人寿保险的数学模型
第二章人寿保险的精算现值
2020年4月23日星期四
人身保险是以人的寿命和身体为保险标的的保险。
人寿保险是人身保险的一种。
人寿保险转嫁的是被保险人的生存或者死亡的风险 。它起源于古代的互助团体，其原理是通过集合具 有同质风险的大量被保险人，通过在这些被保险人 之间进行风险分散——即由所有的被保险人共同出 资给遭遇风险的少数被保险人——来达到降低突发 风险事故对遭遇风险事故的个体造成的财务冲击。
2020/4/23
第二章 人寿保险的精算现值
• 解 : 设 Zj 表示第 j 个被保险人的死亡给付在投保时的现值随机变量 , 则
勇于开始，才能找到成 功的路
2020/4/23
第二章 人寿保险的精算现值
设该项基金在最初时的数额至少是 h 元 , 依题意 , 则
勇于开始，才能找到成 功的路
即该项基金在最初时的数额至少要有 449.35 元 , 比所收取的 建缴纯保费建立的初始基金 400(=100 × 4) 元多出 49.35 元 , 即超过歪缴纯保费基金的 12.34% 。这说明 , 最初基 金 需有风险附加费 ( 即安全附加费 ) 的存在 , 即该基金超过保费 总额的那部分 (49.35 元 ) 是 安全附加基金。
1. 按算术数列续年递增的终身寿险 按算术数列{n} 续年递增的连续型的终身寿险 , 可分
称现值函数随机变量Z的数学期望为保险的精算现值，也是趸缴纯保费额
于是
2020/4/23
第二章 人寿保险的精算现值
则连续型的保险金额为 1 个单位的 n 年定期寿险
现值随机变量 ZT 的方差是
勇于开始，才能找到成 功的路
2020/4/23
第二章 人寿保险的精算现值
中国寿险业资产负债管理模式研究及其数学模型
收稿日期:2002-05-08作者简介:李秀芳(1966.01-),女,天津南开大学风险管理与保险学系副教授,副系主任,经济学博士,精算师。
李 静(1966.06-),男,天津南开大学数学学院讲师,在读博士。
①定义:M2=∑(t-D)2e-rt A t=C-D2,当所有的现金流都非负时,M2非负。
由定义可知,d D=-M2且 d1M2=-lA∑(t-D)3e-rt At。
其中C为持续期,D为凸度。
2002年第7期(总265期)金 融 研 究Journal of Financial ResearchN o.7,2002G eneral N o.265中国寿险业资产负债管理模式研究及其数学模型李秀芳 李 静(南开大学,天津 300071) 摘 要:资产负债管理是寿险企业风险管理的有效方法。
本文首先对寿险领域的资产负债管理技术的数学模型进行了扩展,在研究中国寿险业经营的内、外部环境的基础上,根据资产主导的和负债主导的资产负债管理模式的特点,提出了中国寿险业资产负债管理的最佳模式,并推导出资产主导的资产负债管理技术的数学模型。
关键词:寿险;资产负债管理;资产主导;负债主导中图分类号:F840.62 文献标识码:A 文章编号:1002-7246(2002)07-0059-10一、寿险业资产负债管理技术的研究与推广通过谨慎地协调资产和负债管理,金融机构可以获得经营的稳健性和盈利性,这种协调就被称为资产负债管理,简写为A LM。
资产负债管理技术虽然利用了不同的数学模型和分析方法,但指导理想都是一致的,即实现金融机构资产现金流与负债现金流的匹配。
虽然这些技术都可以用于寿险业,但是由于寿险公司的负债具有特殊性,使寿险业在使用资产负债管理技术方面与其它机构表现出不同的需求。
这里讨论的是比较适用于寿险领域的一些主要的技术,并在前人研究的基础上对某些技术进行了一定的推广。
一般的资产负债匹配和最优化都是通过线性规划实现的,通常可以表示为:・当资产现金流满足负债现金流的情况下选择成本最低的投资组合;・当资产现金流持续期与负债现金流持续期相匹配时选择最低成本的投资;・当资产的现值等于负债的现值且资产持续期等于负债持续期时,选择使资产与负债之间差异的风险M2最小的投资组合。
第二章人寿保险的精算现值
100 j1
j 1,2,,100
100 j1
从而可得EZ EZ j 400， VarZ VarZ j 900
• 第二章 人寿保险的精算现值 12
设该项基金在最初时的数额至少是 h 元 , 依题意 , 则
ZE Z h E Z 0 P .95 , r Z Var Z Var h400 近似服从于标准正态分 布，则 1 .645 30 故 h400 30 1 .645 449.35( 元 )
2 T 2 2 1 x :n
1 2 x :n
对于投保连续型的保险 金额为 1 个单位的终身寿险， 其趸缴纯保费是 A t)t pxuxtdt x v t pxuxtdt exp(t 0 0
• 第二章 人寿保险的精算现值 7
记A t)t pxuxtdt x exp(-2
t h h 2 n 0 2
2 记 tt px uxtdt h A x exp
Zh A 其现值随机变量 Z 的方差是 Var x hA x
• 第二章 人寿保险的精算现值
2
15
表示连续型的保险金额为 1 个单位的延期 h 年的 n 年期定期寿险和延期 h 年的 n 年期两全保险的趸缴 纯保费分别为
• 第二章 人寿保险的精算1 , t n v , T n t b ,v v , t 0 ,Z t t T 0 , t n 0 , T n
对于 (x) 投保连续型的保险金额为 1 单位的 n 年期定期寿 险 , 其有关函数是
•
第二章 人寿保险的精算现值
人寿保险的精算现值趸缴纯保
第二章：人寿保险的精算现值（趸缴纯保费）
教学要求：
掌握各类寿险的保险金给付模型的建立方法。
掌握各类寿险的趸缴纯保费的计算。
掌握寿险的精算现值（趸缴纯保费）的定义。
** 寿险定价的基础 ***
0
第一节 离散型人寿保险模型
** 讨论保额固定的离散型人寿保险 ***
0
?1nn源自n0mm+n
0 n n-1 n-2 …………….. 2 1
1 1…...1 1…...1……1 1…...1……1……1 ……………………………………………... 1…...1……1……1……1………… 1……1
第五节 递推公式与换算函数
t
t
s
S=t
（2）
0 1 2 3 4 5 6……………….. 1 1 1………1………1………1….. 1 1 …… ..1………1………1….. 1………1………1………1….. ……… 1………1…… 1….. 1………1 . . 1
n
01
02
03
0
m
m+n
第二节 连续型人寿保险模型
** 讨论保额固定的连续型人寿保险 ***
第三节 连续模型与离散模型的精算现值的关系
在保险实务中，使用的是死亡即付的连续 模型，而死亡年末付的离散模型的计算更容易 和简便，以下讨论转换关系。
第四节 保额递增、递减型人寿保险
递推公式（讨论不同投保年龄的趸缴纯保费 的关系）
其它递推公式
二、换算函数（符号）
THANKS
社会保险精算原理第二章 人寿和年金保险
将来法和过去法
30
责任准备金以将来法计算，是未来给付精算现 值与未来净保费精算现值之差。对不同保单， 根据契约规定的保险责任、保险金额和保费缴 付方式，可以分别计算出计算时点的未来给付 精算现值和未来净保费精算现值。t年末的责任 准备金以tV表示。
过去法责任准备金是过去净保费的累积与过去 保险金累积之差。
社会保险精算原理第二章 人寿和年金保险 作者
终身寿险
6
在上式中，两边同乘以生命表x岁的存活人数lx
lxAx k1dxk k0
等式表明，lx个x岁的人投保终身寿险的趸缴净 保费总额正好满足按生命表死亡规律在死亡年 末ຫໍສະໝຸດ 单位的赔付。定期寿险7
对(x)的1单位赔付n年定期寿险，其现值随机变 量为：
以nEx表示1单位元n年纯粹生存保险现值：
nEx n n px
2.2.1纯粹的生存保险
21
与在复利下的现值系数νt和累积系数(1+i)t的作 用类似，nEx是在利率和生者利下n年的折现系 数， 1/ nEx为在利率和生者利下n年的累积系数。
1/nEx1/nnpx(1i)nlxl xn
它是利率累积因子（1+i）n与生存累积因子之 积。
2.2.2年付一次生存年金的精算现值
22
生存年金是以生存为条件发生的年金。如果被 保险人在规定的时期内存活，则发生年金的收 付，否则，停止收付。年金保险中，在保险期 内年金的发放以被保险人存活为条件。长期寿 险的缴费通常也采取生存年金的方式，在被保 险人生存期内缴付保费，被保险人死亡，则停 止缴费。生存年金有终身年金、定期年金、延 期年金几种基本类型，由首次支付的起点不同 分为期首付年金和期末付年金。
νK+1 k=0,1,2,……n-1
我国各省市人寿保险保费收入的多元线性回归模型 大学毕业设计
应用数理统计（论文）我国各省市人寿保险保费收入的多元线性回归模型摘要我国保险主要由人寿保险和财产保险组成。
1980年保险业全面恢复时，寿险保费收入几乎为零，到1997年寿险保费收入首次超过非寿险保费收入后，在保险业已处于主导地位，并且这一趋势将继续下去。
本文采用2011年全国各省市自治区人寿险业务保费收入为因变量，选取6个影响我国寿险保费收入的因素为因变量，并对其进行多元线性回归分析，求出最优回归方程。
关键词：寿险保费收入；多元线性回归分析；SPSS1 引言人寿保险是人身保险的一种。
和所有保险业务一样，被保险人将风险转嫁给保险人，接受保险人的条款并支付保险费。
与其他保险不同的是，人寿保险转嫁的是被保险人的生存或者死亡的风险。
当被保险人的生命发生了保险事故时，由保险人支付保险金。
最初的人寿保险是为了保障由于不可预测的死亡所可能造成的经济负担，后来，人寿保险中引进了储蓄的成分，所以对在保险期满时仍然生存的人，保险公司也会给付约定的保险金。
人寿保险是一种社会保障制度，是以人的生命身体为保险对象的保险业务。
对于每一个人来说，死亡、年老、伤残、疾病等都是生活中的危险，我们叫做人身危险。
从整个社会来看，总会有一些人发生意外伤害事故，总会有一些人患病，各种危险随时在威胁着人们的生命，所以我们必须采用一种对付人身危险的方法，即对发生人身危险的人及其家庭在经济上给予一定的物质帮助，人寿保险就属于这种方法。
它的特点是通过订立保险合同、支付保险费、对参加保险的人提供保障，以便增强抵御风险的能力，编制家庭理财计划，为您和您的家庭构筑心理的防线，构造爱的世界，创造美好未来。
人寿保险是为千家万户送温暖的高尚事业，人寿保险作为一种兼有保险、储蓄双重功能的投资手段，越来越被人们所理解、接受和钟爱。
人寿保险可以为人们解决养老、医疗、意外伤害等各类风险的保障问题，人们可在年轻时为年老做准备，今天为明天做准备，上一代人为下一代人做准备。
变参数随机利率下的半连续寿险精算模型
1
现值，即 P(Axn )E(Y0)=E(S0)，由此可以得
Σ 乙e f(t)dt n-1 k+1
-δk
t+
1 2
2
βk t
Σ 1
1
k=0 k
P(A )=A /覿 = xn
xn x:n
n-1
-δk k+
1 2
2
βk k
e px xx
k=0
（13）
保单年度内，死亡均匀分布时可以得
Σ e-δ + 1 -β1 e p q 1
[T]=m k = 0
k=0
= Σ e p n-m-1
(-δk
+
1 2
2
βk )k
k x+m
k=0
（10）
2
2
E(Ym )=EWt ET(Ym )
n-1 [T]-m
n-1
ΣΣ Σ =EWt (
e ) p q +( -yk (k) 2 [T]-m x+m x+[T]
e ) p ) -yk (k) 2 n-m x+m
Σ Σ 1
n-m-1
(-δk
+
1 2
2
βk )
(-δk
k=-
1 2
2
βk )k
V(A )= e -1 e p q -P(A ) m
xn
2
1 k = 0
-δ + 2 β k
k
x x+m x+m+k
n-m-1 1
xn k=0
e p (-δk
-
1 2
2
βk )k
x x+m
人寿保险的精算模型及应用
人寿保险的精算模型及应用人寿保险的精算模型及应用人寿保险精算模型是保险公司用来评估和管理风险的工具，它帮助保险公司确定保险费率、保单赔付金额以及其他相关事项。
下面将介绍人寿保险精算模型的应用步骤。
第一步：数据收集人寿保险精算模型的建立需要大量的数据支持。
保险公司会收集各类与保险相关的数据，包括被保险人的年龄、性别、健康状况、职业等信息，以及历史的理赔数据和保单数据。
这些数据将作为模型的输入，用于进行风险评估和预测。
第二步：建立概率模型在收集到数据后，保险公司会使用概率模型来计算不同风险事件的概率。
这些事件可以包括被保险人的死亡、疾病或意外事故等。
概率模型通常使用各类统计方法和数学公式来估计事件发生的概率，以及事件发生后的理赔金额。
第三步：模型验证与调整建立概率模型后，保险公司会使用历史数据对模型进行验证。
他们会将模型预测的结果与实际情况进行比较，评估模型的准确性和可靠性。
如果发现模型存在偏差或误差，保险公司会进行相应的调整和改进，以提高模型的预测能力。
第四步：风险评估与定价通过建立概率模型，保险公司可以对不同风险事件的概率进行评估，并据此确定保险费率和理赔金额。
根据模型预测的结果，保险公司可以制定具有竞争力的保险产品，并确保公司在面临风险时能够获得适当的收益。
第五步：风险管理和监控人寿保险精算模型的应用不仅用于确定保险费率和理赔金额，也用于风险管理和监控。
保险公司可以使用模型来评估和监控风险的变化，及时采取相应的措施进行风险管理。
模型还可以帮助保险公司确定资本需求和盈利能力，以支持公司的可持续发展。
总结：人寿保险精算模型是保险公司进行风险评估和管理的重要工具。
通过数据收集、建立概率模型、模型验证与调整、风险评估与定价以及风险管理和监控这一系列步骤，保险公司可以更好地理解和管理风险，同时提供具有竞争力的保险产品。
保险精算模型的应用对于保险行业的可持续发展至关重要。
几种不同寿险精算模型下均衡纯保费的探究
几种不同寿险精算模型下均衡纯保费的探究寿险精算模型是用于评估和估算寿险风险的数学模型。
它们帮助寿险公司确定保险费率，并提供保险契约的计算方法。
本文将探讨几种不同的寿险精算模型，并研究在这些模型下均衡纯保费的计算方法。
我们先介绍最简单的寿险精算模型——终身寿险模型。
在这种模型下，纯保费是根据投保人的预期寿命和保额确定的。
简单来说，纯保费等于预期死亡风险的估算值。
为了计算纯保费，我们需要使用死亡率表和利率曲线。
死亡率表提供了不同年龄组投保人的平均死亡率，而利率曲线则用于计算现值。
通过将不同年龄组的死亡率和预期未来现金流折现到当前时点，我们可以得到纯保费的估计。
终身寿险模型仅仅考虑了投保人的死亡风险，而没有考虑其他可能的风险因素，比如重大疾病、意外伤害等风险。
为了更全面地估计保险费率，可以采用更复杂的精算模型，比如统计寿险模型。
统计寿险模型考虑了投保人的风险因素分布，并从中提取出保险费率。
这种模型使用的是统计数据和概率分布函数，以确定一个人在给定条件下的风险等级。
然后，利用贝叶斯公式将这些条件风险等级转化为纯保费。
统计寿险模型要求大量的数据和精确的概率分布函数，以便计算精确的纯保费。
尽管有这些限制，但统计寿险模型比终身寿险模型更准确，并且可以用于多种不同的寿险产品。
除了终身寿险和统计寿险模型，还有一种常用的寿险精算模型是经济资本模型。
经济资本模型是用于评估寿险公司的风险承受能力和资本需求的工具。
在这种模型下，均衡纯保费是通过平衡保险公司的风险和利润来确定的。
为了计算均衡纯保费，需要考虑投保人的风险特征以及寿险公司的利润目标和资本需求。
经济资本模型是一种复杂的模型，需要大量的数据和计算能力，但它提供了保险公司资本管理和经济决策的重要工具。
不同的寿险精算模型提供了不同的方法来计算均衡纯保费。
终身寿险模型只考虑了投保人的死亡风险，而统计寿险模型考虑了投保人的风险因素分布。
经济资本模型则同时考虑了投保人的风险和寿险公司的资本需求。
人寿保险的数学模型
东北大学秦皇岛分校数学模型课程设计报告经理人的人寿保险模型院系数学与统计学院专业信息与计算科学学号姓名指导教师张尚国姜玉山成绩教师评语：指导教师签字：2012年7月11日摘 要本文通过对数据的观察，并绘出其散点图，推测经理的人寿保险额只与其年均收入和风险偏好度之间分别存在着二次效应和线性效应。
在采用混合回归模型建立起了经理的人寿保险额与其年均收入和风险偏好度之间的函数关系式，利用 MATLAB 软件的统计工具箱中的regress 求解，结合题中所给数据对各参数的值与其置信区间进行了估计，并进行残差分析和数据剔除，以达到模型优化。
在基本模型的基础上，扩展改进了风险偏好二次效应的模型和交互效应模型，在通过求解分析检验，得出风险偏好度对人寿保险金额不具有二次效应，两个变量一定程度上有交互效应。
但综合比较之后，可以看出，最优的模型是20112231Y x x +x ββββε=+++。
本模型通过已知的统计数据，最终得出了极为近似的函数关系，其基本思想可以推广到其他同类的问题上。
关键词： 回归分析 残差分析 保险 MATLAB1 问题引入1.1 问题题目课程设计的具体问题描述。
下表列出了某城市18位35～44岁经历的年平均收入X 1(千元)，风险偏好度X 2和人寿保险Y(千元)的数据，其中风险偏好度是根据发给每个经历的问卷调查表。
综合评估得到的，它的数值越大，就越偏爱高风险。
研究人员想研究此年龄段中的经理所投保的人寿保险额与年平均收入及风险偏好度之间的关系。
研究者预计，经理的年平均收入和人寿保险额之间存在着二次关系，并有把握地认为风险偏好度对人寿保险额有线性效应，但对于风险偏好度对人寿保险额是否有二次效应以及两个自变量是否对人寿保险额有交互效应，心中没底。
请通过表中数据来建立一个合适的回归模型，验证上面的说法，并给出进一步分析。
请通过表中数据来建立一个合适的回归模型，验证上面的说法，并给出进一步分析。
序号 Y X1 X2 序号 Y X1 X2 1 196 66.290 7 10 49 37.408 5 2 63 40.964 5 11 105 54.376 2 3 252 72.996 10 12 98 46.186 7 48445.0106137746.13045 126 57.204 4 14 14 30.366 3 6 14 26.852 5 15 56 39.060 57 49 38.122 4 16 245 79.380 18 49 35.840 6 17 133 52.766 8 926675.79691813355.9166表1.11 统计的X1，X2和Y 的数据1.2 分析与假设根据我们平常的经验，我们容易做出如下判断：经理的人寿保险额应该随经理人的收入的提升而提高，与该经理人的风险偏好度有着直接的关系。
保险精算模型及应用研究
保险精算模型及应用研究随着科技的不断发展，保险业的行业竞争也越来越激烈，保险公司不断推出新的保险产品来吸引客户。
同时，为了降低业务风险和保障资本安全，保险公司对保险精算的研究也越来越重视。
什么是保险精算？保险精算，是指通过对一定时间内的保单赔付和收入的数据进行分析，来评估风险和赔偿金额等，并根据分析结果设计风险管理措施的一种数学方法。
在保险公司中，精算师的主要工作就是利用数学、统计学和金融学的知识来研究和应用保险精算模型，以预测未来的风险损失，制定保险产品费率，并辅助公司决策。
保险精算模型有哪些？1.均值方差模型均值方差模型是一种传统的数学方法，其核心思想是对数据进行均值和方差的统计分类，并通过核心均值和标准偏差等指标来描述风险状况，并对风险进行预测。
2.泊松回归模型泊松回归模型也是一种传统的保险精算模型，它通常用于评估脆弱的事件，例如失业或汽车事故等。
该模型可以估计一个事件的概率，并预测未来可能发生的时间和规模。
3.与时间有关的模型与时间有关的模型通常用于保险产品的年度调整和网络状况的跟踪。
该模型的主要作用是预测未来时间和储备，为公司提供3至5年的业务计划，指导决策和产品开发。
保险精算模型的应用1.风险评估保险精算模型最基本的应用就是通过对历史数据的分析，预估未来的风险和潜在的赔付金额。
通过这些数据，精算师们可以制定相应的投资策略，降低业务风险，提高公司的收益，保障公司的安全。
2.保险产品设计保险产品的设计需要考虑到客户的需求和保险公司的利润最大化，而保险精算和模型是设计保险产品的核心工具。
通过对不同的保险产品的费率计算和个性化的评估，可以设计出更适合客户需要的保险产品，并提高公司的市场竞争力。
3.产品定价和风险评估保险产品定价是保险公司关注的核心问题之一。
通过对不同的保险产品的费率计算和个性化的评估，保险公司可以根据不同的风险，制定相应的费率。
同时，保险公司还可以利用模型来预测未来的风险和损失，为公司提供参考信息，以便公司更好地制定业务计划。
数学建模保险模型
4
0.1152
（-0.1480 ，0.3784）
R2 =0.99965 F =7848.7 p =0
表 5.5 模型的第一次计算结果
存在第 14,第 16 个数据为异常值，剔除后继续计算，得出下表：
参数
参数估计值
参数置信区间
0
-60.73
（-69.8293 ，-51.6301）
1
1.048
（0.7070 ，1.3891）
七．附录
1.散点图 1.1 图 5.1 y 对 x1 的散点图 x1=[55.824,52.766,79.380,39.060,30.366,46.130,46.186,54.376,37.408,75 .796,35.840,66.290,26.852,57.204,40.964,72.996]; y=[132,133,245,56,14,77,98,105,49,266,49,196,14,126,63,252]; plot(x1,y,'*'); p=polyfit(x1,y,1); xi=[26:0.1:80]; z=polyval(p,xi); plot(x1,y,'k+',xi,z,'r')
2.模型求解 2.2 基本模型求解 y=[132,133,245,56,14,77,98,105,49,266,49,196,14,126,63,252];
8
x1=[55.824,52.766,79.380,39.060,30.366,46.130,46.186,54.376,37.408,75 .796,35.840,66.290,26.852,57.204,40.964,72.996]; x2=[6,8,1,5,3,4,7,2,5,9,6,7,5,4,5,10]; x3=(x2').^2; [b,bint,r,rint,stats]=regress(y',[ones(16,1),x1',x2',x3]); rcoplot(r,rint)
人身保险的数理基础
理赔流程与注意事项
理赔流程
理赔流程包括接案、立案、调查、审核、复核、审批、结案和归档等步骤。被保险人或受益人需提供完整的理赔 申请材料，并确保材料的真实性和准确性。保险公司会进行调查和审核，核实事故的真实性和责任归属，最后做 出赔付决定。
注意事项
在申请理赔时，被保险人或受益人需注意及时报案、提供完整材料、配合调查和确保材料的真实性。同时，还需 了解保险条款和免责条款，以避免因误解而产生纠纷。
01
法规监管
保险行业的法规监管也越来越严格，对 保险公司的合规经营提出了更高的要求。
02
03
客户需求多样化
不同客户对人身保险的需求和认知程 度不同，保险公司需要不断了解和满 足客户的个性化需求。
人身保险的未来发展趋势
数字化转型
随着数字化时代的到来，人身保险公司需要加快数字化转型的步伐， 提高运营效率和客户满意度。
03
人身保险的费率计算
纯保费计算
纯保费定义
纯保费是保险合同中规定的，用于在保险事 件发生时对被保险人进行经济补偿的金额。
纯保费计算方法
纯保费通常根据被保险人的年龄、性别、职业等因 素，以及所提供的保障内容、期限和特定的附加服 务来确定。
纯保费计算基础
纯保费计算的基础包括生命表、利率、附加 费用等，这些因素都会影响纯保费的计算结 果。
05
人身保险的赔付与理赔
赔付方式与流程
赔付方式
直接赔付和预付赔付是两种主要的赔付方式。直接赔付是指 保险公司直接将赔款支付给被保险人或受益人，而预付赔付 则是先垫付部分赔款以缓解被保险人的经济压力。
赔付流程
赔付流程通常包括报案、查勘定损、核定赔款和支付赔款等 步骤。被保险人或受益人需及时向保险公司报案，并提供相 关证明材料。保险公司会进行查勘定损，核定赔款金额，最 后支付赔款。风险对被保险人 的影响。
保险精算中的人寿保险的精算现值的模型
保险精算中的人寿保险的精算现值的模型一、人寿保险简介保险精算学主要分为两大类：一个是所谓的人寿保险（寿险精算），另一个是非人寿保险。
前者主要以人的寿命、身体或健康为“保险标的”的保险。
非人身保险主要包括：汽车保险、屋主保险、运输保险、责任保险、信用保险、保证保险等。
而这次我们主要讨论人寿保险。
狭义的人寿保险是以被保险人在保障期是否死亡作为保险标的的一种保险。
广义的人寿保险是以被保险人的寿命作为保险标的的一种保险。
它包括以保障期内被保险人死亡为标的的狭义寿险，也包括以保障期内被保险人生存为标底的生存保险和两全保险。
人寿保险的分类根据不同的标准，人寿保险有不同的分类：（1）以被保险人的受益金额是否恒定进行划分，可分为：定额受益保险，变额受益保险。
（2）以保障期是否有限进行划分，可分为：定期寿险和终身寿险。
（3）以保单签约日和保障期是否同时进行划分分为：非延期保险和延期保险。
（4）以保障标的进行划分，可分为：人寿保险（狭义）、生存保险和两全保险。
人寿保险的特点1：保障的长期性这使得从投保到赔付期间的投资收益（利息）成为不容忽视的因素。
2：保险赔付金额和赔付时间的不确定性人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保险人的生命状况。
被保险人的死亡时间是一个随机变量。
这就意味着保险公司的赔付额也是一个随机变量，它依赖于被保险人剩余寿命分布。
3：被保障人群的大多数性保险公司可以依靠概率统计的原理计算出平均赔付并可预测将来的风险。
人寿保险趸缴纯保费厘定的原理1、假定传统的人寿保险产品的趸缴纯保费是在如下假定下厘定的：假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保险人的剩余寿命独立同分布。
假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用经验生命表进行拟合。
假定三：保险公司可以预测将来的投资受益（即预定利率）。
2、原理保险公司在上面三个假定条件下，按照净均衡的原则来厘定趸缴纯保费的数额。
而趸缴纯保费是指在保单生效日一次性支付将来保险赔付金的期望现时值。
随机利率下的人寿保险精算模型
积累函数就是金额函数取k=1。
第n年的年利率为in，当n≥1时定义如下:
(2-3)
变形得， 递推，得，
(2-4)
170 现代商业 MODERN BUSINESS
广角 | Wide Angle
(2-5)
若假设in不变，即每年的年利率都相同，则令 i1=i2=...=in 将(2-6)带入(2-5)中，得 a(n)=(1+i)n
一、引言 (一)研究背景及意义
中国特色社会主义进入新时代，社会主要矛盾发生了变化， 人民的经济水平显著提高，需求变得更加多样化。比起2000—2010 年，近几年来保险行业发展显著，范围也更加广泛涉及各个领域如 寿险、养老、车险、航空意外险等。人们自身的投保意识也显著加 强。保监会数据显示，2017年原保险收入为36581.01亿元，同比增 长18.16%，而寿险业务原保险保费收入21455.57亿元，同比增长 23.01。
算的基础就是利息理论。
(一)利息的度量
1.积累函数。设t为从投资之日算起的时间，时间可以用不同
的单位来度量，把用来度量时间的单位称作“度量时期”或“时
期”。通常我们以一年作为度量单位。
投资1单位的本金，积累函数a(t)定义为在任意时刻t的积累值，
我们可以得到积累函数a(t)的三个特征：
(1)a(0)=1
二、人寿保险精算基础
通常可以把保险分为人寿保险和非人寿保险。与非人寿保险相
比，前者是以人的寿命、身体或健康为保险标的保险，因此可以直
接利用被保险人的生存规律和保险人的投资状况来研究。非寿险如
意外伤害保险为例，需要考虑意外事故是否发生，具有很大的的不
确定性。因此相比非寿险，人寿保险的可测性更强，而人寿保险精
数学建模第八次作业-第十章人寿保险问题.
《数学建模》作业论文（八）题目：（第十章）人寿保险问题学号：20100633 20100598 20100549姓名：张林任凯郭腾飞年级：数学与应用数学10级三班学院：信息与计算科学学院指导教师：沈菊红完成日期：2013年5月信息与计算科学学院人寿保险问题【摘要】：本文结合实际背景，经过对数据的观察并汇出其散点图推测经理的人寿保险额只与其年均收入和风险偏好度之间分别存在着二次效应和线性效应。
在采用混合回归模型建立起了经理的人寿保险额与其年均收入和风险偏好度之间的函数关系式，采用最小二乘法利用MATLAB软件的统计工具箱结合题中所给数据对各参数的值与其置信区间进行了估计，并很好的通过了回归的检验。
在通过对原模型进行改进的基础上，以一预测模型各参数的置信区间不应有零点作为该预测模型的可行的原则，验证了经理的年均收入和风险偏好度对其人寿保险额不存在交互效应。
人寿保险问题是一类统计回归模型问题，该模型是类随机模型，运用统计学的方法去解决现实中的类似问题。
此论文通过对现有调查数据的分析，并用MATLAB等数学软件画出相应的图形，找出数据间的相关关系（一次关系，二次关系等），建立相应的数学模型。
本文的独特之处就是建立多个模型，对每个模型进行分析解出结果，并分析回归得一较优的模型。
【关键词】：保险额风险偏好度回归系数置信区间统计回归方法目录一、问题重述........................................................................................ - 4 -二、基本假设........................................................................................ - 4 -三、符号说明........................................................................................ - 5 -四、问题分析： ................................................................................... - 5 -五、模型建立与求解 ........................................................................... - 5 -六、结果分析...................................................................................... - 14 -七、参考文献...................................................................................... - 14 -八、附录............................................................................................ - 14 -一、问题重述下表列出了某城市18位35岁~44岁经理的年平均收入（千元），风险偏好度和人寿保险额（千元）的数据，其中风险偏好度是根据发给每个经理的问卷调查表综合评估得到的，它的数值越大，就越偏爱高风险。
数学建模——人寿模型
0.9786 5.4781 -0.0183
4
[2.7115 8.2446] [-0.0486 0.0121]
2
3
0.0362
0.1335
[0.0317 0.0408]
[-0.0949 0.3620]
5
R
2
0.9996
F 6962 .1
P 0.0001
由模型2的表中参数对应的 置信区间可知只有3和5的 置信区间包含零点，，表明 x1x2项和x2的平方项对变 量y的影响不是太显著，即 风险偏好度对人寿保险额没 有二次效应，两个自变量对 人寿保险额没有交互效应。 综合上述两模型，通过分析可知只有经 理们的年收入及其二次项和风险偏好度 本身对他们投保的人寿保险额有显著影 响。
R
2
0.8396
1
5.6846
2
[5.2604
[0.0330
6.1089]
0.0412]
0.0371
3
0.9996 F 11070
P 0.0001
结果分析
y的99.96%可由模型确定 模型从整体上看成立
1的置信区间不包含零
点 ， 说明x2对因变量y
的影响不太显著
故在改进模型时可将 x2保留在模型中
1 2
序号
1
y
196
x
1
x
7
序号
10
2
y
49
x
1
x
5
2
66.290
3 9
63
252 84 126 14 49 49 266
40.964
72.996 45.010 57.204 26.852 38.122 35.840 75.796
寿险精算(第一章)
定理1.3.2. 假设个体的年龄及是否死亡为已 知,个体的其他信息均未告知. x岁的个体生 存了 t 年后, 其再继续生存时间的分布和x+t 岁的个体的未来生存时间的分布相同, 即
P(T ( x) s t | T ( x) t ) P(T ( x t ) s), s [0, )
(3) p P (T ( x) t ) t x
P (T ( x) h) P (T ( x) t | T ( x) h) P (T ( x) h) P (T ( x h) t h | T ( x h) 0) P (T ( x) h) P (T ( x h) t h) h px t h px h .
第一部分 生存模型和多元衰减模型
第一章 单生命生存模型 第二章 多生命生存模型 第三章 多元衰减模型 大意梗概：人寿保险是以人的寿命、身体或健康 为保险标的（指具体的保险目标）的保险， 因此， 研究人的寿命的延续规律是制定保险保费的重要 基础。人的寿命往往是不确定的，可以看作随机 变量，因此，用概率统计方法研究寿命是普遍方 法。
T ( x)
2) T(x)的死亡力
s ( x)
x (t )
fT ( x ) (t ) 1 FT ( x ) (t )
X与T(x)的分布、密度、生存、死亡函数的 关系
结论1.3.1
f X (x t) fT ( x ) (t ) , t 0; s ( x)
t
( x s ) ds sT ( x ) (t ) e 0 ;
还可证明：
由于 X (t ) ( x t )
sT ( x ) '(t ) sT ( x ) (t ) (ln sT ( x ) (t )) ',
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东北大学秦皇岛分校数学模型课程设计报告经理人的人寿保险模型院系数学与统计学院专业信息与计算科学学号姓名指导教师张尚国姜玉山成绩教师评语：指导教师签字：2012年7月11日摘 要本文通过对数据的观察，并绘出其散点图，推测经理的人寿保险额只与其年均收入和风险偏好度之间分别存在着二次效应和线性效应。
在采用混合回归模型建立起了经理的人寿保险额与其年均收入和风险偏好度之间的函数关系式，利用 MATLAB 软件的统计工具箱中的regress 求解，结合题中所给数据对各参数的值与其置信区间进行了估计，并进行残差分析和数据剔除，以达到模型优化。
在基本模型的基础上，扩展改进了风险偏好二次效应的模型和交互效应模型，在通过求解分析检验，得出风险偏好度对人寿保险金额不具有二次效应，两个变量一定程度上有交互效应。
但综合比较之后，可以看出，最优的模型是20112231Y x x +x ββββε=+++。
本模型通过已知的统计数据，最终得出了极为近似的函数关系，其基本思想可以推广到其他同类的问题上。
关键词： 回归分析 残差分析 保险 MATLAB1 问题引入1.1 问题题目课程设计的具体问题描述。
下表列出了某城市18位35～44岁经历的年平均收入X 1(千元)，风险偏好度X 2和人寿保险Y(千元)的数据，其中风险偏好度是根据发给每个经历的问卷调查表。
综合评估得到的，它的数值越大，就越偏爱高风险。
研究人员想研究此年龄段中的经理所投保的人寿保险额与年平均收入及风险偏好度之间的关系。
研究者预计，经理的年平均收入和人寿保险额之间存在着二次关系，并有把握地认为风险偏好度对人寿保险额有线性效应，但对于风险偏好度对人寿保险额是否有二次效应以及两个自变量是否对人寿保险额有交互效应，心中没底。
请通过表中数据来建立一个合适的回归模型，验证上面的说法，并给出进一步分析。
请通过表中数据来建立一个合适的回归模型，验证上面的说法，并给出进一步分析。
序号 Y X1 X2 序号 Y X1 X2 1 196 66.290 7 10 49 37.408 5 2 63 40.964 5 11 105 54.376 2 3 252 72.996 10 12 98 46.186 7 48445.0106137746.13045 126 57.204 4 14 14 30.366 3 6 14 26.852 5 15 56 39.060 57 49 38.122 4 16 245 79.380 18 49 35.840 6 17 133 52.766 8 926675.79691813355.9166表1.11 统计的X1，X2和Y 的数据1.2 分析与假设根据我们平常的经验，我们容易做出如下判断：经理的人寿保险额应该随经理人的收入的提升而提高，与该经理人的风险偏好度有着直接的关系。
然而，我们并不知道这种关系是二次关系还是线性关系，我们可以通过作图初步判定这种关系。
为了简化模型，我们做如下假设：(1) 假设经理人的年纪不影响所投保的人寿保险的金额； (2) 假设经理人身体状况大致相当，无差异；2 基本模型题目告知中预计Y 与X 1二次效应，有较大把握认为Y 与X 2有线性效应，为了大致地分析Y 与X 1和X 2的关系，首先利用已知数据分别作出对Y 对X 1和X 2的散点图和初步拟合图线。
图2.1 Y 对X1的散点图 图2.2 Y 对X2的散点图通过对图形1 的分析发现随着X 1 的增加，Y 有向上弯曲增加的趋势，因此拟合的时候选择使用二次拟合，建立2 次函数的模型：201121Y x x βββε=+++ (1)其中ε 是随机误差通过对图像2 的分析发现随着X 2 的增加，Y 的值有比较明显的线性变化的趋势，因此我们建立了如下的模型：012Y x ββε=++(2)综合上面的分析，我们建立如下的回归模型20112231Y x x +x ββββε=+++ (3)其中X 1 和X 2为回归变量，20112231x x +x ββββε+++是给定收入X 1 和风险偏好度X 2的数据时，购买的保险Y 的平均值，0β，1β ，2β，3β是回归系数，由已知的数据估计求解，如果模型建立的大致合适，,那么ε 应该大致服从均值为零的正态分布。
3 模型分析3.1 模型求解直接利用MATLAB 统计工具箱中的regress 求解（代码见附录），使用格式为:[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,alpha)其中输入y 为模型(3)中Y 的数据（n 维向量，n=18）,x 为对应于回归系数β=（0β，1β ，2β，3β)的数据矩阵[1 X1 X2 X12]（ n 4⨯矩阵，其中第一列全为1），alpha 为置信水平α（缺省时α=0.05）；输出b 为β的估计值，记作ˆβ，bint 为b 的置信区间，r 为残差向量y-x ˆβ，rint 为r 的置信区间，stats 为回归模型的检验统计量，有4个值，第1个回归方程的决定系数R 2 (R 是相关系数)，第2个是F 统计量值，第3个是与F 统计量对应的概率值p ，第4个是估计误差方差。
得到模型(3)的回归系数估计值及其置信区间（置信水平α=0.05）、检验统计量R 2、F 统计量值、p 值结果整理如下：参数参数估计值 参数置信区间 0β -62.3489 [ -73.5027 -51.1952 ] 1β 0.8396 [ 0.3951 1.2840 ] 2β5.6846 [ 5.26046.1089 ] 3β0.0371[ 0.0330 0.0412 ]表3.11 模型(3)的第一次计算结果并做出残差图， 由图可知，第5组数据异常，剔除异常数据后，在用regress 求解，可得到新的结果，如下表：参数参数估计值 参数置信区间 0β -65.4793 [ -75.0115 -55.9472 ] 1β0.9879 [ 0.6030 1.3727 ] 2β5.5789 [ 5.2189 5.9390 ] 3β0.0358[ 0.0323 0.0393 ]表3.12 模型(3)剔除异常后的计算结果且剔除异常后的模型得到的残差全部正常。
3.2 模型分析剔除异常前，结果显示，R 2 = 1.000指因变量Y （保险额）接近100%可由模型确定，F值远远超过F 检验的临界值，p 远小于α，因而模型()3从整体来看是可用的。
剔除异常后，R 2、p 不变，但F 值有较大增加，且估计误差方差变得更小，残差全部正常，故认为剔除后的模型更好。
所以得出0β，1β ，2β，3β的估计值0ˆβ=-65.4793，1ˆβ=0.9879，2ˆβ=5.5789，3ˆβ=0.0358，可以看到它们的置信区间都不含零点，模型可用，可知题目假设经理的年平均收入和人寿保险额之间存在着二次关系，风险偏好度对人寿保险额有线性效应成立，得到预测方程如下，当已知经理人年均收入X 1 和X 2风险偏好度可以大致得到其人寿保险额。
20112231ˆˆˆˆˆY x x +x ββββ=++ 4 模型扩展4.1 风险偏好二次效应模型为了进一步研究风险偏好度X2与保险额Y 的关系，我们假设X2也具有二次效应，则建立模型如下：22011213242Y x x x x βββββε=+++++(4)用同样的方法求解模型，结果整理如下：参数参数估计值 参数置信区间 0β -60.9104 [ -72.6072 -49.2135 ] 1β 0.9303 [ 0.4389 1.4218 ] 2β0.0359[ 0.0310 0.0408 ]3β 4.4529 [ 1.6910 7.2147 ] 4β0.1159[ -0.1408 0.3727 ]表4.11 模型(4)的计算结果根据求解结果看，R 2、p 、F 值并没有改善，并且4β的置信区间含有零点，这表明22X 对Y 的影响不显著，即风险偏好度X 2对Y 没有二次效应。
4.2 风险偏好交互效应模型前面两种模型都是建立在X 1和X 2相互独立的基础上，为了进一步讨论X 1和X 2与Y的关系，再以X 1 X 2作为一项，表示年平均收入和风险偏好度对保险额的交互效应，添加到模型中，如下：20112231412Y x x x x x βββββε=+++++(5)求解结果整理如下：参数参数估计值 参数置信区间 0β -119.7372 [ -171.1948 -68.2795 ] 1β4.5630 [ 3.85965.2664 ] 2β-5.6765 [-17.4122 6.0592 ] 3β 1.2026 [ 0.1811 2.2240 ] 4β-0.0264[ -0.1662 0.1135 ]R 2 = 0.9922 F = 410.9307 p = 0.0000表4.21 模型(5)的计算结果2β和4β的置信区间包含零点，且做出残差图（见附录）可知，第11和16组数据异常，故剔除后，在进行一次求解，得到结果整理如下：参数参数估计值 参数置信区间 0β-82.7109 [ -108.8778 -56.5439 ] 1β1.1854 [ 1.4829 3.2093 ] 2β -5.6765 [ -6.1036 8.4744 ] 3β-1.0695 [ -2.1243 -0.0146 ] 4β0.3572[ 0.2058 0.5086 ]表4.22 模型(5)第一次剔除异常后的计算结果2β的置信区间仍包含零点，且在做残差图（见附录）可以看到，第5、6组数据异常，再次剔除，然后继续求解，结果整理如下：参数参数估计值 参数置信区间 0β -79.5084 [-101.0664 -57.9504 ] 1β1.9106 [ 0.89422.9271 ] 2β3.2038 [ -2.7488 9.1564 ] 3β -1.4625 [ -2.4402 -0.4848 ] 4β0.4227[ 0.2697 0.5758 ]R 2 = 1.0 F = 3392.9 p = 0.0000表4.23 模型(5)第二次剔除异常后的计算结果再次做出残差图（见附录），可以看到无异常数据，R 2、p 、F 数值正常，模型总体可用，但是2β的置信区间包含零点，认为2β所对应的X 2项对Y 的影响不明显，故可以在模型(5)中剔除X 2项，所以得到交互型模型如下：201131412ˆˆˆˆY x x x x ββββε=++++ (6) 5 总结5.1 模型比较虽然大致上，模型(3)和模型(6)都是可用的，但是比较结果中各项数据，可以看出模型(3)更为理想，所以最终得出经理人人寿保险金额Y 与年均收入X 1和风险偏好度X 2的关系模型：2121Y 65.47930.9879x 5.5789x +0.0358x =-++ 。