第四讲解三角形

第四讲 解三角形
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基础知识：
在三角形ABC 中：角A 、B 、C 、对应的边分别为a,b,c;
1） 角与角关系：由A ＋B ＋C ＝π，知A ＝π－（B ＋C ）可得出： sin （B ＋C ）= ， cos （B ＋C ）=
又由 222C
B A +-
=π 可得出： sin 2C B += ， cos 2
C B +=
2）正弦定理 R 2=，其中R 代表三角ABC 的 半径；
变形 =
==c b a
3）余弦定理：=2
c
cosC=
4）．面积公式：S= = =
典型例题：
例1 在∆ABC 中，已知sin A :sin B :sin C = 3:5:7，则∆ABC 最大角的值是 _
例2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，2
7
4sin
cos 222
B C A +-=
①求角A 的度数； ②若a =b+c=3，求b 和c 的值.
例3 在ΔABC 中, 角A 、B 、C 、对应的边分别为a,b,c,
B
C
c b cos cos =
, 判断△ABC 的形状。

巩固练习:
1．原点到直线052=-+y x 的距离为（ ）
A ．1
B ．3
C ．2
D ．5
2．若函数(1)()y x x a =+-为偶函数，则a =（ ）
A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2
3．圆2
2
1x y +=与直线2y kx =+没有．．公共点的充要条件是（ ）
A ．(k ∈
B ． (k ∈
C ．((2)k ∈-+∞，，∞
D ．((3)k ∈-+∞，，∞
4．已知等比数列{}n a 满足122336a a a a +=+=，，则7a =（ ）
A ．64
B ．81
C ．128
D ．243
5. 在△ABC 中，若3a = 2bsinA , 则B 为（ ）
A ．
3
π
B ．
6
π C ．
3π或32π D ．6
π或65π
6．在△ABC 中，若sinA:sinB:sinC=3:2:4，则cos C 的值为（ ）
A -41
B 41
C -32
D 3
2
7. 在⊿ABC 中，
B
C
b c cos cos =
，则此三角形为 （ ） A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形 8. ΔABC 中, a=1, b=3, ∠A=30°,则∠B 等于
9. 在△ABC 中，a ,b ,c 分别是A ∠，B ∠，C ∠的对边，且
222b c a ++=，则A ∠等于
10. 在ABC ∆中，若其面积222
S =，则C ∠=_______
11. 在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3
C π=． （Ⅰ）若ABC △
a b ，； （Ⅱ）若sin 2sin B A =，求ABC △的面积．
12.
如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的1B 处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B 处，此
时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？
1
A
2
A
120 105
11. 解：（Ⅰ）由余弦定理得，22
4a b ab +-=， 又因为ABC △
，所以
1
sin 2
ab C =4ab =． 联立方程组2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩，
，
解得2a =，2b =．
（Ⅱ）由正弦定理，已知条件化为2b a =，
联立方程组2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，，
解得a =
b =
所以ABC △
的面积1sin 2S ab C =
=． 12. 解法一：如图，连结11A B
，由已知22A B =
1220
60
A A ==1221A A A
B ∴=，
又12218012060A A B =-=∠，
122A A B ∴△
是等边三角形，1212A B A A ∴==，
由已知，1120A B =，1121056045B A B =-=∠， 在121A B B △中，由余弦定理，
22212111212122cos 45B B A B A B A B A B =+-
2220220=+-⨯⨯200=．
12B B ∴=
60=/小时）．
答：乙船每小时航行
1A
2
A
120 105
解法二：如图，连结21A B ，由已知1220A B =
，1220
60
A A ==，112105
B A A =∠，
cos105cos(4560)=+
cos 45cos60sin 45sin 60=
-=
， sin105sin(4560)=+sin 45cos60cos 45sin 60=
+4
+=
． 在211A A B △中，由余弦定理，
222
21221211122cos105A B A B A A A B A A =+-
2220220=+-⨯
100(4=+．
1110(1A B ∴=．
由正弦定理
11121112222(13)2
sin sin 42
10(13)
A B A A B B A A A B +=
==
+∠∠， 12145A A B ∴=∠，即121604515B A B =-=∠
，2(1cos15sin105+==
在112B A B △中，由已知12A B =
22212112
2212
22cos15B B A
B A B A B
A B =+
+
22210
(1210(14
=++-⨯
⨯200=．
12B B ∴= 乙船的速度的大小为
6020
=海里/小时． 1
A
2
A
120 105 乙
答：乙船每小时航行。