物理化学电子教案--功和能

E Ek Ep 恒量
机械能守恒定律 当系统只有保守内力做功时，质点系的总机械能保持
不变。 注意：机械能守恒定律只适用于惯性系，不适合于非惯性 系。在某一惯性系中机械能守恒，但在另一惯性系中机械 能不一定守恒。
27
例5 小球质量为m,从高度为H的光滑轨道处滑下.(1) 滑下后进入半径为R的光滑圆形轨道,刚好能绕轨道做 圆周运动而不脱离轨道,问H=?(2)当H=2R时滑下,小球 的运动将会如何?
A非保内 Ep2 Ep1
A外 A非保内 Ek 2 Ep2 Ek1 Ep1
25
机械能
E Ek Ep
A外 A非保内 E2 E1
质点系的功能原理
质点系机械能的增量等于所有外力和所有非保守内力 所做功的代数和。
26
3-4-3 机械能守恒定律
如果 A外 0 ， A非保内 0
解 （1）小球和地球构成系统 机械能守恒。即在H处和圆
形轨道顶点处机械能相等：
mgH 1 mv2 mg2R 2
man
m v2 R
mg
H 5 R 2
mg R
O
28
（2）由于H较小，故设在h处小球脱离轨道，计算出h。
mg2R mgh 1 mv2
man
m v2 R
2
mg sin
N
因轨道的支撑力N=0
第3章
功和能
1
§3.1 功和功率
3-1-1 功
功是反映了力对空间的累积作用。
功的定义：
在恒力
F
的 作用下，物体
发移生方了向位的移分力r与，位则移把力r在的位乘
z
F
r
r1
O
r2
F
y
积称为功。
x
2
A
F
Δr cosθ
F
Δr
国际单位：焦耳（J ）
质点由a点沿曲线运动到b点的过程中,变力
F
所做的功.
解 推力F,绳张力FT,重力mg 三力平衡
A R
x方向： F FT sin 0
y方向： FT cos mg 0 F mg tan
F FT F
y mg
小球在移动过程中，是变力做功
x
O
7
元功：
dA
F
dr
F cos
ds
FR cos d
变力F做的总功：
A dA 0 FR cos d
保守力的特点：保守力沿任何闭合路径做功等于零。
即
F
dr
0
a
设保守力沿闭合路径acbda做功
按保守力的特点： Aacb Aadb
d
c
Aacb Abda
A Aacb Abda Aacb Aacb 0
b
17
势能Ep ——由物体的相对位置所确定的系统能量 保守力做的功与势能的关系： 物体在保守力场中a、b两点的势能Epa与 Epb之差，等于 质点由a点移动到b点过程中保守力所做的功Aab。
解 （1）摩擦力做的功：
l2
O
Af
Ff
dx
l mg (l x)dx
l2
l
l2
mgl
重力做的功：
Ag G
dx
8
l
(
l2
x l
m)gdx
3mgl 8
x
动能定理：
Ag
Af
1 mv2 2
v 1 (3 )gl
2
12
例4 一质量m = 2kg的物体由静止开始，沿四分之一 圆周从A滑到B。已知R=4m，设物体滑到B处的速度 为v =6m/s，求在下滑过程中摩擦力所做的功。
平均功率： P A t
单位：W = J/s
瞬时功率： P lim A dA
P
dA
t 0
F
t
dr
dt
F
v
dt dt
6
例1 质量为m的小球系于长度为R的细绳末端,细绳
另一端固定在点A,将小球悬挂在空间.现小球在水平
推力F 的作用下,缓慢地从竖直位置移到细绳与竖直
方向成角的位置.求水平推力F所做的功.
具体路径无关。 15
（3）弹性力的功
mF m
x
O x1 a
xb
x2
由胡克定律： F kxi
A
F dx
x2
kxi
dxi
x2 kxdx
x1
x1
A
1 2
kx12
1 2
kx22
弹性力做功只与弹簧的起始和末了位置有关，而与
弹性变形的过程无关。
16
保守力——做功与路径无关，只与始末位置有关的力。
解 设单位长度的质量为 始末两态的中心分别为C和C′
机械能守恒：
2lg l 2lgl 1 2lv2
2
2
O
Cl
O
C 2l
解得 v lg
30
§3.5 宇宙速度
1. 第一宇宙速度
m
地球半径为R，质量为m0，卫星 质量为m。要使卫星在距地面h 高度绕地球作匀速圆周运动，其
发射速度。
m0
R
设发射速度为v1，绕地球的运动速度为v。
v
t
0 dv 0 3tdt
v dx dt
v 3t2 2
dx vdt 3 t 2dt 2
A
F dx
2
6t
3
t
2dt
9
t
4
2
36 J
02
40
9
§3.2 动能和动能定理
设质点m在力的作用下沿曲线从 a点移动到b点
元功：
dA F dr F cos ds
F
cos
maτ
m dv dt
i 1
i 1
i 1
22
A内 A外 Ek2 Ek1
质点系的动能定理： 质点系动能的增量等于作用于系统的所有外力和
内力做功之代数和。 注意： 内力做功可以改变系统的 总动能。
为什么呢？
23
一对作用内力与反作用内力的功:
dA F12 dr1 F21 dr2
r1
F12 d(r1 r2 ) F12 dr12
Ep (r ) Ep (r ) Ep (ro )
ro
F
dr
r
结论：空间某点的势能Ep在数值上等于质点从该点 移动到势能零点时保守力做的功。
19
重力势能： Ep mgh
弹性势能：
（地面h = 0为势能零点）
Ep
1 2
kx2
（弹簧自由端为势能零点）
引力势能：
Ep
G
m0m r
（无限远处为势能零点）
34
既要脱离太阳的引力作用，也要脱离地球的引力 作用，发射时的能量必须满足
1 2
mv32
1 2
mv
2 2
1 2
mv32
v3 v22 v32 16.7 103 m/s
11.2km/s>v>7.9km/s,椭圆
v=7.9km/s,圆
v=11.2km/s,抛物线 16.7km/s>v>11.2km/s,双曲线
32
2. 第二宇宙速度
宇宙飞船脱离地球引力而必须具有的发射速度 （1）脱离地球引力时，飞船的动能必须大于或至少等于零。 （2）脱离地球引力处，飞船的引力势能为零。
机械能守恒：
1 2
mv22
G
m0m R
Ek
Ep
0
解得
v2
2Gm0 R
2gR
2v1 11.2103 m/s
33
3. 第三宇宙速度
dr
b
F
a
dA F cos ds m dv ds mvdv
dt
10
总功：A
dA
v2 v1
mvdv
1 2
m(v
2 2
v12 )
定义质点的动能：
Ek
1 2
mv2
单位：J
质点的动能定理： 合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。
A
Ek 2
Ek1
1 2
mv22
1 2
mv12
11
例3 一链条长l,质量m,用手控制链条放在桌面上, 如图,下垂长度为l/2,链条与桌面摩擦系数为,松开手 后链条从静止开始向下滑动.求:（1）链条离开桌面 时，摩擦力做的功;（2）离开桌面时链条的速率.
20
保守力功与势能的积分关系： A Ep
保守力功与势能的微分关系： dA dEp
dA F dr Fxdx Fydy Fzdz
dEp
Ep x
dx
Ep y
dy
Ep z
dz
Fx
Ep x
Fy
Ep y
Fz
Ep z
保守力的矢量式：
F
Ep x
i
Ep
y
j
Ep
z
k
结论:保守力沿各坐标方向的分量,在数值上等于系统的势能沿
b
Epa Epb a F dr Aab
Aab (Epb Epa ) Ep
保守力做功在数值上等于系统势能的减少。
18
பைடு நூலகம்明：
（1）势能是一个系统的属性。 （2）势能的大小只有相对的意义，相对于势能的零点而言。 （3）势能的零点可以任意选取。
设rO点为势能的零点，则空间任意一点 r的势能为：
35
h O N mg R
v2 g sin
R
sin h R v2 g(h R)
R
1
mg2R mgh mg(h R) 4R 2h h R
2
5
h R
3
29
例6 一长度为2l的匀质链条，平衡地悬挂在一光滑圆 柱形木钉上。若从静止开始而滑动，求当链条离开木 钉时的速率（木钉的直径可以忽略）
末了位置
b
b(xb , yb , zb )
Aab
b
F dr
a
a mgk dxi dyj dzk
b a
mgdz
mgza
zb
z
za a
r
zb
b
mg
O
y
x
结论：重力做功仅取决于质点的始、末位置za和zb，与质 点经过的具体路径无关。
14
（2） 万有引力做功
设质量为m0的质点固定， a
宇宙飞船脱离地球和太阳引力而必须具有的发射速度
脱离太阳的过程中机械能守恒
1 2
mv32
G
ms m r
0
ms=1.99×1030kg,r=1.496×1011m
v3 42.2 103 m/s
地球绕太阳的公转速度为29.8×103m/s
v3 (42.2 29.8) 103 m/s 12.4 103 m/s
O
m1
r2
drF112r12
F21
dr2
m2
结论：
两质点间的一对作用力和反作用力所做功之和等于其 中一个质点受的力沿着该质点相对于另一质点所移动 的位移所做的功。
24
3-4-2 功能原理
质点系的动能定理：
A内 A外 Ek2 Ek1
其中
A内 A保内 A非保内
A外 A保内 A非保内 Ek2 Ek1
4
在直角坐标系Oxyz中
F
Fxi
Fy
j
Fz k
r xi yj zk
b
A a F dr
b
a Fxi Fy j Fzk dxi dyj dzk
b
A a Fxdx Fydy Fzdz
5
3-1-2 功率
功率是反映做功快慢程度的物理量。
功率： 单位时间内所做的功。
相应方向的空间变化率的负值,其方向指向势能降低的方向.
21
§3.4 机械能守恒定律
3-4-1 质点系的动能定理
由n个质点组成的质点系，考察第i个质点。
Fi
质点的动能定理：
Ai外 Ai内 Ek2i Ek1i
对系统内所有质点求和
i
n
n
n
n
Ai内 Ai外 Ek2i Ek1i
F内i
i 1
机械能守恒：
1 2
mv12
G
m0m R
1 2
mv2
G
m0m Rh
31
由万有引力定律和牛顿定律：
G
m0m
R h2
m
v2 Rh
解方程组，得：
v1
2Gm0 Gm0 R Rh
mg
G
mm0 R2
Gm0 gR R
代入上式，得
h R
v1
gR(2 R ) Rh
v1 gR 7.9103 m/s
c
dl
另一质量为m的质点在m0的引 r 力场中从a点运动到b点。
F
G
m0m r2
er
A
rb
ra
G
m0 m r2
er
dl
er
ra m0 dl
dl
dr r dr
rb cos dr
b
A
Gm0 m
rb dr r ra 2
Gm0
m
1 ra
1 rb
万有引力做功只与质点的始、末位置有关，而与
元功：
dA
F
dr
dr
F
b
A
b F dr
b
F
cos
dr
a
a
a
3
合力的功：
A
b F dr
a
b a
F1 F2 Fn
dr
b a F1 dr
b a
F2
dr
b a Fn dr
A A1 A2 An
结论： 合力对质点所做的功等于每个分力对质点做功之 代数和。
0 mgR tan cos d
A
R
dθ
dr
F
mgR0 sin d mgR(1 cos)
8
例2 设作用在质量为2kg的物体上的力F = 6t N.如果
物体由静止出发沿直线运动，在头2 s内这力做了多少
功？
解
a F 6t 3t
m2
a dv dt
dv adt 3t dt
两边积分：
解 由动能定理： A Ek Ek0
AR
Ff N
四分之一圆周的支持力N做功为零，
Ek0 0
Ek
1 mv2 2
mg
B
A mg cosds Af
1 mv2 0 2
Af
1 mv2 2
π2
mg cosRd
0
1 mv2 2
mgR 42.4J
v B
13
§3.3 势能
（1）重力的功：
初始位置 a(xa , ya , za )