克里格插值

克里金(kriging)插值的原理与公式推导

克里金(kriging)插值的原理与公式推导
克里金插值是一种空间插值方法，用于估计未知区域的数值，其
原理是基于空间数据的空间相关性来进行插值。

具体来说，克里金插
值假设空间数据在不同位置之间具有一定的相关性，即在空间上相邻
的点具有相似的数值。

克里金插值利用这种相关性来进行插值，从而
可以更准确地估计未知位置的数值。

克里金插值的公式推导涉及到半变异函数的定义，通常使用高斯
模型、指数模型或球形模型来描述数据的空间相关性。

在推导过程中，会利用已知数据点的数值和位置信息，以及半变异函数的参数来构建
插值模型，进而估计未知位置的数值。

克里金插值的公式可以表示为：
\[Z(u) = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \cdot Z(u_i)\]
其中，\(Z(u)\)为未知位置的数值，\(Z(u_i)\)为已知数据点的
数值，\(\lambda_i\)为插值权重，通过半变异函数及数据点之间的空
间距离计算得出。

除了基本的克里金插值方法外，还有一些相关的扩展方法，如普通克里金、泛克里金等，这些方法在建模和插值的过程中考虑了更多的因素，如均值趋势、空间方向等，使得插值结果更加准确和可靠。

总的来说，克里金插值是一种常用的空间插值方法，适用于各种地学环境下的数据分析与建模。

在实际应用中，需要根据具体数据的特点选择合适的插值方法和模型参数，以获得准确的插值结果。

克里格空间插值法

1 最近邻点法：泰森多边形方法移动 2 平均插值方法：距离倒数插值 3 克里格插值：克里格插值是空间自协方差最佳插值方法
1.4邻域函数的统计函数及其意义

众数（majority)：邻域中出现频率最高的数值最大值(max)：邻域中最大的数值最小值(min)：邻域中最小的数值中位数(median)：邻域中数值从小到大排列后位于中间的数平均值(mean)：邻域中数值的算术平均频率最小数(minority)：邻域中出现频率最小的数值范围(range)：邻域中数值的范围，最大值与最小值之差标准差(std)：邻域中数值的标准差和(sum)：邻域中数值的和变异度(varity)：邻域中不同数值的个数
1.8 方差变异函数

3）理论方差函数曲线不穿过原点，而是存在一个最小的方差值。理论上讲，当间隔 h=0时，估值的方差应该为0，因为任何一点与自身之差的值为0。h趋近于0时，r（h）轴上的正截距是残差的一个估计，该值称为块金（或基底，nugget）。在理论函数模型中，用C0表示。块金是在间隔距离小于采样间距时的测量误差或空间变异，或者是二者的和。测量误差是由仪器的内在误差引起的，空间变异是自然现象在一定空间范围内的变化。小于采样间距的微观尺度上空间变异是块金的一部分。当r（h）值在所有的h值上都等于基台值时，实验半方差函数就表现为纯块金效应，这通常由于短间距内点与点的变异很大而引起，表明所使用的采样间隔内完全没有空间相关性，此时，可以认为各个样点是随机的，区域平均值就是各点的最佳估计值。此时，只有增大采样间隔才能揭示出空间相关性。块金与基台的比值（C0/(C+C0)，基底效应）可以用来说明空间的变异特征，该值越大，说明空间变异更多的是随机成分引起的，否则，则是由特定的地理过程或多个过程综合引起的。空间相关性的强弱，可用C/(C+C0)表示，该值越高，表明空间相关性越强。在实际的模型计算中，块金与基台两个参数是可以调整的，其取值取决于整体的拟合效果。

克里格插值什么是克里格插值？距离权重倒数插值和样条法插值被归类为确定性的插值方法，因为它们是直接基于周围已知点的值进行计算或是用指定的数学公式来决定输出表面的平滑度的插值方法。

而第二个插值方法家族包括的是一些地统计学的插值方法（如克里格插值），这些方法基于一定的包括诸如自相关（已知点间的统计关系）之类的统计模型。

因此，这些方法不仅有能力生成一个预测表面，而且还可以给出预测结果的精度或确定性的度量。

克里格插值与距离权重倒数插值相似之处在于给已知的样本点赋权重来派生出未知点的预测值。

这两种内插方法的通用公式如下，表达为数据的权重总和。

其中， Z(Si)是已测得的第i个位置的值；λi是在第i个位置上测得值的未知的权重；S0是预测的位置；N 是已知点（已测得值的点）的数目。

在距离权重倒数插值中，权重λi仅取决于距预测位置的距离。

然而，在克里格插值中，权重不仅建立在已知点和预测点位置间的距离的基础上，而且还要依据已知点的位置和已知点的值的整体的空间分布和排列。

应用权重的空间排列，空间自相关必须量化。

因此，运用普通克里格插值（Ordinary Kriging），权重λi取决于已知点的拟合模型、距预测位置的距离和预测点周围的已知点间的空间关系。

利用克里格方法进行预测，必须完成以下两个任务：（1）揭示相关性规则。

（2）进行预测。

要完成这两项任务，克里格插值方法通过以下两个步骤完成：（1）生成变异函数和协方差函数，用于估算单元值间的统计相关（也叫空间自相关），而变异函数和协方差函数也取决于自相关模型（拟合模型）。

（2）预测未知点的值。

因为前面已经说过的两个明确的任务，因此要用克里格方法对数据进行两次运算：第一次是估算这些数据的空间自相关而第二次是做出预测。

变异估计（Variography）变异估计就是拟合一个数学模型或空间模型，象已知的结构分析。

在已测点结构的空间建模中，首先得出经验半变异函数的曲线图，计算如下：半变异函数（距离h）＝ 0.5*均值[ (在i 位置的值－在j 位置的值)2 ]用于计算被距离h分隔的每一点对相对应的位置。

克里金(克里格)(Corigine)算法

克里格，或者说克里金插值Kriging。

法国krige名字来的。

特点是线性，无偏，方差小，适用于空间分析。

所以很适合地质学、气象学、地理学、制图学等。

相对于其他插值方法。

主要缺点：由于他要依次考虑（这也是克里格插值的一般顺序）计算影响范围，考虑各向异性否，选择变异函数模型，计算变异函数值，求解权重系数矩阵，拟合待估计点值，所以反映速度很慢。

（当然也看你算法设计和电脑反应速度了呵呵）。

而那些趋势面法，样条函数法等。

虽然较快，但是毕竟程度和适合用范围都大受限制。

具体对比如下：方法外推能力逼近程度运算能力适用范围距离反比加权法分布均匀时好差快分布均匀最近邻点插值法不高强很快分布均匀三角网线性插值高差慢分布均匀样条函数高强快分布密集时候克里金插值高强慢均可克里格插值又分为：简单，普通，块，对数，指示性，泛，离析克里金插值等。

克里金插值的变异函数球形模型，指数模型，高斯模型，纯块金模型，幂函数模型，迪维生模型等。

以下结合我的绘制等值线（等高线）的程序和高斯迭代解矩阵方程方法以及多元线性回归方法（此两方法实现另补充）说明克里格方法的实现：注：选择变异函数模型为球形模型，选择插值方法为普通克里金，我为了简化问题，考虑为各向同性，变差距离为固定。

int i,j,i0,i1,j0,j1,k,l,m,n,p,h;//循环变量double *r1Matrix;//系数矩阵double *r0Matrix;//已知向量double *langtaMatrix;//待求解向量double *x0;//已知点横坐标double *y0;//已知点纵坐标double * densgridz;//存储每次小方格内的已知值。

double densgridz0;//待求值int N1=0;//统计有多少个已知值double r[71],r0[71];int N[70];for(i=0;i<100;i++){for(j=0;j<100;j++){if(bdataprotected[i*100+j]) continue;//原值点不需要插值//1.遍历所有非保护网格。

克里格插值

0x 克里格（Kringing ）插值法是建立在统计学理论基础上，实际上是利用区域化变量的原始数据和半方差数据的结构特征，对位采样点的区域化变量的取值进行线性最优无偏估计的一种方法，也就是根据待估样点有限领域内若干已经择定的测定的样点数据，在认真考虑了阳电的形状、大小和相互空间位置之间的关系，以及他们与待估样点见相互位置关系和编译函数提供的结构信息之后，对待估样点间相互位置关系的编译函数提供的结构信息之后，对待估样点值进行的一种线性最优无偏估计。

下图为运用克里格法计算未知点的值的一般步骤：其插值原理如下：设在某一研究内未知点0x 的属性为)(0x Z ，其周围相关范围内有n 个已知已测点),,2,1(n i x i ⋯=。

通过n 个测定值的线性组合求其估计值)(0x Z ：)()(10i n i i x Z x Z ∑==λ式中i λ为)(i x Z 位置有关的加权系数，并且∑==ni i 11λ克里格插值法是根据无偏估计和方差最小的要求来确定上式中的系数i λ。

1.构造半变异系数：设j x 和i x 的距离问为h 。

设n 个样点中mh 对样点的距离为h ，以他们的含量差)(-)(i j x Z x Z 构造的半变异函数为：2))()((21)(∑=--=h x x i j i j x Z x Z m h a 2.拟合得出变异系数：将n 个样点的含量带入公式，使用直线函数进行拟合3.构造矩阵和向量：求出任意两个已知点的半变异函数值，构造矩阵A:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=011110101021221112n n n n a a a a a a A 取任意一个已知点i x ，求出与未知点0x 的距离并代入求出该点与未知点0x 的半变异函数值0i a ，得到向量B:)1,,,,(02010n a a a B ⋯=方程AX=B 的姐的前n 个分量即为公式（）的权重系数i λ。

常用的克里金插值及其变体

常用的克里金插值及其变体
常用的克里金插值及其变体包括以下几种：
1.普通克里金插值(OrdinaryKriging)：这是克里金插值的最基本形式，它基于一系列测量数据，通过最小化预测误差的平方和，对未测量位置的值进行估计。

这种方法假设观测点之间的空间相关性可以用一个随机过程来描述。

2.简单克里金插值(SinlPleKriging)：与普通克里金插值类似，但假设空间相关性可以忽略不计，因此每个观测点都被视为独立的。

这种方法适用于观测点之间几乎没有空间相关性，或者已经对观测点进行了充分的空间混合的情况。

3.泛克里金插值(UniVerSalKriging)：这是在普通克里金插值的基础上，考虑了非线性趋势的克里金插值。

它适用于那些除了空间相关性之外，还包含非线性趋势的地质数据。

4.协同克里金插值(Co-Kriging)：这种插值方法用于评估两个不同但相关的测量数据集之间的空间相关性。

它允许我们同时对两个数据集进行插值，并考虑它们之间的相关性。

5.多变异克里金插值(MUlti-VariateKriging)：这是用于处理多个相关变量的插值方法。

它允许不同变量之间的空间相关性被建模，这有助于更好地理解不同变量之间的相互关系。

这些是常见的克里金插值及其变体，选择哪种方法取决于数据的性质以及分析者的需求。

克里格插值法

克里格插值法
克里格插值法是一种被广泛应用于地球科学、环境科学与农业生
态学的数据插值方法，它通过统计分析空间距离和变量之间的关系，
构建一个反映实际数据分布规律的模型，从而在未知点处进行插值预测。

克里格插值法的主要思想是，根据各个采样点之间的空间位置关
系计算权重系数，再以这些权重为基础来对目标点的数值进行预测。

克里格插值法的实现过程主要包括：确定插值模型类型、计算空间距
离与方向、计算各采样点的权重、预测目标点的数值等几个步骤。

克里格插值法有很多优点。

首先，它不需要对大量数据进行修改
和处理，直接通过计算得到预测值，因此能够极大地提高工作效率。

其次，它可以处理不均匀分布的数据，能够更精确地反映真实的地理
表面变化。

此外，克里格插值法的错误率相对较低，能够在一定程度
上减少数据缺失所造成的影响。

当然，克里格插值法也存在一些局限性。

首先，它在计算复杂度
上相对较高，需要进行大量的计算和参数调整，因此在数据量较大时，计算量可能会较为庞大。

其次，克里格插值法只能处理各项同性的数据，对于非同性数据来说可能会存在较大的误差。

总的来说，克里格插值法是一种极为有效、实用的数据插值方法，在地球科学、环境科学与农业生态学等领域得到了广泛的应用。

虽然
它在实际应用中仍存在一些局限性，但随着科技的发展和方法的不断
完善，相信克里格插值法一定会越来越发挥出它的巨大潜力，为人类
的生产和生活带来更多、更好的效益。

克立格插值

克立格插值（2）克立格插值（）空间信息统计深入 1.泛克立格方法的原理及应用 2.协同克立格方法的原理及应用1 泛克立格方法(universal kriging) ? 泛克立格法是用于解决非平稳区域化变量的插值方法? Kriging with a trend model y 漂移m(x) 实测值Z(x) x 1.1 与泛克立格方法有关的概念空间随机变量可以分解为：Z (x) = m (x) + R (x) 其中m(x)称为漂移，R(x)称其中m(x)称为漂移，R(x)称m(x)称为漂移为剩余漂移与剩余的平稳性分析剩余R(x)的数学期望不随空剩余R(x)的数学期望不随空R(x) 间位置的变化而变化，间位置的变化而变化，是平稳的区域化变量。

稳的区域化变量。

漂移m(x) m(x)随空间位置的不同漂移m(x)随空间位置的不同而变化，而变化，是非平稳的区域化变量。

变量。

非平稳条件下空间随机变量的数学期望m (x) = ∑ k l=0 al fl ( x) m ( x ) = a 0 + a1 x + a 2 y m ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 y + a 3 x 2 + a 4 xy + a 5 y 2 2.2 泛克立格方法可解决的问题? 求区域化变量的漂移求区域化变量的漂移m(x) ? 求x处的处的Z(x)值处的值? 求区域化变量的漂移系数(1) 求区域化变量的漂移求区域化变量的漂移m(x) m ( x) = ∑ ρα Z ( xα ) * n α =1 =1 k m ( x ) = ∑ al f l ( x ) l =0 无偏性条件的推导E*m ( x)+ = E*m( x)+ = m( x) * E*m ( x)+ = E*∑ ρα Z ( xα )+ = ∑ ρα E* Z ( xα )+ * n n α =1 α =1 = ∑ ρα E*m( xα )+ = ∑ ρα ∑ al f l ( xα ) α =1 k n n k α =1 l =0 = ∑ al ∑ ρα f l ( xα ) l =0 a =1 n 无偏条件E[m* ( x)] = m( x) 需要在任何条? 由于件下都成立，即：∑ a ∑ ρα f ( xα ) = ∑ a f ( x) l =0 l a =1 l l =0 l l k n k ∑ ρα f ( xα ) = f ( x) a =1 l l n 估计方差的推导Var * m ( x ) ? m * ( x )+ = E,m * ( x ) ? E* m * ( x )+-2 = E,∑ ρα Z ( xα ) ? ∑ ρα E* Z ( xα )+-2 α =1 n n n α =1 = E,∑ ρα * Z ( xα ) ? E ( Z ( xα ))+-2 α =1 n = E,∑ ρα * Z ( xα ) ? E ( Z ( xα ))+-, ∑ ρ β * Z ( x β ) ? E ( Z ( xβ ))+- α =1 n n β =1 = ∑ ∑ ρα ρ β E,Z ( xα ) ? E* Z ( xα )+-, Z ( xβ ) ? E* Z ( xβ )+- α =1 β =1 n n n = ∑ ∑ ρα ρ β Cov ( xα , xβ ) α =1 β =1 方差最小条件Q = ∑∑ ρα ρ βCov( xα , xβ ) ? 2∑ ?l *∑ ρα f l ( xα ) ? f l ( x)+ α =1 β =1 l =0 n n k n α =1 n k ?Q = 2∑ ρ β Cov( xα , xβ ) ? 2∑ ?l f l ( xα ) = 0 (α = 1,2, L n) ?ρα l =0 β =1 n ?Q = 2*∑ ρα f l ( xα ) ? f l ( x)+ = 0 (l = 0,1,2,L k ) ??l α =1 k ?n ?∑ ρ β Cov( xα , xβ ) ?∑ ?l f l ( xα ) = 0 (α = 1,2, L n) ? β =1 l =0 ? n ? ∑ ρα fl ( xα ) ? fl ( x) = 0 (l = 0,1,2,L k ) ? α =1 ? 估计方差δ *m( x)+ = ∑ ?l f l ( x) 2 k l =0 k 处的Z(x)值（2）求x处的）处的值Z UK ( x ) = ∑ λα Z ( xα ) * n α =1 处的Z(x)值（2）求x处的）处的值无偏条件* E[ Z UK ( x )] = E*∑ λα Z ( xα )+ = ∑ λα E* Z ( xα )+ α =1 α =1 n n = ∑ λα m( xα ) = ∑ λα ∑ al f l ( xa ) i =1 k n n k α =1 l =0 = ∑ al *∑ λα f l ( xa )+ l =0 n α =1 m( x) = ∑ al f l ( x) l =0 k 无偏条件∑ a *∑ λα f ( x )+ = ∑ a f ( x) α l =0 l =1 l a l =0 l l k n k ∑ λα f (x ) = f ( x) α =1 l a l n l = 0,1, L k 泛克立格估值的最优条件δ = E* Z 2 E n * UK ? Z ( x)+ = E*∑ λα Z ( xα ) ? Z ( x)+2 2 n α =1 = E,*∑ λα Z ( xα )+ ? 2∑ λα Z ( xα )Z ( x) + * Z ( x)+2 - 2 n α =1 n α =1 = ∑∑ λα λβ E* Z ( xα )Z ( xβ )+ ? 2∑ λα E* Z ( xα )Z ( x)+ + E* Z ( x)+2 α =1 β =1 n n n n α =1 = ∑∑ λα λβ ,C ( xα , xβ ) + E* Z ( xα )+E* Z ( xβ )+- ? 2∑ λα ,C ( xα , x) + E* Z ( xα )+E* Z ( x)+- α =1 β =1 α =1 n + ,C ( x, x) + E 2 * Z ( x)+- = ∑∑ λα λβ C ( xα , xβ ) ? 2∑ λα C ( xα , xβ ) + C ( x, x) + α =1 β =1 n n n n α =1 ,∑∑ λα λβ E* Z ( xα )+E* Z ( xβ )+ ? 2 E* Z ( x)+∑ λα E* Z ( xα )+ + E 2 * Z ( x)+- α =1 β =1 n n n α =1 = ∑∑ λα λβ C ( xα , xβ ) ? 2∑ λα C ( xα , x) + C ( x, x) α =1 β =1 α =1 n n 方差最小条件,∑∑ λα λβ E* Z ( xα )+E* Z ( xβ )+ ? 2 E* Z ( x)+∑ λα E* Z( xα )+ + E 2 * Z ( x)+- α =1 β =1 α =1 n n n = ,E*∑ λα Z ( xα )+- ? 2 E* Z ( x)+,∑ λα E* Z ( xα )+- + ,E* Z ( x)+-2 2 n n α =1 α =1 * * = ,E* ZUK ( x)+-2 ? 2 E* Z ( x)]E[ ZUK ( x)] + {E[ Z ( x)]}2 = {E[ Z ( x)]}2 ? 2 E[ Z ( x)]E[ Z ( x)] + {E[ Z ( x)]}2 =0 泛克立格方程组Q = ∑∑ λα λβ Cov( xα , xβ ) ? 2∑ λα C ( xα , x) + C ( x, x) ? 2∑ ?l * ∑ λα f l ( xα ) ? f l ( x)+ α =1 β =1 α =1 l =0 n n n k n α =1 n k ?Q = 2∑ λβ Cov( xα , xβ ) ? 2C ( xα , x) ? 2∑ ?l f l ( xα ) = 0 (α = 1,2,L n ) ?λα β =1 l =0 n ?Q = ?2* ∑ λαf l ( xα ) ? f l ( x)+ = 0 (l = 0,1,2,L k ) ??l α =1 k ?n ?∑ λβ C ( xα , xβ ) ?∑ ?l f l ( xα ) = C ( xα , x) (α = 1,2,L n) ? β =1 l =0 ? n ? ∑ λα fl ( xα ) ? f l ( x) = 0 (l = 0,1,2,L k ) ? α =1 ? 估计方差k n δ 2 UK = C ( x, x) + ∑ ?l f l ( x) ? ∑ λα C ( xα , x) l =0 α =1 2.3 非平稳区域化变量的变差函数γ R (h) = 1 2 E * R ( x ) + R ( x + h )+ 可以证明,Z(x)的变差函数在局部的范围内约等于剩余的变差函数2γ ( h ) = E,* Z ( x ) ? Z ( x + h )+ - 2 = E * R ( x ) + m ( x ) ? R ( x + h ) ? m( x + h )+ = 2γ R ( h ) + * m ( x ) ? m ( x + h )+ 2 2 2 = E,* R ( x ) ? R ( x + h )] + [ m ( x ) ? m ( x + h )]} 可以证明：E{[m( x) ? m( x + h)][ R ( x) ? R( x + h)]} = 0 当h足够小时：m( x) = m( x + h) R ( x) ? R ( x + h) = Z ( x) ? Z ( x + h) 泛克立格方法的应用泛克立格方法的应用2 协同克立格（Cokriging）协同克立格（）? 协同克立格是综合多个变量信息的估值方法? 协同克立格可以提高估值的准确性，协同克立格可以提高估值的准确性，并降低估计方差2.1 与协同克立格有关的概念? 互协方差函数C j,k (h) = E[Z j (x + h) ? Zk (x)]? mk mj ?互变差函数互变差函数γ j,k (h) = 1 E*Z j (x + h) ? Z j (x)+*Zk (x + h) ? Zk (x)+ 2 2.2 协同克立格方程组的条件Z V k0 = ∑ α∑ k =1 k K nk =1 λα Z α k k 无偏条件* E[ ZVk0 ? ZVk0 ] = E ( ZVk0 ) ? nk0 K ∑ λα α k0 nk0 =1 k0 E ( Zα k0 ) ? ∑ ∑ λα k E (Zα k ) k ≠ k 0 α k =1 K nk = mk0 *1 ? ∑ λα α k0 =1 k0 + ? ∑ mk0 ∑ λα k k ≠ k0 nk α k =1 n k0 ? ? ∑= 1λ α k 0 = 1 α k0 无偏条件? n ? k ? ∑= 1 λ α k = 0 k = 1, 2 .... K , k ≠ k 0 ?α k ? 协同克立格方程组的条件估计方差σ 2 E = E * Z Vk ? Z 0 * V k0 + 2 K nk = C k 0 , k 0 (V k 0 , V k 0 ) ? 2 ∑ ? k =1 ∑C α k =1 k 0 ,k (V k 0 , v α k ) ∑ ∑ α∑ β∑ λ α k =1 k ′=1 k K K nk n′k ′k =1 =1 k λ β ′C k ,k ′( vα , v β ′) k k k 协同克立格方程组∑ β∑ λ β k ′=1 k′K nk′=1 k′C k ′, k ( v β k ′, v α k ) ? ? k = C k 0, k (V k 0 , v α k ) α k = 1, 2 , L , n k ; k , k ′= 1, 2 ,..., K ∑ λα α k0 n k0 =1 k0 =1 = 0 ? k ≠ k0 K ∑ λα α k nk =1 k ∑ K k =1 nk + K 权系数，个个未知数∑ nk 权系数，K个u k =1 2.3 协同克立格应用应用条件? 主变量的信息不足，而次要变量的信息主变量的信息不足，充分? 主变量与次要变量存在一定的相关性? 估值时至少存在一个主变量采样点协同克立格应用实例本讲小结泛克立格方法的原理及应用协同克立格方法的原理及应用克里格法（Kriging）是地统计学的主要内容之一，从统计意义上说，是从变量相关性和变异性出发，在有限区域内对区域化变量的取值进行无偏、最优估计的一种方法；从插值角度讲是对空间分布的数据求线性最优、无偏内插估计一种方法。

克里金插值法

克里金插值法克里金插值法又称空间局部插值法，是以变异函数理论和结构分析为基础，在有限区域内对区域化变量进行无偏最优估计的一种方法，是地统计学的主要内容之一，由南非矿产工程师D. Matheron 于1951年在寻找金矿时首次提出，法国著名统计学家G. Matheron 随后将该方法理论化、系统化，并命名为Kriging ，即克里金插值法。

1 克里金插值法原理克里金插值法的适用范围为区域化变量存在空间相关性，即如果变异函数和结构分析的结果表明区域化变量存在空间相关性，则可以利用克里金插值法进行内插或外推。

其实质是利用区域化变量的原始数据和变异函数的结构特点，对未知样点进行线性无偏、最优估计，无偏是指偏差的数学期望为0，最优是指估计值与实际值之差的平方和最小[1]。

因此，克里金插值法是根据未知样点有限领域内的若干已知样本点数据，在考虑了样本点的形状、大小和空间方位，与未知样点的相互空间关系，以及变异函数提供的结构信息之后，对未知样点进行的一种线性无偏最优估计。

假设研究区域a 上研究变量Z （x ），在点x i ∈A （i=1，2，……，n ）处属性值为Z （x i ），则待插点x 0∈A 处的属性值Z （x 0）的克里金插值结果Z*（x 0）是已知采样点属性值Z （x i ）（i=1，2，……，n ）的加权和，即：)()(10*i ni i x Z x Z ∑==λ （1）式中i λ是待定权重系数。

其中Z(x i )之间存在一定的相关关系，这种相关性除与距离有关外，还与其相对方向变化有关，克里金插值方法将研究的对象称“区域化变量”针对克里金方法无偏、最小方差条件可得到无偏条件可得待定权系数i λ (i=1，2，……，n)满足关系式：11=∑=n i i λ（2）以无偏为前提，kriging 方差为最小可得到求解待定权系数i λ的方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋯⋯==+∑∑==1)n ,2,1)(,(),(101n i i j j i n i i j x x C x x C λμλ，（3）式中，C （x i ，x j ）是Z(x i )和Z(x j )的协方差函数。

克里格插值

克里格插值
在克里格插值过程中，需注意以下几点：
（1）数据应符合前提假设
（2）数据应尽量充分，样本数尽量大于80，每一种距离间隔分类中的样本对数尽量多于10对（3）在具体建模过程中，很多参数是可调的，且每个参数对结果的影响不同。

如：块金值：误差随块金值的增大而增大；基台值：对结果影响不大；变程：存在最佳变程值；拟合函数：存在最佳拟合函数（4）当数据足够多时，各种插值方法的效果相差不大。

3. 克里格方法的分类
目前，克里格方法主要有以下几种类型：普通克里格（Ordinary Kriging）；简单克里格（Simple Kriging）；泛克里格（Universal Kriging）；协同克里格（Co-Kriging）；对数正态克里格（Logistic Normal Kriging）；指示克里格（Indicator Kriging）；概率克里格（Probability Kriging）；析取克里格（Disjunctive Kriging）等。

下面简要介绍一下ArcGIS中常用的几种克里格方法的适用条件，其具体的算法、原理可查阅相关文献资料。

不同的方法有其适用的条件，按照以上流程图所示步骤，当数据不服从正态分布时，若服从对数正态分布，则选用对数正态克里格；若不服从简单分布时，选用析取克里格。

当数据存在主导趋势时，选用泛克里格。

当只需了解属性值是否超过某一阈值时，选用指示克里格。

当同一事物的两种属性存在相关关系，且一种属性不易获取时，可选用协同克里格方法，借助另一属性实现该属性的空间内插。

当假设属性值的期望值为某一已知常数时，选用简单克里格。

当假设属性值的期望值是未知的，选用普通克里格。

克里金插值法

克里金插值法克里金插值法又称空间局部插值法，是以变异函数理论和结构分析为基础，在有限区域内对区域化变量进行无偏最优估计的一种方法，是地统计学的主要内容之一，由南非矿产工程师D. Matheron 于1951年在寻找金矿时首次提出，法国著名统计学家G. Matheron 随后将该方法理论化、系统化，并命名为Kriging ，即克里金插值法。

1 克里金插值法原理克里金插值法的适用范围为区域化变量存在空间相关性，即如果变异函数和结构分析的结果表明区域化变量存在空间相关性，则可以利用克里金插值法进行内插或外推。

其实质是利用区域化变量的原始数据和变异函数的结构特点，对未知样点进行线性无偏、最优估计，无偏是指偏差的数学期望为0，最优是指估计值与实际值之差的平方和最小[1]。

因此，克里金插值法是根据未知样点有限领域内的若干已知样本点数据，在考虑了样本点的形状、大小和空间方位，与未知样点的相互空间关系，以及变异函数提供的结构信息之后，对未知样点进行的一种线性无偏最优估计。

假设研究区域a 上研究变量Z （x ），在点x i ∈A （i=1，2，……，n ）处属性值为Z （x i ），则待插点x 0∈A 处的属性值Z （x 0）的克里金插值结果Z*（x 0）是已知采样点属性值Z （x i ）（i=1，2，……，n ）的加权和，即：)()(10*i ni i x Z x Z ∑==λ （1）式中i λ是待定权重系数。

其中Z(x i )之间存在一定的相关关系，这种相关性除与距离有关外，还与其相对方向变化有关，克里金插值方法将研究的对象称“区域化变量”针对克里金方法无偏、最小方差条件可得到无偏条件可得待定权系数i λ (i=1，2，……，n)满足关系式： 11=∑=n i i λ（2）以无偏为前提，kriging 方差为最小可得到求解待定权系数i λ的方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋯⋯==+∑∑==1)n ,2,1)(,(),(101n i i j j i n i i j x x C x x C λμλ，（3）式中，C （x i ，x j ）是Z(x i )和Z(x j )的协方差函数。

克里金插值(kriging)

跃迁现象
一维情况下的定义：
假设空间点x只在一维的x轴上变化，则将区域化变量Z(x)在x，x+h两点处的值之差的方差之半定义
为Z(x)在x轴方向上的变差函数，记为 (x, h)
(x,h)
=
1 2
Var[Z(x)-Z(x+h)]
=
1 2
E[Z(x)-Z(x+h)]2-{E[Z(x)-Z(x+h)]}2
H. S. Sichel (1947) D.G. Krige (1951)
应用统计学方法研究金矿品位
Kriging法（克里金法，克立格法）:“根据样品空间位置不同、样品间相关程度的不同，对每个样品品位赋予不同的权，进行滑动加权平均，以估计中心块段平均品位”
G. Materon(1962)
提出了“地质统计学”概念 (法文Geostatistique)
基台值(Sill)：代表变量在空间上的总变异性大小。即为变差函数在h大于变程时的值，为块金值c0和拱高cc之和。拱高为在取得有效数据的尺度上，可观测得到的变异性幅度大小。当块金值等于0时，基台值即为拱高。
Z*(x0)
（1）无偏条件
从本征假设出发, 可知 EZx为常数,有
EZ * x0 Zx0
E n i Z xi Z x0
i1

n i m m 0 i1
（在搜寻邻域内为常数，不同邻域可以有差别）
特殊地，当h=0时，上式变为 Var[Z(u)]=C(0), 即方差存在且为常数。
u+h u
本征假设 intrinsic hypothese
（比二阶平稳更弱的平稳假设）
当区域化变量Z(u)的增量[Z(u)-Z(u+h)]满足下列二条件时，称其为满足本征假设或内蕴假设。

克里格空间插值法

其中，Z（si）是已测得的第i个位置的属性值，wi是在第i个位置上测得值的权重，s0是待插值的位置，n是已知样点的数目。距离倒数加权插值中，权重wi仅取决于样点到待插值点的距离。在克里格插值中，权重不仅考虑了已知点与插值点间的距离，而且考虑了己知点的位置和属性值整体的空间分布和格局。克里格插值中的权重来自半方差函数模型（生成的表示地理现象连续表面的函数），在半方差函数模型和邻近已知点的空间分布的基础上，对研究区内的各个位置进行预测，权重wi取决于已知点的拟合模型、到插值点的距离和插值点周围的已知样点的空间关系。
（ 4）成层随机采样
（ 5）聚集采样
（ 6）等值线采样
图1 各种不同的采样布置方式
1.7 区域变量
区域化变量一个变量的空间分布称为该变量的区域化。
如果变量以三个空间坐标（x，y，z）为自变量，那么该变量就是区域化变量。
区域化变量假定，在一定空间范围内，属性指标的变异可以用一个连续的、空间上相关的随机域来模拟。任何变量的空间变异可以表示为三个主要组分之和：确定性成份、区域成分和随机成分。
1.2.1整体插值方法
1 边界内插方法边界内插方法假设任何重要的变化发生
在边界上，边界内的变化是均匀的，同质的，即在各方向都是相同的。
2 趋势面分析
根据采样点的属性数据与地理坐标的关系，进行多元回归分析得到平滑数学平面方程的方法，称为趋势面分析。
1.2.2局部插值方法
只使用邻近的数据点来估计未知点的值，包括几个步骤：
空间插值的理论假设是空间位置上越靠近的点，越可能具有相似的特征值；而距离越远的点，其特征值相似的可能性越小。
1.1空间插值法简述

克里格法插值法

克里格法插值法克里格法又称空间自协方差最佳插值法，它是以南非矿业工程师D．G．Krige的名字命名的一种最优内插法。

其特点是线性，无偏，方差小，适用于空间分析。

所以很适合地质学、气象学、地理学、制图学等。

相对于其他插值方法。

主要缺点：由于他要依次考虑（这也是克里格插值的一般顺序）计算影响范围，考虑各向异性否，选择变异函数模型，计算变异函数值，求解权重系数矩阵，拟合待估计点值，所以计算速度较慢。

而那些趋势面法，样条函数法等。

虽然较快，但是逼近程度和适用范围都大受限制。

克里格插值又分为：简单，普通，块，对数，指示性，泛，折取克里格插值等。

克里格插值的变异函数有球形模型，指数模型，高斯模型，纯块金模型，幂函数模型，迪维生模型等。

克里格法（Kriging）是地统计学的主要内容之一，从统计意义上说，是从变量相关性和变异性出发，在有限区域内对区域化变量的取值进行无偏、最优估计的一种方法；从插值角度讲是对空间分布的数据求线性最优、无偏内插估计一种方法。

克里格法的适用条件是区域化变量存在空间相关性。

克里格法，基本包括普通克里格方法（对点估计的点克里格法和对块估计的块段克里格法）、泛克里格法、协同克里格法、对数正态克里格法、指示克里格法、折取克里格法等等。

随着克里格法与其它学科的渗透，形成了一些边缘学科，发展了一些新的克里格方法。

如与分形的结合，发展了分形克里格法；与三角函数的结合，发展了三角克里格法；与模糊理论的结合，发展了模糊克里格法等等。

应用克里格法首先要明确三个重要的概念。

一是区域化变量；二是协方差函数，三是变异函数。

它首先考虑的是空间属性在空间位置上的变异分布．确定对一个待插点值有影响的距离范围，然后用此范围内的采样点来估计待插点的属性值。

该方法在数学上可对所研究的对象提供一种最佳线性无偏估计(某点处的确定值)的方法。

它是考虑了信息样品的形状、大小及与待估计块段相互间的空间位置等几何特征以及品位的空间结构之后，为达到线性、无偏和最小估计方差的估计，而对每一个样品赋与一定的系数，最后进行加权平均来估计块段品位的方法。

克里格插值法

工程数学
工程数学
提出了如下的平稳假设及内蕴假设：提出了如下的平稳假设及内蕴假设：
{ 随机函数：随机函数：Z (u ), u ∈ 研究范围} ，其空间分布律不因平移而改变，即若对任一向量h，而改变，即若对任一向量，关系式
F ( z1 , z2 , ⋅⋅⋅; x1 , ⋅⋅⋅) = F ( z1 , z2 , ⋅⋅⋅; x1 + h, x2 + h, ⋅⋅⋅)
D(ξ ) = Var (ξ ) = E[ξ − E (ξ )] = E (ξ ) − E (ξ )2 22来自工程数学工程数学
（3）协方差）协方差是用来刻画随机变量之间协同变化程度的指标，协方差是用来刻画随机变量之间协同变化程度的指标，其大小反映了随机变量之间的协同变化的密切程度。大小反映了随机变量之间的协同变化的密切程度。
σ ij = Cov(ξ1 , ξ 2 ) = E[(ξ1 − E (ξ1 ) (ξ 2 − E (ξ 2 ) ] ））
= E (ξ1ξ 2 ) − E (ξ1 ) E (ξ 2 )
（4）相关系数）协方差是有量纲的量，与随机变量分布的分散程度有关，协方差是有量纲的量，与随机变量分布的分散程度有关，为消除分散程度的影响，提出了相关系数这个指标。消除分散程度的影响，提出了相关系数这个指标。
成立时，则该随机函数成立时，则该随机函数Z(x)为平稳性随机函数。为平稳性随机函数。这实际上就是指，无论位移h多大，两个维向量的随机变量多大，这实际上就是指，无论位移多大两个k维向量的随机变量
{ Z ( x1 ), Z ( x2 ),L , Z ( xk )} 和 { Z ( x1 + h), Z ( x2 + h),L , Z ( xk + h)}

kriging 方法

kriging 方法Kriging方法，又称克里格插值法，是一种常用于空间插值的统计方法。

它的主要目的是通过已知的数据点来估计未知位置的值，并给出估计值的可靠性信息。

在地理信息系统（GIS）和地质学领域，克里格插值法被广泛应用于栅格数据的插值和空间预测。

克里格插值法基于一个重要的假设，即空间上相近的点具有相似的属性值。

根据这个假设，插值方法通过计算距离权重来估计未知位置的属性值。

克里格插值法有多种变体，其中最常用的是简单克里格法和普通克里格法。

简单克里格法是克里格插值法的最简单形式，它假设空间上各点之间的距离权重与其距离成反比。

简单克里格法的估计结果仅依赖于最近邻的数据点，因此插值结果可能会出现较大的变化。

普通克里格法是一种改进的插值方法，它考虑了更多的数据点，并通过计算协方差来确定权重。

普通克里格法对距离较近的点赋予较大的权重，对距离较远的点赋予较小的权重。

通过对协方差进行插值，普通克里格法能够提供更准确的空间预测结果。

在使用克里格插值法之前，我们需要先进行数据的分析和预处理。

首先，我们要检查数据的空间分布情况，了解数据点之间的关系。

其次，我们要检查数据的属性值是否存在异常值或离群点。

如果存在异常值，需要进行数据清洗或者采用合适的处理方法。

最后，我们要选择合适的克里格插值方法和参数，以获得最佳的插值效果。

在进行克里格插值时，我们需要选择合适的变程参数和协方差函数。

变程参数决定了插值结果的平滑程度，较大的变程参数会产生较平滑的插值结果，而较小的变程参数则会产生较崎岖的插值结果。

协方差函数则用于计算不同距离下的权重，常用的协方差函数有指数型、高斯型和球型等。

除了简单克里格法和普通克里格法，还有一些改进的克里格插值方法，如克里格法的泛化版本——逆距离加权插值法（IDW）。

逆距离加权插值法通过计算数据点与插值位置之间的距离倒数来确定权重。

与克里格插值法相比，逆距离加权插值法对最近邻点赋予更高的权重，对较远的点赋予较小的权重。

r语言克里格空间插值方法

在R语言中，可以使用gstat包中的UniversalKrige函数来进行克里格空间插值。

以下是一个简单的例子：首先，你需要安装和加载gstat包：r复制代码install.packages("gstat")library(gstat)然后，假设你有一个数据框df，其中包含你想要插值的点的经度和纬度（列名为lon和lat），以及对应位置的观测值（列名为value）：r复制代码df <- data.frame(lon = c(10, 20, 30, 40, 50),lat = c(10, 20, 30, 40, 50),value = c(1, 2, 3, 4, 5))接下来，你可以使用UniversalKrige函数进行克里格插值：r复制代码k <- UniversalKrige(formula = value ~ 1, data = df, model = "Universal")在这个例子中，我们使用了"Universal" 模型，但UniversalKrige函数还支持其他模型，例如"Simple Kriging" 和"Ordinary Kriging"。

最后，你可以使用predict函数来预测新的点的值：r复制代码new_points <- data.frame(lon = c(15, 25, 35, 45), lat = c(15, 25, 35, 45))predictions <- predict(k, new_points)print(predictions)这将输出预测的值。

普通克里格插值

普通克里格插值普通克里格（Ordinary Kriging）是区域化变量的线性估计，它假设数据变化成正态分布，认为区域化变量Z的期望值是未知的。

插值过程类似于加权滑动平均，权重值的确定来自于空间数据分析。

ArcGIS中普通克里格插值包括4部分功能：创建预测图（Prediction Map）、创建分位数图（Quantile Map）、创建概率图（Probability Map）、创建标准误差预测图（Prediction Standard Error Map）。

1. 创建预测图（Prediction Map）其在ArcGIS 中的实现步骤为：（1）在ArcMap 中加载jsGDP _training 和jsGDP _test。

（2）右击工具栏，启动地理统计模块Geostatistical Analyst。

（3）单击Geostatistical Analyst模块的下拉箭头点击Geostatistical Wizard命令（4）在弹出的对话框（如图10.51)中，在Dataset 选择训练数据jsGDP_test_training 及其属性GDP，在Validation 中选择检验数据jsGDP_test_test 及其属性GDP，选择Kriging 内插方法，最后点击Next 按钮。

图1 输入数据和方法选择对话框（5）在弹出的对话框（如图2)中，展开普通克里格（Ordinary Kriging），在下面的选项中点击预测（Prediction），在DataSet1 里的Transformation 里选择log 变换方式，点击Next 按钮。

图2 统计内插方法选择对话框（6）在弹出的Semivariogram/Covariance Modeling 对话框（如图3)中，选中Show Search Direction 选项，移动左图中的搜索方向，然后点击Next 按钮。

图3 半变异/协方差模型对话框（7）在弹出的Searching Neighborhood 对话框（如图4)，点击Next 按钮。