数字逻辑毛法尧第二章

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• 任何一个含有变量A的逻辑等式,如果将所 有出现A的位置都代之以同一个逻辑函数F, 则等式仍然成立。
• 用途:利用代入规则,可以将逻辑代数公 理、定理中的变量用任意函数代替,从而 推导出更多的等式。
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规则2:反演规则:
• 将逻辑函数式F中所有的“•”变成“+”, “+”变成“•”,“0”变成“1”,“1”变成 “0”,原变量变成反变量,反变量变成原 变量,则所得到的新函数表达式为原函数 F的反函数F。
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例:将F=A+BC转换成最小项之和
F=A+BC=A(B+B)(C+C)+(A+A)BC =ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC =ABC+ABC+ABC+ABC+ABC =∑m(1,4,5,6,7)
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例:将F=(AB+AB+C)AB转换成最小项之 和
• 例:F=AB+BCD,则
F=(A+B)(B+C+D)
• 用途:利用反演规则,可以方便地求出一 个函数的反函数。
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规则3:对偶规则:
• 如果将逻辑函数式F中所有的“•”变成“+”, “+”变成“•”,“0”变成“1”,“1”变成 “0”,而逻辑变量保持不变,则所得到的新 函数表达式称为原函数F的对偶式,记作Fˊ。
A•(B+C)=A•B+A•C 0-1律: A+0=A,A•1=A;A+1=1,A•0=0 互补律:A+A=1,A•A=0 问题:用开关电路表达这些公理(0、1在开关电路中
分别代表什么?) Back
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2.基本定理(由上述公理推出下述基本定理)
定理1: 0+0=0,1+0=1,0+1=1,1+1=1 0·0=0,1·0=0,0·1=0,1·1=1
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问题:由n个变量组成的最小项总共可有多少个?
• 因为最小项中每个变量可以用原变量和反变量两 种形式出现,所以n个变量共可以组成2n个最小项, 即3个变量可以组成8个最小项,例如:由A、B、 C三个变量组成的最小项可以有如下8个:
• ABC、ABC、ABC、ABC、
ABC、ABC、ABC、ABC。
• 2.设F1= f 1 (A1,A2, …An) , F2= f 2 (A1,A2, …An),若对应于A1,A2, …An的任何一 组取值,F1和F2的值都相同,则称函数F1和F2 相等,记成F1=F2。
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2.2 逻辑代数的公理、定理及规则
1.公理系统: (满足一致性、独立性和完备性)
交换律:A+B=B+A,A•B=B•A; 结合律:(A+B)+C=A+(B+C); (A•B)•C=A•(B•C) 分配律:A+(B•C)=(A+B)•(A+C)
2.1 逻辑代数的基本概念
★ 逻辑代数:是由逻辑变量集、常量“0”、“1” 及“与”、“或”、“非”等运算符号、函 数、表达式等构成的代数系统。利用逻辑代 数可以描述任何复杂的电路中条件与输出结 果间的逻辑关系。
★ 逻辑代数中也用字母表示变量,这种变量称为 逻辑变量。但变量的取值只能是1或0,代表 逻辑电路中的两种不同的逻辑状态,如开关 的闭合与打开,电路的导通与截止,电压与 电流的有或无等。
0 (A、B均为0)
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3)逻辑“非”运算
对逻辑问题,如果某一事件的发生 取决于条件的否定,即事件与事件发生的 条件之间构成矛盾,则这种因果关系称为 “非”逻辑。 逻辑“非”又称为逻辑反 运算.
运算符号:“—A— ”(上1 (面A加=0)横线) 逻辑表达式为: F= = 0 (A=1)
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3、逻辑函数
Hale Waihona Puke Baidu
证明: A•B+A•B=A•(B+B)
公理3
=A•1
公理5
=A
公理4
(A+B)•(A+B)=A+(B•B)
公理3
=A+0
公理5
=A
公理4
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定理8:
• A•B+A•C+B•C=A•B+A•C • (A+B)•(A+C)•(B+C)=(A+B)•(A+C)
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3.逻辑代数三条重要规则
规则1:代入规则
• 对偶规则:若F和G相等,则Fˊ和Gˊ也相等。即 若两函数相等,则其对偶式也相等。
• 用途:根据对偶规则,若某两个逻辑函数表 达式相等,则它们的对偶式也必定相等。可 使定理和公式的证明减少一半。(如定理7、8等)
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2.3 逻辑函数的表达形式与转换
2.3.1 逻辑函数的表示方法:
1、逻辑表达式: 即由逻辑变量、逻辑常量和运算符所构
例如:m3=ABC,则 M3 =A+B+C 因为 M3=A+B+C,所以 M3=A+B+C=ABC=m3
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3.其它形式
• F=(AB+D)(AB+CD)
• 显然,上式既不是“与或”表达式,也不 是“或与”表达式,但通过一定的运算,
可以转换成“与或”表达式或“或与”表 达式。
F=(A+D)(B+D)(AB+C)(AB+D)
证明:由公理4(0-1律),分别以0和1代替 A,可得上述各式。
推论:1=0,0=1 证明:由公理5(互补律),分别以0和1代替
A,可得上述两式。
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定理2:A+A=A,A·A=A (重叠律)
• 证明:A+A=(A+A)·1
公理4(0-1律)

=(A+A)·(A+A) 公理5(互补律)

=A+(A·A)
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问题:由n个变量组成的最大项总共可有多少个?
• 因为最大项中每个变量可以用原变量和反变量两 种形式出现,所以n个变量共可以组成2n个最大项, 即3个变量可以组成8个最大项,例如:由A、B、 C三个变量组成的最大项可以有如下8个:
• A+B+C、A+B+C、A+B+C、A+B+C、
A+B+C、A+B+C、A+B+C、A+B+C。 • 通AB常C用…M确i定表后示,最如大果项将,原i是变怎量样看确成定0的,呢反?变当量看成
• 通常用mi表示最小项,下标i是怎样确定的呢?当 ABC…确定后,如果将原变量看成1,反变量看成 0,则1和0就排列成一个二进制数,与这个二进制 数相对应的十进制数,就是最小项的下标i的值。 例项如有:如A下B8C个:(m010、1)2m=1(、3)1m0 2、mm33、,3m个4变、量m5的、最m小6、 m7
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• 所以函数 F(A、B、C)=ABC+ABC+ABC+ABC =∑m(2、3、6、7)
注意:等式左边括号内变量的顺序非常重 要,与最小项的编号有关,切记!
任何一个逻辑函数都可以表示成若干个最 小项的“和”。
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• 推论:n个变量的2n个最小项不是包含在F的 标准“积之和”之中,便是被包含在F的标准 “积之和”之中。
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1、基本逻辑运算 1) 逻辑“与”运算
对于逻辑问题,如果决定某一事件发生 的多个条件必须同时具备,事件才能发生, 则这种因果关系称之为“与”逻辑。逻辑代 数中,“与”逻辑关系用“与”运算描述。
“与”运算又称为逻辑乘,其符号为 “·”、“∧”、“AND”。 1 (A、B均为1) 逻辑表达式:F=A·B=A∧B= 0 (A、B中任一为0)
• 在数字电路中,如果某一输出变量与一组输入变 量存在着一定对应关系,即输入变量取任意一组 确定的值,输出变量的值也就唯一地被确定,则 称这种关系为逻辑函数关系。设输入变量为 A1,A2,…An,输出变量为F,则: F= f (A1,A2, …An)。
• 注意:1.无论自变量或函数均只能取0或1两值。 函数和自变量的关系只能由“与”、“或”、 “非”三种基本运算来定义。
1,则0和1就排列成一个二进制数,与这个二进制 数相对应的十进制数,就是最大项的下标i的值。 例如:A+B+C (101)2=(5)10 M5
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• 所以函数 F(A、B、C) =(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C) =∏M(0、1、4、5)
注意:等式左边括号内变量的顺序非常重要, 与最大项的编号有关,切记!
• F=B+AB+ABC • “积之和”又被称为“与-或表达式”。
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最小项表达式:
• 一个具有n个变量的函数的“积”项如果 包含全部n个变量,每个变量都以原变量 或反变量形式出现,且仅出现一次,则这 个“积”项被称为最小项。例如三变量最 小项:ABC、ABC、ABC等等。
• 如果一个函数完全由最小项组成,则称该 函数为标准“积之和”表达式,即最小项 表达式。
分配律
=1•(A+B)+B=(A+B)+B
=A+1=1
(A•B)•(A+B)= A•B•A+A•B•B
分配律
=B•0+A•0
互补律
=0+0
=0
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因此,根据公理5
可得到:
同理,可证明:
A+B=A•B,或是 A+B=A•B 即得证
A•B=A+B
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定理7:
A•B+A•B=A
(A+B)•(A+B)=A
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定理5: • A=A (还原律) • 证明 : 由公理5可以得出A=A
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定理6:(摩根定理)(是最重要和有用的定 理)
• A+B=A•B
A•B=A+B
证明 :定义两组逻辑式为A+B和A•B,则
(A•B)+(A+B)=(A•B+A)+B
结合律
=(A+A•B)+B
交换律
=(A+A)•(A+B)+B
• F=(A+B)(B+C)(A+B+D) • “和之积”又被称为“或-与表达式”。
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最大项表达式:
• 一个具有n个变量的函数的“和”项如果 包含全部n个变量,每个变量都以原变量 或反变量形式出现,且仅出现一次,则 这个“和”项被称为最大项。例如: A+B+C、A+B+C、A+B+C等等。
• 如果一个函数完全由最大项组成,则称 该函数为标准“和之积”表达式,即最 大项表达式。
任何一个逻辑函数都可以表示成若干个最大 项的“积”的形式。
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• 推论:n个变量的2n个最大项不是包含在F 的标准“和之积”之中,便是被包含在F的 标准“和之积”之中。
• 推论: n个变量的2n个最大项之积恒等于0。
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问题:最小项和最大项有什么关系?
• 下标相同的最小项和最大项之间存在互补关 系。即: Mi=mi mi=Mi
= (A+D)(B+D)(A+C)(B+C)(A+D)(B+D)
= (A+D)(B+D)(A+C)(B+C)
即得“或与”表达式,同理可得“与或”
表达式
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2.3.4 逻辑函数表达式的转换:
• 逻辑表达式的形式很多,通常都转换成标 准形式(最小项或最大项): 1. 转换成最小项----利用逻辑代数的公理、 定理和规则对表达式进行逻辑变换。过程 如下: ①将表达式转换成一般“与—或表达式”。 ②将表达式中非最小项的“与”项都扩展 成最小项。
2
举例
DC
DC
3
2)逻辑“或”运算
对于逻辑问题,如果决定某一事件发生 的多个条件中,只要有一个或一个以上条件 成立,事件便可发生,则这种因果关系称之 为“或”逻辑。逻辑代数中,“或”逻辑关 系用“或”运算描述。
“或”运算又称为逻辑加,其符号为 “+”、“∨”、“OR”。 逻辑表达式:F=A+B=A∨B= 1 (A、B中任一为1)
成的式子。前面已经通过逻辑表达式讨论了 公理、定理和规则。 注意:非运算可以不加括号、与运算符通常 省略、运算优先级由高到低为非、与、或
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逻辑函数表达式的基本形式
1. “积之和”
• 是指一个函数表达式中包含着若干个“积”项, 每个“积”项中可有一个或多个以原变量或反变 量形式出现的字母,所有这些“积”项的“和” 就表示了一个函数。例如:B、AB、ABC均为 “积”项,而它们的“积”之“和”就构成了一 个函数:
公理3(分配律)

=A+0
公理5

=A
公理4
• 证明:A·A=A·A+0
公理4

=A·A+A·A
公理5

=A(A+A)
公理3

=A
公理4
9
定理3: A+A•B=A (吸收律)
证明:A+A•B=A•1+A•B 公理4(0-1律)
=A•(1+B) 公理3 (分配律)
=A•1
公理4
=A
公理4
A•(A+B)=A
• 推论: n个变量的2n个最小项之和恒等于1。
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2. “和之积”
• 指一个函数表达式中包含着若干个“和” 项,每个“和”项中可有一个或多个以原 变量或反变量形式出现的字母,所有这些 “和”项的“积”就表示了一个函数。例 如:(A+B)、(B+C)、(A+B+D)均为“和” 项,而它们的“和”之“积”就构成了一 个函数:
证明:A•(A+B)=A•A+A•B 公理3 =A+A•B =A
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定理4: A+A•B=A+B
证明:A+A•B=(A+A)•(A+B) (分配律)
=1•(A+B)
(互补律)
=A+B
(0-1律)
A•(A+B)=A•B 证明 : A•(A+B)=A•A+A•B
=0+A•B =A•B
(分配律) (互补律) (0-1律)
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