数字逻辑毛法尧第二章

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问题：由n个变量组成的最小项总共可有多少个？
• 因为最小项中每个变量可以用原变量和反变量两 种形式出现，所以n个变量共可以组成2n个最小项， 即3个变量可以组成8个最小项，例如：由A、B、 C三个变量组成的最小项可以有如下8个：
• ABC、ABC、ABC、ABC、
ABC、ABC、ABC、ABC。
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定理5： • A=A （还原律） • 证明 : 由公理5可以得出A=A
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定理6：(摩根定理)(是最重要和有用的定 理)
• A+B=A•B
A•B=A+B
证明 :定义两组逻辑式为A+B和A•B，则
(A•B)+(A+B)=(A•B+A)+B
结合律
=(A+A•B)+B
交换律
=(A+A)•(A+B)+B
任何一个逻辑函数都可以表示成若干个最大 项大项不是包含在F 的标准“和之积”之中，便是被包含在F的 标准“和之积”之中。
• 推论： n个变量的2n个最大项之积恒等于0。
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问题：最小项和最大项有什么关系？
• 下标相同的最小项和最大项之间存在互补关 系。即： Mi=mi mi=Mi
• F=(A+B)(B+C)(A+B+D) • “和之积”又被称为“或-与表达式”。
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最大项表达式：
• 一个具有n个变量的函数的“和”项如果 包含全部n个变量，每个变量都以原变量 或反变量形式出现，且仅出现一次，则 这个“和”项被称为最大项。例如： A+B+C、A+B+C、A+B+C等等。
• 如果一个函数完全由最大项组成，则称 该函数为标准“和之积”表达式，即最 大项表达式。
• 推论： n个变量的2n个最小项之和恒等于1。
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2. “和之积”
• 指一个函数表达式中包含着若干个“和” 项，每个“和”项中可有一个或多个以原 变量或反变量形式出现的字母，所有这些 “和”项的“积”就表示了一个函数。例 如：(A+B)、(B+C)、(A+B+D)均为“和” 项，而它们的“和”之“积”就构成了一 个函数：
证明：A•(A+B)=A•A+A•B 公理3 =A+A•B =A
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定理4： A+A•B=A+B
证明：A+A•B=(A+A)•(A+B) (分配律)
=1•(A+B)
(互补律)
=A+B
(0-1律)
A•(A+B)=A•B 证明 : A•(A+B)=A•A+A•B
=0+A•B =A•B
(分配律) (互补律) (0-1律)
• 在数字电路中，如果某一输出变量与一组输入变 量存在着一定对应关系，即输入变量取任意一组 确定的值，输出变量的值也就唯一地被确定，则 称这种关系为逻辑函数关系。设输入变量为 A1,A2,…An,输出变量为F，则： F= f (A1,A2, …An)。
• 注意：1.无论自变量或函数均只能取0或1两值。 函数和自变量的关系只能由“与”、“或”、 “非”三种基本运算来定义。
• F=B+AB+ABC • “积之和”又被称为“与-或表达式”。
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最小项表达式：
• 一个具有n个变量的函数的“积”项如果 包含全部n个变量，每个变量都以原变量 或反变量形式出现，且仅出现一次，则这 个“积”项被称为最小项。例如三变量最 小项：ABC、ABC、ABC等等。
• 如果一个函数完全由最小项组成，则称该 函数为标准“积之和”表达式，即最小项 表达式。
• 通常用mi表示最小项，下标i是怎样确定的呢？当 ABC…确定后，如果将原变量看成1，反变量看成 0，则1和0就排列成一个二进制数，与这个二进制 数相对应的十进制数，就是最小项的下标i的值。 例项如有：如A下B8C个：(m010、1)2m=1(、3)1m0 2、mm33、,3m个4变、量m5的、最m小6、 m7
证明：由公理4(0-1律)，分别以0和1代替 A，可得上述各式。
推论：1=0，0=1 证明：由公理5(互补律)，分别以0和1代替
A，可得上述两式。
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定理2：A+A=A，A·A=A （重叠律）
• 证明：A+A=(A+A)·1
公理4（0-1律）
•
=(A+A)·(A+A) 公理5（互补律）
•
=A+(A·A)
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• 所以函数 F(A、B、C)=ABC+ABC+ABC+ABC =∑m(2、3、6、7)
注意：等式左边括号内变量的顺序非常重 要，与最小项的编号有关，切记！
任何一个逻辑函数都可以表示成若干个最 小项的“和”。
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• 推论：n个变量的2n个最小项不是包含在F的 标准“积之和”之中，便是被包含在F的标准 “积之和”之中。
A•(B+C)=A•B+A•C 0-1律： A+0=A，A•1=A；A+1=1，A•0=0 互补律：A+A=1，A•A=0 问题：用开关电路表达这些公理（0、1在开关电路中
分别代表什么？） Back
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2.基本定理(由上述公理推出下述基本定理)
定理1： 0+0=0，1+0=1，0+1=1，1+1=1 0·0=0，1·0=0，0·1=0，1·1=1
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1、基本逻辑运算 1） 逻辑“与”运算
对于逻辑问题，如果决定某一事件发生 的多个条件必须同时具备，事件才能发生， 则这种因果关系称之为“与”逻辑。逻辑代 数中，“与”逻辑关系用“与”运算描述。
“与”运算又称为逻辑乘，其符号为 “·”、“∧”、“AND”。 1 (A、B均为1) 逻辑表达式：F=A·B=A∧B= 0 (A、B中任一为0)
证明： A•B+A•B=A•(B+B)
公理3
=A•1
公理5
=A
公理4
(A+B)•(A+B)=A+(B•B)
公理3
=A+0
公理5
=A
公理4
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定理8：
• A•B+A•C+B•C=A•B+A•C • (A+B)•(A+C)•(B+C)=(A+B)•(A+C)
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3.逻辑代数三条重要规则
规则1：代入规则
0 (A、B均为0)
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3）逻辑“非”运算
对逻辑问题，如果某一事件的发生 取决于条件的否定，即事件与事件发生的 条件之间构成矛盾，则这种因果关系称为 “非”逻辑。 逻辑“非”又称为逻辑反 运算.
运算符号：“—A— ”（上1 （面A加=0）横线） 逻辑表达式为： F= = 0 （A=1）
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3、逻辑函数
2.1 逻辑代数的基本概念
★ 逻辑代数：是由逻辑变量集、常量“0”、“1” 及“与”、“或”、“非”等运算符号、函 数、表达式等构成的代数系统。利用逻辑代 数可以描述任何复杂的电路中条件与输出结 果间的逻辑关系。
★ 逻辑代数中也用字母表示变量,这种变量称为 逻辑变量。但变量的取值只能是1或0，代表 逻辑电路中的两种不同的逻辑状态，如开关 的闭合与打开，电路的导通与截止，电压与 电流的有或无等。
• 对偶规则:若F和G相等,则Fˊ和Gˊ也相等。即 若两函数相等，则其对偶式也相等。
• 用途：根据对偶规则,若某两个逻辑函数表 达式相等,则它们的对偶式也必定相等。可 使定理和公式的证明减少一半。（如定理7、8等）
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2.3 逻辑函数的表达形式与转换
2.3.1 逻辑函数的表示方法：
1、逻辑表达式： 即由逻辑变量、逻辑常量和运算符所构
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例：将F=A+BC转换成最小项之和
F=A+BC=A(B+B)(C+C)+(A+A)BC =ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC =ABC+ABC+ABC+ABC+ABC =∑m(1,4,5,6,7)
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例：将F=(AB+AB+C)AB转换成最小项之 和
成的式子。前面已经通过逻辑表达式讨论了 公理、定理和规则。 注意：非运算可以不加括号、与运算符通常 省略、运算优先级由高到低为非、与、或
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逻辑函数表达式的基本形式
1. “积之和”
• 是指一个函数表达式中包含着若干个“积”项， 每个“积”项中可有一个或多个以原变量或反变 量形式出现的字母，所有这些“积”项的“和” 就表示了一个函数。例如：B、AB、ABC均为 “积”项，而它们的“积”之“和”就构成了一 个函数：
• 2.设F1= f 1 (A1,A2, …An) ， F2= f 2 (A1,A2, …An)，若对应于A1,A2, …An的任何一 组取值，F1和F2的值都相同，则称函数F1和F2 相等，记成F1=F2。
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2.2 逻辑代数的公理、定理及规则
1.公理系统： (满足一致性、独立性和完备性)
交换律：A+B=B+A，A•B=B•A； 结合律：(A+B)+C=A+(B+C); (A•B)•C=A•(B•C) 分配律：A+(B•C)=(A+B)•(A+C)
分配律
=1•(A+B)+B=(A+B)+B
=A+1=1
(A•B)•(A+B)= A•B•A+A•B•B
分配律
=B•0+A•0