第2章张量(6.8)讲解

微分符号：
约定： 英文字母下标表示三维指标，取值1，2，3
2．求和约定：
矢量点积：
两矢量分别记为
哑标：在表达式式中等项中，某指标重复出现两次，则表示要把该项指标在取值范围内遍历求和，该重复指标称为“哑标”或“伪标”
哑标的符号可以任意改变（仅表示求和）
线性变换：
上式中， 为哑标表示求和，而 在每项中只出现一次，称为自由指标。
① 随坐标位置而变化，② ，因此 是正交基，但不是标准正交基。
例如：在极坐标系内
其中 ，因此， ，令 （拉梅系数）及
则 为正交曲线坐标系的标准化正交基。
因此，显然有
§2.2字母指标法
1．字母标号法：（标号：index or suffix）
点位置： （矢径）
矢量： （位移）
（速度）
应力（张量）：
应变（张量）：
（不能变换顺序）
张量的缩并仍为张量，其阶数等于原张量的阶数减去缩并数
惯用的缩并：
表示缩并， 表示缩并次数，惯用为最靠近的缩并。
要求：
（称为双点乘，设 为二阶张量）
现以欧氏空间为例，这是三维空间。
在欧氏空间内，笛卡儿坐标系为标准正交基，记作 ，在此坐标系内，任一矢量 （位矢）为
是不因坐标位置而改变的
当只一个坐标有变化时，例如 有变化
此时， ，因此， 为单位矢量。
都等于1，且彼此正交，故笛卡儿坐标系的基为标准正交基。
正交曲线坐标系的基亦为正交基，记作 ，用 表示坐标值，则基矢 定义之
3．空间的基和基元素
中任意 个线性无关元素的全体称为 的一个基。基的每个元素称为基元素，由于 的 确良基元素是线性无关的。于是 内任一个元素 可表示成基元素的线性组合。设 为 的任选的基，则有：
， 为任意的不全为零的标量
但总可选取 及 不全等于零，使得
或者
① 不全等于零，所以 不全等于零，且为有限值。
自由指标表示，若轮流取该指标取值范围内的任一值，关系式恒成立。
自由指标仅表示为轮流换值，因此也可以换标，如，上式可写为
（同时换标）
注意：①自由指标必须整个表达式换名
②同项中出现两对（或多对）不同哑标表示多重求和。如：
③哑标只能成对出现。否则要如求和号或特别指出（就书中标下加“-”）
④由 不能得出
⑤若重复出现的标号不求和，应特别声明
上面第一式两边乘以 则
上面第二式两边乘以 则
则：
代入（*）式，有 证毕
张量 的应用：
i）矢量的坐标变换：
又
则： 或
矢量形式为：
ii）二阶张量的坐标变换：
与上同样：
张量写法为：
§2.5张量的代数运算
1．张量的坐标系不变性及其记法
客观量都是与坐标系无关（坐标系只是人为的选择工具），如长度是不变的，但测量长度可用不同的工具），（若张量与坐标系选择无关，则张量反映了一个客观量）。
④空间的基往往与坐标系相关连，每一种坐标系有一个与之对应的确定的基，其中 则是矢量 在基或坐标方向的分量值。
⑤空间的元素如为矢平日里，则基元素称为基矢。如前所述，不同坐标系的基矢之间存在确定的变换关系，它是坐标变换的基础。
正交基：基内各基矢相互正交的基，称为正交基。
标准正交基：基矢为单位矢量的正交基，称为标准正交基。
这样引入二阶基：
从数字上说，可引入 阶基， 个基矢
与 阶基相关连wk.baidu.com量称为 阶张量
：标量 ：矢量 ：二阶张量（简称张量）
张量的记法：
直接记法
（抽象记法）
分量记法
矩阵记法
（0阶、一阶、二阶张量）
标量
/
/
矢量
二阶张量
[T],
直接记法与坐标系选择无关，只用于描绘公式、不能进行计算。分量中标量称为伪标量，与坐标选择有关，这里能以分量记法变直接记法，反之亦然。
且 不合为零，则称此 个矢量线性相关，否则，称为线性无关。
例1位于同一平面内的两个矢量 和 （如图）是线性无关的，即
若 和 为任意值，且不全为零。
例2位于同一平面内的三个矢量 ， ， 是线性相关的，则恒可找到 , , （不全为零）使
如图：
集合 内线性无关元素的最大个数称为集合或空间的维数。设 的维数为 ，则记为 ，欧氏空间为 。
第2章 张量分析
§2.1矢量空间、基、基矢
1．线性矢量空间
设有 个矢量 ，它们构成一个集合 ，其中每个矢量 称为 的一个元素。如 唯一地确定 的另一个元素，及 （ 为标量）也给定 内唯一确定的元素，则称 为线性（矢量）空间。 中的零元素记为 ，且具有 .
2．空间的维数
设 为 个标量，若能选取 ，使得
§2.3符号 和
1． 符号（kronecher delta）定义为
性质：对称性
应用：
2．排列符号（置换符号） （Permutation Symbol）
定义：
性质：
下标改变奇次位置时改变正、负号，下标改变偶数次位置时不改变符号。
应用：
3． 之关系（恒等式）
矢量恒等式
设
而
又
根据矢量恒等式，有：（矢量恒等则矢量的各分量应相等）
② 内有无限个基，但只有一个基是独立的，因为 内至少只有 个元素是线性无关的。设 及 是 的两个基，则 中的每个基元素都可用 的线性组合来表示；反之亦然，因此， 中的任两个基元之间存在唯一的变换关系。
③对于同一个元素 ，采用不同的基时，其系数 不同甘共苦。
因为 与 间有确定的变换关系，因此， 与 间亦有确定的变换关系。
矢量（小写字母） 笛卡儿坐标系基矢
（ 为标准化的正交曲线坐标基矢）
则 与 与 有一定的变换关系（即坐标变换公式），通过基矢的变换来导出它们之间的变换关系。
称为一阶基（由三个矢量构成的基）
①矢量可用一个方向来确定，
在 方向，应力矢为
在 方向，应力矢为
②但有些量不利用一个方向来确定，如应力：它与两个方向有关，常用的单元体也如此（ 和作用面的法矢）。
2．张量的外乘（并乘）， 外积（并积），用记号
不适于交换率，与秩序有关。
个张量外乘，结果仍为张量，新张量的阶数为 个张量阶数之和
分量的组合有9个，该9个为二阶张量的分量。
3．张量的内乘（点乘） 内积（点积），用记号“•”）
张量的内乘法结果仍为张量，其阶数为二个张量的阶数之和再减去点乘的次数乘2。
4．张量的缩并
由于对任意的 上式均成立，则：
①
进一步，有：
②
③
§2.4坐标变换
：老坐标系
：新坐标系（
坐标轴夹角的方向余弦：
构成一个二阶张量
（与一般不同，它是两个坐标系的基矢构成的）
称为转移张量（shifter）（总是新坐标在前，老坐标在后）
性质：① 不是对称张量 而
② 是正交张量
（*）
又新老坐标系基矢量的关系式：