圆的切点弦方程的九种求法
圆的切点弦方程公式推导过程
圆的切点弦方程公式推导过程当我们谈论圆的切点弦方程时，我们实际上是在讨论圆与直线的交点问题。
首先，让我们假设有一个圆，其圆心坐标为(h, k)，半径为r。
现在，我们要找到一个切点P(x1, y1)和经过切点P的切线的方程。
首先，我们需要找到切线的斜率。
切线的斜率可以通过圆心和切点P的连线与圆的切线的斜率的垂直平分线来求得。
因此，斜率的表达式为m = (x1 h) / (y1 k)。
接下来，我们可以使用点斜式来得到切线的方程。
点斜式方程为(y y1) = m(x x1)。
将斜率m代入，我们得到(y y1) = ((x1 h)/ (y1 k))(x x1)。
另外，我们知道切线与圆相切，因此切线的方程必须只有一个交点，也就是说，切线与圆的交点只有一个切点P(x1, y1)。
因此，我们可以将切线方程代入圆的标准方程(x h)² + (y k)² = r²中，然后解方程组来求解切点坐标。
将切线方程代入圆的标准方程，我们得到((x1 h) / (y1 k))(xx1) + y1 k = ±√(r² (x1 h)²)。
这是一个二元一次方程，我们可以通过解方程组来求解x1和y1的值。
一旦我们求解出切点的坐标，我们就可以得到切线的方程，这就是圆的切点弦方程。
总结一下，圆的切点弦方程的推导过程包括以下步骤，确定圆的圆心和半径、求取切线的斜率、使用点斜式得到切线方程、将切线方程代入圆的标准方程、解方程组求解切点坐标。
这些步骤可以帮助我们推导出圆的切点弦方程。
三招求圆的切线方程
三招求圆的切线方程江西省永丰中学 吴全根求圆的切线方程主要分为已知切线的斜率k 或已知切线上一点两种情况，而已知切线上一点又可分为点在圆上和点在圆外两种情况，面对这几种情况各采用什么方法求圆的切线方程呢？下面教你三招.一、公式法 可求过圆上一点的切线方程. 公式如下：① 过圆x 2+y 2= r 2上点P （x 0,y 0)的切线方程为x 0x+y 0y= r 2.② 过圆（x-a)2+(y-b)2= r 2上点P （x 0,y 0)的切线方程为（x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)= r 2. ③ 过圆x 2+y 2+Dx+Ey+F=0上点P （x 0,y 0)的切线方程 x 0x+y 0y+D 20x x ++E 20y y ++F=0 . 点评：（1）公式②中当a=b=0时即为公式①.（2）上述公式是利用“圆的切线垂直过切点的半径”这一性质推导的，当切线的斜率不存在时公式也适用.（3）当你忘记了这些公式，可利用公式推导方法求之.例1 求过点A （4，1）且与圆（x-2)2+(y+1)2=8 相切的切线方程.解一：（公式法） (4-2)2 +(1+1)2=8 ∴ 点A （4，1）在圆上，∴ 圆的切线方程为（4-2)(x-2)+(1+1) (y+1)=8,即x+y-5=0.解二：（公式推导法） 圆心C （2，-1）∴k AC =1 ∴ 过点A 的切线的斜率k= -1. ∴ 所求切线方程为y-1= -1(x- 4),即x+y-5=0.二、待定系数法 可求过圆外一点P(x 0,y 0)的圆的切线方程或求已知切线的斜率k 的切线方程. 此时可设圆的切线方程为y-y 0=k(x-x 0)或y=kx+b,然后利用“圆心到直线的距离等于半径” 这一性质求k .例2 求过点M （2，4）向圆（x-1)2+(y+3)2=1所引的切线方程.解：设所求切线方程为y-4=k(x-2)即kx-y-2k+4=0 (倾斜角不为900）, d=114232=++-+k k k ,∴k=724,∴切线方程为24x-7y-20=0. 当倾斜角为900时，切线方程为x=2. ∴ 过M 点的切线方程为24x-7y-20=0或 x=2. 点评：因为过圆外一点P （x 0,y 0）引圆的切线有两条，故用此法求切线的斜率k 一般有两个值, 若k 只有一个值，说明还有一条切线，其斜率不存在，方程为x=x 0 ，应补回来.三、判别式法 其依据是圆的切线的定义.例3 已知圆C ：x 2+y 2+2x-4y+3=0 ，若圆C 的切线在坐标轴上的截距绝对值相等，求此切线方程.解：（1）当截距不为0时，设切线方程为y=-x+b 或y=x+c 分别代人圆C 的方程得2x 2-2(b-3)x+(b 2- 4b+3)=0，或2x 2+2 (c-1)x+(c 2- 4c+3)=0直线与圆相切，上述两方程均有等根，∴∆=0，由此可得：b=3 或 b= -1,c=5 或 c=1 ∴切线方程为x+y-3=0 或x+y+1=0 或x-y+5=0 或x-y+1=0.(2) 当截距为0时，类似可求此时切线的方程为y=(2±6)x.点评：（1）此题也可以用方法二求解；（2）截距相等时别忘了截距为0的情况.。
求圆的切线方程的几种方法
1 /2 求圆的切线方程的几种方法四川省冕宁中学 谢玉在高中数学人教版第二册第七章《圆的方程》一节中有一例题:求过已知圆上一点的切线方程,除了用斜率和向量的方法之外还有几种方法,现将这些方法归纳整理,以供参考。
例：已知圆的方程是x ２ + y 2 ＝ r 2，求经过圆上一点Ｍ(ｘ0,y 0)的切线的方程。
解法一：利用斜率求解同样适用。
在坐标轴上时上面方程当点所求的直线方程为：在圆上，所以因为点整理得的切线方程是：经过点，则，设切线的斜率为如图M ...)(,.11200220202020000000000r y y x x r y x M y x y y x x x x y x y y M y x k x y k k k k OM OM =+=++=+--=--=∴=-=⋅ 解法二:利用向量求解()...)(0PM OM ),(PM ),,OM PM OM ,p 22002202020200000000000r y y x x r y x M y x y y x x y y y x x x y y x x y x y x =+=++=+=-⨯+-⨯∴=•∴--==⊥所求的直线方程为：在圆上，所以因为点整理得：）（（，∵的坐标，设切线上的任意一点如图（这种方法的优点在于不用考虑直线的斜率存不存在)解法三:利用几何特征求解用。
重合时上面方程同样适和当所求的直线方程为：在圆上，所以因为点整理得：∵的一点，设直线上不同于如图M P r y y x x r y x M y x y y x x y x y y x x y x OP PM OM PMOM y x P y x M ...)()(),(),(220022020202000222020202022200=+=++=++=-+-++∴=+∴⊥解法四：用待定系数法求解图1图22 / 2 1、 利用点到直线的距离求解程同样适用。
当斜率不存在时上面方所求的直线方程为：在圆上，所以因为点整理得 代入⑴式解得：所以⑵式可化为：因为 ⑵化简整理得： 到切线的距离等于半径原点 ⑴即：则直线方程为：为设所求直线方程的斜率...202)(1)0,0(O 0),(,20022020202000002000220220202020022022000000r y y x x r y x M y x y y x x y x k x k y x k y r y x y r k y x k x r r k kx y kx y y kx x x k y y k =+=++=+-==++=+=-++-=+-=-+--=-2、 利用直线与圆的位置关系求解:程同样适用。
圆的切点弦公式推导
圆的切点弦公式推导好的，以下是为您生成的文章：咱们今天来好好聊聊圆的切点弦公式推导。
先从一个简单的例子说起哈。
有一次我去公园散步，看到一个圆形的花坛，特别漂亮。
我就在想，如果在这个花坛周围画一些线，会有什么样的规律呢？这就和咱们要讲的圆的切点弦公式有点关系啦。
咱们先来看圆的标准方程：$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$，其中$(a,b)$是圆心坐标，$r$是半径。
假设存在一个圆外一点$P(x_0,y_0)$，向这个圆引两条切线，切点分别为$A$、$B$。
那咱们来想想，这两个切点和点$P$之间有啥联系呢？咱先设切点$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$。
因为$A$、$B$是切点，所以圆心到切点的连线垂直于切线。
那切线$PA$的方程可以表示为：$(y - y_1) = k_1(x - x_1)$，其中$k_1$是切线$PA$的斜率。
因为圆心$(a,b)$与切点$A(x_1,y_1)$的连线垂直于切线$PA$，所以它们的斜率之积为$-1$。
圆心与切点$A$连线的斜率是$\frac{y_1 - b}{x_1 - a}$，所以切线$PA$的斜率$k_1 = -\frac{x_1 - a}{y_1 - b}$。
把点$P(x_0,y_0)$代入切线$PA$的方程，得到：$(y_0 - y_1) = -\frac{x_1 - a}{y_1 - b}(x_0 - x_1)$。
同理，对于切线$PB$，也能得到类似的式子。
接下来，咱们把这两个式子整理整理。
经过一番捣鼓，咱们就能得到圆的切点弦公式啦！其实这个推导过程就像是解谜一样，每一步都是一个线索，慢慢就能找到最终的答案。
回过头来再想想那个公园的花坛，虽然它只是个简单的圆，但通过对它的思考，咱们就能探索出这么有趣的数学知识。
数学的世界就是这样，看似复杂的公式背后，其实都有着清晰的逻辑和规律，只要咱们耐心去探索，就能发现其中的美妙。
希望大家通过这次对圆的切点弦公式推导的学习，能更加喜欢数学，感受到数学的魅力！。
圆的切点弦方程
圆的切点弦方程之邯郸勺丸创作【方法】1.设出直线，再求解；2.利用轨迹思想，用向量或平面几何知识求解。
【问题L圆O一、当点M在圆O上时，直线L是圆的切线。
二、当点M在圆O外时，1.直线L不是圆O的切线，下面证明之：∵圆心O到LO外,得L与圆O相交.2.此时直线L与过点M的圆的切线又是什么关系呢?首先研究L的特征：易知：。
为L与OM的交点)从而，MA为圆的一条切线，故直线L为过点M的圆的两条切线的两个切点所在的直线。
事实上（另证），如图1，设过点M的圆O的两条切线为L1,L2,切点分别为A、B,则直线∵点M MA与MB的方程,由此可见A 、B由于两点确定一条直线∴直线AB所以此时的直线L 是经过点P 的切点弦AB 所在直线的方程，而不是圆O 的切线。
【注】上述点M 、直线L 实质上是射影几何中的极点和极线。
特此外，当M 在圆上时，极线即为切线。
三、当点M 在圆O 内时，1.直线L 也不是圆O 的切线。
下面给出证明：∵圆心O 到LO 内,得故直线L 与圆O 相离.2.此时直线L 与圆的切线的关系又如何呢? 首先研究L 的特征：由上述探讨过程易知，直线，此外，L 一定过点P （P 为两切线的交点，）， 从而L 就在图2中过点P 且与AB 平行的位置处。
事实上（另证），∵直线LOM一方面，过点M与OM另一方面，将直线OM与L得到它们的交点P由（二）可知过点P的圆的切点弦所在直线的方程为L是由点M确定的。
另外，直线L是过点M的弦（除O，M的弦）的两个端点的圆的两条切线的交点轨迹，证明如下：AB又因为点M在ABx，y。
过一点作圆的两条切线的切点弦方程公式
过一点作圆的两条切线的切点弦方程公式在几何学中，我们经常需要求解过一点作圆的两条切线的切点所确定的弦的方程公式。
让我们来探讨一下这个问题。
设有一个圆，以O表示圆心，r表示半径。
选取圆上的一点P，且过P分别作圆的两条切线，与圆交于A和B两点。
我们的目标是求解弦AB的方程公式。
我们需要找到切点A和切点B的坐标。
由于A和B都是切点，所以AO和BO都是圆的半径，即长度为r。
设圆心O的坐标为(Ox, Oy)，点P的坐标为(Px, Py)。
根据切线的定义，切线与半径的夹角是直角。
因此，我们可以利用斜率来求解切线的方程。
通过在线段OP上选择另一点Q，我们可以计算出斜率K1。
然后，根据切线的性质，我们可以得知切线的斜率K2等于-K1的倒数。
已知点A的坐标为(Ax, Ay)，它位于切线的直线上，有斜率K2。
我们可以利用点斜式得到切线的方程：y - Ay = K2(x - Ax)同样地，点B的坐标为(Bx, By)，我们可以得到切线的另一个方程：y - By = K2(x - Bx)现在，我们可以尝试求解AB弦的方程了。
弦AB的中点坐标为(Mx, My)，它等于A和B坐标的平均值。
所以我们有：Mx = (Ax + Bx) / 2My = (Ay + By) / 2已知弦的中点坐标，我们可以得到弦的方程：y - My = (By - Ay) / (Bx - Ax)(x - Mx)过一点作圆的两条切线的切点弦方程公式为：y - My = (By - Ay) / (Bx - Ax)(x - Mx)希望以上内容能够满足任务名称描述的内容需求。
如有任何问题，请随时提问。
怎样求圆的切点弦方程
一道课本习题告诉你——怎样求圆的切点弦方程舒云水下题是人教A 版必修2第133面的B 组第5题：已知点)3,2(--P 和以Q 为圆心的圆9)2()4(22=-+-y x ﹒⑴画出以PQ 为直径，Q '为圆心的圆，再求出它的方程；⑵作出以Q 为圆心的圆和以Q '为圆心的圆的两个交点A ，B ﹒直线PA ，PB 是以Q 为圆心的圆的切线吗？为什么？⑶求直线AB 的方程﹒本题实质上告诉了我们求下面问题的一种简便方法：问题：过⊙Q 外一点P ，作⊙Q 的两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点﹒求过两切点A ，B 的直线方程﹒（本文将两切点的连线段称为切点弦，求切点弦方程即为求切点弦所在直线的方程）思路方法：1. 第一步，求出以线段PQ 为直径的圆的方程；2. 第二步，将两圆方程相减便可得到所求直线的方程﹒让学生解决上面第5问题时，不少学生都这样做：先求出两切线方程，再求出两切点坐标，最后求出直线方程﹒这样做，运算很复杂，不可取，上面课本上求出的方法很简便，我们应该掌握好，会用它解决相关问题﹒下面高考题是这类问题：（2013年山东高考题）过点（3，1）作圆（x-1）2+y 2=1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（A ）032=-+y x（B ）032=--y x （C ）034=--y x（D ）034=-+y x解法1：用上面方法﹒ 以点)1,3(和)0,1(为直径两端点的圆的方程为：45)21()2(22=-+-y x ﹒ 将两圆标准方程化为一般方程得：0222=-+x y x ，03422=+--+y x y x ﹒ 将两圆一般方程相减得直线AB 的方程为：032=-+y x ﹒选A ﹒ 解法2：易知点)1,1(为其中一切点，不妨设该点为点A ﹒过点)1,3(和圆心)0,1(的直线的斜率为21，所求直线AB 的斜率为-2，直线AB 的方程为：)1(21--=-x y ，即032=-+y x ﹒选A ﹒下面给出一个结论，用它做更简单﹒结论 过圆外一点),(00y x P ,作圆222)()(r b y a x =-+-的两条切线，则经过两切点的直线的方程为：200))(())((r b y b y a x a x =--+--﹒ 特别地，当时0==b a ，直线方程为200r y y x x =+﹒证：以点P 和圆心),(b a 为直径两端点的圆的方程为：()()[]202020204122y b x a y b y x a x -+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-﹒ 展开得：0)()(002002=++-+++-by y y b y ax x x a x ①将222)()(r b y a x =-+-展开得：2222222r b by y a ax x =+-++- ②②-①得：2200200r b by by y y a ax ax x x =+--++--，200))(())((r b y b y a x a x =--+--﹒所以经过两切点的直线的方程为：200))(())((r b y b y a x a x =--+--﹒ 特别地，当时0==b a ，直线方程为200r y y x x =+﹒解法3：根据上面结论可直接得所求直线方程为：y x ⨯+--1)1)(13(=1，即即032=-+y x ﹒选A ﹒点评：上面结论不需记忆，作一个知识了解即可﹒解法2比解法1简单﹒解法2的关键是要根据点)1,3(的特殊位置，观察出其中一个切点坐标为)1,1(﹒若它的位置不特殊，用这种解法行不通，可以说是一种特殊方法﹒我们在平时学习解题时，一方面要重点扎实掌握通性通法，对一些问题作深入探究，得出一般性结论；另一方面，要具体问题具体分析，根据题目特点灵活运用不同的方法求解，方法越简单越好，可为考试赢得宝贵的时间！Welcome To Download !!!欢迎您的下载，资料仅供参考！。
关于圆的切点弦所在直线的方程问题
高中数学 网上答疑 王新敞
关于圆的切点弦所在直线的方程问题
问题：过点(2,3)M 的直线与圆221x y +=相切于A,B 两点，求直线AB 的方程 解法一：设A,B 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则经过1122(,),(,)x y x y 的圆的切线分别为：111x x y y +=与 221xx yy +=，并且相交于点(2,3)M 所以，11231x y +=且22231x y +=
从而得直线AB 的方程：23x y +=
解法二：由题意O,A,M,B 四点共圆，且是以OM 为直径的圆C ， 由O(0,0),M(2,3)得这个圆C 的方程为：(2)(3)0x x y y -+-= 即 22230x y x y +--=
则直线AB 就是圆22230x y x y +--=与圆221x y +=的公共弦所在直线， 其方程为：
2222(1)(23)0x y x y x y +--+--=
即 231x y +-=
解法三：用已知公式(结论)：
点00(,)A x y ，由圆C 的方程220x y Dx Ey F ++++= 得， 直线方程：0000022
x x y y x x y y D E F ++++++= ① 当点00(,)A x y 是圆C 上的点时，①表示圆C 在点00(,)A x y 处的切线； 当点00(,)A x y 是圆C 外的点时，①表示从点00(,)A x y 向圆C 所引切线的两个切点所在的直线(切点弦所在直线)
根据以上结论，过点(2,3)M 的直线与圆22
1x y +=相切于A,B 两点，直线AB 的方程为：231x y +=
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高中数学：求圆的切线方程的几种解法
高中数学：求圆的切线方程的几种解法求经过点且与圆相切的切线方程并作图。
解1：利用过圆上一点的切线方程如图1，设过点的直线与圆相切于，根据过圆上一点求切线方程的公式，得圆的切线方程为（1）因为切线过点所以（2）又因为点在圆上所以（3）联立（2）（3）得代入（1）即得所求圆的切线方程为和。
解2：利用勾股定理设所求切线与已知圆相切于点，因为圆的方程为，所以圆心O的坐标为，连接，则，所以由勾股定理，得，即，所以又因为点在圆上，所以（2），联立（1）（2）得代入切线方程中，即得所求圆的切线方程为和。
解3：利用互相垂直的两条直线的斜率互为负倒数的关系。
设所求直线与圆相切于，则。
因为，所以，所以切线的方程为。
因为过点，所以代入上式得（1）而（2）以下同解2。
解4：利用圆锥曲线切线的定义设是圆上任意一点，作割线交圆于另一点，则，又因为两点都在圆上。
所以（2）得代入（1），得，当Q 与重合时，即当，时，割线的斜率就变成过圆上一点的切线的斜率，所以。
以下仿解3。
解5：利用点到直线的距离公式设过点且与圆相切的切线的斜率为k，则所求切线方程为，即。
因为圆心O 的坐标为，半径，所以由点到直线的距离公式，得，解得。
所以切线方程，即，再结合图形知另一条切线方程为。
解6：利用斜率为k的圆的切线方程因为圆的方程为，所以，故根据圆的切线方程，得。
（1）因为点在切线上，所以。
解得，将k值代入（1）即得所求切线的方程为，再结合图形知另一条切线方程为。
解7：利用切线与圆只有一个公共点的性质设所求圆的切线方程为代入中，整理得。
（2）因为直线和圆相切，它们只有一个公共点，所以方程（2）有两相等实数根，所以，即，所以（3）又因为切线过点，所以由（1）得（4）解（3）、（4），得代入（1）得，再结合图形知另一条切线方程为。
解8：利用参数方程设所求切线的参数方程为（为参数，）（1）代入方程中，消去x、y，整理得。
因为直线和圆相切所以，即。
因为，所以。
圆的切点弦方程的九种求法
圆的切点弦方程的解法探究在理解概念熟记公式的基础上，如何正确地多角度观察、分析问题，再运用所学知识解决问题，是解题的关键所在。
本文仅通过一个例题，圆的部分的基本题型之一，分别从不同角度进行观察，用不同的知识点和九种不同的解法，以达到介绍如何观察、分析、解决关于圆的切点弦的问题。
一、预备知识：1、在标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2下过圆上一点P（x0,y0)的切线方程为：（x0-a （)x-a)+(y0-b)(y-b)=r2 ；在一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 （D+E-4F>0）下过圆上一点P（x0,y0)的切线方程为： xx0+yy0+Dx+x0y+y0+E+F=0。
222222222、两相交圆x2+y2+D1x+E1y+F1=0 （D1+E1-4F1>0）与x2+y2+D2x+E2y+F2=0 （D2+E2-4F2>0）的公共弦所在的直线方程为：(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0 。
223、过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0 （D+E-4F>0）外一点P（x1,y1)作圆的切线，其切线长公式为：|PA|=x12+y12+Dx1+Ey1+F。
224、过圆x+y+Dx+Ey+F=0 （D+E-4F>0）外一点22P（x1,y1)作圆的切线，切点弦AB所在直线的方程为：；（x1-a（)x-a)+(y1-b)(y-b)=r2（在圆的标准方程下的形式）xx1+yy1+Dx+x1y+y1。
+E+F=0（在圆的一般方程下的形式）22二、题目已知圆x2+y2-2x-4y-4=0外一点P（-4，-1），过点P作圆的切线PA、PB，求过切点A、B的直线方程。
三、解法解法一：用判别式法求切线的斜率如图示1，设要求的切线的斜率为k（当切线的斜率存在时），那么过点P（-4，-1）的切线方程为：y-(-1)=k[x-(-4)]即 kx-y+4k-1=0 ⎧kx-y+4k-1=0由⎨2 消去y并整2⎩x+y-2x-4y-4=0理得 (1+k2)x2+(8k2-6k-2)x+(16k2-24k+1)=0 ①2222令∆=(8k-6k-2)-4(1+k)(16k-24k+1)=0 ②15解②得 k=0或k=81528分别代入①解得 x=1、x=- 8172858从而可得 A(-,)、B(1,-1)， 1717再根据两点式方程得直线AB的方程为：5x+3y-2=0。
高中数学平面几何中的圆的切线与弦解析
高中数学平面几何中的圆的切线与弦解析在高中数学的学习中，平面几何是一个重要的内容。
而圆作为平面几何中的一个基本图形，其性质和应用也是我们需要了解和掌握的。
其中，圆的切线与弦是圆的重要性质之一，对于解题来说具有一定的难度。
本文将从解析的角度，详细介绍圆的切线与弦的相关知识，并通过具体的例子进行分析和说明。
一、圆的切线圆的切线是指与圆只有一个交点的直线。
在解析中，我们可以通过圆的方程和切线的斜率来确定切线的方程。
下面通过一个例子来说明：例题：已知圆C的方程为(x-2)²+(y-3)²=9，求过点P(4,5)的切线方程。
解析：首先，我们需要确定点P是否在圆C上。
将点P的坐标代入圆的方程，得到(4-2)²+(5-3)²=4+4=8≠9，所以点P不在圆C上。
其次，我们需要确定切线与圆的交点。
根据切线与圆的性质，切线与圆的交点是切点。
由于已知点P在切线上，所以切点就是点P。
然后，我们需要确定切线的斜率。
由于切线与圆的切点是点P，所以切线的斜率等于圆的切点的斜率。
切点的斜率可以通过圆的方程和点P的坐标来求解。
将圆的方程和点P的坐标代入，得到(4-2)²+(5-3)²=9，化简得到8=9，显然不成立。
所以，切点不存在斜率。
综上所述，过点P(4,5)的切线不存在。
通过这个例子，我们可以看出，确定切线的方程需要先确定切点，然后通过切点的斜率来求解。
同时，切点的存在与否也是需要注意的。
二、圆的弦圆的弦是指圆上两点之间的线段。
在解析中，我们可以通过圆的方程和两点的坐标来确定弦的方程。
下面通过一个例子来说明：例题：已知圆C的方程为(x-2)²+(y-3)²=9，过点P(4,5)和点Q(3,1)的弦的方程是什么？解析：首先，我们需要确定点P和点Q是否在圆C上。
将点P和点Q的坐标代入圆的方程，得到(4-2)²+(5-3)²=4+4=8≠9，(3-2)²+(1-3)²=1+4=5≠9，所以点P和点Q都不在圆C上。
圆的切点弦方程推导
圆的切点弦方程推导稿子一嗨，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊圆的切点弦方程推导，准备好跟我一起探索这个有趣的数学世界了吗？想象一下，有一个圆乖乖地待在那。
咱们先随便在圆外找一个点，然后过这个点向圆引两条切线。
这两条切线和圆相切的那两个点，把它们连起来，这条线就是切点弦啦！那怎么推导它的方程呢？咱们先设圆的方程是$(x a)^2 + (y b)^2 = r^2$，圆外的那个点是$(x_0, y_0)$。
然后呢，因为那两条切线都过点$(x_0, y_0)$，所以把这个点代入切线方程，就能得到两个式子。
把这两个式子相减，经过一番巧妙的化简，就能得出圆的切点弦方程啦！是不是感觉很神奇？数学的世界就是这样充满惊喜！好啦，今天关于圆的切点弦方程推导就讲到这，希望大家都能有所收获哦！稿子二嘿，朋友们！咱们又见面啦，今天来一起琢磨琢磨圆的切点弦方程推导。
先来讲讲什么是切点弦，其实就像是圆的两个小护卫，从圆外一点引两条切线，它们和圆接触的那两点连起来的线就是切点弦。
那怎么找出它的方程呢？假设圆的方程是$(x m)^2 + (y n)^2 = R^2$，圆外那个点设为$(x_2, y_2)$。
咱们先从简单的开始，想想圆上一点的切线方程怎么求。
这可得好好动脑筋，别怕，跟着我一步一步来。
经过一番捣鼓，求出切线方程后，因为这两条切线都过点$(x_2, y_2)$，所以把这个点代进去，就有了两个关系。
再接着，咱们对这两个关系动动手脚，就像变魔术一样，通过一些化简和运算，圆的切点弦方程就呼之欲出啦！怎么样，是不是觉得数学也没那么可怕，反而有点有趣呢？希望大家都能喜欢上这种推导的过程，感受数学的魅力！好啦，今天就聊到这，下次再见哟！。
探究圆的切点弦所在直线方程的多种求法
2019年第7期
探究圆的切点弦所在直线方程的多种求法
张世永' 吴昱廷$ （1.四川省成都七中，四川成都6100412； 2.华东师范大学数学科学学院2015级本科生，上海200241）
2018年9月，四川省成都市第七中学高二 年级针对圆中不同专题开展了教学活动，在高 二8班的一节数学课堂上，老师以学生为主体, 引导学生围绕“如何求圆的切点弦所在的直线 方程”进行了多种解法的探讨，本文将以这节课 为例,谈谈对以学生为主体的教学方法的思考. 1教学背景与学情分析
圆是学生在平面几何和解析几何中都熟 悉的图形,灵活运用平面几何中的诸多定理以 及解析几何中的数形结合方法,都将有利于学 生解答与圆相关的问题.在本课前的两节课 中，学生学习了圆的一般方程，并且知道了如 何求过圆上一点的切线方程.
本班学生逻辑分析能力强、思维灵活度高 且具有足够的知识储备,在班上开展以学生为 主体的教学活动可以达到预期的教学效果. 2教学实录 2.1环节一：复习回顾，提出问题
师:其他同学还有别的方法吗？ 生2：老师，我想到了一个方法，和刚才那 位同学的有点类似，也是找到了切点4、B的坐 标都满足的方程,但是没有用到圆上一点的切 线方程. 师:好，你说说你是怎么做的. 生2：我是用向量的数量积得到了方程 组①. 设切点力、B的坐标分别为刃），
2019年第7期
欽学菽学
7-15
师:非常好,这位同学的思路是直接设出 直线AB的方程，然后根据已知对方程进行化 简，但是他在化简过程中遇到了困难，有哪位 同学可以帮助他吗？
生5：可以设岀一个切点的坐标 ，然后代入 直线AE的点斜式方程，利用点A的坐标满足 的条件进行化简，可得到直线AB的方程.
直线OM的斜率为k0M =-.因为OM丄 x0 xn
如何求圆的切线方程
如何求圆的切线方程圆的切线方程是指切点在圆上，与圆的切线相切的直线方程。
求圆的切线方程可以使用两种方法：一种是几何法，一种是解析几何法。
下面我将详细介绍这两种方法。
一、几何法：1.切点坐标的确定：设圆的方程为x^2+y^2=r^2，其中圆心坐标为（a,b），切点坐标为（x0,y0）。
首先，我们需要找到切线过圆的切点坐标。
切点坐标的确定有多种方法，其中一种常用方法是使用相似三角形：a）过切点（x0,y0）作圆的半径的垂直向量，与x轴的夹角为θ1，与y轴的夹角为θ2b）设此向量的x轴分量为r*cosθ1，y轴分量为r*sinθ2c）由于切线与半径垂直，切线的斜率为-k，其中k为半径的斜率，k=tanθ1=tan(π/2-θ2)=-cotθ2d）则切线的斜截式方程为：y-y0=-k(x-x0)y=y0-k(x-x0)2.斜率的确定：接下来，我们需要确定切线的斜率k。
a）过切点（x0,y0）作圆的切线，与$x^2+y^2=r^2$的导数成正交关系。
求导并求导数的负倒数可以得到斜率：k=(dy/dx)=-x0/y0b）根据切点坐标的确定部分，我们可以将切线的斜率表示为：k=-cotθ2=-x0/y03.切线方程的确定：根据斜截式方程以及确定切点坐标的部分，我们可以得到切线方程的最终形式：y=y0-x0/y0(x-x0)二、解析几何法：使用解析几何法，我们可以根据给定的圆的方程以及切点坐标的确定方法来求解切线方程。
1.切点坐标的确定：根据几何法中的部分，我们可以确定切点的坐标。
2.切线斜率的确定：根据几何法中的部分，我们可以确定切线的斜率。
3.切线方程的确定：使用点斜式，我们可以得到切线方程的最终形式。
y-y0=-k(x-x0)y=y0-k(x-x0)需要注意的是，如果圆的方程不是以原点为圆心，可以通过平移变换将其变换到以原点为圆心的方程形式。
然后使用上述方法求解切线方程。
希望上述内容对于你理解如何求圆的切线方程有所帮助。
圆的切点弦方程公式推导
圆的切点弦方程公式推导
设圆的方程为：$\textbf{C}: (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$
我们可以假设直线的斜率为$k$，并设直线与圆的切点坐标为
$(x_0,y_0)$。
由直线的斜截式方程可得：$y-y_0=k(x-x_0)$
将上式代入圆的方程，得到：
$(x-a)^2+[k(x-x_0)+y_0-b]^2=r^2$
化简上式，可得：
$(1+k^2)(x^2+(1-k^2)x_0+(y_0-b)^2-r^2)+2(k(y_0-b)-
ka)x+(x_0^2+(y_0-b)^2-r^2) = 0$
由于直线与圆相切，所以该方程的根只有一个，即只有一个解。
这意味着判别式$D=B^2-4AC=0$。
将方程的系数代入判别式的公式中，可得：
$(2k(y_0-b)-2ka)^2 - 4(1+k^2)(x_0^2+(y_0-b)^2-r^2) = 0$
化简上式，可得：
$k^2a^2-a^2+r^2-b(y_0-r)=0$
整理上式，可得：
$k^2 = \frac{a^2-r^2+b(y_0-r)}{a^2}$
由于直线的斜率$k$可以取任意值，所以我们可以将上式写为：
$a^2(a^2-r^2+b(y_0-r))=0$
这就是切点弦方程的推导过程。
需要注意的是，这个切点弦方程只适用于与圆相切的直线。
如果直线与圆相交或者平行，都不能使用该方程进行求解。
总结起来，圆的切点弦方程公式的推导过程主要是基于直线的斜截式方程和圆的方程，在求解切点的坐标后，利用判别式为0的条件得到方程的系数，最终得出切点弦方程。
圆的弦长问题
圆的弦长问题
一、圆的弦长问题
圆的弦长问题在数学里就像一个个小谜题，超级有趣呢！
咱们先来说说弦长的概念。
弦长就是连接圆上任意两点的线段的长度啦。
想象一下，圆就像一个超级大的披萨，弦长就好比是从披萨边缘的一点到另一点切的一刀的长度。
那怎么求弦长呢？如果我们知道圆的半径r，圆心到弦的距离d，就可以用
一个超酷的公式来求弦长l哦，这个公式就是l = 2√(r² - d²)。
比如说，有个圆半径是5，圆心到弦的距离是3，那弦长就是2√(5² - 3²)=2√(25 - 9)=2√16 = 8啦。
还有一种情况呢，如果我们知道圆的方程和直线的方程（这里的直线和圆相交，相交的线段就是弦啦），我们可以联立方程来求解交点坐标，然后再根据两点间距离公式求出弦长。
不过呢，在做这些题目的时候，可一定要小心计算哦，不然一个小失误就可能得出错误的答案。
比如说在计算圆心到弦的距离的时候，可能会把坐标算错，那就糟糕啦。
反正就是说呢，圆的弦长问题虽然有点小复杂，但只要我们掌握了正确的方法，就像拥有了魔法钥匙，能轻松解开这些谜题啦。
圆的切点弦及其求法
2 2
于点 P , 所以 P 点坐标满足直线 PA 与 PB 的 方程 , 于是有 : ax 1 + by 1 = R 2 , ax 2 + by 2 =
R , 上述两式说明 : A , B 两点坐标均满足方
2
又弦 A B 为两圆的公共弦 , ∴ 由圆系方 2 2 程 ( x + y + D 1 x + E1 y + F1 ) + λ( x 2 + y 2 + D 2 x + E2 y + F2 ) = 0 , 令 λ = - 1 即可得 切点弦 A B 的方程 : ax + by - R = 0 . 解法 2 以 P 为 圆心 , A P 为半径作圆 P ( 这里 PA = PB ) , 则 弦 AB 为两圆的公共 弦 , 又圆 P 的方程为 : ( x - a) 2 + ( y 图2 解法 2 图 b) 2 = | PA | 2 = | PO | 2 2 - | OA | , 即 ( x - a) 2 + ( y - b) 2 = a2 + b2 - R 2 , 亦即 x 2 + y 2 - 2 ax - 2 by + R 2 = 0 , 由圆 系方程 ( x 2 + y 2 + D 1 x + E1 y + F1 ) + λ( x 2 +
( 收稿日期 :2001 - 08 - 06)
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切线方程与切点弦方程
切线方程与切点弦方程一、圆的切线方程一、圆的方程为:(x —a）²+ （y —b)²= r²1. 已知:圆的方程为：（x - a)²+ （y —b)²= r²，圆上一点P（x0，y0）。
求过点P的切线方程解：圆心C（a，b)；直线CP的斜率:k1 = ( y0—b) / ( x0- a）因为直线CP与切线垂直, 所以切线的斜率：k2 = -1/k1 = —(x0 - a）/ （y0 - b)根据点斜式, 求得切线方程:y - y0 = k2（x - x0）y —y0 = [—（x0 - a) / （y0 - b)] （x - x0）整理得：(x —x0）（x0 - a）+ （y - y0）(y0 - b) = 0 （切线方程公式）展开后: x0x - ax + ax0 + y0y - by + by0 - x0²- y0²= 0 (1）因为点P在圆上，所以它的坐标满足方程：（x0 - a)²+ （y0 - b)²= r²化简：x0²- 2ax0 + a²+ y0²- 2by0 + b²= r²移项：—x0²- y0²= —2ax0—2by0 + a²+ b²- r²(2)由（2)代入(1), 得:x0x —ax + ax0 + y0y - by + by0 + (-2ax0—2by0 + a²+ b²—r²）= 0化简：(x0x - ax —ax0 + a²）+ (y0y —yb- by0 + b²) = r²整理：(x0—a）（x - a）+ （y0—b）（y —b) = r²变式—1 已知：圆的方程为:(x —a）²+ （y —b）²= r², 圆外一点P（x0，y0）二、对于圆的一般方程：x²+ y²+ Dx + Ey + F = 0，过圆上的点的切线方程.2.已知：圆的方程为:x²+ y²+ Dx + Ey + F = 0, 圆上一点P（x0，y0)解: 圆心C（-D/2, -E/2 )直线CP的斜率:k1 = (y0 + E/2) / （x0 + D/2）因为直线CP与切线垂直，所以切线的斜率：k2 = -1/k1 = —(x0 + D/2）/ （y0 + E/2）根据点斜式, 求得切线方程：y - y0 = k2（x - x0)y - y0 = ［- （x0 + D/2）/ （y0 + E/2）] （x —x0）整理得：x0x + y0y + Dx/2 + Ey/2 —Dx0/2 —Ey0/2 -x0²- y0²= 0 (3)因为点P在圆上, 所以它的坐标满足方程：x0²+ y0²+ Dx0 + Ey0 + F = 0移项：—x0²- y0²= Dx0 + Ey0 + F (4)由（4)代入(3），得：x0x + y0y + Dx/2 + Ey/2 - Dx0/2 —Ey0/2 + Dx0 + Ey0 + F = 0 整理，x0x + y0y + D(x + x0)/2 + E（y + y0）/2 + F = 0变式—2 已知：圆的方程为:x²+ y²+ Dx + Ey + F = 0 ，圆外一点P（x0，y0）二、圆的切点弦方程三、圆锥曲线的切线方程和切点弦方程设P(x0, y0）是圆锥曲线上（外）一点，过点P引曲线的两条切线,切点为A , B两点,则A , B两点所在的直线方程为切点弦方程。
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圆的切点弦方程的解法探究
在理解概念熟记公式的基础上，如何正确地多角度观察、分析问题，再运用所学知识解决问题，是解题的关键所在。
本文仅通过一个例题，圆的部分的基本题型之一，分别从不同角度进行观察，用不同的知识点和九种不同的解法，以达到介绍如何观察、分析、解决关于圆的切点弦的问题。
一、预备知识：
1、在标准方程
2
22)()r b y a x =-+-（下过圆上一点),00y x P （的切线方程为：
200))(())r b y b y a x a x =--+--（（ ； 在一般方程02
2
=++++F Ey Dx y x （042
2>-+F E D ） 下过圆上
一点),00y x P （的切线方程为：
02
20
000=++++++F y y E x x D
yy xx 。
2、两相交圆01112
2=++++F y E x D y x （0412
12
1>-+F E D ）与
022222=++++F y E x D y x （0422
22
2>-+F E D ） 的公共弦所在的直线方程为：0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D 。
3、过圆02
2
=++++F Ey Dx y x （042
2>-+F E D ）外一点
),11y x P （作圆的切线，其切线长公式为：F Ey Dx y x PA ++++=112121||。
4、过圆02
2
=++++F Ey Dx y x （042
2>-+F E D ）外一点
),11y x P （作圆的切线，切点弦AB 所在直线的方程为：211))(())r b y b y a x a x =--+--（（（在圆的标准方程下的形式）；
02
21
111=++++++F y y E x x D
yy xx （在圆的一般方程下的形式）。
二、题目 已知圆04422
2=---+y x y x 外一点P （-4，-1），过点P 作圆
的切线PA 、PB ，求过切点A 、B 的直线方程。
三、解法
解法一：用判别式法求切线的斜率
如图示1，设要求的切线的斜率为k （当切线的斜率存在时），那么过点P （-4，-1）的切线方
程为：)]4([)1(--=--x k y
即 014=-+-k y kx 由 ⎩
⎨⎧=---+=-+-04420
142
2y x y x k y kx 消去y 并整理得
0)12416()268()1(2222=+-+--++k k x k k x k ①
令 0)12416)(1(4)268(2
2
2
2
=+-+---=∆k k k k k ② 解②得 0=k 或8
15
=
k
将0=k 或815=
k 分别代入①解得 1=x 、1728-=x 从而可得 A(1728-,17
58
)、B(1,-1)，
再根据两点式方程得直线AB 的方程为：0235=-+y x 。
解法二：用圆心到切线的距离等于圆的半径求切线的斜率 如图示1，设要求的切线的斜率为k （当切线的斜率存在时），那么过点P （-4，-1）的切线方程为： )]4([)1(--=--x k y 即 014=-+-k y kx
由圆心C(1,2)到切线014=-+-k y kx 的距离等于圆的半径3，得
3)
1(|
1421|2
2
=-+-+-•k k k ③
解③得 0=k 或8
15
=k
所以切线PA 、PB 的方程分别为：052815=+-y x 和1-=y
从而可得切点 A(1728-
,17
58)、B(1,-1)， 再根据两点式方程得直线AB 的方程为：0235=-+y x 。
解法三：用夹角公式求切线的斜率
如图示1，设要求的切线的斜率为k ，根据已知条件可得 |PC|=34)]1(2[)]4(1[2
2
=
--+-- ，3=r ，5
3
)4(1)1(2=----=
PC k
在PAC Rt ∆中，|PA|=5，5
3=
∠CPA tg 由夹角公式，得
5353153
=+-
k k ④ 解④得 0=k 或8
15
=k
所以切线PA 、PB 的方程分别为：052815=+-y x 和1-=y
从而可得切点 A(1728-,17
58
)、B(1,-1)，
再根据两点式方程得直线AB 的方程为：0235=-+y x 。
解法四：用定比分点坐标公式求切点弦与连心线的交点 如图示1，根据已知条件可得 |PC|=34)]1(2[)]4(1[2
2
=
--+-- ，3=r ，5
3
)4(1)1(2=----=
PC k
在PAC Rt ∆中，|PA|=5，AH ⊥PC ，从而可得 9
25
=
=HC PH λ 由定比分点公式，得 H(3411-,3441) 又因为 3
51-=-=PC AB
k k
再根据点斜式方程得直线AB 的方程为：0235=-+y x 。
解法五：将切点弦转化为两相交圆的公共弦的问题之一
如图示2，因为|PA|=|PB|，所以直线AB 就是经过以P 为圆心|PA|为半径的圆C`与圆04422
2
=---+y x y x 的交点的直线，由切线长公式得
|PA|=54)1(4)4(2)1()422=--•--•--+-（
所以圆C`的方程为 08282
2
=-+++y x y x
根据两圆的公共弦所在的直线方程，得 0235=-+y x
即 直线AB 的方程为：0235=-+y x 。
解法六：将切点弦转化为两相交圆的公共弦的问题之二
如图示3，因为PA ⊥CA ，PB ⊥CB ，所以P 、A 、C 、B 四点共圆，根据圆的直
径式方程，以P （-4，-1）、C （1，2）为直径端点的圆的
方程为
0)2()]1([)1()]4([=-•--+-•--y y x x 即 0632
2=--++y x y x
根据两圆的公共弦所在的直线方程，得 0235=-+y x
即 直线AB 的方程为：0235=-+y x 。
解法七：运用圆的切线公式及直线方程的意义 设切点A 、B 的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，根据过圆上一点的切线方程，得切线PA 、PB 的方程分别为
0424221111=-+-+•-+y y x x yy xx 和
042
4222
222=-+-+•-+y y x x yy xx
因为P （-4，-1）是以上两条切线的交点，将点P 的坐标代入并整理，得
⎩⎨
⎧=-+=-+0
2350
2352211y x y x ⑤ 由式⑤知，直线 0235=-+y x 经过两点A ),(11y x 、B ),(22y x ， 所以，直线AB 的方程为：0235=-+y x 。
解法八：直接运用圆的切点弦方程
因为P （-4，-1）是圆04422
2
=---+y x y x 外一点，根据切点弦所在直线的方程02
21111=++++++F y y E x x D yy xx 得
042
1424214=--+•--+•
-•-+•-）
（）（）（y x y x
整理得，直线AB 的方程为：0235=-+y x 。
解法九：运用参数方程的有关知识 如图4，将圆的普通方程04422
2=---+y x y x 化为参数方程：
⎩⎨
⎧+=+=θ
θ
sin 32cos 31y x （其中θ为参数） 设切点A 的坐标为（θcos 31+，θsin 32+），由PA ⊥CA 得 11
)cos 31(2
)sin 32()4()cos 31()1()sin 32(-=-+-+•--+--+θθθθ化简，整理得
03sin 3cos 5=++θθ ⑥
又因为5
3
)4(1)1(2=----=
PC k 3
51-=-=PC AB k k 可设直线AB 的方程为035=++c y x ，将点A （θcos 31+，θsin 32+）代入并
整理，得
03
11sin 3cos 5=+++c
θθ
⑦
由式⑥和⑦知，
33
11=+c
，从而得 2-=c 所以，直线AB 的方程为：0235=-+y x。