数字逻辑电路第一章

1.2.2 基数乘除法 Radix Multiply Divide Methed
要点：⑴ 在α进制下完成(N) α → (N′) 的β 转换
⑵ 整数部分转换用基数除法 ⑶ 小数部分转换用基数乘法
1. 整数转换(基数除法) Radix Divide Methed
设: (N)α = (N′) β= (b n-1b n-2 …b1 b 0) β (0≤bi≤β-1) = (bn-1×10n-1 + bn-2×10n-2 + … + b1×101 + b0×100 )β
要点： 系统讨论各种进位计数制的特点、表示法和相互转换。
例：十进制数 1 2 4 6 3 8 5 3 4 5 . 6 7 8 0 91
1. 特点 ：⑴ 10个、有序的数字符号：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ⑵ 小数点符号：“.” ⑶ “逢十进一”的计数规则
其中：“十” 为进位基数(Base / Radix)，简称基数( R )。
将等式右边 转换成十进
制符号
由上例可以了解多项式替代法的转换步骤，归纳如下，
(N) α
=
(A
n-1
A
n-2
…A1
A
0
.A
-1
A
-2
…
A
-m
) α
= (A n-1×10 n-1 + A n-2×10 n-2 + … + A 1×10 1 + A 0
×10
0+
A
-1×10
-1
+A
-2×10
-2
+
…
+A-m×10
第一章 数制和编码
1.1 进位计数制 1.2 各种进位计数制的相互转换 1.3 带符号数的代码表示 1.4 带符号数的加减法 1.5 十进制数的常用代码 1.6 可靠性编码
第一章 数制与编码
Number Systems and Codes
所谓“数制”，即各种进位计数制 ( Positional number system ) 。
+ 7×10-2 + 8×10-3 + 0 ×10-4 + 9×10 - 5
由此推出，任意一个十进制数 N 可以表示成：
① 并列表示法：
( N)10= ( K n-1 K n-2 …K 1 K 0 . K -1 K -2 … K -m ) 10 ( 0 ≤ K i≤ 9 )
② 多项式表示法
( N )10 = ( K n-1×10 n-1 + K n-2×10 n-2 + … + K 1×10 1
不同进位计数制的数值具有等值关系。参见下表：
R=10
R=2
R=3
R=4
R=8
R=16
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
2
10
2
2
2
2
3
11
10
3
3
3
4
100
11
10
4
4
5
101
12
11
5
5
6
110
20
12
6
6
7
111
21
13
7
7
8
1000
22
20
10
8
9
1001
100
21
11
9
10
ห้องสมุดไป่ตู้
1010
101
22
12
A
11
的转换的，因此，要求熟悉β进制的算术运算规则。
例2：将(121.2)3转换为二进制。 (121.2)3 = (1×102 + 2×101 + 1×100 + 2×10-1 )3
= (1×1110 +10×111 + 1×110 + 10×11-1 )2 = (1001 + 110 + 1 + 0.101010…)2 = ( 10000.101010 …)2
2. 表示法 ：并列表示法 Positional Notation 多项式表示法 Polynomial Notation
① 并列表示法
例：十进制数
万千百十个 位位位位位
104 103 102 101 100
十 百 千 万 十万 百万 分分分分 分 分 位位位位 位 位
10-1 10-2 10-3 10-4 10-5 10-6
则得到
第一个商
又∵
0≤b 0≤ β-1
∴ 得到第一个余数b0
第一个余 数 b0
又令：
N1= bn-1×βn-2 + bn-2×βn-2 +…+ b2×β1 + b1
等式两边同除以β，则
N1/β= bn-1×βn-3 + bn-2×βn-4 + … + b2×β0 + b1 /β
同理得到
第二个商
又∵ 0≤b 1≤ β－1 ∴ 得到第二个余数b1
第二个余 数 b1
依次类推，令：
Ni-1= bn-1×βn-i-1 + bn-2×βn-i-2 + … + bi×β1 + bi-1
等式两边同除以β，则
Ni-1/β= bn-1×βn-i-2 + bn-2×βn-i-3 + … + bi×β0 + bi-1 /β
∴ 得到
第 i 个商
∴ 和第i个余数bi
• 表示法 ① 并列表示法 （N)R=(A n-1 A n-2 …A1 A 0 .A -1 A -2 … A -m ) R
(0≤A i≤R-1)
② 多项式表示法
( N )R = ( A n-1×10 n-1 + A n-2×10 n-2 + … + A 1×10 1
+ A 0×10 0 + A -1×10 -1 + … +A-m×10 -m ) R
-m
) α
= (A n-1×αn-1 + A n-2×αn-2 + … + A 1×α1
+ A 0×α0+ A -1×α-1 + A -2×α-2 + …
+A-m×α-m ) β = (N′) β
将α进制下的 Ai、10 转换成 β进制下的数
注意：多项式替代法是在β进制下完成 (N) α 到(N′) β
⑶二进制数的单位：
1位二进制数 = 1b 1B = 8b 1K = 210 1M = 220 1G = 230
1.2 进位计数制的相互转换 General Positional-number-system Conversions
数值转换：
(N)α → (N′) β
转换是按等值进行转换
1.2.1 多项式替代法 Series Substitution
n -1
=
(
∑
i=
A
-m
i
×
10
i
)
R
(其中： n 整数位数， m 小数位数 ，0≤A i≤R-1， R为进位基数 )
当R=10时，则括号及括号外的基数R可以省略。
例：(1010)2 = (1×10 11 + 0×10 10 + 1×10 1+ 0×10 0 ) 2 (1212) 3 = (1×10 10 + 2×10 2 + 1×10 1+ 2×10 0) 3
第i -1个 余数 bi-1
直至，令 ： Nn-2= bn-1×βn-2 + bn-2
等式两边再同除以β，则
Nn-2 /β= bn-1× β 0 + bn-2 /β
∴ 得到
第 n-1个商
最后 令： Nn-1= bn- 1
第n-2个 余数 bn-2
则 Nn-1／β= bn- 1 ／β
此时商为零，得到第n个 余数 bn-1，则转换结束。
例： R=2，二进制，数字符号有0、1，逢二进一； R=3，三进制，数字符号有0、1、2，逢三进一； R=8，八进制，数字符号有0,1,2,3,4,5,6,7，逢八进一； R=16，十六进制，数字符号有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D, E, F(必须用单字符表示)，逢十六进一； ……
二进制数的运算
二进制数为计算机内部运算的基础，应予以关注。
⑴ 运算规则： ＋ 、－、×、÷
（ × 、 ÷ 运算可以由+、 －运算来实现） 加法规则：0 + 0 = 0 0 + 1= 1+ 0 =1 1 + 1= 10 减法规则：0－0 = 0 1－0 =1 1－1=0 10－1= 1(借位) 乘法规则：0×0 = 0 0×1=1×0 = 0 1×1= 1 除法规则 0÷1= 0 1÷1= 1 ( 0不能作除数 )
即 (179)10 = (10110011)2
例2 将十进制的3417 转换成十六进制数。
16 3417 … … 余9 (b0 ) 16 213 … … 余5 (b1 ) 16 13 … …余13 ( 即D ) ( b2 )
如：1. 在日常计算中通常采用的是十进制计数制，计数 规则“逢十进一”，
例：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, 12,…,99,100, …,；
2. 在计算机中多用的是二进制计数制，因为物理器 件的输入、输出信号是用逻辑电平的两个状态0、 1表示，
例：0,1,10,11,100,101,110,…；它是“逢二进一”；
例1：将(1CE8)16转换为十进制。
(1CE8)16= (1×10 3 +C×10 2 + E×10 1 + 8×10 0 )16
= (1×16 3 +12×16 2 + 14×16 1 + 8×16 0 )10
= (4096 +3072 + 224 + 8)10 = (7400)10 = 7400 十进制的R可以省略
1 2 3 4 5.6 7 8 0 9 1
小数点
如上所示，处在不同位置的数字具有不同的“权(Weight)”， 并列计数法，也称位置表示法。
② 多项式表示法
将并列式按“权” 展开为按权展开式，称为多项式表示法。 如下例：
12345.67809 = 1×104 + 2×103 + 3×102 + 4×101 + 5×10 0 + 6×10-1
3. 表示重量可以采用十进制或十六进制，例： “半斤 八两”；
4. 表示时间的“时分秒”，其计数规则采用的是六十进 制，
例：1分= 60秒, 1小时= 60分, …；
又例：“日时”用的是二十四进制， “年月”用的是十二 进制，等；
5. 计件单位“打”或长度单位“英寸”用的是十二进制； 等等。
1.1 进位计数制
⑵ 常用的二进制常数要记住。书P3 表 1-2 (R=2) 。
i
Ri
i
-7 0.0078125 0
-6 0.015625 1
-5 0.03125
2
-4 0.0625
3
-3 0.125
4
-2 0.25
5
-1 0.5
6
Ri
i
17
28
49
8 10
16 11
32 12
64 13
Ri 128 256 512 1024 2048 4096 8192
+ K 0 ×10 0 + K -1×10 -1 + K -2×10 -2 + …
+ K -m ×10 -m ) 10
n-1
= ∑ K i × 10 i
i= -m
( 0 ≤ K i≤ 9 )
对于一个任意进制 R 的数 N，有 ：
• 特点：1. R个有序的数字符号：0、1、 … 、R-1 ; 2. 小数点符号：“.” 3. “逢R进一”的计数规则 其中：“R” 为进位基数(Base / Radix)或基数。
1011
102
23
13
B
12
1100
110
30
14
C
13
1101
111
31
15
D
14
1110
112
32
16
E
15
1111
120
33
17
F
16
10000
121
100
20
10
17
10001
122
101
21
11
…
…
…
…
…
…
例：(1010)2 = (1×1011+0×1010+1×101+0×100 ) 2 = 8+0+2+0 = 10 (1212)3 = (1×1010+2×102+1×101+2×100) 3 = 27+18+3+2 = 50
将bi、10转换成α进制下的数，则 (N)α = (bn-1×βn-1 + bn-2×βn-2 + … + b1×β1 + b0×β0 ) α
(0≤bi≤β-1)
以下讨论在α进制下进行：
令：N= bn-1×βn-1 + bn-2×βn-2 + … + b1×β1 + b0
等式两边同除以β，则
N/β= bn-1×βn-2 + bn-2×βn-3 + … + b1×β0 + b0 /β
这种方法也称为“除基取余”。
例1 将十进制的179 转换成二进制数。
179÷2 = 89 … …余1（b0 ） 89÷2 = 44 … …余1（ b1 ） 44÷2 = 22 … … 余0（ b2 ） 22÷2 = 11 … … 余0（ b3 ） 11÷2 = 5 … …余1（ b4 ）
5÷2 = 2 … …余1（ b5 ） 2÷2 = 1 … …余0（ b6 ） 1÷2 = 0 … … 余1（ b7 ）
举例： ① 1010 + 0110 = 10000
② 1010 – 0110 = 0100
③ 1010×11 = 1010 + 10100 = 11110 乘法用加法实现
④ 1010÷10 = 101 除法用减法实现 1010
– 10 …够减，商 1
01 – 10
10 – 10
0
…不够减，商 0 …够减，商 1
例3：将(1234) 10转换为十六进制。 (1234)10 = (1×10 3 + 2×10 2 + 3×10 1 + 4×10 0 )10
= (1×A3 + 2×A2 + 3×A1 + 4×A0 )16 = ( ? )16
当α为任意进制而β为十进制时，用此方法进行转换。而 当β不为十进制时，则不用此方法进行转换。