2011-2012第一学期《数学建模》试题卷及答案

2012-2013第一学期《数学建模》选修课试题卷

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一、解释下列词语，并举例说明(每小题满分5分，共15分)

1．模型

模型是所研究的系统，过程事物或概念的一种表达形式，也可只根据实验。图样放大或缩小而制成的样品，一般用于展览或实验或铸造机器零件等用的模子。

2．数学模型

当一个数学结构作为某种形式语言（既包括常用符号,函数符号，谓词符号等符号集合）解释时，这个数学结构就称为数学模型。

3．抽象模型

二、简答题（每小题满分8分，共24分）

1．模型的分类

按照模型替代原型的方式，模型可以简单分为形象模型和抽象模型两类. 形象模型：直观模型、物理模型、分子结构模型等; 抽象模型：思维模型、符号模型、数学模型等。

2．数学建模的基本步骤

1.模型准备：首先要了解问题的实际背景，明确建模的目的及要求，收集各种必要的信息。

2.模型假设：为了利用数学方法，通常要对问题作出必要的合理的假设，是，问题的主要特征凸显出来，忽略问题的次要方面。

3.模型构成：根据说做的假设以及事物之间的联系，构造各种量之间的关系，把问题化为数学问题。

4.模型求解：利用已知的数学方法来求上一步所得到的数学问题词时往往还要做进一步的简化。

5.模型分析：对所得到的解答进行分析，特别注意当数据变化时所得到的结果是否稳定。

6.模型检验：分析所得结果的实际意义，与实际情况进行比较看是否符合实际；

7.模型应用：所建立的模型必须在实际中才能产生效益。

3．数学模型的作用

数学模型的根本作用在于它将客观模型比繁为简。化难为易，便于人们采用定量的方法，分析和理解实际问题，正因为如此数学模型在科学发展，科学预见，科学管理，科学决策调控市场乃至个人能高效个工作和生活等众多方面发挥着重要作用。

三、解答题（满分20分）

F 题(9n+5, 9n+1)

某金融机构为保证现金充分支付,设立一笔总额$540万的基金,分开放置在位于A城和B城的两个公司,基金在平时可以使用,但每周末结算时必须确保总额仍为$540万.经过相当一段时期业务情况,发现每过一周,各公司的支付基金在流通过程中多数还是留在自己公司内,而A城公司有10％支付基金流动到B城公司，B 城公司则有12％支付基金流动到A城公司.此时,A城公司基金额为$260万,B城公司基金额$280万.按此规律,两公司支付基金数额变化趋势如何?如果金融专家认为每个公司的支付基金不能少于$220万,那么是否在什么时间需要将基金作专门调动来避免这种情形?

解：设此后第K周末结算时，A城公司和B城公司的支付基金数分别是Ak和Bk(单位：万美元)，那么此刻有：

Ak+1=0.9Ak+0.12Bk

Bk+1=0.1AK+0.88Bk

k=0,1……其中，初始条件：A0=260，B0=280

给出了这个问题的数学模型。通过一次迭代，可以求出各周末时Ak和Bk的数值，以下的表列出了1至12周末两公司的基金属（单位：万美元）

可以看出A城公司支付基金数在逐步增加，但增加布幅变小；B城公司支付基金数恰好相反。然而Ak是否有上界、Bk是否有下界？Bk是否会小于200？

利用线性代数的知识将差分方程组写成矩阵的形式

Ak+1 0.9 0.12 Ak

Bk+1 = 0.1 0.88 Bk

其中 A0 260

B0 = 280 是初始值，利用矩阵对角化方法可以求解。

.

四、综合题（21分）

M. 飞机降落曲线(7n+3, 7n+5, 7n+6)

在研究飞机的自动着陆系统时，技术人员需要分析飞机的降落曲线（图1）. 根据经验，一架水平飞行的飞机，其降落曲线是一条五次多项式. 飞行的高度为h ，飞机着陆点O 为原点，且在这个降落过程中，飞机的水平速度始终保持为常数u . 出于安全考虑，飞机垂直加速度的最大绝对值不得超过

10

g ，此处g

是重力加速度. 1.若飞机从距降落点水平距离s 处开始降落，试确定出飞机的降落曲线. 2. 求开始下降点s 所能允许的最小值.

答：

1. 论文题目；飞机着陆问题

2. 论文摘要（不得超过300字）：

飞机着陆问题是研究飞机在降落时的关键问题，这关系着飞机

上乘客的安全问题，故而为减少飞机降落期间的问题，从而提出此论文。

3. 关键词（不得少于三个）：

飞机着陆问题，垂直速度，水平速度，飞行距离

4. 论文正文： 问题提出；

如今飞机已经成了人们日常旅行的交通工具之一，所以需要解决飞机的安全着陆，那么怎样才能安全呢？

问题分析

可以用不同的函数来模拟飞机的降落曲线。由于有4个隐藏的假定条件，因此我采用三次抛物线（方程假设如下）来模拟飞机的降落曲线

模型假设

f （0）=0，f ＇（0）=0； f （l ）=h ，f ＇（l ）=0；

图1

在竖直方向的加速度的绝对值不能超过一个常数K=g/10（K 远小于重力加速度）。

模型设计：

设飞机开始降落时，距离落点的水平距离为l （km ），机高为h(m)（机

场的地面高度取作0）。飞机

在整个降落过程中，飞机的水平速度保持不变；

模型的解法与结果

假设飞机降落曲线的三次抛物线方程为：

根据上述所得到的已知条件求出方程中的四个待定系数a ，b ，c ，d ，即在Mathmatica 运行环境下输入如下公式：

输入：f = a*x^3 + b*x^2 + c*x + d

D[f, x]

输出：即为f(x)

即为f ’(x)

输入：

运行后得到如下解：

把上述解代入f （x ），则运算后即可得到f （x ）的表达式如下：

f （x ）=-x

l h

3

23

+2

2

3x

l

h

代入具体数据进行验证并画出飞机的降落曲线

假定h=1100m ，l= 15km ，在Mathmatica 运行环境下输入：

运行后即可得到f （x ）的图形如下：