华东师大版八年级上册14.2勾股定理的应用
华东师大版八年级数学上册14.2勾股定理的应用优秀教学案例
3.通过对勾股定理的应用，培养学生独立思考、解决问题的习惯，培养学生的团队合作精神。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生学习数学的兴趣，培养学生对数学的热爱，树立学生的自信心。
2.使学生认识到数学在生活中的重要性，培养学生的数学应用意识。
（三）小组合作
1.组织学生进行小组合作，共同解决问题，培养学生的团队合作意识和沟通能力，例如：分组讨论如何运用勾股定理测量建筑物的高度。
2.教师给予适当的指导和支持，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ助学生克服困难，例如：在学生解决问题过程中，教师提供必要的数学知识和方法。
（四）反思与评价
1.引导学生进行自我反思，总结自己在解决问题过程中的优点和不足，例如：让学生反思自己在解决勾股定理应用问题时，哪些方法有效，哪些需要改进。
三、教学策略
（一）情景创设
1.生活情境：以实际生活中的场景为导入，例如测量房间的高度，让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣。
2.问题情境：设计具有挑战性和启发性的问题，引发学生的思考，例如：“如果已知直角三角形的两条直角边，如何求斜边的长度？”
3.操作情境：让学生动手操作，亲自体验勾股定理的应用，例如：用硬纸板制作直角三角形，测量其边长，验证勾股定理。
考虑到学生的年龄特点和认知水平，本节课通过设计丰富的教学活动，引导学生运用勾股定理解决实际问题。在教学过程中，注重培养学生的动手操作能力、合作交流意识和创新能力，使学生在轻松愉快的氛围中掌握勾股定理的应用。
为了提高教学效果，教师在课前充分准备，搜集了与勾股定理相关的实际问题，设计了多样化的教学活动。同时，注重与学生的互动，引导他们积极参与课堂讨论，提高他们的数学思维能力和解决问题的能力。
华东师大版八年级上册第14章14.2勾股定理的应用教学设计
本章教学设计将围绕以上三个部分展开，确保学生在掌握勾股定理知识的基础上，提高解决问题的能力，培养良好的情感态度与价值观。
二、学情分析
八年级学生在学习勾股定理的应用前，已经掌握了勾股定理的基本概念及其证明方法。在此基础上，他们对直角三角形的相关知识有了初步的了解，具备了一定的几何图形认知能力和逻辑思维能力。然而，在实际运用勾股定理解决问题时，学生可能会遇到以下困难：
4.学生能够运用勾股定理解释生活中的现象，如房屋建筑中的直角三角形问题、物体斜抛运动中的直角三角形问题等。
（二）过程与方法
1.学生能够通过实际操作，如画图、测量等，直观地感受勾股定理的含义和应用。
2.学生能够运用数学推理方法，如代数运算、逻辑推理等，证明勾股定理的正确性。
3.学生能够运用勾股定理解决实际问题，培养将数学知识应用于实际生活的能力。
1.将实际问题抽象为直角三角形模型的能力较弱，需要进一步引导和培养。
2.运用勾股定理进行计算时，可能会出现运算错误，需要加强巩固和练习。
3.部分学生对数学学科的兴趣和自信心有待提高，教师应关注学生的情感需求，激发学习兴趣。
针对以上学情，本章节教学设计将从以下几个方面入手：
1.设计丰富的实际问题情境，引导学生将数学知识应用于实际生活。
6.情感教育，培养价值观：
在教学过程中，关注学生的情感需求，鼓励学生积极参与课堂讨论，培养学生的团队协作能力和勇于探究的精神。
7.课后拓展，提高应用能力：
课后布置实际应用题，让学生将勾股定理应用于生活，提高学生的应用能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.引入生活实例：以学生熟悉的生活场景为例，如一根直角三角形的竹竿靠在墙角，提问学生如何计算竹竿的长度。引导学生思考直角三角形边长之间的关系，为新课的学习做好铺垫。
华东师大版八年级数学上册14.2勾股定理的应用教学设计
-通过动态演示或实物模型，引导学生发现直角三角形三边之间的关系，从而引出勾股定理。
-结合图形，详细讲解勾股定理的公式及其推导过程，让学生深刻理解定理的内涵。
-通过例题，展示勾股定理在实际问题中的应用，如计算斜边长度、确定直角三角形的形状等。
3.课堂练习：
-设计不同难度的练习题，让学生独立完成，巩固勾股定理的知识。
2.实践应用题：设计一道与实际生活相关的勾股定理应用题，要求同学们运用所学知识解决问题。例如，假设学校旗杆的高度不易直接测量，但我们可以测得旗杆底端到地面的水平距离以及旗杆顶端到视线的垂直距离，请计算旗杆的大致高度。
3.创新思维题：请同学们思考并尝试证明勾股定理的逆定理，即在一个三角形中，如果一边的平方等于另外两边平方和，那么这个三角形是直角三角形。鼓励同学们运用多种方法进行证明，如几何法、代数法等。
2.学生在解决实际问题时，可能难以将勾股定理与问题情境有效结合。教师应通过丰富的实例，引导学生学会运用勾股定理分析问题、解决问题。
3.学生的几何直观能力和逻辑思维能力发展不平衡，部分学生可能在学习过程中感到困难。教师应关注学生的个体差异，提供不同难度的学习任务，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
4.学生在合作学习过程中，可能存在交流不畅、分工不明确等问题。教师应引导学生学会倾听、表达和协作，提高学生的团队协作能力。
-针对学生的错误，及时进行讲解和指导，帮助学生克服难点。
4.小组合作：
-将学生分成小组，针对实际问题进行讨论和合作，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
-引导学生运用勾股定理解决实际问题，如设计建筑物的高度、测量河流宽度等。
5.课堂小结：
-通过提问、总结等方式，帮助学生梳理本节课的知识点，形成知识结构。
华东师大版八年级上册数学教学设计《14.2勾股定理的应用(2)》
华东师大版八年级上册数学教学设计《14.2勾股定理的应用（2）》一. 教材分析《14.2勾股定理的应用（2）》这一节内容，是在学生已经掌握了勾股定理的基础上进行学习的。
本节课主要让学生进一步理解并掌握勾股定理的应用，能够运用勾股定理解决实际问题。
教材通过例题和练习题的形式，帮助学生巩固知识点，提高解题能力。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了勾股定理的基本知识，对于运用勾股定理解决一些简单问题已经没有太大的困难。
但是，学生在解决实际问题时，可能会因为对题目的理解不够深入，而导致无法正确运用勾股定理。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生深入理解题目，找出题目中的关键信息，从而正确运用勾股定理。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生进一步理解并掌握勾股定理的应用，能够运用勾股定理解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过例题和练习题，培养学生的解题能力，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：让学生感受数学与生活的联系，培养学生的数学兴趣。
四. 教学重难点1.重点：让学生进一步理解并掌握勾股定理的应用。
2.难点：如何引导学生找出题目中的关键信息，从而正确运用勾股定理解决实际问题。
五. 教学方法1.讲授法：教师通过讲解例题和解析练习题，引导学生掌握勾股定理的应用。
2.引导法：教师通过提问和引导，帮助学生找出题目中的关键信息，从而正确运用勾股定理。
3.练习法：学生通过做练习题，巩固所学知识，提高解题能力。
六. 教学准备1.教师准备：教师需要熟悉教材内容，了解学生的学习情况，准备相应的教学材料和课件。
2.学生准备：学生需要预习本节课的内容，了解勾股定理的应用，准备好笔记本和文具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入本节课的主题，例如：“一个直角三角形的两条直角边长分别为3米和4米，求这个直角三角形的斜边长。
”让学生思考并讨论如何解决这个问题，从而引出勾股定理的应用。
华东师大版八年级上册数学第14章14.2课题2 勾股定理的实际应用
答：蚂蚁爬行的最短距离为25米．
知识模块二 勾股定理的实际应用
阅读教材P121，完成下面的内容： 范例 如图，一块长4m，宽2.1m的薄木板能否从一 个宽1m，高2m的门框内通过．
分析：木板横着或竖着都不能从门 框内通过，只能试试斜着通过，门 框对角线的长度是斜着通过的最大 长度，求出AC，在与木板的宽比较， 就知道能否通过．
情景导入
回顾： 1.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别 为a、b，斜边长为c，那么一定有__a_2＋__b_2_＝__c_2__． 2．线段的基本事实：两点之间，线__段__最__短__． 3．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、 c有关系a2＋b2＝c2，那么这个三角形是 __直__角__三__角__形__，且___边__c___所对的角是直角．
AC＝ AB2－BC2＝ 252－72＝24.
所以梯子的顶端距地面24米．
(2)已知AD＝4米，则CD＝24－4＝20(米)． 在Rt△CDE中 ，DE为斜边，根据勾股定理得：
CE＝ DE2－CD2＝ 252－202＝15(米)．
BE＝15－7＝8(米)． 所以梯子的底部在水平方向移动了8米，不是4米．
仿例 如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点 B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的 表面从点A爬到点B，求蚂蚁爬行的最短距离． 解：将长方体表面展开，连结AB，根据两 点之间线段最短，线段AB的长度即为蚂蚁 爬行的最短距离． 如图，BD＝10＋5＝15，AD＝20，三角形 ABD为直角三角形， 由勾股定理得，
4．勾股定理是适用于___直__角____三角形的三边数 量关系的定理． 5．直角三角形的两边长分别是5和12，则斜边长 为_1ห้องสมุดไป่ตู้3__或___1_19_____．
华师大版八年级上册14.2勾股定理的应用
14.2勾股定理的应用1
初二数学组
网格问题
如图，正方形网 A 格中，每个小正 方形的边长为1， 则网格上的 △ABC三边的 大小关系？
C B
网格问题
如图，小方格都是边长为1的正方形， 求四边形ＡＢＣD的面积．
面积问题 有一块田地的形状和尺寸如图所 示，，a2-b2=7， 2 2 2a =32，a =16， a=4， 2 b =9 b=3 又c=5c为最大边 设最大边上的高为Ｘ
１ ab= １ cＸ ２ ２ Ｘ=2.4
甲船在港口A正南方向60 海里的B处向港口行进， 同时，在甲船正东方向 80海里的C处有乙船也向 港口行进,甲船的速度为 30海里/时,乙船的速度 为40海里/时. 问:1.甲、乙两船谁先到 达港口? 2.先到的船比后到的船 提前几小时?
解：如图，在Rt∆ABC BC2=AB2+AC2 中， BC= (30×2)2+(40×2)2
=100(海里)
答：甲乙两船相距100 C 海里。
B A
例
1、已知：等边△ ABC的边长是6cm (1) 求高AD的长. (2) 求S △ ABC.
A
B
D
C
例
解： （1）∵ △ ABC是等边三角形，AD是高，
A
E
C
B 勾a C 弦c 股b
一、 勾股定理： 字母表示：
如果在Rt∆ABC中，
A
∠C=90°
2 那么a + 2 b = 2 c
语言叙述：
直角三角形的两条直角边 的平方和等于它斜边的平方。
Ｃ
二、勾股定理的证明 b
a c b
a c
c
（一）
c
华东师大版数学八年级上册课件：14.2《勾股定理的应用》 (共25张PPT)
圆柱体表面上两点间的最短距离 正方体或长方体表面上两点间的最短距离 勾股定理的其他应用
一. 最短路程问题
知识点 1 圆柱体表面上两点间的最短距离
(1)在平面上寻找两点之间的最短路线的依据：①两点之间线段 最短；②直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短．
(2)在立体图形中，由于受到物体和空间的阻隔，两点间的最短 路线长不一定是两点间的线段长．
一. 最短路程问题
(3)当蚂蚁经过左面和上底面时，如图，最短 路程为
B
A
AB＝ AC2 BC2 ＝
A1
42 22
B 2
3
C
＝ 20
18 20 26
最短路程为 18 ㎝
一. 最短路程问题
解决有关立体图形中路线最短的问题，其关键是 把立体图形中的路线问题转化为平面上的路线问题． 如圆柱侧面展开图为长方形，圆锥侧面展开图为扇形， 长方体侧面展开图为长方形等．运用平面上两点间线 段最短的道理，利用勾股定理求解．
折叠问题
1、矩形纸片ABCD中，AD＝4cm，
AB=10cm，按如图方式折叠，折痕是EF
，求DE的长度？
E
A
B
D
（B）
FC
（C）
二.勾股定理的其他应用
折叠问题
2、如图，在矩形ABCD中，沿直线AE把 △ADE折叠，使点D恰好落在边BC上一点F 处，AB＝8cm，CE=3cm，求BF的长度。
二.勾股定理的其他应用
二.勾股定理的其他应用
知识点 3 勾股定理的其他应用
1.在一些求高度、宽度、长度、距离等量的问题中， 首先要结合题意画出符合要求的直角三角形，也就 是把实际问题转化为数学问题，进而把要求的量看 成直角三角形的一条边，然后利用勾股定理进行求 解．
华东师大版 八年级上册 14.2 勾股定理的应用(共21张PPT)
做一做
如图，以Rt△ABC的三边为边分 别向外作正方形.在以BC为边所作的正 方形中，点O是正方形对角线的交点， 过点O作AB的平行线，交正方形于M、 N两点，过点O作MN的垂线，交正方 形于E、F两点，这样把正方形划分成 四个形状与大小都一样的四边形.试将 图中5个着色的图形拼入到上方空白的 大正方形中，填满整个大正方形.
第14章 勾股定理
14.2 勾股定理的应用
例1
如图，有一个圆柱，它的 B
C
高等于12厘米，底面半径等于
3厘米，在圆柱下底面的A点 A
D
有一个蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的
C处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多
少？（π取3）
思考
（1）自制一个圆柱，尝试从A点到C点沿圆柱 侧面画出几条路线，你认为哪条最短呢？
AB≈4.9米
练习2
轮船A以16海里/时的速度离开港口O向东 北方向航行，轮船B在同时同地以12海里/时的
速度向西北方向航行.试求A、B两船离开港口O
一个半小时后的距离.
航线A、B夹角为90°，构成直角三角形，
一个半小时后A行驶24海里，B行驶18海里， 由勾股定理可得：AB=30海里.
练习3
形状为直角三角形的一块铁板的三边长分 别为2米、4米、x米，试求出x的所有可能值. （精确到0.01米）
课堂演练
若△ABC的三边a、b、c满足条件
a²+b²+c²+338=10a+24b+26c，请你判断 三角形的形状.
解：变形，得(a-5)²+(b-12)²+(c-13)²=0. 所以可得a=5，b=12，c=13；满足a²+b²=c²， 根据勾股定理的逆定理，可知△ABC是直 角三角形.
华东师范大学出版社初中数学八年级上册 14.2 勾股定理的应用 (24张PPT))
勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为 a，b，斜边为c，那么a²+b²=c²。
∵ 在Rt△ABC中, ∠C=90°,AB=c,AC=b,BC=a,
A
a2+b2=c2.
cb
B aC
设境导入 ：☞
如图，学校有一块长方形草地，有极少数
人为了避开拐角走“捷径”，在草地内走出
了一条“路”，仅仅少走了___4_____步路, 却
8m
A
6m B
新知探究
例1 如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高 AB为4cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从 点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求 出爬行的最短路程．（精确到0.01cm）
（1）自制一个圆柱，尝试从A点 到C点沿圆柱侧面画出几条路线，
你认为哪条路线最短呢？
（2）如图，将圆柱侧面剪开展成 一个长方形，从A点到C点的最短
B
C1
A
4
1 2C
B 2
A
A1
4
C
解:(1)当蚂蚁经过前面和上底面时，如图，最 短路程为
C1
C1
2
1
A
4
A
AB＝ AC2 BC2 ＝ 42 32 ＝ 5
(2)当蚂蚁经过前面和右面时，如图，最短路程 为
B
B
1
A
A
3
2C
AB＝ AC2 BC2 ＝ 52 12 ＝ 26
(3)当蚂蚁经过左面和上底面时，如图，最短路
例2
一辆装满货物的卡
车，其外形高2.5米，
宽1.6米，要开进厂门 A
B
形状如图的某工厂，
2.3米
问这辆卡车能否通过
14.2 勾股定理的应用 华东师大版数学八年级上册知识考点梳理课件
在 Rt△ABG 中，AG= +
= + = （cm）；
14.2 勾股定理的应用
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方案二：如图 2，当蚂蚁从点 A 出发经过 BF 到点 G
重
难
题 时（将前面和右面展开），
型
∵AB=3 cm，BC=5 cm，
设 B′E=BE=x，则 CE=4-x.
∵S△AEC=
∴
Βιβλιοθήκη CE×AB=
（4-x）×3=
AC×B′E，
×5x，解得 x=
，∴B′E=
.
14.2 勾股定理的应用
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变式衍生 1
如图，在长方形 ABCD 中，AB=8，BC=4
重
难
题 ，将长方形沿 AC折叠，点 D 落在点 D′处，则重叠部分
突
破 ，BF=6 cm，蚂蚁要沿着怎样的路线爬行，才能最快吃到饼
干渣？ 这时蚂蚁走过的路程是多少？
14.2 勾股定理的应用
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［答案］解：分以下三种方案讨论：
重
难
方案一：如图 1，当蚂蚁从点 A 出发经过 EF 到点 G
题
型
突 时（将前面和上面展开），
破
∵BC=5 cm，∴FG=BC=5 cm.
对点典例剖析
考
点
典例
如图，一架 2.5 m 长的梯子AB 斜靠在墙 AC 上
清
单
解 ，梯子的顶端 A离地面的高度为 2.4 m，如果梯子的底部 B
读 向外滑出 1.3 m 后停在 DE位置上，则梯子的顶部下滑多少
华东师大版八年级数学上册14.2勾股定理的应用教案
课题：14.2 勾股定理的应用总第 4 课时设计者： 学校:【教学目标】知识与技能：能运用勾股定理及逆定理解决简单的实际问题过程与方法：经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用条件情感态度与价值观：培养合情推理能力，体会数形结合的思维方法，激发学习热情。
【教学重点难点】重点：勾股定理及逆定理的应用难点：勾股定理的 正确使用【教具应用】三角板 圆规 圆柱的侧面展开图【教学过程】一、提出问题、创设情景一圆柱体的底面积为20cm ，高为4cm ，BC 是上底面的直径，一只蚂蚁从A 点出发，沿着圆柱的侧面爬行到C 点，你能求出它爬行的最短路程吗？二、自学练习：（动手试一试）（1）自制一个圆柱，尝试从A 点到C 点沿圆柱侧面画出几条路线，你认为那条线最短呢？（2）沿AB 点将圆柱的侧面剪开，展开成一个长方形。
从A 点到C 点的最短路线是什么？你画对了吗？( 3）蚂蚁从点A 出发到C 点，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？教师点拨：引导学生动手操作。
通过感性认识来突破学生空间想象的难点。
让学生在自制的圆柱侧面上寻找最短路线，提醒学生将圆柱侧面展开成长方形，1此时学生发现“两点之间线段最短”这个结论，进而解决问题。
三、合作交流：沿AB 将圆柱侧面剪开，展开成一个长方形，如图，则⊿ABC 是__________三角C D B C形AB=_________,BC=_________AC=___________ .四、应用：1、见课本58页例2.学生交流，讨论解决本例：厂门宽度足够，卡车能否通过关键是卡车位于厂门正中间时，其高度是否小于CH ，O 为AB 中点，OD=0.8米 ，CD ⊥AB ,与地面交于H是直角三角形，OC=1米 ，运用勾股定理求出CD ,进而求出CH.再和卡车高度2.5米比较测评：1. 从电线杆离地面5米处向地面拉一条7米长的钢缆，求地面钢缆固定点A到电线杆底部B 的距离。
2.求出下图中字母所代表的小结：由学生分小组进行总结，教师从几个方面给予知识点的补充:1.勾股定理及逆定理2.定理的应用方法3.本节所用到的教学思想方法作业：P60页1 、3题选作：有一块砖宽AN=5cm ，长ND=10cm ,CD 上的点B AB N DC B距地面BD=8cm ，地面上A处的一只小虫子到B处吃食物，需爬行的最短路程是多少？【教后反思】。
华师版八年级上册数学【教案】14.2 勾股定理的应用
14.2 勾股定理的应用【教学目标】知识与技能能运用勾股定理及逆定理解决简单的实际问题.过程与方法经历勾股定理的应用过程,熟练掌握其应用方法,明确应用的条件.情感、态度与价值观培养合情推理能力,体会数形结合的思维方法,激发学习热情.【重点难点】重点勾股定理及逆定理的应用.难点勾股定理的正确使用.【教学过程】一、创设情景,导入新课教师多媒体展示,教材P例1.120【教师活动】自己利用圆柱体的纸教具尝试从A到B画n条路径,你认为哪条最短?将圆柱沿轴截面剪开,看看最短的是平面图形中的哪条线段?并与同伴交流.【学生活动】操作、观察、求解、展示.【教师活动】教师通过多媒体演示,进一步加强直观,在此基础上,涉及到立体图形的侧面上的最短路径常常化“曲”为“平”,由勾股定理求解.二、师生互动,探究新知例2.出示例题见教材P121【教师活动】根据生活经验卡车如何行走较易通过大门?如何构建直角三角形将要求的量化归到直角三角形中?【学生活动】学生思考,找出直角三角形,分析如何求解.看CH是否大于2.5米?【教师活动】本例采用了“定宽比高”的策略,还可采用“定高比宽”.请同学们讨论分析.出示例题见教材P例3.122【教师活动】如何构造?图中可画几条的线段?【学生活动】动手操作,画出图形,并思考其中的道理.三、随堂练习,巩固新知1.如图,一根旗杆在离地面5米的B处断裂,旗杆顶部落在离杆底12米的A 处,旗杆断裂之前有多高?【答案】∵52+122=AB2,∴AB=13(米).∴旗杆断裂之前的高度为5+13=18(米).2.甲、乙两船同时离开港口,各自沿固定方向航行,甲船每小时航行16海里,乙船每小时航行12海里,航行1.5小时后两船相距30海里.如果知道甲船沿东北方向航行,你能说出乙船沿哪个方向航行吗?【答案】1.5小时后,甲船距港口16×1.5=24(海里),乙船距港口12×1.5=18(海里),在由港口出发 1.5小时后甲船所在位置、乙船所在位置构成的三角形中,因为242+182=900=302,所以由勾股定理逆定理知,该三角形是直角三角形,即甲、乙两船的航向成90°角.而甲船沿东北方向航行,故乙船沿东南方向或西北方向航行.四、典例精析,拓展新知出示例题见教材P例4.122【教师活动】着色部分的面积如何计算?由CD=6m(单位米),AD=8m(单位米),你得到什么?△ABC的形状是什么?【学生活动】独立完成,选代表讲解.五、运用新知,深化理解.1.如图,公路MN和公路PQ在点P处交会,且∠QPN=30°,点A处有一所中学,AP=160米.假设拖拉机行驶时,周围100米以内会受到噪声的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到噪声影响?说明理由;如果受影响,已知拖拉机的速度为18千米/时,那么学校受影响的时间为多少秒?【答案】假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到噪声影响,那么AC=100米.由勾股定理得BC=60米.同理,拖拉机行驶到点D处学校开始脱离噪声影响,那么AD=100米,BD=60米,∴CD=120米.学校受噪声影响的时间t=120米÷18千米/时=时=24秒.六、师生互动,课堂小结这节课你学习了什么?有何收获?有何困惑?与同伴交流,在学生交流发言的基础上,教师归纳总结.本节课我们学习了应用勾股定理来解决实际问题.在实际当中,长度计算是一个基本问题,而长度计算中应用最多、最基本的就是解直角三角形,利用勾股定理已知两边求第三边,我们要掌握好这一有力工具.【教学反思】本课时所学内容是用勾股定理解决简单的实际问题(或数学问题).在实际生活中,很多问题可以用勾股定理解决,而解决这类问题都需要将其转化为数学问题,也就是通过构造直角三角形来完成.教学时应注意如何构造直角三角形,找出已知两个量,求出第三个量,或者利用勾股定理建立几个量之间的关系,解决问题时注意让学生动手,画出图形,从而建立直角三角形模型.本节课中由勾股定理解决立体图形上的最短路径问题,比较抽象,注意化“曲”为“平”,让学生动手操作,真正建立立体图形与平面图形之间的联系.。
八年级数学上册 第十四章 勾股定理 14.2 勾股定理的应用(1)教案 (新版)华东师大版
14.2勾股定理的应用（1）教学目标1．知识目标(1)了解勾股定理的作用是“在直角三角形中已知两边求第三边”；而勾股逆定理的作用是由“三角形边的关系得出三角形是直角三角形”.(2)掌握勾股定理及其逆定理，运用勾股定理进行简单的长度计算.2．过程性目标(1)让学生亲自经历卷折圆柱.(2) 让学生在亲自经历卷折圆柱中认识到圆柱的侧面展开图是一个长方形（矩形）.(3)让学生通过观察、实验、归纳等手段，培养其将“实际问题转化为应用勾股定理解直角三角形的数学问题”的能力.教学重点、难点教学重点：勾股定理的应用.教学难点：将实际问题转化为“应用勾股定理及其逆定理解直角三角形的数学问题”.原因分析：1.例1中学生因为其空间想象能力有限，很难想到蚂蚁爬行的路径是什么，为此通过制作圆柱模型解决难题.2.例2中学生难找到要计算的具体线段.通过多媒体演示来启发学生的思维.教学突破点：突出重点的教学策略：通过回忆复习、例题、小结等，突出重点“勾股定理及其逆定理的应用”，教学过程新课讲解蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行．卷折圆柱成圆柱形状，标出A.B.C.D各点，然后打开，蚂蚁在圆柱上爬行的距离，与在平面纸上的距离一样．AC之间的最短距离是什么？根2【解析】由于厂门宽度足够，所以卡车能否通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH．如图所示，点，与地面交于H．中，由勾股定理得现准备将一块形为直角三角形的绿地扩大，使其仍为直角三角形，3（四）作业：习题（五）策略分析为防止以上错误的出现，除了讲清楚定理，还应该强调：1.定理中基本公式中的项都是平方项；2.计算直角边时需要将基本公式移项变形，按平方差计算.3.最后求边长时，需要进行开平方运算.4。
华东师大版八年级上册14.2勾股定理的应用
人为了避开拐角走“捷径”，在花园内走出
了一条“路”，仅仅少走了__4_步路, 却踩伤
了花草。 （假设1米为2步）
C
4B
5
“路”
3
A
2、如图，盒内长，宽，高分别是30米， 24米和18米，盒内可放的棍子最长是多 少米？
18 30
24
课后作业
1、已知直角三角形一条直角边长为8，另两
边长为连续奇数，求这个三角形的周长。
在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2 在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2
∴ AD2-AB2=(AE2+DE2)-(AE2+BE2)
A
= DE2-BE2
= (DE+BE)·( DE-BE)
= (DE+CE)·( DE-BE)
D
B E C =BD·CD
小试身手
1、如图，学校有一块长方形花园，有极少数
C
B
2000
2000
把实际问题抽象化、 简单化、规则化，
得到数学图形，从 A
而解决问题。
例1：飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个 男孩头顶正上方2000米处.过了10秒，飞机距离这个 男孩2500米,飞机每小时飞行多少千米？
解：由题意，得
在Rt△ABC中，∠C=90º， C
B
AB=2500m，AC=2000m.
6、四边形ABCD中，AB＝BC＝2， CD＝3，DA＝1，且∠B＝90o， 求∠DAB的度数。
7、如图所示，现在已测得长方体木块的长2，
宽1，高3.一只蜘蛛潜伏在木块的一个顶点A处，
一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点B
处。蜘蛛急于想捉住苍蝇，沿着长方体的表面
华东师大版八年级上册 14.2第1课时 勾股定理的应用(1)(15张PPT)
AC36
因为AC_大__于__木板的宽,
DC
2m
所以木板__能__从门框内通过.
AB
1m
随堂训练
1.如图，池塘边有两点A、B，无法直接测量 AB之间的距离，请你运用所学过的知识设计一种方 法，来测量AB间的距离。
A
B
要求：1、画出设计图 2、若涉及到角度，请直接标在设计图中 3、若涉及到长度，请用a、b、c等字母
解：根据勾股定理得：
AC2= 62 + 82
C
=36+64
=100
即：AC=10（-10不合，舍去）
答：梯子至少长10米。
8m
A
6m B
4.在Rt△ABC中，∠C=90°, ∠A、∠B、∠C的 对边分别为a、b、c，若a﹕b=3﹕4,c=15.求a、b.
解：设a=3x,b=4x 在Rt△ABC中，∠C=90°, 由勾股定理，得：a2+b2=c2 即：9x2+16x2=225 解得：x2=9 ∴x=3(负值舍去) ∴a=9, b=12.
第14章 勾股定理
14.2 勾股定理的应用
第1课时 勾股定理的应用（1）
复习回顾
勾股定理及其数学语言表达式:
直角三角形两直角边a、b的平方
和等于斜边c的平方.
B
a2 b2 c2
b
c
Ca A
在△ABC中，∠C=90°.
（1）若b=8，c=10，则a= 6 ;
（2）若a=5，b=10，则c = 11.2 ;
AB2 AD2 BD2 82 42 48
在Rt△ABC中， AB2 CA2 CB2 ,且CA CB
AB2 2CA2
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解：依题意，如图，AB为建筑物， A
AC是云梯的长，则BC=2.5m，
根据勾股定理，在Rt△ABC中，
BC2+AB2=AC2，
BC
所以AB 2=6.52-2.52=36=62.
因此消防队员能进入三楼灭火。
例3：一个小区电梯的尺寸如图所示，一根长 2.2m的钢筋能否放进电梯间? 为什么?
解: 连结AC.在Rt△ABC中,
华东师大版八年级上学期
第14章 《勾股定理》
2.勾股定理的应用
学而不疑则怠，疑而不探则空
温故知新
勾股定理：直角三角形中，两直角边 的平方和等于斜边的平方。
[西方国家也称为“毕达哥拉斯定理”]
A
用数学式子可表示为：
b
c 在Rt△ABC中，a2+b2=c2.
CaB
应用探索
一、直接运用勾股定理求三角形的 边长、周长、高、面积；
6、四边形ABCD中，AB＝BC＝2， CD＝3，DA＝1，且∠B＝90o， 求∠DAB的度数。
7、如图所示，现在已测得长方体木块的长2，
宽1，高3.一只蜘蛛潜伏在木块的一个顶点A处，
一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点B
处。蜘蛛急于想捉住苍蝇，沿着长方体的表面
向上爬，它要从点A爬到点B处，有无数条路线，
C
B
2000
2000
把实际问题抽象化、 简单化、规则化，
得到数学图形，从 A
而解决问题。
例1：飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个 男孩头顶正上方2000米处.过了10秒，飞机距离这个 男孩2500米,飞机每小时飞行多少千米？
解：由题意，得
在Rt△ABC中，∠C=90º， C
B
AB=2500m，AC=2000m.
人为了避开拐角走“捷径”，在花园内走出
了一条“路”，仅仅少走了__4_步路, 却踩伤
了花草。 （假设1米为2步）
C
4B
5
“路”
3
A
2、如图，盒内长，宽，高分别是30米， 24米和18米，盒内可放的棍子最长是多 少米？
18 30
24
课后作业
1、已知直角三角形一条直角边长为8，另两
边长为连续奇数，求这个三角形的周长。
它们有长有短，蜘蛛究竟应该沿着怎样的路线
爬上去，所走的路程会最短。你能帮蜘蛛找到
最短路径吗？
B
A
8、在一棵树的20米的B处有两只猴子， 其中一只猴子爬下树走到离树40米的A 处，另一只爬到树顶D后直接跳向A处， 且测得AD为50米，求BD的长.
根据勾股定理，得
2000
BC= AB2-AC2=1500m
则1500÷10×3600=540km/h A 答：飞机每小时飞行540千米.
例2：某楼房三楼失火，消防队员赶来救火， 了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长的 云梯，为了安全起见梯子的底部与墙基的距离 是2.5米。请问消防队员能否进入三楼灭火？
在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2 在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2
∴ AD2-AB2=(AE2+DE2)-(AE2+BE2)
A
= DE2-BE2
= (DE+BE)·( DE-BE)
= (DE+CE)·( DE-BE)
D
B E C =BD·CD
小试身手
1、如图，学校有一块长方形花园，有极少数
例：如图，在Rt△ABC中，∠C=90º，
AB=25cm，AC=20cm.
B
则BC= 15cm ，
AB边的高= 12cm ，
l△ABC= 60cm ， S△ABC= 150cm2 .
A
C
二、利用勾股定理还可以解决很多实际问题：
例1：飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到 一个男孩头顶正上方2000米处.过了10秒，飞机 距离这个男孩2500米,飞机每小时飞行多少千米？
在Rt△OCD中，由勾股定理得
CD= OC2-OD2
A
= 12-0.82
C
O D
B
2.3米
=0.6m
CH=0.6＋2.3=2.9(米)＞2.5(米)
因此高度上有0.4米的余量， 所以卡车能通过厂门.
H
2米
例5：某农民开垦出一块三边长分别为7m、 8m、9m三角形地块准备种植花生，聪明的 同学，你能帮他算一算这块地的面积吗？
例6：你能画出下列长度的线段吗? 2 3 5 6 10 17
12
2
3 2 53
5
1
1
1
2ห้องสมุดไป่ตู้
6
1
1
10
5
3
例7：如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高 AB为4cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从 点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求 出爬行的最短路程.（精确到0.01cm）
B
B C
C
B'
A
DA
A
2、如图，在△ABC中， AB=13，AD=12， AC=15, CD=9．
求△ABC的面积．
BD
C
3、在等腰△ABC中，AB=AC=13cm，
BC=10cm,求△ABC的面积及AC边上的高。
4、等边三角形ABC的边长是6．求 △ABC的面积．
5、已知直角三角形的周长为12， 斜边长为5，求这个三角形的面积。
D
C
AC= AB2+BC2
= 12+22
2m
=5
≈2.24m
A 1m B
∵AC＞2.2m
∴将钢筋斜着放就可以放进放进电梯间.
例4：一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米， 宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问 这辆卡车能否通过该工厂的厂门?
解:如图点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥AB,
则OC=1米，OD=0.8米.
D
A'
例8：如图，现要在此楼梯旁建造无障碍通道，
经测量每格楼梯的高为11.25cm，宽20cm，你 能求出通道的长度吗？
解：由题意得AC=11.25×4=45cm, BC=20×3=60cm.
在Rt△ABC中，∠ACB=90° ∴AB2=AC2+BC2(勾股定理）
∴AB= AC2+BC2 = 452+602 =75cm
8
7
9
72+82≠92
不是直角三角形，怎么办呢？
解：如图,过点A作AD⊥BC于D
得Rt△ADB和Rt△ADC.
A
由勾股定理得
AD= AB2-BD2 = AC2-CD2 8
7
即82-BD2= 72-(9-BD)2
解得BD=
16 3
B
9D C
则AD=
82-( 16 3
)2 =
8 3
5
∴这块地的面积为 9 × 8 5 =12 5 m2. 23
∴通道的长度为75cm.
A
B
C
例9：如图，在△ABC中，AB=AC，D点
在CB延长线上，求证：AD2-AB2=BD·CD.
A
D
B
C
提示：等式的证明，要根据条件选择从左到右 或从右到左的过程进行变形。此题等式左边出 现了线段的平方，应构造直角三角形。
证明： 过A作AE⊥BC于E
∵AB=AC, ∴BE=CE