第2章张量(6.8)讲解

3．空间的基和基元素
中任意 个线性无关元素的全体称为 的一个基。基的每个元素称为基元素，由于 的 确良基元素是线性无关的。于是 内任一个元素 可表示成基元素的线性组合。设 为 的任选的基，则有：
， 为任意的不全为零的标量
但总可选取 及 不全等于零，使得
或者
① 不全等于零，所以 不全等于零，且为有限值。
④空间的基往往与坐标系相关连，每一种坐标系有一个与之对应的确定的基，其中 则是矢量 在基或坐标方向的分量值。
⑤空间的元素如为矢平日里，则基元素称为基矢。如前所述，不同坐标系的基矢之间存在确定的变换关系，它是坐标变换的基础。
正交基：基内各基矢相互正交的基，称为正交基。
标准正交基：基矢为单位矢量的正交基，称为标准正交基。
自由指标表示，若轮流取该指标取值范围内的任一值，关系式恒成立。
自由指标仅表示为轮流换值，因此也可以换标，如，上式可写为
（同时换标）
注意：①自由指标必须整个表达式换名
②同项中出现两对（或多对）不同哑标表示多重求和。如：
③哑标只能成对出现。否则要如求和号或特别指出（就书中标下加“-”）
④由 不能得出
⑤若重复出现的标号不求和，应特别声明
现以欧氏空间为例，这是三维空间。
在欧氏空间内，笛卡儿坐标系为标准正交基，记作 ，在此坐标系内，任一矢量 （位矢）为
是不因坐标位置而改变的
当只一个坐标有变化时，例如 有变化
此时， ，因此， 为单位矢量。
都等于1，且彼此正交，故笛卡儿坐标系的基为标准正交基。
正交曲线坐标系的基亦为正交基，记作 ，用 表示坐标值，则基矢 定义之
微分符号：
约定： 英文字母下标表示三维指标，取值1，2，3
2．求和约定：
矢量点积：
两矢量分别记为
哑标：在表达式式中等项中，某指标重复出现两次，则表示要把该项指标在取值范围内遍历求和，该重复指标称为“哑标”或“伪标”
哑标的符号可以任意改变（仅表示求和）
线性变换：
上式中， 为哑标表示求和，而 在每项中只出现一次，称为自由指标。
（不能变换顺序）
张量的缩并仍为张量，其阶数等于原张量的阶数减去缩并数
惯用的缩并：
表示缩并， 表示缩并次数，惯用为最靠近的缩并。
要求：
（称为双点乘，设 为二阶张量）
由于对任意的 上式均成立，则：
①
进一步，有：
②
③
§2.4坐标变换
：老坐标系
：新坐标系（
坐标轴夹角的方向余弦：
构成一个二阶张量
（与一般不同，它是两个坐标系的基矢构成的）
称为转移张量（shifter）（总是新坐标在前，老坐标在后）
性质：① 不是对称张量 而
② 是正交张量
（*）
又新老坐标系基矢量的关系式：
§2.3符号 和
1． 符号（kronecher delta）定义为
性质：对称性
应用：
2．排列符号（置换符号） （Permutation Symbol）
定义：
性质：
下标改变奇次位置时改变正、负号，下标改变偶数次位置时不改变符号。
应用：
3． 之关系（恒等式）
矢量恒等式
设
而
又
根据矢量恒等式，有：（矢量恒等则矢量的各分量应相等）
② 内有无限个基，但只有一个基是独立的，因为 内至少只有 个元素是线性无关的。设 及 是 的两个基，则 中的每个基元素都可用 的线性组合来表示；反之亦然，因此， 中的任两个基元之间存在唯一的变换关系。
③对于同一个元素 ，采用不同的基时，其系数 不同甘共苦。
因为 与 间有确定的变换关系，因此， 与 间亦有确定的变换关系。
且 不合为零，则称此 个矢量线性相关，否则，称为线性无关。
例1位于同一平面内的两个矢量 和 （如图）是线性无关的，即
若 和 为任意值，且不全为零。
例2位于同一平面内的三个矢量 ， ， 是线性相关的，则恒可找到 , , （不全为零）使
如图：
集合 内线性无关元素的最大个数称为集合或空间的维数。设 的维数为 ，则记为 ，欧氏空间为 。
第2章 张量分析
§2.1矢量空间、基、基矢
1．线性矢量空间
设有 个矢量 ，它们构成一个集合 ，其中每个矢量 称为 的一个元素。如 唯一地确定 的另一个元素，及 （ 为标量）也给定 内唯一确定的元素，则称 为线性（矢量）空间。 中的零元素记为 ，且具有 .
2．空间的维数
设 为 个标量，矢
（ 为标准化的正交曲线坐标基矢）
则 与 与 有一定的变换关系（即坐标变换公式），通过基矢的变换来导出它们之间的变换关系。
称为一阶基（由三个矢量构成的基）
①矢量可用一个方向来确定，
在 方向，应力矢为
在 方向，应力矢为
②但有些量不利用一个方向来确定，如应力：它与两个方向有关，常用的单元体也如此（ 和作用面的法矢）。
这样引入二阶基：
从数字上说，可引入 阶基， 个基矢
与 阶基相关连的量称为 阶张量
：标量 ：矢量 ：二阶张量（简称张量）
张量的记法：
直接记法
（抽象记法）
分量记法
矩阵记法
（0阶、一阶、二阶张量）
标量
/
/
矢量
二阶张量
[T],
直接记法与坐标系选择无关，只用于描绘公式、不能进行计算。分量中标量称为伪标量，与坐标选择有关，这里能以分量记法变直接记法，反之亦然。
2．张量的外乘（并乘）， 外积（并积），用记号
不适于交换率，与秩序有关。
个张量外乘，结果仍为张量，新张量的阶数为 个张量阶数之和
分量的组合有9个，该9个为二阶张量的分量。
3．张量的内乘（点乘） 内积（点积），用记号“•”）
张量的内乘法结果仍为张量，其阶数为二个张量的阶数之和再减去点乘的次数乘2。
4．张量的缩并
上面第一式两边乘以 则
上面第二式两边乘以 则
则：
代入（*）式，有 证毕
张量 的应用：
i）矢量的坐标变换：
又
则： 或
矢量形式为：
ii）二阶张量的坐标变换：
与上同样：
张量写法为：
§2.5张量的代数运算
1．张量的坐标系不变性及其记法
客观量都是与坐标系无关（坐标系只是人为的选择工具），如长度是不变的，但测量长度可用不同的工具），（若张量与坐标系选择无关，则张量反映了一个客观量）。
① 随坐标位置而变化，② ，因此 是正交基，但不是标准正交基。
例如：在极坐标系内
其中 ，因此， ，令 （拉梅系数）及
则 为正交曲线坐标系的标准化正交基。
因此，显然有
§2.2字母指标法
1．字母标号法：（标号：index or suffix）
点位置： （矢径）
矢量： （位移）
（速度）
应力（张量）：
应变（张量）：