij−1) = rji (rji+1 − rji−1)
通过解上述二元二次方程组，即可由已知 波前求出下一波前，从而进行射线追踪。
惠更斯射线追踪的基本原理
基于上述方程组进 行射线追踪如右图所示， 但是在如右下图所示的 尖端处，中心差分的有 限差分不能使用，需要 单独考虑。这里我们在 尖端处假设一个平面波， 进行射线追踪。
τG =w τA +w τA +w τB +w τB A A B B
1 1 2 2 1 1 2
2
由射线节点求取规则网格点上旅行时 示意图
惠更斯射线追踪具体实现---射线的插入 为了避免盲区的出现，保证较高的 射线密度，得到高精度的旅行时，需要在 射线稀疏的地方插入射线。这里我们应用 两个判据。
一、同一波前上相邻节点间的最大距离； 二、同一波前上相邻射线所张开的最大角度。
惠更斯原理法射线追踪
内容提要
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基础理论 惠更斯原理法的基本原理与实现 计算实例和误差分析 总结 致谢
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一、基础理论
目前射线追踪方法多种多样，但是各 有利弊，都有各自的局限性。 传统的射线追踪方法有能够计算多 次走时信息等优势，但由于只是利用先前 一个点的信息来进行射线追踪而缺乏稳健 性。 程函方程的有限差分法虽然具有稳 健性，但只能计算最小走时。
四、总结
基于惠更斯原理的波前面射线追踪方法，其理论基础准 确明了，计算过程中考虑了已有波前面上多点对下一波前 面上单点的影响，从而既能计算多次走时，又具有算法上 的稳健性，虽存在着离散精度和空间采样的问题，对模型 的试算表明该算法即使对复杂模型也有很好的适应性，对 模型阴影区也能做到较好的追踪；在实际应用上，该算法 可应用于层析反演、积分法偏移成像、黎曼空间波场延拓 成像等领域，是一种较好的射线追踪方法。
惠更斯射线追踪的基本原理
ϕ 和出射角 ，我们若已知这两个射线
首先我们定义如下的射线参数，方位角
γ 参数，则我们可以确定空间任一点。
惠更斯射线追踪的基本原理
此时 t= τ 时的二次震源曲线族可以写为：
[x-x(γ ,ϕ)] +[y-y(γ ,ϕ)] +[z-z(γ ,ϕ)] = r (γ ,ϕ)
2 2 2 2
(4) (5)
(6)
ϕ τ 这里i,j,k是 γ、 、
γ ji，k =∆τ vij，k 的离散指标，
。
惠更斯射线追踪的基本原理
通过解上述方程组，我们得到3D惠更 斯射线追踪的外推方程，若只考虑2D情况， 则方程简化为：
2 (xij+1 −பைடு நூலகம்xij )2 +(zij+1 − zij )2 =（rji）
3.2低速体模型
选择背景速度为5000m/s，低速体速度为3000m/s的 低速体模型，由该模型可以明显的看出多次走时的情况。
低速体模型
3.2低速体模型
一次走时
3.2低速体模型
二次走时
3.2低速体模型
三次走时
3.2低速体模型
四次走时
3.2低速体模型
当然还有五次走时，六次走时，通过 该低速体模型，可以检验该方法处理多次 走时的能力，下面根据波前面的图形形象 地看出多次走时的产生过程。
3.4marmousi模型
marmousi模型作为公认的复杂2D模型， 可用来测试该方法对于复杂地质构造的适 应性，通过结果可以看出该法具有很好的 稳健性。
3.4marmousi模型
Marmousi模型射线路径
3.4marmousi模型
惠更斯原理法一次走时
3.4marmousi模型
惠更斯原理法二次走时
左图中类 似与A1B1A2B2 的射线单元为 求取规则网格 点上旅行时的 最基本单元。
网格点上旅行时估算示意图
惠更斯射线追踪具体实现---规则网格点上旅 行时计算
对于每一个射 线单元，其内部规 则网格点上的旅行 时由到射线单元各 个边的距离加权求 得。
(d2db )2 wA1 = (d1da )2 + (d2da )2 + (d1db )2 + (d2db )2
惠更斯射线追踪具体实现---射线的插入
两种判据示意图
惠更斯射线追踪具体实现---射线的插入
其中第二种判据，实际求取很困难，可以用下面的判 据来近似。
实际用的判据示意图
惠更斯射线追踪具体实现---射线的插入
当实际情况不满足两个判据中的任一个时， 需要插入射线，我们这里插入射线是选用的虚震 源的方法。 通过假设插入 的射线是从虚 震源发出的， 来插入射线。
其中
r (γ , ϕ ) = ∆ τ * v (γ , ϕ )
∆τ 为外推时间步长。
惠更斯射线追踪的基本原理
由数学知识可知，联立以下三个方程 可以得到该曲线族的包络： [x-x(γ ,ϕ)]2 +[y-y(γ ,ϕ)]2 +[z-z(γ ,ϕ)]2 = r2 (γ ,ϕ) (1)
∂ x (γ , ϕ ) ∂ y (γ , ϕ ) [ x − x (γ , ϕ )] + [ y − y (γ , ϕ )] (2) ∂γ ∂γ ∂ z (γ , ϕ ) ∂ r (γ , ϕ ) + [ z − z (γ , ϕ )] = r (γ , ϕ ) ∂γ ∂γ ∂ x (γ , ϕ ) ∂ y (γ , ϕ ) [ x − x ( γ , ϕ )] + [ y − y ( γ , ϕ )] (3) ∂ϕ ∂ϕ ∂ z (γ , ϕ ) ∂ r (γ , ϕ ) + [ z − z ( γ , ϕ )] = r (γ , ϕ ) ∂ϕ ∂ϕ
惠更斯射线追踪的基本原理
对（1）（2）(3)式应用中心有限差 分进行离散可以得到：
k k k 2 ( xij,+1 − xij,k )2 +(yij,+1 − yij,k )2 +(zij,+1 − zij,k )2 =（rji,k） k k ( xij,k − xij,+1 )( xij+1,k − xij−1,k ) + ( yij,k − yij,+1 )( yij+1,k − yij−1,k ) k +( zij,k − zij,+1 )( zij+1,k − zij−1,k ) = rji,k (rji+1,k − rji−1,k ) k k ( xij,k − xij,+1 )( xij,k +1 − xij,k −1 ) + ( yij,k − yij,+1 )( yij,k +1 − yij,k −1 ) k +( zij,k − zij,+1 )( zij,k +1 − zij,k −1 ) = rji,k (rji,k +1 − rji,k −1 )
3.2低速体模型
低速体射线，及多次走时示意图
3.3洼陷模型
该洼陷模型如图所示，注意第一层为速度递变层。
洼陷速度模型
3.3洼陷模型
洼陷模型射线路径
3.3洼陷模型
洼陷模型时间场
3.3洼陷模型
洼陷模型正演记录
3.3洼陷模型
利用惠更斯法计算走时进行克基霍夫叠前深度偏移成像结果
3.3洼陷模型
通过偏移结果，可以间接的验证走时 计算的准确性，并且证明惠更斯射线追踪 方法可以用来为偏移成像等处理服务。
3.1均匀介质模型 3.1均匀介质模型
该均匀介质的基本情况是：
速度为3000m/s； 横向8000m，12.5m采样； 纵向3000m，8m采样。
3.1均匀介质模型
由该均匀介质模型所得时间场 （dt=5ms）
3.1均匀介质模型
上述时间场的误差（单位：ms）
3.1均匀介质模型
由均匀介质误差分析可知，最大误差 为0.8ms，而时间场中最大走时为2.4s， 最大误差不到千分之五，由此可见，该 方法具有一定的精度。
3.4marmousi模型
惠更斯原理法三次走时
3.4marmousi模型
惠更斯原理法四次走时
3.4marmousi模型
惠更斯原理法五次走时
3.4marmousi模型
通过上面得到的射线路径信息和旅行时 信息，可以看出利用该方法进行射线追踪， 得到的射线路径能够很好的与实际地质情 况符合，射线路径和旅行时稳定，没有不 合理的突变现象。
尖端处不连续点 进行波前外推的示意图（2D）
惠更斯射线追踪的基本原理
对尖端处理示意图
惠更斯射线追踪具体实现
惠更斯原理射线追踪实现流程图
惠更斯射线追踪具体实现
其中最关键的几步为： 1、波前外推； 2、规则网格点上旅行时的计算； 3、节点插入与删除； 下面对上述有关步骤进行说明
惠更斯射线追踪具体实现---规则网格点上旅 行时计算
插入射线原理示意图
三、计算实例和误差分析
下面我们通过下面模型来测试该方法：
均匀介质模型 低速体模型 洼陷模型 Marmousi模型
均匀介质下， 均匀介质下，检验该方法 的误差 展示计算多次走时的能力， 展示计算多次走时的能力， 及其产生过程 通过偏移结果， 通过偏移结果，来验证计 算正确性 来展示该方法对方法对复 杂模型的适应性和稳定性
•
而惠更斯原理法射线追踪方法既能计 算多次走时，又因为利用了先前的三个点、 五个点的信息进行射线追踪而具有稳健性。
二、惠更斯原理法的基本原理与实现 惠更斯原理法的基本原理与实现
惠更斯原理法射线追踪是惠更斯原理 具体实现，把前一个波前的每一个点都当 作惠更斯二次震源，通过求由这些二次震 二次震 源的包络来得到下一个波前，从来进行波 源的包络 前的外推。