数列例题(含答案)

1．设等差数列{ａｎ｝的前ｎ项和为Sｎ,且S4=4S2,a2n=2a n+１．

（1)求数列{a n}的通项公式;

（2）设数列{ｂn｝的前n项和为T n且（λ为常数)．令c n＝b2n(n∈Ｎ＊)求数列

{cｎ｝的前n项和Ｒn．

【解答】解：(１）设等差数列｛a n}的首项为a１，公差为ｄ,由ａ２ｎ＝２a n+１,取n=1,得ａ2=2a1+１，即a１﹣d＋1=0①

再由S4=4S2,得，即d=2ａ１②

联立①、②得ａ1=1,d＝2.

所以a n=a１+(n﹣1)d=1+2（n﹣1)=２n﹣1；

(2）把ａn=2ｎ﹣1代入,得，则.

所以b1=Ｔ１=λ﹣1,

当n≥2时，=．

所以,.

R n=c1+c2+…+cｎ＝③

④

③﹣④得:＝

所以;

所以数列{cｎ｝的前n项和.

2．等差数列{ａn}中,a２=4，a4+a7=15.

(Ⅰ）求数列｛a n}的通项公式；

(Ⅱ）设b n=2＋ｎ,求ｂ1+ｂ2+b3+…＋b1０的值.

【解答】解:(Ⅰ)设公差为ｄ,则,

解得,

所以aｎ=3＋(n﹣1)=n＋２；

(Ⅱ)ｂn=2+n=2n＋ｎ，

所以b１+ｂ2＋b3+…+b10＝（２+1)+(22＋2）＋…+(21０+10)

＝（2+22+…+２１0）＋（1＋2+…＋１０）

=+＝２101．

3.已知数列｛ｌｏg2（a n﹣１)｝（n∈Ｎ*)为等差数列,且ａ1=3,ａ3=９．

（Ⅰ)求数列｛ａn}的通项公式；

（Ⅱ）证明+＋…+<1．

【解答】（I)解：设等差数列｛ｌog２(ａｎ﹣１)}的公差为d．

由a1＝3,a3=９得2（ｌog2２+d）＝ｌｏｇ22+log２8，即d=1.

所以lｏg2(ａｎ﹣1)=1＋(n﹣１)×1=n,即a n=2ｎ+１.

（II)证明:因为=＝,

所以++…+=+++…＋＝=１﹣＜1，即得证.

4.已知{a n｝是正数组成的数列，ａ1=1,且点(,ａｎ＋1）(n∈N＊)在函数y=x２＋1的图象上．

（Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;

（Ⅱ)若列数｛bｎ}满足b1=1,bｎ＋1=b n+2aｎ,求证:b n•b n＋2

【解答】解：解法一：

（Ⅰ)由已知得a n＋1=a n+１、即aｎ+1﹣ａn=１，又a1=1,

所以数列｛a n}是以1为首项，公差为１的等差数列.

故ａn=１+(n﹣1）×1=n.

（Ⅱ）由(Ⅰ)知：ａn=ｎ从而ｂn+1﹣b n=2n．

b n=(b n﹣b n﹣１）＋(b n﹣１﹣b n﹣2)+…+(ｂ2﹣b1）+b１

=2n﹣1+2n﹣2+…+2+1

=

∵bｎ•ｂn+2﹣bｎ+12=（2n﹣1)(2n＋2﹣1)﹣(2n+1﹣1)2

＝(22n+2﹣2n﹣2n＋2＋1）﹣(22n+２﹣２•２n＋1+1)

=﹣2n<０

∴bｎ•b n+2＜b n+1２

解法二:

（Ⅰ）同解法一．

(Ⅱ）∵b２＝1

b n•b n+2﹣bｎ+1２=（bｎ＋1﹣2n)（b n+1+2n+1）﹣bｎ＋１2=2ｎ+1•ｂn+１﹣2n•bn+1﹣2ｎ•2ｎ+1

=2n(b n+1﹣2n＋1)

=2n(ｂｎ+2ｎ﹣2n+1)

=2n(ｂn﹣2n）

=…

=2ｎ(ｂ1﹣2）

=﹣2n<０

∴b n•b n+2

５.已知等差数列{a n}满足a1+a2=1０,a4﹣ａ3=２

（1）求{a n}的通项公式;

(2)设等比数列{bｎ}满足ｂ2＝a3,b3=ａ7,问:b6与数列{a n}的第几项相等?

【解答】解:(I)设等差数列{a n}的公差为d.

∵a4﹣a３=２，所以d=2

∵a1+ａ2=10,所以2a1+d＝10

∴a1=4,

∴aｎ=4+2(ｎ﹣１)=2n＋2(ｎ=1,2，…）

(II）设等比数列｛b n}的公比为q，

∵ｂ２＝a3=8,ｂ3＝a7＝16，

∴

∴q＝２,b1=4

∴=128,而１28＝２n＋2

∴n=63

∴b６与数列{a n}中的第６3项相等

6.设等差数列{ａn｝的前n项和为S n，且a5＋a13=34,Ｓ3=9．

（1）求数列{a n}的通项公式及前n项和公式；

(２）设数列｛b n｝的通项公式为,问:是否存在正整数t,使得b1,ｂ2,ｂm（m≥3,m∈N）成等差数列？若存在，求出t和m的值;若不存在,请说明理由．

【解答】解:（1）设等差数列{a n}的公差为d．由已知得

即解得．

故ａn=２n﹣1,Ｓｎ=n2

(２）由(1）知.要使b1，b2,b m成等差数列,必须2b2=ｂ1+ｂm，

即,（８分）．

移项得：＝﹣=，

整理得，

因为ｍ，t为正整数，所以ｔ只能取2,３，5．

当t=２时，ｍ=７;当t＝３时,m=５；当ｔ=５时，m=4.

故存在正整数ｔ，使得b1,b２,bｍ成等差数列.

7．设{a n｝是等差数列,b n=（)aｎ.已知b1+b2+b3＝,ｂ１b2b3=．求等差数列的通项ａn. 【解答】解：设等差数列{a n｝的公差为ｄ,则a n＝a1＋（n﹣1)d.

∴

b１ｂ３＝•＝=ｂ22．

由b1b２b3=,得b23=,

解得ｂ２=.

代入已知条件

整理得

解这个方程组得b1=2，b3=或ｂ１=,b3＝2

∴a1=﹣1,d=２或a1=３,d=﹣2．

所以,当a1=﹣1,d=2时

ａn＝ａ1+（n﹣1)d=2n﹣3.

当a1=３,d＝﹣2时

a n=a1＋(n﹣1）d=5﹣2ｎ．