中考专题复习等腰三角形的分类讨论
有关等腰三角形的分类讨论专题
相关等腰三角形的分类议论专题：1．（1）等腰三角形有两边长为4cm 和 7cm，则周长为厘米。
（2）等腰三角形有两边长为3cm 和 7cm，则周长为厘米。
（3）等腰三角形的周长为24cm，一边长为 10cm，则其他两边长为米。
（4）等腰三角形的周长为24cm，一边长为 6cm，则其他两边长为米。
厘厘总结：等腰三角形波及到边的问题时，能够依据“腰”和“底边”来分类议论，但要利用三角形形三边关系来判断三角形能否存在。
稳固：（ 1）等腰三角形一边长为12cm，且是另一边长的，那么这个三角形的周长是厘米。
（ 2）假如等腰三角形一腰上的中线把它的周长分红15 和6 两部分，则底边的长是。
2．在△ ABC中，AB=AC，（1）若∠ A=30°，则∠ B=，∠C=。
（2）若∠ B=30°，则∠ A=，∠ C=。
（3）如有一个内角是 30°，则其他两个内角的度数为。
（4）如有一个内角是120°，则其他两个内角的度数为。
总结：在等腰三角形内角求解的问题中，能够按“顶角”但要利用三角形内角和判断三角形能否存在。
、“底角”来分类议论，稳固：假如等腰三角形的两个内角的比为4：1，求等腰三角形的顶角的度数。
3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角为度。
总结：等腰三角形中波及“高”的内角求解问题，能够依据三角形种类分类议论。
稳固：（ 1）等腰三角形有一个内角为40°，则一腰上的高与底边的夹角为度。
（ 2）等腰三角形有一个内角为40°，则一腰上的高与另一腰的夹角为度。
等腰三角形中的分类讨论
等腰三角形中的分类讨论一、等腰三角形的定义等腰三角形是指具有两条边相等的三角形，也就是说，等腰三角形的两条边边长相等，而另一条边则较短。
等腰三角形可以有不同的形状和性质，下面将对等腰三角形进行分类讨论。
二、等腰三角形的分类1. 等腰直角三角形等腰直角三角形是一种特殊的等腰三角形，其中的一个内角为直角（即90度）。
在等腰直角三角形中，另外两个内角相等，均为45度。
根据勾股定理，等腰直角三角形的斜边与两条直角边之间的关系为：斜边的长度等于直角边长度的平方根乘以2。
2. 等腰锐角三角形等腰锐角三角形是指两个等腰三角形的顶点角小于90度的三角形。
在等腰锐角三角形中，两个等腰边的边长相等，而顶点角则小于90度。
等腰锐角三角形的两个等腰边的长度与顶点角之间的关系为：等腰边的长度等于另一条边的长度乘以正弦顶点角的一半。
3. 等腰钝角三角形等腰钝角三角形是指两个等腰三角形的顶点角大于90度的三角形。
在等腰钝角三角形中，两个等腰边的边长相等，而顶点角则大于90度。
等腰钝角三角形的两个等腰边的长度与顶点角之间的关系为：等腰边的长度等于另一条边的长度乘以正弦顶点角的一半。
4. 等腰等边三角形等腰等边三角形是一种特殊的等腰三角形，其中的三个边全都相等。
等腰等边三角形的三个内角均为60度。
等腰等边三角形具有许多特殊性质，例如：它的三条高线、中线、角平分线和垂直平分线都重合于同一个点；它的外接圆和内切圆都与三个顶点相切。
三、等腰三角形是指具有两条边相等的三角形，根据顶点角的大小和不同属性，可以进一步分类为等腰直角三角形、等腰锐角三角形、等腰钝角三角形和等腰等边三角形。
每种分类的等腰三角形都有其特殊的性质和关系，值得我们深入学习和研究。
注意：此文档仅为示例文档，实际写作时请根据需求进行修改和扩展，结合数学知识以及示例文档提供的内容，形成一篇丰富详尽的文档。
等腰三角形性质复习之分类讨论
12攀枝花）已知实数x，y满足
分析： 两边长
（不确定）
4是底边 8是腰 4是腰 8是底边
（不可能） 另一腰是8
另一腰是4
周长是20
练习（关于边的分类）
等腰三角形一腰上的中线把周长分成 27和9两部分， 则它的底边长等于
27
9
9
27
例题精练（关于形的分类）
一个等腰三角形的一腰上的高线和另一腰的夹角为 50度，则等腰三角形的底角为 。 分析：
条件确定
关于分类讨论
分类讨论的定义：当数学问题中的条件、结论不确定时，就 应分类讨论。 分类讨论思想是指在解决一个问题时，将问题 划分成几个能用不同形式去解决的小问题，将这些小问题一 一加以解决，从而使问题得到解决,这就是分类讨论思想。 分类讨论解题的实质：是将整体问题化为部分问题来解决。
分类讨论的原则：是不重复、不遗漏。讨论的方法是逐类进 行，还必须要注意综合讨论的结果，以使解题步骤完整。
巩固练习
4、如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°， ∠BOC=α ．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC， 连接OD． （1）求证：△COD是等边三角形； （2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
提高练习
1、已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，P是AB的中点， （1）如图1，如果点D，点E分别在边AC，BC上移动，在移动过 程中保持 CD=BE, 请判断△PDE的形状（无需说明理由） （2）如图2，如果点D,点E分别在AC，CB的延长线上移动，在 移动过程中仍保持CD=BE，请问：（1）中的结论是否仍成立？ 若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。 （3）如图3，将一 块与△ABC全等的三角板如图放置（DE边与 CB边重合），现将三角板绕点C顺时针旋转，当DF边与CA边重 合时停止，不考虑起始和结束时情形，设DE，DF （或它们的延长线）分别交AB（或它的延长线）于G，H点（ 可参考图4），问BG长为多少时，△CGH是等腰三角形？（只 需直接写出BG值）
“分类讨论”在等腰三角形中的应用
“分类讨论”在等腰三角形中的应用在最近几年的全国各地中考试卷中，出现了以等腰三角形为背景，考查学生分类讨论能力的试题，为帮助同学们提高对此类问题的解题能力，现列举几例：一、要讨论谁是底边或腰长例1、已知一个等腰三角形的一边长为5，另一边长为7，则这个等腰三角形的周长（）A. 12 B 17 C 19 D 17或19分析：题中并未说明5或7是底边，还是腰，应分情况讨论．解：当等腰三角形的一腰长为5时，此时7为底边，满足任意两边之和大于第三边，所以满足题意的三角形的周长为5+5+7=17；当等腰三角形的一腰长为7时，此时5为底边，也满足任意两边之和大于第三边，故满足题意的三角形的周长为7+7+5=19．综上知选D．例2、有一个等腰三角形，三边分别是3x－2，4x－3，6－2x，求等腰三角形的周长．分析：已知等腰三角形三边长，说明有两边相等，但不知谁是腰，必须分三种情况分析．解：（1）当3x－2＝4x－3时，即x＝1，则三边为1，1，4，由于1＋1＜4，所以不成立；（2）当3x－2＝6－2x时，即85x=，则三边长为141714555、、，由于141417555+>，所以成立；（3）当4x－3＝6－2x时，即x＝1.5，则三边为2.5，3，3，由于2.5＋3＞3，所以成立．由上可知等腰三角形周长为9或8.5.说明：如果等腰三角形的腰长为A，底边长为B，则有222b b aa+<<．二、要讨论腰与底谁较大例3、一等腰三角形的周长为20cm，从底边上的一个顶点引腰的中线，分三角形周长为两部分，其中一部分比另一部分长2cm，求腰长．分析：题目中的条件是一部分比另一部分长2cm，这里可能是腰比底长，也可能是底比腰长，应分两种情况讨论，因为是中线，周长分成的两部分之差就是腰长与底边长之差．解：不妨设腰长为x cm，底边长为y cm ，根据题意有（1）当腰长大于底边时，有2220x yx y-=⎧⎨+=⎩，解得221633x y==、；（2）当腰长小于底边时，有2220y xx y-=⎧⎨+=⎩，解得68x y==、；因为两种情形都符合三角形的三边关系定理，故腰长为223cm或6cm．说明：分类讨论后，要用三角形三边关系定理来判断所给三边能否构成三角形，从而避免造成错解．三、要讨论谁是底角或顶角例4、（1）等腰三角形的一个角是30°，求底角．（2）等腰三角形的一个角是100°，求底角．分析：等腰三角形的一个角可能指底角，也可能指顶角，须分情况讨论，但顶角可以是锐有、直角、钝角，而底角只能是锐角．解：（1）当30°是底角时，底角即为30°；当30°是顶角时，底角为180302︒-︒，即为75°；（2）因100°只能是顶角，所以底角是1801002︒-︒，即为40°．说明：等腰三角形的底角只能为锐角，不能为直角、钝角，但顶角可以为锐角、直角、钝角．四、要讨论高在三角形内部或外部例5、已知等腰三角形ABC中，BC边上的高12AD BC=，求∠BAC的度数．分析：题中未交代哪条边是底边，哪条边是腰，所以必须分三种情况讨论．解：（1）当BC为底边时，则D是BC中点，△ABC为等腰直角三角形∠BAC=90°；（2）当BC为腰，且高AD在△ABC内部时，1122AD BC AB==，∠B=30°，所以∠BAC=75°；（3）当BC为腰，且高AD在△ABC的外部时，1122AD BC AB==，∠DBA=30°；所以∠BAC=15°．综上所述∠BAC的度数可以为15°、75°、90°．说明：由于题目的图形未画出，因此考虑情况时要周全，不要出现漏解．试一试：1、在活动课上，小红已有两根长为4cm、8cm的小木棒，现打算拼一个等腰三角形，则小红应取的第三根小木棒长是＿＿＿＿＿Cm．2、在平面直角坐标系中，已知点为A（－2,0），B（2,0）画出等腰三角形ABC（画出一个即可），并写出你画出的ABC的顶点C的坐标．3、下面是数学课堂的一个学习片段,，阅读后, 请回答下面的问题：学习等腰三角形有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：“已知等腰三角形ABC的角A等于30°，请你求出其余两角”．同学们经片刻的思考与交流后，李明同学举手说：“其余两角是30°和120°”；王华同学说：“其余两角是75°和75°” ，还有一些同学也提出了不同的看法……(1)假如你也在课堂中，你的意见如何? 为什么?(2)通过上面数学问题的讨论, 你有什么感受? (用一句话表示)“分类讨论”在等腰三角形中的应用当面临的问题不宜用一种方法处理或同一种形式叙述时，我们就要想到“分类讨论”——“分而治之，各个击破”．下面就让“分类讨论”思想在等腰三角形中“大放光彩”吧！例1 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）A、60°B、120°C、60°或150°D、60°或120°分析：分两种情况，①当顶角是锐角时，如图1，∵∠ABD=30°，∠ADB=90°，∴∠A=60°;②当顶角是钝角时，如图2，∵∠ABD=30°，∠ADB=90°，∴∠BAD=60°，∴∠BAC =120°．所以顶角度数为60°或120°，所以选D ．例2 等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边长为( ) A 、7 B 、3 C 、5或3 D 、5分析：长为3的边可能是底边，也可能是腰，因此有两种情况，①若长为3的边为底边，则该等腰三角形的底边长为3; ②若长为3的边为腰，则该等腰三角形的底边长为(13-3)÷2=5．故选C ．说明：边长为3的边、可能是底边，不要只认为它是腰．例3 已知点A 和点B ，以点A 和点B 为其中两个点作位置不同的等腰直角三角形，一共可以作出( )A 、2个B 、4个C 、6个D 、8个分析:如图3，以线段AB 为底边可作出两个等腰直角三角形，以AB 为腰可作出4个等腰直角三角形，因此，共可作出6个等腰直角三角形，故选C ． 说明：解题时容易忽视为腰长的情况，因此，分析问题一定要用心，充分考虑各种情形． 例4 如图4，在等边△ABC 所在的平面内求一点P ，使△P AB 、△PBC 、△P AC 都是的等腰三角形，你能找到几个这样的点?画图描述它们的位置．分析：如图4，△ABC 三条边的垂直平分线的交点1p 满足条件，分别以点A 、点B 为圆心，AB 为半径画圆弧，交AC 的垂直平分线于2p 、3p 两点，则△、、、AC P BC P AB P 222∆∆、、、AC P BC P AB P 333∆∆也是等腰三角形，同样可以在AB 、BC 的垂直平分线上再找到4个点P ，使△P AB 、△PBC 、△P AC 是等腰三角形．所以共有7个点．画出的图形如图4．说明：此题乍一看只能确定在△ABC 内一点，关键要注意三个等腰三角形的腰是哪两条边．分类讨论探究题既是中考热点又是考生易错点，克服方法是解题时常提醒自己：“还有其它情况吗？”切记！…图1B 图2 图3B。
八年级等腰三角形的分类讨论专题
专题一：等腰三角形中的分类讨论（一）角分类：顶角和底角+ 三角形内角和；外角1.已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4，求顶角的度数。
2.一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少30o，求这个三角形的三个内角的度数。
3.如果一个等腰三角形的一个外角等于100°，则该等腰三角形的底角的度数是．（二）边分类：底边和腰+ 三角形三边关系4.等腰三角形的两边分别是8,6，这个等腰三角形的周长为5.等腰三角形的两边分别是8,3，这个等腰三角形的周长为6.在等腰三角形ABC中，AB的长是AC的2倍，三角形的周长是40，则AB的长等于_______________.（三）中线分类7.已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，求腰长和底长。
8.等腰三角形的底边长为6cm，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，这两部分之差是3cm，求这个等腰三角形的腰长（四）高、垂直平分线分类9.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，求底角的度数10.在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B=____________11.（2018·哈尔滨中考）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数12.（2019·白银中考）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值b 称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰三角形ABC中，∠A=80°，则它的特征值k=13.(2018·绍兴中考）数学课上，张老师举了下面的例题：例1等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度数.（答案：35°）例2等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度数.（答案：40°或70°或100°）张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：等腰三角形ABC中，∠A=80°，求∠B的度数.(1)请你解答以上的变式题。
专题训练等腰三角形中的分类讨论
专题复习——等腰三角形中的分类讨论例1. 已知等腰△ABC中，有一个内角为40o，则另两个内角分别为________________．例2. 在△ABC中，∠A的外角等于110°，△ABC是等腰三角形，那么∠B＝。
例3．等腰三角形两内角的度数比为2∶1，则顶角为。
例1.等腰三角形有两条边长为4cm和9cm，则该三角形的周长是例2. 等腰三角形的周长为22 cm,其中一边的长是8 cm,则其余两边长分别为_________.例3. 一等腰三角形的周长是25cm，作某一腰上的中线分得两个三角形的周长一个比另一个长5cm，则腰长是例1. 等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半,它的底角为例2. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角等于20 ,则等腰三角形的顶角度数为例1. 如图，点B在直线L上，点A在直线L外，在直线L上找点C，使得△ABC为等腰三角形。
（要求保留作图痕迹，写清点C的个数）LB例2．在直角坐标系中，O点为坐标原点，A（2，-4），动点B在坐标轴上。
则满足△OAB为等腰三角形的有B点共有个例3. P为直线1:32l y x A=-上一点，（2，0），求使△PAO为等腰三角形的点P的坐标.等腰三角形中的分类讨论练习姓名：日期：指导老师：侯尧等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的基本性质以外，还具有许多独特的性质，最主要的体现就是它的两底角相等，两腰相等，正是由于具有这两个相等，所以在解等腰三角形的有关题目时必须全面思考，分类讨论，以防漏解。
下面就常见题型举例说明如下：一、角不确定时需分类讨论1、若等腰三角形的一个角为40°，则其他两个角分别为若等腰三角形的一个角为100°，则其他两个角分别为二、边不确定时需分类讨论2、等腰三角形一边长是10cm，另一边长是6cm，则它的周长是等腰三角形的两边长分别是9cm和4cm，则它的周长是等腰三角形周长是20cm，一边长为8cm，则其他两边长分别是等腰三角形周长是20cm，一边长为4cm，则其他两边长分别是等腰三角形周长是13，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边长为三、高不确定时需分类讨论3、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为30°，则顶角的度数为等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则底角的度数为四、其它（1）等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分成12cm和15cm的两部分，求三角形各边的长（2）等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分成12cm和21cm两部分，求三角形的三边长（3）一等腰三角形的周长为20cm，从底边上的一个顶点引腰的中线，分三角形周长为两部分，其中一部分比另一部分长2cm，求腰长5、已知点A和点B，以点A和点B为其中两个点作位置不同的等腰三角形，一共可以作个6、有一个等腰三角形，三边分别是3x-2,4x-3,6-2x,求等腰三角形的周长7、如图，在等边ΔABC所在的平面内求一点P，使ΔPAB、ΔPBC、ΔPAC都是等腰三角形，你能找到几个这样的点？画图描述他们的位置。
万能解题模型(8) 等腰三角形的分类讨论
已知等腰三角形的一个角为 α，确定顶角或底角的度数时，需分以下三种情况： ①若 α 为钝角，则 α 为顶角，底角的度数为12(180°－α)； ②若 α 为直角，则 α 为顶角，且该三角形为等腰直角三角形，底角为 45°； ③若 α 为锐角，则需分两种情况，当 α 为顶角时，底角为12(180°－α)；当 α 为底角时，顶角为 180°－2α.
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数学 第一轮 中考考点系统复习(讲解册)
万能解题模型(八) 等腰三角形的 分类讨论
模型 1 等腰三角形顶角和底角不确定而产生的分类讨论 1．若等腰三角形的一个角为 80°，则顶角为 20°或80° ． 2．若等腰三角形的一个角为 110°，则顶角为 110° ． 3．若等腰三角形的一个角为另一个角的两倍，则其底角为 45° 或72° ．
(2)∵抛物线的解析式为 y＝－x2－2x＋3， ∴其对称轴为直线 x＝－22＝－1. ∴设 P 点坐标为(－1，t)． 当 x＝0 时，y＝3， ∴C(0，3)，M(－1，0)． ①当 CP＝PM 时，(－1)2＋(t－3)2＝t2，解得 t＝53， ∴P 点坐标为(－1，53)；
②当 CM＝PM 时，(－1)2＋32＝t2，解得 t＝± 10， ∴P 点坐标为(－1， 10)或(－1，－ 10)； ③当 CM＝CP 时，(－1)2＋32＝(－1)2＋(t－3)2，解得 t＝6 或 0(舍 去)， ∴P 点坐标为(－1，6)． 综上所述，存在符合条件的点 P，其坐标为(－1， 10)或(－1，－ 10)或(－1，6)或(－1，53)．
易错提示：无论哪种情况，都要注意等腰三角形的三个角必须满 足三角形三个内角之和等于 180°.
模型 2 等腰三角形腰和底不确定而产生的分类讨论
等腰三角形的分类讨论
等腰三角形的分类讨论关键信息项1、等腰三角形的定义和性质定义：至少有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
性质：两腰相等；两底角相等；顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
2、等腰三角形的分类依据边的长度：分为等边三角形（三边相等）和一般等腰三角形（只有两边相等）。
角的大小：锐角等腰三角形、直角等腰三角形、钝角等腰三角形。
3、分类讨论的情况已知三角形的两边长度，求第三边长度时，需分情况讨论。
已知三角形的一个角的度数，求其他角的度数时，需分情况讨论。
已知三角形的周长和边的关系，求边长时，需分情况讨论。
11 等腰三角形的定义和性质的详细说明等腰三角形是一种特殊的三角形，其定义为至少有两边相等的三角形。
这一特征使得等腰三角形具有独特的性质。
首先，两腰长度相等，这是等腰三角形的最基本特征。
其次，两底角（即两腰所对的角）相等。
这一性质在解决与角度相关的问题时经常被用到。
再者，顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，这条性质被称为“三线合一”，它为证明线段相等、角相等以及解决相关几何问题提供了重要的依据。
111 等腰三角形性质的应用在实际解题中，等腰三角形的性质经常被用于构建等式、求解未知量。
例如，已知一个等腰三角形的顶角为 80 度，由于两底角相等，根据三角形内角和为 180 度，可以计算出底角的度数为（180 80）÷ 2 ＝50 度。
12 等腰三角形的分类依据121 边的长度分类从边的长度来看，等腰三角形可以分为等边三角形和一般等腰三角形。
等边三角形是特殊的等腰三角形，其三条边长度均相等。
一般等腰三角形则只有两条边长度相等。
122 角的大小分类根据角的大小，等腰三角形可分为锐角等腰三角形（三个角均为锐角）、直角等腰三角形（其中一个角为直角）和钝角等腰三角形（其中一个角为钝角）。
13 分类讨论的情况131 已知两边长度求第三边当已知等腰三角形的两边长度时，求第三边的长度需要分情况讨论。
专题08 等腰三角形中的分类讨论模型(解析版)
专题08等腰三角形中的分类讨论模型模型1、等腰三角形中的分类讨论：【知识储备】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。
1）无图需分类讨论①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论；③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。
2）“两定一动”等腰三角形存在性问题：即：如图：已知A ，B 两点是定点，找一点C 构成等腰ABC △方法：两圆一线具体图解：①当AC AB =时，以点A 为圆心，AB 长为半径作⊙A ，点C 在⊙A 上（B ，C 除外）②当BC AB =时，以点B 为圆心，AB 长为半径作⊙B ，点C 在⊙B 上（A ，E 除外）③当BC AC =时，作AB 的中垂线，点C 在该中垂线上（D 除外）例1．（2023秋·河北张家口·八年级统考期末）ABC 是等腰三角形，5,7AB AC ==，则ABC 的周长为（）A ．12B ．12或17C ．14或19D ．17或19【答案】D【分析】根据等腰三角形的定义分两种情况：当腰为5与腰为7时，即可得到答案．【详解】解：当ABC 的腰为5时，ABC 的周长55717++=；当ABC 的腰为7时，ABC 的周长57719++=．故选：D ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的定义是解题的关键．例2．（2023春·四川巴中·七年级统考期末）等腰三角形的周长为32cm ，一边长为8cm ，则其它两边长是（）∴150∠=︒，即顶角为150︒；故答案为：30︒或150︒．BAC【点睛】本题考查等腰三角形的性质，注意掌握分类讨论思想和数形结合思想的应用是解题的关键．例5．（2023秋·江苏·八年级专题练习）在如图所示的网格中，在格点上找一点P，使ABP为等腰三角形，则点P有（）A．6个B．7个C．8个D．9个【答案】C【分析】分三种情况讨论：以AB为腰，点A为顶角顶点；以AB为腰，点B为顶角顶点；以AB为底．【详解】解：如图：如图，以AB为腰，点A为顶角顶点的等腰三角形有5个；以AB为腰，点B为顶角顶点的等腰三角形有3个；不存在以AB为底的等腰ABP，所以合计8个．故选：C．【点睛】本题考查等腰三角形的定义，网格图中确定线段长度；在等腰三角形腰、底边待定的情况下，分类讨论是解题的关键．例6．（2023·重庆市八年级期中）如图1，一副直角三角板△ABC和△DEF，∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，点B、D、C、F在同一直线上，点A在DE上．如图2，△ABC固定不动，将△EDF绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜135°）得△E′DF'，当直线E′F′与直线AC、BC所围成的三角形为等腰三角形时，α的大小为___．【答案】7.5°或75°或97.5°或120°【分析】设直线E′F′与直线AC、BC分别交于点P、Q，根据△CPQ为等腰三角形，分三种情况：①当∠PCQ 为顶角时，∠CPQ=∠CQP，如图1，可求得α=7.5°；如图2，△CPQ为等腰三角形中，∠PCQ为顶角，可求得α=∠EDE′=90°+7.5°=97.5°；②当∠CPQ为顶角时，∠CQP=∠PCQ=45°，可得∠CPQ=90°，如图3，进而求得α=90°-15°=75°；③如图4，当∠CQP为顶角时，∠CPQ=∠PCQ=45°，可得∠CQP=90°，进而求得α=∠EDE′=∠EDQ+∠QDE′=90°+30°=120°．【详解】解：设直线E′F′与直线AC、BC分别交于点P、Q，∵△CPQ为等腰三角形，∴∠PCQ为顶角或∠CPQ为顶角或∠CQP为顶角，①当∠PCQ为顶角时，∠CPQ=∠CQP，如图1，∵∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，∴∠E′DF′=90°，∠ACB=45°，∠E′F′D=30°，∵∠CPQ+∠CQP=∠ACB=45°，∴∠CQP=22.5°，∵∠E′F′D=∠CQP+∠F′DQ，∴∠F′DQ=∠E′F′D-∠CQP=30°-22.5°=7.5°，∴α=7.5°；如图2，∵△CPQ为等腰三角形中，∠PCQ为顶角，∴∠CPQ=∠CQP=67.5°，∵∠E′DF′=90°，∠F′=30°，∴∠E′=60°，∴∠E′DQ=∠CQP-∠E′=67.5°-60°=7.5°，∴α=∠EDE′=90°+7.5°=97.5°；②当∠CPQ为顶角时，∠CQP=∠PCQ=45°，∴∠CPQ=90°，如图3，∵∠DE ′F ′=∠CQP +∠QDE ′，∴∠QDE ′=∠DE ′F ′-∠CQP =60°-45°=15°，∴α=90°-15°=75°；③如图4，当∠CQP 为顶角时，∠CPQ =∠PCQ =45°，∴∠CQP =90°，∴∠QDF ′=90°-∠DF ′E ′=60°，∴∠QDE ′=∠E ′DF ′-∠QDF ′=30°，∴α=∠EDE ′=∠EDQ +∠QDE ′=90°+30°=120°；综上所述，α的大小为7.5°或75°或97.5°或120°．故答案为：7.5°或75°或97.5°或120°．【点睛】本题考查了等腰三角形性质，直角三角形性质，旋转的性质，三角形内角和定理等，解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想思考解决问题．例7．（2022秋·江苏徐州·八年级校考期中）如图，70AOB ∠=︒，点C 是边OB 上的一个定点，点P 在角的另一边OA 上运动，当COP 是等腰三角形，OCP ∠=°．【答案】40或70或55【分析】分三种情况讨论：①当OC PC =，②当PO PC =，③当OP OC =，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可得到结论．【详解】解：如图，(1)若点P在BC上，且满足PA PB=，求此时(3)在运动过程中，当t为何值时，ACP△【答案】(1)6516(2)316或52(3)54或32或90ACB∠=︒，5cmAB=在Rt ACP中，由勾股定理得()22234x x∴+-=，解得BP 平分ABC ∠，C ∠在BCP 与BDP △中，∵A B ∠∠=︒+90，90ACP BCP ∠+∠=︒，B BCP ∴∠=∠，CP BP AP ∴==，P ∴是AB 的中点，即15cm 22AP AB ==，524AP t ∴=．②如图，当P 在AB 上且3cm AP CA ==时，∴322AP t ==．③如图，当P 在AB 上且(1)求直线AB 的表达式和点D 的坐标；(2)横坐标为m 的点P 在线段AB 上（不与点A x 轴的平行线交AD 于点E ，设PE 的长为()0y y ≠，求y 与m 之间的函数关系式并直接写出相应的范围；(3)在（2）的条件下，在x 轴上是否存在点F ，使PEF !为等腰直角三角形？若存在求出点若不存在，请说明理由．【答案】(1)()450y x D =-+-，，(2)()33242y m m =+-<<，的运用，解答本题时求出函数的解析式是关键．课后专项训练A．120︒B．75︒【答案】C【答案】D【分析】分为AB AC =、BC BA =，CB CA =三种情况画图判断即可．【详解】解：如图所示：当AB AC =时，符合条件的点有2个；当BC BA =时，符合条件的点有1个；当CB CA =，即当点C 在AB 的垂直平分线上时，符合条件的点有一个．故符合条件的点C 共有4个．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．4．（2023·江苏八年级期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A 、B 都是格点（小正方形的顶点叫做格点），若△ABC 为等腰三角形，且△ABC 的面积为1，则满足条件的格点C 有()A ．0个B ．2个C ．4个D ．8个【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的面积解答即可．【详解】解：如图所示：∵△ABC 为等腰三角形，且△ABC 的面积为1，∴满足条件的格点C 有4个，故选C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的面积是解决问题的关键A．3【答案】D故选：满足条件的点M 的个数为2．故选A ．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．7．（2022·安徽淮北·九年级阶段练习）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，8BC =，6AC =．若点P 为直线BC 上一点，且ABP △为等腰三角形，则符合条件的点P 有（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和勾股定理的应用，关键要用分类讨论的思想．8．（2022·黑龙江·哈尔滨八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()1,1，在x 轴上确定点P ，使AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【分析】先计算OA的长，再以OA为腰或底分别讨论，进而得出答案．【详解】解：如图，22112OA=+=，当AO＝OP1，AO＝OP3时，P1（﹣2，0），P3（2，0），当AP2＝OP2时，P2（1，0），当AO＝AP4时，P4（2，0），故符合条件的点有4个．故选：C．【点睛】本题以平面直角坐标系为载体，主要考查了勾股定理和等腰三角形的定义，属于常考题型，全面分类、掌握解答的方法是关键．9．（2022·四川广元·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB=36°，以C为原点，C所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有（）A．6个B．7个C．8个D．9个∵BD AC ⊥，∴90ADB ∠=︒，∵∵BD AC ⊥，∴90ADB ∠=︒，∵ABD ∠11【分析】根据等腰三角形一腰上的中线将其周长分别为12和9两部分得到底和要的差是1293-=，再根据周长列式求解即可得到答案；【详解】解：∵等腰三角形一腰上的中线将其周长分别为12和9两部分，∴腰与底的差为：1293-=，①当底边比腰长时，设腰为x ，则底为3x +，由题意可得，32129x x ++=+，解得：6x =，3639x +=+=，②当腰比底边长时，设腰为x ，则底为3x -，由题意可得，32129x x -+=+，解得：8x =，3835x -=-=，故答案为：6，9或8，5．【点睛】本题主要考查三角形中线有关计算，解题的关键是得到腰长与底边之差再分类讨论．14．（2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知A （1，2），在y 轴确定点P ，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 有____个．【答案】4．【分析】根据等腰三角形的判定得出可能OA 为底，可能OA 为腰两种情况，依此即可得出答案．【详解】①以A 为圆心，以OA 为半径作圆，此时交y 轴于1个点（O 除外）；②以O 为圆心，以OA 为半径作圆，此时交y 轴于2个点；③作线段AO 的垂直平分线，此时交y 轴于1个点；共1+2+1=4．故答案为：4．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定的应用，有两边相等的三角形是等腰三角形，注意要进行分类讨论．15．（2022秋·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，10cm AB =，8cm AC =，若点P 从点A 出发，以每秒1cm 的速度沿折线A C B A ---运动，设运动时间为t 秒()0t >，当点P 在边AB 上，【答案】19或20或21.2【分析】利用等腰三角形的性质，依次画图，分类讨论即可．【详解】∵90ACB ∠=当P 在BA 上时，①②当6cm BC CP ==时，过CD PB ⊥于点D ，如图，∴12BD DP BP ==，∵12ABC S AC BC CD ==V g g ，∴ 4.8AC BC CD AB == ，在Rt CBD △中，由勾股定理得：()2226 4.8 3.6cm BD BC CD =--=，∴)22 3.6cm BP BD ==⨯=，∴(()867.221.2s t =++，【答案】5或8【分析】ABP 是以AB 为腰的等腰三角形时，分两种情况：出BP 的长度，继而可求得t 值．【详解】解：在Rt ABC △中，∠②当AB AP =时，28cm 8BP BC t ===，故答案为：5或8．【点睛】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握等腰三角形的性质，以及分情况讨论，注意不要漏解．15．（2022·河南平顶山·八年级期末）如图，ABC 中，90C ∠=︒，6BC =，ABC ∠的平分线与线段AC 交于点D ，且有AD BD =，点E 是线段AB 上的动点（与A 、B 不重合），连接DE ，当BDE 是等腰三角形时，则BE 的长为___________．【答案】4或4【分析】现根据已知条件得出30CBD ABD BAD ∠=∠=∠=︒，再根据BC =6，分别求出AB 、AC 、BD 、AD 、（2）当BE =DE ，如图：∵BE =DE ∠EDB =∠ABD =30°，∴∠AED =∠EDB ∴∠ADE =180°-∠AED -∠A =180°-60°-30°=90°，∴ ADE 为直角三角形，又∵30A ∠=︒且AD =43，∴DE ，∴BE =4；（3）当BD =DE ，时，点E 与A 重合，不符合题意；综上所述，BE 为4或43．故答案为：4或43．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质和判定，勾股定理的应用，16．（2023·上虞市初二月考）在如图所示的三角形中，∠A ＝30°，点P 和点Q 分别是边AC 和BC 上的两个动点，分别连接BP 和PQ ，把△ABC 分割成三个三角形△ABP ，△BPQ ，△PQC ，若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，则∠C 有可能的值有________个．【答案】7【分析】①当AB=AP ，BQ=PQ ，CP=CQ 时；②当AB=AP ，BP=BQ ，PQ=QC 时；③当APB ，PB=BQ ，PQ=CQ 时；④AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时；根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．【解析】解：如图所示，共有9种情况，∠C的度数有7个，分别为80°，40°，35°，20°，25°，100°，50°．①当AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ时；②当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时，③当AP=AB，PQ=CQ，PB=PQ时．④当AP=AB，PQ=PC，BQ=PQ时，⑤当AP=BP，CP=CQ，QB=PQ时，⑥当AP=PB，PB=BQ，PQ=CQ时；⑦AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时．⑧AP=PB，QB=PQ，PQ=CC时．⑨BP=AB，PQ=BQ，PQ=PC时．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．17．（2022·浙江·八年级专题练习）已知：如图，线段AC和射线AB有公共端点A．求作：点P，使点P在射线AB上，且ACP为等腰三角形．（利用无刻度的直尺和圆规作出所有符合条件的点P，不写作法，保留作图痕迹）【答案】见解析．【分析】分别作出①AP=CP；②AP=AC；③AC=CP即可．【详解】如图所示，点1P、2P、3P即为所求．△是等腰三角形的三种情况，避免漏答案．【点睛】本题考查尺规作图-作等腰三角形．特别注意ACP18．（2022·山东·周村二中八年级期中）在同一平面内，若点P与△ABC三个顶点中的任意两个顶点连接形成的三角形都是等腰三角形，则称点P是△ABC的巧妙点．（1）如图，求作△ABC的巧妙点P（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．（2）如图，在△ABC中，∠A＝80°，AB＝AC，若点P是△ABC的巧妙点，则符合条件的点P一共有几个？请直接写出每种情况下∠BPC的度数．（3）等边三角形的巧妙点的个数有（）A．2个B．6个C．10个D．12个【答案】（1）见解析；（2）6个；∠BPC的度数为40°或160°或140°或80°；（3）C．综上所述：∠BPC的度数40°或80°或140°或160°．（3）如图所示，分别以等边三角形的三条边作其对应边的垂直平分线，再分别以等边三角形的三个顶点为圆心，等边三角形的边长为半径画圆，分别与三条边的垂直平分线的交点和三条垂直平分线的交点即为等边三角形的巧妙点，共有10个，故选：C．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，构建等腰三角形的作法：定顶点，定圆心；定腰，定半径；以及等边三角形的性质等．熟练掌握相关性质是解题关键．19．（2022·黑龙江密山·八年级期末）如图，直线MN与x轴、y轴分别相交于B、A两点，()2-+-=．(1)求A，B两点的坐标；(2)若点O到AB的距离为24OA OB6805，求线段AB的长；(3)在（2）的条件下，x轴上是否存在点P，使△ABP是以AB为腰的等腰三角形，若存在请直接写出满足条件的点P的坐标．【答案】(1)A （0，6），B （8，0）；(2)AB =10；(3)存在，（-8，0）、（-2，0）、（18，0）．【分析】（1）由非负数的性质知OA =6，OB =8，据此可得点A 和点B 的坐标；（2）根据1122OAB S AB d OA OB == △求解可得；（3）先设点P （a ，0），根据A （0，6），B （8，0）得()22222226810100PA a PB a AB =+=-==，，，再分PA =AB 和AB =PB 两种情况分别求解可得．(1)()2680OA OB -+-= ∴O −6=0O −8=068OA OB ∴==则A 点的坐标为A （0，6），B 点的坐标为（8，0）(2)1122OAB S AB d OA OB == △，245d =6810245OA OB AB d ⨯∴=== (3)存在点P ，使△ABP 是以AB 为腰的等腰三角形设点P （a ，0），根据A （0，6），B （8，0）得()22222226810100PA a PB a AB =+=-==，，①若PA =AB ，则22PA AB =，即226100a +=，解得a =8(舍)或a =−8，此时点P (−8，0)；②若AB =PB ，即22AB PB =，即()21008a =-解得a =18或a =−2，此时点P (18，0)或(−2，0)；综上，存在点P ，使△ABP 使以AB 为腰的等腰三角形，其坐标为(−8，0)或(18，0)或(−2，0)．【点睛】本题考察了非负数的性质、直角三角形的面积求法、勾股定理及等腰三角形的性质，分类讨论思想的运用是解决第3问的关键20．（2022秋·四川成都·八年级校考期中）如图，四边形OABC 是一张长方形纸片，将其放在平面直角坐标系中，使得点O 与坐标原点重合，点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点B 的坐标为()3,4，D 的坐标为()2,4，现将纸片沿过D 点的直线折叠，使顶点C 落在线段AB 上的点F 处，折痕与y 轴的交点记为E ．。
等腰三角形中的分类讨论(含答案)
等腰三角形中的分类讨论
类型1对顶角和底角的分类讨论
对于等腰三角形，只要已知它的一个内角的度数，就能算出其他两个内角的度数，如果题中没有确定这个内角是顶角还是底角，就要分两种情况来讨论．在分类时要注意：三角形的内角和等于180°；等腰三角形中至少有两个角相等．
1．等腰三角形中有一个角为52°，它的一条腰上的高与底边的夹角为多少度？
解：①若已知的这个角为顶角，则底角的度数为(180°－52°)÷2＝64°，故一腰上的高与底边的夹角为26°；
②若已知的这个角为底角，则一腰上的高与底边的夹角为38°.
故所求的一腰上的高与底边的夹角为26°或38°.
类型2对腰长和底长的分类讨论
在解答已知等腰三角形边长的问题时，当题目条件中没有明确说明哪条边是“腰”、哪条边是“底”时，往往要进行分类讨论．判定的依据是：三角形的任意两边之和大于第三边；两边之差小于第三边．
2．(1)已知等腰三角形的一边长等于6 cm，一边长等于7 cm，求它的周长；
(2)等腰三角形的一边长等于8 cm，周长等于30 cm，求其他两边的长．
解：(1)周长为19 cm或20 cm.
(2)其他两边的长为8 cm，14 cm或11 cm，11 cm.
1。
关于等腰三角形的分类讨论
关于等腰三角形的分类讨论一、形边的分类例如，已知等腰三角形的周长为15，其中一个边长为6，那么它的底边长多少？在解答这个问题的时候，题目当中的关键信息是边长为6的边不确定是腰还是底，这时分类讨论的两种情况分别是：第一种情况是设长为6的边为腰，则另两条边为6，3；第二种情况是设长为6的边为底，则另两条边是4.5，4.5.这时，要验证这样两组边长能不能组成一个三角形，也就是满不满足三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
经验证满足三角形的三边关系定理，所以等腰三角形的底边为6或4.5.例如，当已知等腰三角形的两个边的边长：一边长是6，另一边长是17，求这个三角形的周长时。
很多学生会想到应该分类讨论：第一种情况是设腰为6，底为17时，则三角形的三个边分别是6，6，17，这时要根据三角形的性质进行验证，因为6+6小于17，不符合三角形的性质，这样的三个边组不成三角形，所以这种假设是不成立的。
第二种情况是设腰为17，底为6，则三角形的三个边分别是17，17，6，根据三角形的性质进行验证，经验证符合三角形的性质，所以这个三角形是成立的，则其周长为17+17+6=40.二、形角的分类例如，已知等腰三角形的一个角是另一个角的2倍，求这个等腰三角形的三个内角大小时。
设一个角是x，另一个角就是2x，这时就要分情况进行讨论了。
第一种情况是x为顶角，则另两个角都是2x，根据三角之和为180°，得x+2x+2x=180°，解得x=36°，则这个等腰三角形的三个内角分别是36°，72°，72°。
第二种情况是当x为底角时，则另两个角是x，2x，得x+2x+x=180°，解得x=45°，则这个等腰三角形三个内角分别是45°，45°，90°。
所以这个等腰三角形的三个内角大小是36°，72°，72°或90°，45°，45°。
等腰三角形中的分类讨论
等腰三角形中的分类讨论在等腰三角形中有很多需要分类讨论的问题。
分类讨论最关键的是要做到不重不漏，难点在于如何确定分类标准。
一般地，我们可以有两种思路对等腰三角形进行分类讨论：一种思路是按等腰三角形的顶角的顶点进行分类讨论，一种思路是按照等腰三角形的腰进行分类讨论。
一、求等腰三角形的边长或周长问题例1. 已知等腰三角形的两边长为7和3，则它的周长为.【解析】本题按照腰进行分类讨论即可，7和3都有可能是等腰三角形的腰，但由三角形三边关系可知，排除了3为腰长的可能。
但需注意的是，虽然本题答案只有一个，但过程中得要有分类讨论。
【答案】17二、求等腰三角形的角度例2. 已知等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角度数. 【解析】由于本题没有给出图形，所以题中腰上的高需要分类讨论，当等腰三角形的顶角为锐角时，腰上的高在三角形内部，此时顶角是30°；当等腰三角形的顶角为钝角时，腰上的高在三角形的外部，此时顶角为150°.【答案】30°或150°三、在平面直角坐标系中求等腰三角形顶点坐标例3. 在平面直角坐标系中，已知A（2，-2），在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，求点P的坐标.【解析】由于题目中没有明确等腰三角形的顶角顶点，所以需要对此进行分类讨论。
点A、O、P均有可能为等腰三角形顶角的顶点。
按此分类讨论，若点A为顶点，则点P坐标为（0，-4）；若点O为顶点，则点P坐标为（0，2-），或（0，222）；若点P为顶点，此时，OA为底边，点P在线段OA的中垂线上，则点P坐标为（0，-2）.【答案】（0，-4），（0，2-），（0，222），（0，-2）例4. 如图，在平面直角坐标系中，OABC是矩形，点A、C坐标分别为A（10,0），C（0,4），D是OA的中点，P在BC边上运动，当△ODP多少？【解析】由于题目只是给出△ODP是腰长为5的等腰三角形，所以需要对等腰三角形的腰进行分类讨论。
复习专题：等腰三角形中的分类讨论
40°
40°
六、 遇动点动角需讨论
1、已知C、D两点为线段AB的中垂线上的两 动点，且∠ACB=500，∠ADB=800，求 ∠CAD的度数。
C
C
D
A
E
B
A
E
B
D
几何图形之间的位置关系不明确导致需分类讨论
六、 遇动点动角需讨论
3、如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点E为BC边 上一动点（不与点B、C重合），过点E作射线EF 交AC于点F, 使∠AEF=∠B=β.
• （1）判断∠BAE与∠CEF的大小关系，并说明理 由；
• （2）当△AEF为
的大小. A
时，求∠BEA
A
B
E
F
B
C
C
备用图
探究变式：
若将（2）中的△AEF为“等腰三角ห้องสมุดไป่ตู้”改为“
系。
”时，∠BAE=α，求α与β之间的数量关
A
A
F
B
E
CB
C
备用图
解：
（3）如图1，当∠AFE=90°时， ∵∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF， ∠B=∠AEF=∠C， ∴∠BAE=∠CEF， ∵∠C+∠CEF=90°，
故∠DCE的度数为200或1100或700。
E
A
D’
C
B
2.在网格中，网格线的交点称为格点。已知A， B是两个格点，如果点C也是图中的格点， 且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个 数（ ）C
A.6 B.7
C.8 D.9
B A
∵BE=BC，∴∠BEC=（1800-∠ABC）÷2， ∴
DCE 1800 DEC EDC 1800 BEC ADC
等腰三角形动点问题分类讨论题型
等腰三角形动点问题分类讨论题型
1. 等腰三角形底边动点问题，哎呀，就像一只小老鼠在底边上来回跑。
比如在一个等腰三角形 ABC 中，底边 BC 上有一个动点 P，那这个点 P 移
动时会带来什么变化呢？这可太有趣啦！
2. 等腰三角形腰上的动点，就像是一个顽皮的小精灵在腰上跳来跳去呢。
像在等腰三角形 DEF 中，腰 DE 上有个动点 Q，它的跳动会如何影响三角形
的形状和性质呀？
3. 动点在等腰三角形内部的情况，这岂不是像在一个神秘的城堡里探索。
比如在等腰三角形GHI 内部有个动点R，它的每一步都充满了未知和惊喜呢，不是吗？
4. 等腰三角形外部的动点呢，那是不是像在城堡外面徘徊的勇士。
假设在等腰三角形 JKL 外面有个动点 S，它又会引发什么样的奇妙故事呀？
5. 两个动点同时在等腰三角形上，哇哦，这就像是一场精彩的双人舞。
想象一下在等腰三角形 MNO 上有两个动点 T 和 U，它们的互动可真是太让人
期待啦！
6. 动点影响等腰三角形角度问题，这好比是一个魔法在改变角度呢。
要是在等腰三角形 PQR 中，一个动点改变了某个角的大小，那会带来怎样的连锁
反应呀？
7. 动点与等腰三角形周长的关系，这不就像是在给三角形量体裁衣嘛。
在等腰三角形 STU 中，动点会怎么影响它的周长呢，你不想知道吗？
8. 动点和等腰三角形面积的联系，就如同是在给三角形的领地画地图。
像在等腰三角形 VWX 中，动点对面积有怎样的改变呢，想想都觉得刺激呀！
我觉得研究等腰三角形动点问题分类讨论题型真是充满了挑战和乐趣，能让我们更深入地理解几何的奥秘呢！。
等腰三角形分类讨论专题复习
等腰三角形分类讨论专题复习等腰三角形分类讨论一、等腰三角形的分类等腰三角形可以按照边、角、外角、高、中线等方式进行分类。
具体分类如下：1.边分类：指等腰三角形两边的长度是否相等，分为等腰三角形和非等腰三角形。
2.角分类：指等腰三角形两个底角是否相等，分为等腰三角形和非等腰三角形。
3.外角分类：指等腰三角形外角的大小是否相等，分为等腰三角形和非等腰三角形。
4.高分类：指等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角，分为等腰三角形和非等腰三角形。
5.中线分类：指等腰三角形的一腰上的中线分三角形的周长为两部分，分为等腰三角形和非等腰三角形。
6.中垂线分类：指等腰三角形的一腰上的中垂线与另一腰的夹角，分为等腰三角形和非等腰三角形。
思考题：在ABC三边所在的直线上找一点D，使得ABD 为等腰三角形，画图说明点D所在的位置。
二、练1.若一个等腰三角形的一个外角等于100°，则该等腰三角形的底角的度数是多少？2.已知等腰三角形的一边等于3，一边等于6，那么它的周长等于多少？3.已知等腰三角形的一边等于5，周长为12，则一边等于多少？4.已知△ABC的周长为24，AB＝AC，AD⊥BC于D，若△ABD的周长为20，则AD的长为多少？5.等腰三角形的底边长为6cm，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，这两部分之差是3cm，求这个等腰三角形的腰长。
6.在等腰三角形中，AB的长是BC的2倍，周长为40，则AB的长为多少？7.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为多少？8.等腰三角形中，两条边的长分别为4和9，则它的周长是多少？9.若一个等腰三角形有一个角为100°，则另两个角为多少？10.一等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15cm和18cm两部分，求这个等腰三角形的底边长。
11.一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少30°，求这个三角形的三个内角的度数。
初中数学重难点突破：等腰三角形中的分类讨论问题
等腰三角形中的分类讨论问题典例讲解：分类讨论求角度例1：等腰三角形有一个内角是50°，则其余两个内角的度数为 .解：当50°角是顶角时，则底角为（180°-50°）÷2=65°，则其余两个角的度数为65°，65°；当50°角是底角时，则顶角为180°-50°×2=80°，则其余两个角的度数度数为50°，80°.所以，本题的答案为：65°，65°或50°，80°.总结：（1）在等腰三角形中求内角的度数时，要看已知角是否已经确定是顶角或底角.若已确定，则直接利用三角形的内角和定理求解；否则，要分类讨论，分已知角为顶角和已知角为底角两种情况.（2）若等腰三角形中已知的角是直角或钝角，则此角必为顶角，不用再分类讨论.分类讨论求长度解：当3x-1= x+1时，解得x=1，此时三角形的三条边长分别为2，2，5，因为2+2<5，不符合三角形三边关系，所以x=1舍去；当3x-1= 5时，解得x=2，此时三角形的三条边长分别为5，3，5，因为5+3>5，符合三角形三边关系，所以x=2成立；当x+1=5时，解得x=4，此时三角形的三条边长分别为11，5，5，因为5+5<11，不符合三角形三边关系，所以x=4舍去.所以，本题答案为2.总结：利用等腰三角形有两条边长相等的性质求边长或周长时，当不确定哪两条边是腰时，要进行分类讨论，计算出结果后要验证，检验算出的结果是否符号三角形三边关系.提升练习1．已知等腰三角形的两边长a，b满足|a﹣2|+b2﹣10b+25＝0，那么这个等腰三角形的周长为（）A．8B．12C．9或12D．92．如果等腰三角形两边长是6cm和12cm，那么它的周长是（）A．18cm B．24cm C．30cm D．24或30cm3．等腰三角形一腰上的高与另一腰上的夹角为30°，则顶角的度数为（）A．60°B．150°C．60°或120°D．60°或150°4．已知等腰△ABC中，∠A＝50°，则∠B的度数为（）A．50°B．65°C．50°或65°D．50°或80°或65°5．已知等腰三角形的顶角等于50°，则底角的度数为度．6．等腰三角形一个外角是150°，求一腰上的高与另一腰的夹角是．7．在等腰三角形ABC中，∠A＝2∠B，则∠C的度数为．8．在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD是直角三角形，则∠DAC的度数是．9．等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是．10．等腰三角形的一个内角是80°，则它顶角的度数是．11．已知一个等腰三角形的一边长为2cm，另一边长为5cm，则这个等腰三角形的周长是cm．12．一等腰三角形的底边长为15cm，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长5cm，那么这个三角形的周长为．13．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则这个等腰三角形的底角为．14．如图，△ABC中∠ABC＝40°，动点D在直线BC上，当△ABD为等腰三角形，∠ADB＝．15．等腰三角形的周长为21cm．（1）若已知腰长是底边长的3倍，求各边长；（2）若已知一边长为6cm，求其他两边长．16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分成18cm和21cm两部分，求△ABC的三边长．17．已知在△ABC中，AB＝20，BC＝8，AC＝2m﹣2．（1）求m的取值范围；（2）若△ABC是等腰三角形，求△ABC的周长．18．已知：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°．（1）如图，点D在AB边上，点E在AC边上，BD＝CE，BE与CD交于点F．求证：BF＝CF；（2）若点D是AB边上的一个动点，点E是AC边上的一个动点，且BD＝CE，BE与CD交于点F．当△BFD是等腰三角形时，求∠FBD的度数．参考答案：1．B ． 2．C ． 3．C ． 4．D ．5． 65 ． 6． 30°或60° ． 7． 45°或72° ． 8． 10°或50° ．9． 22 ． 10． 80°或20° ． 11． 12 ． 12． 55cm 或35cm ．13． 67.5°或22.5° ． 14． 40°或100°或70°或20° ．15．解：（1）如图，设底边BC ＝a cm ，则AC ＝AB ＝3a cm ，∵等腰三角形的周长是21cm ，∴3a +3a +a ＝21，∴a ＝3，∴3a ＝9，∴等腰三角形的三边长是3cm ，9cm ，9cm ；（2）①当等腰三角形的底边长为6cm 时，腰长＝（21﹣6）÷2＝7.5（cm ）；则等腰三角形的三边长为6cm 、7.5cm 、7.5cm ，能构成三角形；②当等腰三角形的腰长为6cm 时，底边长＝21﹣2×6＝9；则等腰三角形的三边长为6cm ，6cm 、9cm ，能构成三角形．故等腰三角形其他两边的长为7.5cm ，7.5cm 或6cm 、9cm ．16．解：∵BD 是AC 边上的中线，∴AD ＝CD=21AC ， ∵AB ＝AC ，∴AD ＝CD=21AB ， 设AD ＝CD ＝x cm ，BC ＝y cm ，分两种情况：当时，即，解得：， ∴△ABC 的各边长为10cm ，10cm ，7cm ；当时，即，解得：， ∴△ABC 的各边长为14cm ，14cm ，11cm ；综上所述：△ABC 各边的长为10cm ，10cm ，7cm 或14cm ，14cm ，11cm ．17．解：（1）在△ABC中，AB＝20，BC＝8，AC＝2m﹣2．∴20﹣8＜2m﹣2＜20+8，解得：7＜m＜15；∴m的取值范围为：7＜m＜15；（2）∵△ABC是等腰三角形，∴分两种情况：当AB＝AC＝20时，∴△ABC的周长＝20+20+8＝48；当BC＝AC＝8时，∵8+8＝16＜20，∴不能组成三角形；综上所述，△ABC的周长为48．18．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，在△BCD与△CBE中，∴△BCD≌△CBE（SAS），∴∠FBC＝∠FCB，∴BF＝CF；（2）解：∵AB＝AC，∠BAC＝45°，∴，由（1）知，∠FBC＝∠FCB，∴∠DBF＝∠ECF，设∠FBD＝∠ECF＝x，则∠FBC＝∠FCB＝（67.5°﹣x），∠BDF＝∠ECF+∠BAC＝x+45°，∠DFB＝2∠FBC＝2（67.5°﹣x）＝135°﹣2x，∵△BFD是等腰三角形，故分三种情况讨论：①．当BD＝BF时，此时∠BDF＝∠DFB，∴x+45°＝135°﹣2x，得x＝30°，即∠FBD＝30°；②当BD＝DF时，此时∠FBD＝∠DFB，∴x＝135°﹣2x，得x＝45°，即∠FBD＝45°；③当BF＝DF时，此时∠FBD＝∠FDB，∴x＝x+45°，不符题意，舍去；综上所述，∠FBD＝30°或45°．。
等腰三角形中的分类讨论问题归类
等腰三角形中的分类讨论问题归类等腰三角形是高中几何学中的重要概念之一，它具有一些特殊的性质和分类方法。
本文将对等腰三角形进行分类讨论，并归类相关问题。
通过对等腰三角形的深入了解，我们能够更全面地掌握它的性质和应用。
一、定义与性质等腰三角形是指具有两边长度相等的三角形。
根据这个定义，我们可以推导出等腰三角形的一些性质。
首先，等腰三角形的底角（底边所对的角）是两条边所对应的顶角的一半。
其次，等腰三角形的高线（从顶点到底边之间的线段）也是它的中线和中线所在的高线相等。
此外，等腰三角形的角平分线也是高线和中线。
这些性质在解决等腰三角形相关问题时非常有用。
二、基于边长的分类根据等腰三角形底边和两边的长度关系，我们可以将等腰三角形分为以下几种情况。
1. 等腰锐角三角形：当两边的长度小于底边时，所形成的等腰三角形是一个锐角三角形。
在这种情况下，底边所对应的顶角是一个锐角。
2. 等腰直角三角形：当两边的长度等于底边时，所形成的等腰三角形是一个直角三角形。
在这种情况下，底边所对应的顶角是一个直角。
3. 等腰钝角三角形：当两边的长度大于底边时，所形成的等腰三角形是一个钝角三角形。
在这种情况下，底边所对应的顶角是一个钝角。
三、基于角度的分类根据等腰三角形底边所对应的顶角的大小，我们可以将等腰三角形分为以下几种情况。
1. 等腰锐角三角形：当底角小于90度时，所形成的等腰三角形是一个锐角三角形。
在这种情况下，底边所对应的顶角是一个锐角。
2. 等腰直角三角形：当底角等于90度时，所形成的等腰三角形是一个直角三角形。
在这种情况下，底边所对应的顶角是一个直角。
3. 等腰钝角三角形：当底角大于90度时，所形成的等腰三角形是一个钝角三角形。
在这种情况下，底边所对应的顶角是一个钝角。
四、应用与推广了解等腰三角形的分类讨论有助于我们在解决相关几何问题时快速准确地判断和运用。
例如，当我们需要证明一个三角形是等腰三角形时，可以根据其边长关系或角度关系进行分类讨论。
特殊三角形中的分类讨论模型—2024年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读(全国通用)(解析版)
三角形中的重要模型-特殊三角形中的分类讨论模型 模型1、等腰三角形中的分类讨论模型【知识储备】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。
1）无图需分类讨论①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论； ③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。
2）“两定一动”等腰三角形存在性问题：即：如图：已知A ，B 两点是定点，找一点C 构成等腰ABC △方法：两圆一线具体图解：①当AC AB =时，以点A 为圆心，AB 长为半径作⊙A ，点C 在⊙A 上（B ，C 除外）②当BC AB =时，以点B 为圆心，AB 长为半径作⊙B ，点C 在⊙B 上（A ，E 除外）③当BC AC =时，作AB 的中垂线，点C 在该中垂线上（D 除外）【答案】C【分析】由已知等式，结合非负数的性质求m 、n 的值，再根据m 、n 分别作为等腰三角形的腰，分类求解．【详解】解：()2350m n −+−=，30m −≥，()250n −≥，30m ∴−=，50n −=，解得：3m =，5n =，当3m =作腰时，三边为3，3，5，符合三边关系定理，周长为：33511++=，当5n =作腰时，三边为3，5，5，符合三边关系定理，周长为：35513++=，故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，非负数的性质，关键是根据非负数的性质求m 、n 的值，再根据m 或n 作为腰，分类求解． 例2．（2023春·黑龙江佳木斯·八年级校考期中）一个等腰三角形的周长为18cm ，且一边长是4cm ，则它的腰长为（ ）A ．4cmB ．7cmC ．4cm 或7cmD ．全不对【答案】B【分析】根据等腰三角形的定义，两腰相等，结合三角形的三边关系，进行求解即可．【详解】解：当4cm 为腰长时，则底边长为182410−⨯=cm ，∵4410+<，不符合题意；∴4cm 为底边长，∴等腰三角形的腰长为：()11847cm 2⨯−=；故选B ． 【点睛】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系．解题的关键是掌握等腰三角形的两腰相等，注意讨论时要根据三角形的三边关系，判断能否构成三角形．例3．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）等腰三角形的一个角是80︒，则它顶角的度数是（ ）A ．80︒B ．80︒或20︒C ．80︒或30︒D ．20︒【答案】B【分析】根据三角形的内角和为180︒，进行分类讨论即可【详解】解：①当底角为80︒时，顶角18080220=︒−︒⨯=︒，②当顶角为80︒时，顶角度数80=︒，综上：顶角度数为80︒或20︒；故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的内角和为180︒，等腰三角形两底角相等，解题的关键是书熟练掌握相关内容． 例3．（2023·四川广安·八年级校考期中）等腰三角形的一个外角为100︒，则它的底角为（ ）A ．55︒B ．80︒C ．55︒或80︒D ．以上都不是 【答案】D【分析】等腰三角形的一个外角等于100︒，则等腰三角形的一个内角为80︒，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论．【详解】∵等腰三角形的一个外角等于100︒，∴等腰三角形的一个内角为80︒，①当80︒为顶角时，其他两角都为50︒、50︒，②当80︒为底角时，其他两角为80︒、20︒，所以等腰三角形的底角可以是50︒，也可以是80︒．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错． 例4．（2023·四川绵阳·八年级校考阶段练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为70︒，则等腰三角形的顶角度数为 ．【答案】20︒或160︒【分析】要注意分类讨论，等腰三角形可能是锐角三角形也可能是钝角三角形，然后根据三角形的内角和以及三角形的外角的性质即可求解．【详解】解：若三角形为锐角三角形时，如图，AB AC =，70ACD ∠=︒，CD 为高，即90ADC ∠=︒，此时180A ACD ADC ∠+∠+∠=︒，∴180907020A =︒−︒−︒=︒，若三角形为钝角三角形时，如图，AB AC =，70ACD ∠=︒，CD 为高，即90ADC ∠=︒，此时9070160BAC D ACD ∠=∠+∠=︒+︒=︒，综上，等腰三角形的顶角的度数为20︒或160︒．故答案为：20︒或160︒． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是根据题意画出图形，并注意分类讨论． 例5．（2023·山东滨州·八年级校考期末）我们称网格线的交点为格点．如图，在6行5⨯列的长方形网格中有两个格点A 、B ，连接AB ，在网格中再找一个格点C ，使得ABC 是等腰直角三角形，则满足条件的格点C 的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB 为等腰直角ABC 底边；②AB 为等腰直角ABC 其中的一条腰．【详解】如图：分情况讨论：①AB 为等腰直角ABC 底边时，符合条件的格点C 点有2个；②AB 为等腰直角ABC 其中的一条腰时，符合条件的格点C 点有3个．故共有5个点，故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．例6．（2023·北京·八年级期中）Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，以AC 为一边．在△ABC 外部作等腰直角三角形ACD ，则线段BD 的长为____．【答案】4或【分析】根据题意分类讨论，①90CAD ∠=︒，②90ACD ∠=︒，③90ADC ∠=︒，分别作出图形，再结合已知条件勾股定理求解即可．【详解】解：①如图，当90CAD ∠=︒时，902BAC AB AC ∠=︒==，，ACD △是等腰直角三角形，2AC AD AB ∴===,180BAD BAC CAD ∠=∠+∠=︒，224BD AB AD ∴=+=+=；②如图，当90ACD ∠=︒时，过点D 作DE BC ⊥，交BC 的延长线于点E ，902BAC AB AC ∠=︒==，，ACD △，ABC 是等腰直角三角形，2CD AC AB ∴===，18045DCE ACD ACB ∠=︒−∠−∠=︒， 又DE BC ⊥，∴DEC 是等腰直角三角形，DE CE ∴=，在Rt DEC △中，22222DC CE DE DE =+=，∴2DE DC ==在Rt ABC 中，BC 在Rt BDE 中，BD =③如图，当90ADC ∠=︒时，902BAC AB AC ∠=︒==，ACD △，ABC 是等腰直角三角形， 2CD AD AC ∴===在Rt ABC 中，BC ==Rt BDC 中，BD =综上所述，BD 的长为：4或4或．【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 例7．（2023·福建南平·八年级校考期中）已知△ABC 中，如果过顶点B 的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC 的关于点B 的二分割线．如图1，Rt △ABC 中，显然直线BD 是△ABC 的关于点B 的二分割线．在图2的△ABC 中，∠ABC ＝110°，若直线BD 是△ABC 的关于点B 的二分割线，则∠CDB 的度数是 ．【答案】40°或90°或140°【分析】分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解．【详解】解：①如图，当∠DBC=90°，AD=BD 时，直线BD 是△ABC 的关于点B 的二分割线，∵∠ABC=110°，∠DBC=90°，∴∠ABD=20°，∵AD=BD ，∴∠A=∠ABD=20°，∴∠CDB=∠A+∠ABD=40°；②如图，当∠BDC=90°，AD=BD 时，直线BD 是△ABC 的关于点B 的二分割线，或当∠BDC=90°，CD=BD 时，直线BD 是△ABC 的关于点B 的二分割线，；③如图，当∠ABD=90°，CD=BD 时，直线BD 是△ABC 的关于点B 的二分割线，∵∠ABC=110°，∠ABD=90°，∴∠DBC=20°，∵CD=BD ，∴∠C=∠DBC=20°，∴∠BDC=140°．综上所述：当∠BDC 的度数是40°或90°或140°时，直线BD 是△ABC 的关于点B 的二分割线．【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，理解二分割线是本题关键． 且ABP 为等腰三角形，则点【答案】(2,0)或(2,0)−或(64+或(6−【分析】根据等腰三角形的判定，分①AB=BP ；②AB=AP ；③AP=BP 三种情况求解即可．【详解】∵ABP 为等腰三角形，①当AB BP =时，如图①，∵AB ==∴BP =∵(6,0)B ，∴(6P +或(6P −；②当AB AP =时，如图② 作AC BP ⊥于C 点，则(2,0)C ，∵AB AP =，∴BC CP =，∵624BC =−=，∴4CP =，∴(2,0)P −．③当AP BP =时，如图③，作AP BP ⊥，∴4AP BP ==，∴(2,0)P ．综上所述：点P 的坐标为(2,0)或(2,0)−或(6+或(6−，故答案为：(2,0)或(2,0)−或(6+或(6−．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，灵活运用分类讨论的思想解决问题是解答的关键． 八年级校考期中）如图，ABC 中，A 【答案】(1)16(2)6或2(3)4或2或95或3【分析】（1）设cm PB PA x ==，则()4cm PC x =−，利用勾股定理求出3cm AC =，在Rt ACP 中，依据222AC PC AP +=，列方程求解即可得到t 的值．（2）如图所示，当点P 在AC 上时，过P 作PD AB ⊥于D ，设cm PD PC y ==，则()3cm AP y =−，在Rt ADP 中，依据222AD PD AP +=，列方程求解即可得到t 的值．当点P 与点B 重合时，点P 也在ABC ∠的角平分线上，此时，522AB t ==．（3）分四种情况：当P 在AB 上且AP CP =时，当P 在AB 上且3cm AP CA ==时，当P 在AB 上且AC PC =时，当P 在BC 上且3cm AC PC ==时，分别依据等腰三角形的性质即可得到t 的值．【详解】（1）解：如图，设cm PB PA x ==，则()4cm PC x =−，90ACB ∠=︒，5cm AB =，4cm BC =，3cm AC ∴，在Rt ACP 中，由勾股定理得222AC PC AP +=，()22234x x ∴+−=，解得258x =，258BP ∴=，2556582216AB BP t ++∴===；（2）解：如图所示，当点P 在AC 上时，过P 作PD AB ⊥于D ，BP 平分ABC ∠，90C ∠=︒，PD AB ⊥PD PC ∴=，DBP CBP ∠=∠，在BCP 与BDP △中，BDP BCP DBP CBP BP BP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AAS BDP BCP ∴≌4cm BC BD ∴==，541cm AD ∴=−=，设cm PD PC y ==，则()3cm AP y =−，在Rt ADP 中，由勾股定理得222AD PD AP +=，()22213y y ∴+=−，解得43y =，43CP \=，454313226AB BC CP t ++++∴===，当点P 与点B 重合时，点P 也在ABC ∠的角平分线上，此时，522AB t ==． 综上所述，点P 恰好在ABC ∠的角平分线上，t 的值为316或52．（3）解：分四种情况：①如图，当P 在AB 上且AP CP =时，∴A ACP ∠=∠，∵A B ∠∠=︒+90，90ACP BCP ∠+∠=︒，B BCP ∴∠=∠，CP BP AP ∴==，P ∴是AB 的中点，即15cm 22AP AB ==，524AP t ∴==． ②如图，当P 在AB 上且3cm AP CA ==时，∴322AP t ==． ③如图，当P 在AB 上且AC PC =时，过C 作CD AB ⊥于D ， ∵1122ABC S AC BC AB CD =⋅=⋅，∴12cm 5AC BC CD AB ⋅==，在Rt ACD △中，由勾股定理得9cm 5AD =，182cm 5AP AD ∴==，925AP t ∴==． ④如图，当P 在BC 上且3cm AC PC ==时，则431cm BP =−=，6322AB BP t +∴===． 综上所述，当t 的值为54或32或95或3时，ACP △为等腰三角形．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质以及勾股定理的综合运用．画出图形，利用分类讨论的思想是解第（3）题的关键． 例10．（2022春·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系内，点O 为坐标原点，经过()26A−，的直线交x 轴正半轴于点B ，交y 轴于点C OB OC =，，直线AD 交x 轴负半轴于点D ，若ABD △的面积为27(1)求直线AB 的表达式和点D 的坐标；(2)横坐标为m 的点P 在线段AB 上（不与点A B 、重合），过点P 作x 轴的平行线交AD 于点E ，设PE 的长为()0y y ≠，求y 与m 之间的函数关系式并直接写出相应的m 取值范围；(3)在（2）的条件下，在x 轴上是否存在点F ，使PEF !为等腰直角三角形？若存在求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)()450y x D =−+−，，(2)()33242y m m =+−<<，(3)存在，点F 的坐标为2,05⎛⎫ ⎪⎝⎭或16,05⎛⎫− ⎪⎝⎭或8,07⎛⎫− ⎪⎝⎭ 【分析】（1）据直线AB 交x 轴正半轴于点B ，交y 轴于点C ，OB OC =，设直线AB 解析式为y x n =−+，把A 的坐标代入求得n 的值，从而求得B 的坐标，再根据三角形的面积建立方程求出BD 的值，求出OD 的值，从而求出D 点的坐标； （2）直接根据待定系数法求出AD 的解析式，先根据B A 、的坐标求出直线AB 的解析式，将P 点的横坐标代入直线AB 的解析式，求出P 的纵坐标，将P 的纵坐标代入直线AD 的解析式就可以求出E 的横坐标，根据线段的和差关系就可以求出结论；（3）要使PEF !为等腰直角三角形，分三种情况分别以点P E F 、、为直角顶点，据等腰直角三角形的性质求出（2）中m 的值，就可以求出F 点的坐标．【详解】（1）解：OB OC =，∴设直线AB 的解析式为y x n =−+，∵直线AB 经过()26A −，，26n ∴+=，4n ∴=，∴直线AB 的解析式为4y x =−+，()40B ∴，，4OB ∴=，ABD 的面积为()2726A −，，，16272ABD S BD =⨯⨯=，9BD ∴=，5OD ∴=，()50D ∴−，，∴直线AB 的解析式为()450y x D =−+−，，（2）解：设直线AD 的解析式为y ax b =+，()26A −，，()50D −，∴2650a b a b −+=⎧⎨−+=⎩，解得210a b =⎧⎨=⎩．∴直线AD 的解析式为210y x =+；∵点P 在AB 上，且横坐标为m ，()4P m m ∴−+，，PE x ∥轴，∴E 的纵坐标为4m −+，代入210y x =+得，4=210m x −++，解得62m x −−=，6,42m E m −−⎛⎫∴−+ ⎪⎝⎭， PE ∴的长63322m m y m −−=−=+；即332y m =+，()24m −<<；（3）解：在x 轴上存在点F ，使PEF !为等腰直角三角形，①当90FPE ∠=︒时，如图①，有PF PE =，4PF m =−+，332PE m =+，3432m m ∴−+=+，解得25m =，此时2,05F ⎛⎫ ⎪⎝⎭； ②当90PEF ∠=︒时，如图②，有EP EF =，EF 的长等于点E 的纵坐标，4EF m ∴=−+，3432m m ∴−+=+，解得：25m =， ∴点E 的横坐标为61625m x −−==−，∴16,05F ⎛⎫− ⎪⎝⎭；③当90PFE ∠=︒时，如图③，有FP FE =，FPE FEP ∴∠=∠．180FPE EFP FEP ∠+∠+∠=︒，45FPE FEP ∴∠=∠=︒．作FR PE ⊥，点R 为垂足，18045PFR FPE PRF ∴∠=︒−∠−∠=︒，=PFR RPF ∴∠∠，=FR PR ∴．同理=FR ER ，12FR PE ∴=．∵点R 与点E 的纵坐标相同，4FR m ∴=−+，∴134322m m ⎛⎫−+=+ ⎪⎝⎭，解得：107m =， 10184477PR FR m ∴==−+=−+=，∴点F 的横坐标为10188777−=−，8,07F ⎛⎫∴− ⎪⎝⎭． 综上，在x 轴上存在点F 使PEF !为等腰直角三角形，点F 的坐标为2,05⎛⎫ ⎪⎝⎭或16,05⎛⎫− ⎪⎝⎭或8,07⎛⎫− ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式的运用，待定系数法求一次函数的解析式 模型2、直角三角形中的分类讨论模型【知识储备】凡是涉及直角三角形问题，优先考虑直角顶点（或斜边）分类讨论，再利用直角三角形的性质或勾股定理解题即可。
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P y
中考专题复习等腰三角形的分类讨论
一、遇角需讨论
1、已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为(
A. 30°
B. 75°
C. 105°
D. 30°或75°
二、遇边需讨论
2、(1一个等腰三角形两边长分别为4和5,则它的周长等于_________。
(2一个等腰三角形的两边长分别为3和7,则它的周长等于。
3、(1如果一个等腰三角形的周长为24,一边长为10,则另两边长为。
(2如果一个等腰三角形的周长为24,一边长为6,则另两边长为。
三、遇中线需讨论
4、若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm 和12cm 两部分,求这个等腰三角形的底和腰的长。
四、遇高需讨论
5、等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°,求这个等腰三角形的顶角的度数。
5、为美化环境,计划在某小区内用2
30m 的草皮铺设一块一边长为10m 的等腰三角形绿地,请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。
五、遇中垂线需讨论
7、在ΔABC 中,AB=AC ,AB 的中垂线与AC 所在直线相交所得的锐角为50°,则底角∠B=____________。
六、动点与等腰三角形(重点,考点
类型之一:三角形中已经有一边确定
8、在直角坐标系中,O 为坐标原点,A (1,1;在坐标轴上确定一点P ,使ΔAOP 为等腰三角形,则符合条件的点P 共有(
A 、4个
B 、6个
C 、8个
D 、1个
9、已知:O 为坐标原点,四边形OABC 为矩形,A (10,0,C (0,4,点D 是OA 的中点,点P 在BC 上运动,当ΔODP 是腰长为5的等腰三角形时,点P 的坐标为。
10、如图,直线33+=x y 交x 轴于A 点,交y 轴于B 点,过A 、B 两点的抛物线交x 轴于另一点C (3,0.
⑴求抛物线的解析式;
⑵在抛物线的对称轴上是否存在点Q ,使△ABQ 是等腰三角形?若存在,求出符合条件的Q 点坐标;若不存在,请说明理由.
11、在如图的直角坐标系中,已知点A (1,0;B (0,-2,将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转90°至AC .
⑴求点C 的坐标;
⑵若抛物线22
12++-=ax x y 经过点C . ①求抛物线的解析式;
②在抛物线上是否存在点P (点C 除外使△ABP 是以AB 为直角边的等腰直角三角
形?若存在,求出所有点P 的坐标;若不存在,请说明理由.
类型之二:三角形没有确定的边
12、如图,P 是抛物线212(2-=x y 对称轴上的一个动点,直线x =t 平行于y 轴,分别与直线y =x 、抛物线y 1交于点A 、B .若△ABP 是以点A 或点B 为直角顶点的等腰直角三角形,求满足条件的t 的值,则t = .
13、(2010 浙江台州市如图,Rt △ABC 中,∠C =90°,BC =6,AC =8.点P ,Q 都是斜边AB 上的动点,点P 从B 向A 运动(不与点B 重合,点Q 从A 向B 运动,BP=AQ .点D ,E 分别是点A ,B 以Q ,P 为对称中心的对称点, HQ ⊥AB 于Q ,交AC 于点H .当点E 到达顶点A 时,P ,Q 同时停止运动.设BP 的长为x ,△HDE 的面积为y .
(1求证:△DHQ ∽△ABC ;
(2求y 关于x 的函数解析式并求y 的最大值;
(3当x 为何值时,△HDE 为等腰三角形?
x
(第24题 H
14、如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(4,0、C(8,0、D(8, 8.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.
(1直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;
(2动点P从点A出发.沿线段AB向终点B运动,同时点Q从点C出发,沿线段CD
向终点D运动.速度均为每秒1个单位长度,运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB 交AC于点E
①过点E作EF⊥AD于点F,交抛物线于点G.当t为何值时,线段EG最长?
②连接EQ.在点P、Q运动的过程中,判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?
请直接写出相应的t值.
15、如图,在平面直角坐标系中,直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上,O为原点,点A的坐标为(6,0,点B的坐标为(0,8.动点M从点O出发,沿OA向O 向终
点A以每秒1个单位的速度运动,同时动点N从点A出发,沿AB向终点B以每秒5
3
个单
位的速度运动,当一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动,设动点M、N运动的时间为t秒(t>0.
(1当t=3秒时,直接写出点N的坐标,并求出经过点O、A、N三点的抛物线的解析
式;
(2在此运动的过程中,ΔMNA的面积是否存在最大值,若存在,请求出最大值;若
不存在,请说明理由;
(3当t为何值时,ΔAMN是一个等腰三角形?。