2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业21
2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业18
课时作业(十八)1．已知函数f (x )＝x 2－8ln x ，g (x )＝－x 2＋14x . (1)求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，求a 的取值范围； (3)若方程f (x )＝g (x )＋m 有唯一解，试求实数m 的值． 解析 (1)因为f ′(x )＝2x －8x ，所以切线的斜率k ＝f ′(1)＝－6. 又f (1)＝1，故所求的切线方程为y －1＝－6(x －1)．即y ＝－6x ＋7. (2)因为f ′(x )＝2(x ＋2)(x －2)x，又x >0，所以当x >2时，f ′(x )>0；当0<x <2时，f ′(x )<0. 即f (x )在(2，＋∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减．又g (x )＝－(x －7)2＋49，所以g (x )在(－∞，7)上单调递增，在(7，＋∞)上单调递减．欲使函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，则⎩⎨⎧a ≥2，a ＋1≤7，解得2≤a ≤6.(3)原方程等价于2x 2－8ln x －14x ＝m ，令h (x )＝2x 2－8ln x －14x ，则原方程即为h (x )＝m .因为当x >0时原方程有唯一解，所以函数y ＝h (x )与y ＝m 的图像在y 轴右侧有唯一的交点．又h ′(x )＝4x －8x －14＝2(x －4)(2x ＋1)x ，且x >0，所以当x >4时，h ′(x )>0；当0<x <4时，h ′(x )<0.即h (x )在(4，＋∞)上单调递增，在(0,4)上单调递减，故h (x )在x ＝4处取得最小值，从而当x >0时原方程有唯一解的充要条件是m ＝h (4)＝－16ln2－24.2．(2013·衡水调研)设函数f (x )＝x 2＋2x －2ln(1＋x )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当x ∈[1e －1，e －1]时，是否存在整数m ，使不等式m <f (x )≤－m 2＋2m ＋e 2恒成立？若存在，求整数m 的值；若不存在，则说明理由．解析 (1)由1＋x >0，得函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)． f ′(x )＝2x ＋2－2x ＋1＝2x (x ＋2)x ＋1. 由f ′(x )>0，得x >0；由f ′(x )<0，得－1<x <0.∴函数f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，单调减区间是(－1,0)．(2)由(1)知，f (x )在[1e －1,0]上单调递减，在[0，e －1]上单调递增．∴f (x )min ＝f (0)＝0.又f (1e －1)＝1e 2＋1，f (e －1)＝e 2－e ，且e 2－3>1e 2＋1， ∴x ∈[1e －1，e －1]时，f (x )max ＝e 2－e. ∵不等式m <f (x )≤－m 2＋2m ＋e 2恒成立，∴⎩⎨⎧－m 2＋2m ＋e 2≥f (x )max ，m <f (x )min .即⎩⎨⎧－m 2＋2m ＋e 2≥e 2－3，m <0⇒⎩⎨⎧m 2－2m －3≤0，m <0⇒ ⎩⎨⎧－1≤m ≤3，m <0⇒－1≤m <0. ∵m 是整数，∴m ＝－1.∴存在整数m ＝－1，使不等式m <f (x )≤－m 2＋2m ＋e 2恒成立．3．已知函数f (x )＝ax －ln(－x )，x ∈[－e,0)，其中e 是自然对数的底数，a ∈R .(1)当a ＝－1时，确定f (x )的单调性和极值； (2)当a ＝－1时，证明：f (x )＋ln (－x )x >12；(3)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为3，如果存在，求出a 的值；如果不存在，请说明理由．解析 (1)∵f (x )＝－x －ln(－x )，f ′(x )＝－1－1x ＝－x ＋1x ，∴当－e ≤x <－1时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减；当－1<x <0时，f ′(x )>0，此时f (x )单调递增．∴f (x )的极小值为f (－1)＝1.(2)由(1)知f(x)在区间[－e,0)上有唯一的极小值1，即f(x)在区间[－e,0)上的最小值为1，即f(x)min＝1.所证不等式即f(x)>12－ln(－x)x.令h(x)＝12－ln(－x)x，则h′(x)＝ln(－x)－1x2.当－e≤x<0时，h′(x)≤0，故h(x)在[－e,0)上单调递减．∴h(x)max＝h(－e)＝1e＋12<12＋12＝1＝f(x)min.∴当a＝－1时，f(x)＋ln(－x)x>12.(3)假设存在实数a，使f(x)＝ax－ln(－x)的最小值为3.f′(x)＝a－1x(x∈[－e,0))．①若a≥－1e，由于x∈[－e,0)，则f′(x)＝a－1x≥0.∴函数f(x)＝ax－ln(－x)在[－e,0)上是增函数．∴f(x)min＝f(－e)＝－a e－1＝3，解得a＝－4e<－1e，与a≥－1e矛盾，舍去．②若a<－1e，则当－e≤x<1a时，f′(x)＝a－1x<0，此时f(x)＝ax－ln(－x)是减函数．当1a<x<0时，f′(x)＝a－1x>0，此时f(x)＝ax－ln(－x)是增函数．∴f(x)min＝f(1a)＝1－ln(－1a)＝3，解得a＝－e2.由①②知，存在实数a＝－e2，使f(x)的最小值为3.4．(2013·山东济宁一模)已知函数f(x)＝x－ln x，g(x)＝ln x x.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求证：对任意的m，n∈(0，e]，都有f(m)－g(n)>12.(注：e≈2.718 28…是自然对数的底数．)解析 (1)∵f (x )＝x －ln x (x >0)，∴f ′(x )＝1－1x ＝x －1x (x >0)． 由f (x )>0，得x >1，由f (x )<0，得0<x <1.∴f (x )的单调递增区间是(1，＋∞)，单调递减区间是(0,1)．(2)由(1)知，当x ∈(0，e]时，f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，e]上单调递增． ∴当x ＝1时，[f (x )]min ＝f (1)＝1.∵g (x )＝ln xx (x >0)，∴g ′(x )＝1－ln x x 2(x >0)．当x ∈(0，e]时，g (x )≥0，∴g (x )在(0，e]上单调递增． ∴当x ∈(0，e]时，[g (x )]max ＝g (e)＝1e .对任意的m ，n ∈(0，e]，f (m )－g (n )≥[f (m )]min －[g (n )]max ＝1－1e >12. 即证得，对任意的m ，n ∈(0，e]，都有f (m )－g (n )>12.5．(2013·汕头质量测评)设函数f (x )＝－13x 3＋x 2＋(a 2－1)x ，其中a >0. (1)若函数y ＝f (x )在x ＝－1处取得极值，求a 的值；(2)已知函数f (x )有3个不同的零点，分别为0、x 1、x 2，且x 1<x 2，若对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )>f (1)恒成立，求a 的取值范围．解析 (1)f ′(x )＝－x 2＋2x ＋(a 2－1)，因为y ＝f (x )在x ＝－1处取得极值，所以f ′(－1)＝0. 即－(－1)2＋2(－1)＋(a 2－1)＝0. 解得a ＝±2.经检验得a ＝2.(2)由题意得f (x )＝x (－13x 2＋x ＋a 2－1)＝－13x (x －x 1)(x －x 2)． 所以方程－13x 2＋x ＋a 2－1＝0有两个相异的实根x 1，x 2. 故Δ＝1＋43(a 2－1)>0，解得a <－12(舍去)或a >12 且x 1＋x 2＝3.又因为x 1<x 2，所以2x 2>x 1＋x 2＝3，故x 2>32>1.①若x1≤1<x2，则f(1)＝－13(1－x1)(1－x2)≥0，而f(x1)＝0不符合题意．②若1<x1<x2，对任意的x∈[x1，x2]，有x－x1≥0，x－x2≤0，所以f(x)＝－13x(x－x1)(x－x2)≥0.又f(x1)＝0，所以f(x)在[x1，x2]上的最小值为0.于是对任意的x∈[x1，x2]，f(x)>f(1)恒成立的充要条件为f(1)＝a2－13<0，解得－33<a<33.综上得12<a<33，即a的取值范围为(12，33)．6．(2013·西安市质检)设函数f(x)＝－13x3＋x2＋(m2－1)x(x∈R)，其中m>0.(1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))点处的切线的方程；(2)求函数f(x)的单调区间与极值；(3)已知函数g(x)＝f(x)＋13有三个互不相同的零点，求m的取值范围．解析(1)当m＝1时，f(x)＝－13x3＋x2，f′(x)＝－x2＋2x，故f′(1)＝1.所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为1.切线方程为3x－3y－1＝0.(2)f′(x)＝－x2＋2x＋m2－1，令f′(x)＝0，得到x＝1－m或x＝1＋m. 因为m>0，所以1＋m>1－m.当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：函数f(x)在x＝1＋m处取得极大值f(1＋m)，且f(1＋m)＝23m3＋m2－13.函数f(x)在x＝1－m处取得极小值f(1－m)，且f(1－m)＝－23m3＋m2－13.(3)由(2)知，函数g (x )在x ＝1＋m 处取得极大值g (1＋m )＝f (1＋m )＋13， 且g (1＋m )＝23m 3＋m 2.函数g (x )在x ＝1－m 处取得极小值g (1－m )＝f (1－m )＋13， 且g (1－m )＝－23m 3＋m 2.根据三次函数的图像与性质，函数g (x )＝f (x )＋13有三个互不相同的零点，只需要⎩⎪⎨⎪⎧g (1＋m )＝23m 3＋m 2>0，g (1－m )＝－23m 3＋m 2<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m >32.所以m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞.7．(2013·沧州七校联考)设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a >ln2－1且x >0时，e x >x 2－2ax ＋1.解析 (1)由f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R ，知f ′(x )＝e x －2，x ∈R .令f ′(x )＝0，得x ＝ln2.于是当x 变化时f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：f (x故f f (x )在x ＝ln2处取得极小值，极小值为f (ln2)＝e ln2－2ln2＋2a ＝2(1－ln2＋a )． (2)设g (x )＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R . 于是g ′(x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .由(1)知当a >ln2－1时，g ′(x )最小值g ′(ln2)＝2(1－ln2＋a )>0. 于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )>0，所以g (x )在R 内单调递增． 于是当a >ln2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>g (0)． 而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，g (x )>0. 即e x －x 2＋2ax －1>0，故e x >x 2－2ax ＋1.8．(2013·西北五校)已知函数f (x )＝12ax 2－(2a ＋1)x ＋2ln x (a ∈R )． (1)若曲线y ＝f (x )在x ＝1和x ＝3处的切线互相平行，求a 的值； (2)求f (x )的单调区间；(3)设g (x )＝x 2－2x ，若对任意x 1∈(0,2]，均存在x 2∈(0,2]，使得f (x 1)<g (x 2)，求a 的取值范围．解析 f ′(x )＝ax －(2a ＋1)＋2x (x >0)． (1)由f ′(1)＝f ′(3)，解得a ＝23. (2)f ′(x )＝(ax －1)(x －2)x(x >0)．①当a ≤0时，x >0，ax －1<0，在区间(0,2)上f ′(x )>0；在区间(2，＋∞)上f ′(x )<0. 故f (x )的单调递增区间(0,2)，单调递减区间是(2，＋∞)． ②当0<a <12时，1a >2，在区间(0,2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上f ′(x )>0；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1a 上f ′(x )<0，故f (x )的单调递增区间是(0,2)和(1a ，＋∞)，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1a .③当a ＝12时，f ′(x )＝(x －2)22x ， 故f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)． ④当a >12时，0<1a <2，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 和(2，＋∞)上f ′(x )>0；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2上f ′(x )<0，故f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 和(2，＋∞)，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2.(3)由已知，在(0,2]上有f (x )max <g (x )max . 由已知，g (x )max ＝0，由(2)可知， ①当a ≤12时，f (x )在(0,2]上单调递增，故f (x )max ＝f (2)＝2a －2(2a ＋1)＋2ln2＝－2a －2＋2ln2. 所以，－2a －2＋2ln2<0，解得a >ln2－1. 故ln2－1<a ≤12.②当a >12时，f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1a 上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，2上单调递减，故f (x )max ＝f (1a )＝－2－12a －2ln a .由a >12可知ln a >ln 12>ln 1e ＝－1,2ln a >－2，－2ln a <2. 所以，－2－2ln a <0，f (x )max <0. 综上所述，a >ln2－1.1．(2011·天津文)已知函数f (x )＝4x 3＋3tx 2－6t 2x ＋t －1，x ∈R ，其中t ∈R . (1)当t ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)当t ≠0时，求f (x )的单调区间；(3)证明：对任意t ∈(0，＋∞)，f (x )在区间(0,1)内均存在零点．解析 (1)当t ＝1时，f (x )＝4x 3＋3x 2－6x ，f (0)＝0，f ′(x )＝12x 2＋6x －6，f ′(0)＝－6.所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝－6x .(2)f ′(x )＝12x 2＋6tx －6t 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝－t 或x ＝t2.因为t ≠0，以下分两种情况讨论：①若t <0，则t2<－t .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以，f (x )的单调递增区间是(－∞，t2)，(－t ，＋∞)；f (x )的单调递减区间是(t2，－t )．②若t >0，则－t <t2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以，f (x )的单调递增区间是(－∞，－t )，(t2，＋∞)；f (x )的单调递减区间是(－t ，t 2)．(3)由(2)可知，当t >0时，f (x )在(0，t 2)内单调递减，在(t2，＋∞)内单调递增．以下分两种情况讨论：①当t2≥1，即t ≥2时，f (x )在(0,1)内单调递减．f (0)＝t －1>0， f (1)＝－6t 2＋4t ＋3≤－6×4＋4×2＋3<0.所以对任意t ∈[2，＋∞)，f (x )在区间(0,1)内均存在零点．②当0<t 2<1，即0<t <2时，f (x )在(0，t 2)内单调递减，在(t2，1)内单调递增．若t ∈(0,1]，f (t 2)＝－74t 3＋t －1≤－74t 3<0，f (1)＝－6t 2＋4t ＋3≥－6t ＋4t ＋3＝－2t ＋3>0. 所以f (x )在(t2，1)内存在零点．若t ∈(1,2)，f (t 2)＝－74t 3＋(t －1)<－74t 3＋1<0，f (0)＝t －1>0.所以f (x )在(0，t2)内存在零点．所以，对任意t ∈(0,2)，f (x )在区间(0,1)内均存在零点． 综上，对任意t ∈(0，＋∞)，f (x )在区间(0,1)内均存在零点． 2．(2011·江西文)设f (x )＝13x 3＋mx 2＋nx .(1)如果g (x )＝f ′(x )－2x －3在x ＝－2处取得最小值－5，求f (x )的解析式； (2)如果m ＋n <10(m ，n ∈N *)，f (x )的单调递减区间的长度是正整数，试求m 和n 的值．(注：区间(a ，b )的长度为b －a )．解析 (1)由题得g (x )＝x 2＋2(m －1)x ＋(n －3)＝(x ＋m －1)2＋(n －3)－(m －1)2，已知g (x )在x ＝－2处取得最小值－5，所以⎩⎨⎧m －1＝2，(n －3)－(m －1)2＝－5，即m ＝3，n ＝2. 即得所要求的解析式为f (x )＝13x 3＋3x 2＋2x .(2)因为f ′(x )＝x 2＋2mx ＋n ，且f (x )的单调递减区间的长度为正整数，故f ′(x )＝0一定有两个不同的根，从而Δ＝4m 2－4n >0，即m 2>n .不妨设为x 1，x 2，则|x 2－x 1|＝2m 2－n 为正整数． 故m ≥2时才可能有符合条件的m ，n ， 当m ＝2时，只有n ＝3符合要求， 当m ＝3时，只有n ＝5符合要求， 当m ≥4时，没有符合要求的n .综上所述，只有m ＝2，n ＝3或m ＝3，n ＝5满足上述要求． 3．已知函数f (x )＝e x ＋ax ，g (x )＝e x ln x .(e ≈2.718 28…)．(1)设曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线与直线x ＋(e －1)y ＝1垂直，求a 的值； (2)若对于任意实数x ≥0，f (x )>0恒成立，试确定实数a 的取值范围； (3)当a ＝－1时，是否存在实数x 0∈[1，e]，使曲线C ：y ＝g (x )－f (x )在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂直？若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由．解析 (1)由题知，f ′(x )＝e x ＋a .因此曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线l的斜率为e＋a，又直线x＋(e－1)y＝1的斜率为11－e，∴(e＋a)11－e＝－1.∴a＝－1.(2)∵当x≥0时，f(x)＝e x＋ax>0恒成立，∴若x＝0，a为任意实数，f(x)＝e x＋ax>0恒成立．若x>0，f(x)＝e x＋ax>0恒成立，即当x>0时，a>－e xx恒成立．设Q(x)＝－e xx.Q′(x)＝－e x x－e xx2＝(1－x)e xx2.当x∈(0,1)时，Q′(x)>0，则Q(x)在(0,1)上单调递增，当x∈(1，＋∞)时，Q′(x)<0，则Q(x)在(1，＋∞)上单调递减．∴当x＝1时，Q(x)取得最大值．Q(x)max＝Q(1)＝－e.∴要使x≥0时，f(x)>0恒成立，a的取值范围为(－e，＋∞)．(3)依题意，曲线C的方程为y＝e x ln x－e x＋x.令M(x)＝e x ln x－e x＋x，∴M′(x)＝e xx＋ex ln x－e x＋1＝(1x＋ln x－1)ex＋1.设h(x)＝1x＋ln x－1，则h′(x)＝－1x2＋1x＝x－1x2.当x∈[1，e]时，h′(x)≥0.故h(x)在[1，e]上为增函数，因此h(x)在区间[1，e]上的最小值为h(1)＝ln1＝0.所以h(x)＝1x＋ln x－1≥0.当x0∈[1，e]时，.∴.曲线y＝e x ln x－e x＋x在点x＝x0处的切线与y轴垂直等价于方程M′(x0)＝0在x∈[1，e]上有实数解．而M′(x0)>0，即方程M′(x0)＝0无实数解．故不存在实数x0∈[1，e]，使曲线y＝M(x)在点x＝x0处的切线与y轴垂直．4．已知x>12，函数f(x)＝x2，h(x)＝2eln x(e为自然常数)．(1)求证：f(x)≥h(x)；(2)若f(x)≥h(x)且g(x)≤h(x)恒成立，则称函数h(x)的图像为函数f(x)，g(x)的“边界”．已知函数g(x)＝－4x2＋px＋q(p，q∈R)，试判断“函数f(x)，g(x)以函数h(x)的图像为边界”和“函数f(x)，g(x)的图像有且仅有一个公共点”这两个条件能否同时成立？若能同时成立，请求出实数p、q的值；若不能同时成立，请说明理由．解析(1)证明：记u(x)＝f(x)－h(x)＝x2－2eln x，则u′(x)＝2x－2e x，令u′(x)>0，因为x>12，所以x> e.所以函数u(x)在(12，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增．u(x)min＝u(e)＝f(e)－h(e)＝e－e＝0，即u(x)≥0，所以f(x)≥h(x)．(2)由(1)知，f(x)≥h(x)对x>12恒成立，当且仅当x＝e时等号成立．记v(x)＝h(x)－g(x)＝2eln x＋4x2－px－q，则“v(x)≥0恒成立”与“函数f(x)，g(x)的图像有且仅有一个公共点”同时成立，即v(x)≥0对x>12恒成立，当且仅当x＝e时等号成立．所以函数v(x)在x＝e时取极小值．注意到v′(x)＝2ex＋8x－p＝8x2－px＋2ex，由v′(e)＝0，解得p＝10 e.此时v′(x)＝8(x－e)(x－e4)x，由x>12知，函数v(x)在(12，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，即v(x)min＝v(e)＝h(e)－g(e)＝－5e－q＝0，q＝－5e，综上，两个条件能同时成立，此时p＝10e，q＝－5e.5．(2012·山东卷)已知函数f(x)＝ln x＋ke x(k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)设g(x)＝(x2＋x)f′(x)，其中f′(x)为f(x)的导函数，证明：对任意x>0，g(x)<1＋e－2.解析(1)由f(x)＝ln x＋k e x，得f′(x)＝1－kx－x ln xx e x，x∈(0，＋∞)．由于曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线与x轴平行，所以f′(1)＝0，因此k＝1.(2)由(1)得f′(x)＝1x e x(1－x－x ln x)，x∈(0，＋∞)．令h(x)＝1－x－x ln x，x∈(0，＋∞)，当x∈(0,1)时，h(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0.又e x>0，所以当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.因此f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(3)因为g(x)＝(x2＋x)f′(x)，所以g(x)＝x＋1e x(1－x－x ln x)，x∈(0，＋∞)．因此，对任意x>0，g(x)<1＋e－2等价于1－x－x ln x<e xx＋1(1＋e－2)．由(2)中h(x)＝1－x－x ln x，x∈(0，＋∞)，所以h′(x)＝－ln x－2＝－(ln x－ln e－2)，x∈(0，＋∞)．因此，当x∈(0，e－2)时，h′(x)>0，h(x)单调递增；当x∈(e－2，＋∞)时，h′(x)<0，h(x)单调递减．所以h(x)的最大值为h(e－2)＝1＋e－2.故1－x－x ln x≤1＋e－2.设φ(x)＝e x－(x＋1)．因为φ′(x)＝e x－1＝e x－e0，所以当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增，φ(x)>φ(0)＝0.故当x∈(0，＋∞)时，φ(x)＝e x－(x＋1)>0，即e xx＋1>1.所以1－x－x ln x≤1＋e－2<e xx＋1(1＋e－2)．因此，对任意x>0，g(x)<1＋e－2.6．(2011·山东文)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π3立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建筑费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元．设该容器的建造费用为y千元．(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.解析(1)设容器的容积为V，由题意知V＝πr2l＋43πr3，又V＝80π3，故l＝V－43πr3πr2＝803r2－43r＝43(20r2－r)．由于l≥2r，因此0<r≤2.所以建造费用y＝2πrl×3＋4πr2c＝2πr×43(20r2－r)×3＋4πr2c，因此y＝4π(c－2)r2＋160πr，0<r≤2.(2)由(1)得y′＝8π(c－2)r－160πr2＝8π(c－2)r2(r3－20c－2)，0<r<2.由于c>3，所以c－2>0.当r3－20c－2＝0时，r＝320c－2.令320c－2＝m，则m>0.所以y′＝8π(c－2)r2(r－m)(r2＋rm＋m2)．①当0<m<2即c>92时，当r＝m时，y′＝0；当r∈(0，m)时，y′<0；当r∈(m,2)时，y′>0.所以r＝m是函数y的极小值点，也是最小值点．②当m≥2即3<c≤92时，当r∈(0,2)时，y′<0，函数单调递减，所以r＝2是函数y的最小值点．综上所述，当3<c≤92时，建造费用最小时r＝2；当c>92时，建造费用最小时r＝320c－2.7．(2013·江南十校)设M是满足下列条件的函数f(x)构成的集合：“①方程f(x)－x＝0有实数根；②函数f(x)的导数f′(x)满足0<f′(x)<1.”(1)若函数f(x)为集合M中的任一元素，试证明方程f(x)－x＝0只有一个实根；(2)判断函数g(x)＝x2－ln x2＋3(x>1)是否是集合M中的元素，并说明理由；(3)“对于(2)中函数g(x)定义域内的任一区间[m，n]，都存在x0∈[m，n]，使得g(n)－g(m)＝(n－m)g′(x0)”，请利用函数y＝ln x的图像说明这一结论．解析(1)令h(x)＝f(x)－x，则h′(x)＝f′(x)－1<0，即h(x)在区间(1，＋∞)上单调递减．所以，使h(x)＝0，即f(x)－x＝0成立的x至多有一解．又由题设①知方程f(x)－x ＝0有实数根， 所以，方程f(x)－x ＝0只有一个实数根．(2)由题意知，g ′(x)＝12－12x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12⊂(0,1)，满足条件．令F(x)＝g(x)－x ＝－x 2－ln x2＋3(x>1)，则F(e )＝－e 2＋52>0，F(e 2)＝－e22＋2<0.又F(x)在区间[e ，e 2]上连续，所以F(x)在[e ，e 2]上存在零点x 0，即方程g(x)－x ＝0有实数根x 0∈[e ，e 2]，故g(x)满足条件①.综上可知，g(x)∈M.(3)由(1)知：g(n)－g(m)＝12(n －m)－12(ln n －ln m)， 而(n －m)g ′(x 0)＝(n －m)(12－12x 0)，所以原式等价于ln n －ln m n －m ＝1x 0.该等式说明函数y ＝ln x(x>1)上任意两点A(m ，ln m)和B(n ，ln n)的连线段AB(如图所示)，在曲线y ＝ln x(m ≤x ≤n)上都一定存在一点P(x 0，ln x 0)，使得该点处的切线平行于AB ，根据y ＝ln x(x>1)图像知该等式一定成立．8．(2013·郑州质检)已知函数f(x)＝x －ln (x ＋a)在x ＝1处取得极值． (1)求实数a 的值；(2)若关于x 的方程f(x)＋2x ＝x 2＋b 在[12，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围．答案 (1)0 (2)54＋ln 2≤b<2 解析 (1)对f(x)求导，得f ′(x)＝1－1x ＋a. 由题意，得f ′(1)＝0，即1－11＋a＝0，∴a ＝0. (2)由(1)得f(x)＝x －ln x.∴f(x)＋2x ＝x 2＋b ，即x 2－3x ＋ln x ＋b ＝0.设g(x)＝x 2－3x ＋ln x ＋b(x>0)，则g ′(x)＝2x －3＋1x ＝2x 2－3x ＋1x ＝(2x －1)(x －1)x.令g ′(x)＝0，得x 1＝12，x 2＝1.当x 变化时，g ′(x)、g(x)的变化情况如下表：又g(12)＝b －54－ln 2，g(2)＝b －2＋ln 2.∵方程f(x)＋2x ＝x 2＋b 在[12，2]上恰有两个不相等的实数根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧g (12)≥0，g (1)<0，g (2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧b －54－ln 2≥0，b －2<0，b －2＋ln 2≥0，解得54＋ln 2≤b<2.9．已知函数f(x)＝ax 2－2x ＋1，g(x)＝ln (x ＋1)． (1)求函数y ＝g(x)－x 在[0,1]上的最小值；(2)当a ≥12时，函数t(x)＝f(x)＋g(x)的图像记为曲线C ，曲线C 在点(0,1)处的切线为l ，是否存在a 使l 与曲线C 有且仅有一个公共点？若存在，求出所有a 的值；否则，说明理由．(3)当x ≥0时，g(x)≥－12f(x)＋12恒成立，求a 的取值范围．解析 (1)y ′＝1x ＋1－1，因为0≤x ≤1，所以y ′≤0. 所以y ＝g(x)－x 在[0,1]上单调递减． 当x ＝1时，y 取最小值为ln 2－1. 故y ＝g(x)－x 在[0,1]的最小值为ln 2－1.(2)函数t(x)的定义域为(－1，＋∞)，t ′(x)＝2ax －2＋1x ＋1，t ′(0)＝－1.所以在切点P(0,1)处的切线l 的斜率为－1. 因此切线方程为y ＝－x ＋1.因此切线l 与曲线C 有唯一的公共点，所以，方程ax 2－x ＋ln (x ＋1)＝0有且只有一个实数解．显然，x ＝0是方程的一个解．令φ(x)＝ax 2－x ＋ln (x ＋1)，则φ′(x)＝2ax －1＋1x ＋1＝2ax ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －1x ＋1.当a ＝12时，φ′(x)＝x 2x ＋1≥0，于是，φ(x)在(－1，＋∞)上单调递增，即x＝0是方程唯一的实数解．当a>12时，由φ′(x)＝0，得x 1＝0，x 2＝12a －1∈(－1,0)． 在区间(－1，x 2)上，φ′(x)>0，在区间(x 2,0)上，φ′(x)<0. 所以，函数φ(x)在x 2处有极大值φ(x 2)，且φ(x 2)>φ(0)＝0.而当x →－1时，φ(x)→－∞，因此，φ(x)＝0在(－1，x 2)内也有一个解，矛盾．综上，得a ＝12.(3)令h(x)＝g(x)－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12f (x )＋12＝ln (x ＋1)＋12ax 2－x ，h ′(x)＝1x ＋1＋ax －1＝ax 2＋(a －1)x x ＋1＝x[ax ＋(a －1)]x ＋1(x>－1)．若a ＝0，当x ∈[0，＋∞)时，h ′(x)≤0，则h(x)在[0，＋∞)上单调递减，故h(x)≤h(0)＝0，不合题意；若a ≥1，当x ∈[0，＋∞)时，h ′(x)≥0，则h(x)在[0，＋∞)上单调递增，故h(x)≥h(0)＝0，符合题意；若0<a<1，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1－a a 时，h ′(x)≤0，则h(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1－a a 单调递减，故h(1－aa )<h(0)＝0，不合题意；若a<0，当x ∈[0，＋∞)时，h ′(x)≤0，则h(x)在[0，＋∞)单调递减，故h(1)<h(0)＝0，不合题意．综上：a的取值范围是a≥1.。
2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业17
课时作业(十七)1．函数f(x)＝x33＋x2－3x－4在[0,2]上的最小值是()A．－173B．－103C．－4 D．－64 3答案 A解析f′(x)＝x2＋2x－3，f′(x)＝0，x∈[0,2]只有x＝1.比较f(0)＝－4，f(1)＝－173，f(2)＝－103.可知最小值为－17 3.2.已知f(x)的定义域为R，f(x)的导函数f′(x)的图像如图所示，则() A．f(x)在x＝1处取得极小值B．f(x)在x＝1处取得极大值C．f(x)在R上的增函数D．f(x)在(－∞，1)上是减函数，(1，＋∞)上是增函数答案 C解析由图像易知f′(x)≥0在R上恒成立，所以f(x)在R上是增函数．3．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是() A．－37 B．－29C．－5 D．以上都不对答案 A解析f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，∴f(x)在(－2,0)上增，(0,2)上减，∴x＝0为极大值点，也为最大值点，∴f(0)＝m＝3，∴m＝3.∴f(－2)＝－37，f(2)＝－5.∴最小值是－37，选A.4．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝()A.1ln2B．－1ln2C．－ln2 D．ln2 答案 B解析由y＝x·2x，得y′＝2x＋x·2x·ln2. 令y′＝0，得2x(1＋x·ln2)＝0.∵2x＞0，∴x＝－1 ln2.5．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极小值，则() A．0＜b＜1 B．b＜1C．b＞0 D．b＜1 2答案 A解析f(x)在(0,1)内有极小值，则f′(x)＝3x2－3b在(0,1)上先负后正，∴f′(0)＝－3b＜0.∴b＞0，f′(1)＝3－3b＞0，∴b＜1.综上，b的范围为0＜b＜1.6．已知函数f(x)＝12x3－x2－72x，则f(－a2)与f(－1)的大小关系为()A．f(－a2)≤f(－1)B．f(－a2)<f(－1)C．f(－a2)≥f(－1)D．f(－a2)与f(－1)的大小关系不确定答案 A解析由题意可得f′(x)＝32x2－2x－72.由f′(x)＝12(3x－7)(x＋1)＝0，得x＝－1或x＝73.当x<－1时，f(x)为增函数；当－1<x<73时，f(x)为减函数．所以f(－1)是函数f(x)在(－∞，0]上的最大值，又因为－a2≤0，故f(－a2)≤f(－1)．7．函数f (x )＝e －x ·x ，则( )A ．仅有极小值12eB ．仅有极大值12eC ．有极小值0，极大值12eD ．以上皆不正确答案 B解析 f ′(x )＝－e －x ·x ＋12x·e －x ＝e －x (－x ＋12x )＝e －x ·1－2x2x . 令f ′(x )＝0，得x ＝12.当x >12时，f ′(x )<0；当x <12时，f ′(x )>0. ∴x ＝12时取极大值，f (12)＝1e ·12＝12e.8．若y ＝a ln x ＋bx 2＋x 在x ＝1和x ＝2处有极值，则a ＝________，b ＝________.答案 －23 －16 解析 y ′＝ax ＋2bx ＋1. 由已知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，a2＋4b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－23，b ＝－16.9．设m ∈R ，若函数y ＝e x ＋2mx (x ∈R )有大于零的极值点，则m 的取值范围是________．答案 m <－12解析 因为函数y ＝e x ＋2mx (x ∈R )有大于零的极值点，所以y ′＝e x ＋2m ＝0有大于0的实根．令y 1＝e x ，y 2＝－2m ，则两曲线的交点必在第一象限．由图像可得－2m >1，即m <－12.10．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图像与x 轴相切于(1,0)，则极小值为________．答案 0解析 f ′(x )＝3x 2－2px －q ， 由题知f ′(1)＝3－2p －q ＝0. 又f (1)＝1－p －q ＝0，联立方程组，解得p ＝2，q ＝－1. ∴f (x )＝x 3－2x 2＋x ，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1. 由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0， 解得x ＝1或x ＝13.经检验知x ＝1是函数的极小值点． ∴f (x )极小值＝f (1)＝0.11．函数y ＝x 3－2ax ＋a 在(0,1)内有极小值，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32解析 令y ′＝3x 2－2a ＝0，得x ＝±2a3(a >0，否则函数y 为单调增函数)．若函数y ＝x 3－2ax ＋a 在(0,1)内有极小值，则2a 3<1，∴0<a <32.12．已知函数f (x )＝e x ＋a ln x 的定义域是D ，关于函数f (x )给出下列命题： ①对于任意a ∈(0，＋∞)，函数f (x )是D 上的减函数； ②对于任意a ∈(－∞，0)，函数f (x )存在最小值；③存在a ∈(0，＋∞)，使得对于任意的x ∈D ，都有f (x )>0成立； ④存在a ∈(－∞，0)，使得函数f (x )有两个零点．其中正确命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)． 答案 ②④解析 由f (x )＝e x ＋a ln x 可得f ′(x )＝e x ＋ax ，若a >0，则f ′(x )>0，得函数f (x )是D 上的增函数，存在x ∈(0,1)，使得f (x )<0，即得命题①③不正确；若a <0，设e x ＋ax ＝0的根为m ，则在(0，m )上f ′(x )<0，在(m ，＋∞)上f ′(x )>0，所以函数f (x )存在最小值f (m )，即命题②正确；若f (m )<0，则函数f (x )有两个零点，即命题④正确．综上可得，正确命题的序号为②④.13．设函数f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0＜x ＜2π，求函数f (x )的单调区间与极值． 解析 由f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0＜x ＜2π， 知f ′(x )＝cos x ＋sin x ＋1. 于是f ′(x )＝1＋2sin(x ＋π4)．令f ′(x )＝0，从而sin(x ＋π4)＝－22，得x ＝π或x ＝3π2. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：因此，由上表知f (x )的单调递增区间是(0，π)与(3π2，2π)，单调递减区间是(π，3π2)，极小值为f (3π2)＝3π2，极大值为f (π)＝π＋2.14．已知函数f (x )＝x 2－1－2a ln x (a ≠0)．求函数f (x )的极值． 解析 因为f (x )＝x 2－1－2a ln x (x >0)，所以f ′(x )＝2x －2a x ＝2(x 2－a )x .当a <0时，因为x >0，且x 2－a >0，所以f ′(x )>0对x >0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，f (x )无极值；当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x 1＝a ，x 2＝－a (舍去)． 所以当x >0时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以当a －1－a ln a . 综上，当a <0时，函数f (x )在(0，＋∞)上无极值．当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －1－a ln a . 15．(2013·衡水调研卷)已知函数f (x )＝ax 2－2x ＋ln x . (1)若f (x )无极值点，但其导函数f ′(x )有零点，求a 的值；(2)若f (x )有两个极值点，求a 的取值范围，并证明f (x )的极小值小于－32. 解析 (1)首先，x >0，f ′(x )＝2ax －2＋1x ＝2ax 2－2x ＋1x，f ′(x )有零点而f (x )无极值点，表明该零点左右f (x )同号，故a ≠0，且2ax 2－2x ＋1＝0的Δ＝0.由此可得a ＝12.(2)由题意，2ax 2－2x ＋1＝0有两不同的正根，故Δ>0，a >0.解得0<a <12. 设2ax 2－2x ＋1＝0有两根为x 1，x 2，不妨设x 1<x 2，因为在区间(0，x 1)，(x 2，＋∞)上，f (x )>0，而在区间(x 1，x 2)上，f (x )<0，故x 2是f (x )的极小值点．因f (x )在区间(x 1，x 2)上f (x )是减函数，如能证明f (x 1＋x 22)<－32. 由韦达定理，x 1＋x 22＝12a ，f (12a )＝a (12a )2－2(12a )＋ln 12a ＝ln 12a －32·12a .令12a ＝t ，其中t >1.设g (t )＝ln t －32t ＋32，利用导数容易证明g (t )． 当t >1时单调递减，而g (1)＝0，因此g (t )<0，即f (x )的极小值f (x 2)<0. (2)另证：实际上，我们可以用反代的方式证明f (x )的极小值均小于－32. 由于两个极值点是方程2ax 2－2x ＋1＝0的两个正根，所以反过来，a ＝2x 2－12x 22(用x 1表示a 的关系式与此相同)，这样f (x 2)＝ax 22－2x 2＋ln x 2＝即f (x 2)＝ln x 2－x 2－12，再证明该式小于－32是容易的(注意x 2≠1，下略). 16．已知函数f (x )＝x 3－ax 2－3x .(1)若函数f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围； (2)若x ＝－13是函数f (x )的极值点，求函数f (x )在[1，a ]上的最大值； (3)设函数g (x )＝f (x )－bx ，在(2)的条件下，若函数g (x )恰有3个零点，求实数b 的取值范围．解析 (1)f ′(x )＝3x 2－2ax －3， ∵f (x )在[1，＋∞)是增函数， ∴f ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立，即 3x 2－2ax －3≥0在[1，＋∞)上恒成立． 则必有a3≤1，且f ′(1)＝－2a ≥0. ∴a ≤0.(2)依题意，f ′(－13)＝0，即13＋23a －3＝0，∴a ＝4. ∴f (x )＝x 3－4x 2－3x . 令f ′(x )＝3x 2－8x －3＝0， 得x 1＝－13，x 2＝3.则当x 变化时，f ′(x )与f (x )变化情况如下表∴f (x )(3)函数g (x )有3个零点⇔方程f (x )－bx ＝0有3个不相等的实根． 即方程x 3－4x 2－3x ＝bx 有3个不等实根． ∵x ＝0是其中一个根，∴只需满足方程x 2－4x －3－b ＝0有两个非零不等实根． ∴⎩⎨⎧Δ＝16＋4(3＋b )>0，－3－b ≠0. ∴b >－7且b ≠－3.故实数b 的取值范围是b >－7且b ≠－3.1．(2013·石家庄模拟)设函数f (x )在R 上要导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图像可能是( )答案 C解析 由f (x )在x ＝－2处取得极小值可知 当x <－2时，f ′(x )<0，则xf ′(x )>0， 当x >－2时，f ′(x )>0，则当－2<x <0时， xf ′(x )<0，当x >0时，xf ′(x )>0.2．设函数f (x )＝2x 3＋3ax 2＋3bx ＋8c 在x ＝1及x ＝2时取得极值． (1)求a 、b 的值；(2)若对任意的x ∈[0,3]，都有f (x )<c 2成立，求c 的取值范围． 解析 (1)f ′(x )＝6x 2＋6ax ＋3b ，因为函数f (x )在x ＝1及x ＝2时取得极值， 则有f ′(1)＝0，f ′(2)＝0.即⎩⎨⎧6＋6a ＋3b ＝0，24＋12a ＋3b ＝0，解得a ＝－3，b ＝4. (2)由(1)可知，f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋8c ， f ′(x )＝6x 2－18x ＋12＝6(x －1)(x －2)．当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0； 当x ∈(2,3)时，f ′(x )>0.所以，当x ＝1时，f (x )取得极大值f (1)＝5＋8c . 又f (0)＝8c ，f (3)＝9＋8c ，则当x ∈[0,3]时，f (x )的最大值为f (3)＝9＋8c . 因为对于任意的x ∈[0,3]，有f (x )<c 2恒成立， 所以9＋8c <c 2，解得c <－1或c >9.因此c 的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)． 3．已知函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3x ＋1. (1)设a ＝2，求f (x )的单调区间；(2)设f (x )在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a 的取值范围．解析 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 3－6x 2＋3x ＋1，f ′(x )＝3(x －2＋3)(x －2－3)． 当x ∈(－∞，2－3)时f ′(x )＞0，f (x )在(－∞，2－3)上单调增加； 当x ∈(2－3，2＋3)时f ′(x )＜0，f (x )在(2－3，2＋3)上单调减少；当x ∈(2＋3，＋∞)时f ′(x )＞0，f (x )在(2＋3，＋∞)上单调增加． 综上，f (x )的单调增区间是(－∞，2－3)和(2＋3，＋∞)，f (x )的单调减区间是(2－3，2＋3)．(2)f ′(x )＝3[(x －a )2＋1－a 2]．当1－a 2≥0时，f ′(x )≥0，f (x )为增函数，故f (x )无极值点； 当1－a 2＜0时，f ′(x )＝0有两个根， x 1＝a －a 2－1，x 2＝a ＋a 2－1. 由题意知，2＜a －a 2－1＜3，① 或2＜a ＋a 2－1＜3.② ①式无解．②式的解为54＜a ＜53. 因此a 的取值范围是(54，53)．4．(2013·沧州七校联考)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋1－ln x . (1)若f (x )在(0，12)上是减函数，求a 的取值范围；(2)函数f (x )是否既有极大值又有极小值？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解析 (1)f ′(x )＝－2x ＋a －1x ，∵f (x )在(0，12)上为减函数，∴x ∈(0，12)时－2x ＋a －1x <0恒成立，即a <2x ＋1x 恒成立．设g (x )＝2x ＋1x ，则g ′(x )＝2－1x 2.∵x ∈(0，12)时1x 2>4，∴g ′(x )<0，∴g (x )在(0，12)上单调递减，g (x )>g (12)＝3，∴a ≤3.(2)若f (x )既有极大值又有极小值，则f ′(x )＝0必须有两个不等的正实数根x 1，x 2，即2x 2－ax ＋1＝0有两个不等的正实数根．故a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，a2>0⇒⎩⎨⎧a 2－8>0，a >0⇒a >22，∴当a >22时， f ′(x )＝0有两个不等的实数根．不妨设x 1<x 2，由f ′(x )＝－1x (2x 2－ax ＋1)＝－2x (x －x 1)(x －x 2)知，0<x <x 1时f ′(x )<0，x 1<x <x 2时f ′(x )>0，x >x 2时f ′(x )<0，∴当a >22时f (x )既有极大值f (x 2)又有极小值f (x 1)．5．已知a 是实数，求函数f (x )＝x 2(x －a )在区间[0,2]上的最大值． 解析 令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a 3.当2a3≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,2]上单调递增，从而 f (x )max ＝f (2)＝8－4a .当2a3≥2，即a ≥3时，f (x )在[0,2]上单调递减，从而 f (x )max ＝f (0)＝0.当0<2a 3<2，即0<a <3时，f (x )在[0，2a 3]上单调递减，在[2a3，2]上单调递增，从而f (x )max ＝⎩⎨⎧8－4a ，0<a ≤2，0，2<a <3.综上所述，f (x )max ＝⎩⎨⎧8－4a ，a ≤2，0，a >2.6．“我们称使f (x )＝0的x 为函数y ＝f (x )的零点．若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上是连续的、单调的函数，且满足f (a )·f (b )<0，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上有唯一的零点”．对于函数f (x )＝6ln(x ＋1)－x 2＋2x －1.(1)讨论函数f (x )在其定义域内的单调性，并求出函数极值； (2)证明连续函数f (x )在[2，＋∞)内只有一个零点．解析 (1)f (x )＝6ln(x ＋1)－x 2＋2x －1的定义域为(－1，＋∞)， 且f ′(x )＝6x ＋1－2x ＋2＝8－2x 2x ＋1，f ′(x )＝0⇒x ＝2(－2舍去)．∴当x＝2时，f(x)的极大值为f(2)＝6ln3－1.(2)证明：由(1)知f(2)＝6ln3－1>0，f(x)在[2,7]上单调递减．又f(7)＝6ln8－36＝18(ln2－2)<0，∴f(2)·f(7)<0.∴f(x)在[2,7]上有唯一零点．当x∈[7，＋∞)时，f(x)≤f(7)<0.故x∈[7，＋∞)时，f(x)不为零．∴y＝f(x)在[7，＋∞)上无零点．∴函数f(x)＝6ln(x＋1)－x2＋2x－1在定义域内只有一个零点．7．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．思路本题考查多项式的导数公式及运用导数求函数的单调区间和函数的最值，题目中需注意应先比较f(2)和f(－2)的大小，然后判定哪个是最大值从而求出a.解析(1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9.令f′(x)<0，解得x<－1或x>3.∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．(2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，∴f(2)>f(－2)．∵在(－1,3)上f′(x)>0，∴f(x)在(－1,2]上单调递增．又由于f(x)在[－2，－1)上单调递减，∴f(－1)是f(x)的极小值，且f(－1)＝a－5.∴f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值，于是有22＋a＝20，解得a ＝－2.∴f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x －2. ∴f (－1)＝a －5＝－7，即函数f (x )在区间[－2,2]上的最小值为－7.8．已知函数g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ∈R 且a ≠0)，g (－1)＝0，且g (x )的导函数f (x )满足f (0)f (1)≤0.设x 1、x 2为方程f (x )＝0的两根．(1)求ba 的取值范围；(2)若当|x 1－x 2|最小时，g (x )的极大值比极小值大43，求g (x )的解析式．解析 (1)∵g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，∴g (－1)＝－a ＋b －c ＝0，即c ＝b －a . 又f (x )＝g ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由f (0)f (1)≤0，得c (3a ＋2b ＋c )≤0，即(b －a )(3b ＋2a )≤0.∵a ≠0，∴(b a －1)(3·b a ＋2)≤0，解得－23≤ba ≤1. 又∵方程f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＝0(a ≠0)有两根，∴Δ≥0.而Δ＝(2b )2－4×3a ×c ＝4b 2－12a (b －a )＝4(b －32a )2＋3a 2>0恒成立， 于是，b a 的取值范围是[－23，1]．(2)∵x 1、x 2是方程f (x )＝0的两根，即3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根为x 1、x 2， ∴x 1＋x 2＝－2b 3a ，x 1x 2＝c 3a ＝b －a 3a ＝b 3a －13.∴|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(－2b 3a )2－4(b 3a －13)＝49·(b a )2－43·b a ＋43＝49(b a －32)2＋13.∵－23≤b a ≤1，∴当且仅当ba ＝1，即a ＝b 时，|x 1－x 2|2取最小值，即|x 1－x 2|取最小值．此时，g (x )＝ax 3＋ax 2，f (x )＝3ax 2＋2ax ＝ax (3x ＋2)． 令f (x )＝0，得x 1＝－23，x 2＝0.若a >0，当x 变化时，f (x )、g (x )的变化情况如下表：由上表可知，g(x)的极大值为g(－23)＝427a，极小值为g(0)＝0.由题设，知427a－0＝43，解得a＝9，此时g(x)＝9x3＋9x2；若a<0，当x变化时，f(x)、g(x)的变化情况如下表：由上表可知，g(x)的极大值为g(0)＝0，极小值为g(－23)＝427a.由题设知0－427a＝43，解得a＝－9，此时g(x)＝－9x3－9x2.点评本题的难点是第(2)问，有两处值得思考：①|x1－x2|取得最小值时，会有怎样的结论？②怎样求出g(x)的极大值、极小值？在问题的求解过程中，由根与系数的关系建立|x1－x2|2关于ba的函数关系式，由第(1)问中ba∈[－23，1]求得|x1－x2|2取最小值，即|x1－x2|取得最小值时的条件是a＝b.然后在求g(x)的极大值、极小值时，需要对a分a>0、a<0进行讨论，得到相应的极大值、极小值．9．已知定义在正实数集上的函数f(x)＝12x2＋2ax，g(x)＝3a2ln x＋b，其中a>0，设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点处的切线相同．(1)用a表示b；(2)求F(x)＝f(x)－g(x)的极值；(3)求b的最大值．解析(1)设y＝f(x)与y＝g(x)的公共点为(x0，y0)．∵f′(x)＝x＋2a，g′(x)＝3a2x，由题意f(x0)＝g(x0)，f′(x0)＝g′(x0)．即12x2＋2ax0＝3a2ln x0＋b，x0＋2a＝3a2x0.由x0＋2a＝3a2x0，得x0＝a或x0＝－3a(舍去)．即有b＝12a2＋2a2－3a2ln a＝52a2－3a2ln a.(2)F(x)＝f(x)－g(x)＝12x2＋2ax－3a2ln x－b(x>0)，则F′(x)＝x＋2a－3a2x＝(x－a)(x＋3a)x(x>0)．所以F(x)在(0，a)上为减函数，在(a，＋∞)上为增函数．于是函数F(x)在x＝a时有极小值，F(x)极小＝F(a)＝F(x0)＝f(x0)－g(x0)＝0，F(x)＝f(x)－g(x)＝12x2＋2ax－3a2ln x－b(x>0)无极大值．(3)由(1)知令h(t)＝52t2－3t2ln t(t>0)，则h′(t)＝2t(1－3ln t)．当t(1－3ln t)>0，即，h′(t)>0；当t(1－3ln t)<0，即时，h′(t)<0.故h(t)在()为增函数，在()为减函数．于是h(t)在(0，＋∞)上的极大值即为最大值：. 即b的最大值为.。
2014年高考广东理科数学第21题评析
2014年高考广东理科数学第21题评析作者：林伟雄来源：《广东教育·高中》2014年第08期牵动高三老师和莘莘学子的2014年高考已经落下帷幕，师生高度关注的高考题目是教师深刻反思的良好素材.下面，我们选取广东高考理科数学最后一题进行评析，以期对高考备考和平时教学有所启示.作为理科数学的压轴题，全省平均得分不到1分.如果同学们能熟悉常用的数学思想，就能转换自己熟悉的题型，从而找到解题的突破口.题目：设函数 f（x）=，其中k（1）求函数的定义域D（用区间表示）；（2）讨论函数f（x）在D上的单调性；（3）若kf（1）的x的集合（用区间表示）.分析：初看这题，同学们感觉很难，为什么呢？一是分母有根号，二是根号里是一个4次多项式，三是这个多项式还有参数.基于这三个原因，很多同学一看题目就放弃了.当我们看到一道陌生的问题时，首先想一想：我做过这类题目吗？我能转化为一个以前做过的题吗？认真看看，发现根号里的代数式有相同的东西，就是x2+2x+k，如果用一个字母代替这个式子，就是同学们熟悉的一个二次多项式了，很容易对它进行因式分解.就是这个小小的整体代换，我们把一个4次不等式问题转化为了2次不等式问题，这就是该题的突破口.第二问，直接对函数求导显然太复杂，我们可以把问题转化一下，把这个复杂函数的单调性问题化为复合函数：y=，u=（x2+2x+k）2+2（x2+2x+k）-3的单调性问题，再用求导的办法解决就不难了，这样还是体现了转化的思想.第（1）问解析：这一问考生基本上都可以列出不等式：（x2+2x+k）2+2（x2+2x+k）-3>0.如何解这个不等式？考生可能会出现如下四种解法：解法一（换元法）：设u=x2+2x+k，则u2+2u-3>0.解得：u1.再由x2+2x+k1，解得：x-1+或-1-∴D=（-∞，-1-）∪（-1-，-1+）∪（-1+，+∞）.解法二（图像法）：因式分解能力好的考生可能会想到如下解法：（x2+2x+k）2+2（x2+2x+k）-3>0⇔（x2+2x+k+3）（x2+2x+k-1）>0⇔x2+2x+k-1>0，x2+2x+k+3>0或x2+2x+k-1x2+2x+k+3画出函数 g（x）=x2+2x+k+3和h（x）=x2+2x+k-1的草图：（其中x1=-1-，x2=-1+，x3=-1-， x4=-1+）.由图像可得，D=（-∞，-1-）∪（-1-，-1+）∪（-1+，+∞）.解法三（分析法）：观察能力和推理能力好的考生可能会想到如下这种很有智慧的解法：显然x2+2x+k+3>x2+2x+k-1，∴（x2+2x+k）2+2（x2+2x+k）-3>0⇔（x2+2x+k+3）（x2+2x+k-1）>0⇔x2+2x+k+3>0或x2+2x+k-1解不等式得，D=（-∞，-1-）∪（-1-，-1+）∪（-1+，+∞）.解法四（根轴法）：（x2+2x+k-1）（x2+2x+k+3） >0⇔[x-（-1-）][x-（-1-）][x-（-1+）][x-（-1+）]>0⇔x-1+，∴ D=（-∞，-1-）∪（-1-，-1+）∪（-1+，+∞）.点评：这一小问考生容易上手，不同水平层次的考生可以找到适合自己的解法，体现转化途径的多样性.其中解法一非常容易想到，体现了通过换元到达降幂的思想，把解四次不等式转化为解三个二次不等式问题；解法二体现了利用因式分解达到降幂的目的，把解四次不等式转化为解两个二次不等式组的问题.体现了整体意识和数形结合思想；解法三是最有智慧的解法，能用这个方法的考生观察和推理意识必然很强，在紧张的高考中，能冷静地观察，利用不等式的特殊结构来寻找最优的解题过程，实属难得，体现了较高的数学素养；解法四是处理高次多项式方程的一个通法，但是这个方法要求把多项式分解成一次多项式或者是二次无零点的多项式的乘积，对代数式的变形能力要求比较高，由于该题目的特殊结构，这个方法使用的十分顺利.第（2）问解析：设 g（x）=（x2+2x+k）2+2（x2+2x+k）-3，这一小问关键是讨论该函数的单调性，体现了化归的思想.这是一个4次多项式，考生很自然会想到用导数来解决单调性问题.于是求导：g′（x）=2（x2+2x+k）（2x+2）+2（2x+2）=4（x+1）（x2+2x+k+1）.此时，在确定该导函数的正负又面临一个解高次多项式不等式的问题，有两种解法：图像法和根轴法（参见第（1）问解析）.g′（x）>0⇔x∈D1=（-1--1）∪（-1++∞）；g′（x）D∩D1=（-1-，-1）∪（-1+，+∞）；D∩D2=（-∞，-1-）∪（-1，-1+）.由复合函数的单调性知，f（x）在区间（-1-，-1）和（-1+，+∞）递减；在区间（-∞，-1-）和（-1，-1+）递增.点评：这一小问的关键是把原函数的单调性问题转化为g（x）=（x2+2x+k）2+2（x2+2x+k）-3的单调性问题.完成这个转化并将该函数求导，就可以得到一部分分数.但是解不等式g′（x）>0或g′（x）在求D∩D1和D∩D2时，实际上是求不等式组的解集，一般是利用数轴来求解，参数k 对点在数轴的相对位置的确定起了干扰影响，在画草图的时候，可以把k具体化，赋予它一个满足条件（k第（3）问解析：解法一（不等式观点）：把f（x）>f（1）看成是纯粹解不等式的问题：f（x）>f（1）⇔（x2+2x+k）2+2（x2+2x+k）-3⇔（x2+2x-3）（x2+2x+2k+3）x2+2x+2k+3⇔x2+2x-3>0，x2+2x+2k+3⇔x∈D3=（-1-，-3）∪（1，-1+）.f（x）>f（1）的解集为：D∩D3，即：（-1-，-1-）∪（-1-，-3）∪（1，-1+）∪（-1+，-1+）.解法二（函数观点）：把f（x）>f（1）看成是函数值大小比较问题.这个解法需要第（2）小问的结论作为基础，根据函数的单调性，画出函数f（x）的草图（3）令f（x）=f（1）解得x=-1-或-3或1或-1+当k由图像可得f（x）>f（1）的解集为：（-1-，-1-）∪（-1-，-3）∪（1，-1+）∪（-1+，-1+）.点评：解法一从不等式观点来解决这个小问，对这个题目来说是有可取之处的，理由是解决了第一小问之后，如果第二小问没有做出来，仍然可以作出第三小问.把问题转化为不等式（x2+2x-3）（x2+2x+2k+3）解法二我想应该是体现了命题者的意图.该题的三个小问环环相扣，正是研究函数的一种方法：确定定义域→讨论函数的单调性→画出函数的草图→利用函数及其图像解决问题.这个解法非常直观，是中学解不等式的常用方法，体现了函数，方程，不等式的内在联系.从今年的高考压轴题可以看出，高考趋向于考查数学思想方法，单纯靠记常规题型的解题步骤，利用题海战术来提高成绩是不可取的.因此，同学们在高三的复习中，要多问一些为什么，多思考如何把一些复杂的，陌生的的问题转化为简单的，熟悉的问题.学会了转换和化归等思想方法，同学们方能以不变应万变，真正提高解题能力.（作者单位：华南师大附中汕尾学校）责任编校徐国坚。
高中数学高考调研高中数学-课时作业21-新人教A版选修22
课时作业(二十一)一、选择题1．“∵四边形ABCD为矩形，∴四边形ABCD的对角线相等”，以上推理省略的大前提为( )A．正方形都是对角线相等的四边形B．矩形都是对角线相等的四边形C．等腰梯形都是对角线相等的四边形D．矩形都是对边平行且相等的四边形答案 B2．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的的；②这艘船是准时到达目的港的；③所以这艘船是准时起航的．”中的“小前提”是( )A．①B．②C．①②D．③答案 B3．“凡是自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数．”以上三段论推理( ) A．完全正确B．推理形式不正确C．不正确，两个“自然数”概念不一致D．不正确，两个“整数”概念不一致答案 A4．《论语·子路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是( )A．类比推理B．归纳推理C．演绎推理D．一次三段论答案 C5．(2012·北京)已知数列{a n}为等比数列，下面结论中正确的是( )A．a1＋a3≥2a2B．a21＋a23≥2a22C．若a1＝a3，则a1＝a2D．若a3>a1，则a4>a2答案 B6．有这样一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，这是因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误答案 C7．“在四边形ABCD 中，∵AB 綊CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形”．上述推理过程( ) A ．省略了大前提 B ．省略了小前提 C ．是完整的三段论 D ．推理形式错误答案 A8．(2012·浙江卷)设a >0，b >0，e 是自然对数的底数( ) A ．若e a ＋2a ＝e b＋3b ，则a >b B ．若e a ＋2a ＝e b＋3b ，则a <b C ．若e a －2a ＝e b－3b ，则a >b D ．若e a －2a ＝e b－3b ，则a <b 答案 A9．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确答案 C10．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．因为∠A 和∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，所以∠A ＋∠B ＝180°B ．我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，可推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油C ．由6＝3＋3,8＝3＋5,10＝3＋7,12＝5＋7,14＝7＋7，…，得出结论：一个偶数(大于4)可以写成两个素数的和D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1a n －1)(n ≥2)，通过计算a 2，a 3，a 4，a 5的值归纳出{a n }的通项公式答案 A 二、填空题11．已知推理：“因为△ABC 的三边长依次为3,4,5，所以△ABC 是直角三角形”，若将其恢复成完整的三段论，则大前提是________．答案 一条边的平方等于其它两边的平方和的三角形是直角三角形 12．函数y ＝2x ＋5的图像是一条直线，用三段论表示为：大前提：_____________________________________________.小前提：_____________________________________________.结论：_______________________________________________.答案所有一次函数图像都是一条线y＝2x＋5是一次函数函数y＝2x＋5的图像是一条直线13．以下推理中，错误的序号为________．①∵ab＝ac，∴b＝c；②∵a≥b，b>c，∴a>c；③∵75不能被2整除，∴75是奇数；④∵a∥b，b⊥平面α，∴a⊥α.答案①14．“∵α∩β＝l，AB⊂α，AB⊥l，∴AB⊥β”，在上述推理过程中，省略的命题为________．答案如果两个平面相交，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一平面．三、解答题15．将下列演绎推理写成三段论的形式．(1)菱形的对角线互相平分；(2)奇数不能被2整除，75是奇数，所以75不能被2整除．解析(1)平行四边形对角线互相平分(大前提)菱形是平行四边形(小前提)菱形对角线互相平分(结论)(2)一切奇数都不能被2整除(大前提)75是奇数(小前提)75不能被2整除(结论)16.如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，且CD ＝2AB ，E 为PC 的中点．(1)求证：平面PCD ⊥平面PAD ； (2)求证：BE ∥平面PAD .解析 (1)∵⎭⎪⎬⎪⎫PA ⊥底面ABCD CD ⊂面ABCD⇒⎭⎪⎬⎪⎫CD ⊥PA CD ⊥DA PA ∩DA ⇒CD ⊥平面PAD ，CD ⊂面PCD .∴平面PDC ⊥平面PAD .(2)取PD 中点F ，连AF 、EF ，∵EF 綊12DC ＝AB ，∴四边形ABEF 为平行四边形．∴BE ∥AF .又BE ⊄平面PAD ，AF ⊂平面PAD ，∴BE ∥平面PAD .高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业25
课时作业(二十五)1．f (x )＝(1－3tan x )cos x ＋2的最小正周期为 ( )A ．2π B.3π2 C ．π D.π2答案 A解析 f (x )＝(1－3sin xcos x )cos x ＋2 ＝cos x －3sin x ＋2＝2cos(x ＋π3)＋2， ∴T ＝2π.2．函数y ＝2cos 2x 的一个单调增区间是 ( )A ．(－π4，π4) B ．(0，π2) C ．(π4，3π4) D ．(π2，π)答案 D解析 y ＝2cos 2x ＝1＋cos2x ， ∴递增区间为2k π＋π≤2x ≤2k π＋2π. ∴k π＋π2≤x ≤k π＋π. ∴k ＝0时，π2≤x ≤π.选D.3．(2013·西城区期末)下列函数中，即为偶函数又在(0，π)上单调递增的是( )A ．y ＝tan|x |B ．y ＝cos(－x )C ．y ＝sin(x －π2)D ．y ＝－cos2x 答案 C4．(2013·衡水调研卷)已知f (x )＝sin 2(x ＋π4)．若a ＝f (lg5)，b ＝f (lg 15)，则( ) A ．a ＋b ＝0B ．a －b ＝0C ．a ＋b ＝1D ．a －b ＝1答案 C解析 利用降幂公式化简f (x )，再利用对数的性质计算a ＋b 或a －b .因为f (x )＝sin 2(x ＋π4)＝1－cos (2x ＋π2)2＝1＋sin2x 2，令lg5＝t ，则lg 15＝－t ，所以a ＝f (lg5)＝1＋sin2t 2，b ＝f (lg 15)＝1－sin2t2，所以a ＋b ＝1，故应选C.5．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)在x ＝π4处取得最小值，则( ) A ．f (x ＋π4)一定是偶函数 B ．f (x ＋π4)一定是奇函数 C ．f (x －π4)一定是偶函数 D ．f (x －π4)一定是奇函数答案 A解析 f (x ＋π4)是f (x )向左平移π4个单位得到的，f (x )图像关于x ＝π4对称，则f (x ＋π4)图像关于x ＝0对称，故f (x ＋π4)为偶函数．6．定义在R 上的函数f (x )既是奇函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈[－π2，0)时，f (x )＝sin x ，则f (－5π3)的值为( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.32答案 D解析 据题意，由函数的周期性及奇偶性知：f (－5π3)＝f (－5π3＋2π)＝f (π3)＝－f (－π3)＝－sin(－π3)＝32.7．函数y ＝－x cos x 的部分图像是( )答案 D解析 方法一 由函数y ＝－x cos x 是奇函数，知图像关于原点对称． 又由当x ∈[0，π2]时，cos x ≥0，有－x cos x ≤0. 当x ∈[－π2，0]时，cos x ≥0，有－x cos x ≥0.∴应选D. 方法二 特殊值法，由f (±π2)＝0， ∵f (π4)＝－π4·cos π4<0，由图像可排除A 、B ， 又∵f (－π4)＝π4·cos π4>0，排除C ，故选D. 8．关于x 的函数f (x )＝sin(πx ＋φ)有以下命题： ①∀φ∈R ，f (x ＋2π)＝f (x )； ②∃φ∈R ，f (x ＋1)＝f (x )； ③∀φ∈R ，f (x )都不是偶函数； ④∃φ∈R ，使f (x )是奇函数． 其中假命题的序号是 ( )A ．①③B ．①④C ．②④D ．②③答案 A解析 对命题①，取φ＝π时，f (x ＋2π)≠f (x )，命题①错误；如取φ＝2π，则f (x ＋1)＝f (x )，命题②正确；对于命题③，φ＝π2时f (x )＝f (－x )，则命题③错误；如取φ＝π，则f (x )＝sin(πx ＋π)＝－sinπx ，命题④正确．9．(2011·全国课标理)设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )A ．f (x )在(0，π2)单调递减 B ．f (x )在(π4，3π4)单调递减 C ．f (x )在(0，π2)单调递增 D ．f (x )在(π4，3π4)单调递增 答案 A解析 y ＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)＝2sin(ωx ＋φ＋π4)，由最小正周期为π，得ω＝2，又由f (－x )＝f (x )可知f (x )为偶函数，|φ|<π2可得φ＝π4，所以y ＝2cos2x ，在(0，π2)单调递减．10．已知函数y ＝sin w x 在[－π3，π3]上是减函数，则w 的取值范围是( ) A ．[－32，0) B ．[－3,0) C ．(0，32] D ．(0,3]答案 A解析 由题意可知，ω<0，且有⎪⎪⎪⎪⎪⎪π3ω≤π2.∴－32≤ω<0.11．函数f (x )＝M sin(ωx ＋φ)(ω>0)在区间[a ，b ]上是增函数，且f (a )＝－M ，f (b )＝M ，则函数g (x )＝M cos(ωx ＋φ)在[a ，b ]上( )A ．是增函数B ．是减函数C ．可以取得最大值MD ．可以取得最小值－M 答案 C解析 方法一(特值法)：取M ＝2，w ＝1，φ＝0画图像即得答案．方法二：T ＝2πw ，g (x )＝M cos(w x ＋φ)＝M ·sin(w x ＋φ＋π2)＝M ·sin[w (x ＋π2w )＋φ]，∴g (x )的图像是由f (x )的图像向左平移π2w (即T4)得到的由b －a ＝T2，可知，g (x )的图像由f (x )的图像向左平移b －a 2得到的． ∴得到g (x )图像如图所示．选C.12．设f (x )＝x sin x ，若x 1、x 2∈[－π2，π2]，且f (x 1)>f (x 2)，则下列结论中，必成立的是( )A ．x 1>x 2B ．x 1＋x 2>0C ．x 1<x 2D ．x 21>x 22答案 D13．(2012·衡水调研卷)将函数y ＝sin(6x ＋π4)图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移π8个单位，得到的函数的一个对称中心是( )A ．(π2，0) B ．(π4，0) C ．(π9，0) D ．(π16，0)答案 A解析 将函数y ＝sin(6x ＋π4)图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，得到函数y ＝sin(2x ＋π4)的图像，再向右平移π8个单位，得到函数f (x )＝sin[2(x －π8)＋π4]＝sin2x 的图像，而f (π2)＝0，故选A.14．(2011·山东文)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间[0，π3]上单调递增，在区间[π3，π2]上单调递减，则ω＝( )A.23 B.32 C ．2 D ．3答案 B解析 由于函数f (x )＝sin ωx 的图像经过坐标原点，根据已知并结合函数图像可知，π3为这个函数的四分之一周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32.15．将函数y ＝sin(ωx ＋φ)(π2<φ<π)的图像，仅向右平移4π3，或仅向左平移2π3，所得到的函数图像均关于原点对称，则ω＝________.答案 12解析 注意到函数的对称轴之间距离是函数周期的一半，即有T 2＝4π3－(－2π3)＝2π，T ＝4π，即2πω＝4π，ω＝12.16．已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图像的一条对称轴是x ＝5π3，则函数g (x )＝a sin x ＋cos x 的初相是________．答案 23π解析 f ′(x )＝cos x －a sin x ，∵x ＝5π3为函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的一条对称轴， ∴f ′(5π3)＝cos 5π3－a sin 5π3＝0，解得a ＝－33. ∴g (x )＝－33sin x ＋cos x ＝233(－12sin x ＋32cos x ) ＝233sin(x ＋2π3)．17．已知函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x －1(x ∈R )． (1)求函数f (x )的周期、对称轴方程； (2)求函数f (x )的单调增区间．答案 (1)T ＝π，对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )(2)[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )解析 f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x －1＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π6)． (1)f (x )的周期T ＝π，函数f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )． (2)由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得kx －π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )． ∴函数f (x )的单调增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )． 18．已知f (x )＝2sin(x ＋θ2)·cos(x ＋θ2)＋23cos 2(x ＋θ2)－ 3. (1)化简f (x )的解析式，并求其最小正周期； (2)若0≤θ≤π，求θ，使函数f (x )为偶函数；(3)在(2)成立的条件下，求满足f (x )＝1，x ∈[－π，π]的x 的集合． 解析 (1)f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ) ＝2sin(2x ＋θ＋π3)， ∴T ＝2πω＝2π2＝π.(2)由于θ∈[0，π]要使f (x )为偶函数， ∴θ＋π3＝π2，∴θ＝π6.(3)在(2)成立的条件下，f (x )＝2cos2x . 由2cos2x ＝1，∴cos2x ＝12，∵x ∈[－π，π]， ∴x ＝－π6或x ＝π6.∴x ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π6，π6.19．(2012·北京)已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin2xsin x.(1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递减区间．解析 (1)由sin x ≠0，得x ≠k π(k ∈Z )．故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }． 因为f (x )＝(sin x －cos x )sin2xsin x ＝2cos x (sin x －cos x ) ＝sin2x －cos2x －1 ＝2sin(2x －π4)－1，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)函数y ＝sin x 的单调递减区间为[2k π＋π2，2k π＋3π2](k ∈Z )． 由2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，x ≠k π(k ∈Z )， 得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )．所以f (x )的单调递减区间为[k π＋3π8，k π＋7π8](k ∈Z )．1．(2013·东北四校模拟)已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f (π8)＝－2，则f (x )的一个单调递增区间可以是( )A ．[－π8，3π8]B ．[5π8，9π8]C ．[－3π8，π8] D ．[π8，5π8]答案 D解析 f (π8)＝－2， ∴－2sin(2×π8＋φ)＝－2， 即sin(π4＋φ)＝1. ∵|φ|<π，∴φ＝π4. ∴f (x )＝－2sin(2x ＋π4)．由2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2，得 k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )． 当k ＝0时，π8≤x ≤5π8.2．已知函数y ＝2sin(w x ＋θ)为偶函数(0<θ<π)，其图像与直线y ＝2的某两个交点横坐标为x 1、x 2，若|x 2－x 1|的最小值为π，则( )A ．w ＝2，θ＝π2 B ．w ＝－12，θ＝π2 C ．w ＝12，θ＝π4 D ．w ＝2，θ＝π4答案 A解析 ∵y ＝2sin(w x ＋θ)为偶函数，∴θ＝π2. ∵图像与直线y ＝2的两个交点横坐标为 x 1，x 2，|x 2－x 1|min ＝π，即T ＝π.3．已知函数y ＝sin πx3在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 C解析 周期T ＝2ππ3＝6.由题意，T ＋T4≤t ，得t ≥7.5.故选C.4．函数g (x )＝sin 22x 的单调递增区间是 ( )A ．[k π2，k π2＋π4](k ∈Z ) B ．[k π，k π＋π4](k ∈Z ) C ．[k π2＋π4，k π2＋π2](k ∈Z ) D ．[k π＋π4，k π＋π2](k ∈Z )答案 A5．(2012·冀州中学模拟)如果关于x 的不等式f (x )<0和g (x )<0的解集分别为(a ，b )，(1b ，1a )，那么称这两个不等式为“对偶不等式”，如果不等式x 2－43x ·cos2θ＋2<0与不等式2x 2＋4x sin2θ＋1<0为“对偶不等式”，且θ∈(π2，π)，那么θ＝________.答案 5π6解析 设x 2－43x cos2θ＋2<0解集为(a ，b )， 则2x 2＋4x sin2θ＋1<0解集为(1b ，1a )． ∴a ＋b ＝43cos2θ，ab ＝2， 1a ＋1b ＝－2sin2θ.又1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝43cos2θ2＝23cos2θ，∴23cos2θ＝－2sin2θ. ∴tan2θ＝－ 3.又θ∈(π2，π)，∴2θ∈(π，2π)． ∴2θ＝5π3，θ＝5π6.6．已知函数f (x )＝m sin x ＋n cos x ，且f (π4)是它的最大值(其中m ，n 为常数且mn ≠0)，给出下列命题：①f (x ＋π4)为偶函数；②函数f (x )的图像关于点(7π4，0)对称； ③f (－3π4)是函数f (x )的最小值；④函数f (x )的图像在y 轴右侧与直线y ＝m2的交点按横坐标从小到大依次记为P 1，P 2，P 3，P 4，…，则|P 2P 4|＝π；⑤m n ＝1.其中真命题是________．(写出所有正确命题的序号)答案 ①②③⑤解析 由题意得f (x )＝m sin x ＋n cos x ＝m 2＋n 2sin(x ＋φ)(tan φ＝n m )．因为f (π4)是它的最大值，所以π4＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，φ＝2k π＋π4.所以f (x )＝m 2＋n 2sin(x ＋2k π＋π4) ＝m 2＋n 2sin(x ＋π4)．且tan φ＝n m ＝tan(2k π＋π4)＝1，即n m ＝1.故f (x )＝2|m |sin(x ＋π4)．①f (x ＋π4)＝2|m |sin(x ＋π4＋π4)＝2|m |cos x ，为偶函数，①正确；②当x ＝7π4时，f (7π4)＝2|m |sin(π4＋7π4) ＝2|m |sin2π＝0，所以f (x )的图像关于点(7π4，0)对称，②正确；③f (－3π4)＝2|m |sin(π4－3π4)＝－2|m |sin π2 ＝－2|m |，取得最小值，③正确；④根据f (x )＝2|m |sin(x ＋π4)可得其周期为2π，由题意可得P 2与P 4相差一个周期2π，即|P 2P 4|＝2π，④错误；⑤m n ＝1，显然成立，⑤正确．7．已知函数f (x )＝cos 2x －sin 2x ＋23sin x cos x ＋1.(1)求函数f (x )的最小正周期及单调递减区间；(2)当x ∈[－π6，π3]时，f (x )－3≥m 恒成立，试确定m 的取值范围．答案 (1)π [π6＋k π，2π3＋k π](k ∈Z ) (2)(－∞，－3]解析 (1)f (x )＝cos 2x －sin 2x ＋23sin x cos x ＋1＝3sin2x ＋cos2x ＋1＝2sin(2x ＋π6)＋1.因此函数f (x )的最小正周期为2π2＝π.由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )．故函数f (x )的单调递减区间为[π6＋k π，2π3＋k π](k ∈Z )．(2)当x ∈[－π6，π3]时，2x ＋π6∈[－π6，5π6]，所以－1≤2sin(2x ＋π6)≤2，因此0≤f (x )≤3.因为f (x )－3≥m 恒成立，所以m ≤f (x )min －3＝0－3＝－3.故m 的取值范围是(－∞，－3]．8．已知函数f (x )＝3(sin 2x －cos 2x )－2sin x cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)设x ∈[－π3，π3]，求f (x )的值域和单调递增区间．解析 (1)∵f (x )＝－3(cos 2x －sin 2x )－2sin x cos x ＝－3cos2x －sin2x＝－2sin(2x ＋π3)，∴f (x )的最小正周期为π.(2)∵x ∈[－π3，π3]，∴－π3≤2x ＋π3≤π，∴－32≤sin(2x ＋π3)≤1.∴f (x )的值域为[－2，3]．∵当y ＝sin(2x ＋π3)单调递减时，f (x )单调递增，∴π2≤2x ＋π3≤π，即π12≤x ≤π3.故f (x )的单调递增区间为[π12，π3]．9．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图像(如下图)．(1)求f (x )的最小正周期及解析式；(2)设g (x )＝f (x )－cos2x ，求函数g (x )在区间[0，π2]上的最大值和最小值．解析 (1)由题图可得A ＝1，T 2＝2π3－π6＝π2.所以T ＝π.所以ω＝2.当x ＝π6时，f (x )＝1，可得sin(2×π6＋φ)＝1. 因为|φ|<π2，所以φ＝π6.所以f (x )的解析式为f (x )＝sin(2x ＋π6)．(2)g (x )＝f (x )－cos2x ＝sin(2x ＋π6)－cos2x＝sin2x cos π6＋cos2x sin π6－cos2x ＝32sin2x －12cos2x ＝sin(2x －π6)．因为0≤x ≤π2，所以－π6≤2π－π6≤5π6.当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，g (x )有最大值，最大值为1；当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，g (x )有最小值，最小值为－12.10．已知函数f (x )＝sin x cos φ＋cos x sin φ(其中x ∈R,0<φ<π)．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若函数y ＝f (2x ＋π4)的图像关于直线x ＝π6对称，求φ的值．解析 (1)∵f (x )＝sin(x ＋φ)，∴函数f (x )的最小正周期为2π.(2)函数y ＝f (2x ＋π4)＝sin(2x ＋π4＋φ)，y ＝sin x 的图像的对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z )，令2x ＋π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，将x ＝π6代入上式，得φ＝k π－π12(k ∈Z )．∵0<φ<π，∴φ＝11π12.11．(2011·浙江文)已知函数f (x )＝A sin(π3x ＋φ)，x ∈R ，A >0,0<φ<π2.y ＝f (x )的部分图像如图所示，P ，Q 分别为该图像的最高点和最低点，点P 的坐标为(1，A )．(1)求f (x )的最小正周期及φ的值；(2)若点R 的坐标为(1,0)，∠PRQ ＝2π3，求A 的值．解析 (1)由题意，得T ＝2ππ3＝6.因为P (1，A )在y ＝A sin(π3x ＋φ)的图像上，所以sin(π3＋φ)＝1. 又因为0<φ<π2，所以φ＝π6.(2)设点Q的坐标为(x0，－A)．由题意可知π3x0＋π6＝3π2，得x0＝4，所以Q(4，－A)．如图，连接PQ，在△PRQ中，∠PRQ＝2π3，由余弦定理，得cos∠PRQ＝RP2＋RQ2－PQ22RP·RQ＝A2＋9＋A2－(9＋4A2)2A·9＋A2＝－12，解得A2＝3.又A>0，所以A＝ 3.。
2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业27
课时作业(二十七)1．(2013·北京西城期末)已知△ABC中，a＝1，b＝2，B＝45°，则A等于() A．150°B．90°C．60°D．30°答案 D解析由正弦定理，得1sin A＝2sin45°，得sin A＝12.又a<b，∴A<B＝45°.∴A＝30°，故选D.2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A＝π3，a＝3，b＝1，则c等于() A．1 B．2C.3－1D. 3答案 B解析由正弦定理asin A＝bsin B，可得3sinπ3＝1sin B.∴sin B＝12，故∠B＝30°或150°.由a>b，得∠A>∠B，∴∠B＝30°.故∠C＝90°，由勾股定理得c＝2.3．在△ABC中，a2＝b2＋c2＋bc，则∠A＝() A．60°B．45°C．120°D．30°答案 C解析cos A＝b2＋c2－a22bc＝－bc2bc＝－12，∴∠A＝120°.4．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B＝()A．－223 B.223C．－63 D.63答案 D解析根据正弦定理asin A＝bsin B，可得15sin60°＝10sin B，解得sin B＝33，又因为b<a，则B<A，故B为锐角，所以cos B＝1－sin2B＝63，故D正确．5．(2012·天津理)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cos C＝()A.725B．－725C．±725 D.24 25答案 A解析因为8b＝5c，则由C＝2B，得sin C＝sin2B＝2sin B cos B，由正弦定理，得cos B＝sin C2sin B＝c2b＝45，所以cos C＝cos2B＝2cos2B－1＝2×(45)2－1＝725，故选A.6．(2012·湖南文)在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于()A.32 B.332C.3＋62 D.3＋394答案 B解析由余弦定理，得(7)2＝22＋AB2－2×2AB cos60°，即AB2－2AB－3＝0，得AB＝3，故BC边上的高是AB sin60°＝332.选B.7．(2012·陕西理)在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cos C的最小值为()A.32 B.22C.12D．－12答案 C解析 由余弦定理，得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，又c 2＝12(a 2＋b 2)，得2ab cos C＝12(a 2＋b 2)，即cos C ＝a 2＋b 24ab ≥2ab 4ab ＝12.所以选C.8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若a 、b 、c 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B 等于( )A.14B.34C.24D.23答案 B解析 ∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2＝ac . ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34.9．在△ABC 中，cos2B >cos2A 是a >b 的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 由cos2B >cos2A ，得sin 2A >sin 2B . ∵sin A >0，sin B >0，∴sin A >sin B . ∴a 2R >b2R ，∴a >b . 又上述过程可逆，故选C.10．在△ABC 中，三内角A 、B 、C 分别对三边a 、b 、c ，tan C ＝43，c ＝8，则△ABC 外接圆半径R 为( )A ．10B ．8C ．6D ．5答案 D解析 本题考查解三角形．由题可知应用正弦定理， 由tan C ＝43，得sin C ＝45.则2R ＝c sin C ＝845＝10，故外接圆半径为5.11．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积为( ) A.32 B.34 C.32或 3 D.34或32答案 D解析 如图，由正弦定理，得 sin C ＝c ·sin B b ＝32，而c >b ， ∴C ＝60°或C ＝120°. ∴A ＝90°或A ＝30°. ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝32或34.12．在△ABC 中，若(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab 且sin C ＝2sin A cos B ，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形，但不是等边三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形，但不是等腰三角形 答案 A解析 ∵(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ， 即a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°. 又sin C ＝2sin A cos B ，由sin C ＝2sin A ·cos B ，得c ＝2a ·a 2＋c 2－b 22ac .∴a2＝b2，∴a＝b.∴△ABC为等边三角形．13．(2011·北京)在△ABC中，若b＝5，∠B＝π4，tan A＝2，则sin A＝________，a＝________.答案255210解析因为△ABC中，tan A＝2，所以A是锐角，且sin Acos A＝2，sin2A＋cos2A＝1，联立解得sin A＝255，再由正弦定理，得asin A＝bsin B，代入数据解得a＝210.14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sin C＝23sin B，则角A的大小为________．答案π6解析因为sin C＝23sin B，所以c＝23b.于是cos A＝b2＋c2－a22bc＝c2－3bc2bc＝32.又A是三角形的内角，所以A＝π6.15．对于△ABC，有如下命题：①若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形；②若sin A＝cos B，则△ABC为直角三角形；③若sin2A＋sin2B＋cos2C<1，则△ABC 为钝角三角形．其中正确命题的序号是________．(把你认为所有正确的都填上) 答案③解析①sin2A＝sin2B，∴A＝B⇒△ABC是等腰三角形，或2A＋2B＝π⇒A＋B＝π2，即△ABC是直角三角形．故①不对．②sin A＝cos B，∴A－B＝π2或A＋B＝π2.∴△ABC不一定是直角三角形．③sin2A＋sin2B<1－cos2C＝sin2C，∴a2＋b2<c2.∴△ABC为钝角三角形．16．(2012·福建理)已知△ABC的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．答案－2 4解析依题意得，△ABC的三边长分别为a，2a,2a(a>0)，则最大边2a所对的角的余弦值为a2＋(2a)2－(2a)22a·2a＝－24.17．(2012·北京理)在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－14，则b＝________.答案 4解析由余弦定理，得b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×(－14)，解得b＝4.18．已知△ABC中，∠B＝45°，AC＝10，cos C＝25 5.(1)求BC边的长；(2)记AB的中点为D，求中线CD的长．答案(1)32(2)13解析(1)由cos C＝255，得sin C＝55.sin A＝sin(180°－45°－C)＝22(cos C＋sin C)＝31010.由正弦定理知BC＝ACsin B·sin A＝1022·31010＝3 2.(2)AB＝ACsin B·sin C＝1022·55＝2.BD＝12AB＝1.由余弦定理知CD＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos B＝1＋18－2·1·32·22＝13.讲评 解斜三角形的关键在于灵活地运用正弦定理和余弦定理，熟练掌握用正弦定理和余弦定理解决问题，要注意由正弦定理a sin A ＝bsin B 求B 时，应对解的个数进行讨论；已知a ，b ，A ，求c 时，除用正弦定理a sin A ＝csin C 外，也可用余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2ab cos A 求解．19．(2012·安徽文)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且有2sin B cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C .(1)求角A 的大小；(2)若b ＝2，c ＝1，D 为BC 的中点，求AD 的长．解析 (1)方法一 由题设知，2sin B cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ， 因为sin B ≠0，所以cos A ＝12. 由于0<A <π，故A ＝π3.方法二 由题设可知，2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ，于是b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.由于0<A <π，故A ＝π3.(2)方法一 因为AD →2＝(AB →＋AC →2)2＝14(AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →)＝14(1＋4＋2×1×2×cos π3)＝74，所以|AD→|＝72，从而AD ＝72. 方法二 因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋1－2×2×1×12＝3， 所以a 2＋c 2＝b 2，B ＝π2.因为BD ＝32，AB ＝1，所以AD ＝1＋34＝72.20．(2012·浙江理)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝23，sin B ＝5cos C .(1)求tan C 的值；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积． 解析 (1)因为0<A <π，cos A ＝23，得 sin A ＝1－cos 2A ＝53. 又5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋23sin C ， 所以tan C ＝ 5.(2)由tan C ＝5，得sin C ＝56，cos C ＝16. 于是sin B ＝5cos C ＝56. 由a ＝2及正弦定理a sin A ＝c sin C，得c ＝ 3. 设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ac sin B ＝52.1．(2011·安徽理)已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________．答案 15 3解析 不妨设角A ＝120°，c <b ，则a ＝b ＋4，c ＝b －4，于是cos120°＝b 2＋(b －4)2－(b ＋4)22b (b －4)＝－12，解得b ＝10，所以S ＝12bc sin120°＝15 3.2．(2012·陕西文)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若a ＝2，B ＝π6，c ＝23，则b ＝________.答案 2解析 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝4＋12－2×2×23×32＝4，解得b ＝2.3．(2012·大纲全国)△ABC 中B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 最大值________． 答案 27解析 ∵2R ＝3sin60°＝332＝2，∴AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A .∴AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin A ＝2sin C ＋4sin(2π3－C ) ＝27sin(C ＋φ)． ∴最大值为27.4．(2012·浙江文)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．解析 (1)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理a sin A ＝bsin B ，得 sin B ＝3cos B ，所以tan B ＝3，所以B ＝π3. (2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝csin C ，得c ＝2a .由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得9＝a 2＋c 2－ac . 所以a ＝3，c ＝2 3.5．(2012·天津文)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知a ＝2，c ＝2，cos A ＝－24.(1)求sin C 和b 的值； (2)求cos(2A ＋π3)的值．解析 (1)在△ABC 中，由cos A ＝－24，可得sin A ＝144.又由asin A＝csin C及a＝2，c＝2，可得sin C＝74.由a2＝b2＋c2－2bc cos A，得b2＋b－2＝0. 因为b>0，故解得b＝1.所以sin C＝74，b＝1.(2)由cos A＝－24，sin A＝144，得cos2A＝2cos2A－1＝－34，sin2A＝2sin A cos A＝－7 4.所以cos(2A＋π3)＝cos2A cosπ3－sin2A sinπ3＝－3＋218.6. (2011·江苏)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若sin(A＋π6)＝2cos A，求A的值；(2)若cos A＝13，b＝3c，求sin C的值．答案(1)π3(2)13解析(1)由题设知sin A cos π6＋cos A sinπ6＝2cos A.从而sin A＝3cos A，所以cos A≠0，tanA＝ 3.因为0<A<π，所以A＝π3.(2)由cos A＝13，b＝3c及a2＝b2＋c2－2bc cos A，得a2＝b2－c2.故△ABC是直角三角形，且B＝π2.所以sin C＝cos A＝13.7．△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2－a2＋bc＝0.(1)求角A的大小；(2)若a＝3，求S△ABC的最大值；(3)求a sin(30°－C)b－c的值．分析(1)由b2＋c2－a2＋bc＝0的结构形式，可联想余弦定理，求出cos A，从而求出A的值．(2)由a＝3及b2＋c2－a2＋bc＝0，可求出关于b，c的关系式，利用不等式，即可求出bc的最大值，进而求出S△ABC的最大值．(3)由正弦定理可实现将边化为角的功能，从而达到化简求值的目的．答案(1)120°(2)34(3)12解析(1)∵cos A＝b2＋c2－a22bc＝－bc2bc＝－12，∴A＝120°.(2)由a＝3，得b2＋c2＝3－bc.又∵b2＋c2≥2bc(当且仅当c＝b时取等号)，∴3－bc≥2bc(当且仅当c＝b时取等号)．即当且仅当c＝b＝1时，bc取得最大值为1.∴S△ABC ＝12bc sin A≤34.∴S△ABC 的最大值为34.(3)由正弦定理，得asin A＝bsin B＝csin C＝2R.∴a sin(30°－C)b－c＝2R sin A sin(30°－C)2R sin B－2R sin C＝sin A sin(30°－C) sin B－sin C＝32⎝⎛⎭⎪⎫12cos C－32sin Csin(60°－C)－sin C＝34cos C－34sin C32cos C－32sin C＝12.8．(2011·山东理)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos A－2cos Ccos B＝2c－a b.(1)求sin Csin A的值；(2)若cos B＝14，b＝2，求△ABC的面积S.答案(1)2(2)15 4解析 (1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝k ，则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin A sin B. 所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B. 即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ，化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A .因此sin C sin A ＝2.(2)由sin C sin A ＝2，得c ＝2a .由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及cos B ＝14，b ＝2，得4＝a 2＋4a 2－4a 2×14，解得a ＝1，从而c ＝2.又因为cos B ＝14，且0<B <π，所以sin B ＝154.因此S ＝12ac sin B ＝12×1×2×154＝154.9．在△ABC 中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos2B,2cos 2B 2－1)，且m ∥n .(1)求锐角B 的大小；(2)如果b ＝2，求△ABC 的面积S △ABC 的最大值．答案 (1)π3 (2) 3解析 (1)m ∥n ⇒2sin B (2cos 2B 2－1)＝－3cos2B ⇒2sin B cos B ＝－3cos2B ⇒tan2B ＝－ 3.∵0<2B <π，∴2B ＝2π3，∴B ＝π3.(2)已知b ＝2，由余弦定理，得4＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac (当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)．∵△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤3，∴△ABC 的面积S △ABC 的最大值为 3.10．已知函数f (x )＝32sin2x －cos 2x －12，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小值和最小正周期；(2)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且c ＝3，f (C )＝0，若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，求a ，b 的值．解析 (1)∵f (x )＝32sin2x －1＋cos2x 2－12＝sin(2x －π6)－1，∴函数f (x )的最小值是－2，最小正周期是T ＝2π2＝π.(2)由题意得f (C )＝sin(2C －π6)－1＝0，则sin(2C －π6)＝1.∵0<C <π，∴0<2C <2π，∴－π6<2C －π6<116π.∴2C －π6＝π2，∴C ＝π3.∵向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线， ∴12＝sin A sin B . 由正弦定理，得a b ＝12.①由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即3＝a 2＋b 2－ab .② 由①②，解得a ＝1，b ＝2.11．(2011·大纲全国文)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B .(1)求B ；(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .解析 (1)由正弦定理，得a 2＋c 2－2ac ＝b 2.由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .故cos B ＝22，因此B ＝45°.(2)sin A＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋6 4.故a＝b×sin Asin B＝2＋62＝1＋3，c＝b×sin Csin B＝2×sin 60°sin 45°＝ 6.12．(2011·辽宁文)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin A sin B＋b cos2A＝2a.(1)求b a；(2)若c2＝b2＋3a2，求B.解析(1)由正弦定理，得sin2A sin B＋sin B cos2A＝2sin A．即sin B(sin2A ＋cos2A)＝2sin A.故sin B＝2sin A，所以ba＝ 2.(2)由余弦定理和c2＝b2＋3a2，得cos B＝(1＋3)a2c.由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋3)a2.可得cos2B＝12，又cos B>0，故cos B＝22，所以B＝45°.13．(2011·江西文)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知3a cos A＝c cos B＋b cos C.(1)求cos A的值；(2)若a＝1，cos B＋cos C＝233，求边c的值．解析(1)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C，有c cos B＋b cos C＝a，代入已知条件得3a cos A＝a，即cos A＝1 3.(2)由cos A＝13，得sin A＝223.则cos B＝－cos(A＋C)＝－13cos C＋223sin C.代入cos B＋cos C＝233，得cos C＋2sin C＝ 3.从而得sin(C＋φ)＝1.其中sinφ＝33，cosφ＝63，0<φ<π2，则C＋φ＝π2.于是sin C＝63，由正弦定理，得c＝a sin Csin A＝32.。
2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业29
课时作业(二十九)1．若a ＋b ＋c ＝0，则a 、b 、c( )A ．都是非零向量时也可能无法构成一个三角形B ．一定不可能构成三角形C ．都是非零向量时能构成三角形D ．一定可构成三角形 答案 A解析 易知A 正确．2．设a 是任一向量，e 是单位向量，且a ∥e ，则下列表示形式中正确的是( ) A ．e ＝a|a | B ．a ＝|a |e C ．a ＝－|a |e D ．a ＝±|a |e答案 D解析 对于A ，当a ＝0时，a|a |没有意义，错误； 对于B 、C 、D 当a ＝0时，选项B 、C 、D 都对； 当a ≠0时，由a ∥e 可知，a 与e 同向或反向，选D. 3．若A 、B 、C 、D 是平面内任意四点，给出下列式子：①AB →＋CD →＝BC →＋DA →；②AC →＋BD →＝BC →＋AD →；③AC →－BD →＝DC →＋AB →.其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案 C解析 ②AC →－BC →＝AD →－BD →⇒AC →＋CB →＝AB →＝AD →＋DB →，正确； ③AC →－AB →＝BD →＋DC →⇒BC →＝BC →.正确． 故C 选项正确．4．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则 ( )A.P A →＋PB →＝0B.PC →＋P A →＝0C.PB →＋PC →＝0 D.P A →＋PB →＋PC →＝0答案 B解析 画图可知B 正确．5．已知O 、A 、B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC →＝( )A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB → C.23OA →－13OB → D ．－13OA →＋23OB →答案 A解析 AC →＝OC →－OA →，CB →＝OB →－OC →. ∵2AC →＋CB →＝0，∴2OC →－2OA →＋OB →－OC →＝0. ∴OC →＝2OA →－OB →.故A 正确．6．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( )A.23B.13 C ．－13 D ．－23答案 A解析 ∵AD →＝CD →－CA →，DB →＝CB →－CD →，AD →＝2DB →， ∴CD →－CA →＝2CB →－2CD →，CD →＝13CA →＋23CB →. ∴λ＝23，故A 正确．7．如图所示，已知AP →＝43AB →，用OA →、OB →表示OP →，则OP →等于( )A ．－13OA →＋43OB → B.13OA →＋43OB → C.13OA →－43OB → D ．－13OA →－43OB →答案 A解析 OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋43AB →＝OA →＋43(OB →－OA →)＝－13OA →＋43OB →. 8．在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP →＝23CA →＋13CB →，Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M ，又CM →＝tCP →，则t ＝( )A.12B.23C.34D.45答案 C解析 ∵CP →＝23CA →＋13CB →，Q 为BC 中点，∴CB →＝2CQ →.∴CM →＝tCP →＝23tCA →＋13tCB →＝23tCQ →＋23tCA →.∵A 、M 、Q 三点共线，∴23t ＋23t ＝1，∴t ＝34.故C 正确．9．设a 、b 为不共线的非零向量，AB →＝2a ＋3b ，BC →＝－8a －2b ，CD →＝－6a －4b ，那么( )A.AD →与BC →同向，且|AD →|>|BC →|B.AD →与BC →同向，且|AD →|<|BC →|C.AD →与BC →反向，且|AD →|>|BC →|D.AD →∥BD → 答案 A解析 AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝2a ＋3b ＋(－8a －2b )＋(－6a －4b )＝－12a －3b ，BC →＝－8a －2b ，∴AD →＝32BC →.∴AD →与BC →同向，且|AD →|＝32|BC →|. ∴|AD →|>|BC →|.故选A.10．已知P ，A ，B ，C 是平面内四点，且P A →＋PB →＋PC →＝AC →，那么一定有( ) A.PB →＝2CP → B.CP →＝2PB → C.AP →＝2PB → D.PB →＝2AP → 答案 D解析 由题意得P A →＋PB →＋PC →＝PC →－P A →，即PB →＝－2P A →＝2AP →，选D. 11．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( )A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．以上都不对答案 C解析 由已知AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC →.∴AD →∥BC →，又AB →与CD →不平行，∴四边形ABCD 是梯形．12．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )的充要条件是AP →＝λ(AB →＋AD →)，则λ的取值范围是( )A ．λ∈(0,1)B ．λ∈(－1,0)C ．λ∈(0，22) D ．λ∈(－22，0)答案 A解析 如图，∵点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )， ∴AP →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →)，由AP →与AC →同向知，λ>0. 又|AP →|<|AC →|，∴|AP →||AC →|＝λ<1，∴λ∈(0,1)．反之亦然． 13．已知O 为△ABC 内一点，且OA →＋OC →＋2OB →＝0，则△AOC 与△ABC 的面积之比是________．答案 1 2 解析如图，取AC 中点D . ∴OA →＋OC →＝2OD →. ∴OD →＝BO →.∴O 为BD 中点，∴面积比为高之比．14．已知a ，b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC →＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，则A 、B 、C 三点共线的充要条件为________．答案 λ1λ2－1＝0解析 A 、B 、C 三点共线⇔AB →∥AC →⇔λ1λ2－1×1＝0⇔λ1λ2＝1.15．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s 的值是________．答案 0 解析CD →＝AD →－AC →，DB →＝AB →－AD →. ∴CD →＝AB →－DB →－AC →＝AB →－12CD →－AC →. ∴32CD →＝AB →－AC →. ∴CD →＝23AB →－23AC →.又CD →＝rAB →＋sAC →，∴r ＝23，s ＝－23. ∴r ＋s ＝0.16．已知任意四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，求证：EF →＝12(AB →＋DC →)．答案 略证明 如图所示，∵E 、F 是AD 与BC 的中点，∴EA →＋ED →＝0，FB →＋FC →＝0.又∵AB →＋BF →＋FE →＋EA →＝0， ∴EF →＝AB →＋BF →＋EA →.① 同理 EF →＝ED →＋DC →＋CF →.②由①＋②，得2EF →＝AB →＋DC →＋(EA →＋ED →)＋(BF →＋CF →)＝AB →＋DC →.∴EF →＝12(AB →＋DC →)．17．已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点． (1)求GA →＋GB →＋GO →；(2)若PQ 过△ABO 的重心G ，且OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b ，求证：1m ＋1n ＝3.答案 (1)0 (2)略解析 (1)解 ∵GA →＋GB →＝2GM →，又2GM →＝－GO →， ∴GA →＋GB →＋GO →＝－GO →＋GO →＝0. (2)证明 显然OM →＝12(a ＋b )． 因为G 是△ABO 的重心， 所以OG →＝23OM →＝13(a ＋b )． 由P 、G 、Q 三点共线，得PG →∥GQ →. 所以，有且只有一个实数λ，使PG →＝λGQ →. 而PG →＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a ＝(13－m )a ＋13b ， GQ →＝OQ →－OG →＝n b －13(a ＋b )＝－13a ＋(n －13)b ， 所以(13－m )a ＋13b ＝λ[－13a ＋(n －13)b ]． 又因为a 、b 不共线， 所以⎩⎪⎨⎪⎧13－m ＝－13λ，13＝λ(n －13)，消去λ，整理得3mn ＝m ＋n .故1m ＋1n ＝3.1．如图所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →等于( )A ．－BC →＋12BA →B ．－BC →－12BA → C.BC →－12BA →D.BC →＋12BA →答案 A解析 ∵D 是AB 的中点，∴BD →＝12BA →. ∴CD →＝CB →＋BD →＝－BC →＋12BA →.2．(2011·上海文)设A 1，A 2，A 3，A 4是平面上给定的4个不同点，则使MA 1→＋MA 2→＋MA 3→＋MA 4→＝0成立的点M 的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4答案 B3．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝( ) A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13c D.13b ＋23c 答案 A解析 由BD →＝2DC →，知BD →＝23BC →.又∵BC →＝b －c ，∴BD →＝23(b －c )，∴AD →＝AB →＋BD →＝c ＋23(b －c )＝23b ＋13c .4．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D答案 A解析 BD →＝BC →＋CD →＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b ) ＝2a ＋4b ＝2(a ＋2b )＝2AB →，∴BD →与AB →共线．又∵有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线．5．(2011·四川理)如图，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝ ( )A ．0 B.BE → C.AD → D.CF →答案 D解析 由于BA →＝DE →，故BA →＋CD →＋EF →＝CD →＋DE →＋EF →＝CF →.6．设e 是与向量AB →共线的单位向量，AB →＝3e ，又向量BC →＝－5e ，若AB →＝λAC →，则λ＝________.答案 －32解析 AC →＝AB →＋BC →＝3e －5e ＝－2e . 由AB →＝λ·AC →，得3e ＝λ·(－2)·e ，∴λ＝－32.7．在△ABC 中，点D 满足AD →＝3DC →，BD →＝λBA →＋μBC →，则λμ＝________. 答案 316解析 AD →＝BD →－BA →，DC →＝BC →－BD →.∵AD →＝3DC →，∴BD →－BA →＝3BC →－3BD →，∴4BD →＝3BC →＋BA →，BD →＝34BC →＋14BA →，∴λ＝14，μ＝34，故λμ＝316.。
2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业32
课时作业(三十二)1．已知△ABC 中，(AB →·BC →)∶(BC →·CA →)∶(CA →·AB →)＝1∶2∶3，则△ABC 的形状为( )A ．钝角三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．非等腰锐角三角形答案 D解析 设AB →·BC →＝－a 2＋c 2－b 22＝k ，故a 2＋c 2－b 2＝－2k ，同理可得a 2＋b 2－c 2＝－4k ， b 2＋c 2－a 2＝－6k 联立解得 a 2＝－3k ，b 2＝－5k ，c 2＝－4k . 故最大角的余弦cos B ＝36>0，故选D.2．在△ABC 中，若AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，则△ABC 是 ( ) A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．直角三角形 答案 D解析 由已知，AB →2＝AB →·AC →－AB →·BC →＋CA →·CB →＝AB →·(AC →＋CB →)＋CA →·CB →＝AB →2＋CA →·CB →，∴CA →·CB →＝0.3．设O 点在三角形ABC 内部，且有OA →＋2OB →＋3OC →＝0，则三角形ABC 的面积与三角形AOC 的面积之比( )A ．2 B.32 C ．3 D.53答案 C解析 联想三角形ABC 重心满足GA →＋GB →＋GC →＝0可延长OB 至E 使OE →＝2OB →延长OC 至F 使OF →＝3OC →，则O 为三角形AEF 的重心从而S △AOC ＝13S △AOF ＝19S △AEF ， S △AOB ＝12S △AOE ＝16S △AEF ， S △BOC ＝13S △BOF ＝118S △AEF .∴S △ABC ＝S △AOC ＋S △AOB ＋S △BOC ＝618S △AEF .4．(2010·湖南卷改编)已知A ，B 是圆心为C 半径为5的圆上两点，且|AB →|＝5，则AC →·CB →等于( )A ．－52 B.52 C ．0 D.532答案 A解析 本题考查向量的数量积的运算．由于弦长|AB |＝5与半径相同，则∠ACB ＝60°⇒AC →·CB →＝－CA →·CB →＝－|CA →|·|CB →|·cos ∠ACB ＝－5·5·cos60°＝－52.5．已知a ，b 是两个非零向量，给定命题p ：|a ·b |＝|a ||b |，命题q ：∃t ∈R ，使得a ＝t b ，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 ∵|a ·b |＝|a ||b ||cos θ|＝|a ||b |， ∴θ＝0°或180°，即a ，b 共线． ∴∃t ∈R ，使得a ＝t b 成立． ∴p 是q 的充分条件．若∃t ∈R ，使得a ＝t b ，则a ，b 共线． ∴|a ·b |＝|a ||b |.∴p 是q 的必要条件． 综上可知，p 是q 的充要条件．6．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形答案 B解析 OB →＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →，∴|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|⇒|AB →＋AC →|2＝|AB →－AC →|2⇒AB →·AC →＝0，∴三角形为直角三角形，故选B.7．已知两个非零向量a ＝(m －1，n －1)，b ＝(m －3，n －3)，且a 与b 的夹角是钝角或直角，则m ＋n 的取值范围是( )A ．[2，32]B ．[2,6]C ．(2，32)D ．(2,6)答案 B解析 根据a 与b 的夹角是钝角或直角得a·b ≤0，即(m －1)(m －3)＋(n －1)(n －3)≤0.整理得(m －2)2＋(n －2)2≤2.所以点(m ，n )在以(2,2)为圆心，2为半径的圆上或圆内．令m ＋n ＝z ，n ＝－m ＋z 表示斜率为－1，在纵坐标轴上的截距为z 的直线，根据线性规划知识得2≤m ＋n ≤6.8．在△ABC 中，AB →·BC →＝3，△ABC 的面积S ∈[32，32]，则AB →与BC →夹角的取值范围是( )A ．[π4，π3] B ．[π6，π4] C ．[π6，π3] D ．[π3，π2]答案 B解析 设〈AB →，BC →〉＝α，因为AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos α＝3⇒|AB →|·|BC →|＝3cos α，又S ＝12|AB →|·|BC →|·sin(π－α)＝12·3cos α·sin(π－α)＝32tan α，而32≤S ≤32⇒32≤32tan α≤32⇒33≤tan α≤1⇒π6≤α≤π4.故选B.9．如图所示，E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 的所在边的中点，若(AB →＋BC →)·(BA →＋AD →)＝0，则四边形EFGH 是( )A ．平行四边形，但不是矩形B ．矩形C ．菱形D ．正方形 答案 B解析 ∵AB →＋BC →＝AC →，BA →＋AD →＝BD →， 且(AB →＋BC →)·(BA →＋AD →)＝0， ∴AC →·BD →＝0，即AC →⊥BD →.又∵E 、F 、G 、H 为四边形ABCD 四边的中点， ∴EH →∥BD →∥FG →，EF →∥AC →∥HG →.故四边形EFGH 为平行四边形且EH →⊥EF →，即为矩形．10．已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC为( )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形答案 D分析 本题可先由条件的几何意义得出AB ＝AC ，再求得A ＝π3，即可得出答案．解析 因为非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)·BC →＝0，所以∠BAC 的平分线垂直于BC ，所以AB ＝AC .又cos ∠BAC ＝AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，所以∠BAC ＝π3.所以△ABC 为等边三角形．故选D.11．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( )A ．[0，π6]B ．[π3，π] C ．[π3，2π3] D ．[π6，π]答案 B解析 |a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则|a |2－4a ·b ≥0，设向量a ·b 的夹角为θ，cos θ＝a ·b |a |·|b |≤14|a |212|a |2＝12，∴θ∈[π3，π]．12．已知坐标原点为O ，抛物线y 2＝2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，则OA →·OB →等于________．答案 －34解析 设A (y 212，y 1)，B (y 222，y 2)， 则OA →＝(y 212，y 1)，OB →＝(y 222，y 2)． 又由y 1y 2＝－p 2＝－1，∴OA →·OB →＝(y 212，y 1)·(y 222，y 2)＝14y 21y 22＋y 1y 2 ＝14－1＝－34.13．已知向量i 和j 为互相垂直的单位向量，向量a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．答案 (－∞，－2)∪(－2，12)解析 ∵0<〈a ，b 〉<π2，∴0<cos 〈a ，b 〉<1，∴0<a ·b|a |·|b |<1，即0<1－2λ5·1＋λ2<1，解得λ<12且λ≠－2，∴λ的取值范围是(－∞，－2)∪(－2，12)．14．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ∈{－1,0,1,2}，y ∈{－1,0,1}，求向量a ∥b 的概率； (2)若x ∈[－1,2]，y ∈[－1,1]，求向量a ，b 的夹角是钝角的概率． 解析 (1)设“a ∥b ”为事件A ，由a ∥b ，得x ＝2y .基本事件空间为Ω1＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)}，共包含12个基本事件．其中A ＝{(0,0)，(2,1)}，包含2个基本事件， 则P (A )＝212＝16，即向量a ∥b 的概率为16.(2)设“a ，b 的夹角是钝角”为事件B ，由a ，b 的夹角是钝角，可得a ·b <0，即2x ＋y <0，且x ≠2y .基本事件空间为Ω2＝{(x ，y )|⎩⎨⎧－1≤x ≤2，－1≤y ≤1}，B ＝{(x ，y )|⎩⎨⎧－1≤x ≤2，－1≤y ≤1，2x ＋y <0，x ≠2y}，如图所示，则P (B )＝＝12×(12＋32)×23×2＝13，即向量a ，b 的夹角是钝角的概率是13. 15．(2013·烟台调研)已知向量m ＝(a ＋c ，b )，n ＝(a －c ，b －a )，且m·n ＝0，其中A ，B ，C 是△ABC 的内角，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边．(1)求角C 的大小；(2)求sin A ＋sin B 的取值范围． 解 (1)由m·n ＝0，得(a ＋c )(a －c )＋b (b －a )＝0⇒a 2＋b 2－c 2＝ab . 由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12. ∵0<C <π，∴C ＝π3. (2)∵C ＝π3，∴A ＋B ＝2π3. ∴sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin(2π3－A ) ＝sin A ＋sin 2π3cos A －cos 2π3sin A ＝32sin A ＋32cos A ＝3(32sin A ＋12cos A ) ＝3sin(A ＋π6)．∵0<A <2π3，∴π6<A ＋π6<5π6. ∴12<sin(A ＋π6)≤1.∴32<3sin(A ＋π6)≤3，即32<sin A ＋sin B ≤ 3.16．在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C . (1)求B 的大小；(2)设m ＝(sin A ，cos2A )，n ＝(4k,1)(k >1)，且m ·n 的最大值是5，求k 的值． 解析 (1)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，∴(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， 即2sin A cos B ＝sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin(B ＋C )．∵A ＋B ＋C ＝π，∴2sin A cos B ＝sin A . ∵0<A <π，∴sin A ≠0，∴cos B ＝12. ∵0<B <π，∴B ＝π3.(2)m ·n ＝4k sin A ＋cos2A ＝－2sin 2A ＋4k sin A ＋1，A ∈(0，2π3)， 设sin A ＝t ，则t ∈(0,1]．则m ·n ＝－2t 2＋4kt ＋1＝－2(t －k )2＋1＋2k 2，t ∈(0,1]． ∵k >1，∴t ＝1时，m ·n 取最大值． 依题意得(m ·n )max ＝－2＋4k ＋1＝5，∴k ＝32.1．在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，则当(a ＋b )2＝(a －b )2时，该平行四边形为( )A ．菱形B ．矩形C ．正方形D ．以上都不正确答案 B解析 数形结合，在平行四边形中， a ＋b ＝AB →＋AD →＝AC →，a －b ＝AB →－AD →＝DB →，由|a ＋b |＝|a －b |，∴|AC →|＝|DB →|，对角线相等的平行四边形为矩形，故选B.2．(2013·唐山统考)在边长为1的正三角形ABC 中，BD →＝xBA →，CE →＝yCA →，x >0，y >0，且x ＋y ＝1，则CD →·BE →的最大值为( )A ．－58 B ．－34 C ．－32 D ．－38答案 D解析 建立如图所示的直角坐标系，则A (－12，0)，B (12，0)，C (0，32)，设D (x 1,0)，E (x 2，y 2)，∵BD →＝xBA →，∴(x 1－12，0)＝x (－1,0)，∴x 1＝－x ＋12. ∵CE →＝yCA →，∴(x 2，y 2－32)＝y (－12，－32)． ∴x 2＝－12y ，y 2＝32－32y .∴CD →·BE →＝(x 1，－32)·(x 2－12，y 2)＝(x 1，－32)·(－12y －12，32－32y )＝(－x ＋12，－32)·(－1＋x 2，32x )＝－12(x 2－x ＋1)＝－12(x －12)2－38.∵0<x <1，∴当x ＝12时，CD →·BE →取得最大值－38.故选D.3．已知向量a ，b 满足|a |＝2|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝2x 3＋3|a |x 2＋6a ·b x ＋5在实数集R 上单调递增，则向量a ，b 的夹角的取值范围是( )A ．[0，π6] B ．[0，π3] C ．(0，π3] D ．[π3，π]答案 B解析 f ′(x )＝6x 2＋6|a |x ＋6a ·b ，由Δ＝36|a |2－4×6×6|a |·|b |cos 〈a ，b 〉≤0， 且|a |＝2|b |≠0.得cos 〈a ，b 〉≥12，故选B.4．设G 是△ABC 的重心，且(56sin A )GA →＋(40sin B )GB →＋(35sin C )GC →＝0，则B 的大小为( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°答案 D解析 ∵G 为△ABC 的重心，∴GA →＋GB →＋GC →＝0.∴56sin A ＝40sin B ＝35sin C ，结合正弦定理有56a ＝40b ＝35c ，∴a ＝57b ，c ＝87b ，由余弦定理有cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，∴B ＝60°.5．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则 ( )A.P A →＋PB →＝0 B.PC →＋P A →＝0 C.PB →＋PC →＝0 D.P A →＋PB →＋PC →＝0答案 B解析 根据向量加法的几何意义BC →＋BA →＝2BP →⇔P 是AC 的中点，故P A →＋PC →＝0.6．设向量a ＝(3，3)，b 为单位向量，且a ∥b ，则b ＝ ( )A ．(32，－12)或(－32，12)B ．(32，12)C ．(－32，－12)D ．(32，12)或(－32，－12) 答案 D解析 设b ＝(x ，y )，由a ∥b 可得3y －3x ＝0.又x 2＋y 2＝1，得b ＝(32，12)或b ＝(－32，－12)，故选D.7．已知三点A (2,3)，B (－1，－1)，C (6，k )，其中k 为常数．若|AB →|＝|AC →|，则AB →与AC →的夹角的余弦值为( ) A ．－2425B ．0或2425C.2425 D ．0或－2425答案 D解析 由|AB →|＝|AC →|解得k ＝0或6，当k ＝0时，AB →与AC →的夹角为π2，其余弦值为0；当k ＝6时，AB →与AC →的夹角余弦值为－2425.8．已知a ＝(－12，32)，b ＝(1，3)，则|a ＋t b |(t ∈R )的最小值等于( ) A ．1 B.32 C.12 D.22答案 B解析 方法一 ∵a ＋t b ＝(－12＋t ，32＋3t )，∴|a ＋t b |2＝(－12＋t )2＋(32＋3t )2＝4t 2＋2t ＋1＝4(t ＋14)2＋34.∴当t ＝－14时，|a ＋t b |2取得最小值34，即|a ＋t b |取得最小值32.故选B. 方法二 如图所示，OA →＝a ，OB →＝b ，在OB 上任取一点T ，使得OT →＝－t b (t <0)，则|a ＋t b |＝|TA →|，显然，当AT ⊥OB 时，取最小值．由TA →·OB →＝(a ＋t b )·b ＝a ·b ＋t b 2＝0，得t ＝－14. ∴当t ＝－14时，|a ＋t b |取得最小值32.9．(2011·浙江理)若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________．答案 [π6，5π6]解析 对于以向量α，β为邻边的平行四边形的面积S ＝12|α||β|·sin 〈α，β〉×2＝|β|sin 〈α，β〉＝12，因此sin 〈α，β〉＝12|β|∈[12，1]，因此α与β的夹角θ的取值范围是[π6，5π6]．10．(2011·江西理)已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，则a 与b 的夹角为________．答案 π3解析 由|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，得a ·b ＝2·cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝22×2＝12，所以〈a ，b 〉＝60°.11．已知a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．解析 ∵a 与a ＋λb 均不是零向量，夹角为锐角， ∴a ·(a ＋λb )>0,3λ>－5，λ>－53. 当a 与a ＋λb 共线时，a ＋λb ＝m a ， 即(1＋λ，2＋λ)＝m (1,2)．∴由⎩⎨⎧1＋λ＝m ，2＋λ＝2m ，得λ＝0，即当λ＝0时，a 与a ＋λb 共线．∴λ≠0.故λ>－53且λ≠0.12．已知△ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且3OA →＋4OB →＋5OC →＝0.(1)求数量积OA →·OB →，OB →·OC →，OC →·OA →； (2)求△ABC 的面积．解析 (1)∵|OA |＝|OB |＝|OC |＝1， 由条件可得3OA →＋4OB →＝－5OC →，两边平方得9|OA →|2＋24OA →·OB →＋16|OB →|2＝25|OC →|2.∴OA →·OB →＝0.同理可得OB →·OC →＝－45，OC →·OA →＝－35. (2)由OA →·OB →＝0，可得OA →⊥OB →. ∴S △AOB ＝12|OA →||OB →|＝12.由OB →·OC →＝－45，得cos ∠BOC ＝－45. ∴sin ∠BOC ＝35.∴S △BOC ＝12|OB →||OC →|sin ∠BOC ＝310.由OC →·OA →＝－35，得cos ∠COA ＝－35，∴sin ∠COA ＝45. ∴S △AOC ＝12|OA →||OC →|sin ∠COA ＝25，即可得S △ABC ＝S △AOB ＋S △BOC ＋S △COA ＝12＋310＋25＝65.小结 由a 与a ＋λb 的夹角为锐角，可得a ·(a ＋λb )>0，但由a ·(a ＋λb )>0，并不能推得a 与a ＋λb 的夹角为锐角，如λ＝0时，a ·(a ·λb )>0，但此时夹角为0，所以a ·(a ＋λb )>0仅是a 与a ＋λb 夹角为锐角的必要条件，而不是充分条件．三角形的“心”的向量表示及应用1．三角形各心的概念介绍 重心：三角形的三条中线的交点； 垂心：三角形的三条高线的交点；内心：三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)； 外心：三角形的三边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)． 根据概念，可知各心的特征条件．比如：重心将中线长度分成2∶1；垂线与对应边垂直；角平分线上的任意点到角两边的距离相等；外心到三角形各顶点的距离相等．2．三角形各心的向量表示(1)O 是△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0； (2)O 是△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →；(3)O 是△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|(或OA →2＝OB →2＝OC →2)；(4)O 是△ABC 的内心⇔OA →·(AB →|AB →|－AC →|AC →|)＝OB →·(BA →|BA →|－BC →|BC →|)＝OC →·(CA →|CA →|－CB→|CB →|)＝0.注意 向量λ(AB →|AB →|＋AC→|AC →|)(λ≠0)所在直线过△ABC 的内心(是∠BAC 的角平分线所在直线)1．将平面向量与三角形内心结合考查例1 O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【解析】 因为AB→|AB →|是向量AB →的单位向量，设AB →与AC →方向上的单位向量分别为e 1和e 2，又OP →－OA →＝AP →，则原式可化为AP →＝λ(e 1＋e 2)，由菱形的基本性质可知AP 平分∠BAC ，那么在△ABC 中，AP 平分∠BAC ，故选B.【答案】 B2．将平面向量与三角形垂心结合考查例2 点P 是△ABC 所在平面上一点，若P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，则点P 是△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【解析】 由P A →·PB →＝PB →·PC →，得P A →·PB →－PB →·PC →＝0，即PB →·(P A →－PC →)＝0，即PB →·CA →＝0，则PB ⊥CA .同理P A ⊥BC ，PC ⊥AB ，所以P 为△ABC 的垂心．故选D.【讲评】 本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形的垂心的定义等相关知识．将三角形的垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”等相关知识巧妙结合．【答案】 D3．将平面向量与三角形重心结合考查例3 点P 是△ABC 所在平面内任一点．G 是△ABC 的重心⇔PG →＝13(P A →＋PB →＋PC →)．【证明】 PG →＝P A →＋AG →＝PB →＋BG →＝PC →＋CG →⇒3PG →＝(AG →＋BG →＋CG →)＋(P A →＋PB →＋PC →)．∵点G 是△ABC 的重心，∴GA →＋GB →＋GC →＝0⇒AG →＋BG →＋CG →＝0，即3PG →＝P A →＋PB →＋PC →，由此得PG →＝13(P A →＋PB →＋PC →)．反之亦然(证略)．4．将平面向量与三角形外心结合考查例4 若O 为△ABC 内一点，|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，则O 是△ABC 的( ) A ．内心 B ．外心 C ．垂心D ．重心【解析】 由向量模的定义知O 到△ABC 的三顶点距离相等，故O 是△ABC的外心，故选B.【答案】 B5．将平面向量与三角形四心结合考查例5 已知向量OP 1→，OP 2→，OP 3→满足条件OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，|OP 1→|＝|OP 2→|＝|OP 3→|＝1，求证：△P 1P 2P 3是正三角形．【证明】 由已知条件可得OP 1→＋OP 2→＝－OP 3→，两边平方得OP 1→·OP 2→＝－12. 同理OP 2→·OP 3→＝OP 3→·OP 1→＝－12. ∴|P 1P 2→|＝|P 2P 3→|＝|P 3P 1→|＝ 3. 从而△P 1P 2P 3是正三角形．1．O 为空间中一定点，动点P 在A 、B 、C 三点确定的平面内且满足(OP →－OA →)·(AB →－AC →)＝0，则点P 的轨迹一定过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心答案 D2．已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13(12OA →＋12OB →＋2OC →)，则点P 一定为三角形ABC 的( )A ．AB 边中线的中点B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．AB 边的中点 答案 B解析 取AB 边中点M ，则OA →＋OB →＝2OM →.由OP →＝13(12OA →＋12OB →＋2OC →)，可得3OP →＝3OM →＋2MC →，∴MP →＝23MC →，即点P 为△ABC 中AB 边上的中线的一个三等分点，且点P 不过重心，故选B.3．在同一个平面上有△ABC 及一点O 满足关系式：OA →2＋BC →2＝OB →2＋CA →2＝OC →2＋AB →2，则点O 为△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心答案 D解析 由OA →2－OB →2＝CA →2－BC →2，得(OA →＋OB →)(OA →－OB →)＝(CA →－BC →)(CA →＋BC →)，即(OA →＋OB →)·BA →＝(CA →＋CB →)·BA →，∴BA →·(OA →＋OB →－CA →－CB →)＝2BA →·OC →＝0，∴BA →⊥OC →.同理OB →⊥CA →，OA →⊥CB →，故选D.4．已知O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心答案 C解析 设BC 边中点为D ，则有OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ·2AD →＝2λAD →，∴AP →过△ABC 的重心，故选C.5．在△ABC 中，动点P 满足CA →2＝CB →2－2AB →·CP →，则P 点轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心答案 A解析 2AB →·CP →＝CB →2－CA →2＝(CB →－CA →)·(CB →＋CA →)＝AB →·(CB →＋CA →)，即2AB →·CP →＝AB →·(CB →＋CA →)，∴AB →·(2CP →－CB →－CA →)＝AB →·(BP →＋AP →)＝0，∴以BP →，AP→为邻边的平行四边形的对角线互相垂直，∴点P 在线段AB 的中垂线上，故选A.6．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则P A →·(PB →＋PC →)等于( )A.49 B.43 C ．－43 D ．－49答案 D解析 由AP →＝2PM →知，P 为△ABC 的重心，根据向量的加法，PB →＋PC →＝2PM →，则P A →·(PB →＋PC →)＝P A →·2PM →＝P A →·AP →＝－(P A →)2＝－(23MA →)2＝－49，故选D.7．已知非零向量AB →，AC →满足(AB →|AB →|cos B ＋AC→|AC →|cos C)·BC →＝AB →·AC →，则△ABC为( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形答案 C解析 要注意到向量的数量积是满足分配律的，则左边＝|AB →||BC →|(－cos B )|AB →|cos B ＋|AC →||BC →|cos C |AC →|cos C ＝0，所以有AB →·AC →＝0，则∠A ＝π2，是直角三角形，如图所示，选C.8．△ABC 外接圆的圆心为O ，两条边上高的交点为H ，OH →＝m (OA →＋OB →＋OC →)，则实数m ＝________.答案 1解析 特殊法，设△ABC 为Rt △，则O 为斜边BC 的中点，H 与A 重合，∴OA →＝m ·OA →，∴m ＝1.。
2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业69
课时作业(六十九)1．到两定点A(0,0)，B(3,4)距离之和为5的点的轨迹是() A．椭圆B．AB所在的直线C．线段AB D．无轨迹答案 C解析∵|AB|＝5，∴到A、B两点距离之和为5的点的轨迹是线段AB.2．若点P到点F(0,2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，则P的轨迹方程为() A．y2＝8x B．y2＝－8xC．x2＝8y D．x2＝－8y答案 C解析由题意知P到F(0,2)的距离比它到y＋4＝0的距离小2，因此P到F(0,2)的距离与到直线y＋2＝0的距离相等，故P的轨迹是以F为焦点，y＝－2为准线的抛物线，所以P的轨迹方程为x2＝8y.3．在△ABC中，已知A(－1,0)，C(1,0)，且|BC|，|CA|，|AB|成等差数列，则顶点B的轨迹方程是()A.x23＋y24＝1 B.x23＋y24＝1(x≠±3)C.x24＋y23＝1 D.x24＋y23＝1(x≠±2)答案 D解析∵|BC|，|CA|，|AB|成等差数列，∴|BC|＋|BA|＝2|CA|＝4.∴点B的轨迹是以A，C为焦点，半焦距c＝1，长轴长2a＝4的椭圆，又B是三角形的顶点，A、B、C三点不能共线，故所求的轨迹方程为x24＋y23＝1，且y≠0.4．已知点F(1,0)，直线l：x＝－1，点B是l上的动点．若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是() A．双曲线B．椭圆C ．圆D ．抛物线答案D解析 连接MF ，由中垂线性质知|MB |＝|MF |， 即M 到定点F 的距离与它到直线x ＝－1距离相等． ∴点M 的轨迹是抛物线． ∴D 正确．5．设椭圆与双曲线有共同的焦点F 1(－1,0)、F 2(1,0)，且椭圆长轴是双曲线实轴的2倍，则椭圆与双曲线的交点轨迹是( )A ．双曲线B ．一个圆C ．两个圆D ．两条抛物线答案 C解析 ⎩⎨⎧|PF 1|＋|PF 2|＝4a ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，得到|PF 1|＝3|PF 2|或|PF 2|＝3|PF 1|，所以是圆．6．经过抛物线y 2＝2px 焦点的弦的中点的轨迹是( )A ．抛物线B ．椭圆C ．双曲线D ．直线答案 A解析 点差法k AB ＝2p y 1＋y 2＝2p 2y ＝k MF ＝yx －p 2化简得抛物线． 7．长为3的线段AB 的端点A ，B 分别在x ，y 轴上移动，动点C (x ，y )满足AC →＝2CB →，则动点C 的轨迹方程________．答案 x 2＋14y 2＝1解析 设A (a,0)，B (0，b )，则a 2＋b 2＝9，又C (x ，y )，则由AC →＝2CB →，得(x－a ，y )＝2(－x ，b －y )，即⎩⎨⎧x －a ＝－2x ，y ＝2b －2y ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3x ，b ＝32y ，代入a 2＋b 2＝9，并整理，得x 2＋14y 2＝1.8．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线与其交于M 、N 两点，作平行四边形MONP ，则点P 的轨迹方程为________．答案 y 2＝4(x －2)解析 设直线方程为y ＝k (x －1)，点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x ，y )，由OM →＝NP →，得(x 1，y 1)＝(x －x 2，y －y 2)．得x 1＋x 2＝x ，y 1＋y 2＝y .由⎩⎨⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，联立得x ＝x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2. y ＝y 1＋y 2＝4kk 2，消去参数k ，得y 2＝4(x －2)．9．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为________．答案 (x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)解析 方法一 直接法．设A (x ，y )，y ≠0，则D (x 2，y2)． ∴|CD |＝(x 2－5)2＋y 24＝3.化简得(x －10)2＋y 2＝36，由于A 、B 、C 三点构成三角形，所以A 不能落在x 轴上，即y ≠0.方法二定义法．如右图，设A (x ，y )，D 为AB 的中点，过A 作AE ∥CD 交x 轴于E .∵|CD |＝3，∴|AE |＝6，则E (10,0)，∴A 到E 的距离为常数6.∴A 的轨迹为以E 为圆心，6为半径的圆，即(x －10)2＋y 2＝36，又A 、B 、C 不共线，故A 点纵坐标y ≠0，故A 点轨迹方程为(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)．10．(2013·衡水调研)已知抛物线y 2＝nx (n <0)与双曲线x 28－y 2m ＝1有一个相同的焦点，则动点(m ，n )的轨迹方程是________．答案 n 2＝16(m ＋8)(n <0)解析 抛物线的焦点为(n 4，0)，在双曲线中，8＋m ＝c 2＝(n4)2，n <0，即n 2＝16(m ＋8)(n <0)．11.如图，直角三角形ABC 的顶点坐标A (－2,0)，直角顶点B (0，－22)，顶点C 在x 轴上，点P 为线段OA 的中点．(1)求BC 边所在直线方程；(2)M 为直角三角形ABC 外接圆的圆心，求圆M 的方程；(3)若动圆N 过点P 且与圆M 内切，求动圆N 的圆心N 的轨迹方程． 解析 (1)∵k AB ＝－2，AB ⊥BC ， ∴k CB ＝22.∴BC ：y ＝22x －2 2. (2)在上式中，令y ＝0，得C (4,0)． ∴圆心M (1,0)．又∵|AM |＝3，∴外接圆的方程为(x －1)2＋y 2＝9. (3)∵P (－1,0)，M (1,0)，∵圆N 过点P (－1,0)，∴PN 是该圆的半径． 又∵动圆N 与圆M 内切，∴|MN |＝3－|PN |，即 |MN |＋|PN |＝3.∴点N 的轨迹是以M 、P 为焦点，长轴长为3的椭圆． ∴a ＝32，c ＝1，b ＝a 2－c 2＝54. ∴轨迹方程为49x 2＋45y 2＝1.12．已知动点P (x ，y )与两定点M (－1,0)，N (1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．(1)求动点P 的轨迹C 的方程； (2)讨论轨迹C 的形状．解析 (1)由题设知直线PM 与PN 的斜率存在且均不为零，所以k PM ·k PN ＝y x ＋1·yx －1＝λ， 整理得x 2－y2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)．(2)①当λ>0时，轨迹C 为中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线(除去顶点)； ②当－1<λ<0时，轨迹C 为中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆(除去长轴两个端点)；③当λ＝－1时，轨迹C 为以原点为圆心，1为半径的圆除去点(－1,0)，(1,0)； ④当λ<－1时，轨迹C 为中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆(除去短轴的两个端点)．13．P ，Q 是抛物线C ：y ＝x 2上两个动点，直线l 1，l 2分别是C 在点P ，点Q 处的切线，l 1∩l 2＝M ，直线PQ 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，求点M 的轨迹方程．解析 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则有直线MP 的方程y －x 21＝2x 1(x －x 1)，直线MQ 的直线方程y －x 22＝2x 2(x －x 2)．交点坐标M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，x 1x 2. 直线PQ 的方程为y －x 21＝x 21－x 22x 1－x 2(x －x 1)， 即y ＝(x 1＋x 2)x －x 1x 2. 所以x 1x 2＝－14.所以，M 的轨迹方程为y ＝－14.14．已知A 、B 的坐标分别是(－1,0)、(1,0)，直线AM 与BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为－2.(1)求动点M 的轨迹方程；(2)若过点N (1,1)的直线l 交动点M 的轨迹于C 、D 两点，且OC →·OD →＝0，求直线l 的方程．解析 (1)设点M 的坐标为(x ，y )，则依题意有：k AM ·k BM ＝－2，即y －0x ＋1·y －0x －1＝－2，化简得x 2＋y 22＝1.∴动点M 的轨迹方程为x 2＋y 22＝1(x ≠±1)．(2)依题意易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则由⎩⎨⎧2x 2＋y 2－2＝0，y －1＝k (x －1)，消去y 得2x 2＋[kx ＋(1－k )]2－2＝0.化简得(2＋k 2)x 2＋2k (1－k )x ＋(1－k )2－2＝0. ∴x 1＋x 2＝2k (k －1)2＋k 2，x 1x 2＝(1－k )2－22＋k 2.∴y 1y 2＝[kx 1＋(1－k )]·[kx 2＋(1－k )] ＝k 2x 1x 2＋k (1－k )(x 1＋x 2)＋(1－k )2. ∵OC →·OD →＝0，∴x 1x 2＋y 1y 2＝(k 2＋1)x 1x 2＋k (1－k )(x 1＋x 2)＋(1－k )2 ＝(k 2＋1)(k 2－2k －1)2＋k 2＋(k －k 2)(2k 2－2k )2＋k 2＋(1－k )2 ＝k 2－6k ＋12＋k 2＝0.∴k 2－6k ＋1＝0，解得k ＝3±2 2.∴直线l 的方程为y ＝(3＋22)x －2－22或y ＝(3－22)x ＋22－2.1．(2010·重庆)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线答案 D解析在长方体ABCD－A1B1C1D1中建立如图所示的空间直角坐标系，易知直线AD与D1C1是异面垂直的两条直线，过直线AD与D1C1平行的平面是面ABCD，设在平面ABCD内动点M(x，y)满足到直线AD与D1C1的距离相等，作MM1⊥AD于M1，MN⊥CD于N，NP⊥D1C1于P，连接MP，易知MN⊥平面CDD1C1，MP⊥D1C，则有|MM1|＝|MP|，|y|2＝x2＋a2(其中a是异面直线AD与D1C1间的距离)，即有y2－x2＝a2，因此动点M的轨迹是双曲线．2．方程x2＋xy＋x＝0表示的曲线是() A．一个点B．一条直线C．两条直线D．一个点和一条直线答案 C解析方程变为x(x＋y＋1)＝0，∴x＝0或x＋y＋1＝0.故方程表示直线x＝0或直线x＋y＋1＝0.3．设动点P在直线x＝1上，O为坐标原点，以OP为直角边，点O为直角顶点作等腰Rt△OPQ，则动点Q的轨迹() A．圆B．两条平行线C．抛物线D．双曲线答案 B解析设Q(x，y)，P(1，y0)，由几何性质有Rt△QMO∽Rt△ONP，∴|QM|＝|ON|，|y|＝1.∴动点Q 的轨迹为两条平行线． 故B 正确．4．F 1、F 2为椭圆x 24＋y 23＝1的左右两焦点，A 为椭圆上任一点，过焦点F 1向∠F 1AF 2的外角平分线作垂线，垂足为D ，则点D 的轨迹方程是( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线答案 B解析 如图，由椭圆定义知|AF 1|＋|AF 2|＝|AF 2|＋|AM |＝2a ＝|F 2M |. 又D 为F 1M 的中点，O 为F 1F 2中点， ∴|OD |＝12|F 2M |＝a .∴点D 的轨迹是圆．5．自圆外一点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线PM 和PN ，若∠MPN ＝π2，则动点P 的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝4B ．x 2＋y 2＝2 C.x 24＋y 2＝1 D.x 22＋y 2＝1答案 B解析 由题意，得OMPN 构成正方形，|OP |＝2，点P 的轨迹为一半径为2的圆，圆心在原点．6. (2013·东北四校联考)以原点为圆心的两个同心圆的方程分别为x 2＋y 2＝4和x 2＋y 2＝1，过原点O 的射线交大圆于点P ，交小圆于点Q ，作PM ⊥x 轴于M .若PN →＝λPM →，QN →·PM →＝0，求点N 的轨迹方程．解析 设P (2cos α，2sin α)，Q (cos α，sin α)，由PN →＝λPM →知N 在PM 上，由QN →·PM →＝0知QN ⊥PM ，∴N (2cos α，sin α)，即⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝sin α，∴x 24＋y 2＝1(x ≠0)．7．(2013·深圳模拟)已知点F 是椭圆x 21＋a 2＋y 2＝1(a >0)的右焦点，点M (m,0)，N (0，n )分别是x 轴，y 轴上的动点，且满足MN →·NF →＝0.若点P 满足OM →＝2ON →＋PO →.(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)设过点F 任作一直线与点P 的轨迹C 交于A 、B 两点，直线OA 、OB 与直线x ＝－a 分别交于点S 、T (O 为坐标原点)，试判断FS →·FT →是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．解析 (1)∵椭圆x 21＋a 2＋y 2＝1(a >0)的右焦点F 的坐标为(a,0)，∴NF →＝(a ，－n )．∵MN →＝(－m ，n )，∴由MN →·NF →＝0，得n 2＋am ＝0. 设点P 的坐标为(x ，y )，由OM →＝2ON →＋PO →， 有(m,0)＝2(0，n )＋(－x ，－y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－x ，n ＝y 2，将其代入n 2＋am ＝0，得y 2＝4ax ，即点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4ax .(2)设直线AB 的方程为x ＝ty ＋a ，A (y 214a ，y 1)，B (y 224a ，y 2)， 则l OA ：y ＝4a y 1x ，l OB ：y ＝4ay 2x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4a y 1x ，x ＝－a ，得S (－a ，－4a 2y 1)，同理得T (－a ，－4a 2y 2)．∴FS →＝(－2a ，－4a 2y 1)，FT →＝(－2a ，－4a 2y 2)，则FS →·FT →＝4a 2＋16a 4y 1y 2.②由⎩⎨⎧x ＝ty ＋a ，y 2＝4ax ，得y 2－4aty －4a 2＝0，∴y 1y 2＝－4a 2. 则FS →·FT →＝4a 2＋16a 4(－4a 2)＝4a 2－4a 2＝0. 因此FS →·FT →的值是定值，且定值为0.8．已知定点A (0，－1)，点B 在圆F ：x 2＋(y －1)2＝16上运动，F 为圆心，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P .(1)求动点P 的轨迹E 的方程；若曲线Q ：x 2－2ax ＋y 2＋a 2＝1被轨迹E 包围着，求实数a 的最小值；(2)已知M (－2,0)，N (2,0)，动点G 在圆F 内，且满足|MG |·|NG |＝|OG |2(O 为坐标原点)，求MG →·NG →的取值范围．解析 (1)由题意得|P A |＝|PB |. ∴|P A |＋|PF |＝|PB |＋|PF |＝4>|AF |＝2.∴动点P 的轨迹E 是以A ，F 为焦点的椭圆． 设该椭圆的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，则2a ＝4,2c ＝2，即a ＝2，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3. ∴动点P 的轨迹E 的方程为y 24＋x 23＝1. ∵x 2－2ax ＋y 2＋a 2＝1即为(x －a )2＋y 2＝1， ∴曲线Q 是圆心为(a,0)，半径为1的圆．∵轨迹E 为焦点在y 轴上的椭圆，其左，右顶点分别为(－3，0)，(3，0)，且曲线Q 被轨迹E 包围着，∴－3＋1≤a ≤3－1. ∴a 的最小值为－3＋1.(2)设G (x ，y )，由|MG |·|NG |＝|OG |2，得(x ＋2)2＋y 2·(x －2)2＋y 2＝x 2＋y 2，化简得x 2－y 2＝2，即x 2＝y 2＋2.∴MG →·NG →＝(x ＋2，y )·(x －2，y )＝x 2＋y 2－4＝2(y 2－1)． ∵点G 在圆F ：x 2＋(y －1)2＝16内，∴x 2＋(y －1)2<16. ∴y 2＋2＋(y －1)2<16，即2(y 2－y )<13，解得0≤y 2<14＋332， 则－2≤2(y 2－1)<12＋33，∴MG →·NG →的取值范围为[－2,12＋33)．。
2014年新课标高考数学试题理科21题解法研究
ｂ ＞ ２，则 ∃ｘ ＞ ０，ｇ（ｘ） ＜ ０． （２） 当 ｂ ＞ ２ 时，令 ｇ′（ ｘ） ＜ ０，得 ｅｘ ＋ ｅ －ｘ － ２ｂ
＋ ２ ＜ ０，解得 ０ ＜ ｘ ＜ ｌｎ（ｂ － １ ＋ ｂ２ － ２ｂ ），ｇ（ｘ）
在（０，ｌｎ（ｂ － １ ＋ ｂ２ － ２ｂ ）） 上单调递减． 又因为 ｇ（０） ＝ ０， 所以当 ｘ ∈ （０，ｌｎ（ｂ － １ ＋
ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ 中学数学杂志 ２０１４ 年第 ７ 期
２０１４ 年新课标高考数学试题理科 ２１ 题解法研究
湖北省广水市第一高级中学 ４３２７００ 聂文喜
题目 设函数 ｆ（ｘ） ＝ ｅｘ － ｅ －ｘ － ２ｘ． （１） 讨论 ｆ（ｘ） 的单调性； （２）ｇ（ｘ） ＝ ｆ（２ｘ） － ４ｂｆ（ｘ），当 ｘ ＞ ０，ｇ（ｘ） ＞ ０
ｕ（ｘ） 在（０， ＋ ∞ ） 上单调递减，ｕ（ｘ） ＜ ｕ（０） ＝
０，所以 ｈ（ｘ） ＞ ｕ（ｘ） 成立， 当 ｂ ＞ ０ 时，ｕ′（ ｘ） ＝ ４ｂ（ ｅｘ ＋ ｅ －ｘ － ２） ＞ ０，ｕ（ ｘ）
在（０， ＋ ∞ ） 上单调递增，ｕ″（ ｘ） ＝ ４ｂ（ ｅｘ － ｅ －ｘ） ＞ ０，
ｕ（ｘ） 在（０， ＋ ∞ ） 上是凹函数，
２ｘ），则 ｈ（ｘ） ＞ ｕ（ｘ），
则问题等价于在区间（０， ＋ ∞ ） 上，ｙ ＝ ｈ（ｘ） 的
图象恒在 ｙ ＝ ｕ（ｘ） 的图象上方． ｈ′（ ｘ） ＝ ２（ ｅ２ｘ ＋ ｅ －２ｘ － ２） ＞ ０，ｈ（ ｘ） 在（０， ＋ ∞ ）
上单调递增，ｈ（ｘ） ＞ ｈ（０） ＝ ０． ｈ″（ ｘ） ＝ ４（ ｅ２ｘ － ｅ －２ｘ） ＞ ０，ｈ（ ｘ） 在（０， ＋ ∞ ） 上
４ｘ ２ｘ）
2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业51
课时作业(五十一)1．已知两条不同直线l1和l2及平面α，则直线l1∥l2的一个充分条件是() A．l1∥α且l2∥αB．l1⊥α且l2⊥αC．l1∥α且l2⊄αD．l1∥α且l2⊂α答案 B解析l1⊥α且l2⊥α⇒l1∥l2.2．(2012·四川)下列命题正确的是() A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行答案 C解析若两条直线和同一平面所成的角相等，则这两条直线可平行、可异面、可相交，A项不正确；如果到一个平面距离相等的三个点在同一条直线上或在这个平面的两侧，那么经过这三个点的平面与这个平面相交，B项不正确．3．设α，β表示平面，m，n表示直线，则m∥α的一个充分不必要条件是() A．α⊥β且m⊥βB．α∩β＝n且m∥nC．m∥n且n∥αD．α∥β且m⊂β答案 D解析若两个平面平行，其中一个面内的任一直线均平行于另一个平面，故选D.4．若空间四边形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8、12，过AB 的中点E且平行于BD、AC的截面四边形的周长为() A．10 B．20C．8 D．4答案 B解析设截面四边形为EFGH，F、G、H分别是BC、CD、DA的中点，∴EF＝GH＝4，FG＝HE＝6.∴周长为2×(4＋6)＝20.5．(2013·衡水调研卷)已知直线l ∥平面α，P ∈α，那么过点P 且平行于直线l 的直线( )A ．只有一条，不在平面α内B ．有无数条，不一定在平面α内C ．只有一条，且在平面α内D ．有无数条，一定在平面α内 答案 C解析 由直线l 与点P 可确定一个平面β，则平面α，β有公共点，因此它们有一条公共直线，设该公共直线为m ，因为l ∥α，所以l ∥m ，故过点P 且平行于直线l 的直线只有一条，且在平面α内，选C.6．下列命题中，是假命题的是( )A ．三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面B ．平面α∥平面β，a ⊂α，过β内的一点B 有唯一的一条直线b ，使b ∥aC ．α∥β，γ∥δ，α、β分别与γ、δ的交线为a 、b 、c 、d ，则a ∥b ∥c ∥dD ．一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件 答案 D解析 D 错误．当两个平面平行时，则该直线与两个平面成等角；反之，如果一条直线与两个平面成等角，这两个平面可能是相交平面．如下图，α⊥β，直线AB 与α、β都成45°角，但α∩β＝l .7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定答案 B解析 连接CD 1，在CD 1上取点P ，使D 1P ＝2a3，∴MP ∥BC ，PN ∥AD 1. ∴MP ∥面BB 1C 1C ，PN ∥面AA 1D 1D . ∴面MNP ∥面BB 1C 1C ，∴MN ∥面BB 1C 1C .8．设α、β、γ为两两不重合的平面，l 、m 、n 为两两不重合的直线．给出下列四个命题：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β； ③若α∥β，l ⊂α，则l ∥β；④若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n . 其中真命题的是________． 答案 ③④解析 ①∵垂直于同一个平面的两个平面也可以相交，如墙角，∴该命题不对；②m 、n 相交时才有α∥β，此命题不对；③由面面平行的性质定理可知该命题正确；④∵l ∥γ，β∩γ＝m ，l ⊂β，∴l ∥m .又α∩β＝l ，且m ⊂β，∴m ∥α.又m ⊂γ且γ∩α＝n ，∴m ∥n ，故④对．9．如图所示，四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥面MNP 的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．答案 ①③10. 棱锥P －ABCD 的底面是一直角梯形，AB ∥CD ，BA ⊥AD ，CD ＝2AB ，P A ⊥底面ABCD ，E 为PC 的中点，则BE 与平面P AD 的位置关系为________．答案 平行解析 取PD 的中点F ，连接EF .在△PCD 中，EF 綊12CD .又∵AB ∥CD 且CD ＝2AB ，∴EF ＝12CD 且CD ＝2AB . ∴EF 綊AB ，∴四边形ABEF 是平行四边形，∴EB ∥AF . 又∵EB ⊄平面P AD ，AF ⊂平面P AD ， ∴BE ∥平面P AD .11. 如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1、B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________.答案223a解析 如图，连接AC ，易知MN ∥平面ABCD .∴MN ∥PQ .又∵MN ∥AC ，∴PQ ∥AC .又∵AP ＝a 3，∴PD AD ＝DQ CD ＝PQ AC ＝23. ∴PQ ＝23AC ＝232a ＝223a .12．考察下列三个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l 、m 为直线，α、β为平面)，则此条件为________．①⎭⎬⎫m ⊂αl ∥m⇒l ∥α；②⎭⎬⎫l ∥m m ∥α⇒l ∥α；③⎭⎬⎫l ⊥βα⊥β⇒l ∥α. 答案 l ⊄α解析 ①体现的是线面平行的判定定理，缺的条件是“l 为平面α外的直线”，即“l ⊄α”，它也同样适合②③，故填l ⊄α.13．在四面体ABCD 中，M 、N 分别是面△ACD 、△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．答案 平面ABC 和平面ABD解析 连接AM 并延长交CD 于E ，连接BN 并延长交CD 于F .由重心的性质可知，E 、F 重合为一点，且该点为CD 的中点E .由EM MA ＝EN NB ＝12，得MN ∥AB .因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD .14．过三棱柱ABC —A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有________条．答案 6解析 过三棱柱ABC —A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，记AC ，BC ，A 1C 1，B 1C 1的中点分别为E ，F ，E 1，F 1，则直线EF ，EF 1，EE 1，FF 1，E 1F ，E 1F 1均与平面ABB 1A 1平行，故符合题意的直线共6条．15. 如图所示，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，G 在BB 1上，且AE ＝FC 1＝B 1G ＝1，H是B 1C 1的中点．(1)求证：E 、B 、F 、D 1四点共面； (2)求证：平面A 1GH ∥平面BED 1F . 解析 (1)连接FG .∵AE ＝B 1G ＝1，∴BG ＝A 1E ＝2. ∴BG 綊A 1E ，∴A 1G ∥BE . 又∵C 1F 綊B 1G ，∴四边形C 1FGB 1是平行四边形，∴FG 綊C 1B 1綊D 1A 1.∴四边形A 1GFD 1是平行四边形． ∴A 1G 綊D 1F ，∴D 1F 綊EB . 故E 、B 、F 、D 1四点共面． (2)∵H 是B 1C 1的中点， ∴B 1H ＝32.又B 1G ＝1， ∴B 1G B 1H ＝23.又FC BC ＝23，且∠FCB ＝∠GB 1H ＝90°， ∴△B 1HG ∽△CBF .∴∠B 1GH ＝∠CFB ＝∠FBG ，∴HG ∥FB . 又由(1)知，A 1G ∥BE ，且HG ∩A 1G ＝G ，FB ∩BE ＝B ， ∴平面A 1GH ∥平面BED 1F . 16.如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面为正三角形，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，点E 、F 分别是棱CC 1、BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC ＝2FB .当点M 在何位置时，BM ∥平面AEF?解析 方法一 如图，取AE 的中点O ，连接OF ，过点O 作OM ⊥AC 于点M .∵侧棱A 1A ⊥底面ABC ， ∴侧面A 1ACC 1⊥底面ABC . ∴OM ⊥底面ABC . 又∵EC ＝2FB ， ∴OM ∥FB 綊12EC . ∴四边形OMBF 为矩形． ∴BM ∥OF .又∵OF ⊂面AEF ，BM ⊄面AEF ，故BM ∥平面AEF ，此时点M 为AC 的中点．方法二 如图，取EC 的中点P ，AC 的中点Q ，连接PQ 、PB 、BQ . ∴PQ ∥AE .∵EC ＝2FB ， ∴PE 綊BF ，PB ∥EF .∴PQ ∥平面AEF ，PB ∥平面AEF . 又PQ ∩PB ＝P ， ∴平面PBQ ∥平面AEF . 又∵BQ ⊂面PQB ， ∴BQ ∥平面AEF .故点Q 即为所求的点M ，此时点M 为AC 的中点． 17.如图，在底面是平行四边形的四棱锥P —ABCD 中，点E 在PD 上，且PE ∶ED ＝2∶1，在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ？证明你的结论．解析 当F 是棱PC 的中点时，BF ∥平面AEC . 证明：取PE 的中点M ，连接FM ，则FM ∥CE .①由EM ＝12PE ＝ED ，知E 是MD 的中点． 连接BM ，BD ，设BD ∩AC ＝O ， 则O 为BD 的中点，连接OE ， 所以BM ∥OE .②由①，②知，平面BFM ∥平面AEC . 又BF ⊂平面BFM ，所以BF ∥平面AEC . 18.(2012·山东)如图，几何体E —ABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB ＝CD ，EC ⊥BD .(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC. 解析(1)如图，取BD的中点O，连接CO，EO.由于CB＝CD，所以CO⊥BD.又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC⊂平面EOC，所以BD⊥平面EOC.因此BD⊥EO.又O为BD的中点，所以BE＝DE.(2)方法一如图，取AB的中点N，连接DM，DN，MN.因为M是AE的中点，所以MN∥BE.又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，所以MN∥平面BEC.又因为△ABD为正三角形，所以∠BDN＝30°.又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°.所以DN∥BC.又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC.又MN∩DN＝N，故平面DMN ∥平面BEC . 又DM ⊂平面DMN ， 所以DM ∥平面BEC .方法二 如图，延长AD ，BC 交于点F ，连接EF .因为CB ＝CD ，∠BCD ＝120°， 所以∠CBD ＝30°. 因为△ABD 为正三角形， 所以∠BAD ＝60°，∠ABC ＝90°. 因此∠AFB ＝30°. 所以AB ＝12AF . 又AB ＝AD ，所以D 为线段AF 的中点．连接DM ，由于点M 是线段AE 的中点， 因此DM ∥EF .又DM ⊄平面BEC ，EF ⊂平面BEC ， 所以DM ∥平面BEC .1．设x ，y ，z 为空间不同的直线或不同的平面，且直线不在平面内，下列说法中能保证“若x ⊥z ，y ⊥z ，则x ∥y ”为真命题的序号有________．(把所有的真命题全填上)①x 为直线，y ，z 为平面；②x ，y ，z 都为平面；③x ，y 为直线，z 为平面；④x ，y ，z 都为直线，⑤x ，y 为平面，z 为直线．答案 ③⑤解析 ①直线x 可能在平面y 内；②平面x 与y 可能相交；④直线x 与y 可能相交，也可能异面，故③⑤正确．2．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，ABCD 是平行四边形，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，求证：MN ∥平面P AD .证明 方法一 取CD 中点E ，连接NE 、ME .∵M 、N 分别是AB 、PC 的中点，∴NE ∥PD ，ME ∥AD .∴NE ∥平面P AD ，ME ∥平面P AD .又NE ∩ME ＝E ，∴平面MNE ∥平面P AD .又MN ⊂平面MNE ，∴MN ∥平面P AD .方法二 取PD 中点F ，连接AF 、NF .∵M 、N 分别为AB 、PC 的中点，∴NF 綊12CD ，AM 綊12CD .∴AM 綊NF .∴四边形AMNF 为平行四边形．∴MN ∥AF .又AF ⊂平面P AD ，MN ⊄平面P AD ，∴MN ∥平面P AD . 3.如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D 在边BC 上，AD ⊥C 1D .(1)求证：AD ⊥平面BCC 1B 1；(2)设E 是B 1C 1上的一点，当B 1E EC 1的值为多少时，A 1E ∥平面ADC 1？请给出证明．解析 (1)在正三棱柱中，CC 1⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，∴AD ⊥CC 1. 又AD ⊥C 1D ，CC 1交C 1D 于C 1，且CC 1和C 1D 都在平面BCC 1B 1内，∴AD ⊥平面BCC 1B 1.(2)由(1)得AD ⊥BC .在正三角形ABC 中，D 是BC 的中点． 当B 1E EC 1＝1，即E 为B 1C 1的中点时，A 1E ∥平面ADC 1. 在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形BCC 1B 1是矩形，且D 、E 分别是BC 、B 1C 1的中点，∴B 1B ∥DE ，B 1B ＝DE .又B 1B ∥AA 1，且B 1B ＝AA 1，∴DE ∥AA 1，且DE ＝AA 1.∴四边形ADEA 1为平行四边形，∴A 1E ∥AD .而A 1E ⊄平面ADC 1，故A 1E ∥平面ADC 1.。
2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业48
课时作业(四十八)1．下列命题中，正确的是 ( )A ．若一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体B ．若一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体C ．若一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体D ．若一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台 答案 C解析 A 错，如球．B 错，如平放的圆柱．C 正确．D 错．如正四棱台．2．(2012·新课标全国)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 ( )A ．6B ．9C ．12D ．18答案 B解析 由三视图可推知，几何体的直观图如图所示，可知AB ＝6，CD ＝3，PC ＝3，CD 垂直平分AB ，且PC ⊥平面ACB ，故所求几何体的体积为13×(12×6×3)×3＝9.3．(2011·新课标全国)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如下图所示，则相应的侧视图可以为 ( )答案 D解析 根据分析，只能是选项D 中的视图．故选D.4．(2013·衡水调研)一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为( )A ．2B ．1 C.23D.13答案 C解析 由三视图知，该几何体是一棱锥，其底面四边形的对角线互相垂直，且长都为2，棱锥高为1，所以，该几何体的体积为V ＝13×2×12×2×1＝23.5．(2011·江西文)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为 ( )答案 D解析 被截去的四棱锥的三条可见侧棱中有两条为长方体的面对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面(长方形)的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有选项D 符合．6. 已知三棱锥的俯视图与侧视图如右图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为( )答案 C解析 空间几何体的正视图和侧视图的“高平齐”，故正视图的高一定是2，正视图和俯视图“长对正”，故正视图的底面边长为2，根据侧视图中的直角说明这个空间几何体最前面的面垂直于底面，这个面遮住了后面的一个侧棱，综合以上可知，这个空间几何体的正视图可能是C.7．一个空间几何体的三视图如图所示，其主(正)视图是正三角形，边长为1，左(侧)视图是直角三角形，两直角边分别为32 和12，俯视图是等腰直角三角形，斜边为1，则此几何体的体积为 ( )A.32B.33C.312D.324答案 D解析 根据三视图可知此空间几何体为三棱锥，其底面面积为S ＝12×1×12＝14，三棱锥的高为h ＝32，所以几何体的体积为V ＝13Sh ＝13×14×32＝324.8．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是 ( )答案 A解析由作法规则可知O′A′＝2，在原图形中OA＝22，O′C′∥A′B′，OC∥AB，选A.9.已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的组成为()A．上面为棱台，下面为棱柱B．上面为圆台，下面为棱柱C．上面为圆台，下面为圆柱D．上面为棱台，下面为圆柱答案 C10．如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是()答案 C解析选项A得到的几何体为正方体，其体积为1，故排除1；而选项B、D所得几何体的体积都与π有关，排除B、D；易知选项C符合．11．已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，那么该三棱锥的侧视图可能为()答案 B解析 这个空间几何体的直观图如图所示，由题知，这个空间几何体的侧视图的底面一边长是3，故其侧视图只可能是选项B 中的图形．12．在几何体①圆锥；②正方体；③圆柱；④球；⑤正四面体中，自身三视图完全一样的几何体的序号是________．答案 ②④解析 正方体的三视图都是正方形，球的三视图都是圆．13．下面是长方体积木堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块积木堆成．答案 414．等腰梯形ABCD ，上底CD ＝1，腰AD ＝CB ＝2，下底AB ＝3，以下底所在直线为x 轴，则由斜二测画法画出的直观图A ′B ′C ′D ′的面积为________．答案 22解析 ∵OE ＝(2)2－1＝1，∴O ′E ′＝12，E ′F ＝24.∴直观图A ′B ′C ′D ′的面积为S ′＝12×(1＋3)×24＝22.15．已知一几何体的三视图如下，主视图和左视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是(写出所有正确结论的编号)________．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；④每个面都是等腰三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．答案 ①③④⑤解析 由三视图知，几何体是正四棱柱．所以从该几何体上任意选择4个顶点，它们所构成的几何图形只可能是：①③④⑤.16．(2012·辽宁)已知点P ，A ，B ，C ，D 是球O 表面上的点，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为23的正方形．若P A ＝26，则△OAB 的面积为________．答案 3 3解析 如图所示，∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥AC .故可知PC 为球O 直径，则PC 的中点为O ，取AC 的中点为O ′，则OO ′＝12P A ＝ 6.又∵AC ＝(23)2＋(23)2＝26，P A ＝26，∴PC ＝(26)2＋(26)2＝4 3.∴球半径R ＝23，故OC ＝OA ＝OB ＝2 3.又∵AB ＝23，∴△OAB 为等边三角形．∴S △OAB ＝12×23×23×sin60°＝3 3.17.如图是一个几何体的正视图和俯视图．(1)试判断该几何体是什么几何体；(2)画出其侧视图，并求该平面图形(侧视图)的面积．解析 (1)由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥．(2)该几何体的侧视图，如图．其中AB ＝AC ，AD ⊥BC ，且BC 的长是俯视图正六边形对边间的距离，即BC ＝3a ，AD 是正棱锥的高，则AD ＝3a .所以该平面图形(侧视图)的面积为S ＝12×3a ×3a ＝32a 2.18．如图是某几何体的三视图(单位：cm)．(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积及体积．解析 (1)该几何体的直观图如图所示．(2)这个几何体可看成是正方体AC 1及直三棱柱B 1C 1Q －A 1D 1P 的组合体．由P A 1＝PD 1＝2，A 1D 1＝AD ＝2，可得P A 1⊥PD 1.故所求几何体的表面积S ＝5×22＋2×2×2＋2×12×(2)2＝(22＋42)(cm 2)．所以几何体的体积V ＝23＋12×(2)2×2＝10(cm 3)．1．(2012·安徽)若四面体ABCD 的三组对棱分别相等，即AB ＝CD ，AC ＝BD ，AD ＝BC ，则________(写出所有正确结论的编号)．①四面体ABCD 每组对棱相互垂直；②四面体ABCD 每个面的面积相等；③从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°；④连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分；⑤从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长． 答案 ②④⑤解析如图所示，四面体ABCD 中，AB ＝CD ，AC ＝BD ，AD ＝BC ，则△ABC ≌△CDA ≌△DCB ≌△BAD ，故②正确；∵△ABC ≌△CDA ≌△BAD ，∴∠BAD＝∠ABC，∠CAD＝∠ACB.∴∠BAC＋∠CAD＋∠BAD＝∠BAC＋∠ACB＋∠ABC＝180°，故③错；取AB，BC，CD，DA的中点M，N，P，Q，连接MN，NP，PQ，MQ，由此得，MN＝QP＝12AC，NP＝MQ＝12BD.∵BD＝AC，∴MN＝QP＝MQ＝NP.∴四边形MNPQ为菱形．∴对角线相互垂直平分，故④正确，①错误；而⑤正确，如AB，AC，AD 可作为△ABC的三边．2．(2010·北京)一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为()答案 C解析结合正视图和侧视图可知，该空间几何体如图所示，故其俯视图为选项C中的图形．3. (2011·山东文)右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如右图．其中真命题的个数是()A．3 B．2C．1 D．0答案 A解析把直三棱柱的一个侧面放在水平面上，当这个直三棱柱的底面三角形的高等于放在水平面上的侧面的宽度就可以使得这个三棱柱的正视图和俯视图符合要求，故命题①是真命题；把一个正四棱柱的一个侧面放置在水平面上即可满足要求，故命题②是真命题；只要把圆柱侧面的一条母线放置在水平面即符合要求，故命题③是真命题．4．一个简单几何体的主视图、左视图如图所示，则其俯视图不可能为：①长方形；②正方形；③圆；④椭圆．其中正确的是() A．①②B．②③C．③④D．①④答案 B解析根据画三视图的规则“长对正，高平齐，宽相等”可知，几何体的俯视图不可能是圆和正方形．5．(2013·杭州模拟)如图，下列四个几何体中，它们各自的三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是()A．①②B．①③C ．②③D ．①④答案 C 6．某几何体的正视图与侧视图如图所示，若该几何体的体积为13，则该几何体的俯视图可以是 ( )答案 D解析 通过分析正视图和侧视图，结合该几何体的体积为13，可知该几何体的底面积应为1，因此符合底面积为1的选项仅有D 选项，故该几何体为一个四棱锥，其俯视图为D.7．(2012·合肥调研)已知某一几何体的主视图与左视图如图所示，则在下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形为 ( )A ．①②③⑤B ．②③④⑤C ．①②④⑤D ．①②③④答案 D解析 因几何体的主视图和左视图一样，所以易判断出其俯视图可能为①②③④.8.如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的，现用一个平面去截这个几何体，若这个平面垂直于圆柱底面所在的平面，则所截得的图形可能是下图中的________．(把所有可能的图的序号都填上)答案 ①③9．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，主视图(或称正视图)是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ；(2)求该几何体的侧面积S .解析 由已知可得该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V －ABCD .(1)V ＝13×(8×6)×4＝64；(2)该四棱锥有两个侧面VAD ，VBC 是全等的等腰三角形，且BC 边上的高为h 1＝42＋(82)2＝4 2.另两个侧面VAB ，VCD 也是全等的等腰三角形，AB 边上的高为h 2＝42＋(62)2＝5，因此S 侧＝2(12×6×42＋12×8×5)＝40＋24 2.10．已知正三棱锥V －ABC 的主视图、左视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出左视图的面积．解析 (1)如右图所示．(2)根据三视图间的关系可得BC ＝23， ∴左视图中VA ＝42－(23×32×23)2＝2 3.∴S △VBC ＝12×23×23＝6.。
析2014年全国高考新课标卷理数21题
2014年全国高考新课标1卷理数21题思路分析与漂亮解答河北正定中学 甘维娜真题再现：设函数1()ln x xbe f x ae x x-=+，曲线在点(1,(1))f 处的切线为. (Ⅰ)求； (Ⅱ)证明：. 【解析一】：(Ⅰ) 函数的定义域为， 由题意可得，故 （Ⅱ）思路一：直接求导，利用二分法进行放缩()y f x =(1)2y e x =-+,a b ()1f x >()f x ()0,+∞112()ln x x x x a b b f x ae x e e e x x x--'=+-+(1)2,(1f f e '==1,2a b ==思路二：分离指、对数函数，分别构造函数方法一：由(Ⅰ)知，，从而等价于设函数，则，所以当1(0,)x e ∈时，，当1(,)x e∈+∞时，，故在1(0,)e 单调递减，在1(,)e+∞单调递增，从而在的最小值为.设函数，则，所以当时，，当时，，故在单调递增，在单调递减，从而在的最大值为.综上：当时，，即.方法二：由(Ⅰ)知，1222()ln (ln )(ln )x x xxe ef x e x e x x x x ex x e-=+=+=+ 12()ln x xe f x e x x-=+()1f x >2ln xx x xe e ->-()ln g x x x =()ln g x x x '=+()0g x '<()0g x '>()g x ()g x ()0,+∞11()g e e=-2()xh x xe e-=-()()1xh x e x -'=-()0,1x ∈()0h x '>()1,x ∈+∞()0h x '<()h x ()0,1()1,+∞()h x ()0,+∞1(1)h e=-0x >()()g x h x >()1f x >从而等价于2(ln )1x e x x x e+>设函数2()ln g x x x e =+，则'()ln 1g x x =+，所以当1(0,)x e∈时，，当1(,)x e ∈+∞时，，故在1(0,)e 单调递减，在1(,)e+∞单调递增，从而在的最小值为11()g e e=.设函数()x e h x x =，则2(1)'()x e x h x x -=，所以当时，，当时，，故在单调递减，在单调递增，从而在的最小值为(1)h e =.综上：当时，()()1g x h x >，即. 思路三：利用指、对数基本不等式进行放缩()1f x >()0g x '<()0g x '>()g x ()g x ()0,+∞()0,1x ∈()0h x '<()1,x ∈+∞()0h x '>()h x ()0,1()1,+∞()h x ()0,+∞0x >()1f x >。
2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业51
课时作业(五十一)1．已知两条不同直线l1和l2及平面α，则直线l1∥l2的一个充分条件是() A．l1∥α且l2∥αB．l1⊥α且l2⊥αC．l1∥α且l2⊄αD．l1∥α且l2⊂α答案 B解析l1⊥α且l2⊥α⇒l1∥l2.2．(2012·四川)下列命题正确的是() A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行答案 C解析若两条直线和同一平面所成的角相等，则这两条直线可平行、可异面、可相交，A项不正确；如果到一个平面距离相等的三个点在同一条直线上或在这个平面的两侧，那么经过这三个点的平面与这个平面相交，B项不正确．3．设α，β表示平面，m，n表示直线，则m∥α的一个充分不必要条件是() A．α⊥β且m⊥βB．α∩β＝n且m∥nC．m∥n且n∥αD．α∥β且m⊂β答案 D解析若两个平面平行，其中一个面内的任一直线均平行于另一个平面，故选D.4．若空间四边形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8、12，过AB 的中点E且平行于BD、AC的截面四边形的周长为() A．10 B．20C．8 D．4答案 B解析设截面四边形为EFGH，F、G、H分别是BC、CD、DA的中点，∴EF＝GH＝4，FG＝HE＝6.∴周长为2×(4＋6)＝20.5．(2013·衡水调研卷)已知直线l ∥平面α，P ∈α，那么过点P 且平行于直线l 的直线( )A ．只有一条，不在平面α内B ．有无数条，不一定在平面α内C ．只有一条，且在平面α内D ．有无数条，一定在平面α内 答案 C解析 由直线l 与点P 可确定一个平面β，则平面α，β有公共点，因此它们有一条公共直线，设该公共直线为m ，因为l ∥α，所以l ∥m ，故过点P 且平行于直线l 的直线只有一条，且在平面α内，选C.6．下列命题中，是假命题的是( )A ．三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面B ．平面α∥平面β，a ⊂α，过β内的一点B 有唯一的一条直线b ，使b ∥aC ．α∥β，γ∥δ，α、β分别与γ、δ的交线为a 、b 、c 、d ，则a ∥b ∥c ∥dD ．一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件 答案 D解析 D 错误．当两个平面平行时，则该直线与两个平面成等角；反之，如果一条直线与两个平面成等角，这两个平面可能是相交平面．如下图，α⊥β，直线AB 与α、β都成45°角，但α∩β＝l .7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定答案 B解析 连接CD 1，在CD 1上取点P ，使D 1P ＝2a3，∴MP ∥BC ，PN ∥AD 1. ∴MP ∥面BB 1C 1C ，PN ∥面AA 1D 1D .∴面MNP∥面BB1C1C，∴MN∥面BB1C1C.8．设α、β、γ为两两不重合的平面，l、m、n为两两不重合的直线．给出下列四个命题：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③若α∥β，l⊂α，则l∥β；④若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中真命题的是________．答案③④解析①∵垂直于同一个平面的两个平面也可以相交，如墙角，∴该命题不对；②m、n相交时才有α∥β，此命题不对；③由面面平行的性质定理可知该命题正确；④∵l∥γ，β∩γ＝m，l⊂β，∴l∥m.又α∩β＝l，且m⊂β，∴m∥α.又m⊂γ且γ∩α＝n，∴m∥n，故④对．9．如图所示，四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．答案①③10. 棱锥P－ABCD的底面是一直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，P A⊥底面ABCD，E为PC的中点，则BE与平面P AD的位置关系为________．答案平行解析取PD的中点F，连接EF.在△PCD中，EF綊12CD.又∵AB∥CD且CD＝2AB，∴EF＝12CD且CD＝2AB.∴EF綊AB，∴四边形ABEF是平行四边形，∴EB∥AF. 又∵EB⊄平面P AD，AF⊂平面P AD，∴BE∥平面P AD.11. 如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1、B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________.答案223a解析 如图，连接AC ，易知MN ∥平面ABCD .∴MN ∥PQ .又∵MN ∥AC ，∴PQ ∥AC . 又∵AP ＝a 3，∴PD AD ＝DQ CD ＝PQ AC ＝23.∴PQ ＝23AC ＝232a ＝223a .12．考察下列三个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l 、m 为直线，α、β为平面)，则此条件为________．①⎭⎬⎫m ⊂αl ∥m⇒l ∥α；②⎭⎬⎫l ∥m m ∥α⇒l ∥α；③⎭⎬⎫l ⊥βα⊥β⇒l ∥α. 答案 l ⊄α解析 ①体现的是线面平行的判定定理，缺的条件是“l 为平面α外的直线”，即“l ⊄α”，它也同样适合②③，故填l ⊄α.13．在四面体ABCD 中，M 、N 分别是面△ACD 、△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．答案 平面ABC 和平面ABD解析 连接AM 并延长交CD 于E ，连接BN 并延长交CD 于F .由重心的性质可知，E 、F 重合为一点，且该点为CD 的中点E .由EM MA ＝EN NB ＝12，得MN ∥AB .因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD .14．过三棱柱ABC —A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有________条．答案 6解析过三棱柱ABC—A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，记AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，EF1，EE1，FF1，E1F，E1F1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共6条．15. 如图所示，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中点．(1)求证：E、B、F、D1四点共面；(2)求证：平面A1GH∥平面BED1F.解析(1)连接FG.∵AE＝B1G＝1，∴BG＝A1E＝2.∴BG綊A1E，∴A1G∥BE.又∵C1F綊B1G，∴四边形C1FGB1是平行四边形，∴FG綊C1B1綊D1A1.∴四边形A1GFD1是平行四边形．∴A1G綊D1F，∴D1F綊EB.故E、B、F、D1四点共面．(2)∵H是B1C1的中点，∴B1H＝32.又B1G＝1，∴B1GB1H＝23.又FCBC＝23，且∠FCB＝∠GB1H＝90°，∴△B1HG∽△CBF.∴∠B1GH＝∠CFB＝∠FBG，∴HG∥FB. 又由(1)知，A1G∥BE，且HG∩A1G＝G，FB∩BE＝B，∴平面A1GH∥平面BED1F.16.如图，三棱柱ABC－A1B1C1，底面为正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，点E、F分别是棱CC1、BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB.当点M在何位置时，BM∥平面AEF?解析方法一如图，取AE的中点O，连接OF，过点O作OM⊥AC于点M.∵侧棱A1A⊥底面ABC，∴侧面A1ACC1⊥底面ABC.∴OM⊥底面ABC.又∵EC＝2FB，∴OM∥FB綊12EC.∴四边形OMBF为矩形．∴BM∥OF.又∵OF⊂面AEF，BM⊄面AEF，故BM∥平面AEF，此时点M为AC的中点．方法二如图，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ、PB、BQ.∴PQ∥AE.∵EC＝2FB，∴PE綊BF，PB∥EF.∴PQ∥平面AEF，PB∥平面AEF.又PQ∩PB＝P，∴平面PBQ∥平面AEF.又∵BQ⊂面PQB，∴BQ∥平面AEF.故点Q即为所求的点M，此时点M为AC的中点．17.如图，在底面是平行四边形的四棱锥P—ABCD中，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．解析当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC. 证明：取PE的中点M，连接FM，则FM∥CE.①由EM＝12PE＝ED，知E是MD的中点．连接BM，BD，设BD∩AC＝O，则O为BD的中点，连接OE，所以BM∥OE.②由①，②知，平面BFM∥平面AEC.又BF⊂平面BFM，所以BF∥平面AEC.18.(2012·山东)如图，几何体E—ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.解析(1)如图，取BD的中点O，连接CO，EO.由于CB＝CD，所以CO⊥BD.又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC⊂平面EOC，所以BD⊥平面EOC.因此BD⊥EO.又O为BD的中点，所以BE＝DE.(2)方法一如图，取AB的中点N，连接DM，DN，MN.因为M是AE的中点，所以MN∥BE.又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，所以MN∥平面BEC.又因为△ABD为正三角形，所以∠BDN＝30°.又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°.所以DN∥BC.又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC.又MN∩DN＝N，故平面DMN∥平面BEC.又DM⊂平面DMN，所以DM∥平面BEC.方法二如图，延长AD，BC交于点F，连接EF.因为CB＝CD，∠BCD＝120°，所以∠CBD＝30°.因为△ABD为正三角形，所以∠BAD＝60°，∠ABC＝90°.因此∠AFB＝30°.所以AB＝12AF.又AB＝AD，所以D为线段AF的中点．连接DM，由于点M是线段AE的中点，因此DM∥EF.又DM⊄平面BEC，EF⊂平面BEC，所以DM∥平面BEC.1．设x，y，z为空间不同的直线或不同的平面，且直线不在平面内，下列说法中能保证“若x⊥z，y⊥z，则x∥y”为真命题的序号有________．(把所有的真命题全填上)①x为直线，y，z为平面；②x，y，z都为平面；③x，y为直线，z为平面；④x，y，z都为直线，⑤x，y为平面，z为直线．答案③⑤解析①直线x可能在平面y内；②平面x与y可能相交；④直线x与y可能相交，也可能异面，故③⑤正确．2．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，ABCD是平行四边形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：MN∥平面P AD.证明方法一取CD中点E，连接NE、ME.∵M、N分别是AB、PC的中点，∴NE∥PD，ME∥AD.∴NE∥平面P AD，ME∥平面P AD.又NE∩ME＝E，∴平面MNE∥平面P AD.又MN⊂平面MNE，∴MN∥平面P AD.方法二取PD中点F，连接AF、NF.∵M、N分别为AB、PC的中点，∴NF綊12CD，AM綊12CD.∴AM綊NF.∴四边形AMNF为平行四边形．∴MN∥AF.又AF⊂平面P AD，MN⊄平面P AD，∴MN∥平面P AD.3.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D.(1)求证：AD⊥平面BCC1B1；(2)设E是B1C1上的一点，当B1EEC1的值为多少时，A1E∥平面ADC1？请给出证明．解析(1)在正三棱柱中，CC1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，∴AD⊥CC1.又AD⊥C1D，CC1交C1D于C1，且CC1和C1D都在平面BCC1B1内，∴AD ⊥平面BCC1B1.(2)由(1)得AD⊥BC.在正三角形ABC中，D是BC的中点．当B1EEC1＝1，即E为B1C1的中点时，A1E∥平面ADC1.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形BCC1B1是矩形，且D、E分别是BC、B1C1的中点，∴B1B∥DE，B1B＝DE.又B1B∥AA1，且B1B＝AA1，∴DE∥AA1，且DE＝AA1.∴四边形ADEA1为平行四边形，∴A1E∥AD.而A1E⊄平面ADC1，故A1E∥平面ADC1.。
2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业9
课时作业(九)1．下列等式36a 3＝2a ；3－2＝6(－2)2；－342＝4(－3)4×2中一定成立的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案 A 解析 36a 3＝36a ≠2a ；3－2＝－32<0，6(－2)2＝622＝32>0，∴3－2≠6(－2)2；－342<0，4(－3)4×2>0，∴－342≠4(－3)4×2. 2．下列函数中值域为正实数的是( )A ．y ＝－5xB ．y ＝(13)1－x C ．y ＝ (12)x－1D ．y ＝1－2x答案 B解析 ∵1－x ∈R ，y ＝(13)x 的值域是正实数， ∴y ＝(13)1－x 的值域是正实数．3．已知函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)在区间[－2,2]上的最大值不大于2，则函数g (a )＝log 2a 的值域是( )A ．(－∞，－12)∪(0，12] B ．[－12，0)∪(0，12] C ．[－12，12]D ．[－12，0)∪[12，＋∞) 答案 B解析 ①当a >1时，a 2≤2⇒1<a ≤2；②当0<a <1时，a －2≤2⇒22≤a <1，则g (a )＝log 2a 的值域为g (a )∈[－12，0)∪(0，12]，故选B.4．函数y ＝0.3|x |(x ∈R )的值域是( )A ．R ＋B ．{y |y ≤1}C ．{y |y ≥1}D ．{y |0<y ≤1}答案 D解析 y ＝0.3|x |∈(0,1]，故选D.5．已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )等于( )A ．5B ．7C ．9D ．11答案 B解析 ∵f (x )＝2x ＋2－x ，f (a )＝3，∴2a ＋2－a ＝3.∴f (2a )＝22a ＋2－2a ＝(2a ＋2－a )2－2＝9－2＝7.6．已知函数y ＝4x －3×2x ＋3，当其值域为[1,7]时，x 的取值范围是 ( ) A ．[2,4] B ．(－∞，0] C ．(0,1]∪[2,4] D ．(－∞，0]∪[1,2] 答案 D解析 y ＝(2x )2－3×2x ＋3＝(2x －32)2＋34∈[1,7]， ∴(2x －32)2∈[14，254]．∴2x －32∈[－52，－12]∪[12，52]．∴2x ∈[－1,1]∪[2,4]，∴x ∈(－∞，0]∪[1,2]．7．设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图像的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 答案 B解析 如图所示．由1<x <2，可知1<x 3<8； －1<x －2<0,1<(12)x －2<2. 8．若函数f (x )＝(a ＋1e x －1)cos x 是奇函数，则常数a 的值等于 ( )A ．－1B ．1C ．－12 D.12答案 D9．函数y ＝的部分图像大致是如图所示的四个图像的一个，根据你的判断，a 可能的取值是( )A.12B.32 C ．2 D ．4答案 D解析 函数为偶函数，排除①②，又函数值恒为正值，则排除④，故图像只能是③，再根据图像先增后减的特征可知2a －3>1，即a >2，符合条件的只有D 选项，故选D.10．(2013·哈师大附中)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为3，当x ∈(－32，0)时，f (x )＝－(12)1＋x ，则f (2 011)＋f (2 013)＝( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2答案 A解析 由已知，得f (2 011)＋f (2 013)＝f (670×3＋1)＋f (671×3)＝f (1)＋f (0)＝－f (－1)＝1.11．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________．答案 (－2，－1)∪(1，2)解析 函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则0<a 2－1<1，解得1<a <2或－2<a <－1.12．函数y ＝a x －2 009＋2 010(a >0且a ≠1)的图像恒过定点________． 答案 (2 009,2 011)13．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0且a ≠1)的图像如图所示，则a ＋b 的值是________．答案 －2解析 ∵⎩⎨⎧ a 2＋b ＝0，a 0＋b ＝－3，∴⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－4.∴a ＋b ＝－2.答案解析 由y ＝2x 是增函数，∴；由是增函数，∴，即有.15．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是________．答案 [2，＋∞)解析f (1)＝a 2＝19，a ＝13，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(13)2x －4， x ≥2，(13)4－2x，x <2.∴单调递减区间为[2，＋∞)．16．已知实数a 、b 满足等式(12)a ＝(13)b，下列五个关系式①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b ，哪些不可能成立？ 答案 ③④解析 在同一坐标系内，作出函数y ＝(12)x 和y ＝(13)x 的图像(如图)如图：a >b >0时，(12)a ＝(13)b 可能成立． a <b <0时，(12)a ＝(13)b 可能成立．a ＝b ＝0时，(12)a ＝(13)b 显然成立． 0<a <b 时，显然(12)a >(13)b . b <a <0时，显然(12)a <(13)b .综上可知：①②⑤可能成立，③④不可能成立．17．是否存在实数a ，使函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0且a ≠1)在[－1,1]上的最大值是14?答案 a ＝3或a ＝13解析 令t ＝a x ，则y ＝t 2＋2t －1. (1)当a >1时，∵x ∈[－1,1]， ∴a x ∈[1a ，a ]，即t ∈[1a ，a ]．∴y ＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2在[1a ，a ]上是增函数(对称轴t ＝－1<1a )．∴当t ＝a 时，y max ＝(a ＋1)2－2＝14. ∴a ＝3或a ＝－5.∵a >1，∴a ＝3. (2)当0<a <1时，t ∈[a ，1a ]．∵y ＝(t ＋1)2－2在[a ，1a ]上是增函数， ∴y max ＝(1a ＋1)2－2＝14.∴a ＝13或a ＝－15.∵0<a <1，∴a ＝13. 综上，a ＝3或a ＝13. 18．已知函数f (x )＝－2x2x ＋1.(1)用定义证明函数f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数； (2)若x ∈[1,2]，求函数f (x )的值域；(3)若g (x )＝a2＋f (x )，且当x ∈[1,2]时g (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围．解析 (1)设x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝∴f (x 1)－f (x 2)>0即f (x 1)>f (x 2)． ∴f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数． (2)∵f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数， ∴f (x )的值域为[－45，－23]．(3)当x ∈[1,2]时，g (x )∈[a 2－45，a 2－23]． ∵g (x )≥0在x ∈[1,2]上恒成立， ∴a 2－45≥0，∴a ≥85. 19．已知f (x )＝aa 2－1(a x －a －x )(a >0且a ≠1)．(1)判断f(x)的奇偶性；(2)讨论f(x)的单调性；(3)当x∈[－1,1]时，f(x)≥b恒成立，求b的取值范围．答案(1)奇函数(2)在R上是增函数(3)(－∞，－1] 解析(1)函数定义域为R，关于原点对称．又因为f(－x)＝aa2－1(a－x－a x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(2)当a>1时，a2－1>0，y＝a x为增函数，y＝a－x为减函数，从而y＝a x－a－x 为增函数．所以f(x)为增函数．当0<a<1时，a2－1<0.y＝a x为减函数，y＝a－x为增函数，从而y＝a x－a－x为减函数．所以f(x)为增函数．故当a>0，且a≠1时，f(x)在定义域内单调递增．(3)由(2)知f(x)在R上是增函数，所以在区间[－1,1]上为增函数．所以f(－1)≤f(x)≤f(1)．所以f(x)min＝f(－1)＝aa2－1(a－1－a)＝aa2－1·1－a2a＝－1.所以要使f(x)≥b在[－1,1]上恒成立，则只需b≤－1.故b的取值范围是(－∞，－1]．1．函数y＝4－2x的定义域是() A．(0,2]B．(－∞，2]C．(2，＋∞) D．[1，＋∞)答案 B解析由4－2x≥0，得x≤2.2．(2010·重庆)函数y＝16－4x的值域是() A．[0，＋∞) B．[0,4]C ．[0,4)D ．(0,4)答案 C3．集合A ＝{(x ，y )|y ＝a }，集合B ＝{(x ，y )|y ＝b x ＋1，b >0，b ≠1}，若集合A ∩B 只有一个子集，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(1，＋∞)D ．R答案 B4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x －1，x >0，2－|x |＋1，x ≤0.若关于x 的方程f (x )＋2x －k ＝0有且只有两个不同的实根，则实数k 的取值范围为( )A ．(－1,2]B ．(－∞，1]∪(2，＋∞)C ．(0,1]D ．[1，＋∞)答案 A解析 在同一坐标系中作出y ＝f (x )和y ＝－2x ＋k 的图像，数形结合即可． 5．若0<a <1,0<b <1，且<1，则x 的取值范围是________．答案 (3,4)解析 log b (x －3)>0，∴0<x －3<1，∴3<x <4.6．若函数y ＝2－x ＋1＋m 的图像不经过第一象限，则m 的取值范围是________． 答案 m ≤－27．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x ≤1时，f (x )＝2x －1，则f (12)＋f (1)＋f (32)＋f (2)＋f (52)＝______.答案2解析 由题意知f (x )为奇函数且为周期函数，周期为2. ∴f (32)＝f (－12)＝－f (12)，f (52)＝f (12)，f (2)＝f (0)．∴所求为f (12)＋f (1)＝－1＋1＝ 2.8．已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )＞f (n )，则m ，n 的大小关系为________．答案 m ＜n 解析 ∵0＜5－12＜1，∴指数函数f (x )＝a x在定义域内为减函数，又由f (m )＞f (n )，∴结合图像得m ＜n .9．对于函数f (x )＝a －22x＋1(a ∈R )，是否存在实数a 使函数f (x )为奇函数？若存在求出a 的值，若不存在请说明理由．解析 若f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )． ∵a －22－x＋1＝－a ＋22x ＋1， ∴2a ＝22x ＋1＋22－x ＋1＝22x ＋1＋2·2x 1＋2x ＝2(1＋2x)2x ＋1＝2.∴a ＝1.10．函数f (x )＝lg 1＋2x ＋4x a3在x ∈(－∞，1]上有意义，求实数a 的取值范围．解析 由题意可知，x ≤1时，1＋2x ＋4x a3>0，即1＋2x ＋4x a >0.∴a >－[(14)x ＋(12)x ]在x ∈(－∞，1]上恒成立． ∵(14)x 、(12)x 均为减函数， ∴－[(14)x ＋(12)x ]为增函数． ∴当x ≤1时，－[(14)x ＋(12)x ]≤－34. ∴a 的取值范围为(－34，＋∞)．11．(2011·上海理)已知函数f (x )＝a ·2x ＋b ·3x ，其中a ，b 满足a ·b ≠0. (1)若a ·b >0，判断函数f (x )的单调性；(2)若a ·b <0，求f (x ＋1)>f (x )时的x 的取值范围． 解析 (1)当a >0，b >0时，任意x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，∴f (x 1)－f (x 2)<0，∴函数f (x )在R 上是增函数． 当a <0，b <0时，同理，函数f (x )在R 上是减函数． (2)f (x ＋1)－f (x )＝a ·2x ＋2b ·3x >0.当a <0，b >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x >－a 2b ，则x >log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b ；当a >0，b <0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x <－a 2b ，则x <log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b .。
2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业20
课时作业(二十)1．下列命题为真命题的是()A．角α＝kπ＋π3(k∈Z)是第一象限角B．若sinα＝sin π7，则α＝π7C．－300°角与60°角的终边相同D．若A＝{α|α＝2kπ，k∈Z}，B＝{α|α＝4kπ，k∈Z}，则A＝B答案 C2．与－463°终边相同的角的集合是() A．{α|α＝k·360°＋463°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°＋103°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋257°，k∈Z}D．{α|α＝k·360°－257°，k∈Z}答案 C解析显然当k＝－2时，k·360°＋257°＝－463°，故选C.3．若600°角的终边上有一点P(－4，a)，则a的值为() A．43B．－4 3C．±4 3 D. 3答案 B解析tan600°＝tan(360°＋240°)＝tan240°＝tan(180°＋60°)＝tan60°＝3＝a－4，∴a＝－4 3.4．sin 2·cos 3·tan 4的值() A．小于0 B．大于0C．等于0 D．不存在答案 A解析∵π2<2<3<π<4<3π2，∴sin2>0，cos3<0，tan4>0.∴sin2·cos3·tan4<0，∴选A.5．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是() A．2 B．2sin1C.2sin1D．sin2答案 C解析∵2R sin1＝2，∴R＝1sin1，l＝|α|R＝2sin1，故选C.6．在△ABC中，若sin A·cos B·tan C<0，则△ABC的形状是() A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定答案 B解析∵△ABC中每个角都在(0，π)内，∴sin A>0.∵sin A·cos B·tan C<0，∴cos B·tan C<0.若B，C同为锐角，则cos B·tan C>0.∴B，C中必定有一个钝角．∴△ABC是钝角三角形．故选B.7．已知点P(sin 3π4，cos3π4)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为()A.π4 B.3π4C.5π4 D.7π4答案 D解析由sin 3π4>0，cos3π4<0知角θ在第四象限，∵tanθ＝cos3π4sin3π4＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝7π4.8．(2013·临沂模拟)若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P(cos B－sin A，sin B－cos A)在() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案 B解析∵A、B是锐角△ABC的两个内角，∴A＋B>90°，即A>90°－B.∴sin A>sin(90°－B)＝cos B，cos A<cos(90°－B)＝sin B.∴cos B－sin A<0，sin B－cos A>0.∴点P在第二象限．故选B.9．下列三角函数值结果为正的是() A．cos100°B．sin700°C．tan(－2π3) D．sin(－9π4)答案 C解析100°为第二象限角，cos100°<0；700°＝2×360°－20°，为第四象限角，∴sin700°<0；－2π3为第三象限角，tan(－2π3)>0；－9π4＝－2π－π4为第四象限角．∴sin(－9π4)<0.10．若π4<θ<π2，则下列不等式成立的是()A．sinθ>cosθ>tanθB．cosθ>tanθ>sinθC．sinθ>tanθ>cosθD．tanθ>sinθ>cosθ答案 D解析∵π4<θ<π2，∴tanθ>1，sinθ－cosθ＝2sin(θ－π4)．∵π4<θ<π2，0<θ－π4<π4，∴sin(θ－π4)>0，∴sinθ>cosθ.11．给出四个命题①若α∈(0，π2)，则sinα<α；②若α为第一象限角，则sinα＋cosα>1；③若α、β为第一象限角且α>β，则sinα>sinβ；④cos2>0.以上命题为真命题的有________．答案①②12．若θ角的终边与8π5的终边相同，则在[0,2π]内终边与θ4角的终边相同的角是________．答案25π，910π，75π，1910π解析由已知θ＝2kπ＋8π5(k∈Z)．∴θ4＝kπ2＋2π5(k∈Z)．由0≤kπ2＋2π5≤2π，得－45≤k≤165.∵k∈Z，∴k＝0,1,2,3.∴θ4依次为25π，910π，75π，1910π.13．若角α的终边上有一点P(－4，a)，且sinα·cosα＝34，则a的值为________．答案－43或－43 3解析方法一依题意可知角α的终边在第三象限，点P(－4，a)在其终边上且sinα·cosα＝34，易得tanα＝3或33，则a＝－43或－433.方法二∵sinα·cosα＝34>0，∴sinα·cosα同号．∴角α在第三象限，即P(－4，a)在第三象限，∴a<0.根据三角函数的定义a16＋a2·－416＋a2＝34，解得a＝－43或a＝－43 3.14．如果θ是第二象限角，且cos θ2－sin θ2＝1－sinθ，那么θ2所在象限为第________象限．答案三解析∵cos θ2－sinθ2＝1－sinθ＝|cosθ2－sinθ2|，∴cos θ2≥sinθ2，∴2kπ－3π4≤θ2≤2kπ＋π4，k∈Z.又∵2kπ＋π2＜θ＜2kπ＋π，k∈Z，∴kπ＋π4＜θ2＜kπ＋π2，∴2kπ＋5π4＜θ2＜2kπ＋3π2.故θ2为第三象限角．15．若0<α<β<π2，则下列不等式正确的是________．①sinα＋sinβ<α＋β②α＋sinβ<sinα＋β③α·sinα<β·sinβ④β·sinα<α·sinβ答案①②③解析由已知得sinα<α，sinβ<β，0<sinα<sinβ，因此sinα＋sinβ<α＋β，即选项①正确．α·sinα<β·sinβ，即选项③正确．构造函数f(x)＝x－sin x(其中x>0)，则f′(x)＝1－cos x≥0，因此函数f(x)＝x－sin x在(0，＋∞)上是增函数，当0<α<β<π2时，有f(α)<f(β)，即α－sinα<β－sinβ，α＋sinβ<sinα＋β，选项②正确．对于选项D，当α＝π6，β＝π3时，β·sinα＝π6>π6·32＝α·sinβ，选项④不正确．16．扇形的中心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________．答案7＋439解析设内切圆的半径为r，扇形半径为R，则(R－r)sin60°＝r.∴R＝(1＋23)r.∴S扇形S圆＝12·2π3R2πr2＝13(Rr)2＝13(1＋23)2＝7＋439.17．(教材习题改编)若α的终边落在x＋y＝0上，求出在[－360°，360°]之间的所有角α.答案 －225°，－45°，135°，315°解析 若角α终边落在Ⅱ象限，∴{α|α＝3π4＋2k π，k ∈Z }． 若角α的终边落在Ⅳ象限内，∴{α|α＝7π4＋2k π，k ∈Z }． ∴α终边落在x ＋y ＝0上角的集合为{α|α＝3π4＋2k π，k ∈Z }∪{α|α＝7π4＋2k π，k ∈Z } ＝{α|α＝3π4＋k π，k ∈Z }．令－360°≤135°＋k ·180°≤360°，∴k ＝{－2，－1,0,1}． ∴相应的角－225°，－45°，135°，315°.18．在直角坐标系xOy 中，若角α的始边为x 轴的非负半轴，终边为射线l ：y ＝22x (x ≥0)．求sin(α＋π6)的值．答案1＋266解析 由射线l 的方程为y ＝22x ，可得sin α＝223，cos α＝13. 故sin(α＋π6)＝223×32＋13×12＝1＋266.1．已知θ是第一象限的角，且|sin θ2|＝－sin θ2，则θ2是 ( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案 C解析 θ是第一象限的角，∴2k π<θ <π2＋2k π(k ∈Z )． ∴k π<θ2<π4＋k π(k ∈Z )．当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π<θ2<π4＋2n π(n ∈Z )，θ2是第一象限的角；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时， π＋2n π<θ2<5π4＋2n π(n ∈Z )，θ2是第三象限的角； 又⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2＝－sin θ2，所以sin θ2≤0. 在θ2是第一象限角和第三象限角中只有第三象限角满足sin θ2≤0.故选C. 2．已知－360°≤β＜0°且β与α＝70°的终边关于直线y ＝x 对称，则β＝________.答案 －340°3．已知tan θ<0，且角θ终边上一点为(－1，y )，且cos θ＝－12，则y ＝________. 答案3解析 ∵cos θ＝－12<0，tan θ<0， ∴θ为第二象限角，则y >0. ∴由－11＋y 2＝－12，得y ＝ 3. 4．表盘上零点时，时针与分针重合，再次重合时时针和分针各转过了多少弧度？答案 分针转过了－24π11弧度，时针转过了－2π11弧度 解析 设经过t 小时两针再重合，∵分针每小时转－2π弧度，时针每小时转－π6弧度， ∴－π6t －2π＝－2πt ，解得t ＝1211.∴分针转过了－24π11弧度，时针转过了－2π11弧度．5．已知角α的顶点在原点，始边为x 轴的非负半轴．若角α终边经过点P (－3，y )，且sin α＝34y (y ≠0)，试判断角α所在的象限，并求cos α和tan α的值． 解析 依题意，P 到原点O 的距离为|PO |＝(－3)2＋y 2， ∴sin α＝y r ＝y 3＋y 2＝34y .∵y ≠0，∴9＋3y 2＝16，∴y 2＝73，y ＝±213. ∴点P 在第二或第三象限．当P 在第二象限时，y ＝213，cos α＝x r ＝－34，tan α＝－73.当P 在第三象限时，y ＝－213，cos α＝x r ＝－34，tan α＝736．点P 为圆x 2＋y 2＝4与x 轴正半轴的交点，将点P 沿圆周顺时针旋转至点P ′，当转过的弧长为2π3时，求点P ′的坐标．答案 P ′(1，－3)解析 点P 所转过的角POP ′的弧度数为α＝－2π32＝－π3.又|OP ′|＝2， ∴点P ′的横坐标x ＝2· cos(－π3)＝1，纵坐标y ＝2·sin(－π3)＝－3，∴P ′(1，－3)．7．(1)如果点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，试判断角θ所在的象限． (2)若θ是第二象限角，试判断sin (cos θ)cos (sin2θ)的符号是什么？思路 (1)由点P 所在的象限，可知sin θ、cos θ的符号，进而判断θ所在的象限．(2)由θ可判断cos θ，sin2θ的范围，把cos θ，sin2θ看作一个角，再判断sin(cos θ)，cos(sin2θ)的符号．解析 (1)因为点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限， 所以sin θcos θ<0,2cos θ<0，即⎩⎨⎧sin θ>0，cos θ<0.所以θ为第二象限角． (2)∵2k π＋π2<θ<2k π＋π(k ∈Z )，∴－1<cos θ<0,4k π＋π<2θ<4k π＋2π，－1≤sin2θ<0. ∴sin(cos θ)<0，cos(sin2θ)>0.sin c osθcos s in2θ<0.∴sin c osθcos s in2θ的符号是负号．∴。
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课时作业(二十一)1．下列各数中与sin2 013°的值最接近的是()A.12 B.32C．－12D．－32答案 C解析 2 013°＝5×360°＋180°＋33°，∴sin2 013°＝－sin33°和－sin30°接近，选C.2．tan240°＋sin(－420°)的值为()A．－332B．－32C.32 D.332答案 C3．已知sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，则sinα·cosα等于()A.25B．－25C.25或－25D．－15答案 B解析由已知sinα＝－2cosα，∴sinα·cosα＝sinα·cosαsin2α＋cos2α＝－2cos2α5cos2α＝－25.4．已知A＝sin(kπ＋α)sinα＋cos(kπ＋α)cosα(k∈Z)，则A的值构成的集合是()A．{1，－1,2，－2} B．{－1,1} C．{2，－2} D．{1，－1,0,2，－2} 答案 C解析当k为偶数时，A＝sinαsinα＋cosαcosα＝2；k为奇数时，A＝－sinαsinα－cosαcosα＝－2.5．(tan x＋1tan x)cos2x＝()A．tan x B．sin xC．cos x D.1 tan x答案 D解析(tan x＋1tan x)cos2x＝sin2x＋cos2xsin x cos x·cos2x＝cos xsin x＝1tan x.故选D.6．已知f(cos x)＝cos2x，则f(sin15°)的值等于()A.12B．－12C.32D．－32答案 D解析f(sin15°)＝f(cos75°)＝cos150°＝－32.故选D.7．若cosθ1＋tan2θ＋sinθ1＋tan2(π2－θ)＝－1，则θ是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案 C解析∵tan(π2－θ)＝sin(π2－θ)cos(π2－θ)＝cosθsinθ，∴cosθ1＋tan2θ＋sinθ1＋tan2(π2－θ)＝cosθ1＋sin2θcos2θ＋sinθ1＋cos2θsin2θ＝－1，化简，得cosθ|cosθ|＋sinθ|sinθ|＝－1.∵cos2θ＋sin2θ＝1，∴－cos2θ－sin2θ＝－1.∴|cosθ|＝－cosθ，|sinθ|＝－sinθ.∴cosθ<0，sinθ<0.故选C.8．tan(5π＋α)＝m，则sin(α－3π)＋cos(π－α)sin(－α)－cos(π＋a)的值为()A.m＋1m－1B.m－1m＋1C．－1 D．1 答案 A解析∵tan(5π＋α)＝m，∴tanα＝m.原式＝－sinα－cosα－sinα＋cosα＝sinα＋cosαsinα－cosα＝m＋1m－1，∴选A.9．(2011·福建)若tanα＝3，则sin2αcos2α的值等于()A．2 B．3 C．4 D．6 答案 D解析sin2αcos2α＝2sinαcosαcos2α＝2tanα＝2×3＝6，故选D.10．A为△ABC的内角，且sin2A＝－35，则cos(A＋π4)等于()A.255B．－255C.55D．－55答案 B解析cos2(A＋π4)＝[22(cos A－sin A)]2＝12(1－sin2A)＝45.又cos A<0，sin A>0，∴cos A－sin A<0.∴cos(A＋π4)＝－255.11.1＋2sin(π－3)cos(π＋3)化简的结果是() A．sin3－cos3 B．cos3－sin3C．±(sin3－cos3) D．以上都不对答案 A解析sin(π－3)＝sin3，cos(π＋3)＝－cos3，∴1－2sin3·cos3＝(sin3－cos3)2＝|sin3－cos3|. ∵π2<3<π，∴sin3>0，cos3<0. ∴原式＝sin3－cos3，选A.12．已知sin θ＝55，则sin 4θ－cos 4θ的值为________． 答案 －35解析 由sin θ＝55，可得cos 2θ＝1－sin 2θ＝45，所以sin 4θ－cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)(sin 2θ－cos 2θ)＝sin 2θ－cos 2θ＝15－45＝－35.13．已知α是第四象限角，tan(π－α)＝512，则sin α等于______． 答案 －513解析 由诱导公式，可得tan(π－α)＝－tan α. ∴tan α＝－512.∴sin αcos α＝－512.又∵sin 2α＋cos 2α＝1，α是第四象限角， ∴sin α＝－513.14．已知α∈(π2，π)，sin α＝55，则tan2α＝________. 答案 －43解析 依题意得cos α＝－1－sin 2α＝－255，tan α＝sin αcos α＝－12，tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－11－(－12)2＝－43. 15．已知△ABC 中，tan A ＝－512，则cos A 等于________． 答案 －1213解析 在△ABC 中，由tan A ＝－512<0，可知∠A 为钝角，所以cos A <0,1＋tan 2A＝sin 2A ＋cos 2A cos 2A ＝1cos 2A ＝169144，所以cos A ＝－1213.16．若tan α＋1tan α＝3，则sin αcos α＝________，tan 2α＋1tan 2α＝________. 答案 13；7解析 ∵tan α＋1tan α＝3，∴sin αcos α＋cos αsin α＝3. 即sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝3.∴sin αcos α＝13.又tan 2α＋1tan 2α＝(tan α＋1tan α)2－2tan α1tan α＝9－2＝7. 17．化简sin 6α＋cos 6α＋3sin 2αcos 2α的结果是________． 答案 1解析 sin 6α＋cos 6α＋3sin 2αcos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 4α－sin 2αcos 2α＋cos 4α)＋3sin 2αcos 2α＝sin 4α＋2sin 2αcos 2α＋cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)2＝1.18．若α满足sin α－2cos αsin α＋3cos α＝2，则sin α·cos α的值等于______．答案 －86519．已知sin(π＋α)＝－13.计算：(1)cos(α－3π2)；(2)sin(π2＋α)；(3)tan(5π－α)． 答案 (1)－13(2)sin(π2＋α)＝⎩⎪⎨⎪⎧223(α为第一象限角)，－223(α为第二象限角)(3)tan(5π－α)＝⎩⎪⎨⎪⎧－24(α为第一象限角)，24(α为第二象限角)解析 sin(π＋α)＝－sin α＝－13，∴sin α＝13.(1)cos(α－3π2)＝cos(3π2－α)＝－sin α＝－13. (2)sin(π2＋α)＝cos α，cos 2α＝1－sin 2α＝1－19＝89. ∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角． ①当α为第一象限角时，sin(π2＋α)＝cos α＝223. ②当α为第二象限角时，sin(π2＋α)＝cos α＝－223. (3)tan(5π－α)＝tan(π－α)＝－tan α， ∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角． ①当α为第一象限角时，cos α＝223， ∴tan α＝24.∴tan(5π－α)＝－tan α＝－24.②当α为第二象限角时，cos α＝－223，tan α＝－24， ∴tan(5π－α)＝－tan α＝24.20．已知0<α<π2，若cos α－sin α＝－55，试求2sin αcos α－cos α＋11－tan α的值．解析 ∵cos α－sin α＝－55，∴1－2sin αcos α＝15. ∴2sin αcos α＝45.∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋45＝95. ∵0<α<π2，∴sin α＋cos α＝35 5. 与cos α－sin α＝－55联立，解得 cos α＝55，sin α＝25 5.∴tan α＝2.∴2sin αcos α－cos α＋11－tan α＝45－55＋11－2＝55－95.1．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α的值为( )A.103 B.53 C.23 D ．－2答案 A解析 3sin α＝－cos α⇒tan α＝－13.1cos 2α＋sin2α＝cos 2α＋sin 2αcos 2α＋2sin αcos α＝1＋tan 2α1＋2tan α＝1＋191－23＝103.2．已知2tan α·sin α＝3，－π2<α<0，则cos(α－π6)的值是 ( )A ．0 B.32 C ．1 D.12答案 A解析 依题意得2sin 2αcos α＝3，即2cos 2α＋3cos α－2＝0，解得cos α＝12或cos α＝－2(舍去)．又－π2<α<0，因此α＝－π3，故cos(α－π6)＝cos(－π3－π6)＝cos π2＝0.点评 学生想不到将α的值求出来，然后再代入求值．总想对cos(α－π6)用诱导公式，从而使思维受阻．3．已知α是第二象限的角，tan α＝－12，则cos α＝________. 答案 －255解析 由α是第二象限的角且tan α＝－12，得cos α＝－11＋tan 2α＝－255.4.1－2sin10°·cos10°sin10°－1－sin 210°＝________.答案 －1解析 ∵0°<10°<45°， ∴原式＝|sin10°－cos10°|sin10°－cos10°＝cos10°－sin10°sin10°－cos10°＝－1.5．已知cos(5π12＋α)＝13，且－π<α<－π2，则cos(π12－α)＝________. 答案 －223解析 cos(π12－α)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－(5π12＋α)＝sin(5π12＋α)．又－π<α<－π2，∴－712π<5π12＋α<－π12.∴sin(512π＋α)＝－223，∴cos(π12－α)＝－223.错因分析 ①忽略角的范围的分析．②没有观察到5π12＋α与π12－α的关系．事实上，(5π12＋α)＋(π12－α)＝π2.6．(2013·山东青岛调研)若sin(π＋α)＝12，α∈(－π2，0)，则tan α＝________. 答案 －33解析 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝12， ∴sin α＝－12.又α∈(－π2，0)， ∴α＝－π6，tan α＝tan(－π6)＝－33.7．若θ∈(π4，π2)，sin2θ＝116，则cos θ－sin θ的值是________． 答案 －154解析(cosθ－sinθ)2＝1－sin2θ＝15 16.∵π4<θ<π2，∴cosθ<sinθ.∴cosθ－sinθ＝－154.8．已知sin(π4－x)＝35，则sin2x的值为________．答案7 25解析sin2x＝cos2(π4－x)＝1－2sin2(π4－x)＝725.。