二次函数最值计算
二次函数求最值的方法
二次函数求最值的方法一提及函数就会让很多人望而生畏，不过也有很多人热衷于探索函数的本质。
函数的概念并不难，尤其是曲线函数。
在曲线函数中，二次函数是一种重要和实际的分析方法。
这篇文章将为你普及，如何利用二次函数来求取最大值和最小值。
首先，我们必须明白函数解析式。
在数学中，函数被定义为：给定一组输入值，每个输入值都有一个对应的输出值，而这种输入和输出定义关系就称为函数。
我们有一个函数 f (x)，其中每个值 x应一个值 f (x)。
函数 f (x)阶，决定了函数的特征，其中，二次函数的解析式为：f(x)=ax2+bx+c 。
参数 a、b c为实数，并且 a≠0 。
通常情况下，求函数 f (x)最大值和最小值，只需要分析函数的解析式，就可以计算出最大值与最小值的值。
接下来，我们就来分析一下求二次函数最值的方法：二次函数最大值及最小值解法：（1）首先，求二次函数的极值点，即满足：f′(x)=0则 x= -b/2a（2）其次，求出在 x= -b/2a的函数值，即：f (-b/2a)= (a(-b/2a)2+b(-b/2a)+c）=-b2/4a+c（3）最后，比较 -b2/4a+c f (x)其它 x 上的值，若 -b2/4a+c 于其它 x 上函数值，则 x = -b/2a，函数 f (x)值-b2/4a+c 为最大值；若 -b2/4a+c于其它 x 上函数值，则其它 x 上函数值取最大值。
以上就是求解二次函数最值的方法，总结起来，我们需要做以下几件事：（1）求函数 f′(x)=0解；（2）求函数 f (-b/2a)值；（3）求最大值或最小值时，取最大或最小值。
在实际应用中，我们可以利用上述步骤求解一个二次函数的最值，该方法简单实用，也可以用来解决复杂函数的求解。
从上面可以看出，求解和研究函数可以帮助我们更好地理解数学，进而可以更好地运用它们去求解实际应用的问题。
二次函数求最值的方法正是这种应用的一种实例，不仅可以让我们更好地理解曲线函数，也可以让我们更好地应用它们来求解实际的问题。
解题秘诀二次函数最值的4种解法
解题秘诀二次函数最值的4种解法二次函数是高中数学中的一个重要知识点，掌握了解题的秘诀和方法，就可以更好地解决与二次函数相关的各种问题。
本文将介绍四种解法来求解二次函数的最值问题。
一、二次函数的最值根据导数解法要求解二次函数的最值，可以通过求导数的方法来解决。
具体步骤如下：1. 将二次函数表示为一般式：f(x) = ax^2 + bx + c。
2. 对函数进行求导，得到导函数：f'(x) = 2ax + b。
3.导函数表示了二次函数的斜率，要求函数的最值，就是要求导函数为零点时的x值。
4. 解方程2ax + b = 0，求得x = -b / 2a。
5.将求得的x值代入二次函数，计算得到对应的y值。
6.x和y的值就是二次函数的最值。
二、二次函数的最值根据顶点法解法顶点法也是求解二次函数的最值的一种方法，具体步骤如下：1. 将二次函数表示为一般式：f(x) = ax^2 + bx + c。
2.求出二次函数的顶点坐标，顶点的x值为-x/2a。
3.将求得的x值代入二次函数，计算得到对应的y值。
4.x和y的值就是二次函数的最值。
三、二次函数的最值根据平移法解法平移法是一种通过平移变换求解二次函数最值的方法，具体步骤如下：1. 将二次函数表示为一般式：f(x) = ax^2 + bx + c。
2.将二次函数表示为顶点形式：f(x)=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为顶点坐标。
3.根据函数的几何性质，二次函数的最值就是顶点的纵坐标k。
四、二次函数的最值根据因式分解解法因式分解是一种求解二次函数最值的常用方法，具体步骤如下：1. 将二次函数表示为一般式：f(x) = ax^2 + bx + c。
2.将二次函数进行因式分解：f(x)=a(x-x1)(x-x2)，其中x1和x2为二次函数的两个零点。
3.根据函数的几何性质，二次函数的最值为x轴与二次函数的拐点处的纵坐标。
通过以上四种解法，我们可以灵活地解决二次函数的最值问题。
二次函数的最值问题
二次函数的最值问题一、引言在高中数学中，二次函数是一个很重要的概念，其中最值问题是一个很经典的问题。
二次函数的最值问题不仅在学习中产生了广泛应用，而且在日常生活中也与我们息息相关，如电商网站的销售、生产线的成本以及世界记录的突破等等。
在本文中我们将会深入探讨二次函数的最值问题，其解法及常见误区。
二、二次函数的最值问题二次函数的一般式为： $$y=ax^2+bx+c$$ 其中$a\ne0$。
其中$a$控制着二次函数的开口方向和大小，$b$控制了二次函数的对称轴位置和方向，$c$则控制了二次函数的纵坐标的位置。
在本文中，$a>0$表示二次函数开口向上，$a<0$则表示二次函数开口向下。
当我们研究二次函数的最值问题时，往往需要注意以下几点： 1、二次函数曲线的开口方向 2、二次函数曲线的平移变换 3、二次函数曲线的上下平移变换 4、二次函数曲线在坐标系内的位置三、解题思路1、求最值的位置在求二次函数最值前，我们需要知道函数的最值位置。
由于二次函数的对称轴是关于它的顶点，所以我们可以先求出对称轴的位置，然后求出它的最值。
对称轴的位置可以通过以下方式求得： $$x=-\frac b{2a}$$一旦对称轴的位置确定，可以通过以下两点来确定最值：当$a>0$时，二次函数最小值为对称轴上的函数值。
当$a<0$时，二次函数最大值为对称轴上的函数值，且此值为绝对值的最小值。
2、解决最值问题首先按照一般式将二次函数表示出来，并将其关于$x$进行配方： $$y=a(x+\frac b{2a})^2+c-\frac{b^2}{4a}$$如果$a>0$，则二次函数最小值为对称轴的函数值，即： $$y_{min}=c-\frac{b^2}{4a}$$如果$a<0$，则二次函数最大值为对称轴的函数值的负值，即： $$y_{max}=-y_{min}=-(c-\frac{b^2}{4a})$$3、约束条件在实际问题中，我们往往需要根据约束条件来解决二次函数的最值问题。
二次函数最值
二次函数最值内容讲解： 二次函数的最值问题，包括三方面的内容： 自变量的取值范围为任意实数时二次函数最值的求法．二次函数y=ax 2+bx+c=a （x+2b a ）2+244ac b a -．当a>0时，抛物线开口向上，此时当x<-2b a 时，y 随x 增大而减小；当x>-2b a 时，y 随x•增大而增大；当x=-2b a时，y 取最小值244ac b a -．当a<0时，抛物线开口向下，此时当x<-2b a 时，y 随x 增大而增大；当x>-2b a 时，y 随x 增大而减小；当x=-2b a时，y 取最大值244ac b a-． 2．自变量的取值范围是某一确定范围时二次函数最值的求法，•要结合图象和增减性来综合考虑．（1）当抛物线的顶点在该范围内，顶点的纵坐标就是函数的最值； （2）当抛物线的顶点不在该范围内，二次函数的最值在范围内两端点处取得．3．实际问题中所建立的数学模型是二次函数时，所涉及的二次函数最值的求法，先建模后求解． 例题剖析例1 （2003年武汉选拔赛试题）若x-1=1223y z +-=，则x 2+y 2+z 2可取得的最小值为（ ）． （A ）3 （B ）5914（C ）92 （D ）6 分析：设x-1=1223y z +-==t ，则x 2+y 2+z 2可用只含t 的代数式表示，通过配方求最小值． 解：x=t+1，y=2t-1，z=3t+2，原式=14t 2+10t+6=14（t+514）2+5914，所以最小值是5914． 评注：本题体现了如何消元使多元函数转变为一元函数这一思想，我们要用心体会．此外，设比值为k 法是解决等比问题最常用的方法．例2 （1995年全国初中数学联赛试题）设x 为正实数，则函数y=x 2-x+1x 的最小值是________．分析：先将原函数配方，再求最值。
解：y=x 2-x+1x =（x-1）2+（x+1x ）-1 =（x-1）2+）2+1 要求y 的最小值，最好有（x-1）2=0）2=0，这时得到x=1． 于是，当x=1时，y=x 2-x+1x 取最小值1．评注：函数y=x 2-x+1x 含有1x，不能直接用求二次函数的最值方法，求最值的最原始、•最有效的方法仍然是配方法．例3（2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题）函数y=2x2+4│x│-1的最小值是________．分析：对x分类进行讨论，去绝对值符号，转化为在约束条件下，•求二次函数最值问题．解：y=2（│x│+1）2-3=222(1)3,0,2(1)3,0.x xx x⎧+-≥⎪⎨--≤⎪⎩其图象如图，由图象可知，当x=0时，y最小为-1．答案：-1．评注：对于含有绝对值的函数，首先要化去绝对值，变成基本函数，再求极值．例4设0≤x≤3，求函数y=f（x）=│x2-23x-1│的最值．分析：首先画出y=f（x）的图象，然后将y=f（x）图象位于x轴上方的部分保持不变，而将位于x轴下方的图象作关于x轴的对称图形，即得y=│f（x）│的图象．•然后用数形结合方法求函数y=│f（x）│的最值．【解】：如图，先作抛物线y=x2-23x-1，然后将x轴下方的图象翻转上来，即得y=│x2-23x-1│的图象，对称轴是直线x=3，方程x2-23x-1=0的两根是3±2．由此可知，0与3•位于图象与x轴两交点之间，且位于对称轴两侧，故最大值为：f（3）=|（3）-23·3-1|=4，而最小值为f（0），f（3）中较小者∵f（0）=1，f（3）=63-8>1，∴最小值为1．评注：画绝对值函数图象，首先脱去绝对值符号（方法同绝对值的化简），•转化为基本函数，再在自变量取值范围内画出符合条件的图象．例5 设x1、x2是方程2x2-4mx+2m2+3m-2=0的两个实根，当m为何值，x12+x22有最小值，并求这个最小值．分析：由韦达定理知x12+x22是关于m的二次函数，是否是在抛物线的顶点处取得最小值，就要看自变量m的取值范围，从判别式入手．解：由△=（-4m）2-4×2×（2m2+3m-2）≥0得m≤23，x1+x2=2m，x1x2=22323m m+-，x12+x22=2（m-34）2+78=2（34-m）2+78，•∵m≤23，∴34-m≥34-23>0，从而当m=23时，x+x取得最小值，且最小值为2×（34-23）2+78=89．评注：定义在某一范围的条件限制的二次函数最值问题，有下两种情形：（1）当抛物线的顶点在该范围内，顶点的纵坐标就是函数的最值；（2）当抛物线的顶点不在该范围内，二次函数的最值在范围内两端点处取得．例6 求函数y=（4-x）+229x+的最值．分析：此函数是较复杂的复合函数，可通过引入参数来求取函数最值．解：设u=229x+-x，则u>0，且y=4+u．于是（u+x）2=4（x2+9），即3x2-2u·x+36-u2=0．∵x∈R，∴上式的判别式△=（2u）2-4×3×（36-u2）≥0，即u2≥27，故u≥33．∴y=4-x+229x+的最小值为4+33（当x=3时取到）．评注：通过换元，把原函数转变成关于x的一元二次方程，考虑到一元二次方程有解，由△≥0即可求得u的范围，从而求得y的最值．这是一种常用的方法，应掌握．例7 （2002年太原市竞赛题）已知二次函数y=x2-x-2及实数a>-2，求（1）函数在-2<x≤a的最小值；（2）函数在a≤x≤a+2的最小值．分析：本题由于字母a的不确定性，因此需要分类讨论，并通过数形结合的方法来解．解：函数y=x2-x-2的图象如图．（1）当-2<a<12时，y min=y│x=a=a2-a-2；当a≥12时，y min=12|xy==-94．（2）当-2<a且a+2<12，即-2<a<-32时，y min=y│x=a+2=（a+2）2-（a+2）-2=a2+3a；当a<12≤a+2，即-32≤a<12时，y min=12|xy==-94．评注：将a相对于抛物线对称轴的位置进行分类讨论是解题关键，•而数形结合的方法可以直观地帮助求解．例8 （2004年全国初中数学联赛试题江西赛区加试题）函数y=x2-2（2k-1）x+3k2-2k+6的最小值为m，则当m达到最大时x=_______．分析：可通过配方法将原函数配成a（x+n）2+m的形式，再根据m的形式确定m的最大值．解：y=（x-2k+1）2-k2+2k+5，当x=2k-1时，y最小值是m=-k2+2k+5=-（k-1）2+6，所以当k=1时，m达到最大值．此时x=2k-1=1．评注：配方法是求取二次函数最值问题中最常用的基本方法，对于二次函数的最小值的最大值问题，可通过反复配方来确定．例9（2004年“TRULY@信利杯”全国初中数学竞赛试题）实数x、y、z满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则z 的最大值是_______．分析：由条件可构造以x 、y 为根的一元二次方程，再根据其有实数根求出的范围． 解：∵x+y=5-z ，xy=3-z （x+y ）=3-z （5-z ）=z 2-5z+3． ∴x 、y 是关于t 的一元二次方程t 2-（5-z ）t+z 2-5z+3=0的两实根． ∵△=（5-z ）2-4（z 2-5z+3）≥0，即 3z 2-10z-13≤0，（3z-13）（z+1）≤0． ∴z ≤133，当x=y=13时，z=133． 故z 的最大值为133． 评注：•利用一元二次方程根的判别式的值“非负”或“为负”来求解函数最值的方法称为判别式法． 例10 （2003年“TRULY@信利杯”全国初中数学竞赛试题）已知二次函数y=ax 2+bx+c （其中a 是正整数）的图象经过点A （-1，4）与点B （2，1），并且与x•轴有两个不同的交点，则b+c 的最大值为________． 分析：应用二次函数y=ax 2+bx+c 过已知两点可确定a 、b 、c 之间关系，并利用根的判别式求出b+c 最值．解：由于二次函数的图象过点A （-1，4），点B （2，1），所以4,1,421,32.a b c b a a b c c a -+==--⎧⎧⎨⎨++==-⎩⎩解得 因为二次函数图象与x 轴有两个不同的交点，所以△=b 2-4ac>0，（-a-1）2-4a （3-2a ）>0，即（9a-1）（a-1）>0，由于a 是正整数，故a>1， 所以a ≥2，又因为b+c=-3a+2≤-4，且当a=2，b=-3，c=-1时，满足题意，故b+c•的最大值为-4． 评注：借助二次函数图象与x 轴的交点是所对应二次方程的根，•通过根的判别式可确定相关字母（或式）的取值范围，进而可确定其最值是解决这类问题常用方法．例11 （2004年“TRULY@信利杯”全国初中数学竞赛试题）已知a<0，b ≤0，c>0，•24b ac -，求b-4ac 的最小值．分析：由b 2-4ac 容易想到一元二次方程ax 2+bx+c=0根的判别式，且b 2-4ac>0，故可构造抛物线y=ax 2+bx+c 来解．解：令y=ax 2+bx+c ，由a<0，b ≤0，c>0，判别式△=b 2-4ac>0，•所以这个二次函数的图象是一条开口向下的抛物线，且与x 轴有两个不同的交点A （x 1，0），B （x 2，0），因为x 1x 2=c a<0，不妨设x 1<x 2，则x 1<0<x 2，对称轴x=-2b a≤0，于是│x 1│24b b ac -+-24b b ac --=c ， 所以244ac b a -≥24b b ac ---242b ac a-， 故b 2-4ac ≤4，当a=-1，b=0，c=1时，等号成立．所以b 2-4ac 的最小值为4。
二次函数求最值的三种方法
二次函数求最值的三种方法一、引言在学习高中数学时，我们会学到二次函数，并学习如何求出这个函数的最值。
这是一个非常重要的问题，因为在实际生活中，很多问题都可以用二次函数来描述，例如：投射物的运动轨迹、拱桥的设计等。
为了更好地理解和掌握这一知识点，本文将分析三种常见的方法来解决二次函数求最值的问题。
这些方法包括：1.利用二次函数的顶点公式求最值2.利用二次函数的导数公式求最值3.利用求根公式解二次方程求最值在下文中，我们将详细展开上述三种方法的整体流程并进行详细描述。
二、利用二次函数的顶点公式求最值二次函数的标准形式为：y=ax²+bx+c，其中a、b、c分别代表二次项系数、一次项系数和常数项。
我们可以通过求出顶点来确定二次函数的最值。
我们知道，对于标准二次函数，其顶点坐标为(-b/2a，f(-b/2a))。
使用这一公式，我们可以简单地找到二次函数的最值。
接下来，我们将细致地介绍如何使用顶点公式求二次函数的最值。
1. 将二次函数转换为标准形式。
我们有一个二次函数y=2x²+4x-5，我们可以将其转换为y=2(x²+2x)-5。
2. 现在，我们可以通过分离平方项来找到二次项x²的系数a和一次项x的系数b。
在本例中，二次项系数a为2，一次项系数b为4。
3. 接下来，我们可以使用顶点公式来计算出顶点的坐标。
根据公式，顶点的横坐标为-b/2a，若b为正数，顶点为函数的最小值，反之为最大值。
在本例中，由于一次项系数为正数，因此我们将使用公式-b/2a来计算横坐标。
(a) 横坐标=-b/2a=(-4)/(2*2)=-1(b) 将横坐标代入原函数中，可得纵坐标f(-1)=2*(-1)²+4*(-1)-5=-7(c) 顶点坐标为(-1,-7)。
4. 因其二次项系数为正数，所以这是一个开口向上的抛物线，并且其最小值为-7，在顶点的位置。
答案为f(x)=-7。
三、利用二次函数的导数公式求最值另一种方法是使用二次函数的导数公式来确定最值。
二次函数最值公式
二次函数最值公式二次函数最大值和最小值的公式可以用以下两种方法进行推导：1. 完成平方形式二次函数可以写成以下形式：f(x) = ax^2 + bx + c我们要求它的最大值（或最小值），可以将它化为完全平方形式：f(x) = a(x - h)^2 + k其中，h和k是待求的顶点坐标，具体求解方法如下：首先，将x的系数a提取出来：f(x) = a(x^2 + (b/a)x) + c然后，将括号内的两项平方相加减去平方项的一半，再加上这个差的平方，就得到完全平方：f(x) = a(x^2 + (b/a)x + (b/2a)^2 - (b/2a)^2) + cf(x) = a(x + b/2a)^2 - ab^2/4a^2 + cf(x) = a(x + b/2a)^2 + (4ac - b^2)/4a其中，顶点坐标为（-b/2a, (4ac - b^2)/4a），最大值为k = (4ac -b^2)/4a （当a > 0时），最小值为k = (4ac - b^2)/4a （当a < 0时）。
2. 利用导数另一种方法是利用导数求解。
因为最大值和最小值都在函数的极值点处取得，所以我们可以通过求函数的导数来找到它的极值点。
首先，求出f'(x)：f'(x) = 2ax + b然后，令f'(x) = 0，解出x的值：2ax + b = 0x = -b/2a这个x就是函数的极值点，同时也是顶点的横坐标。
将x代入原函数，就得到顶点的纵坐标：k = f(-b/2a) = a(-b/2a)^2 + b(-b/2a) + ck = (4ac - b^2)/4a按照前面的规律，当a > 0时，最大值为k，当a < 0时，最小值为k。
总结以上就是二次函数最大值和最小值的两种求解方法。
其中，通过平方完成形式的方法比较简单，但有时比较费时间。
而利用导数的方法更直观，但需要学习导数知识。
怎么求二次函数最大值和最小值
二次函数通常是指带有一元二次项的代数式，其一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a 不等于0。
该函数的图像是一条开口朝上或朝下的抛物线。
下面是求二次函数最大值和最小值的方法：
当二次函数的系数a大于0时，函数的图像开口朝上，最小值在顶点处取得。
顶点的横坐标为-b/2a，纵坐标为f(-b/2a)。
因此，可以通过求解函数的一阶导数（也就是斜率函数）等于0的点，即解出二次函数的顶点，从而得到最小值。
当二次函数的系数a小于0时，函数的图像开口朝下，最大值在顶点处取得。
同样地，可以通过求解函数的一阶导数等于0的点，即解出二次函数的顶点，从而得到最大值。
需要注意的是，二次函数的最大值和最小值只有在函数的定义域范围内才有意义。
因此，在应用上述方法求解最大值和最小值时，需要先确定函数的定义域。
二次函数求最值专题总结
二次函数求最值专题总结二次函数求最值是数学中的一个重要内容，涉及到了二次函数的解析式以及二次函数图像的性质。
本文将就二次函数求最值的方法和技巧进行总结，并提供相关实例加深理解。
一、二次函数求最值的基本思路二次函数的解析式为f(x)=ax^2+bx+c。
在求最大值或最小值时，可以先通过求导数的方法找到函数的驻点（即导数等于0的点），然后通过驻点的求解和函数图像的性质来确定最值的位置。
二、二次函数求最值的步骤1.求导数：将二次函数f(x)=ax^2+bx+c对x求导，得到f'(x)=2ax+b。
2.求解驻点：令f'(x)=0，即求解方程2ax+b=0，解得x= -b/(2a)。
3.确定最值位置：根据二次函数的图像性质，当a>0时，x=-b /(2a)为二次函数的最小值点；当a<0时，x=-b/(2a)为二次函数的最大值点。
4.求最值：将得到的x值代入原函数f(x)中，即可得到最值。
三、实例分析以二次函数f(x)=x^2+2x+1为例，来演示二次函数求最值的过程。
1.求导数：f'(x)=2x+2。
2.求解驻点：令2x+2=0，解得x=-1。
3.确定最值位置：由于a=1>0，所以x=-1为二次函数的最小值点。
4.求最值：将x=-1代入原函数f(x)中，得到f(-1)=(-1)^2 +2*(-1)+1=0。
经过计算可知，二次函数f(x)=x^2+2x+1的最值为0，即当x=-1时，函数取得最小值。
通过本文的分析和实例演示，我们了解了二次函数求最值的基本思路和步骤。
其中关键的一步是求解驻点，需要通过导数的方法进行求导和方程的解，进而确定最值的位置。
在实际应用中，掌握二次函数求最值的方法可以帮助我们更好地理解和解决问题。
希望本文的总结能够对二次函数求最值的学习有所帮助，同时也希望读者能通过更多的实例练习和思考，进一步提升对二次函数求最值的理解和运用能力。
二次函数中最大值怎么算
二次函数中最大值的计算方法
二次函数是一种常见的二次多项式函数，其一般形式为f(x)=ax2+bx+c，其中a、b和c是实数且a eq0。
在二次函数中，最大值是指函数在定义域内取得的最大函数值。
如果要确定二次函数的最大值，可以通过以下步骤来计算。
1. 求导数
首先，计算二次函数f(x)的导数f′(x)。
导数可以通过对函数f(x)求出的一个新的函数，它表示了函数在某一点的斜率。
对于二次函数f(x)=ax2+bx+c，它的导数为f′(x)=2ax+b。
2. 求导数为零的点
接下来，通过求导数f′(x)等于零的点，找到可能的最大值点。
解方程f′(x)= 0可以得到最大值点横坐标 $x = -\\frac{b}{2a}$。
3. 确定最大值
将最大值点横坐标 $x = -\\frac{b}{2a}$ 代入原函数f(x)中，即可求得最大值纵坐标。
最大值纵坐标为 $f(-\\frac{b}{2a}) = a\\left(-\\frac{b}{2a}\\right)^2 +
b\\left(-\\frac{b}{2a}\\right) + c$。
4. 总结
综上所述，要计算二次函数的最大值，首先求导数，然后找到导数为零的点，最后确定最大值。
通过这个过程可以准确地找到二次函数的最大值点及最大值。
算出最大值有利于分析函数的性质，方便在实际问题中应用。
通过以上步骤，二次函数中最大值的计算方法就可以得到清晰的解答。
希望读者能够通过本文了解到二次函数最大值的计算过程，进一步提高对二次函数的理解和应用能力。
二次函数最值的4种解法
1.（2019▪湖北黄石▪10 分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c 经过点A（﹣1，0）、B（5，0）．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点M 的坐标；（2）若点C 在抛物线上，且点C 的横坐标为8，求四边形AMBC 的面积；（3）定点D（0，m）在y 轴上，若将抛物线的图象向左平移2 个单位，再向上平移3 个单位得到一条新的抛物线，点P 在新的抛物线上运动，求定点D 与动点P 之间距离的最小值d（用含m 的代数式表示）（x﹣5），即可求解；【分析】（1）函数的表达式为：y＝（x+1）（2）S 四边形A MBC＝AB（y C﹣y D），即可求解；（3）抛物线的表达式为：y＝x2，即可求解．【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝（x+1）（x﹣5）＝（x2﹣4x﹣5）＝x2﹣x ﹣，点M坐标为（2，﹣3）；，S四边（2）当x＝8 时，y＝（x+1）（x﹣5）＝9，即点C（8，9）＝AB（y C﹣y D）＝×6×（9+3）＝36；形A MBC（3）y＝（x+1）（x﹣5）＝（x2﹣4x﹣5）＝（x﹣2）2﹣3，抛物线的图象向左平移 2 个单位，再向上平移3 个单位得到一条新的抛物线，则新抛物线表达式为：y＝x2，则定点D与动点P之间距离P D＝＝，∵，PD 有最小值，当x2＝3m﹣时，PD 最小值d＝＝．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到图形平移、面积的计算等知识点，难度不大．2.（2019▪贵州毕节12 分）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种士特产每袋成本10 元．试销阶段每袋的销售价x（元）与该士特产的日销售量y（袋）之间的关系如表：若日销售量y 是销售价x 的一次函数，试求：（1）日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式；（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？（1）根据表格中的数据，利用待定系数法，求出日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数【分析】关系式即可（2）利用每件利润×总销量＝总利润，进而求出二次函数最值即可．【解答】解：（1）依题意，根据表格的数据，设日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为y ＝kx+b 得，解得故日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为：y＝﹣x+40（2）依题意，设利润为w 元，得w＝（x（﹣x+40）＝﹣x2+50x+400整理得w﹣10）＝﹣（x﹣25）2+225∵﹣1＜0∴当x＝2 时，w 取得最大值，最大值为225故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25 元，每日销售的最大利润是225 元．【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，根据每天的利润＝一件的利润× 销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．3 （2019•山东省滨州市•14分）如图①，抛物线y＝﹣x2+ x+4 与y 轴交于点A，与x轴交于点B，C，将直线AB 绕点 A 逆时针旋转90°，所得直线与x 轴交于点D．（1）求直线AD 的函数解析式；（2）如图②，若点P 是直线AD 上方抛物线上的一个动点①当点P 到直线AD 的距离最大时，求点P 的坐标和最大距离；②当点P到直线A D 的距离为时，求s in∠P AD 的值．【考点】二次函数（1）根据抛物线y＝﹣x2+ x+4 与y轴交于点A，与x轴交于点B，C，可以【分析】求得点A.B.C 的坐标，再根据将直线AB 绕点A 逆时针旋转90°，所得直线与x 轴交于点D，可以求得点D 的坐标．从而可以求得直线AD 的函数解析式；（2）①根据题意，作出合适的辅助线，然后根据二次函数的性质即可求得点P 到直线AD 的距离最大值，进而可以得到点P 的坐标；②根据①中关系式和题意，可以求得点P 对应的坐标，从而可以求得sin∠P AD 的值．，【解答】解：（1）当x＝0 时，y＝4，则点A的坐标为（0，4）当y＝0 时，0＝﹣x2+x+4，解得，x1＝﹣4，x2＝8，则点B的坐标为（﹣4，0），点C的坐标为（8，0），∴OA＝OB＝4，∴∠OBA＝∠OAB＝45°，∵将直线AB 绕点A 逆时针旋转90°得到直线AD，∴∠BAD＝90°，∴OAD＝45°，∴∠ODA＝45°，∴OA＝OD，∴点D的坐标为（4，0），设直线AD 的函数解析式为y＝kx+b，，得，即直线AD 的函数解析式为y＝﹣x+4；（2）作PN⊥x 轴交直线AD 于点N，如右图①所示，设点P的坐标为（t，﹣t2+t+4），则点N的坐标为（t，﹣t+4），∴PN＝（﹣t2+ t+4）﹣（﹣t+4）＝﹣t2+ t，∴PN⊥x 轴，∴PN∥y 轴，∴∠OAD＝∠PNH＝45°，作PH⊥AD 于点H，则∠PHN＝90°，∴PH＝＝（﹣t2+ t）＝t＝﹣（t﹣6）2+ ，∴当t＝6 时，PH 取得最大值，此时点P的坐标为（6，），，最大距离是；即当点P到直线A D 的距离最大时，点P的坐标是（6，）②当点P 到直线AD 的距离为时，如右图②所示，则t＝，解得，t1＝2，t2＝10，则P1 的坐标为（2，），P2 的坐标为（10，﹣），当P1 的坐标为（2，），则P1A＝＝，∴sin∠P1AD＝＝；当P2 的坐标为（10，﹣），则P2A＝＝，∴sin∠P2AD＝＝；由上可得，sin∠P AD 的值是或．【点评】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．4.(2019，四川成都，12 分）如图，抛物线y＝a x2 +bx +c经过点A（-2，5），与x 轴相交于B（-1，0），C（3，0）两点，（1）抛物线的函数表达式；（2）点D 在抛物线的对称轴上，且位于x 轴的上方，将△ BCD 沿沿直线BD 翻折得到△ B C'D，若点C'恰好落在抛物线的对称轴上，求点C'和点D 的坐标；（3）设P 是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q 在抛物线的对称轴上，当△ CPQ 为等边三角形时，求直线BP 的函数表达式。
二次函数最值公式
二次函数最值公式
1 二次函数
二次函数常见形式为：y=ax²+bx+c(a≠0)，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
二次函数主要用来分析平面上物体的位置把握、研究加速度的变化等问题。
2 二次函数的最值问题
二次函数有最大值和最小值两种，而求出最大值和最小值的核心就是求函数的极值点，即求二次函数最值公式。
2.1 求出最值公式
当ax²+bx+c(a≠0)为二次函数时，最值公式如下：
极大值：x=-b/2a
极小值：x=-b/2a
此外，在求函数的极值点时，还可以根据a的正负号分析出极小值和极大值的存在性：
a>0时，极小值存在，极大值不存在；
a<0时，极小值不存在，极大值存在。
2.2 二次函数最值的应用
（1）在物理学中可以用来模拟波形，比如用来模拟圆周运动中小
球轨迹。
（2）二次函数也可以用来解释高考全国统一考试，因为考点水平
取决于年度基础知识，越近出题越难，可用一元二次函数拟合。
（3）二次函数最值还适用于经济学中分析企业销售的价格、产量，以及用于分析物价曲线和供求关系。
二次函数的最值公式
二次函数的最值公式
二次函数最值是指一个函数在某个时刻处于最高或最低点，其一般表示形式为f(x) = ax² + bx + c。
最值可以用 D=b2-4ac 来计算。
如果D>0，二次函数有两个极值，即最大值fmax和最小值fmin，分别满足fmax = (2a)对极值点的平方 + b 加上 b的符号积 - c，以及 fmin = (2a)对极值点的平方 + b 减去 b的符号积 - c。
而极值点则是满足 (2a)Xp+b=0的即
xp=(-b)/2a。
这意味着，当 a>0 时，函数的最大值出现在比 a 的值小的区域，而最小值出现在比 a 的值大的区域；当 a<0 时，正好相反。
有时，此处有定义域限制，我们可以通过定义域来判断最值。
综上可见，由二次函数的最值公式可以求出一个函数在某个特定点的最大最小值。
其中，D值的正负性可以判断函数是否存在无极值区间。
当然，D等于0时，意味着函数只有一个极值，即函数在某一点处呈现“拐点”，有可能是关于这一点对称的函数。
总而言之，二次函数的最值公式描述了一个函数在某一点处最大最小值的情况，是函数解析的重要内容。
二次函数最值点公式
二次函数最值点公式二次函数最值点公式，这可是数学里一个相当重要的知识点。
咱先来说说啥是二次函数。
就好比你去卖水果，假设你每天卖出去的水果数量和价格之间存在一种关系，这种关系如果能用一个形如 y = ax² + bx + c （a ≠ 0）的式子来表示，那这就是个二次函数。
比如说，你卖苹果，价格定得太高，买的人少；价格定得太低，你赚得又少。
这里面就藏着二次函数的最值问题。
那二次函数的最值点公式是啥呢？就是当 x = -b / (2a) 时，y 能取到最值。
这个最值是最大值还是最小值，就得看 a 的正负。
要是 a 大于0 ，图像开口朝上，这时候 y 有最小值；要是 a 小于 0 ，图像开口朝下，y 就有最大值。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙一脸懵地问我：“老师，这有啥用啊？”我就给他举了个例子。
我说：“你看啊，假如咱们要围一个长方形的菜园子，一边靠着墙，给你的材料就那么长，要让这个菜园子的面积最大，怎么弄？这就得用到二次函数最值点公式啦！”我给他一步一步分析，设长方形的宽是 x ，长就是总材料长度减去 2x ，然后面积 S = x（总长度 - 2x），这就是个二次函数。
通过最值点公式就能算出 x 取多少的时候，面积最大。
这小家伙听完，眼睛一下子亮了，说：“哎呀，原来是这么回事！”在实际生活里，像这样的例子可多了去了。
比如说工厂生产东西，要考虑成本和利润的关系，怎么安排生产能让利润最大；还有建筑设计的时候，怎么设计能在给定的条件下让空间最大利用。
这些都离不开二次函数最值点公式。
咱们再回到学习上，掌握这个公式，做题的时候那可就得心应手了。
比如说给你一个二次函数 y = 2x² + 4x - 3 ，让你求最值，那你就先算出x = -b / (2a) = -4 / (2×2) = -1 ，然后把 x = -1 代入函数，就能求出最值 y = -5 。
而且啊，这个公式还能和其他的数学知识结合起来。
二次函数最大值的计算公式
二次函数最大值的计算公式二次函数是一种常见的数学函数形式，其一般表达式为f(x)=ax2+bx+c。
在二次函数中，最大值通常是我们关注的一个重要特性，因为它可以帮助我们找到函数的顶点，以及在何处函数取得最大值。
在这篇文档中，我们将讨论二次函数的最大值的计算公式，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
二次函数的最大值在二次函数f(x)=ax2+bx+c中，如果a>0，则函数开口向上，最大值位于顶点处；如果a<0，则函数开口向下，最大值为负无穷。
因此，我们主要关注a>0的情况。
二次函数的最大值出现在顶点处，顶点的横坐标为 $-\\frac{b}{2a}$，带入函数得到最大值的纵坐标。
因此，二次函数的最大值计算公式可以表达为：$$ \\text{最大值} = f\\left(-\\frac{b}{2a}\\right) = a\\left(-\\frac{b}{2a}\\right)^2 + b\\left(-\\frac{b}{2a}\\right) + c $$化简上式可得：$$ \\text{最大值} = \\frac{-b^2}{4a} + c $$举例说明让我们通过一个具体的例子来理解二次函数最大值的计算过程。
假设有二次函数f(x)=2x2+4x+1，我们首先确定a=2，b=4，c=1。
函数的顶点横坐标为 $-\\frac{b}{2a} = -\\frac{4}{2*2} = -1$。
带入函数得到纵坐标：$$ \\text{最大值} = 2*(-1)^2 + 4*(-1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1 $$因此，函数f(x)=2x2+4x+1的最大值为−1，对应顶点坐标为(−1,−1)。
结论通过本文，我们了解了二次函数最大值的计算公式，并通过一个具体例子进行了演示说明。
二次函数最大值的计算在数学建模和实际问题求解中具有重要作用，希望读者能够灵活运用该公式解决相关问题。
二次函数的最大值如何求
二次函数的最大值如何求
二次函数指的是形如 f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b、c 为常数且 a 不等于 0。
对于一个二次函数来说，如果要求其最大值，一种常见的方法是利用函数的顶点来确定最大值的位置。
寻找二次函数的最大值步骤
1.确定二次函数的导函数
寻找二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c 的导函数，即f’(x)。
导函数是原函数的斜率，通过导函数可以找到原函数的最大值或最小值。
2.求导函数的零点
将导函数f’(x) = 0，解方程找到导函数的零点。
这些零点就是可能的极值点，包括最大值和最小值。
3.判断最大值
利用导函数的二阶导数，即f’‘(x)，来判断极值点是最大值还是最小值。
如果f’’(x) < 0，则对应的极值点是最大值。
4.计算最大值
将最大值对应的 x 值代入原函数 f(x) 中，得到最大值的 y 值，即二次函数的最大值。
实例说明
以函数 f(x) = 2x^2 - 8x + 3 为例，按照上述步骤来求最大值。
1.导函数为f’(x) = 4x - 8。
2.令f’(x) = 0，解方程得到 x = 2。
3.计算f’’(x) = 4，大于 0，说明 x = 2 对应的点是最小值点。
4.代入原函数 f(x) 中，得到最大值 y = 7。
因此，对于函数 f(x) = 2x^2 - 8x + 3，在 x = 2 处取得最大值为 y = 7。
通过以上步骤，我们可以求解二次函数的最大值，这是在数学建模和优化问题中经常使用的方法。
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二次函数
1 二次函数：
1. 抛物线y=(x-h)²+1,当自变量1≤x ≤3,y 最小为5 求h
解：y=(x-h)²+1≥1，当1≤X ≤3时，Y 最小=5，对称轴一定不在1到3范围内(要不然最小值为1),即X=1时Y=5或X=3时Y=5，代入解析式：(1-h)²+1=5或(3-h)²+1=5,h=1±2或h=3±2，∴h=-1或h =5.
2. 已知关于X 的二次函数y=(x-h)²+3,当1≤X ≤3时，函数有最小值2h,则h 的值为多少？
解： h ＜1时，x=1时y 有最小值y=（1-h ）²+3=h ²-2h+4=2h ，解得h=2，不符合要求，舍去。
h ＞3时，x=3时y 有最小值y=（3-h ）²+3=h ²-6h+12=2h ，解得h=6，（h=2不符合要求，舍去）。
1≤h ≤3时，x=h 时y 有最小值y=（h-h ）²+3=3=2h ，h=3/2。
综上，h=23，或h=6
3.以x 为变量的二次函数y =x ²- 2(b-2)x + b ² - 1的图像不经过第三象限，则实数b 的取值范围是
解：y=x ²-2(b-2)x+b ²-1=x ²-2(b-2)x+(b-2)²+b ²-1-(b-2)²
=[x-(b-2)]²+4b-5 对称轴x=b-2
令x=0，得：y=b ²-1
①函数图像不过第三象限，对称轴位于x 轴正半轴，b-2>0 函数图像在y 轴上的截距>0，b ²-1>0 b-2>0，解得b>2
b ²-1>0，b ²>1，b<-1或b>1
综上，得：b>2
②函数图像不过第三象限，对称轴位于x 轴负半轴，函数图像的顶点在x 轴上或x 轴上方，4b-5 ≧0，解得b ≧45。