应用多元统计分析习题解答_聚类分析..-共20页
应用多元统计分析课后答案_暴强整理
第二章2.1 试述多元联合分布和边缘分布之间的关系。
设X =(X 1,X 2，⋯X p )′是p 维随机向量，称由它的q （<p ）个分量组成的子向量X(i)=(X i1,X i2，⋯X iq )′的分布为X 的边缘分布，相对地把X 的分布称为联合分布。
当X 的分布函数为F (x 1,x 2，⋯x p )时，X (1)的分布函数即边缘分布函数为F (x 1,x 2，⋯x p )=P(X 1≤x 1,⋯X q ≤x q ,X q+1≤∞,⋯X p ≤∞) = F (x 1,x 2，⋯x q ,∞,⋯∞)当X 有分布密度f （x 1,x 2，⋯x p ）则X (1)也有分布密度，即边缘密度函数为：f （x 1,x 2，⋯x q ）=∫⋯+∞−∞∫f （x 1,x 2，⋯x p ）dx q+1⋯d +∞−∞x p 2.2 设随机向量X =(X 1,X 2)′服从二元正态分布，写出其联合分布密度函数和X 1,X 2各自的边缘密度函数。
联合分布密度函数12πσ1σ2(1−ρ2)1/2exp{−12(1−ρ2)[(x 1−μ1)2σ12−2ρ(x 1−μ1)(x 2−μ2)σ1σ2+f (x 1,x 2)=(x 2−μ2)2σ22]} ， x 1>0,x 2>00 , 其他(x 1−μ1)2σ12−2ρ(x 1−μ1)(x 2−μ2)σ1σ2+(x 2−μ2)2σ22=(x 1−μ1)2σ12−2ρ(x 1−μ1)(x 2−μ2)σ1σ2+(x 2−μ2)2σ22+ρ2(x 1−μ1)2σ12−ρ2(x 1−μ1)2σ12=[ρ(x 1−μ1)σ1−(x 2−μ2)σ2]2+（1−ρ2）(x 1−μ1)2σ12所以指数部分变为−12{[11√1−ρ2σ1−22√1−ρ2σ2]2+(x 1−μ1)2σ12}令t=22√1−ρ2σ2−11√1−ρ2σ1 ∴dt =√1−ρ2σ22∴f (x 1)=∫f (x 1,x 2)+∞−∞dx 2=12πσ1σ2(1−ρ2)1/2exp{−(x 1−μ1)22σ12∫exp(+∞−∞−12t 2√1−ρ22dt =√2πσexp[−(x 1−μ1)22σ12] √2πσexp[−(x 1−μ1)22σ12] ， x 1>0f (x 1)=0 ，其他 同理， √2πσ2exp[−(x 2−μ2)22σ22] ， x 2>0f (x 2)=0 ，其他2.3 已知随机向量X =(X 1,X 2)′的联合分布密度函数为f (x 1,x 2)=2[(d−c )(x 1−a )+(b−a )(x 2−c )−2(x 1−a)(x 2−c)(b−a)2(d−c)2,其中,a ≤x 1≤b,c ≤x 2≤d 。
多元统计分析课后练习答案
第1章 多元正态分布1、在数据处理时，为什么通常要进行标准化处理？数据的标准化是将数据按比例缩放，使之落入一个小的特定区间。
在某些比较和评价的指标处理中经常会用到，去除数据的单位限制，将其转化为无量纲的纯数值，便于不同单位或量级的指标能够进行比较和加权。
其中最典型的就是0-1标准化和Z 标准化。
2、欧氏距离与马氏距离的优缺点是什么？欧氏距离也称欧几里得度量、欧几里得度量，是一个通常采用的距离定义，它是在m 维空间中两个点之间的真实距离。
在二维和三维空间中的欧氏距离的就是两点之间的距离。
缺点：就大部分统计问题而言，欧氏距离是不能令人满意的。
每个坐标对欧氏距离的贡献是同等的。
当坐标表示测量值时，它们往往带有大小不等的随机波动，在这种情况下，合理的方法是对坐标加权，使变化较大的坐标比变化较小的坐标有较小的权系数，这就产生了各种距离。
当各个分量为不同性质的量时，“距离”的大小与指标的单位有关。
它将样品的不同属性之间的差别等同看待，这一点有时不能满足实际要求。
没有考虑到总体变异对距离远近的影响。
马氏距离表示数据的协方差距离。
为两个服从同一分布并且其协方差矩阵为Σ的随机变量与的差异程度:如果协方差矩阵为单位矩阵,那么马氏距离就简化为欧氏距离,如果协方差矩阵为对角阵,则其也可称为正规化的欧氏距离。
优点：它不受量纲的影响，两点之间的马氏距离与原始数据的测量单位无关。
由标准化数据和中心化数据计算出的二点之间的马氏距离相同。
马氏距离还可以排除变量之间的相关性的干扰。
缺点：夸大了变化微小的变量的作用。
受协方差矩阵不稳定的影响，马氏距离并不总是能顺利计算出。
3、当变量X1和X2方向上的变差相等，且与互相独立时，采用欧氏距离与统计距离是否一致？统计距离区别于欧式距离，此距离要依赖样本的方差和协方差，能够体现各变量在变差大小上的不同，以及优势存在的相关性，还要求距离与各变量所用的单位无关。
如果各变量之间相互独立,即观测变量的协方差矩阵是对角矩阵, 则马氏距离就退化为用各个观测指标的标准差的倒数作为权数的加权欧氏距离。
应用多元统计分析课后答案 .doc
2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。
解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况，12(,,)p X X X X '=L 的联合分布密度函数是一个p 维的函数，而边际分布讨论是12(,,)p X X X X '=L 的子向量的概率分布，其概率密度函数的维数小于p 。
2.2设二维随机向量12()X X '服从二元正态分布，写出其联合分布。
解：设12()X X '的均值向量为()12μμ'=μ，协方差矩阵为21122212σσσσ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则其联合分布密度函数为1/21222112112222122121()exp ()()2f σσσσσσσσ--⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪'=---⎨⎬ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭x x μx μ。
2.3已知随机向量12()X X '的联合密度函数为121212222[()()()()2()()](,)()()d c x a b a x c x a x c f x x b a d c --+-----=--其中1ax b ≤≤，2c x d ≤≤。
求（1）随机变量1X 和2X 的边缘密度函数、均值和方差； （2）随机变量1X 和2X 的协方差和相关系数；（3）判断1X 和2X 是否相互独立。
（1）解：随机变量1X 和2X 的边缘密度函数、均值和方差；112121222[()()()()2()()]()()()dx cd c x a b a x c x a x c f x dx b a d c --+-----=--⎰12212222222()()2[()()2()()]()()()()dd c c d c x a x b a x c x a x c dx b a d c b a d c -------=+----⎰ 121222202()()2[()2()]()()()()dd c c d c x a x b a t x a t dt b a d c b a d c ------=+----⎰ 2212122222()()[()2()]1()()()()d cdc d c x a x b a t x a t b a d c b a d c b a------=+=----- 所以 由于1X 服从均匀分布，则均值为2b a+，方差为()212b a -。
应用多元统计分析课后题答案
c) c)2
2( x1
a)( x2
c)]
其中 a x1 b ， c x2 d 。求 （1）随机变量 X1 和 X 2 的边缘密度函数、均值和方差； （2）随机变量 X1 和 X 2 的协方差和相关系数； （3）判断 X1 和 X 2 是否相互独立。
（1）解：随机变量 X1 和 X 2 的边缘密度函数、均值和方差；
12
2 2
1/
2
exp
1 2
(x
μ)
12 21
12
2 2
1
(x
μ)
。
2.3 已知随机向量 ( X1 X 2 ) 的联合密度函数为
f
( x1 ,
x2 )
2[(d
c)( x1
a)
(b a)(x2 (b a)2 (d
μ)
1 n 1
n i 1
E(Xi
-
μ)(
X i
-
μ)
nE(X
μ)(X
μ)
Σ
。
故 S 为 Σ 的无偏估计。 n 1
2.9.设 X(1) , X(2) , ..., X(n) 是从多元正态分布 X ~ N p (μ, Σ) 抽出的一个简单随机样本，试求 S
c) 2(x1 a)(x2 a)2(d c)2
c)]
dx2
2(d c)(x1 a)x2 d dc 2[(b a)t 2(x1 a)t] dt
(b a)2 (d c)2
应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇习题解答公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
0 8
X (2)
X
(3)
0
X (5) CL4
第11页 11
第六章 聚类分析
② 合并{X(2),X(5)}=CL3,并类距离 D2=3.
0 D(3) 10
9
0 8
0
X (3)
CL4 CL3
③ 合并{CL3,CL4}=CL2,并类距离 D3=8.
D(4) 100
0
X (3) CL2
④ 所有样品合并为一类CL1,并类距离 D4=10.
n p nq nr2
(X
(k)
X
(q) )'( X
(k)
X
( p) )
n2p nr2
D
2 pk
nq2 nr2
Dq2k
n p nq nr2
(X
(k)
X
( p) )'( X
(k)
X
( p)
X
( p)
X
(q) )
n p nq nr2
(X
(k)
X
(q) )'( X
(k)
X
(q)
X
(q)
X
( p) )
第26页 26
故d*是一个距离.
第5页
5
第六章 聚类分析
(4) 设d (1)和d (2)是距离, 令d * d (1) • d (2).
d *虽满足前2个条件,但不一定满足三角不等式.
下面用反例来说明d *不一定是距离.
设di(j1)
d (2) ij
X (i) X ( j) (m 1), 则di*j
X (i) X ( j)
D
2 pk
nq nr
多元统计分析课后练习答案
2 p
1
2 1
1
Σ1
2 2
1
2 p
则 f ( x1,..., xp )
p
1
Σ
2
22 12
2 p
1/2
exp
1 (x
μ) Σ1
2
1
2 1
1
2 2
( x μ)
1
2 p
p
1
12
2
1
p exp
1 (x1 1 )2
2
2 1
1 ( x2 2
3) 2
2 2
...
1 (xp 2
p )2
2 p
p
1
exp
i1 i 2
( xi
计算： 边远及少数民族聚居区社会经济发展水平的指标数据 .xls
T 2 =9* (-2003.23 2.25 -1006.11 2.71 12.01)*s^-1* (-2003.23 2.25
-1006.11 2.71 12.01)’=9*50.11793817=451,06144353 F 统计量 =45.2>6.2 拒绝零假设，边缘及少数民族聚居区的社会经济发展水平与 全国平均水平有显著差异。
4、什么是逐步判别分析？ 答：具有筛选变量能力的判别方法称为逐步判别分析法。 逐步判别分析法就是先 从所有因子中挑选一个具有最显著判别能力的因子， 然后再挑选第二个因子， 这 因子是在第一因子的基础上具有最显著判别能力的因子， 即第一个和第二个因子 联合起来有显著判别能力的因子； 接着挑选第三个因子， 这因子是在第一、 第二 因子的基础上具有最显著判别能力的因子。 由于因子之间的相互关系， 当引进了 新的因子之后， 会使原来已引入的因子失去显著判别能力。 因此， 在引入第三个 因子之后就要先检验已经引入的因子是否还具有显著判别能力， 如果有就要剔除 这个不显著的因子；接着再继续引入，直到再没有显著能力的因子可剔除为止， 最后利用已选中的变量建立判别函数。
应用多元统计分析课后习题答案高惠璇三部分习题解答公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
max
0
L(0,0 )
max
L(
,
0
)
分子
|
1
20
|n/ 2
exp
1 2
n
( X ( )
1
0 )01( X ( )
0 )
|
1
20
|n/ 2
exp
1 2
n
tr[01
1
( X ( )
0 )( X ( )
0 )]
第17页 17
第三章 多元正态总体参数检查
Yr1
X BX
Y Γ BΓΓ
Y HY
(Yr
1
,,
Yn
)
H
22
Yn
由于Y1, …,Yr ,Yr+1 ,…,Yn互相独立,
故X′AX与X′BX互相独立.
第9页
9
第三章 多元正态总体参数检查
3-3 设X～Np(μ,Σ),Σ＞0,A和B为p阶对称阵, 试证实 (X-μ)′A(X-μ)与(X-μ)′B(X-μ)互相独立
Np(μ,Σ)随机样本, X和Ax分别表示正态总体X样 本均值向量和离差阵,则由性质1有
Tx2 n(n 1)( X ) Ax1( X )
~ T 2 ( p, n 1).
令 Y(i) CX (i) d (i 1,..., n)
其中C是p p非退化常数矩阵, d是p 1常向量。
则 Y(i) ~ N p (C d,CC) (i 1,2,..., n)
max L(
, 0 )
max L(, ) ,
分子当ˆ X达最大,且最大值
L( X
, 0 )
应用多元统计分析课后答案
第二章2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。
解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况，12(,,)p X X X X '=的联合分布密度函数是一个p 维的函数，而边际分布讨论是12(,,)p X X X X '=的子向量的概率分布，其概率密度函数的维数小于p 。
2.2设二维随机向量12()X X '服从二元正态分布，写出其联合分布。
解：设12()X X '的均值向量为()12μμ'=μ，协方差矩阵为21122212σσσσ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则其联合分布密度函数为1/21222112112222122121()exp ()()2f σσσσσσσσ--⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪'=---⎨⎬ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭x x μx μ。
2.3已知随机向量12()X X '的联合密度函数为121212222[()()()()2()()](,)()()d c x a b a x c x a x c f x x b a d c --+-----=--其中1a x b ≤≤，2c x d ≤≤。
求（1）随机变量1X 和2X 的边缘密度函数、均值和方差； （2）随机变量1X 和2X 的协方差和相关系数； （3）判断1X 和2X 是否相互独立。
（1）解：随机变量1X 和2X 的边缘密度函数、均值和方差；112121222[()()()()2()()]()()()dx cd c x a b a x c x a x c f x dx b a d c --+-----=--⎰12212222222()()2[()()2()()]()()()()dd cc d c x a x b a x c x a x c dx b a d c b a d c -------=+----⎰ 12122222()()2[()2()]()()()()dd cc d c x a x b a t x a t dt b a d c b a d c ------=+----⎰2212122222()()[()2()]1()()()()d cdcd c x a x b a t x a t b a d c b a d c b a------=+=----- 所以由于1X 服从均匀分布，则均值为2b a +，方差为()212b a -。
应用多元统计分析课后习题答案高惠璇第七章习题解答-20页PPT精选文档
解:
9
第七章 主成分分析
7-5 设3维总体X的协差阵为
试求总体主成分.
4 0 0
0 4 0
0 0 2
解:总体主成分为
Zi Xi(i1,2,3)
主成分向量为
Z ( X 1 ,X 2 ,X 3 ) 或 Z ( X 2 ,X 1 ,X 3 )
三个主成分的方差分别为4,4,2.
(01).
(1)
Z1 1p(X1X2Xp);
(2) 试求第一主成分的贡献率.
7
第七章 主成分分析
解:
1
8
第七章 主成分分析
7-4 设总体X＝(X1,…,Xp)′～Np(μ,Σ) (Σ＞0),等概率密度
椭球为
(X-μ)′Σ-1(X-μ)=C2(C为常数).
试问椭球的主轴方向是什么?
14 13
13 14 2
12
14
13
12 2
,
其中 1 21 31,421 4 21.3
试求X的主成分.
12
第七章 主成分分析
解:
13
第七章 主成分分析
7-8
14
第七章 主成分分析
15
第七章 主成分分析
7-9
16
其中ρ为X1和X2的相关系数(ρ>0). (1) 试从Σ出发求X
1
1
(2) 求X
(3) 试问当ρ取多大时才能使第一主成分的贡献率达95%以上.
解:
5
第七章 主成分分析
6
第七章 主成分分析
7-3 设p维总体X的协差阵为
21
1
(完整版)多元统计分析课后练习答案
第1章 多元正态分布1、在数据处理时，为什么通常要进行标准化处理？数据的标准化是将数据按比例缩放，使之落入一个小的特定区间。
在某些比较和评价的指标处理中经常会用到，去除数据的单位限制，将其转化为无量纲的纯数值，便于不同单位或量级的指标能够进行比较和加权。
其中最典型的就是0-1标准化和Z 标准化。
2、欧氏距离与马氏距离的优缺点是什么？欧氏距离也称欧几里得度量、欧几里得度量，是一个通常采用的距离定义，它是在m 维空间中两个点之间的真实距离。
在二维和三维空间中的欧氏距离的就是两点之间的距离。
缺点：就大部分统计问题而言，欧氏距离是不能令人满意的。
每个坐标对欧氏距离的贡献是同等的。
当坐标表示测量值时，它们往往带有大小不等的随机波动，在这种情况下，合理的方法是对坐标加权，使变化较大的坐标比变化较小的坐标有较小的权系数，这就产生了各种距离。
当各个分量为不同性质的量时，“距离”的大小与指标的单位有关。
它将样品的不同属性之间的差别等同看待，这一点有时不能满足实际要求。
没有考虑到总体变异对距离远近的影响。
马氏距离表示数据的协方差距离。
为两个服从同一分布并且其协方差矩阵为Σ的随机变量与的差异程度:如果协方差矩阵为单位矩阵,那么马氏距离就简化为欧氏距离,如果协方差矩阵为对角阵,则其也可称为正规化的欧氏距离。
优点：它不受量纲的影响，两点之间的马氏距离与原始数据的测量单位无关。
由标准化数据和中心化数据计算出的二点之间的马氏距离相同。
马氏距离还可以排除变量之间的相关性的干扰。
缺点：夸大了变化微小的变量的作用。
受协方差矩阵不稳定的影响，马氏距离并不总是能顺利计算出。
3、当变量X1和X2方向上的变差相等，且与互相独立时，采用欧氏距离与统计距离是否一致？统计距离区别于欧式距离，此距离要依赖样本的方差和协方差，能够体现各变量在变差大小上的不同，以及优势存在的相关性，还要求距离与各变量所用的单位无关。
如果各变量之间相互独立,即观测变量的协方差矩阵是对角矩阵, 则马氏距离就退化为用各个观测指标的标准差的倒数作为权数的加权欧氏距离。
多元统计分析习题与答案
多元统计分析习题与答案多元统计分析是一种在社会科学研究中广泛应用的方法，它通过同时考虑多个变量之间的关系，帮助研究者更全面地理解和解释现象。
在本文中，我将分享一些多元统计分析的习题和答案，希望能够帮助读者更好地掌握这一方法。
习题一：相关分析假设你正在研究一个学生的学习成绩和他们每天花在学习上的时间之间的关系。
你收集了100个学生的数据，学习成绩用分数表示，学习时间用小时表示。
以下是你的数据：学习成绩（X）：75, 80, 85, 90, 95, 70, 65, 60, 55, 50学习时间（Y）：5, 6, 7, 8, 9, 4, 3, 2, 1, 0请计算学习成绩和学习时间之间的相关系数，并解释其含义。
答案一：首先，我们需要计算学习成绩和学习时间之间的协方差和标准差。
根据公式，协方差可以通过以下公式计算：协方差= Σ((X - X平均) * (Y - Y平均)) / (n - 1)其中，X和Y分别表示学习成绩和学习时间，X平均和Y平均表示它们的平均值，n表示样本数量。
标准差可以通过以下公式计算：标准差= √(Σ(X - X平均)² / (n - 1))根据以上公式，我们可以得出学习成绩和学习时间之间的协方差为-22.5，标准差分别为18.03和2.87。
然后，我们可以通过以下公式计算相关系数：相关系数 = 协方差 / (X标准差 * Y标准差)根据以上公式，我们可以得出相关系数为-0.93。
由于相关系数接近于-1，可以得出结论：学习成绩和学习时间之间存在强烈的负相关关系，即学习时间越长，学习成绩越低。
习题二：多元线性回归假设你正在研究一个人的身高（X1）、体重（X2）和年龄（X3）对其收入（Y）的影响。
你收集了50个人的数据，以下是你的数据：身高（X1）：160, 165, 170, 175, 180, 185, 190, 195, 200, 205体重（X2）：50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95年龄（X3）：20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65收入（Y）：5000, 5500, 6000, 6500, 7000, 7500, 8000, 8500, 9000, 9500请利用多元线性回归分析，建立一个预测人的收入的模型，并解释模型的结果。
应用多元统计课后答案解析
2(d c)(x 1 a)x 2 (b a)2(d c)2 2[(b a )(X 2 c) 2(X 1 a )(X 2 c)] (b a)2(d c)2dx 22(d c)(x.| a)x 222~(b a) (d c) c2[(b a)t 2(X 1 a)t]2 2 (b a) (d c)dt 2(d c)(x-i a)x 22 2(b a) (d c)所以d c2 2(b a) (d c) o2 2[(b a)t 2(X 1 a)t ] 第二章2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。
解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况，X (X !,X 2^|X p )的联合分布密度函数是-个p 维的函数，而边际分布讨论是 X (X i ,X 2」||X p)的子向量的概率分布，其概率密度函数的维数小于p 。
2.2设二维随机向量(X 1 X 2)服从二元正态分布，写出其联合分布。
其中 a X 1 b , c X 2 d 。
求(1 )随机变量X 1和X 2的边缘密度函数、均值和方差；(2) 随机变量X 1和X 2的协方差和相关系数； (3) 判断X 1和X 2是否相互独立。
(1)解：随机变量 X 1和X 2的边缘密度函数、均值和方差;2[(d c)(x-i a) (b a)(x 2 c) 2(x 1 a)(x 2c)]2 2(b a) (d c)id解：设(X 1 X 2)的均值向量为口 ，协方差矩阵为21；，则其联合分布密度函数为21/21f(X).2-2.3已知随机向量(X 1f(X 1,X 2)型21122 2exp口)2112 2 2(X口)。
X 2) c)(X 的联合密度函数为a) (b a)(X 2c) 2 2(b a) (d c)2(X 1 a)(x 2 c)] dx(C d)(b a)36COV(N，X2)X i X2(3)解：判断X i和X2是否相互独立。
X i 和X2 由于f(X!,X2) f x,X i) f x,(X2)，所以不独立。
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第1章 多元正态分布1、在数据处理时，为什么通常要进行标准化处理？数据的标准化是将数据按比例缩放，使之落入一个小的特定区间。
在某些比较和评价的指标处理中经常会用到，去除数据的单位限制，将其转化为无量纲的纯数值，便于不同单位或量级的指标能够进行比较和加权。
其中最典型的就是0-1标准化和Z 标准化。
2、欧氏距离与马氏距离的优缺点是什么？欧氏距离也称欧几里得度量、欧几里得度量，是一个通常采用的距离定义，它是在m 维空间中两个点之间的真实距离。
在二维和三维空间中的欧氏距离的就是两点之间的距离。
缺点：就大部分统计问题而言，欧氏距离是不能令人满意的。
每个坐标对欧氏距离的贡献是同等的。
当坐标表示测量值时，它们往往带有大小不等的随机波动，在这种情况下，合理的方法是对坐标加权，使变化较大的坐标比变化较小的坐标有较小的权系数，这就产生了各种距离。
当各个分量为不同性质的量时，“距离”的大小与指标的单位有关。
它将样品的不同属性之间的差别等同看待，这一点有时不能满足实际要求。
没有考虑到总体变异对距离远近的影响。
马氏距离表示数据的协方差距离。
为两个服从同一分布并且其协方差矩阵为Σ的随机变量与的差异程度:如果协方差矩阵为单位矩阵,那么马氏距离就简化为欧氏距离,如果协方差矩阵为对角阵,则其也可称为正规化的欧氏距离。
优点：它不受量纲的影响，两点之间的马氏距离与原始数据的测量单位无关。
由标准化数据和中心化数据计算出的二点之间的马氏距离相同。
马氏距离还可以排除变量之间的相关性的干扰。
缺点：夸大了变化微小的变量的作用。
受协方差矩阵不稳定的影响，马氏距离并不总是能顺利计算出。
3、当变量X1和X2方向上的变差相等，且与互相独立时，采用欧氏距离与统计距离是否一致？统计距离区别于欧式距离，此距离要依赖样本的方差和协方差，能够体现各变量在变差大小上的不同，以及优势存在的相关性，还要求距离与各变量所用的单位无关。
如果各变量之间相互独立,即观测变量的协方差矩阵是对角矩阵, 则马氏距离就退化为用各个观测指标的标准差的倒数作为权数的加权欧氏距离。
应用多元统计分析试题及答案
一、填空题：1、多元统计分析是运用数理统计方法来研究解决多指标问题的理论和方法.2、回归参数显著性检验是检验解释变量对被解释变量的影响是否著.3、聚类分析就是分析如何对样品（或变量）进行量化分类的问题。
通常聚类分析分为 Q型聚类和R型聚类。
4、相应分析的主要目的是寻求列联表行因素A 和列因素B 的基本分析特征和它们的最优联立表示。
5、因子分析把每个原始变量分解为两部分因素：一部分为公共因子，另一部分为特殊因子。
6、若()(,), Px N αμα∑=1,2,3….n且相互独立，则样本均值向量x服从的分布为_x~N(μ，Σ/n)_。
二、简答1、简述典型变量与典型相关系数的概念，并说明典型相关分析的基本思想。
在每组变量中找出变量的线性组合，使得两组的线性组合之间具有最大的相关系数。
选取和最初挑选的这对线性组合不相关的线性组合，使其配对，并选取相关系数最大的一对，如此下去直到两组之间的相关性被提取完毕为止。
被选出的线性组合配对称为典型变量，它们的相关系数称为典型相关系数。
2、简述相应分析的基本思想。
相应分析，是指对两个定性变量的多种水平进行分析。
设有两组因素A和B，其中因素A包含r个水平，因素B包含c个水平。
对这两组因素作随机抽样调查，得到一个rc的二维列联表，记为。
要寻求列联表列因素A和行因素B 的基本分析特征和最优列联表示。
相应分析即是通过列联表的转换，使得因素A 和因素B具有对等性，从而用相同的因子轴同时描述两个因素各个水平的情况。
把两个因素的各个水平的状况同时反映到具有相同坐标轴的因子平面上，从而得到因素A 、B 的联系。
3、简述费希尔判别法的基本思想。
从k 个总体中抽取具有p 个指标的样品观测数据，借助方差分析的思想构造一个线性判别函数 系数：确定的原则是使得总体之间区别最大，而使每个总体内部的离差最小。
将新样品的p 个指标值代入线性判别函数式中求出 值，然后根据判别一定的规则，就可以判别新的样品属于哪个总体。
(完整版)多元统计分析试题及答案
(完整版)多元统计分析试题及答案试题：1. 试解释多元统计分析的含义及其与单变量和双变量统计分析的区别。
2. 简述卡方检验方法及适用场景。
3. 请解释回归分析中的回归系数及其p值的含义及作用，简单说明如何进行回归模型的选择和评估。
4. 试解释主成分分析的原理及目的，如何进行主成分分析及如何解释因子载荷矩阵。
5. 请列举和简要解释聚类分析和判别分析的适用场景，并说明两种方法的区别。
答案：1. 多元统计分析是一种将多个变量进行综合分析的方法。
与单变量和双变量统计分析不同的是，多元统计分析可以处理多个自变量和因变量的组合关系，从而探究它们之间的综合关系。
该方法通常适用于探究多种变量在某个问题中的关系、探究影响某一结果变量的因素、探究各个变量相互作用的影响等。
2. 卡方检验是根据样本数据与期望值的差异来判断观察值与理论预期是否相符，以此来验证假设是否成立的方法。
它通常用于对某个现象进行分类的相关度检验。
适用场景包括：样本的数量大于等于40，且至少有一个期望值小于5；变量为分类变量，且分类类别数不超过10个。
卡方检验的原理是将观察值和期望值进行比较，并计算卡方值，然后根据卡方值与自由度的乘积查找p值，从而得出结论。
3. 回归系数是回归方程中自变量与因变量之间的关系，在线性回归中，回归系数表示每一个自变量单位变化与因变量单位变化的关系。
p值是评估回归系数是否具有显著性的指标。
回归模型的选择有两种方法：一种是逐步回归分析，根据不同的准则进行多个回归模型的比较，选择最优的模型；另一种是正则化回归，通过加入惩罚项来保证回归模型具有良好的泛化性能。
回归模型的评估有多种方法，包括：残差分析、R方值、方差齐性检验、变量的共线性检验等。
4. 主成分分析是一种将多维数据降维处理的方法，它的目的是通过数据的变换，将多个变量转化为一些综合指标，这些指标是原始变量的线性组合。
主成分分析的步骤包括：数据标准化、计算协方差矩阵或相关系数矩阵、计算特征值和特征向量、选取主成分。
应用多元统计分析习题解答_聚类分析
第五章聚类分析5.1 判别分析和聚类分析有何区别？答：即根据一定的判别准则，判定一个样本归属于哪一类。
具体而言，设有n 个样本，对每个样本测得p 项指标〔变量〕的数据，每个样本属于k 个类别〔或总体〕中的*一类，通过找出一个最优的划分，使得不同类别的样本尽可能地区别开，并判别该样本属于哪个总体。
聚类分析是分析如何对样品〔或变量〕进展量化分类的问题。
在聚类之前，我们并不知道总体，而是通过一次次的聚类，使相近的样品〔或变量〕聚合形成总体。
通俗来讲，判别分析是在有多少类及是什么类的情况下进展分类，而聚类分析是在不知道类的情况下进展分类。
5.2 试述系统聚类的根本思想。
答：系统聚类的根本思想是：距离相近的样品〔或变量〕先聚成类，距离相远的后聚成类，过程一直进展下去，每个样品〔或变量〕总能聚到适宜的类中。
5.3 对样品和变量进展聚类分析时，所构造的统计量分别是什么？简要说明为什么这样构造？答：对样品进展聚类分析时，用距离来测定样品之间的相似程度。
因为我们把n 个样本看作p 维空间的n 个点。
点之间的距离即可代表样品间的相似度。
常用的距离为 〔一〕闵可夫斯基距离：1/1()()pq qij ik jk k d q X X ==-∑q 取不同值，分为 〔1〕绝对距离〔1q =〕 〔2〕欧氏距离〔2q =〕〔3〕切比雪夫距离〔q =∞〕 〔二〕马氏距离 〔三〕兰氏距离对变量的相似性，我们更多地要了解变量的变化趋势或变化方向，因此用相关性进展衡量。
将变量看作p 维空间的向量，一般用 〔一〕夹角余弦 〔二〕相关系数5.4 在进展系统聚类时，不同类间距离计算方法有何区别？选择距离公式应遵循哪些原则？答：设d ij 表示样品*i 与*j 之间距离，用D ij 表示类G i 与G j 之间的距离。
〔1〕. 最短距离法 〔2〕最长距离法 〔3〕中间距离法其中〔4〕重心法〔5〕类平均法 〔6〕可变类平均法 其中β是可变的且β <122222121pqkq kp kr D D D D β++= 2222pqn n〔7〕可变法22221()2kr kp kq pq D D D D ββ-=++其中β是可变的且β <1 〔8〕离差平方和法通常选择距离公式应注意遵循以下的根本原则：〔1〕要考虑所选择的距离公式在实际应用中有明确的意义。
应用多元统计分析课后答案
第二章2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。
解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况，12(,,)p X X X X '=的联合分布密度函数是一个p 维的函数，而边际分布讨论是12(,,)p X X X X '=的子向量的概率分布，其概率密度函数的维数小于p 。
2.2设二维随机向量12()X X '服从二元正态分布，写出其联合分布。
解：设12()X X '的均值向量为()12μμ'=μ，协方差矩阵为21122212σσσσ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则其联合分布密度函数为1/21222112112222122121()exp ()()2f σσσσσσσσ--⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪'=---⎨⎬ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭x x μx μ。
2.3已知随机向量12()X X '的联合密度函数为121212222[()()()()2()()](,)()()d c x a b a x c x a x c f x x b a d c --+-----=--其中1a x b ≤≤，2c x d ≤≤。
求（1）随机变量1X 和2X 的边缘密度函数、均值和方差； （2）随机变量1X 和2X 的协方差和相关系数； （3）判断1X 和2X 是否相互独立。
（1）解：随机变量1X 和2X 的边缘密度函数、均值和方差；112121222[()()()()2()()]()()()dx cd c x a b a x c x a x c f x dx b a d c --+-----=--⎰12212222222()()2[()()2()()]()()()()dd cc d c x a x b a x c x a x c dx b a d c b a d c -------=+----⎰ 12122222()()2[()2()]()()()()dd cc d c x a x b a t x a t dt b a d c b a d c ------=+----⎰2212122222()()[()2()]1()()()()d cdcd c x a x b a t x a t b a d c b a d c b a------=+=----- 所以由于1X 服从均匀分布，则均值为2b a +，方差为()212b a -。
应用多元统计分析课后习题答案高惠璇第七章习题解答共20页
第七章 主成分分析
17
第七章 主成分分析
7-10
18
第七章 主成分分析
77--1112
19
谢谢
解:
9
第七章 主成分分析
7-5 设3维总体X的协差阵为
试求总体主成分.
4 0 0
0 4 0
0 0 2
解:总体主成分为
Zi Xi(i1,2,3)
主成分向量为
Z ( X 1 ,X 2 ,X 3 ) 或 Z ( X 2 ,X 1 ,X 3 )
三个主成分的方差分别为4,4,2.
(01).
(1)
Z1 1p(X1X2Xp);
(2) 试求第一主成分的贡献率.
7
第七章 主成分分析
解:
1
8
第七章 主成分分析
7-4 设总体X＝(X1,…,Xp)′～Np(μ,Σ) (Σ＞0),等概率密度
椭球为
(X-μ)′Σ-1(X-μ)=C2(C为常数).
试问椭球的主轴方向是什么?
14 13
13 14 2
12
14
13
12 2
,
其中 1 21 31,421 4 21.3
试求X的主成分.
12
第七章 主成分分析
解:
13
第七章 主成分分析
7-8
14
第七章 主成分分析
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第七章 主成分分析
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第七章 主成分分析
7-6
设3维总体X的协差阵为
2 2
2 2
0
2
0 2 2
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第五章 聚类分析5.1 判别分析和聚类分析有何区别？答：即根据一定的判别准则，判定一个样本归属于哪一类。
具体而言，设有n 个样本，对每个样本测得p 项指标（变量）的数据，已知每个样本属于k 个类别（或总体）中的某一类，通过找出一个最优的划分，使得不同类别的样本尽可能地区别开，并判别该样本属于哪个总体。
聚类分析是分析如何对样品（或变量）进行量化分类的问题。
在聚类之前，我们并不知道总体，而是通过一次次的聚类，使相近的样品（或变量）聚合形成总体。
通俗来讲，判别分析是在已知有多少类及是什么类的情况下进行分类，而聚类分析是在不知道类的情况下进行分类。
5.2 试述系统聚类的基本思想。
答：系统聚类的基本思想是：距离相近的样品（或变量）先聚成类，距离相远的后聚成类，过程一直进行下去，每个样品（或变量）总能聚到合适的类中。
5.3 对样品和变量进行聚类分析时， 所构造的统计量分别是什么？简要说明为什么这样构造？答：对样品进行聚类分析时，用距离来测定样品之间的相似程度。
因为我们把n 个样本看作p 维空间的n 个点。
点之间的距离即可代表样品间的相似度。
常用的距离为 （一）闵可夫斯基距离：1/1()()pq qij ik jk k d q X X ==-∑q 取不同值，分为 （1）绝对距离（1q =）1(1)pij ik jk k d X X ==-∑（2）欧氏距离（2q =）21/21(2)()pi j i k j kk d X X==-∑（3）切比雪夫距离（q =∞）1()max ij ik jkk pd X X ≤≤∞=-（二）马氏距离（三）兰氏距离对变量的相似性，我们更多地要了解变量的变化趋势或变化方向，因此用相关性进行衡量。
21()()()ij i j i j d M -'=--X X ΣX X 11()p ik jkij k ik jk X X d L p X X =-=+∑将变量看作p 维空间的向量，一般用（一）夹角余弦（二）相关系数5.4 在进行系统聚类时，不同类间距离计算方法有何区别？选择距离公式应遵循哪些原则？答： 设d ij 表示样品X i 与X j 之间距离，用D ij 表示类G i 与G j 之间的距离。
（1）. 最短距离法,mini k j rkr ij X G X G D d ∈∈=min{,}kp kq D D =（2）最长距离法,maxi p j qpq ij X G X G D d ∈∈=,maxi k j rkr ij X G X G D d ∈∈=max{,}kp kq D D =（3）中间距离法其中（4）重心法2()()pq p q p q D X X X X '=-- )(1q q p p rrX n X n n X +=cos pik jkij X X θ=∑()()pik i jk j ij X X X X r --=∑ij G X G X ij d D jj i i ∈∈=,min22222121pq kq kp kr D D D D β++=22222p q p q krkpkqpq rrr n n n n D D D D n n n =+-（5）类平均法221i p j jpq ij X G X G p qD d n n ∈∈=∑∑221i k j rkr ijX G X G k rD d n n ∈∈=∑∑22p q kp kqrrn n D D n n =+（6）可变类平均法其中β是可变的且β <1（7）可变法22221()2kr kp kq pq D D D D ββ-=++ 其中β是可变的且β <1 （8）离差平方和法1()()tn t it t it t t S X X X X ='=--∑2222k p k q k krkpkq pq r kr kr kn n n n n D D D D n n n n n n ++=+-+++通常选择距离公式应注意遵循以下的基本原则：（1）要考虑所选择的距离公式在实际应用中有明确的意义。
如欧氏距离就有非常明确的空间距离概念。
马氏距离有消除量纲影响的作用。
（2）要综合考虑对样本观测数据的预处理和将要采用的聚类分析方法。
如在进行聚类分析之前已经对变量作了标准化处理，则通常就可采用欧氏距离。
（3）要考虑研究对象的特点和计算量的大小。
样品间距离公式的选择是一个比较复杂且带有一定主观性的问题，我们应根据研究对象的特点不同做出具体分折。
实际中，聚类分析前不妨试探性地多选择几个距离公式分别进行聚类，然后对聚类分析的结果进行对比分析，以确定最合适的距离测度方法。
5.5试述K 均值法与系统聚类法的异同。
2222(1)()pq kr kpkq pqrrn n D D D D n n ββ=-++答：相同：K —均值法和系统聚类法一样，都是以距离的远近亲疏为标准进行聚类的。
不同：系统聚类对不同的类数产生一系列的聚类结果，而K —均值法只能产生指定类数的聚类结果。
具体类数的确定，离不开实践经验的积累；有时也可以借助系统聚类法以一部分样品为对象进行聚类，其结果作为K —均值法确定类数的参考。
5.6 试述K 均值法与系统聚类有何区别？试述有序聚类法的基本思想。
答：K 均值法的基本思想是将每一个样品分配给最近中心（均值）的类中。
系统聚类对不同的类数产生一系列的聚类结果，而K —均值法只能产生指定类数的聚类结果。
具体类数的确定，有时也可以借助系统聚类法以一部分样品为对象进行聚类，其结果作为K 均值法确定类数的参考。
有序聚类就是解决样品的次序不能变动时的聚类分析问题。
如果用)()2()1(,,,n X X X 表示n 个有序的样品，则每一类必须是这样的形式，即)()1()(,,,j i i X X X +，其中,1n i ≤≤且n j ≤，简记为},,1,{j i i G i +=。
在同一类中的样品是次序相邻的。
一般的步骤是（1）计算直径{D （i,j ）}。
（2）计算最小分类损失函数{L[p(l,k)]}。
(3)确定分类个数k 。
（4）最优分类。
5.7 检测某类产品的重量， 抽了六个样品， 每个样品只测了一个指标，分别为1，2，3，6，9，11.试用最短距离法，重心法进行聚类分析。
（1）用最短距离法进行聚类分析。
采用绝对值距离，计算样品间距离阵1 02 1 05 4 3 08 7 6 3 010 9 8 5 2 0由上表易知 中最小元素是 于是将，，聚为一类，记为计算距离阵3 06 3 08 5 2 0中最小元素是=2 于是将，聚为一类，记为计算样本距离阵3 06 3 0中最小元素是于是将，聚为一类，记为因此，（2）用重心法进行聚类分析计算样品间平方距离阵1 04 1 025 16 9 064 49 36 9 0100 81 64 25 4 0易知中最小元素是于是将，，聚为一类，记为计算距离阵16 049 9 081 25 4 0注：计算方法,其他以此类推。
中最小元素是=4 于是将，聚为一类，记为计算样本距离阵16 064 16 0中最小元素是于是将，聚为一类，记为因此，5.8 下表是15个上市公司2019年的一些主要财务指标，使用系统聚类法和K－均值法分别对这些公司进行聚类，并对结果进行比较分析。
解:令净资产收益率为X1，每股净利润X2，总资产周转率为X3，资产负债率为X4，流动负债比率为X5，每股净资产为X6，净利润增长率为X7，总资产增长率为X8，用spss对公司聚类分析的步骤如下：a)系统聚类法:1.在SPSS窗口中选择Analyze→Classify→Hierachical Cluster，调出系统聚类分析主界面，并将变量X8X1移入Variables框中。
在Cluster-栏中选择Cases单选按钮，即对样品进行聚类（若选择Variables，则对变量进行聚类）。
在Display栏中选择Statistics和Plots复选框，这样在结果输出窗口中可以同时得到聚类结果统计量和统计图。
图5.1 系统分析法主界面2.点击Statistics按钮，设置在结果输出窗口中给出的聚类分析统计量。
我们选择Agglomeration schedule与Cluster Membership中的Range of solution 2-4，如图5.2所示，点击Continue按钮，返回主界面。
（其中，Agglomeration schedule表示在结果中给出聚类过程表，显示系统聚类的详细步骤；Proximity matrix 表示输出各个体之间的距离矩阵；Cluster Membership 表示在结果中输出一个表，表中显示每个个体被分配到的类别，Range of solution 2-4即将所有个体分为2至4类。
）3.点击Plots按钮，设置结果输出窗口中给出的聚类分析统计图。
选中Dendrogram复选框和Icicle栏中的None单选按钮，如图5.3，即只给出聚类树形图，而不给出冰柱图。
单击Continue按钮，返回主界面。
图5.2 Statistics子对话框图5.3 Plots子对话框4.点击Method按钮，设置系统聚类的方法选项。
Cluster Method下拉列表用于指定聚类的方法，这里选择Between-group inkage（组间平均数连接距离）；Measure栏用于选择对距离和相似性的测度方法，选择Squared Euclidean distance（欧氏距离）；单击Continue按钮，返回主界面。
图5.4 Method子对话框图5.5 Save子对话框5.点击Save按钮，指定保存在数据文件中的用于表明聚类结果的新变量。
None表示不保存任何新变量；Single solution表示生成一个分类变量，在其后的矩形框中输入要分成的类数；Range of solutions表示生成多个分类变量。
这里我们选择Range of solutions，并在后面的两个矩形框中分别输入2和4，即生成三个新的分类变量，分别表明将样品分为2类、3类和4类时的聚类结果,如图5.5。
点击Continue，返回主界面。
6.点击OK按钮，运行系统聚类过程。
聚类结果分析:下面的群集成员表给出了把公司分为2类，3类，4类时各个样本所属类别的情况，另外，从右边的树形图也可以直观地看到，若将15个公司分为2类，则13独自为一类，其余的为一类；若分为3类，则公司8分离出来，自成一类。
以此类推。
表5.1 各样品所属类别表图5.6 聚类树形图b)K均值法的步骤如下：1.在SPSS窗口中选择Analyze→Classify→K-Means Cluster，调出K均值聚类分析主界面，并将变量X1-X8移入Variables框中。