“离散数学”中的等价关系
离散数学___等价关系与偏序关系
思考：
设A＝{a, b, c, d}, 给定π1,π2,π3,π4,π5,π6如下： π1= { {a, b, c}, {d} }， π2= { {a, b}, {c}, {d} } π3= { {a}, {a, b, c, d} }, π4= { {a, b}, {c} } π5= { ,{a, b}, {c, d} }, π6= { {a, {a}}, {b, c, d} } 问哪些是A的划分, 哪些不是 A 的划分？ 答案： π 1和π 2 是A的划分, 其他都不是 A 的划分.
（2）当(a,b) ∈R时有(b,a) ∈R，所以满足对称性；
（3）当(a,b) ∈R和(b,c) ∈R时有(a,c) ∈R，所以R是可传递的。
由此可得同年龄关系 R是等价关系。
4
再如设集合A的情况同上所述 若令集合A={a , b , d , c , e , f } 同房间 同房间
其中a ,b, d同住一个房间，c, e ,f同住另一个房间。 如果同住一个房间的大学生认为是相关的，那么 “同房间”关 系 R也是等价关系。 （1）因为每一个大学生都和自已是同房间的，所以满足自反性；
7
（1）a ,b,c都姓“张”，d,e,f 都姓“李” a b
√ √ √
c
√ √ √
d
e
f
a √ b √
c √ d e f
a b c
√ √ √ √ √ √ √
d e f
√
√
a 1 1 1 0 0 0
b c d e f 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1
用刀分
{
离散数学部分概念和公式总结
离散数学部分概念和公式总结命题：称能判断真假的陈述句为命题。
命题公式：若在复合命题中，p、q、r等不仅可以代表命题常项，还可以代表命题变项，这样的复合命题形式称为命题公式。
命题的赋值：设A为一命题公式，p ,p ,…,p 为出现在A中的所有命题变项。
给p ,p ,…,p 指定一组真值，称为对A的一个赋值或解释。
若指定的一组值使A的值为真，则称成真赋值。
真值表：含n（n≥1）个命题变项的命题公式，共有2^n组赋值。
将命题公式A在所有赋值下的取值情况列成表，称为A的真值表。
命题公式的类型：（1）若A在它的各种赋值下均取值为真，则称A为重言式或永真式。
（2）若A在它的赋值下取值均为假，则称A为矛盾式或永假式。
（3）若A至少存在一组赋值是成真赋值，则A是可满足式。
主析取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合取式全是极小项，则称该析取范式为A的主析取范式。
主合取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合析式全是极大项，则称该析取范式为A的主析取范式。
命题的等值式：设A、B为两命题公式，若等价式A?B是重言式，则称A与B 是等值的，记作A<=>B。
约束变元和自由变元：在合式公式xA和 xA中，称x为指导变项，称A为相应量词的辖域，x称为约束变元，x的出现称为约束出现，A中其他出现称为自由出现（自由变元）。
一阶逻辑等值式：设A，B是一阶逻辑中任意的两公式，若A?B为逻辑有效式，则称A与B是等值的，记作A<=>B，称A<=>B为等值式。
前束范式：设A为一谓词公式，若A具有如下形式Q1x1Q2x2Qk…xkB，称A为前束范式。
集合的基本运算：并、交、差、相对补和对称差运算。
笛卡尔积：设A和B为集合，用A中元素为第一元素，用B中元素为第二元素构成有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积，记为A×B。
二元关系：如果一个集合R为空集或者它的元素都是有序对，则称集合R是一个二元关系。
离散数学第三章第四节
R= R1R2R3 ={<a,a>,<b,b>,<c,c>,<d,d>,<e,e>, <a,b>,<b,a>,<d,e>,<e,d>}
15
5、等价关系、商集及划分之间的关系（4）
例3：给出A={1，2，3}上的所有等价关系。 解：因A的所有划分如下图所示:
A上的所有等价关系就是π1 、π2 、π3 、π4 、π5对应的等 价 关 系 ，它们依次为 EA ， R2 ， R3 ， R4 ， IA ，其中 EA=A A为全域关系， IA= {<1,1> ,<2,2> ,<3,3> }， R2={<2,3>,<3,2>} IA R3={<1,3>,<3,1>} IA R4={<2,1>,<1,2>} IA
12
5、等价关系、商集及划分之间的关系（1）
定理4 集合A上的等价关系R确定A的一个划分，这个划分 就是商集A／R。 证：1、A/R={[a]R|aA},显然
aA
[a]
R
A
2、对aA，有a[a]R，所以A中的每个元素都属于 某个分块。 3、下面证明A中的任一个元素仅属于某一个分块。 设aA ，a[b]R且a[c]R，那么，bRa，cRa 。因 R对称，所以aRc。又因R是传递的,所以bRc。按定理3, [b]R=[c]R 。 综上所述，A/R是A关于R的一个划分。
10
3、等价类（2）
定理3 设R为非空集合A上的等价关系，a,b A, aRb当且仅当[a]R=[b]R。
证明：若aRb，任取c[a]R , c[a]RaRccRacRbbRcc[b]R , 故[a]R[b]R。 同理可证[b]R[a]R。 故[a]R=[b]R 。 反之,若[a]R=[b]R ,则 a[a]R a[b]R bRa aRb
离散数学等价关系
等价关系是设R是非空集合A上的二元关系，若R是自反的、对称的、传递的，则称R是A上的等价关系。
给定非空集合A,若有集合S={S ,S ,…,S }，其中S A，S（i=1,2,…,m）且S S = (i j)同时有S =A，称S是A的划分。
研究等价关系的目的在于将集合中的元素进行分类，选取每类的代表元素来降低问题的复杂度，如软件测试时，可利用等价类来选择测试用例。
扩展资料：
定义：
若关系R在集合A中是自反、对称和传递的，则称R为A上的等价关系。
所谓关系R 就是笛卡尔积 A×A 中的一个子集。
A中的两个元素x,y有关系R，如果(x,y)∈R。
我们常简记为xRy。
自反：任意x属于A，则x与自己具有关系R，即xRx；
对称：任意x,y属于A，如果x与y具有关系R，即xRy，则y与x 也具有关系R，即yRx；
传递：任意x,y,z属于A，如果xRy且yRz，则xRz
x,y具有等价关系R，则称x,y R等价，有时亦简称等价。
山东科技大学 离散数学3-11 相容关系
3、定理3-11.3：集合A上的相容关系R与完全覆盖 CR(A)存在一一对应。 证明： 留做课后练习。
作业
P139：(1)， (4)， (6)
3-12 序关系
掌握如下概念： 偏序关系、盖住关系、链、反链、全序集、极 大元、极小元、最大元、最小元、上界、下界、最 小上界（上确界）、最大下界（下确界）、良序集、 严格序关系、拟序关系。
2、定理3-10.1：设给定集合A上的等价关系R，对 于a，bA有aRb iff [a]R=[b]R。 证明：假定[a]R=[b]R，因为a[a]R，故a[b]R，即 aRb。 反之，若aRb，设c[a]RaRcbRcc[b]R 即[a]R[b]R 同理，若aRb，设c[b]RbRcaRcc[a]R 即[b]R[a]R 由此证得若aRb，则[a]R=[b]R。
定理3的证明和例题4的求解过程给出了一种 利用划分求取等价关系的方法。
4、定理3-10.4：设R1和R2为非空集合A上的等价关 系，则R1=R2当且仅当A/R1=A/R2。 证明：留作课后练习。
作业
• P134：
– （3） – （4） – （6） – （9）
3-11 相容关系
一、相容关系及其表示
一、偏序关系及其表示
定义3-12.1：设A是一个集合，如果A上的一 个关系R满足自反性、反对称性和传递性，则 称R是A上的一个偏序关系，记作≤ 。 <A，≤ >称作偏序集。
•定理3-11.2说明：由集合的一个覆盖可以确定一个 相容关系。 •不同的覆盖确定的相容关系可能相同。 例如，设A={1，2，3，4}， 集合{{1，2，3}，{3，4}}和 {{1，2}，{2，3}，{1，3}，{3，4}} 都是A的覆盖，但它们可以产生相同的相容关系 R={<1，1>，<1，2>，<2，1>，<2，2>，<2，3>， <3，2>，<1，3>，<3，1>，<3，3>，<4，4>，<3， 4>，<4，3>}
浅谈等价关系的应用
浅谈等价关系的应用
《浅谈等价关系的应用》
等价关系是抽象代数中的一种基本概念,它在数学中有着多样的
应用,研究其应用非常重要。
本文将介绍等价关系的应用及其重要性。
首先,等价关系的应用主要是应用于抽象代数、几何学、离散数
学等领域。
在抽象代数中,它常用于研究分组、环、体、域等抽象概念。
例如,在环上,我们可以定义等价关系,用来表示两个元素具有特
定的性质。
其次,等价关系也能够应用于几何学。
在几何学中,它可以用来分类几何形状,比如三角形、矩形、正方形等。
同时,我们也可以用等价关系来描述两个几何图形之间的相似性。
例如,两个三角形它们可以
通过旋转、缩放进行变换,这就表明它们是一致的。
再次,等价关系也可以应用于离散数学领域。
在离散数学中,我们经常会用到等价关系来分析和求解复杂的数学问题。
例如,我们可以
用等价关系来分析图的属性,以及分析组合和组合查找算法的有效性。
最后,等价关系也能够用来在现实生活中的解决实际问题。
例如,等价关系可以用来解决路径规划问题,可以用来分析不同城市之间的
距离,以及可以用来分析两个城市之间的密度等等。
综上所述,等价关系在数学中有着广泛的应用。
它不仅可以用来
分析抽象数学问题,也可以用来分析具体的现实问题。
因此,等价关系的研究非常重要,它对于我们理解和应用数学抽象概念具有重要的意
义。
离散数学等价关系
等价类：在离散数学中，等价关系是指定义在集合A上的关系，满足自反的、对称的和传递的等性质。
设R是定义在集合A上的等价关系，与A中一个元素a有关系的所有元素的集合叫做a的等价类。
等价类应用十分广泛，如在编程语言中，我们使用等价类来判定标识符是不是表示同一个事物。
定义：在离散数学中，等价关系是指定义在集合A上的关系，满足自反的、对称的和传递的等性质。
设R是定义在集合A上的等价关系，与A中一个元素a有关系的所有元素的集合叫做a的等价类。
A的关于R的等价类记作。
当只考虑一个关系时，我们省去下表R并把这个等价类写作[a]。
在软件工程中，是把所有可能输入的数据，即程序的输入域划分成若干部分（子集），然后从每一个子集中选取少数具有代表性的数据作为测试用例，从而减少了数据输入量从而提高了效率，称之为等价类方法，该方法是一种重要的、常用的黑盒测试用例设计方法。
分类：在离散数学中，等价类的划分基于以下定理：设R是定义在集合A上的等价关系。
那么R的等价类构成S的划分。
反过来，给定集合S的划分{ |i∈I},则存在一个等价关系R，它以集合作为它的等价类。
因为等价关系的a 在a 中和任何两个等价类要么相等要么不交集不相交的性质。
得出X 的所有等价类的集合形成X 的集合划分划分: 所有X 的元素属于一且唯一的等价类。
反过来，X 的所有划分也定义了在X 上等价关系。
在软件工程中等价类划分及标准如下：划分等价类等价类是指某个输入域的子集合。
在该子集合中，各个输入数据对于揭露程序中的错误都是等效的，并合理地假定：测试某等价类的代表值就等于对这一类其他值的测试，因此，可以把全部输入数据合理划分为若干等价类，在每一个等价类中取一个数据作为测试的输入条件就可以用少量代表性的测试数据取得较好的测试结果。
等价类划分有两种不同的情况：有效等价类和无效等价类。
1）有效等价类是指对于程序的规格说明来说是合理的、有意义的输入数据构成的集合。
利用有效等价类可检验程序是否实现了规格说明所规定的功能和性能。
离散数学4.4-等价和偏序关系
4.4.3 集合的划分
集合的划分
定义4.21 设A为非空集合, 若A的子集族 ( P(A)) 满 足下面条件： (1) (2) xy (x,y∈∧x≠y→x∩y=) (3) ������∈������ ������=A 则称是A的一个划分, 称 中的元素为A的划分块. 例3 设A＝{a, b, c, d}, 给定 1, 2, 3, 4, 5, 6如下： 1={{a, b, c},{d}}， 2={{a, b},{c},{d}} 3={{a},{a, b, c, d}}， 4={{a, b},{c}} 5={,{a, b},{c, d}}， 6={{a,{a}},{b, c, d}} 则 1和 2 是A的划分, 其他都不是A的划分. 12
4.4.4 偏序关系
相关概念
定义4.23 x与 y可比 设R为非空集合A上的偏序关系, x, yA, x与 y 可比 x≼y ∨ y≼x. 对IA, A上的元素可比吗？ 不可比 定义4.24 非空集合A上的反自反和传递的关系，称为A 上的拟序关系，简称为拟序，记作≺. 求证：如果一个关系是拟序，那么它一定是反对称的。 证：如果不是反对称的，则 ∃x, y, 使 x≺y, 且 y≺x成立。 根据传递性，有 x≺x， 与反自反性矛盾。 19 得证
4.4.1 等价关系
模3等价关系的关系图
设 A={1, 2, …, 8}, R={ <x,y>| x,y∈A∧x≡y (mod 3) } R 的关系图如下：
4
4.4.1 等价关系
注: (1) 关系图的特点: ① 不连通 ② 在每个连通分支中是完全图 (2) 关系矩阵的特点: 修改排列顺序后为对角块矩阵,对角块为全”1”矩阵 1 4 7 2 5 8 3 6 1 1 1 1 0 0 0 0 0 4 1 1 1 0 0 0 0 0 7 1 1 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 1 1 1 0 0 5 0 0 0 1 1 1 0 0 8 0 0 0 1 1 1 0 0 3 0 0 0 0 0 0 1 1 6 0 0 0 0 0 0 1 1
离散数学等价关系与偏序关系
等价类
设R是非空集合A上的等价关系， 则A上互相等价的元素构成了A的 若干个子集，称作等价类
定义 设R为非空集合A上的等价关系, x∈A，令
[x]R = { y | y∈A∧xRy } 称 [x]R 为 x 关于R 的等价类, 简称为 x 的等价类, 简 记为[x].
实例 A={ 1, 2, … , 8 }上模 3 等价关系的等价类： [1]=[4]=[7]={1,4,7} [2]=[5]=[8]={2,5,8} [3]=[6]={3,6}
如果顶点 xi 连通到xk , 则 从 xi到 xk 有 边
1
例：给定集合X={a,b,c}，R和S是X中的关系，给
定
R {a,b, a, c, c, b}
S {a,b, b, c, c, a}
试求出t(R),t(S)，并画出关系图
解：t(R) R1 R2 R3 R
t(S) S1 S2 S3 S1 S2 S3
11
例题
例1 设A＝{a, b, c, d}, 给定π1,π2,π3,π4,π5,π6如下：
π1= { {a, b, c}, {d} }， π2= { {a, b}, {c}, {d} } π3= { {a}, {a, b, c, d} }, π4= { {a, b}, {c} } π5= { ,{a, b}, {c, d} }, π6= { {a, {a}}, {b, c, d} }
关系性质判别
定义
条件 关系 矩阵
自反
反自反
对称
反对称
x(x∈A→<x x(x∈A→
,x>R)
<x,x>R)
xy(x,y∈A∧ <x,y>∈R→<y,x >∈R)
离散数学等价关系
概念问题二进制关系：A和B的笛卡尔积的子集称为从A到B的二进制关系。
集合上的关系：从a到a的关系。
关系的性质反射，抗反射，对称，抗对称和传输。
没有列出概念，但应注意以下方面：（1）所有属性的概念都是逻辑表达式，即判断是非，必须严格按照定义判断是非；（2）它们都是用全名量词表示的逻辑表达式，因此必须为真才能保持一致；（3）它们全部由隐含条件语句表示。
如果前提为假，则它也为真，也就是说，所有未出现在真之后再为假的内容都为真。
关系代表（1）设置符号（适合定义和表示）；（2）图表表示（适合直观感觉和观察特性）；（3）关系矩阵表示（适合计算）；特别地，关系矩阵是布尔矩阵，即逻辑矩阵，其描述A中的第i个元素是否与B中的第j个元素有关。
关系运作（1）交叉，合并与区别R1ÇR2————M1ÙM2R1ÈR2————M1ÚM2（2）综合合成操作非常重要且容易出错。
注意其顺序以及对集合，图形和矩阵的相应计算。
自我及其综合运算形成力量。
例如，R 2对应于由点直接连接的边，这些点可以从图形上的每个点分两步到达。
另一个例子R1°R2 ————M2M1R ^ 2 ————M ^ 2关系的应用（1）n元关系的应用一般来说，当2元关系扩展到N元关系时，它就成为数据库的基本框架。
N元有序对是N个字段的记录，因此关系操作对应于数据库操作。
我们只知道这部分内容（与数据库重复）。
（2）封闭的应用首先，介绍了三种闭包的概念。
如果用一句话来概括，R的自反/对称/传递闭包是包含R的自反/对称/传递关系中最小的。
然后其应用着重于掌握传递闭包的应用，它可以显示传递性直接通过连接边可到达的点的连通性。
然后讨论三个闭包的计算：（3）等价关系的应用首先是等价关系的概念，以及等价类和划分的扩展概念。
其次，等价关系的应用仅仅是分类。
因为等价与划分之间存在一一对应的关系。
A.如果一个关系是集合a上的等价关系，写出每个元素的等价类，然后删除重复项，则由非重复等价类组成的集合就是原始集合a的除法。
离散数学知识点整理
离散数学一、逻辑和证明1.1命题逻辑命题：是一个可以判断真假的陈述句。
联接词：A、V、一、f「。
记住“p仅当q”意思是“如果p,则q"，即p-。
记住“q除非p”意思是“」p-q”。
会考察条件语句翻译成汉语。
构造真1.2语句翻译系统规范说明的一致性是指系统没有可能会导致矛盾的需求，即若pq无论取何值都无法让复合语句为真，则该系统规范说明是不一致的。
1.3命题等价式逻辑等价：在所有可能情况下都有相同的真值的两个复合命题，可以用真值表或者构造新的逻辑等价式。
证逻辑等价是通过p推导出q,证永真式是通过p推导出T。
(p—r)A(q-r) = (pVq)-r(p—q)V(p-r) = p—(qVr)(p—r)V(q-r) = (pAq)-r双条件命题等价式pf = (pfq) A (qfp)pf = -pfqpf Q (pAq) V(-pA-q)「(pf) = pfq1.4量词谓词+量词变成一个更详细的命题，量词要说明论域，否则没有意义，如果有约束条件就直接放在量词后面，如V x>0P(x)。
当论域中的元素可以一一列举，那么V xP(x)就等价于P(x1)AP(x2)...A P(xn)。
同理，3 xP(x)就等价于 P(x1)VP(x2)...VP(xn)。
两个语句是逻辑等价的，如果不论他们谓词是什么，也不论他们的论域是什么，他们总有相同的真值，如V x(P(x)AQ(x))和(V xP(x)) A (V xQ(x))。
量词表达式的否定：「V xP(x) Q 3 x-P(x),「3 xP(x) Q V x-P(x)。
1.5量词嵌套我们采用循环的思考方法。
量词顺序的不同会影响结果。
语句到嵌套量词语句的翻译，注意论域。
嵌套量词的否定就是连续使用德摩根定律，将否定词移入所有量词里。
1.6推理规则一个论证是有效的，如果它的所有前提为真且蕴含着结论为真。
但有效论证不代命题和量化命题的组合使用。
二、集合、函数、序列、与矩阵2.1集合£说的是元素与集合的关系，^说的是集合与集合的关系。
离散数学等价关系
离散数学等价关系一、离散数学是一门什么样的学科？与数学的主流分支不同，离散数学看上去似乎没有一个确定的中心话题，内容很庞杂。
我曾做过一个粗略的统计，离散数学的内容涉及大约43个左右大大小小不同的话题，从集合、函数、关系、命题逻辑、谓词逻辑，到算法、计数、数据结构、递归、图论、概率、数论、形式语言与自动机，布尔代数、向量与矩阵，线性规划、抽象代数，编码理论、信息论，博弈论、运筹学、理论计算机科学等，真是那句俗话，XXXX是个筐，什么都可以往里装。
由于离散数学的内容包括面很广，一本通常意义上的教科书不可能全部涵盖，因此我们看到的教科书基本是上述内容集合的不同子集。
那么到底应当如何定义「离散数学」这门学科呢？如果我们使用集合的语言表达就是：（1）离散数学= {x∈数学| 离散结构(x)}其中，「离散数学」是「数学」的一个子集，「离散结构」是一个谓词，x代表任意数学学科。
现在来详细考察一下这个「离散数学」的定义式。
我们的考察，从为什么会出现这样一个学科开始。
首先，离散数学和其它数学分支不同，它并没有开辟数学的新领域，而是在既有的数学领域划出一个范围，以「离散结构」这个性质为标准，若某个数学内容具有「离散结构」的属性就划入。
那为什么会出现「离散数学」这门学科呢？回答是——是因为计算机的出现！！！因为计算机只能处理「离散」对象。
生活中「离散」对象和「连续」对象的例子是大米和水，前者是离散的，后者是连续的，因为米粒是可列举的、可数的，英语属于可数名词，中文可以用单位量词「粒」等表示，水是无法列举的、也是不可数的，因而在英语中属于不可数名词，中文则不可直接用单位量词表示。
形象地说，计算机可以处理像米粒这样的离散对象而无法直接处理像水这样的连续对象。
例如，我们在计算机屏幕上看到一条光滑的曲线。
按照微积分定义，一条光滑曲线在某个区间一定是连续的，因而一定可以找到区间内任意一点的极限。
换句话说，在这个区间内你是无法确定一个离散点的确切位置的，因为在这个区间内，所有的点都是无穷小，而这些无穷小的点的数量是无穷多。
等价关系与等价类 离散数学
1、任意两个分块相交为空
2、[1]R ∪ [2]R = A
定理3 定理3 集合A上的等价关系R，决定了商集A/R ，可确定A 上的一个划分。
证明: A/R = { [a]R | a∈A} 。 i. 对于aA ，由于R是自反的，有aRa成立，即a ∈[a]R ， 由等价类的定义知[a]R为A的子集，故每个等价类都是A 的非空子集。 ii. 在A/R={ [a]R | a ∈A}中， a∪∈A[a]R =A iii. A的每个元素只能属于一个分块。(反证)
3. 若<a,b>∈R，<b,c>∈R，则a≡b(mod k)，b≡c(mod k)，有a-
b= t1×k ，b-c= t2×k(t1,t2是整数)，故a-c=(t1+t2)×k， 从而a≡c(mod k)， 故<a,c>∈R。
由1，2，3知，R在I上是自反的、对称的和传递的，从而R是I上 的等价关系。
3-10 等价关系与等价类
1. 等价关系 定义： R是定义在集合A上的一个关系，如果R是自反的、对 称的和传递的，则称R为等价关系。
说明：设R是A上的等价关系，a,b是A的任意元素，若<a,b>R ， 通常我们记作 a~b，读作“a等价于b”。 等价关系的 关系图有何特点？
例如，平面上的三角形集合中，三角形相似关系是等价关系； 上海市的居民集合中，住在同一区的关系也是等价关系。 数中的相等关系，集合间的相等关系，命题演算中的 等价关系都是等价关系。
因为 i. 对aA， a与a在同一分块中，故有aRa，即R是自反的； ii. 对a，bA，若aRb ，则a与b在同一分块中，故b与a也必在同一 分块中，则bRa，故R是对称的； iii. 对a,b,cA，若aRb，bRc即a与b在同一分块中，b与c在同一分块 中，因为Si∩Sj=(i≠j),所以b属于且仅属于一个分块，故a与c必 在同一分块中，故有aRc，即R是传递的;
等价关系与等价类集合与关系离散数学-文档资料
[3]R={3,7}
=[7]R
余数为3的等价类
[4]R={4}
余数为0的等价类
总结：
（1）集合中的10个元素都有一个等价类。
（2）各等价类之间或者完全相等或者不相交。
（3）所有等价类的并集就是A。
第12页
2
6
1
59
10 14
37
4
[1]R=[5]R=[9]R={1,5,9} [2]R=[6]R=[10]R=[14]R={2,6,10,14} [3]R=[7]R={3,7} [4]R={4}
整数集合上的“小于”关系 不是等价关系。
第4页
例3-10.2 集合A={1,2,3,4,5,6,7,9,10,14}，R是A上的模4同 余关系，试通过关系图说明R是等价关系。
分析：R={<x,y>|x除以4与y除以4的余数相同}
<x,y>∈R x(mod 4)=y(mod 4)或x≡y(mod 4)
每个关系子图即为一个等价类，位于此子图中的元 素的等价类相同，等于该子图中的所有元素构成的 集合。
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2、等价类性质
R是A上等价关系，任意x,y,z∈A
⑴同一个等价类中的元素，彼此有等价关系R。
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二
元 关
性 质
系
自反 对称 传递 反对称 反自反
等价关系
有 向 图
等 价 类
商 集
划 分
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二、 等价类
1、定义3-10.2 : x的等价类 R是A上的等价关系，对任何x∈A，集合[x]R称为 由x生成的R等价类，简称x的等价类： [x]R={y|y∈A∧xRy} 简化写法：y∈[x]R xRy 讨论： （1）等价类[x]R是一个集合，且[x]R A。 （2）[x]R中的元素是在等价关系R中，与x有 等价关系R的所有元素组成的集合。 （3）[x]R Φ， x∈[x]R。
“离散数学”中的等价关系
“离散数学”中的等价关系本文阐述了离散数学课程中的一个非常重要的概念即等价关系以及各种具体的等价关系和等价关系在计算机领域中的应用，并运用认识论中的同一性原理和联系与发展的观点，分析了各种等价关系间的联系，说明了对等价关系的概念以及各种具体的等价关系及其应用的教学对促进学生抽象思维能力和逻辑推理能力提高的重要性。
关键词：离散数学；等价关系；认识论；教学“离散数学”是计算机专业的重要基础课程和核心课程。
通过该课程的教学，不仅要为学生们进一步学习本专业的后续课程提供必备的数学理论基础，更重要的是培养和提高学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。
与高等数学主要以连续量作为研究对象不同，离散数学主要以离散量作为主要的研究对象，内容包括数理逻辑、集合论、代数结构、图论以及组合数学、数论和离散概率等。
由于这些内容在描述形式、研究方法和计算机应用领域等方面均存在着较大差异，且含有大量比较抽象的概念、定理和各种各样的形式化描述，因而学生普遍感到困难重重，学习效果不理想。
因此，如何改进教学方法，提高教学效果，使学生们的抽象思维能力和逻辑推理能力真正得到提升，是“离散数学”课程教学过程中必须认真解决的重要课题。
1离散数学课程中的等价关系1.1离散数学课程中等价关系的概念定义1 设R为非空集合A上的二元关系。
如果R是自反的、对称的和可传递的，则称R为A上的等价关系。
定义2 设R为非空集合A上的等价关系，x∈A，令[ x ]R={ y | y ∈A ∧xRy }，则称[ x ]R 为x关于R的等价类，简记为[ x ]。
定义3 设R为非空集合A上的等价关系，以R的所有等价类作元素的集合称为A关于R的商集，记为A/R，即A/R={ [ x ]R| x∈A }。
根据定义1，很容易证明矩阵理论中的矩阵合同关系、相似关系都是等价关系；线性空间的同构关系也是一种等价关系。
下面主要讨论离散数学中一些常见的等价关系。
1.2离散数学课程中各种具体的等价关系数理逻辑中，命题公式A和B等值(记为A B)是指由它们构成的等价式A B 为永真式。
离散数学中等价关系的教学导入与导出
离散数学中等价关系的教学导入与导出等价关系是离散数学中的重要概念，也是理解和掌握其它更复杂思维模式的基础。
教学导入和导出是传播知识的一种常用方式，在等价关系教学中也同样重要。
导入：1.首先，等价关系应该是离散数学中概念的初步启蒙，可以使用简单的例子向学生描述简单的等价关系，比如，“1+1=2”和“2-1=1”的关系；同时，可以引入更复杂的例子，比如运用“立方体六个面，正方形四个角”的知识来讲解等价关系的概念。
2.然后，延伸到数字或集合中比较等价关系的概念，以展示他们数字之间的联系。
可以用统一的图示或表格呈现出来，比如，┌──────┐┌─┬─┬─┐┌┬┬┬┐|数字a |│1│2│3││4│5│6│└──────┘└─┴─┴─┘└┴┴┴┘┌──────┐┌─┬─┬─┐┌┬┬┬┐|数字b |│3│4│1││2│6│5│└──────┘└─┴─┴─┘└┴┴┴┘使用上述表格，可以展示出等价关系，比如数字a的1与数字b 的3互为等价，数字a的2与数字b的4互为等价。
3.接下来可以给出一个抽象的定义来理解等价关系：“等价关系是一种对象间的关系，当对对象执行的操作保持不变时，等价关系也不会改变，这种关系被称为，‘互换关系’。
”导出：1.在学习等价关系之前，应当清楚地解释等价关系有多种形式，比如：等值关系、对称关系、隐式关系，显式关系等。
这些关系的研究有助于学生更好地把握等价关系的含义和思想，以及如何使用等价关系来分析问题。
2.在深入了解等价关系之后，应当在练习中完成解题任务，提高学生综合运用等价关系分析问题的能力，比如提出一道已知等价关系形式的问题，要求学生以正确的方法分析出结果，并使用图示来表示等价关系。
3.最后，可以把具有更深层次思想的问题提出来，让学生发现某种等价关系和其它更复杂的概念或理论的联系，比如运用等价关系的思想来理解逻辑式的真值表的编制，或者利用等价关系来解决一个组合优化的问题。
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“离散数学”中的等价关系
“离散数学”是计算机专业的重要基础课程和核心课程。
通过该课程的教学，不仅要为学生们进一步学习本专业的后续课程提供必备的数学理论基础，更重要的是培养和提高学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。
与高等数学主要以连续量作为研究对象不同，离散数学主要以离散量作为主要的研究对象，内容包括数理逻辑、集合论、代数结构、图论以及组合数学、数论和离散概率等。
由于这些内容在描述形式、研究方法和计算机应用领域等方面均存在着较大差异，且含有大量比较抽象的概念、定理和各种各样的形式化描述，因而学生普遍感到困难重重，学习效果不理想。
因此，如何改进教学方法，提高教学效果，使学生们的抽象思维能力和逻辑推理能力真正得到提升，是“离散数学”课程教学过程中必须认真解决的重要课题。
1离散数学课程中的等价关系
1.1离散数学课程中等价关系的概念
定义1 设R为非空集合A上的二元关系。
如果R是自反的、对称的和可传递的，则称R为A上的等价关系。
定义2 设R为非空集合A上的等价关系，x∈A，令[ x ]R={ y | y ∈A ∧xRy }，
则称[ x ]R 为x关于R的等价类，简记为[ x ]。
定义3 设R为非空集合A上的等价关系，以R的所有等价类作元素的集合称为A关于R的商集，记为A/R，即A/R={ [ x ]R| x∈A }。
根据定义1，很容易证明矩阵理论中的矩阵合同关系、相似关系都是等价关系；线性空间的同构关系也是一种等价关系。
下面主要讨论离散数学中一些常见的等价关系。
1.2离散数学课程中各种具体的等价关系
数理逻辑中，命题公式A和B等值(记为A B)是指由它们构成的等价式A B 为永真式。
命题公式的等值关系是建立在由所有命题公式构成的集合上的一种等价关系，这种等价关系将所有命题公式按其是否等值划分成若干个等价类，属于同一个等价类中的命题公式彼此等值，因而，只要清楚了等价类中某一个公式的性质，则与该公式同类的公式的性质也就完全清楚了。
因此，命题公式的等值关系(等价关系)是获取命题公式性质的基石。
集合论中，集合A和B的等势是指从A到B存在一个双射函数即集合A中
的元素与集合B中的元素存在着一一对应。
显然，集合的等势关系是建立在由所有集合作元素构成的集合上的一个等价关系，它实际上是从集合所含元素多少的角度来对集合进行划分，只要两个集合所含元素的个数相同，就视它们为相同的集合，可将它们归于同一类。
图论中，无向图中点与点之间的连通关系是一种等价关系，它是建立在由无向图中所有结点做成的集合上的等价关系，只要两个结点间存在通路，则这两个结点就是等价的，它们便归于同一类，无向图中连通分支的概念就建立在连通关系的基础之上。
图的同构关系也是图论中又一种十分重要的等价关系，它实际上是全体图集合上的一个同时具有自反、对称和可传递三个性质的二元关系，可按此等价关系对全体图集合中的图进行划分，使属于同一个等价类中的图具有完全相同的性质。
代数结构中有一个重要的概念，即代数系统的同构。
代数系统的同构关系是全部代数系统构成的集合上的等价关系，利用代数系统的同构关系可以对代数系统集进行划分，从而使属于同一个等价类但其表现形式不同的代数系统具有同样的运算性质，只要知道了一个代数系统的性质，便可将其性质直接移植到与之同类但表现形式可能不同的新的代数系统上去。
在组合计数问题中会碰到这样一种困难，即区分所讨论的组合计数问题中哪些应该看成是相同的，哪些应该看成是不同的，在计数的过程中不能出现任何的重复或遗漏。
这种困难是概念性的，因为它要依据具体问题的要求确切地给出对象异同的数学定义。
也就是说，要在对象集合上定义一个等价关系，这样，计数的对象便是等价类，而不是元素本身。
组合计数问题中的许多结论、定理(如著名的Burnside引理、Polya计数定理)都要以这类等价关系的概念为基础。
通过上面各种具体等价关系的描述可以看到，尽管这些具体的等价关系分属于离散数学课程中各个不同的分支，所基于的集合中的对象表现形式和描述方式不同，对象的性质也是千差万别，但它们都是基于某一集合上的二元关系且均具有自反、对称和可传递三个性质，将它们的这种共性抽象出来便可使这些具体的等价关系都统一到定义1上来，从而实现了从特殊到一般的抽象。
由此可见，等价关系实质上是对相应集合中的具有同一性的对象即具有共性特征的对象的一种抽象，从认识论的角度来看，这符合从特殊到一般的认识规律。
在很多教材中，数理逻辑往往是最先介绍的内容，而等价关系的定义往往在其后介绍，所以，可以由命题公式的等值关系的性质(自反、对称和可传递)来引入(抽象)出等价关系的定义(定义1)，这是从特殊到一般的认识过程；其他的内容如图论和代数系统等则往往在等价关系的定义之后讲授，因此，可用一般等价关系的定义来阐述图的同构关系、代数系统的同构关系和组合计数中的等价关系等，这是从一般到特殊的认识过程。
在离散数学各个部分的教学过程中，可以等价关系作为一条重要的线索，将离散数学中的各个部分有机地组织和联系起来，使学生们能够深刻理解等价关系这一重要的概念，学会用联系的观点去分析、思考和解决问题，尽可能做到对各
部分的相关内容融会贯通，这对学生的抽象思维能力和逻辑推理能力的提高非常有益。
2等价关系的发展和应用
任何事物都是不断发展的，等价关系的概念也同样如此。
自从美国计算机与控制论专家L.A.Zadeh于1965年首次提出Fuzzy集的概念，从而对经典的Cantor集合理论做出了深刻的推广以来，模糊数学已经逐步发展成为一个较为完善的数学分支，并在众多的领域特别是人工智能领域获得了卓有成效的应用。
经典的二元关系理论中存在一个缺限，即没有考虑元素与元素间关系程度的不同。
在Zadeh提出了Fuzzy集的概念以后，人们便将经典的二元关系扩充为模糊数学中的模糊二元关系，通过模糊二元关系可以较好地刻画元素与元素间关系程度的不同，以模糊二元关系为基础，人们很自然地提出了模糊等价关系的概念。
借助于模糊等价关系，可以较好地解决具有Fuzzy性的聚类分析问题，而聚类分析则是数据挖掘领域中的重要课题之一。
比较建立在经典集合理论基础上的等价关系和建立在模糊二元关系基础上的模糊等价关系的定义，容易看出，在Cantor集合理论基础上的等价关系是模糊等价关系的特例，而模糊等价关系则是Cantor集合理论基础上的等价关系的推广，是更高层次上的抽象。
在教学过程中适当介绍模糊等价关系，一方面可以使学生们加深对等价关系概念的理解，学会用发展的眼光分析和解决问题，另一方面可以克服大多数离散数学教材只注重阐述理论而很少涉及其理论在计算机领域中的应用的缺陷，使学生们尽可能多地了解离散数学在计算机领域中的具体应用，提高学习离散数学的兴趣。
事实上，等价关系在计算机领域中还有很多应用，例如在软件工程领域，为了尽可能多的找出软件设计过程中可能存在的各种错误，常常使用一种被称之为”等价类划分”的软件测试方法。
这种方法实际上就是将所有待测试的数据所构成的集合划分成若干个符合软件需求规格及设计规定的有效等价类和若干个不符合软件需求规格及设计规定的无效等价类，然后在每个有效等价类和无效等价类中只各取一个数据进行测试。
若某个等价类中的一个数据能测出软件中的错误，则该等价类中的其余数据也能测出错误；相反地，若某个等价类中的一个数据不能测出软件中的错误，则该等价类中的其余数据也不能测出错误，从而可以大大提高软件测试的效率。
又如，在数据库理论中，分组查询是一种重要的数据库操作，它在本质上也是一种等价类的划分，即将相关数据表中的所有记录作为一个集合，根据记录的一个或多个属性(字段)的值是否相同来对表中的记录进行分类，字段值相同的归于同一类，在此基础上可以进行进一步的分组统计等操作。
再如，粗糙集理论是一种处理模糊和不确定性知识的数学工具，其主要思想
就是在保持分类能力不变的前提下，通过知识约简，导出问题的决策或分类规则。
在经典粗糙集理论(Pawlak粗糙集模型)中，等价关系是最为重要的基本概念之一，经典粗糙集理论的大部分概念均建立在等价关系的概念之上。
目前，粗糙集理论已被成功地应用于机器学习、决策分析、模式识别、过程控制和知识发现与数据挖掘等众多领域。
3结束语
为了提高教学效果，使学生的抽象思维能力和逻辑推理能力真正得到提升，教师可在离散数学各个部分的教学过程中，以等价关系作为一条重要的线索，将离散数学中的各个部分有机地组织和联系起来，使学生们能够深刻理解等价关系这一重要的概念，并学会用联系与发展的观点去分析、思考和解决问题，这对学生的抽象思维能力和逻辑推理能力的提高非常有益。
参考文献：
[1] 耿素云,屈婉玲. 离散数学[M]. 北京:高等教育出版社,2004.
[2] 张文修,吴伟志,梁吉业等. 粗糙集理论与方法[M]. 北京:科学出版社,2001.
[3] 胡宝清. 模糊理论基础[M]. 武汉大学出版社,2004.
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。