【十校联考】2016年安徽省“江南十校”高三联考数学试卷

【十校联考】2016年安徽省“江南十校”高三联考数学试卷
一、选择题（共12小题；共60分）
1. 已知集合，，则中的元素个数为
A. B. C. D.
2. 若复数满足，则的实部为
A. B. C. D.
3. “”是“函数为奇函数”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4. 已知是双曲线的一条渐近线，是上一点，，是双曲线的左、右焦点，
若，则到轴的距离为
A. B. C. D.
5. 在平面直角坐标系中，满足，，的点的集合对应的平面图形
的面积为；类似地，在空间直角坐标系中，满足，，，的点的集合对应的空间几何体的体积为
A. B. C. D.
6. 在数列中，，为的前项和．若，则数列的前
项和为
A. B. C. D.
7. 化简后等于
A. B. C. D.
8. 执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的
A. B. C. D.
9. 已知函数（，）的最小正周期为，且对，有
恒成立，则图象的一个对称中心是
A. B. C. D.
10. 若，满足约束条件则的取值范围为
A. B. C. D.
11. 某几何体的三视图如图所示，其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧，则该几何体的表面积为
A. B. C. D.
12. 已知函数存在极小值，且对于的所有可能取值，的极小值恒大
于，则的最小值为
A. B. C. D.
二、填空题（共4小题；共20分）
13. 年月日我国全面二孩政策实施后，某中学的一个学生社团组织了一项关于生育二孩意
愿的调查活动．已知该中学所在的城镇符合二孩政策的已婚女性中，岁以下的约人，岁至岁的约人，岁以上的约人．为了解不同年龄层的女性对生育二孩的意愿是否存在显著差异，该社团用分层抽样的方法从中抽取了一个容量为的样本进行调查，已知从岁至岁的女性中抽取的人数为，则 ______．
14. 的展开式中，的系数为______．
15. 已知椭圆：的右顶点为，经过原点的直线交椭圆于，两点，
若，，则椭圆的离心率为______．
16. 已知为数列的前项和，，，若存在唯一的正整数使得不等
式成立，则实数的取值范围为______．
三、解答题（共7小题；共91分）
17. 如图，平面四边形中，，，，，，
求：
（1）；
（2）的面积．
18. 如图，多面体中，四边形是边长为的正方形，四边形是等腰梯形，
，，平面平面．
（1）证明： 平面；
（2）若梯形的面积为，求二面角的余弦值．
19. 第届夏季奥林匹克运动会于年月日至月日在巴西里约热内卢举行．下表是
前五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：
枚）．
第届伦敦第届北京第届雅典第届悉尼第届亚特兰大中国
俄罗斯
（1）根据表格中数据完成前五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；
（2）甲、乙、丙三人竞猜年中国代表团和俄罗斯代表团中的哪一个获得的金牌数多（假设两国代表团获得的金牌数不会相等），规定甲、乙、丙必须在两个代表团中选一个，已知甲、乙猜中国代表团的概率都为，丙猜中国代表团的概率为，三人各自猜哪个代表团的
结果互不影响．现让甲、乙、丙各猜一次，设三人中猜中国代表团的人数为，求的分布列及数学期望．
20. 已知抛物线：经过点，在点处的切线交轴于点，直线经过点
且垂直于轴．
（1）求线段的长；
（2）设不经过点和的动直线：交于点和，交于点，若直线，，的斜率依次成等差数列，试问：是否过定点?请说明理由．
21. 已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）设函数，讨论的零点个数．若存在零点，请求出所有的零点或给出每个零点所在的有穷区间，并说明理由（注：有穷区间指区间的端点不含有和的区间）．22. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知在极
坐标系中，，，圆的方程为．
（1）求在平面直角坐标系中圆的标准方程；
（2）已知为圆上的任意一点，求面积的最大值．
23. 已知函数，记的解集为．
（1）求；
（2）已知，比较与的大小．
答案
第一部分
1. B
2. A
3. C
4. C
5. B
6. C
7. B
8. B
9. A 10. B
11. D 12. A
第二部分
13.
14.
15.
16.
第三部分
17. （1）在中，由正弦定理，得．在中，由余弦定理，得
所以．
（2）因为，，
所以．
因为，
所以
18. （1）设，的交点为，则为的中点，连接．
由，，得，，
所以四边形为平行四边形，
故．
又平面，平面，
所以 平面．
（2）取的中点，连接．
因为四边形为等腰梯形，
所以．
又平面平面，交线为，
所以平面．
如图，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系．
，
梯形
所以，
所以，，，，
所以，．
设平面的一个法向量为，
由得
令，得，，则平面的一个法向量为．
因为，
所以平面，
故平面的一个法向量为．
于是．
由图可知所求的二面角是锐角，故二面角的余弦值为．
19. （1）两国代表团获得的金牌数的茎叶图如下：
通过茎叶图可以看出，中国代表团获得的金牌数的平均值高于俄罗斯代表团获得的金牌数的平均值；俄罗斯代表团获得的金牌数比较集中，中国代表团获得的金牌数比较分散．
（2）的可能取值为，，，，设事件，，分别表示甲、乙、丙猜中国代表团获得的金
牌数多，则
．
故的分布列为．
20. （1）由抛物线：经过点，得，故，
的方程为．
在第一象限的图象对应的函数解析式为
故在点处的切线斜率为，切线的方程为．
令得，所以点的坐标为．
故线段的长为．
（2）恒过定点，理由如下：
由题意可知的方程为，因为与相交，故，
由：，令，得，故．
设，，由消去得：，
则．
直线的斜率为，同理直线的斜率为．
直线的斜率为．
因为直线，，的斜率依次成等差数列，
所以，
即
整理得：，因为不经过点，所以，
所以，即．
故的方程为，即恒过定点．
21. （1）当时，．
易知在上单调递增，且．
因此，当时，；
当时，．
故在上单调递减，在上单调递增．
（2）由条件可得，．
（Ⅰ）当时，，无零点．
（Ⅱ）当时，，在上单调递增，，．
①若，即时，，在上有一个零点．
②若，即时，，有一个零点．
③若，即时，，在上有一个零点．（Ⅲ）当时，令，得；
令，得．
所以在上单调递减，在上单调递增．
．
①若，即时，，无零点．
②若，即时，，有一个零点．
③若，即时，，，在上有一个零点．
设，则．
设，则，
当时，，
所以在上单调递增．
，
所以在上单调递增．
，即时，，
故．
设，则，
所以在上单调递减，
，即时，．
因为时，，所以．
又，
所以在上有一个零点，
故有两个零点．
综上，当时，在和上各有一个零点，共有两个零点；
当时，有一个零点；
当时，无零点；
当时，在上有一个零点；
当时，有一个零点；
当时，在上有一个零点．
22. （1）由，得，
所以．
故在平面直角坐标系中，圆的标准方程为．
（2）在平面直角坐标系中，，，
所以，直线的方程为．
所以圆心到直线的距离．
又圆的半径为，
所以圆上的点到直线的最大距离为．
故面积的最大值为．
23. （1），
由或或
解得．
故．
（2）由（）知．
．
当时，，所以；
当时，，所以；
当时，，所以．
综上所述，当时，；当时，；当时，．。