第四章 受弯构件的计算原理

2 EI y
l
2
2 I GIt l 1 2 Iy EI

(4.4.18)
欧拉临界力
4.4.3. 单轴对称截面工字 形截面梁的整体稳定
a
S
O
yo
h1 x h2
S--为剪切中心
y 图4.4.3 单轴对称截面 （参见铁木辛柯“弹性稳定理论”一书）
2 EI y 2a 3 B y M cr 1 2 l
4.2.3 局部压应力
当梁的翼缘受有沿腹板平面作用的固定集中荷载且荷载处又
未设置支承加劲肋时，或有移动的集中荷载时，应验算腹板高
度边缘的局部承压强度。
c

F
t w lz
f
(4.2.7)
F ——集中力,对动力荷载应考虑动力系数；
——集中荷载增大系数，重级工作制吊车为1.35， 其他为1.0；
2
k称为梁的侧向屈曲系数，对于双轴对称工字形截面Iw=Iy(h/2)2
EI EIy 2 h k 1 1 1 2 GIt l 2l GIt
h EIy 2l GIt
2
2
2
M cr
M z M t M
(4.3.6)
③ 约束扭转时，截面上各纵向纤维有不同伸长或缩短，因而纵 向纤维必有弯曲变形，弯曲扭转。
§4.4 受弯构件的整体稳定
4.4.1 梁整体稳定的概念
整体稳定—构件突然发生侧向弯曲（绕弱轴弯曲）和扭转， 并丧失承载力的现象，称为梁的弯曲扭转屈曲（弯扭屈曲） 或梁的整体稳定。 侧向弯曲，伴随扭转——出平面弯扭屈曲 。
f yW pnx 塑性弯矩 M p 与弹性最大弯矩
Mx 之比 : f yWnx

F

M M
xp x

W W
pnx nx

F
只取决于截面几何形状而与材料的性质无关 的形状系数。
X
Y Aw
Y
X
对X轴 对Y轴
F 1.07 ( A1 Aw )
A1
F 1.5
2. 抗弯强度计算
梁设计时只是有限制地利用截面的塑性，如工字形截面

I 2 2a 3 B y Iy

l 2GI t 1 2 EI

1 其中, B y 2I x

A
y( x 2 y 2 )dA y0
I1
a
S
O
yo
h1 x h2
I1h1 I 2 h2 y0 Iy
剪切中心坐标
y
I2
M EI GIt 0 EI y
IV
''
2
(4.4.10)
A sin z
L
代入
梁侧扭转角为正弦半波曲线分布，即： （d）式中，得：
4 2 2 M z GI A sin 0 EI t l l l EI y
Iy / A
y t1 E Ah cr 2 1 4.4h 2 y W x
2
2
y t1 235 4320 Ah bo 2 22 1 ( 4.4.24) 2 4.4h 2 f W EI I l GI t x y y EI I GI l y y 2 t M cr M 2a B 3 B y (1 4 .4.18 31 y 2 2a 2 ) cr1 2 2 I y EI l l I EI y
§4.2 受弯构件的强度和刚度
4.2.1 弯曲强度
1.工作性能
（1）弹性阶段
Vmax
Mmax
σ
x x
fy
弹性阶段的最大弯矩:
M xe M y f yWnx
M xe Wnx
σ
x x
M e W nx
(2)弹塑性阶段 分为 和
M y f yWnx
a
两个区域。
(3)塑性工作阶段
弹性区消失，形成塑性铰 。
整体稳定
局部稳定
正常使用极限状态 刚度
梁的强度
Example------H型钢蜂窝梁
梁的稳定
Example-----H型钢梁
失稳形式一------整体失稳
失稳形式二-----局部失稳
蜂窝梁----整体失稳
矩形截面梁----稳定性
失稳时应力分布
工程失稳实例----工业厂房
剪力中心：在构件上可以找到一点，当外力产生的剪应力作 用在这一点时，构件只产生线位移，不产生扭转。
§4.3 梁的扭转
翘曲变形—当构件发生扭转时，构件截面上纤维沿纵向发生的 位移，使截面不再保持平面。
4.3.1 自由扭转（圣维南扭转、均匀扭转、纯扭转）
① 纵向位移不受约束，截面能自由翘曲，有如下三个特点： ② 截面上的剪力流的特征： ③ 剪力流形成的扭矩为：
I I
x
跨中毛截面抵抗矩
支座附近毛截面抵抗矩
x1
I
x1
I
x
4.2.2 抗剪强度
1. 薄壁构件的剪力流理论和剪力中心
剪力流理论:
薄壁构件弯曲剪应力分布规律（剪力流理论）：
①截面各点剪应力均为顺着薄壁截面的中轴线s方向，在与之 垂直即壁厚方向的剪应力则很小可忽略不计； ②且由于薄壁可假定剪应力t沿厚度t方向均匀分布; ③在自由端剪应力为零，最大剪应力均发生在腹板中点。
b
(d)当翼缘外伸宽度b与其厚度t之比满足:
Y
X X
235 b 235 13 15 fy t fy
时， x
t
1.0
Y
需要计算疲劳强度的梁:
x y 1.0
2. 弯曲剪应力计算
x
x
t
max
Vmax
Mmax
max
Vy S x Ix t
fv
(4.2.4)
ho
t1
b
腹板的计算高度ho的规定：
1．轧制型钢，两内孤起点间距;
t1
2．焊接组合截面，为腹板高度;
3．铆接时为铆钉间最近距离。 b
4.2.4 折算应力
2 2 c c 3 2 1 f
(4.2.10)
My 其中： I nx
, c
1
应带各自符号，拉为正。 计算折算应力的设计值增大系数。
, c 异号时，1 1.2 ; , c 同号时或 c 0, 1 1.1
原因：1．只有局部某点达到塑性 2．异号力场有利于塑性发展——提高设计强度
4.2.4 受弯构件的刚度
[T ]及[Q ]

梁的最大挠度，按荷载标准值计算。
(4.2.12)
[T ], [ Q ]
原因：
受压翼缘应力达临应力，其弱轴 为 1 -1轴，但由于有腹板作连续支
1 Y
X Y
1
X
承，（下翼缘和腹板下部均受拉，
可以提供稳定的支承），只有绕y 轴屈曲，侧向屈曲后，弯矩平面不 再和截面的剪切中心重合，必然产 生扭转。 梁维持其稳定平衡状态所承担的最大荷载或最大弯矩，称为临 界荷载或临界弯矩。
c
F
t w lz
f
lz --集中荷载在腹板计算高度边缘的假定分布长度：
跨中集中荷载： 梁端支座反力：
l z a 5hy 2hR
l z a 2.5hy b
a--集中荷载沿梁跨度方向的支承长度，对吊车轮压可 取为50mm； hy--自梁承载边缘到腹板计算高度边缘的距离； hr--轨道的高度，计算处无轨道时取0； b --梁端到支座板外边缘的距离，按实际取，但不得 大于2.5hy。
R 材料分项系数； b cr f y 梁的稳定系数。
稳定系数的简化：
（1）纯弯作用下轧制H型钢或双轴对称焊接工字形截面简支梁
的整体稳定系数fbo：
y t1 E , M cr 2 Ah 1 4.4h 2 y
2 2
y l
u
由于梁端部夹支，中部任意 Y
截面扭转时，纵向纤维发生
了弯曲，属于约束扭转，其
v
X
X
M
M
Y
扭转的微分方程为(参见构件
的约束扭转，教科书4.4.2）：

图3
GIt EI Mu
'
'''
'
(4.4.9)
'' 将(c)再微分一次，并利用(b)消去 得到只有未知数 的弯扭屈 u
曲微分方程:
分别为全部荷载下和可变荷载下受弯构件挠度 限值，按规范取,见书附表2.1。
其挠度的算法可用材料力学算法解出，也可用简便算法。 等截面简支梁：
v 5 M xkl M xkl [v] l 48 EI x 10 EI x l
翼缘截面改变的简支梁：
v M xkl 3 I x Ix1 [v] (1 ) l 10 EI x 25 I x l
a
fy
fy
fy
M p f yW pnx
σ
x x
M x Wnx M y f yWnx
M p f y S1nx S2nx f yW pnx
式中：
a
S1nx、S2nx
Wpnx
分别为中和轴以上、以下截面对中 和轴x轴的面积矩； 截面对中和轴的塑性模量。
a
fy
fy
fy
M p f yW pnx
一、实腹式受弯构件