高斯与正十七边形

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数学家高斯正17边形的故事

数学家高斯正17边形的故事朋友，今天我跟你唠唠咱数学界的一个传奇人物——高斯和他的正17边形。

说起高斯啊，他那脑子聪明得像开了光似的。

话说有一天，这高斯才20岁，正值人生的大好年华。

你可能在琢磨，这大数学家难道青春期不折腾点别的么？嘿，他可不走寻常路，偏偏在数圈儿里找乐子。

听说那年春天，花儿正开得烂漫，高斯突然眉头一挑，心里头就有了个大想法：我得解开这17边形的秘密啊！这正17边形，可是个难啃的硬骨头呀。

之前的数学家们都抓耳挠腮，愁着哪里下手。

不过，高斯这小子不一般，他的聪明劲儿就像老张头果园里的水蜜桃一样，透着灵光闪闪。

一天傍晚，他一个人在屋里来回踱步，心思深沉，就像个大哲学家思考人生。

就在这会儿，他的灵光乍现，像水蜜桃熟透了，突然间“啪”地掉下来开花。

高斯用他的绝顶聪明，找到了一种能构造正17边形的方法！朋友，你知道吗？这可是从古希腊起，经过了一千多年的数学难题啊。

我当时要是在现场，简直要为他拍手叫绝。

高斯这小子厉害吧，解开个17边形，不光是数学上的伟大突破，还让其他数学家都倒吸一口凉气。

他那时候心情就跟村儿里过大年的时候似的，特别的喜气洋洋。

当然了，这故事不仅仅是个关于几何的胜利，更是高斯这人，不管多难的题，敢于挑战的勇气和信心。

他用这种精神灌注到整个数学界，引得后来的学者们纷纷效仿。

想想看，就像高斯打破了人们对几何的禁锢，人生也得学会打破束缚，就如同品尝一个不同寻常的水蜜桃，你永远不知道会爆出什么样的惊喜。

至于正17边形怎么画呢，嘿，咱就交给那些数学高手们去琢磨吧，咱就享受这傻乐呵的快乐就好啦。

朋友，你要是对数学或者高斯这小子的其他故事有兴趣，也欢迎来跟我一起聊聊。

咱也许不能像高斯那样聪明绝顶，但一定能从这些传奇故事里汲取到些许智慧，过好咱自己的小日子。

正17边形的高斯做法

正17边形的高斯做法做正17边形等于求方程x^17-1=0的根即(x-1)(x^16+x^15+.....+x+1)=f(x)(x-1)=0的根注意f(x)=0有16个根e1～e16,令其中的单位原根为e1并令ei=e^i根据韦达定理，16个根的和为x^15项的系数乘-1第一步,把16个根分成两组∑1和∑2∑1=(e1+e2+e4+e8)+(e1+e2+e4+e8)∑2=(e3+e5+e6+e7)+(e3+e5+e6+e7)(这里用下划线表示共扼根)注意∑1+∑2=-1（韦达定理）而∑1*∑2=-4（有兴趣的朋友可以验算一下）于是根据韦达定理，∑1和∑2分别是方程x^2+x-4=0的根,可解出;第二步,把∑1分成两组,∑11=(e1+e8)+(e1+e8)∑12=(e2+e4)+(e2+e4)注意∑11+∑12=∑1而∑11*∑12=∑2（有兴趣的朋友可以验算一下）因为∑1和∑2在前面已经解出所以∑11、∑12可以从方程x^2-(∑1)x+(∑2)=0解出(韦达定理)下面的步骤相似,可继续把∑11分解为∑111=e1+e1 和∑112=e8+e8∑111+∑112=∑11∑111*∑112=∑12同样可用韦达定理解出;最后就简单了∑111=e1+e1 而e1*e1 =1所以就可利用韦达定理解出e1来了！将你要画的正17边形的边长为d，它的外接圆的半径为R。

则d和R的关系是Sin(360度/(17*2))=d/(2R)正17边形的边对应的圆心角度数为360/17,正17边形的一条边和其两个端点与圆心连接的半径成为一个等边三角形；然后从圆心作出一条垂线到边上，就能得出一个直角三角形，圆心的那个角是圆心角的一半，即360度/(17*2)，对边是d/2,斜边是R，所以得出Sin(360度/(17*2))=d/(2R)最后，根据该公式，如果你想画出一个边长为1厘米的正17边形，则把d=1代入公式，得出R的值。

高斯正17边形的尺规作图方法

高斯正17边形的尺规作图方法_做法步骤如下：（1）给一圆O，作两垂直的直径AB、CD：
（2）在OA上作E点使OE=1/4AO，连结CE,：
（3）作∠CEB的平分线EF：
（4）作∠FEB的平分线EG，交CO于P：
（5）作∠GEH=45°，交CD于Q：
（6）以CQ为直径作圆，交OB于K：
（7）以P为圆心,PK为半径作圆.交CD于L、M：
（8）分别过M、L作CD的垂线，交圆O于N、R：
（9）作弧NR的中点S，以SN为半径将圆O分成17等份：
最后几何作图如下：
简易作法
因为360°/17≈21°10′，利用sinA 21°6′=0.3600可得近似角。

用该方法作正十七边形总误差为17*4′=68′，在不要求十分精确的情况下还是可行的。

作法如下：
1.先画一条直线，用圆规在上面截取5条相等线段，(尽量越短越好),再截
取之前四条线段的和，接续之前画的线段。

这样，如果每条小线段算作
0.1的话，那么整条线段就是1.8。

2.用圆规截取之前5条小线段的长，画5次，这样这条线段就是5。

1.8/5=0.36。

准备工作完毕！
3.另作一条直线，作垂线，1.8的线段作为对边，5的线段作为斜边，那个
最小的锐角即是近似的360°/17的角。

以其顶点为圆心，重复作角直至闭合。

画一大圆，连接其与17条射线的交点，即可。

数学家高斯正17边形的故事

数学家高斯正17边形的故事“嘿，你们知道吗，那个伟大的数学家高斯啊，他可真是个传奇人物！”记得那是一个阳光明媚的午后，我和几个朋友聚在一块儿闲聊。

我们正讨论着那些历史上赫赫有名的人物，不知怎么的就说到了高斯。

“哎呀，高斯那可是数学天才啊！”一个朋友感叹道。

“没错没错，我听说他最厉害的就是画那个正 17 边形！”另一个朋友接着说。

我好奇地追问：“正 17 边形？那有啥特别的呀？”朋友兴致勃勃地开始给我讲解：“你想啊，要徒手画出一个正 17 边形可不容易啊，但高斯就做到了！这得需要多厉害的数学头脑啊！”我想象着高斯在纸上专注地画着正 17 边形的样子，心中涌起一股敬佩之情。

据说啊，高斯在很年轻的时候就对这个问题产生了浓厚的兴趣。

他整日整夜地思考，不断尝试各种方法。

那时候的他，就像一个在数学海洋中奋力探索的勇士，丝毫不畏惧困难。

“他难道就不会觉得累，不会想放弃吗？”我忍不住问。

“哎呀，人家那是对数学的热爱呀，这种热爱能让他克服一切！”朋友回答道。

是啊，热爱，这是多么强大的力量啊！高斯因为热爱，所以能坚持不懈地去攻克这个难题。

就好像我们每个人在生活中，如果有了热爱，是不是也能创造出属于自己的奇迹呢？我仿佛看到高斯在无数个夜晚，在昏暗的灯光下，一笔一划地勾勒着正17 边形，那专注的神情，那执着的态度，真的太让人钦佩了。

我们生活中也会遇到各种各样的挑战，有时候可能觉得很难，就想要退缩。

可是想想高斯，他面对那么难的问题都没有放弃，我们又有什么理由轻易放弃呢？高斯的正 17 边形，不仅仅是一个数学成就，更是一种精神的象征，一种告诉我们要勇往直前、永不放弃的象征！我们难道不应该向他学习吗？。

著名数学家高斯与正十七边形

著名数学家高斯与正十七边形著名数学家高斯与正十七边形用直尺和圆规作出圆内接正七、正九、正十一、正十三、正十七边形，是从古希腊以来两千多年悬而未决的著名数学难题；它困扰了许多著名的数学家，有的甚至为之付出一生的努力，却毫无所获。

但是，此难题却被18岁的高斯在1796年3月30日功克。

高斯是18—19世纪最伟大的数学家，近代数学的奠基人之一。

他被称为“数学王子”，“数学巨人”。

如果说世界上有神童的话，那么高斯就是其中的一位。

据说他三岁就发现了他父亲算帐时出现的错误，10岁时已表现出超群的数学思维能力。

有一次，老师出了一道题：把1到100的整数全部加起来。

其他同学都拿起笔来一个一个地加，高斯却坐在那一动也不动。

老师走到跟前问他为什么不做，他却立即报出了答案：5050。

他的做法是：把1和100相加得101，2和99相加也是101，3和97相加还是101；如此下去，共有50个101。

因此，得数为101×50=5050。

老师感慨地说“他已经超过我了，我没有什么可以教他的了。

”15岁时，高斯进入了卡罗琳学院，学习了牛顿，拉格郎日，欧拉等人的著作，很快掌握了微积分理论。

18岁时，高斯进入哥廷根大学。

在一次偶然的阅读中，他知道了用直尺和圆规作出圆内接正七边形的难题。

这使他非常着迷，并决心要功克它。

他首先查找出前人的作图方法，仔细研究他们失败的原因，通过半年多的努力，他终于作出了正七边形；接着，正九、正十一、正十三边形都被他一一克服。

没多久，正十七边形也被他功克。

面对第一次取得的成功，高斯异常兴奋，决心把自己的一生献给数学。

1801年，他发表了《算术研究》，论述了数论和高等代数的一些问题。

高斯对数学的研究涉及很多方面，除了在复变函数\统计数学\椭圆函数论上有突出贡献外，他在向量分析\正态分布的正规曲线\质数定理的验算研究上也取得了成绩。

在高斯去世后，哥廷根大学为他建造了一个以正十七边形棱柱为底座的纪念像，以纪念他一生中的第一个重大发现。

到底是谁最早作出正十七边形？

到底是谁最早作出正⼗七边形？是⾼斯还是约翰尼斯·厄钦格前⼏天，超模君po了各种动图让⼤家了解不⼀样的数学（传送门），最后⼀张⾼斯尺规作图正17边形引起了各位模友的激烈讨论：有模友说看不明⽩有好奇他是怎么想出来的有说正17边形⾼斯并没有画出来甚⾄在超模君讲根号2的故事时（传送门），也留⾔说希望讲讲正17边形的故事。

既然如此，那今天超模君就将这些问题⼀并解决了吧。

---------------------------------------------相传，在1976年的⼀天，德国哥廷根⼤学，19岁的⾼斯像往常⼀样，吃完晚饭，开始做导师每天单独布置给他的数学题。

然后，轻松完成了⽼师布置的前两道题。

第三道题是另外写在⼀张⼩纸条上的，是要求只⽤圆规和⼀把没有刻度的直尺作出正17边形。

⾼斯并没有在意，像做前两道题⼀样开始做起来。

虽然感觉这道题做起来有点吃⼒，他还是坚持想要做出来。

他拿起圆规和直尺，在草稿纸上写写画画，也尝试着⽤⼀些超常规的思路去解这道题。

经过通宵的演算，他终于解出了这道难题。

当导师得知⾃⼰的学⽣竟然⼀个晚上就解开了这道有两千多年历史的数学悬案时，万分惊讶，连连夸赞⾼斯是天才。

原来，导师也⼀直想解开这道难题。

那天，他只是不⼩⼼才将写有这道题⽬的纸条交给了⾼斯。

多年以后，当⾼斯回忆起这⼀幕时，总是说：如果有⼈告诉我，这是⼀道有两千多年历史的数学难题，我不可能在⼀个晚上解决它。

这可能就是⼈们常说的⽆知者⽆畏吧。

------------------------------------------------通过这个故事，⼤家都认为正17边形最早是⾼斯画出来的了。

然⽽，关于尺规作图正17边形的故事还有另⼀个版本。

事实上，⾼斯在哥廷根⼤学就读时，在⼀次偶然的阅读中，他知道了⽤直尺和圆规作出圆内接正七边形的难题。

这使他⾮常着迷，并决⼼要功克它。

他⾸先查找出前⼈的作图⽅法，仔细研究他们失败的原因，通过半年多的努⼒，他终于作出了正七边形；接着，正九、正⼗⼀、正⼗三边形都被他⼀⼀克服。

高斯的五大成就

⾼斯的五⼤成就德国数学家、物理学家约翰·卡尔·弗⾥德⾥希·⾼斯是⼈类有史以来最伟⼤的三⼤数学家之⼀，他被誉为“数学王⼦”。

⾼斯⽆疑是⼀位天才，他七岁就能在头脑中进⾏复杂⽅程式计算。

⾼斯⼀⽣在诸多领域做出了重要的贡献，他的发现改变了我们处理空间、科学和⼏何学的⽅式。

最近是⾼斯241周年诞⾠纪念⽇，借此机会，我们来看看他的⼀些最有趣的成就。

（5）正⼗七边形。

1796年，19岁的⾼斯发现了如何只⽤⼀把尺⼦和⼀个圆规来构造⼀个正⼗七边形。

这是⾃2000多年前古希腊⼈以来，多边形构造的⾸次进步。

⾼斯⽤代数来证明他的构造，桥接了代数和⼏何之间的⼀个关键鸿沟。

（4）⾕神星的轨道。

这颗矮⾏星最初是由天⽂学家朱塞普·⽪亚齐在1800年发现的，⾕神星在天⽂学家计算出它的轨道之前，就已经消失在太阳的后⾯。

⾼斯创⽴了⼀种叫做最⼩⼆乘法的模型，这是⼀种计算观测误差的⽅法，可以准确预测这颗矮⾏星的位置。

直到现在，⾼斯发明的这种计算⽅法仍然是在两个变量之间找到精确关系的⾸选⽅法。

（3）天体运动理论。

1809年，⾼斯出版了关于天体在太空中运动的专著《天体运动理论》。

该著作中描述了被⼤⾏星⼲扰的⼩⾏星运动，简化了轨道预测的繁琐数学运算。

时⾄今⽇，⾼斯当年的研究仍然是天⽂学计算的基⽯。

（2）第⼀台电报机。

这也许不是⾼斯最著名的成就，但相当有创意。

在1833年，⾼斯和物理学教授威廉·韦伯发明了第⼀台电磁电报机。

在哥廷根⼤学，他们俩⼀直在磁学领域不断合作。

他们建造了第⼀台电报机，以连接天⽂台和物理研究所，这个系统能够每分钟发送8个单词。

（1）⽇光反射镜。

从1818年到1832年，⾼斯对汉诺威进⾏了⼤地测量。

在这段时间⾥他发明了⽇光反射镜，这是⼀种⼤⼤改善长距离⼟地测量的仪器。

⽇光反射镜⽤⼀⾯镜⼦把太阳光反射到遥远的地⽅，可以达到⼏百千⽶远，这能够为测量员标记位置。

可惜，这种仪器需要在天⽓晴朗的情况下才有很好的效果。

正十七边形尺规作图与详解

解读“数学王子”高斯正十七边形的作法一.高斯的传奇故事高斯）,德国数学家.物理学家.天文学家.有一天,年幼的高斯在一旁看著作水泥工场领班的父亲盘算工人们的周薪.父亲算了好一会儿,终于将成果算出来了.可是切切没想到,他身边传来幼嫩的童音说：“爸爸,你算错了,总数应当是……”父亲觉得很惊奇,赶忙再算一遍,成果证实高斯的答案是对的.这时的高斯只有3岁！高斯上小学了,教他们数学的先生布特勒(Buttner)是一个立场良好的人,他授课时从不斟酌学生的接收才能,有时还用鞭子奖励学生.有一天,布德勒让全班学生盘算 1+2+3+4+5+……+98+99+100＝？的总和,并且威逼说：“谁算不出来,就不准回家吃饭！”布德勒说完,就坐在一旁独自看起小说来,因为他认为,做如许一道标题是须要些时光的.小同伙们开端盘算：“1 + 2 ＝3,3+3＝6,6+4＝10,……”数越来越大,盘算越来越艰苦.但是不久,高斯就拿着写着解答的小石板走到布德勒的身边.高斯说：“先生,我做完了,你看对不合错误？“做完了？这么快就做完了？确定是胡乱做的！”布德勒连头都没抬,挥挥手说：“错了,错了！归去再算！”高斯站着不走,把小石板往前伸了伸说：“我这个答案是对的.”布德勒昂首一看,大吃一惊.小石板上写着 5050,一点也没有错！高斯的算法是 1 ＋ 2 ＋3＋……＋98＋99＋100100＋99＋98＋……＋3＋ 2＋1101＋101＋101＋……＋101＋101＋101＝101×100＝1010010100÷2＝5050高斯其实不知道,他用的这种办法,其实就是古代数学家经由长期尽力才找出来的求等差数列和的办法,那时他才八岁！1796年的一天,德国哥廷根大学.高斯吃完晚饭,开端做导师给他单独安插的三道数学题.前两道题他不费吹灰之力就做了出来了.第三道题写在另一张小纸条上：请求只用圆规和没有刻度的直尺,作出一个正十七边形.这道题把他难住了——所学过的数学常识竟然对解出这道题没有任何帮忙.时光一分一秒的曩昔了,第三道题竟毫无进展.他绞尽脑汁,测验测验着用一些超通例的思绪去追求答案.当窗口露出曙光时,他终于解决了这道难题. 当他把功课交给导师时,觉得很忸捏.他对导师说：“您给我安插的第三道题,我竟然做了整整一个彻夜,……”导师看完功课后,冲动地对他说：“你知不知道？你解开了一桩有两千多年汗青的数学悬案！阿基米得没有解决,牛顿也没有解决,你竟然一个晚上就解出来了.你是一个真正的天才！”本来,导师也一向想解开这道难题.那天,他是因为拿错了,才将写有这道标题标纸条交给了学生. 在这件工作产生后,高斯曾回想说：“假如有人告知我,那是一道千古难题,我可能永久也没有信念将它解出来.”1796年3月30日,当高斯差一个月满十九岁时,在期刊上揭橥《关于正十七边形作图的问题》.他显然以此为骄傲,还请求今后将正十七边形刻在他的墓碑上.然而高斯的纪念碑上并没有刻上十七边形,而刻着一颗十七角星,本来是负责刻纪念碑的镌刻家认为：“正十七边形和圆太像了,刻出来之后,每小我都邑误认为是一个圆.”1877年布雷默尔奉汉诺威王之命为高斯做一个纪念奖章.上面刻着：“汉诺威王乔治V. 献给数学王子高斯(Georgius V. rex Hannoverage Mathematicorum principi)”,自那之后,高斯就以“数学王子”着称于世.二.高斯正十七边形尺规作图的思绪（这里是纯三角法）作正十七边形的症结是作出cos 172π,为此要树立求解cos 172π的方程.设正17边形中间角为α,则17α＝2π,即16α＝2π－α故sin16α＝－sinα ,而sin16α＝2sin8α cos8α＝4sin4α cos4α cos8α＝8 sin2α cos2α cos4α cos8α＝16 sinα cosα cos2α cos4α cos8α因sinα ≠0,双方除以sinα,有16cosα cos2α cos4α cos8α＝－1由积化和差公式,得4(cosα＋cos3α)(cos4α＋cos12α)＝－1睁开,得4(cosα cos4α＋cosα cos12α＋cos3α cos4α＋cos3α cos12α)＝－1 再由积化和差公式,得2[(cos3α＋cos5α)＋(cos11＋cos13α)＋(cosα＋cos7α)＋(cos9α＋cos15α)]＝－1留意到 cos11α＝cos6α,cos13α＝cos4α,cos9α＝cos8α,cos15α＝cos2α,有2(cosα＋cos2α＋cos3α＋cos4α＋cos5α＋cos6α＋cos7α＋cos8α)＝－1设 a ＝2(cosα+ cos2α+cos4α+ cos8α),b ＝2(cos3α+ cos5α+cos6α+ cos7α),则 a ＋b ＝－1又ab ＝2(cosα＋cos2α＋cos4α＋cos8α)·2(cos3α＋cos5α＋cos6α＋cos7α)＝4cosα(cos3α＋cos5α＋cos6α＋cos7α)＋4cos2α(cos3α＋cos5α＋cos6α＋cos7α)＋4cos4α(cos3α＋cos5α＋cos6α＋cos7α)＋4cos8α(cos3α＋cos5α＋cos6α＋cos7α)再睁开之后共16项,对这16项的每一项运用积化和差公式,可得：ab ＝2 [(cos2α＋cos4α)＋(cos4α＋cos6α)＋(cos5α＋cos7α)＋(cos6α＋cos8α)＋(cosα＋cos5α)＋(cos3α＋cos7α)＋(cos4α＋cos8α)＋(cos5α＋cos9α)＋(cosα＋cos7α)＋(cosα＋cos9α)＋(cos2α＋cos10α)＋(cos3α＋cos11α)＋(cos5α＋cos11α)＋(cos3α＋cos13α)＋(cos2α＋cos14α)＋(cosα＋cos15α)]留意到cos9α＝co s8α,cos10α＝cos7α, cos11α＝cos6α,cos13α＝cos4α,cos14α＝cos3α,cos15α＝cos2α,有ab ＝2×4(cosα＋cos2α＋cos3α＋cos4α＋cos5α＋cos6α＋cos7α＋cos8α)＝－4因为cosα＋cos2α＋cos8α＝(cos172π＋cos 174π)＋cos 1716π ＝2cos 17πcos 173π－cos 17π＝2cos 17π(cos 173π－21) 又 0 < 173π < 3π < 2π所以cos 173π> 21即cosα＋cos2α＋cos8α > 0 又因为 cos4α＝cos 178π> 0所以 a ＝cosα＋cos2α＋cos4α＋cos8α > 0又 ab ＝-4< 0所以有a > 0, b< 0可解得a ＝2171+-,b ＝2171-- 再设c ＝2(cosα＋cos4α),d＝2(cos2α＋cos8α),则c+d ＝acd ＝2(cosα+ cos4α)·2(cos2α+ cos8α)＝4 (cosαcos2α＋cosαcos8α＋cos4αcos2α＋cos4αcos8α)＝2 [(cosα＋cos3α)＋(cos7α＋cos9α)＋(cos2α＋cos6α)＋(cos4α＋cos12α)]留意到cos9α＝cos8α, cos12α＝cos5α,有cd ＝2[(cosα＋cos3α)＋(cos7α＋cos8α)＋(cos2α＋cos6α)＋(cos4α＋cos5α)]＝2( cosα＋cos2α＋cos3α＋cos4α＋cos5α＋cos6α＋cos7α＋cos8α) ＝-1因为 0 < α < 2α < 4α < 8α < π所以 cosα > cos2α,cos4α > cos8α两式相加得 cosα＋cos4α> cos2α＋cos8α或2(cosα＋cos4α)> 2(cos2α＋cos8α)即 c > d,又 cd＝-1 < 0所以有c > 0, d < 0可解得c＝24 2++aa,【 d＝24 2+-aa】相似地,设e＝2(cos3α＋cos5α),f＝2(cos6α＋cos7α)则e+f＝bef＝2(cos3α＋cos5α)·2(cos6α＋cos7α)＝4(cos3αcos6α＋cos3αcos7α＋cos5αcos6α＋cos5αcos7α)＝2 [(cos3α＋cos9α)＋(cos4α＋cos10α)＋(cosα＋cos11α)＋(cos2α＋cos12α)]留意到cos9α＝cos8α,cos10α＝cos7α, cos11α＝cos6α,cos12α＝cos5α,有ef＝2[(cos3α＋cos8α)＋(cos4α＋cos7α)＋(cosα＋cos6α)＋(cos2α＋cos5α)]＝2( cosα＋cos2α＋cos3α＋cos4α＋cos5α＋cos6α＋cos7α＋cos8α)＝-1因为0 < 3α < 5α < 6α < 7α < π所以有cos3α > cos6α,cos5α > cos7α两式相加得cos3α＋cos5α> cos6α＋cos7α2(cos3α＋cos5α)> 2(cos6α＋cos7α)即 e > f,又 ef＝-1 < 0所以有 e > 0, f < 0可解得e ＝242++b b ,【f ＝242+-b b 】由c ＝2(cosα＋cos4α),得cosα＋cos4α＝2c,即cos 172π＋cos 178π＝2ce ＝2(cos3α＋cos5α),运用积化和差公式,得cosαcos4α＝4e,即cos 172πcos 178π＝4e因为0<172π<178π<2π,所以cos 172π>cos 178π>0 所以cos 172π＝442e c c -+,【cos 178π＝442e c c --】于是,我们得到一系列的等式：a ＝2171+-,b ＝2171--,c ＝242++a a ,e ＝242++b b , cos 172π＝442e c c -+ 有了这些等式,只要依次作出a.b.c.e,即可作出cos172π.步调一：给一圆O,作两垂直的半径OA.OB,作C 点使OC ＝1/4OB,作D 点使∠OCD ＝1/4∠OCA,作AO 延伸线上E 点使得∠DCE ＝45度.步调二：作AE 中点M,并以M 为圆心作一圆过A 点,此圆交OB 于F 点,再以D 为圆心,作一圆过F 点,此圆交直线OA 于G4和G6两点.步调三：过G4作OA 垂直线交圆O 于P4,过G6作OA 垂直线交圆O 于P6,则以圆O 为基准圆,A 为正十七边形之第一极点P4为第四极点,P6为第六极点.衔接P4P6,以1/2弧P4P6为半径,在圆上不竭截取,即可在此圆上截出正十七边形的所有极点.汗青最早的十七边形画法创造工资高斯.高斯(1777~1855年),德国数学家.物理学家和天文学家.在童年时期就表示出不凡的数学天才.三岁学会算术,八岁因发明等差数列乞降公式而深得先生和同窗的钦佩.1799年以代数根本定理的四个英俊证实获得博士学位.高斯的数学成就普遍各个范畴,个中很多都有着划时期的意义.同时,高斯在天文学.大地测量学和磁学的研讨中也都有出色的进献.1801年,高斯证实：假如k是质数的费马数,那么就可以用直尺和圆规将圆周k等分.高斯本身就是依据这个定理作出了正十七边形,解决了两千年来悬而未决的难题.道理当时,假如高斯的先生告知了高斯这是道2000多年没人解答出来的标题,高斯就不会画出这个正十七边形.这说清楚明了你不怕艰苦,艰苦就会被霸占,当你害怕艰苦,你就不会成功.正十七边形的证实办法正十七边形的尺规作图消失之证实:设正17边形中间角为a,则17a=360度,即16a=360度-a故sin16a=-sina,而sin16a=2sin8acos8a=4sin4acos4acos8a=16sinacosacos2acos4acos8a 因sina不等于0,双方除之有:16cosacos2acos4acos8a=-1又由2cosacos2a=cosa+cos3a等,有2(cosa+cos2a+…+cos8a)=-1留意到 cos15a=cos2a,cos12a=cos5a,令x=cosa+cos2a+cos4a+cos8№ay=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a有:x+y=-1/2又xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a)=1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cosa+cos15a)经盘算知xy=-1又有x=(-1+根号17)/4,y=(-1-根号17)/4其次再设:x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8ay1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a故有x1+x2=(-1+根号17)/4y1+y2=(-1-根号17)/4最后,由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1)/2可求cosa之表达式,它是数的加减乘除平方根的组合, 故正17边形可用尺规作出。

画正多边形最多边的世界记录

画正多边形最多边的世界记录
正十七边形是指几何学中有17条边及17只角的正多边形。

正十七边形的每个内角约为158.823529411765°，其内角和为2700°，有119条对角线。

最早发现其形状可用尺规作图法作出的是高斯。

最早的十七边形画法创造人是高斯【1801年数学家高斯证明：如果费马数k为质数，那么就可以用直尺和圆规将圆周k等分.但是，高斯本人实际上并不会做正十七边形。

第一个真正的正十七边形尺规作图法直到1825年才由约翰尼斯·厄钦格（Johannes Erchinger）给出.】
高斯（1777─1855年）德国数学家、物理学家和天文学家。

高斯在童年时代就表现出非凡的数学天才。

年仅三岁，就学会了算术，八岁因运用等差数列求和公式而深得老师和同学的钦佩。

大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件。

解决了两千年来悬而未决的难题，1799年以代数基本定理的四个漂亮证明获博士学位。

高斯的数学成就遍及各个领域，在数学许多方面的贡献都有着划时代的意义。

并在天文学，大地测量学和磁学的研究中都有杰出的贡献。

一个漂亮的证明与作图：高斯的正十七边形

⼀个漂亮的证明与作图：⾼斯的正⼗七边形⼀天晚上，19岁正读博的⾼斯的导师由于疏忽将两千多年未解决的⼀个问题——尺规做正⼗七边形留给了⾼斯，⾼斯优哉游哉得咬着笔头写着作业，然后表情严肃起来，妈的这题有点BT啊！想啊想，通宵⼀晚，伴着拂晓的晨光，⾼斯铅笔⼀扔，胸⼝长舒⼀⼝⽓。

⼼说，唉，最近智商⼜下降了，想我9岁算1+2+3……+100也没⽤这么长时间啊，这么个破题居然花了⼀晚上时间！第⼆天拿给博导，博导惊了，对他说，这可是阿基⽶德⽜顿都没做出来的题啊！你真是个天才啊！下⾯附上作图步骤和证明。

⾸先基于这样⼀个简单的定理，⼀直线段a、b，则对于线段c满⾜c^2 + ac + b = 0(c是实根，线段长肯定是实数)，我们是能够做出c的。

这个定理采⽤的⼀个基本思路就是利⽤代数⽅法去建⽴起线段之间的联系，⽽这也是求得cos(2π/17)的核⼼思想。

令： a = 2(cos(2π/17) + cos(4π/17) + cos(8π/17) + cos(16π/17)) ①a1 = 2(cos(6π/17) + cos(10π/17) + cos(12π/17) + cos(14π/17)) ②通过和差化积、诱导公式，我们会得到a + a1 = -1 , a*a1 = -4，可通过还原建⽴⼀元⼆次等式，利⽤上述定理，可做长度为a、a1的线段。

令： b = 2(cos(2π/17) + cos(8π/17)) ③b1 = 2(cos(4π/17) + cos(16π/17)) ④通过和差化积、诱导公式，我们会得到b + b1 = a , b*b1 = -1，可做长度为b、b1的线段。

令： c = 2(cos(6π/17) + cos(10π/17)) ⑤c1 = 2(cos(12π/17) + cos(14π/17)) ⑥通过和差化积、诱导公式，我们会得到c + c1 = a1 , c*c1 = -1，可做长度为c、c1的线段。

解读高斯正十七边形的作法(下)

e ＝。

从而求出cos 的其它表达式：可以验证，它们在数值上是相等的，其中以第二个表达式为最优。

在单位圆中，根据余弦定理，得正十七边形的边长为，将cos 的值代入，即可求出正十七边形的边长。

五、正十七边形的另一种作法步骤1：作圆O 的两条互相垂直的直径AC 、BD ；在OB 上截取OE ＝14OB ，连接EΑ；作∠FEO ＝14∠ΑEO 交OΑ于点F ；作∠GEF ＝，边EG 交CO 于点G 。

步骤2：以GΑ为直径作圆O’，交OB 于点H ；再以点F 为圆心，经过点H 作圆F ，交AC 于N4和N6两点。

步骤3：过N4作AC 的垂线交圆O 于点P4，过G6作AC 的垂线交圆O 于点P6，那么以圆O 为基准圆，Α为正十七边形的第一个顶点P1，P4为第四个顶点，P6为第六个顶点。

以12弧P4P6所对的弦为半径，即可在圆O 上截出正十七边形的所有顶点。

注一：7、9、11边形却未能作出。

让后来数学家为难的是，欧几里德之后的2000多年中，有关正多边形作图仍停留在欧几里德的水平上，未能向前迈进一步。

因此，我们可以想象得到，当1796年年仅19不过，高斯的结果多少显得有些奇怪。

他没有完成正七边形或正九边形等的作图，却偏偏隔下中间这一些直接完成了正十七边形。

为什么第一个新作出的正多边形是正十七边形而不是正七、九边形呢？在高斯的伟大发现之后，问题仍然存在：正七边形或正九边形等是否可尺规完成？或者更清楚地阐述这个问题：正多边形的边数具有什么特征时，它才能用尺规作出？在经过继续研究后，高斯最终在1801年对整个问题给出了一个完美的解答。

高斯指出，只用直尺和圆规作圆内接正n 边形，当n 满足如下特征之一时方可作出：1) n ＝2m ；〔其中m 为正整数〕2) 边数n 为质数且形如 n ＝22t +1〔其中t 为非负整数〕，即n 为质数的费马( Fermat )数。

3) 边数n具有n＝2m p1p2p3……p k的形式〔其中p1，p2，p3，……，p k为互不相同的费马质数〕。

高斯与正十七边形故事

高斯与正十七边形故事嘿，你知道吗？在数学的奇妙世界里，有一个超级厉害的故事，那就是高斯与正十七边形的传奇呀！话说高斯，那可是个数学天才中的天才啊！就像武侠小说里的绝世高手一样，一出手就不同凡响。

有一天，他就和正十七边形较上劲了。

你想想，正十七边形啊，那得多复杂，多难搞啊！可高斯偏不信这个邪，他就像一个勇敢的探险家，一头扎进了这个难题里。

咱普通人看到正十七边形，估计脑袋都大了，别说去研究它了，看都不想多看一眼。

可高斯不一样啊，他那聪明的脑袋瓜一转，就开始琢磨怎么攻克这个难关。

这就好比别人看到一座高山，都觉得没法爬上去，高斯却想着怎么找条路登顶呢！他整天整夜地思考，不停地计算，草稿纸都用了不知道多少。

这得有多执着啊！要是咱，可能早就放弃了，还会说：“哎呀，这太难了，搞不定啦！”但高斯不，他就是要和这个正十七边形死磕到底。

你说他怎么就能这么厉害呢？难道他脑袋里装了台超级计算机？我觉得啊，那是因为他对数学有着无比的热爱和痴迷。

就像咱喜欢吃好吃的一样，他看到数学难题就两眼放光。

经过无数个日夜的奋战，嘿，你猜怎么着？高斯还真就把正十七边形给搞定了！这简直就是奇迹啊！他就像一个神奇的魔法师，把不可能变成了可能。

这事儿给我们啥启示呢？那就是只要咱有决心，有毅力，没什么事儿是办不到的。

别老觉得自己不行，你看看高斯，面对那么难的正十七边形都没退缩，咱还有啥理由不努力呢？而且啊，这个故事也让我们看到了数学的魅力。

它可不只是那些枯燥的公式和数字，它里面藏着无数的宝藏等着我们去挖掘呢！就像高斯发现了正十七边形的秘密一样，说不定我们也能在数学的海洋里找到属于自己的宝贝呢！咱们生活中不也经常遇到各种困难吗？有时候觉得简直没法解决了，可要是咱学学高斯那股子劲儿，说不定就能柳暗花明又一村呢！别小瞧自己，咱也能创造属于自己的奇迹呀！你说是不是？所以啊，别害怕困难，勇敢地去挑战吧，就像高斯挑战正十七边形一样！让我们也在自己的人生道路上创造出属于我们的精彩吧！。

高斯的正十七边形

《高斯的正十七边形》如果问你正十七边形的问题是哪位数学家最先解出来的？你一定会毫不犹豫地说出答案，但是你知道他是怎么做到的吗？这你就得猜了吧，而且，你猜的答案肯定是：像普通数学家一样，都希望自己能解出千古难题，然后再经过仔细的、不懈的努力研究，最终得出了答案。

对不起，你答错了。

故事大概是这样的：1796年的一天，在德国哥延根大学，一位十九岁的学生刚吃完晚饭就开始做导师每天例行给他留的三道作业题，前两道题他不费吹灰之力就做了出来，第三道题是：要求只用圆规和一把没有刻度的直尺画出一个正十七边形。

这道题把他难住了——他所学过的数学知识竟然对解出这道题没有任何帮助，困难激起了他的斗志，他试着用各种各样的思路去解题，经过一晚上的思考和琢磨，他终于在第二天清晨解出了这道难题。

当他把作业交给导师时，他很惭愧，因为他觉得自己用的时间太长，辜负了老师的希望。

但是当导师看完作业后，激动地问：“这是你用圆规和有刻度的直尺做的吗？”“是的，我太笨了，居然用了一个晚上才做出来。

”高斯惭愧的说。

导师顿时惊得目瞪口呆原来，第三道题导师留错了，这道题其实是一道连阿基米德、牛顿这些人一辈子也都没能解出来的千古难题，这位学生竟然只用一个晚上就做出来了，这位学生就是数学王子——高斯。

在这件事情发生后，高斯回忆道，如果提前告诉他那是一道千古难题，那么他可能一辈子也解不出来那道题。

高斯解出那道题的关键，其实就在于他并不知道他正在解答一道千古难题，而只是以为在做普普通通的作业。

从这个故事中我们可以看出：在我们不清楚困难到底有多大的时候，我们反而更有力量去解决它！那么就是说，有时候真正阻碍我们成功的东西，并不是困难本身，而是我们对困难的恐惧，这种恐惧让我们不相信自己的能力，自然也就在困难面前投降了。

阿基米德和牛顿也许就是因此没能解出这道题的。

如果我们能够把这种恐惧感给克服掉、化解掉，那么我们会发现很多的难题会变得容易、很多的困难会迎刃而解。

正十七边形尺规作图与详解.docx

实用标准文档解读“数学王子”高斯正十七边形的作法一、高斯的传奇故事高斯 (Carl Friedrich Gauss1777.4.30~1855.2.23），德国数学家、物理学家、天文学家。

有一天，年幼的高斯在一旁看著作水泥工厂工的父算工人的周薪。

父算了好一会儿，于将果算出来了。

可是万万没想到，他身来幼嫩的童音：“爸爸，你算了，数是⋯⋯”父感到很惊异，赶忙再算一遍，果高斯的答案是的。

的高斯只有 3 ！高斯上小学了，教他数学的老布特勒(Buttner)是一个度劣的人，他从不考学生的接受能力，有用鞭子学生。

有一天，布德勒全班学生算1+2+3+4+5+⋯⋯+98+99+100＝？的和，并且威：“ 算不出来，就不准回家吃！”布德勒完，就坐在一旁独自看起小来，因他，做一道目是需要些的。

小朋友开始算：“ 1 + 2＝3，3+3＝6，6+4＝10，⋯⋯”数越来越大，算越来越困。

但是不久，高斯就拿着写着解答的小石板走到布德勒的身。

高斯：“老，我做完了，你看不？“做完了？么快就做完了？肯定是胡乱做的！”布德勒都没抬，手：“ 了，了！回去再算！”高斯站着不走，把小石板往前伸了伸：“我个答案是的。

”布德勒抬一看，大吃一惊。

小石板上写着5050 ，一点也没有！高斯的算法是1＋ 2 ＋ 3＋⋯⋯＋ 98 ＋99 ＋ 100100＋99 ＋98＋⋯⋯＋3＋ 2＋1101＋ 101 ＋ 101 ＋⋯⋯＋101 ＋101 ＋ 101 ＝101 ×100 ＝1010010100 ÷2＝ 5050高斯并不知道，他用的种方法，其就是古代数学家期努力才找出来的求等差数列和的方法，那他才八！1796 年的一天，德国哥廷根大学。

高斯吃完晚，开始做他独布置的三道数学。

前两道他不吹灰之力就做了出来了。

第三道写在另一小条上：要求只用和没有刻度的直尺，作出一个正十七形。

道把他住了——所学的数学知竟然解出道没有任何帮助。

一分一秒的去了，第三道竟毫无展。

正十七边形尺规作图与详细讲解

解读“数学王子”高斯正十七边形的作法一、高斯的传奇故事高斯(Carl Friedrich Gauss 1777.4.30~1855.2.23），德国数学家、物理学家、天文学家。

有一天，年幼的高斯在一旁看著作水泥工厂工头的父亲计算工人们的周薪。

父亲算了好一会儿，终于将结果算出来了。

可是万万没想到，他身边传来幼嫩的童音说：“爸爸，你算错了，总数应该是……”父亲感到很惊异，赶忙再算一遍，结果证实高斯的答案是对的。

这时的高斯只有3岁！高斯上小学了，教他们数学的老师布特勒(Buttner)是一个态度恶劣的人，他讲课时从不考虑学生的接受能力，有时还用鞭子惩罚学生。

有一天，布德勒让全班学生计算1+2+3+4+5+……+98+99+100＝？的总和，并且威胁说：“谁算不出来，就不准回家吃饭！”布德勒说完，就坐在一旁独自看起小说来，因为他认为，做这样一道题目是需要些时间的。

小朋友们开始计算：“1 + 2 ＝3，3+3＝6，6+4＝10，……”数越来越大，计算越来越困难。

但是不久，高斯就拿着写着解答的小石板走到布德勒的身边。

高斯说：“老师，我做完了，你看对不对？“做完了？这么快就做完了？肯定是胡乱做的！”布德勒连头都没抬，挥挥手说：“错了，错了！回去再算！”高斯站着不走，把小石板往前伸了伸说：“我这个答案是对的。

”布德勒抬头一看，大吃一惊。

小石板上写着5050，一点也没有错！高斯的算法是1 ＋2 ＋3＋……＋98＋99＋100100＋99＋98＋……＋3＋2＋1101＋101＋101＋……＋101＋101＋101＝101×100＝1010010100÷2＝5050高斯并不知道，他用的这种方法，其实就是古代数学家经过长期努力才找出来的求等差数列和的方法，那时他才八岁！1796年的一天，德国哥廷根大学。

高斯吃完晚饭，开始做导师给他单独布置的三道数学题。

前两道题他不费吹灰之力就做了出来了。

第三道题写在另一张小纸条上：要求只用圆规和没有刻度的直尺，作出一个正十七边形。

高斯和他的正十七边形

导师接过学生的作业一看，当即惊呆了。他用颤抖的声音对青年说：“这是你自己做出来的吗？”青年有些疑惑地看着导师，
回答道：“是我做的。但是，我花了整整一个通宵。”导师请他
坐下，取出圆规和直尺，在书桌上铺开纸，让他当着自己的面再
做出一个正17边形。青年很快做出了一个正17边形。
导师激动地对他说：“你知不知道？你解开了一桩有两千多年历史的数学悬案！阿基米德没有解决，牛顿也没有解决，你竟然一个晚上就解出来了。你是一个真正的天才！”
原来，导师也一直想解开这道难题。那天，他是因为失误，才将写
有这道题目的纸条交给了学生。每当这位青年回忆起这一幕时，总是说：
“如果有人告诉我，这是一道有两千多年历史的数学难题，我可能永远
也没有信心将它解出来”。这位青年就是数学王子高斯。
这个问题是高斯用代数的方法解决的，他也视此为生平
得意之作，还交待要把正十七边形刻在他的墓碑上，但后来
尺规作图对于学过几何的人来说都不陌生，它是指用没有刻度的直尺和圆规作图。你也许可以用尺规作图作出正三
角形、正方形、正六边形等，但是你有没有想过用尺规作
图作正十七边形，甚至正十七边能不能用尺规作图作出来。
其实这一问题早在1796年就由德国著名的数学家高斯在他
19岁时解决，这其中还有一段趣闻:，一个很有数学天赋的 19岁青年吃完晚饭，开始做导师单独布置给他的每天例行的三道数学题。前两道题在两个小时内就顺利完成了。第三道题写在另一张小纸条上：要求只用圆规和一把没有刻度的直尺，画出一个正17边形。他感到非常吃力。时间一分一秒的过去了，第三道题竟毫无进展。这位青年绞尽脑汁，但他发现，自己学过的所有数学知识似乎对解开这道题都没有任何帮助。困难反而激起了他的斗志：我一定要把它做出来！他拿起圆规和直尺，他一边思索一边在纸上画着，尝试着用一些超常规的思路去寻求答案。当窗口露出曙光时，青年长舒了一口气，他终于完成了这道难题。见到导师时，青年有些内疚和自责。他对导师说：“您给我布置的第三道题，我竟然做了整整一个通宵，我辜负了您对我的栽培……”

正十七边形画法

正十七边形画法历史为最早的十七边形画法创造人为:高斯。

高斯（1777─1855年）德国数学家、物理学家和天文学家．高斯在童年时代就表现出非凡的数学天才．年仅三岁，就学会了算术，八岁因发现等差数列求和公式而深得老师和同学的钦佩．大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件．解决了两千年来悬而未决的难题，1799年以代数基本定理的四个漂亮证明获博士学位．高斯的数学成就遍及各个领域，在数学许多方面的贡献都有着划时代的意义．并在天文学，大地测量学和磁学的研究中都有杰出的贡献．做法如下：步骤一给一圆O，作两垂直的直径OA、OB，作C点使OC＝1/4OB，作D点使∠OCD＝1/4∠OCA作AO延长线上E点使得∠DCE＝45度步骤二作AE中点M，并以M为圆心作一圆过A点，此圆交OB于F点，再以D为圆心，作一圆过F点，此圆交直线OA于G4和G6两点。

步骤三过G4作OA垂直线交圆O于P4，过G6作OA垂直线交圆O于P6，则以圆O为基准圆，A为正十七边形之第一顶点P4为第四顶点，P6为第六顶点。

以1/2弧P4P6为半径，即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。

历史最早的十七边形画法创造人为高斯。

高斯(1777~1855年)，德国数学家、物理学家和天文学家。

在童年时代就表现出非凡的数学天才。

三岁学会算术，八岁因发现等差数列求和公式而深得老师和同学的钦佩。

1799年以代数基本定理的四个漂亮证明获得博士学位。

高斯的数学成就遍及各个领域，其中许多都有着划时代的意义。

同时，高斯在天文学、大地测量学和磁学的研究中也都有杰出的贡献。

1801年，高斯证明：如果k是质数的费马数，那么就可以用直尺和圆规将圆周k等分。

高斯本人就是根据这个定理作出了正十七边形，解决了两千年来悬而未决的难题。

当时，如果高斯的老师告诉了高斯这是道2000多年没人解答出来的题目，高斯就不会画出这个正十七边形。

正十七边形的证明方法正十七边形的尺规作图存在之证明:设正17边形中心角为a,则17a=360度,即16a=360度-a故sin16a=-sina,而sin16a=2sin8acos8a=22sin4acos4acos8a=8sinacosacos2acos4acos8a因sina不等于0,两边除之有:16cosacos2acos4acos8a=-1又由2cosacos2a=cosa+cos3a等,有2(cosa+cos2a+…+cos8a)=-1注意到cos15a=cos2a,cos12a=cos5a,令x=cosa+cos2a+cos4a+cos8№ay=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a有:x+y=-1/2又xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a)=1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cosa+cos15a)经计算知xy=-1又有x=(-1+根号17)/4,y=(-1-根号17)/4其次再设:x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8ay1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a故有x1+x2=(-1+根号17)/4y1+y2=(-1-根号17)/4最后,由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1)/2可求cosa之表达式,它是数的加减乘除平方根的组合, 故正17边形可用尺规作出正五边形的画法(1)已知边长作正五边形的近似画法①作线段AB等于定长l,并分别以A,B为圆心,已知长l为半径画弧与AB的中垂线交于K。

《高斯的正17边形》读后感

《高斯的正17边形》读后感困难，似乎是一个仿佛永远也跨越不了的桥梁。

每当你跨越一个的时候，你会发现，还有一个更大更长的桥梁在等着你。

你越害怕困难、畏惧困难，它便会更加强大；但你如果相信自己、拥有坚定不移的信念，你便可以轻而易举地跨越困难。

《高斯的正17边形》这篇文章，便告诉了我们这个道理。

1796年的一天，德国哥廷根大学中，一个有数学天分的青年正在做导师单独布置给他的三道数学题。

前两道很快就完成了。

第三道在另一张纸上：只用圆规和一把没有刻度的直尺，画一个17边形。

青年绞尽脑汁，可依旧是毫无进展。

困难激起了他的斗志，当窗口露出曙光的时候，他终于完成了第三道题。

再见到导师的时候，青年心里充满了内疚和自责。

导师一接过青年的作业时却惊呆了，他让青年当着自己的面再做一个17边形。

青年很快做出了一个正17边形，导师激动地对青年说：“你知不知道？你解开了一桩有两千年多年历史的数学悬案！阿基米德没有解决，牛顿也没有解决，可你一个晚上就解出来了。

你是个真正的天才！”原来，导师想解决它，却因为失误才将这张纸条给了青年。

每当这位青年回忆起这一幕时，总是说：“如果有人告诉我这是一道有两千多年历史的数学难题，我可能永远也没有信心将它解出来。

”这个青年就是数学王子高斯。

就算别人不曾成功，你也不能气馁；就算别人说“不行”，你也不能失去信心。

有些事情，在不清楚它到底有多难时，我们往往能够做得更好！由此看来，真正的困难并不是困难本身，而是我们对困难的畏惧。

做任何事的时候，都要充满信心。

不管旁人的看法如何，我们都不能放弃。

有志者事竟成。

只要你努力了就一定会有收获！投诉。