第四讲解三角形

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第四讲+简单的三角恒等变换课件——2025届高三数学一轮复习

【题后反思】(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系.
(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β， β＝α＋2 β－α－2 β，α＝α＋2 β＋α－2 β，α－2 β＝α＋β2－α2＋β等.
1－cos α 2.
(2)cos α2＝± (3)tan α2＝±
1＋cos α 2.
1－cos 1＋cos
αα＝1＋sicnoαs
α＝1－sincoαs
α .
以上称之为半角公式，符号由α2所在象限决定.
考点一三角函数式的化简 1.化简：22tcaonsπ44x－－x2scions22π4x＋＋12x＝________.
2025年高考一轮总复习
第三章三角函数、解三角形
第四讲简单的三角恒等变换
1.辅助角公式的应用 (1)a sin α＋b cos α＝ a2＋b2sin α· a2a＋b2＋cos α· a2b＋b2，不妨记 cos φ＝ a2a＋b2，sin φ＝ a2b＋b2，则 a sin α＋b cos α＝ a2＋b2(sin αcos φ＋cos αsin φ)＝ a2＋b2sin (α＋φ).
答案：B
考向 3 给值求角
[例 3]已知 α，β∈(0，π)，且 tan(α－β)＝21，tan β＝－17，则 2α－β 的值为________.
解析：∵tan α＝tan [(α－β)＋β]＝1t－ant(aαn－(αβ－)＋β)ttaannββ ＝1＋12－12×17 17＝13＞0， ∴0＜α＜π2.

数学一轮复习第4章三角函数解三角形第4讲正余弦定理及解三角形试题2理

第四章三角函数、解三角形第四讲正、余弦定理及解三角形1.［2021湖北省四地七校联考]在一幢20 m 高的楼顶测得对面一座塔吊顶的仰角为60°,塔基的俯角为45°，如图4—4—1，那么这座塔吊的高是( ) A .20(1+√33) mB 。

20(1+√3） mC .10(√6+√2) mD .20（√6+√2） m图4-4—12。

[2021南京市学情调研]在△ABC 中,角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c.若2b cos C ≤2a -c ,则角B 的取值范围是( ) A 。

(0，π3] B 。

(0,2π3] C 。

［π3，π） D 。

［2π3，π）3.[2021贵阳市四校第二次联考]已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ,若b sin A =2c sin B ,cos B =14，b =3，则△ABC的面积为（ ) A.9√15 B 。

9√1516C.3√1516D.9164。

［2020南昌三模]在△ABC 中,角A ，B ，C 所对应的边分别为a ,b ，c ，若ca+b+ba+c =1，则下列说法不一定成立的是（）A .△ABC 可能为正三角形B .角A ，B ，C 成等差数列 C .角B 可能小于π3D .B +C 为定值5。

[2020大同市高三调研]在△ABC 中,B =π4，BC 边上的高等于13BC ,则si n∠BAC = 。

6。

[2021洛阳市统考]在△ABC 中,内角A ，B ,C 所对的边分别为a ,b ，c ,若√2c -ba=sin C tan A —cos C.（1）求A ；（2)若b =3√2,c =2，点D 为BC 的中点,求a 及AD 。

7.［2020长春市质检]△ABC 的内角A ，B ,C 的对边分别为a ,b ，c ,a =b tan A ，a >b.(1)求证：△ABC 是直角三角形。

（2）若c =10，求△ABC 的周长的取值范围.8。

解三角形说课稿

解三角形说课稿一、说教材《解三角形》这一课是高中数学中的重要内容，它承接着初中阶段平面几何的知识，同时为后续学习立体几何、解析几何等内容打下基础。

本节课在教材中的作用和地位主要体现在以下几个方面：1. 知识体系：解三角形是平面几何中的一个重要组成部分，它涉及到三角形的基本性质、勾股定理、余弦定理等知识点，对于完善学生的几何知识体系具有重要意义。

2. 方法培养：解三角形的过程涉及到多种数学方法，如代数法、几何法、三角法等，有助于培养学生的解决问题的能力和逻辑思维能力。

3. 实际应用：解三角形在日常生活和工程实践中具有广泛的应用，如测量、制图、建筑设计等，有利于提高学生的实践操作能力。

主要内容：1. 三角形的分类：根据边长和角度关系，将三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。

2. 勾股定理：介绍勾股定理及其证明，掌握直角三角形的边长关系。

3. 余弦定理：推导余弦定理，并应用于任意三角形的边长和角度求解。

4. 解三角形的方法：代数法、几何法、三角法等。

二、说教学目标学习本课需要达到以下教学目标：1. 知识与技能：（1）理解三角形的分类，掌握勾股定理和余弦定理。

（2）能够运用代数法、几何法、三角法等方法解三角形。

2. 过程与方法：（1）通过自主探究、合作交流，培养解决问题的能力和逻辑思维能力。

（2）学会运用数学方法解决实际问题，提高实践操作能力。

3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对几何学的兴趣，增强数学学习的自信心。

（2）培养学生严谨、踏实的科学态度，提高团队协作能力。

三、说教学重难点1. 教学重点：（1）三角形的分类及特点。

（2）勾股定理和余弦定理的推导和应用。

（3）解三角形的方法及其适用范围。

2. 教学难点：（1）余弦定理的推导过程。

（2）解三角形的方法在实际问题中的应用。

在教学过程中，要注意引导学生掌握重点，突破难点，提高课堂学习效果。

四、说教法在教学《解三角形》这一课时，我计划采用以下几种教学方法，旨在激发学生的兴趣，提高课堂参与度，以及促进学生的深度理解。

解三角形ppt课件

解三角形中的最值问题
01
总结词
02
详细描述
03
示例
利用三角形性质和函数性质，解决三角形中的最值问题。
在解三角形问题中，常常会遇到需要求最值的问题。这类问题通常涉及到三角形的边长、角度等性质，需要利用三角形的基本性质和函数的基本性质进行推理和求解。
在三角形ABC中，已知a 、b、c分别为角A、B、C 所对的边，且a = 2, b = 3, C = 60度。求三角形 ABC的面积的最大值。
航海定位问题
经验积累
解决航海定位问题需要丰富的经验积累，因为在实际航行中会遇到各种复杂的情况。只有通过不断实践和经验积累，才能熟练掌握解三角形的方法，提高定位精度和航行安全
性。
建筑结构设计问题
结构设计基础
建筑结构设计问题是建筑学中的基础问题之一，涉及到建筑物的稳定性和安全性。解三角形的方法可以用来确定建筑物的结构形式和受力情况，保证建筑物的质量和安全性。
测量距离问题
实践性强
解决测量距离问题需要很强的实践能力，需要具备一定的测量和计算能力。同时，还需要对实际环境有足够的了解，能够根据实际情况选择合适的解三角形方法。
航海定位问题
重要应用
航海定位问题在航海学中非常重要，因为准确的定位是保证航行安全的前提。解三角形的方法可以用来确定船只的位置和航向，保证航行路线的准确性。
解三角形ppt课件
contents
目录
• 引言 • 三角形的基本性质 • 解三角形的方法 • 实际应用案例 • 解三角形的进阶技巧 • 总结与展望
01
引言
三角形的定义与性质
三角形是由三条边和三个角构成的二维图形。
三角形的边和角之间存在一定的关系，如两边之和大于第三边、内角和为 180度等。

2025版高考数学一轮总复习第4章三角函数解三角形第4讲三角函数的图象与性质课件

(2)y＝3tanπ6－4x＝－3tan4x－π6，由 kπ－π2<4x－π6<kπ＋π2，解得 4kπ－43π<x<4kπ＋83π(k∈Z)． ∴函数的单调递减区间为 4kπ－34π，4kπ＋83π(k∈Z)．无增区间．
(3)画图知单调递减区间为kπ－π4，kπ＋π4(k∈Z)．
2．(2023·洛阳模拟)若 f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间－π2，23π上是增函数，则 ω 的取值范围是_____0_，__34_ ___.
[解析] 依题意可知 f(x)＝cos2 x－sin2x＝cos 2x，对于 A 选项，因为 x ∈－π2，－6π，所以 2x∈－π，－π3，函数 f(x)＝cos 2x 在－π2，－6π上单调递增,所以 A 选项不正确；对于 B 选项，因为 x∈－π4，1π2，所以 2x∈ －π2，π6,函数 f(x)＝cos 2x 在－π4，1π2上不单调,所以 B 选项不正确；对于 C 选项,因为 x∈0，π3，所以 2x∈0，23π,函数 f(x)＝cos 2x 在0，π3上单调递减，所以 C 选项正确；对于 D 选项，因为 x∈π4，71π2，所以 2x∈π2，76π，函数 f(x)＝cos 2x 在π4，71π2上不单调,所以 D 选项不正确,故选 C．
y＝tan x ___R___
单调性
在____－__π2_＋__2_k_π_，__2π_＋__2_k_π_ _，在_[_(_2_k－__1_)_π_，__2_k_π_]_，
k∈Z 上递增；
k∈Z 上递增；
在____π2_＋__2_k_π_，__32_π_＋__2_k_π_ __，
在_[_2_k_π_，__(2_k_＋__1_)_π_]_， k∈Z 上递减

北师大四年级下册讲义第四讲认识三角形和四边形(二)(含答案)

第四讲认识三角形和四边形（二）知识点四三角形边的关系1、三角形任意两边之和大于第三边。

2、根据上述知识点判断所给的已知长度的三条线段能否围成三角形。

如果能围成三角形，能围成一个什么样的三角形。

知识精讲四例1.三角形两边之和（）第三边A.大于B.小于C.等于例2 .1，2，3厘米的三根火柴（）围成三角形A.能B.不能例3.若等腰三角形的两边长分别为3和7,则它的周长为________。

例4.若等腰三角形的两边长分别是3和4，则它的周长为________。

例5.长为10、7、5、3的四跟木条，选其中三根组成三角形有________种选法。

例6.三角形的周长是24cm，三边长是三个连续的自然数，则三边长为________。

例7.在△ABC中，若a＝3，b＝5，则第三边c的取值范围是________。

例8.△ABD中，△B的对边是________。

例9.如果三条线段的比：（1）5：20：30；（2）5：10：15；（3）3：3：5（4）3：4：5；（5）5：5：10。

那么其中可以构成三角形的比有________。

例10.等腰三角形腰长10厘米，周长24厘米，底长________厘米。

例11.等腰三角形可以分为________、________、________。

例12.三角形按边分类可以分为________、________。

例13.已知等腰三角形的两边长分别为4，9，求它的周长例14.一个等腰三角形，周长为20cm，一边长6cm，求其他两边长参考答案1.【答案】A【考点】三角形的特性【解析】【解答】三角形两边之和大于第三边。

【分析】考查了三角形的特性。

2.【答案】B【考点】三角形的特性【解析】【解答】两边之和大于第三边才能围成三角形【分析】考查了三角形的特性3.【答案】17【考点】三角形的特性【解析】【解答】由两边之和大于第三边，另外一边只能是7，周长17厘米【分析】考察了三角形的特性4.【答案】10或11【考点】三角形的特性【解析】【解答】由两边之和大于第三边，另外一边可能是3或4【分析】考察了三角形的特性5.【答案】2【考点】三角形的特性【解析】【解答】3＋5＋7，5＋7＋10，一共两种【分析】考察了三角形的特性6.【答案】7cm ，8cm ，9cm【考点】三角形的特性【解析】【解答】其中一边必为24÷3＝8，所以剩下两边是7和9【分析】考察了三角形的特性7.【答案】2到8【考点】三角形的特性【解析】【解答】根据两边之和大于第三边，两边只差小于第三边判断【分析】考察了三角形的特性8.【答案】AD【考点】三角形的特性【解析】【解答】画出三角形，来判断【分析】考察了三角形的特性9.【答案】（3），（4）【考点】三角形的特性【解析】【解答】根据两边之和大于第三边，两边只差小于第三边判断【分析】考察了三角形的特性10.【答案】4【考点】三角形的特性【解析】【解答】24－10－10＝4厘米【分析】考察了三角形的特性11.【答案】等腰直角三角形；等腰锐角三角形；等腰钝角三角形【考点】三角形的特性【解析】【解答】等腰三角形的三种分类【分析】考察了三角形的特性12.【答案】等腰三角形；等边三角形【考点】三角形的特性【解析】【解答】三角形的分类【分析】考察了三角形的特性13.【答案】解：另外一边根据边的关系，只能是9，9＋9＋4＝22答：它的周长是22【考点】三角形的特性【解析】【分析】考察了三角形的特性14.【答案】解：如果一边6厘米为腰时,则其他两边一个是腰6厘米,别一边是:20-6X2=8厘米；如果一边6厘米为底边时,则两个腰都是:(20-6)÷2=7厘米【考点】三角形的特性【解析】【分析】考察了三角形的特性对应练习一、选择题1.三角形两边之差（）第三边A.大于B.小于C.等于2 .5，6，7厘米的三根火柴（）围成三角形A.能B.不能3.有3厘米和4厘米的火柴，加上（）厘米的火柴后能围成三角形A.6B.7C.8二、判断题4.三条线段一定能围成三角形5.三角形任意两边之和一定大于第三边6.三角形的三边长可以相等7.用四根一样的火柴棒可以围成一个三角形8.三角形任意两边之差大于第三边三、应用题9.三角形两边长为5厘米，8厘米，求第三边边长10.有木条4根，长度为12厘米，10厘米，8厘米，4厘米，选其中三根组成三角形，则选择的种数有哪几种11.三角形两边长为2厘米和7厘米，第三边长是奇数，第三边长多少?对应练习答案解析部分一、选择题1.【答案】B【考点】三角形的特性【解析】【解答】三角形两边之差小于第三边。

第4讲三角形(三角形的内角和)-四年级奥数下册同步精讲精练(西师大版)

157第四讲三角形(三角形的内角和)ʌ知识概述ɔ三角形的内角和是180ʎ,在等边三角形,每个内角都是60ʎ,在等腰三角形中,顶角的度数=180ʎ-底角的度数ˑ2,底角的度数=(180ʎ-顶角的度数)ː2,在直角三角形中,一个锐角=90ʎ-另一个锐角㊂此外,三角形三个内角的外面还有外角,如图所示,ø1㊁ø2㊁ø3是三角形的内角,ø4㊁ø5㊁ø6是这个三角形的外角,因为ø1+ø2+ø3=180ʎ,ø4+ø3=180ʎ,所以ø1+ø2=ø4,同理,ø2+ø3=ø5,ø1+ø3=ø6㊂同学们可以想一想三角的外角和是多少度?利用这些规律,可以解答关于三角形内角和的问题㊂例题精学例1 计算图中ø1的度数㊂ʌ思路点拨ɔ 图中ø1+110ʎ+ø2=180ʎ,155ʎ+ø2=180ʎ,所以ø1+110ʎ=155ʎ,ø1=45ʎ㊂同步精练1.如图,三角形A B C 为直角三角形,求ø1㊁ø2的度数㊂1582.求图中ø1㊁ø2㊁ø3的度数,并算出这三个角的度数和㊂3.求图中ø1和ø2的度数㊂159例2 在等边三角形A B C 中,ø1=ø2,ø3=ø4,ø5=( )ʎ㊂ʌ思路点拨ɔ 在等边三角形A B C 中,øA B C 和øA C B 都等于60ʎ,ø1=ø2=30ʎ,ø3=ø4=30ʎ,所以ø5=180ʎ-ø2-ø4=180ʎ-30ʎ-30ʎ=120ʎ㊂同步精练1.如图所示,ø1=ø2,ø3=ø4,求ø5㊂2.如图,在三角形中,ø2比ø1大20ʎ,ø3比ø2大20ʎ,那么ø1㊁ø2㊁ø3各是多少度?3.如图,在三角形A B C 中,ø1=ø2,ø3=ø4,ø5=130ʎ,øA 等于多少度?160例3 如图,øA 和øB 分别是多少度?ʌ思路点拨ɔ 在直角三角形B D C 中,øB =90ʎ-40ʎ=50ʎ,在直角三角形A B C 中,øA =90ʎ-øB =90ʎ-50ʎ=40ʎ,还可以这样想:在直角三角形A B C 中,øA C D =90ʎ-40ʎ=50ʎ,在直角三角形A C D 中,øA =90ʎ-øA C D =90ʎ-50ʎ=40ʎ㊂同步精练1.如图,ø1=25ʎ,ø2=80ʎ,求øC A D 的大小㊂2.已知ø1=40ʎ,ø2=50ʎ,ø3=60ʎ,ø4等于多少度?3.如图,正方形中有四个三角形,求ø1㊁ø2㊁ø3的度数㊂161例4 如图,ø1+ø2+ø3+ø4+ø5=( )ʎ㊂ʌ思路点拨ɔ 为了便于说明,给这个图形标上字母,如图在三角形F E C 中,ø3+ø5=øA F G ,在三角形B G D 中,ø2+ø4=øA G F ,所以ø1+ø2+ø3+ø4+ø5=ø1+øA F G +øA G F =180ʎ㊂同步精练1.如图,øA +øB +øC +øD +øE +øF =( )ʎ㊂2.两个三角板如图放置,øB F E 是øC A F 的几倍?3.如图,在五角星中,ø1+ø2=( )ʎ㊂162练习卷1.如图,三角形A B C 中,øA =20ʎ,D E ㊁F C 和E F 相连,A D =D E =E F =F C =B C ,那么图中øA B C 是多少度?2.求出下列图中ø1的度数㊂(1)ø1=( )ʎ (2)ø1=( )ʎ3.下面是一个直角三角形,计算ø1㊁ø2和ø3的度数㊂1634.求图中ø1㊁ø2和ø3的度数㊂5.如图,已知ø1=75ʎ,ø2=20ʎ,ø3=46ʎ,求ø5的度数㊂6.已知ø1=30ʎ,ø2=60ʎ,ø3=40ʎ,求ø4㊁ø5和ø6的度数㊂1647.如图,已知øB =38ʎ,øC =55ʎ,øD E C =23ʎ,求øF 的度数㊂8.如图,已知ø2=35ʎ,求ø1㊁ø3的度数㊂(2)6.(1)A(1,6)O(2,3)B(2,6)(2)第四讲三角形(三角形的内角和)例1因为ø1+110ʎ+ø2=180ʎ,155ʎ+ø2=180ʎ,所以ø1+110ʎ= 155ʎ,ø1=45ʎ㊂[同步精练]1.ø2+48ʎ=70ʎ,ø2=22ʎ,ø1+ø2=90ʎ-48ʎ,ø1+22ʎ=42ʎ,ø1=20ʎ2.ø1=180ʎ-88ʎ=92ʎ,ø2=180ʎ-50ʎ=130ʎ,ø3=88ʎ+50ʎ= 138ʎ,ø1+ø2+ø3=92ʎ+130ʎ+138ʎ=360ʎ3.ø1=180ʎ-40ʎ-60ʎ=80ʎ,ø2=40ʎ+60ʎ=100ʎ例2ø1+ø2=60ʎ,ø1=ø2=30ʎ,ø3+ø4=60ʎ,ø3=ø4=30ʎ,ø5=180ʎ-ø2-ø4=180ʎ-30ʎ-30ʎ=120ʎ307[同步精练]1.ø1+ø2+ø3+ø4=180ʎ-70ʎ=110ʎ,2ø2+2ø4=110ʎ,ø2 +ø4=55ʎ,ø5=180ʎ-55ʎ=125ʎ2.ø2=ø1+20ʎ,ø3=ø2+20ʎ=ø1+40ʎø1+ø2+ø3=ø1+(ø1+20ʎ)+(ø1+40ʎ)=180ʎ3ø1+60ʎ=180ʎø1=40ʎ,ø2=60ʎ,ø3=80ʎ3.ø2+ø4=180ʎ-ø5=180ʎ-130ʎ=50ʎø1+ø2+ø3+ø4=2ø2+2ø4=100ʎ,øA=180ʎ-100ʎ=80ʎ例3 øB=90ʎ-40ʎ=50ʎ,øA=90ʎ-50ʎ=40ʎ[同步精练]1.øC=180ʎ-ø1-ø2=180ʎ-25ʎ-80ʎ=75ʎøC A D=180ʎ-90ʎ-75ʎ=15ʎ2.ø1+ø2=ø3+ø4,ø4=40ʎ+50ʎ-60ʎ=30ʎ3.ø1=60ʎ,ø2=90ʎ-60ʎ=30ʎ,ø3=(180ʎ-ø2)ː2=(180ʎ-30ʎ)ː2=75ʎ例4 ø3+ø5=øA F G,ø2+ø4=øA G Fø1+ø2+ø3+ø4+ø5=ø1+øA F G+øA G F=180ʎ[同步精练]1.如图,øA+øB=180ʎ-ø3308øC+øD=180ʎ-ø2øE+øF=180ʎ-ø1øA+øB+øC+øD+øE+øF=180ʎ-ø3+180ʎ-ø2+180ʎ-ø1=540ʎ-(ø1+ø2+ø3)=540ʎ-180ʎ=360ʎ2.øB F E=360ʎ-90ʎ-90ʎ-45ʎ=135ʎøC A F=60ʎ-45ʎ=15ʎøB F EːøC A F=135ʎː15ʎ=93.如图,ø1=ø2=2øAø1+ø2+øA=180ʎ5øA=180ʎøA=36ʎ,ø1+ø2=180ʎ-36ʎ=144ʎ练习卷1.A D=D E,øA=øD E A=20ʎ,øA D E=180ʎ-20ʎ-20ʎ=140ʎ,D E=E F,øE D F=øDF E=180ʎ-øA D E=180ʎ-140ʎ=40ʎ,øD E F =100ʎ,E F=F C,øF E C=øF C E=180ʎ-øA E D-øD E F=180ʎ-30920ʎ-100ʎ=60ʎ,F C=B C,øC F B=øF B C=180ʎ-øE F D-øE F C= 180ʎ-40ʎ-60ʎ=80ʎ,即øA B C=80ʎ2.(1)30ʎ(2)77ʎ3.ø3=180ʎ-50ʎ=130ʎ,ø1=90ʎ-(180ʎ-60ʎ-50ʎ)=20ʎ,ø2= 90ʎ-60ʎ=30ʎ4.ø1=180ʎ-50ʎ-60ʎ-40ʎ=30ʎø3=180ʎ-50ʎ-60ʎ=70ʎø2=180ʎ-70ʎ=110ʎ5.ø4=ø2+ø3=20ʎ+46ʎ=66ʎø5=180ʎ-ø1-ø4=180ʎ-75ʎ-66ʎ=39ʎ6.ø4=180ʎ-ø1-ø3=180ʎ-30ʎ-40ʎ=110ʎø5=180ʎ-ø4=180ʎ-110ʎ=70ʎø6=180ʎ-ø2-ø5=180ʎ-60ʎ-70ʎ=50ʎ7.øF A E=øB+øC=38ʎ+55ʎ=93ʎøD E C=øF E A=23ʎøF=180ʎ-øF E A-øF A E=180ʎ-93ʎ-23ʎ=64ʎ8.ø1=90ʎ-ø2=90ʎ-35ʎ=55ʎø3=90ʎ-ø2=90ʎ-35ʎ=55ʎ第五讲小数例15.845>5.84>5.8399>5.839>5.79[同步精练]1.整数部分都是7,就比十分位㊂十分位上8最大,是7的几个数再比百分位或千分位上的数㊂7<7.007<7.07<7.7<7.707<7.708<7.8㊂310。

强基计划数学重难点压轴第四讲解三角形

数学强基计划重难点压轴第四讲解三角形1知识梳理1.1解三角形解三角形的主要任务是根据三角形的一些已知量去确定另外一些相关量。

三角形的基本量有三个内角与三条边；衍生量有面积、周长、高线长、角平分线长、中线长、内切圆半径、外接圆半径等等。

三角形的内角和定理、正弦定理和余弦定理是解三角形的重要根据，同时正弦定理和余弦定理给出了边界混合关系的统一方案。

需要注意的是，海伦公式和半角定理给出了利用边角关系求解三角形的有效途径。

1.2正弦定理1.3正弦定理的多解问题因为sin A=t∈(0,1)时,可以对应两个互补的角A,所以已知两边a,b及其中一边所对的角A 解三角形时会涉及到多解问题,如图:当a<b sin A时三角形无解;当a=b sin A或a⩾b时,有一解;当b sin A<a<b时三角形有两解.ABCbaa1.3.1正弦定理的常用变形a =2R sin A,b =2R sin B,c =2R sin C,a :b :c =sin A :sin B :sin C.1.4余弦定理1.4.1余弦定理1.4.2余弦定理的常见变形cos A =b 2+c 2−a 22bc ,cos B =a 2+c 2−b 22ac ,cos C =a 2+b 2−c 22ab.1.4.3余弦定理的应用利用余弦定理可以由两边及夹角求出第三边;也可以由三边求出三个角;另外,根据一个角的余弦的正负可以判断该角是锐角、直角还是钝角,从而判断三角形的形状;如果所给条件是角与边的等式关系,则可以利用余弦定理将角的余弦化成边的关系.1.5正切定理1.5.1正切定理1.6三角形面积公式1.6.1三角形面积公式三角形面积公式S=12ab sin C=12ac sin B=12bc sin A=abc4R,S=12(a+b+c)r,其中r为三角形的内切圆半径.子条目1.海伦公式2.海伦公式的推广1.7三角形中的三角恒等式1.7.1三角形内角恒等式1.8拓展知识1.8.1三角形中的三角不等式在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,O,I,G,H分别为外心、内心、重心、垂心,R,r分别为其外接圆半径和内切圆半径,p为其半周长12(a+b+c),S为其面积.我们有以下不等式:1.16Rr−5r2⩽p2⩽4R2+4Rr+3r2.1.8.2三角与几何角元塞瓦定理角元塞瓦定理的逆定理角元梅涅劳斯定理角元梅涅劳斯定理的逆定理2经典例题1.(+++)假设三角形三边长为连续的三个正整数,且该三角形的一个角是另一个角的两倍,则这个三角形的三边长为()A．4,5,6B．5,6,7C．6,7,8D．前三个答案都不对：答案A.解析设三角形ABC的三边长分别为k−1,k,k+1,则(k−1)+k>k+1,于是k⩾3.不妨设A>B>C,则根据余弦定理,三个内角A,B,C的余弦值分别为cos A=k2+(k−1)2−(k+1)22k(k−1)=k−42k−2cos B=(k−1)2+(k+1)2−k22(k−1)(k+1)=k2+22k2−2cos C=k2+(k+1)2−(k−1)22k(k+1)=k+42k+2容易知道随着k的增大,cos A增大,cos B,cos C减小,于是A减小,B,C增大.接下来验证有限的几个k即可.当k=3时,有(cos A,cos B,cos C)=(−14,1116,78)不符合题意.当k=4时,有(cos A,cos B,cos C)=(0,35,45),不符合题意.当k=5时,有(cos A,cos B,cos C)=(18,916,34),有A=2C,符合题意.当k⩾6时,由于A减小,C增大,必然有A<2C,不符合题意.综上所述,这个三角形的三边长为4,5,6.2.(++)若圆内接四边形ABCD的边长AB=4,BC=8,CD=9,DA=7,则cos A=().A．−15B．−25C．15D．25：答案 B.解析如图,连接BD.ABCD在△ABD中,BD2=AB2+AD2−2cos A·AB·AD=65−56cos A,在△BCD中,BD2=BC2+CD2−2cos C·BC·CD=145+144cos A.于是cos A=−2 5 .3.(++)已知△ABC的三个内角A,B,C满足条件cos3A+cos3B+cos3C=1,则△ABC()A．是锐角三角形B．是直角三角形C．是针角三角形D．形状不确定：答案 C.解析根据题意,有cos (3A −2π)+cos 3B +cos 3C =1,由于(3A −2π)+3B +3C =π,于是4sin3A −2π2sin 3B 2sin 3C 2+1=1,于是sin3A −2π2sin 3B 2sin 3C2=0,从而3A 2,3B 2,3C 2中至少有一个为kπ,其中k 为整数.由于3A 2,3B 2,3C2∈(0,3π2)于是A,B,C 中丟少有一个角为2π3,选项C 正确.4.(+++)某编辑在校阅教材时,发现这句:“从60◦角的顶点开始,在一边截取9厘米的线段,在另一边截取a 厘米的线段,求两个端点间的距离”,其中a 厘米在排版时比原稿上多1.虽然如此,答案却不必改动,即题目与答案仍相符合,则排错的a =：答案5.解析如图,O BPA P A 2=OP 2+OA 2−2cos 60◦·OP ·OA,PB 2=OP 2+OB 2−2cos 60◦·OP ·OB 而P A 2=P B 2,所以(a −1)2−9(a −1)=a 2−9a,解得a =5.5.(++)若圆内接四边形ABCD的边长AB=4,BC=8,CD=9,DA=7,则cos A=：答案−25.解析如图,连接BD.ABCD在△ABD中,BD2=AB2+AD2−2cos A·AB·AD=65−56cos A,在△BCD中,BD2=BC2+CD2−2cos C·BC·CD=145+144cos A.于是cos A=−2 5 .6.(++)已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足a sin A sin B+b cos2A=√2a,则ba的值是.：答案√2.解析由题设及正弦定理,得√2a=a sin A sin B+b (1−sin2A)=b+sin A(a sin B−b sin A)=b故b a =√27.(+++)已知x,y,z∈R+,且x2+y2+xy=1,y2+z2+yz=2,z2+x2+zx=3,则x+y+z=：答案√3+√6.解析相当于在边长分别为1,√2,√3的直角三角形内找到一点,使得其与三个顶点相连,角度均为120◦.由三角形面积可得12(xy+yz+zx)sin120◦=12×1×√2.解得xy+yz+zx=2√6 3.三个方程相加可得2(x2+y2+z2)+xy+yz+zx=6,解得x2+y2+z2=3−√6 3.于是(x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)=3+√6.8.(+++)在△ABC中,cos A+cos B+cos C>1.：答案略.解析解法一利用余弦定理,即证明∑cyc b2+c2−a22bc>1,也即∑cyc (ab2+ac2−a3)−2abc>0.注意到取等条件为A,B,C共线,因此上述不等式左边必然包含因式a+b−c,b+c−a,c+a−b不难推出∑cyc (ab2+ac2−a3)−2abc=∏cyc(a+b−c)>0,这显然成立,原命题得证.解法二考虑到cos A+cos B+cos C−1=cos A+cos B+cos C+cosπ=2cos A+B2cosA−B2+2cosC+π2cosC−π2=2sin C2(cosA−B2−cos A+B2)=4sin A2sinB2sinC2>0,第45页原命题得证.备注事实上,我们亦有4sin A2sinB2sinC2=rR,其中r为三角形内切圆半径,R为三角形外接圆半径.解法三由射影定理,有a=b cos C+c cos B,b=a cos C+c cos A,于是a+b=(a+b)cos C+c(cos A+cos B)整理得cos A+cos B 1−cos C =a+bc>1,于是cos A+cos B+cos C>1.9.(+++)设a,b,c为三角形三边之长,p=a+b+c2,r为内切圆半径,证明:1 (p−a)2+1(p−b)2+1(p−c)2⩾1r2.：答案略.解析因为S=pr=√p(p−a)(p−b)(p−c),所以1 r2=p(p−a)(p−b)(p−c)=(p−a)+(p−b)+(p−c)(p−a)(p−b)(p−c)=1(p−a)(p−b)+1(p−b)(p−c)+1(p−c)(p−a),故1 (p−a)2+1(p−b)2+1(p−c)2=12∑cyc[1(p−a)2+1(p−b)2]⩾12∑cyc2(p−a)(p−b)=1r2,于是原不等式得证.第46页10.(++)已知正实数a,b,c满足:a+b+c=abc,求证:1√a2+1+1√b2+1+1√c2+1⩽32.：答案略.解析可以三角换元可得a=tan A,b=tan B,c=tan C,原命题相当于证明cos A+cos B+cos C⩽3 2 .11.(++)在△ABC中,求3cos A+4cos B+5cos C的最大值.：答案略.解析yz cos A+zx cos B+xy cos C⩽x2+y2+z22本题中取x=2√153,y=2√154,z=2√155即最大值为769120,此时a:b:c=13:14:15.3课后习题1.(++)圆内接四边形ABCD满足AB=80,BC=102,CD=136,DA=150,则圆的直径是()A．170B．180C．8√605D．前三个答案都不对：答案 A.解析连接BD,在△ABD和△CBD中,分别有BD2=802+1502−2·80·150·cos A,BD2=1022+1362−2·102·136·cos(π−A).注意到802+1502=1022+1362,解得A=π2,BD=170.2.(+++)锐角△ABC内接于⊙O,O到a,b,c三边的距离分别为k,m,n,则k:m:n=()A．a:b:c B．1a:1b:1cC．sin A:sin B:sin C D．cos A:cos B:cos C：答案 D.解析如图.第47页BDFEOAC有OD :OE :OF =S △OBC BC :S △OCA CA :S △OABAB =12sin 2A BC :12sin 2B CA :12sin 2C AB =cos A :cos B :cos C.3.（+）在锐角△ABC 中,已知A >B >C ,则cos B 的取值范围是()A ．(0,√22)B ．[12,√22)C ．(0,1)D ．(√22,1)：答案 A.解析由B +C >π2及A +B <π,故B 的取值范圊为(π4,π2),于是cos B 的取值范圊为(0,√22).4.(+++)已知一个三角形的面积为14,且它的外接圆半径为1.设a,b,c 分别为这个三角形的三条边的边长,令u =1a +1b +1c且v =√a +√b +√c ,则u 和v 的关系为()A ．u >vB ．u =vC ．u <vD ．无法确定：答案 A.解析因为三角形外接圆直径d =2,所以三角形的面积为12ab sin C =abc2d =14,于是abc =1,第48页所以u =bc +ca +ab =bc +ca +ab√abc =√bc a +√ca b +√ab c ⩾√a +√b +√c =v等号取得的条件为a =b =c =1,此时三角形的面积为√34,不符合题意,因此u >v .5.(+)在△ABC 中,∠A =120◦,AB =5,BC =7,则sin Bsin C 的值为()A ．85B ．58C ．53D ．35：答案D.解析根据余弦定理,有BC 2=AB 2+AC 2−2·AB ·AC ·cos A于是AC 2+5AC −24=0解得AC =3,于是根据正弦定理,有sin B sin C =AC AB =356.(+++)如图所示,圆O 是等腰梯形ABCD 的内切圆,M 为切点,求AMAP +BM BT的值.BCADM PT第49页：答案10.解析由切割线定理BT ·BM =BN 2,又BM 2=BC 2+MC 2−2BC ·CM ·cos C=4BN 2+BN 2−2·2BN ·BN ·cos C =BN 2·(5−4cos C ),两式相比即得BMBT=5−4cos C 类似的,有AMAP=5−4cos D,于是所求值为10.4随堂测试1.(+++)锐角三角形ABC 中,G 为△ABC 的重心,且AG ⊥BG ,则cos C 的取值范围是A ．[45,1)B ．[45,√63)C ．[12,1)D ．[12,√63)第50页解得1⩽m2n2<2从而cos C=(m2+4n2)+(4m2+n2)−(m2+n2) 2·√m2+4n2·√4m2+n2=√4(m2+n2)2(m2+4n2)(4m2+n2)=1−94(m2n2+n2m2)+17因此cos C的取值范图是[45,√63).2.（+）锐角三角形ABC中,若sin A=2sin B sin C,则tan A+2tan B tan C+tan A tan B tan C的最小值为（）.A．15B．16C．17D．以上答案都不对：答案 B.解析根据题意,有sin B cos C+cos B sin C=2sin B sin C,于是tan B+tan C=2tan B·tan C,于是tan A tan B tan C=tan A+tan B+tan C=tan A+2tan B tan C⩾2√2tan A tan B tan C当tan A=2tan B·tan C时等号成立.于是tan A tan B tan C⩾8,从而tan A+2tan B tan C+tan A tan B tan C⩾16,等号当tan A=4,tan B=2+√2,tan C=2−√2时取得.因此所求的最小值为16.备注每日一题[713]三角恒等变形.第51页。

高考数学复习第四章三角函数解三角形4.7解三角形文ppt市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件

B,c=2Rsin C能够实现边角互化.
2.已知两边和它们夹角、已知两边和一边对角或已知三边都能
直接利用余弦定了解三角形,在利用余弦定理时,要注意整体思想
利用.
3.已知两角和一边,该三角形是确定,其解是唯一;已知两边和一
边对角,该三角形含有不唯一性,通常依据三角函数值有界性和大
边对大角定理进行判断.
∴cos
2 +2 -2
A= 2
=
1
,∴A=60°.
2
(2)∵A+B+C=180°,
∴B+C=180°-60°=120°.
由 sin B+sin C=√3,得 sin B+sin(120°-B)=√3,
∴sin B+sin 120°cos B-cos 120°sin B=√3.
3
√3
∴2sin B+ 2 cos B=√3,即 sin(B+30°)=1.
的面积 S=√3,求 a,b 的值;
(2)若sin C+sin(B-A)=sin 2A,试判断△ABC形状.
21/32
-22考点1
考点2
考点3
考点4
解: (1)由余弦定理及已知条件,得a2+b2-ab=4,
1
2
又因为 S=√3,所以 absin C=√3,得 ab=4.
2 + 2 - = 4,
-14考点1
考点2
考点3
考点4
考点 1 利用正弦定理、余弦定理解三角形
例1在△ABC中,角A,B,C对边分别是
1
a,b,c,已知 cos
2A=,c=√3,sin A=√6sin
中,c=

第4章第4讲正、余弦定理及解三角形(习思用.数学文)

第四讲正、余弦定理及解三角形考点1正、余弦定理及其应用1.[2018湖南省永州市一模]在△ABC 中, a,b,c 分别为内角A,B,C 的对边,若2sin B =sin A +sin C , cos B =35,且S △ABC =6,则b =( )A.2B.3C.4D.52.在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ,已知2a -b =2c cos B ,则角C 的大小为 ( )A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π63.在△ABC 中,A =2π3,a = 3c ,则bc= .4.[2018江西省红色七校联考]如图,在ABC 中,已知点D 在边AB上,AD =3DB ,cos A =45,cos ∠ACB =513,BC =13. (1)求cos B 的值; (2)求CD 的长.5. [2016山东,16,12分][理]在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c .已知2(tan A + tan B )=tan A cos B +tan Bcos A.(Ⅰ)证明:a +b =2c ; (Ⅱ)求cos C 的最小值.6.[2015新课标全国Ⅱ,17,12分][理]△ABC 中,D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,△ABD 面积是△ADC 面积的2倍. (Ⅰ)求sin∠Bsin∠C ;(Ⅱ)若AD =1,DC = 22,求BD 和AC 的长.考点2解三角形的实际应用7.[2018辽宁省辽南协作校一模]为了竖一块广告牌,要制造一个三角形支架,如图,要求∠ACB=60°,BC的长度大于1米,且AC比AB长0.5米.为了稳固广告牌,要求AC越短越好,则AC最短为()A.(1+32)米 B.2米C.(1+3)米 D.(2+3)米8.为了应对日益严重的气候问题,某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气象仪器,这种仪器可以弹射到空中进行气象观测.如图4-4-3所示,A,B,C三地位于同一水平面上,这种仪器在C地进行弹射实验,观测点A,B两地相距100米,∠BAC=60°,在A地听到弹射声音的时间比B地晚217秒.在A地测得该仪器至最高点H处的仰角为30°.(已知声音的传播速度为340米/秒)(1)求A,C两地的距离;(2)求这种仪器的垂直弹射高度HC.答案1.C在△ABC中,由正弦定理可得,2b=a+c①,由余弦定理可得,b2=a2+c2-2ac×35=(a+c)2-165ac②,由cos B=35,得sin B=45,故S△ABC=12ac×45=6③,由①②③得,b=4.故选C.2.B解法一把cos B=a2+c2-b22ac 代入2a-b=2c cos B得2a-b=a2+c2-b2a,整理得a2+b2-c2=ab,所以cos C=a2+b2-c22ab =12,又C∈(0,π),所以C=π3.故选B.解法二由2a-b=2c cos B得12b=a-c cos B,由a=b cos C+c cos B得b cos C=a-c cos B,所以12b=b cos C,所以cos C=12,又C∈(0,π),所以C=π3.故选B.3.1∵a=3c,∴sin A=3sin C,∵A=2π3,∴sin A=32,∴sin C=12,又C必为锐角,∴C=π6,∵A+B+C=π,∴B=π6,∴B=C,∴b=c,∴bc=1.4.(1)在△ABC中,因为cos A=45,A∈(0,π),所以sin A=1-cos2A=35.同理可得sin∠ACB=1213.所以cos B=cos[π-(A+∠ACB)]=-cos(A+∠ACB)=sin A sin∠ACB-cos A cos∠ACB=35×1213-45×513=1665.(2)在△ABC中,由正弦定理得, AB= BCsin A sin∠ACB =1335×1213=20.又AD=3DB,所以BD=14AB=5,又在△BCD中,由余弦定理得, CD=BD2+BC2-2BD·BC cos B=52+132-2×5×13×1665=95.(Ⅰ)由题意知2(sin Acos A +sin Bcos B)=sin Acos A cos B+sin Bcos A cos B,化简得2(sin Acos B+sin Bcos A)=sin A+sin B,即2sin(A+B)=sin A+sin B,因为A+B+C=π,所以sin(A+B)=sin(π-C)=sin C. 从而sin A+sin B=2sin C.由正弦定理得a+b=2c.(Ⅱ)由(Ⅰ)知c=a+b2,所以cos C=a 2+b2-c22ab=a2+b2-(a+b2)22ab=38(ab+ba)-14≥12,当且仅当a=b时,等号成立.故cos C的最小值为12.6.(Ⅰ)S△ABD=12AB·AD sin∠BAD,S△ADC=12AC·AD sin∠CAD.因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得sin∠Bsin∠C =ACAB=12.(Ⅱ)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=在△ABD和△ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2AD·BD cos∠ADB,AC2=AD2+DC2-2AD·DC cos∠ADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(Ⅰ)知AB=2AC,所以AC=1.7.D由题意设BC=x(x>1)米,AC=t(t>0)米,依题意得AB=AC-0.5=(t-0.5)(米).在△ABC中,由余弦定理得,AB2=AC2+BC2-2AC·BC cos 60°, 即(t-0.5)2=t2+x2-tx,化简并整理得t=x 2-0.25x-1=x-1+0.75x-1+2(x>1).因为x>1,所以t=x-1+0.75x-1+2≥2+3(当且仅当x=1+32时取等号),故AC最短为(2+3)米,故选D.8.(1)设BC=x,由条件可知AC=x+217×340=x+40, 在△ABC中,BC2=AB2+AC2-2AB×AC cos∠BAC,即x2=1002+(40+x)2-2×100×(40+x)×12,解得x=380,所以AC=380+40=420,故A,C两地的距离为420米.(2)在△ACH中,AC=420,∠HAC=30°,∠AHC=90°-30°=60°,由正弦定理,可得ACsin∠AHC =HCsin∠HAC,即420sin60°=HCsin30°,所以HC=420×1232=1403,故这种仪器的垂直弹射高度为1403米.。

解三角形

形状判断
勾股定理勾股定理只适用于直角三角形（外国叫“毕达哥拉斯定理”） a ²+ b ²= c ², 其中 a 和 b 分别为直角三角形两直角边， c 为斜边。勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数。比如：3，4，5。他们分别是3，4和5的倍数。常见的勾股弦数有：3，4，5；6，8，10；5，12，13；7，24，25；10，24，26等等。
感谢观看
意义
传统的平面几何学通常只能讨论边与边、边与面积、面积与面积、角与角之间的数量关系，却无法讨论角和边、角和面积之间的数量关系。如果我们能够讨论角和边之间的数量关系，然后讨论边与面积之间的数量关系，我们就可以讨论角与面积之间的数量关系。对于角和边之间的定量关系，虽然我们也有诸如“30°的角所对的直角边为斜边的一半”这样的定理，再用勾股定理也可以求出60°的角所对的直角边为斜边的(根号3)/2倍，但这些都仅仅是针对“特殊值”加以讨论，从而很难推广到一般性（任意值）的讨论。
a ²= b ²+ c ²- 2 b c c o s A b ²= a ²+ c ²- 2 a c c o s B c ²= a ²+ b ²- 2 a b c o s C 注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况。
p=(a+b+c)/2（公式里的p为半周长）假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得： S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 已知三条中线求面积方法一：已知三条中线Ma,Mb,Mc，则S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3 ；方法二：已知三边a，b，c ；则S= √[p(p-a)(p-b)(p-c)]；其中：p=(a+b+c)/2 ；

全国版2024高考数学一轮复习第4章三角函数解三角形第4讲正余弦定理及解三角形试题1理含解析

第四章三角函数、解三角形第四讲正、余弦定理及解三角形练好题·考点自测1.[2024全国卷Ⅲ,7,5分][理]在△ABC 中,cos C =23,AC =4,BC =3,则cos B =( ) A.19 B.13 C.12 D.232.[2024 山东,9, 5分][理]在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.若△ABC 为锐角三角形,且满意sin B (1+2cosC )=2sin A cos C +cos A sin C ,则下列等式成立的是( )A.a =2bB.b =2aC.A =2BD.B =2A3.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a =18,b =24,A =45°,则此三角形( ) A.无解 B.有一解 C.有两解D.解的个数不确定4.下列说法正确的是(△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c )( ) ①在△ABC 中,若A >B ,则必有sin A >sin B ; ②在△ABC 中,若b 2+c 2>a 2,则△ABC 为锐角三角形;③在△ABC 中,若A =60°,a =4√3,b =4√2,则B =45°或B =135°;④若满意条件C =60°,AB =√3,BC =a 的△ABC 有两个,则实数a 的取值范围是(√3,2); ⑤在△ABC 中,若a cos B =b cos A ,则△ABC 是等腰三角形. A.①③④⑤ B.①②③④ C.①④⑤D.①③⑤5.[2024全国卷Ⅱ,15,5分][理]△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.若b =6,a =2c ,B =π3,则△ABC 的面积为 .6.[2024浙江,14,6分]在△ABC 中,∠ABC =90°,AB =4,BC =3,点D 在线段AC 上.若∠BDC =45°,则BD = ,cos∠ABD = .7.[2024全国卷Ⅱ,13,5分][理]△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若cos A =45,cos C =513,a =1,则b = .8.[2024深圳市高三统一测试]在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若(a +b )(sin A -sin B )= (a -c )sin C ,b =2,则△ABC 的外接圆面积为 .9.[湖北高考,5分][理]如图4-4-1,一辆汽车在一条水平的马路上向正西行驶,到A 处时测得马路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上,行驶600 m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD = m .图4-4-1 拓展变式1.(1)[2024江淮十校联考]△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2a sin A -b sin B =2c sin C ,cos A =14,则sinB sinC=( ) A.4 B.3 C.2 D.1(2)在锐角三角形ABC 中,b =2,a +c =√7(a >c ),且满意2a sin B cos C +2c sin B cos A =√3b ,则a -c = . 2.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c , (1)若cb <cos A ,则△ABC 的形态为 .(2)若c -a cos B =(2a -b )cos A ,则△ABC 的形态为 .3.[2024河南洛阳4月模拟]在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c. (1)若△ABC 的面积S 满意4√3S +c 2=a 2+b 2,c =√7,a =4,且b >c ,求b 的值; (2)若a =√3,A =π3,且△ABC 为锐角三角形,求△ABC 周长的取值范围.4.[2024全国卷Ⅰ,17,12分][理]在平面四边形ABCD 中,∠ADC =90°,∠A =45°,AB =2,BD =5. (1)求cos∠ADB ; (2)若DC =2√2,求BC.5.(1)[解三角形与数列、基本不等式综合]设△ABC 的角A ,B ,C 成等差数列,且满意sin(A -C )-sin B =-√32,BC 延长线上有一点D ,满意BD =2,则△ACD 面积的最大值为( ) A .1 B .√34C .√32D .√63(2)[新课标全国Ⅰ,5分][理]在平面四边形ABCD 中,∠A =∠B =∠C =75°,BC =2,则AB 的取值范围是 . 6.[2024山东,15,5分]某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图4-4-6所示.O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心,A 是圆弧AB 与直线AG 的切点,B 是圆弧AB 与直线BC 的切点,四边形DEFG 为矩形,BC ⊥DG ,垂足为C ,tan ∠ODC =35,BH ∥DG ,EF =12 cm ,DE =2 cm ,A 到直线DE 和EF 的距离均为7 cm ,圆孔半径为1 cm ,则图中阴影部分的面积为 cm 2.图4-4-6答案第四讲正、余弦定理及解三角形1.A 由余弦定理得AB 2=AC 2+BC 2-2AC ×BC ×cos C =16+9-2×4×3×23=9,AB =3,所以cos B =9+9-162×9=19,故选A .2.A 由题意可知sin B +2sin B cos C =sin A cos C +sin(A +C ),即2sin B cos C =sin A cos C ,又cos C ≠0,故2sin B =sin A ,由正弦定理可知a =2b.故选A.3.C ∵b sin A =12√2<a <b ,∴三角形有两解.4.C 对于①,在△ABC 中,若A >B ,则a >b ,a 2R >b2R (R 为△ABC 的外接圆的半径),即sin A >sin B ,①正确;对于②,在△ABC 中,若b 2+c 2>a 2,则A 是锐角,但△ABC 不肯定是锐角三角形,②错误;对于③,由a sinA =b sinB 得sin B =ba sinA √24√3×√32=√22,因为a >b ,所以B <A ,所以B =45°,③错误;对于④,由条件可得BC sin C <AB <BC ,即√32a <√3<a ,解得√3<a <2,④正确;对于⑤,由a cos B =b cos A 得sinA cosB =sin B cos A ,即sin(A -B )=0,又A ,B 为三角形的内角,所以A =B ,故△ABC 是等腰三角形,⑤正确.故选C .5.6√3 因为a =2c ,b =6,B =π3,所以由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,得62=(2c )2+c 2-2×2c ×c cos π3,得c =2 √3,所以a =4√3,所以△ABC 的面积S =12ac sin B =12×4 √3×2√3×sin π3=6√3.6.12√257√210 在Rt△ABC 中,易得AC =5,sin C =AB AC =45.在△BCD 中,由正弦定理得BD =BC sin∠BDC ×sin∠BCD =√2245=12√25,sin∠DBC =sin[180°-(∠BCD +∠BDC )]=sin(∠BCD +∠BDC )=sin∠BCD cos∠BDC +cos∠BCD sin∠BDC =45×√22+35×√22=7√210.又∠ABD +∠DBC =90°,所以cos∠ABD =sin∠DBC =7√210.7.2113解法一因为cos A =45,cos C =513,所以sin A =35,sin C =1213,从而sin B =sin(A +C )=sin A cos C +cos A sin C =35×513+45×1213=6365.由正弦定理a sinA =b sinB ,得b =asinB sinA =2113. 解法二因为cos A =45,cos C =513,所以sin A =35,sin C =1213,从而cos B =-cos(A +C )=-cos A cos C +sin A sin C =-45×513+35×1213=1665.由正弦定理a sinA =c sinC ,得c =asinC sinA =2013. 由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,得b =2113.解法三因为cos A =45,cos C =513,所以sin A =35,sin C =1213, 由正弦定理a sinA=c sinC,得c =asinC sinA=2013.从而b =a cos C +c cos A =2113.8.43π 利用正弦定理将已知等式转化为(a +b )(a -b )=(a -c )c ,即a 2+c 2-b 2=ac ,所以由余弦定理得cos B =a 2+c 2-b 22ac=12,因为0°<B <180°,所以B =60°.设△ABC 的外接圆半径为R ,则由正弦定理知,2R =b sinB=√3,R =√3,所以△ABC 的外接圆面积S =πR 2=43π.9.100√6 由题意,得∠BAC =30°,∠ABC =105°.在△ABC 中,因为∠ABC +∠BAC +∠ACB =180°,所以∠ACB =45°. 因为AB =600 m,由正弦定理可得600sin45°=BCsin30°,即BC =300√2 m .在Rt△BCD 中,因为∠CBD =30°,BC =300√2 m,所以tan 30°=CDBC =300√2,所以CD =100√6 m .1.(1)D 因为△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,2a sin A -b sin B =2c sin C ,利用正弦定理将角化为边可得2a 2-b 2=2c 2①,由①及余弦定理可得cos A =b 2+c 2-a 22bc=b 4c =14,化简得b c =1,即sinBsinC =1,故选D .(2)√3 因为2a sin B cos C +2c sin B cos A =√3b ,所以2sin A sin B cos C +2sin C sin B cos A =√3sin B.在锐角三角形ABC 中,sin B >0,所以2sin A cos C +2sin C cos A =√3,即sin(A +C )=√32,所以sin B =√32,cos B =12.因为b 2=a 2+c 2-2ac cosB =(a +c )2-2ac -2ac cos B ,所以ac =1.因为(a -c )2=(a +c )2-4ac =7-4=3,且a >c ,所以a -c =√3.2.(1)钝角三角形已知c b<cos A ,由正弦定理,得sinCsinB<cos A ,即sin C <sin B cos A ,所以sin(A +B )<sin B cos A ,即sinB cos A +cos B sin A -sin B cos A <0,所以cos B sin A <0.又sin A >0,于是有cos B <0,即B 为钝角,所以△ABC 是钝角三角形.(2)等腰三角形或直角三角形因为c -a cos B =(2a -b )cos A ,所以由正弦定理得sin C -sin A cos B =2sin A cos A -sinB cos A ,又C =π-(A +B ),所以sin C =sin(A +B ),所以sin A cos B +cos A sin B -sin A cos B =2sin A cos A -sin B cos A ,所以cos A (sin B -sin A )=0,所以cos A =0或sin B =sin A ,所以A =π2或B =A (B =π-A 舍去),所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形.3.(1)因为4√3S =a 2+b 2-c 2,所以4√3×12ab sin C =2ab cos C , 所以tan C =√33,又0<C <π,所以C =π6.由余弦定理及c =√7,a =4,得cos π6=16+b 2-78b,解得b =3√3或b =√3.因为b >c =√7,所以b =3√3. (2)由正弦定理及a =√3,A =π3得√3sinπ3=b sinB =csinC ,故b =2sin B ,c =2sin C =2sin(2π3-B ).则△ABC 的周长为√3+2sin B +2sin(2π3-B )=√3+√3cos B +3sin B =√3+2√3sin(B +π6).由题意可知{0<B <π2,0<2π3-B <π2,解得π6<B <π2.所以π3<B +π6<2π3,故√32<sin(B +π6)≤1,因此三角形ABC 周长的取值范围为(3+√3,3√3]. 4.(1)在△ABD 中,由正弦定理得BD sinA=ABsin∠ADB.由题设知,5sin45°=2sin∠ADB ,所以sin∠ADB =√25. 由题设知,∠ADB <90°,所以cos∠ADB =√1-225=√235. (2)由题设及(1)知,cos∠BDC =sin∠ADB =√25.在△BCD 中,由余弦定理得BC 2=BD 2+DC 2-2×BD ×DC ×cos∠BDC =25+8-2×5×2√2×√25=25,所以BC =5.5.(1)B 因为△ABC 的角A ,B ,C 成等差数列,所以B =π3,又sin(A -C )-sin B =-√32,所以A =B =C =π3,设△ABC 的边长为x ,由已知有0<x <2,则S △ACD =12x (2-x )sin 2π3=√34x (2-x )≤√34(x+2-x 2)2=√34(当且仅当x =2-x ,即x =1时取等号),故选B .(2)(√6−√2,√6+√2) 如图D 4-4-1,作△PBC ,使∠B =∠C =75°,BC =2,作直线AD 分别交线段PB ,PC 于A ,D 两点(不与端点重合),且使∠BAD =75°,则四边形ABCD 就是符合题意的四边形.过C 作AD 的平行线交PB 于点Q ,在△PBC 中,可求得BP =√6+√2,在△QBC 中,可求得BQ =√6−√2,所以AB 的取值范围是(√6−√2,√6+√2).图D 4-4-16.5π2+4 如图D 4-4-2,连接OA ,作AQ ⊥DE ,交ED 的延长线于Q ,AM ⊥EF 于M ,交DG 于E',交BH 于F',记过O 且垂直于DG 的直线与DG 的交点为P ,设OP =3m ,则DP =5m ,不难得出AQ =7,AM =7,于是AE'=5,E'G =5,∴∠AGE'=∠AHF'=π4,△AOH 为等腰直角三角形,又AF'=5-3m ,OF'=7-5m ,AF'=OF',∴5-3m =7-5m ,得m =1,∴AF'=5-3m =2,OF'=7-5m =2,∴OA =2√2,则阴影部分的面积S =135360×π×(2√2)2+12×2√2×2√2−π2=(5π2+4)(cm 2).。

解三角形PPT演示课件

量之间的夹角。
振动分析
在振动分析中，经常需要研究物体的振动规律。通过使用三角函数和解三角形的方法，可以分析出物体的振动频率、振幅和相位等参数，进而对物体的振动特性进行分析和预
测。
06
总结与展望
解三角形的意义
三角形是几何学中最基础、最重要的图形之一，解三角形是研究三角形的重要手段之一。通过解三角形，我们可以了解三角形的性质、特点、变化规律等，为几何学、物理学、工程学等领域提供重要的理论支撑和实践指导。
解三角形的方法
解三角形的方法有很多种，包括正弦定理、余弦定理、勾股定理等。
三角形的重要性
三角形在日常生活中的应用
三角形在日常生活中的应用非常广泛，如建筑、工程、航海、航空等领域。
三角形在数学中的地位
三角形是几何学中最基础和最重要的图形之一，对于几何学的发展和应用具有重要意义。
三角形在物理学中的应用
角度和为180度
三角形的三个内角之和为180度。
边与角之间的关系
正弦定理
在一个三角形中，任意一边与其对应角的正弦值的比等于三角形的外接圆直径。
余弦定理
在一个三角形中，任意一边的平方等于其他两边平方和减去两倍的这两边与它们夹角的余弦的积。
03
解三角形的工具
三角函数
三角函数是解三角形的重要工具，用于描述三角形中各角度和边长之间的关系。常用的三角函数包括正弦、余弦、正切等，它们在解三角形问题中发挥着关键作用。
掌握三角函数的性质和公式，能够快速解决各种解三角形问题。
余弦定理
余弦定理是解三角形的一个重要定理，用于计算三角形各边的长
度。
定理公式为：c²=a²+b²2abcosC，其中a、b、c分别代表三角形的三条边边和夹角，或者已知的三边，利用余弦定理可以求

第三章第四讲解三角形

解三角形一：考纲解读、有的放矢掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进而进行恒等变换解决问题；与三角形有关的问题在考查正弦定理、余弦定理和面积公式的同时，考查三角恒等变换，这是高考的热点；三种题型均有可能出现，属中、低档题目。

二: 核心梳理、茅塞顿开cos .ab C 2a sinA>sinB ⇔22a bR R>⇔a>b ⇔A>B ）二、应用举例1、实际问题中的常用角（1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α（如图②）注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。

仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。

（3）方向角：相对于某一正方向的水平角（如图③）①北偏东α即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向； ②北偏本α即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向；③南偏本等其他方向角类似。

（4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i 为坡比） 2、ΔABC 的面积公式（1）a a h ah S (21=表示a 边上的高）；（2）111sin sin sin ()2224abcS ab C ac B bc A R R ====为外接圆半径；（3）1()()2S r a b c r =++为内切圆半径。

三：例题诠释，举一反三知识点1：正、余弦定理的简单应用例1．（2008育才A ）在ΔABC 中，（1）若2,c=1,B=450o,求a 及C 的值；（2）若A=600，a=7,b=5,求边c 。

例2．(2007协和A)在ΔABC 中，已知a=7,b=3,c=5,求最大角和sinC变式：（2007广附A ）在△ABC 中（1）若a=8,B=60°,C=75°,求b; （2）若B=30°,b=4,c=8,求C 、A 、a. 知识点2：三角形形状的判定例3．（2009华附B ）在△ABC 中，bcosA ＝acosB ，试判断三角形的形状.例4．(2009执信B)在ΔABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果2222()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-+，判断三角形的形状变式：（2010省实B ）1．在△ABC 中，若cosA cosB ＝ba ，则△ABC 的形状是.( )A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰或直角三角形D.等边三角形（2010广州B ）2．在△ABC 中，若2cosBsinA ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形知识点3：正、余弦定理的综合应用例5．（2010惠州C ）在ABC ∆中，A C AC BC sin 2sin ,3,5===（Ⅰ）求AB 的值。

4 第四讲代数小题及解三角形 (985班)

，
由角平分线性质及三角形面积公式得
故当且仅当
时，上式等号成立。
。。
因此
的最小值为。
故本题正确答案为。
【例 11】答案：
思路：本题主要考查解三角形。
解析：不妨设所求边为，即
所以
，
所以
。
则
，且
，
所以由正弦定理可得：
又因为
是锐角三角形，
所以
，
，即
，
所以
，
则
，即
。
故本题正确答案为 B。
。。
模块二：角平分线定理 1.从一个角的顶点引出的把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的角平分线。三角形的一个角（内角）的角平分线交其对边的点
所连成的线段，叫做这个三角形的一条角平分线。 2.定理 1：角平分线上的点到这个角两边的距离相等定理 2：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。 3.三角形△ABC 的内角平分线的性质定理 AD 为角 A 平分线与 BC 交点连线则 AB/AC=BD/DC
度转换为边的关系，消去 a，b 就可以得到关于 c 的表达式，约去 c 以后得到答案
解析：因为 a/b+b/a=6cosC,由余弦定理可得(a^2+b^2)/ab=6(a^2+b^2-c^2)/2ab
所以 a^2+b^2=3/2c^2 则 tanC/tanA+tanC/tanB=cosAsinC/cosCsinA+cosBsinC/cosCsinB=sinC/cosC*(cosA/sinA+cosB/sinB) =sinC/cosC*(sinBcosA+sinAcosB)/sinAsinB=(sinC)^2/sinAsinBcosC=c^2/abcosC =c^2/ab*2ab/(a^2+b^2-c^2)=2c^2/(3/2c^2-c^2)=4

解三角形(正弦定理余弦定理三角形面积公式)课件

反射定律
当光线遇到平面镜时，会产生反射现象。通过解三角形的方法可以计算入射角和反射角的关系，从而解释反射现象。
建筑学中的角度计算
确定建筑物的角度
在建筑设计中，需要计算建筑物与水平面之间的角度，以确保建筑物的稳定性。利用解三角形的方法可以计算出建筑物所需的倾斜角度。
测量建筑物的高度
通过观测建筑物与水平面之间的角度，利用解三角形的方法可以计算出建筑物的高度。
将三角形的三边长度转化为面积的表达式，便于计算。
面积公式的应用
01
解决实际问题
利用三角形面积公式解决实际问题，如土地测量、建筑规划
等。
02
数学竞赛解题
在数学竞赛中，三角形面积公式是解决几何问题的重要工具
之一。
03
数学建模
在数学建模中，三角形面积公式可以用于描述和解决现实生活中的问题，如最优分割等。
详细描述
其中一种常见的证明方法是利用三角形的外接圆性质，通过相似三角形和勾股定理进行推导。此外，还可以利用三角函数的加法定理、三角形的面积公式等其他方法进行证明。掌握多种证明方法有助于加深对正弦定理的理解和应用。
02
余弦定理
定义与性质
总结词
余弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三角形各边与其所对的角之间的关系。
应用场景
01
总结词
02
详细描述
正弦定理在解决三角形问题时非常有用，特别是在已知两边及夹角、已知两角及夹边等情况下求解第三边。
通过正弦定理，我们可以解决各种与三角形相关的问题，如计算三角形的面积、判断三角形的形状、解决几何作图问题等。它是三角函数和几何学中非常重要的定理之一。
证明方法
总结词

高中数学解三角形ppt课件

3.已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C = π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
4.已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C = π，求角C．
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5.方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成.正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度.
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考点2: 三角形中的三角变换
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考点3 与三角形的面积相关的题
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题型2:已知面积求线段长或角
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C
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解三角形应用举例
1.已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C = π求C，由正弦定理求a、b
2.已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = π，求另一角．
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6.俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角.如图中OD、 OE是视线，是仰角，是俯角.
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7.关于三角形面积问题
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用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角是α和β,已知B、D间的距离为a，测角仪的高度是b，求气球的高度.

第四讲力的正交分解和三角形法则[详细讲解]

第四讲力的正交分解和三角形法则姓名【知识要点】1．正交分解法把力沿两个互相垂直的方向进行分解的方法叫正交分解法。

sinα2．正交分解法求合力的步骤（1）对物体进行受力分析（2）选择并建立坐标系以共点力的作用点为坐标原点，建立正交直角坐标系，一般要让尽量多的力在坐标轴上，使所有的力与坐标轴的夹角尽量为特殊角。

（3（4）同一坐标轴上的矢量进行合成。

F x=F1x+F2x= F1cosα-F2cosβF y= F1y+ F2y= F1sinα+F2sinβ由此式可见，力的个数越多，此方法显得越方便。

（5）然后把x轴方向的F x与y轴方向的F y进行合成，这时这两个分力的方向夹角为特殊角90°。

所以F合=22yxFF ,合力的方向与x轴正方向的夹角为θ=arctan(F y/F x)注:正交分解法求合力时,先交各力分解为两个不同的坐标上的力，依据同向或反向的简单代数运算，再进行(互成直角的)合成，在计算不同角度的多个力的合成中具有十分明显的优越性。

正交分解法求合力，运用了“欲合先分”的策略，降低了运算的难度，是解题中的一种重要思想方法。

3.三角形定则合力与分力的关系遵循平行四边形定则,根据平行四边形的性质,对应边平行相等,即分力与2x1xxx定义:将表示两个分力的有向线段首尾相接,从第一个力的始端指向第二个力的末端的有向线段,就表示这两个力的合力的大小和方向。

注:相似形问题的解题步骤 :1.对物体进行受力分析2.画出力的矢量三角形与几何三角形3.由对应边成比例关系求出未知力【典型例题】例1：确定正六边形内五个力的合力例2:如图所示,细线的一端固定于A点，线的中点挂一质量为m的物体，另一端B用手拉住，当AO与竖直方向成θ角，OB沿水平方向时，AO及BO对O点的拉力分别是多大？例3：如图所示，力F1、F2、F3、F4在同一平面内构成共点力，其中F1=20N、F2=20N、F3=N2=，各力之间的夹角在图中已标出，求这四个力的合力大小和方20,20N3F4向．例4：如图所示，拉力F作用在重为G的物体上，使它沿水平地面匀速前进，若物体与地面的动摩擦因数为μ，当拉力最小时和地面的夹角θ为多大？例5．将一个20N的力进行分解，其中一个分力的方向这个力成30度角，试讨论：（1）另一个分力的大小不会小于多少？20，则已知方向的分力的大小是多少？（2）若另一个分力大小是N3例6:如图所示，将质量为m的小球，用长为L的轻绳吊起来，并靠在光滑的半径为r的半球体上，绳的悬点A到球面的最小距离为d.（1）求小球对绳子的拉力和对半球体的压力.(2)若L变短，问小球对绳子的拉力和对半球体的压力如何变化？【经典练习】1．已知两个力的合力大小为10N ，其中一个分力与合力夹角为37°，则另一个分力的大小是（）A ．不可能大于8N B.不可能小于8N C.不可能大于6N D.不可能小于6N 2.如图所示，将力F （大小已知）分解为两个分力F 1和F 2，F 2与F 的夹角θ小于90°，则( )A.当F1＞F sin θ时，肯定有两组解B.当F ＞F 1＞F sin θ时，肯定有两组解C.当F 1＜F sin θ时，有惟一一组解D.当F 1＜F sin θ时，无解3．如图所示，物体重15N ，当对物体施加20N 与水平方向成60°角的力的作用，物体沿竖直墙壁向上匀速滑动.求（1）物体对墙壁的压力大小．（2）物体与墙壁间的动摩擦因数．4.如图所示,为一悬挂重物的三角支架示意图，三角形三边长长度之比为4:3:2:: BC AC AB L L L ，当支架顶端悬挂的重物为G 时，BC 杆和AC 绳受到的力分别为多少？第四讲力的正交分解和三角形法则（作业）姓名1.一根轻质细绳能承受的最大拉力为G ，现将一重量为G 的物体系于绳的中点，两手分别握住绳的两端，先并拢，然后缓慢地左右对称地分开，若想绳不断，两段绳间的夹角不能超过( )A.45°B.60°C.120°D.135°2．若两个共点力的大小均为10N ，欲使其合力也为10N ，则这两个力的夹角一定是（）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 3.下列各图中三角形的三边各代表一个力，以下说法中正确的是( )A.图①中三个力的合力为零B.图②中三个力的合力为2F 3C.图③中三个力的合力为2F 1D.图④中三个力的合力为2F 2 4．如图所示，小船在河流中逆水行驶，右岸上一个纤夫用力F 1拉小船，F 1与河的中心线夹角为试求：在左岸上的一个小孩至少用多大的力F 2拉小船，才能使小船受的合力F 的方向沿河的中心线？F 2的方向如何？设F 2与F 1共点．5．已知共面的三个力F 1=20N ，F 2=30N ，F 3=40N 力作用在物体的同一点上，三力之间的夹角都是0120，求合力的大小和方向。

第四章三角函数解三角形第四讲正、余弦定理及解三角形课件理

基本类型
已知两角及其中一角的对边,如 A,B,a
一般解法
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数学
知识全通关
第四章·第四讲
5
正、余弦定理及解三角形
已知两边和它们的夹角,如a,b,C
已知三边
可以连续用余弦定理求出两角,常常是分别求较小两边所对的角,再由 A+B+C=180°,求出第三个角; 由余弦定理求出一个角后,也可以根据正弦定理求出第二个角,但仍然是先求较小边所对的角
题型全突破 16
考法四正、余弦定理在平面几何中的应用
考法指导 (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形,然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解; (2)寻找各个三角形之间的联系,交叉使用公共条件,求出结果. 做题过程中,要用到平面几何中的一些知识点,如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质,要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合,才能顺利解决问题.
数学
考情精解读
第四章·第四讲
2
考纲解读
正、余弦定理及解三角形
考点
2016全国
2015全国 2014全国
自主命题区域
命题规律命题趋势
利用正、余弦定理解三角形【40%】
·全国Ⅱ,13,5分 ·全国Ⅲ,8,5分
·2016江苏,15,14分 ·2016浙江,16,14分 ·2015江苏,15,14分 ·全国Ⅱ,4,5分 ·2015北京,12,5分 ·2014浙江,18,14分 ·2014北京,15,13分
c2=a2+b2-2abcos C
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数学
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正、余弦定理及解三角形
变形
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数学