数轴、绝对值、相反数重难点研习

数轴绝对值、相反数重难点研习

一、教材知识研习

研习点1 数轴的概念

（1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．

这里包含两个内容：一是数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可．二是这三个要素都是规定的．

（2）数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数．

【梳理总结】首先，要理解数轴的概念．规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴．它包含三层涵义：一是数轴是一条直线，可以向两端无限伸展．二是数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可．三是原点：原点是数轴上有特殊意义的点，它相当于温度计的零刻线；正方向及单位长度是根据实际需要“规定”的，正方向一般地规定为向右的方向；单位长度可视具体情况而定，但要注意单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者是指所取度量单位的长度，而后者是指度量的单位的名称（米、分米、厘米等），这就是说单位长度是一条人为规定的代表“１”的线段，这条线段可长可短，按实际情况而定．典例1下列各图中，表示数轴的是( )

[研析]画数轴时，数轴的三要素——原点、正方向、单位长度是缺一不可的，所以应当用这三要素检查每个图形，判断是否画的正确．

解A图没有指明正方向；

B图中，1和-1表示的一个单位长度不相等，在同一数轴上，单位长度必须一致；

C图中没有原点；

D图中三要素齐全．

∴A、B、C三个图画的都不是数轴，只有D图画的是数轴．

研习点2 数轴的画法

画法：①画一条直线（一般水平放置），在这条直线上任取一点作原点，用这点表示0。

②规定直线上从原点向右为正方向（箭头所指方向），那么相反的方向，即从原点向左为负方向。

③选取适当的长度作为单位长度，在直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示1、2、3…，从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示-1、-2、-3…

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

图1－2－1

强调：三要素都是规定的，即可根据情况灵活选定原点的位置，正方向的指向、单位长度的大小也可根据不同需要选择，但这三要素一经确定，就不能随意改变。

数轴三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。

【归纳整理】 数轴的画法分为四步：一画，画一条直线．二取，在这条直线的适当位置取一点，作为原点，用实点表示．三定，确定正方向，用箭头表示出来．四统一，选取适当的长度作为单位长度，用细短线在直线上画出，并对应地标注各数，注意同一数轴的单位长度要一致．画数轴常出现的错误：（１）没有方向；（２）没有原点；（３）单位长度不统一；（４）负数的排列错误．

典例2 判断下列图形中所画数轴是否正确，如不正确，指出错在哪里？

0A

C 234-1

0D

1

[研析] 画数轴三要素缺一不可，故以上数轴都不正确。 解 A 不正确，缺少单位长度； •B 不正确，缺少正方向；

C 不正确，缺少原点；

D 不正确，单位长度不一致。

研习点3 绝对值 一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离，数的绝对值记作│a │ 如：│5│指在数轴上表示5的点与原点的距离，这个距离是5，所以5的绝对值是5，记作│5│。

一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。

【梳理总结】 无论是绝对值的代数意义还是几何意义，都揭示了绝对值的以下有关性质：

（1）任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数，这是绝对值的非负性，即│a │≥0；

（2）绝对值等于0的数只有一个，就是0，若│0│＝0；

（3）绝对值等于一个正数的数有两个，这两个数互为相反数；

（4）互为相反数的两个数的绝对值相等。

典例3 求下列各数的绝对值。 （1） 18；（2）3

5；（3）0

[研析] 一个数的绝对值与这个数之间的关系有三种：

①正数的绝对值是它本身；

②负数的绝对值是它的相反数；

③0的绝对值是0。

解：（1）因为-18是负数，所以-18的绝对值等于18，即-=1818。 （2）因为35是正数，所以35的绝对值等于35，即

3535=。 （3）0的绝对值等于0，即

00=。

说明：

①一个数绝对值与这个数的本身或它的相反数有关系。 ②求一个数的绝对值，首先要对这个数作出判断：是正数还是负数或者0；然后再选择一个数的绝对值与这个数之间的某种关系；最后写出结果。必须注意，求一个数的绝对值不能误认为就是去掉这个数前面的符号。当一个数是用字母表示的数，如+a ，并没有+=a a ，同样，对于-b ，也没有-=b b 。

研习点4 相反数

只有性质符号不同的两个数，才互为相反数。如31和-31

；-3和3；7和-7都是互为相反数。0的相反数是0，由定义知相反数是成对出现的（但-3和5不叫相反数），数轴上表示它们的点分别在原点的两侧且与原点的距离相等。如图，521与-521互为相反数，

图1－2－2

【梳理总结】一般地，数a 的相反数是-a,记作-(a)=-a ；-a 的相反数是a,即-(-a)=a ，这里a 可表示正数，负数和0。

正数的相反数是负数；0的相反数还是0；负数的相反数是正数。

典例3 填空题：

（1）2的相反数的绝对值是______；

（2）绝对值等于5的数是_______；

（3）绝对值不大于2的整数是________。

[研析] 求一个数的绝对值，用代数定义比较方便，求绝对值等于5的数用几何定义比较直观，不大于即小于或等于，绝对值不大于2的整数即在数轴上到原点距离小于或等于2的整数点表示的数。

解：（1）2； （2）±5；（3）-2，-1，0，1，2。

二、思维误区辨析

易错点1 数轴的概念理解错误

典例1 数轴的三要素是什么？

[研析] 误解 数轴的三要素是指原点、正方向、长度单位．

正解 数轴的三要素是原点、正方向和单位长度．

错因分析 上面的回答错在混淆了“单位长度”和“长度单位”这两个概念．看起来只有词序不同，但实际意义不一样．“长度单位”是一个确定的量，如厘米、分米等．而“单位长度”不是确定的，它的大小可根据实际需要适当选取．当然还可用一个或若干个长度单位来作为一个“单位长度”．

易错点2 数轴画法错误

典例2 在数轴上记出下列各数：