离散数学等价关系
离散数学___等价关系与偏序关系
思考：
设A＝{a, b, c, d}, 给定π1,π2,π3,π4,π5,π6如下： π1= { {a, b, c}, {d} }， π2= { {a, b}, {c}, {d} } π3= { {a}, {a, b, c, d} }, π4= { {a, b}, {c} } π5= { ,{a, b}, {c, d} }, π6= { {a, {a}}, {b, c, d} } 问哪些是A的划分, 哪些不是 A 的划分？ 答案： π 1和π 2 是A的划分, 其他都不是 A 的划分.
（2）当(a,b) ∈R时有(b,a) ∈R，所以满足对称性；
（3）当(a,b) ∈R和(b,c) ∈R时有(a,c) ∈R，所以R是可传递的。
由此可得同年龄关系 R是等价关系。
4
再如设集合A的情况同上所述 若令集合A={a , b , d , c , e , f } 同房间 同房间
其中a ,b, d同住一个房间，c, e ,f同住另一个房间。 如果同住一个房间的大学生认为是相关的，那么 “同房间”关 系 R也是等价关系。 （1）因为每一个大学生都和自已是同房间的，所以满足自反性；
7
（1）a ,b,c都姓“张”，d,e,f 都姓“李” a b
√ √ √
c
√ √ √
d
e
f
a √ b √
c √ d e f
a b c
√ √ √ √ √ √ √
d e f
√
√
a 1 1 1 0 0 0
b c d e f 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1
用刀分
{
离散数学第三章第四节
R= R1R2R3 ={<a,a>,<b,b>,<c,c>,<d,d>,<e,e>, <a,b>,<b,a>,<d,e>,<e,d>}
15
5、等价关系、商集及划分之间的关系（4）
例3：给出A={1，2，3}上的所有等价关系。 解：因A的所有划分如下图所示:
A上的所有等价关系就是π1 、π2 、π3 、π4 、π5对应的等 价 关 系 ，它们依次为 EA ， R2 ， R3 ， R4 ， IA ，其中 EA=A A为全域关系， IA= {<1,1> ,<2,2> ,<3,3> }， R2={<2,3>,<3,2>} IA R3={<1,3>,<3,1>} IA R4={<2,1>,<1,2>} IA
12
5、等价关系、商集及划分之间的关系（1）
定理4 集合A上的等价关系R确定A的一个划分，这个划分 就是商集A／R。 证：1、A/R={[a]R|aA},显然
aA
[a]
R
A
2、对aA，有a[a]R，所以A中的每个元素都属于 某个分块。 3、下面证明A中的任一个元素仅属于某一个分块。 设aA ，a[b]R且a[c]R，那么，bRa，cRa 。因 R对称，所以aRc。又因R是传递的,所以bRc。按定理3, [b]R=[c]R 。 综上所述，A/R是A关于R的一个划分。
10
3、等价类（2）
定理3 设R为非空集合A上的等价关系，a,b A, aRb当且仅当[a]R=[b]R。
证明：若aRb，任取c[a]R , c[a]RaRccRacRbbRcc[b]R , 故[a]R[b]R。 同理可证[b]R[a]R。 故[a]R=[b]R 。 反之,若[a]R=[b]R ,则 a[a]R a[b]R bRa aRb
离散数学等价关系
等价关系是设R是非空集合A上的二元关系，若R是自反的、对称的、传递的，则称R是A上的等价关系。
给定非空集合A,若有集合S={S ,S ,…,S }，其中S A，S（i=1,2,…,m）且S S = (i j)同时有S =A，称S是A的划分。
研究等价关系的目的在于将集合中的元素进行分类，选取每类的代表元素来降低问题的复杂度，如软件测试时，可利用等价类来选择测试用例。
扩展资料：
定义：
若关系R在集合A中是自反、对称和传递的，则称R为A上的等价关系。
所谓关系R 就是笛卡尔积 A×A 中的一个子集。
A中的两个元素x,y有关系R，如果(x,y)∈R。
我们常简记为xRy。
自反：任意x属于A，则x与自己具有关系R，即xRx；
对称：任意x,y属于A，如果x与y具有关系R，即xRy，则y与x 也具有关系R，即yRx；
传递：任意x,y,z属于A，如果xRy且yRz，则xRz
x,y具有等价关系R，则称x,y R等价，有时亦简称等价。
离散数学第四章等价关系和偏序关系
偏序集的特定元素
定义 设<A,≼>为偏序集, BA, y∈B. (1) 若x(x∈B→y≼x) 成立, 则称 y 为 B 的最小元. (2) 若x(x∈B→x≼y) 成立, 则称 y 为 B 的最大元. (3) 若x (x∈B∧x ≺ y) 成立, 则称 y 为B的极小元. (4) 若x (x∈B∧y ≺ x) 成立, 则称 y 为B的极大元.
定义 设A为非空集合, 若A的子集族π(π P(A)) 满足下面条件：
2 覆盖 1, 称 [x]R 为 x 关于R 的等价类, 简称为 x 的等价类, 简
例6 设偏序集<A,≼>如下图所示，求 A 的极小元、最小元、极大元、最大元. 例2 给出A＝{1,2,3}上所有的等价关系
4 和 6 覆盖 2. 设 A={1,2,…,8}, R={ <x,y>| x,y∈A∧x≡y(mod 3) }
例6 设偏序集<A,≼>如下图所示，求 A 的极小元、 最小元、极大元、最大元. 设 B＝{b,c,d}, 求 B 的下 界、上界、下确界、上确界.
极小元：a, b, c, g； 极大元：a, f, h； 没有最小元与最大元. B的下界和最大下界都 不存在, 上界有d 和 fห้องสมุดไป่ตู้ 最小上界为 d.
25
18
哈斯图实例
例4 <{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }, R整除> <P({a, b, c}), R>
19
哈斯图实例（续）
例5 已知偏序集<A,R> 的哈斯图如右图所示, 试求出集合A和关系 R的表达式.
A={a, b, c, d, e, f, g, h} R={<b,d>,<b,e>,<b,f>,<c,d>, <c,e>,<c,f>,<d,f>,<e,f>,<g,h>}∪IA
离散数学(3.10等价关系和等价类)
又例如 一群人的集合中姓氏相同的关系也是
等价关系。
但父子关系不是等价关系，因为它不可传递。
例1 设A是任意集合，则A上的恒等关系和全
域关系UA均是A上的等价关系。
例2 设 A {a,b, c, d} ，A上的关系
{a, a,a,b,b, a,b,b,c,c,c, d,d,c,d, d}
显然有 [0] [3] [3] [6] [1] [4] [2] [2] [5] [1]
而 Z1, Z2 , Z3 恰好为 Z 的一个划分。
3.8.2等价类的性质(The Properties of
Equivalence class )
class )
பைடு நூலகம்
AB
3.8.3等价关系与划分(Equivalence Relations &
Partitions)
3.8.1等价关系的定义(The Definition of
Equivalence Relation )
1. 等价关系
定义3.8.1集合A上的关系ρ，如果它是自反的，对
称的，且可传递的，则称ρ是A上的等价关系。
例4 对于例2中的ρ来说
[a] {a,b}, [b] {a,b}
[c] {c, d}, [d ] {c, d}
例5 整数集Z关于模3同余关系ρ的等价类共有三个：
Z1 [0] { ,3n, ,6,3,0,3,6, ,3n, },
Z2 [1] { ,3n 1, ,5,2,1,4,7, ,3n 1, }, Z3 [2] { ,3n 2, ,4,1,2,5,8, ,3n 2, }
离散数学等价关系
等价类：在离散数学中，等价关系是指定义在集合A上的关系，满足自反的、对称的和传递的等性质。
设R是定义在集合A上的等价关系，与A中一个元素a有关系的所有元素的集合叫做a的等价类。
等价类应用十分广泛，如在编程语言中，我们使用等价类来判定标识符是不是表示同一个事物。
定义：在离散数学中，等价关系是指定义在集合A上的关系，满足自反的、对称的和传递的等性质。
设R是定义在集合A上的等价关系，与A中一个元素a有关系的所有元素的集合叫做a的等价类。
A的关于R的等价类记作。
当只考虑一个关系时，我们省去下表R并把这个等价类写作[a]。
在软件工程中，是把所有可能输入的数据，即程序的输入域划分成若干部分（子集），然后从每一个子集中选取少数具有代表性的数据作为测试用例，从而减少了数据输入量从而提高了效率，称之为等价类方法，该方法是一种重要的、常用的黑盒测试用例设计方法。
分类：在离散数学中，等价类的划分基于以下定理：设R是定义在集合A上的等价关系。
那么R的等价类构成S的划分。
反过来，给定集合S的划分{ |i∈I},则存在一个等价关系R，它以集合作为它的等价类。
因为等价关系的a 在a 中和任何两个等价类要么相等要么不交集不相交的性质。
得出X 的所有等价类的集合形成X 的集合划分划分: 所有X 的元素属于一且唯一的等价类。
反过来，X 的所有划分也定义了在X 上等价关系。
在软件工程中等价类划分及标准如下：划分等价类等价类是指某个输入域的子集合。
在该子集合中，各个输入数据对于揭露程序中的错误都是等效的，并合理地假定：测试某等价类的代表值就等于对这一类其他值的测试，因此，可以把全部输入数据合理划分为若干等价类，在每一个等价类中取一个数据作为测试的输入条件就可以用少量代表性的测试数据取得较好的测试结果。
等价类划分有两种不同的情况：有效等价类和无效等价类。
1）有效等价类是指对于程序的规格说明来说是合理的、有意义的输入数据构成的集合。
利用有效等价类可检验程序是否实现了规格说明所规定的功能和性能。
离散数学等价关系与偏序关系
等价类
设R是非空集合A上的等价关系， 则A上互相等价的元素构成了A的 若干个子集，称作等价类
定义 设R为非空集合A上的等价关系, x∈A，令
[x]R = { y | y∈A∧xRy } 称 [x]R 为 x 关于R 的等价类, 简称为 x 的等价类, 简 记为[x].
实例 A={ 1, 2, … , 8 }上模 3 等价关系的等价类： [1]=[4]=[7]={1,4,7} [2]=[5]=[8]={2,5,8} [3]=[6]={3,6}
如果顶点 xi 连通到xk , 则 从 xi到 xk 有 边
1
例：给定集合X={a,b,c}，R和S是X中的关系，给
定
R {a,b, a, c, c, b}
S {a,b, b, c, c, a}
试求出t(R),t(S)，并画出关系图
解：t(R) R1 R2 R3 R
t(S) S1 S2 S3 S1 S2 S3
11
例题
例1 设A＝{a, b, c, d}, 给定π1,π2,π3,π4,π5,π6如下：
π1= { {a, b, c}, {d} }， π2= { {a, b}, {c}, {d} } π3= { {a}, {a, b, c, d} }, π4= { {a, b}, {c} } π5= { ,{a, b}, {c, d} }, π6= { {a, {a}}, {b, c, d} }
关系性质判别
定义
条件 关系 矩阵
自反
反自反
对称
反对称
x(x∈A→<x x(x∈A→
,x>R)
<x,x>R)
xy(x,y∈A∧ <x,y>∈R→<y,x >∈R)
离散数学求等价类例题
离散数学求等价类例题
在离散数学中，等价关系是一种非常重要的关系。
等价关系描述了两个对象之间的某种关系，使得它们可以被分类到同一个等价类中。
在这里，我们将讨论一个求等价类的例题。
假设我们有一个集合S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，并且我们定义了一个关系R，如果两个元素的差是3的倍数，则它们在R下是等价的。
现在我们的任务是找出所有在R下等价的元素，并将它们分别放在它们自己的等价类中。
首先，我们可以列出所有的可能的元素对。
这样做可以帮助我们更好地理解哪些元素在R下是等价的。
我们可以使用以下步骤来找到所有的等价类：
1. 将每个元素放在它自己的等价类中。
2. 对于每个等价类中的元素，找到与它等价的所有元素。
如果有一个元素与该等价类中的元素等价，则将其添加到该等价类中。
3. 重复步骤2，直到没有新的元素可以添加到任何等价类中。
在这个例子中，我们可以得到以下等价类：
{1,4,7,10}
{2,5,8,11}
{3,6,9,12}
这些等价类中的元素在R下是等价的。
我们可以看到，其中的每个等价类都包含了与其内部元素等价的所有元素。
通过这个例题，我们可以更好地理解等价关系和等价类的概念。
它们在离散数学中有着广泛的应用，对于我们理解和解决许多问题都是非常重要的。
离散数学等价关系
概念问题二进制关系：A和B的笛卡尔积的子集称为从A到B的二进制关系。
集合上的关系：从a到a的关系。
关系的性质反射，抗反射，对称，抗对称和传输。
没有列出概念，但应注意以下方面：（1）所有属性的概念都是逻辑表达式，即判断是非，必须严格按照定义判断是非；（2）它们都是用全名量词表示的逻辑表达式，因此必须为真才能保持一致；（3）它们全部由隐含条件语句表示。
如果前提为假，则它也为真，也就是说，所有未出现在真之后再为假的内容都为真。
关系代表（1）设置符号（适合定义和表示）；（2）图表表示（适合直观感觉和观察特性）；（3）关系矩阵表示（适合计算）；特别地，关系矩阵是布尔矩阵，即逻辑矩阵，其描述A中的第i个元素是否与B中的第j个元素有关。
关系运作（1）交叉，合并与区别R1ÇR2————M1ÙM2R1ÈR2————M1ÚM2（2）综合合成操作非常重要且容易出错。
注意其顺序以及对集合，图形和矩阵的相应计算。
自我及其综合运算形成力量。
例如，R 2对应于由点直接连接的边，这些点可以从图形上的每个点分两步到达。
另一个例子R1°R2 ————M2M1R ^ 2 ————M ^ 2关系的应用（1）n元关系的应用一般来说，当2元关系扩展到N元关系时，它就成为数据库的基本框架。
N元有序对是N个字段的记录，因此关系操作对应于数据库操作。
我们只知道这部分内容（与数据库重复）。
（2）封闭的应用首先，介绍了三种闭包的概念。
如果用一句话来概括，R的自反/对称/传递闭包是包含R的自反/对称/传递关系中最小的。
然后其应用着重于掌握传递闭包的应用，它可以显示传递性直接通过连接边可到达的点的连通性。
然后讨论三个闭包的计算：（3）等价关系的应用首先是等价关系的概念，以及等价类和划分的扩展概念。
其次，等价关系的应用仅仅是分类。
因为等价与划分之间存在一一对应的关系。
A.如果一个关系是集合a上的等价关系，写出每个元素的等价类，然后删除重复项，则由非重复等价类组成的集合就是原始集合a的除法。
离散数学第四章课件
无对称的偶对。
表示关系矩阵的主对角线两侧各有一个1且 对称，即有一个对称的偶对。
C1
n(n＋1) 2
n(n＋1) C 2 n(n＋1) 2
表示关系矩阵的主对角线两侧全为1，
C1 ＋ n(n＋ ＋…＋ 2
n(n＋1) C 2 n(n＋1) 2
于是
C0 n(n＋1) 2 ＝
2
n(n＋1) 2
四、反对称性 ⒈ 定义： 若xy(x∈A∧y∈A∧xRy∧yRx→x=y)， 称R是反对称的。 例：设A={ a , b , c , d } R={ < a , b > , < a , c > , < b , b > , <b,d>,<c,c>,<c,d>, < d , d >}
⒉自反关系的关系矩阵的特征
R的关系矩阵的主对角线上的元素均为
1 ，则该关系就不具有自反性；
主对角线上有一个元素不为1，则该关
系就不具有自反性。
⒊ 自反关系的图的特征 自反关系的关系图中，每个顶点都有 自回路，则该关系具有自反性。
二、反自反性 ⒈ 定义：若x（x∈A xRx）则该关系是 反自反的。 ⒉ 具有反自反性的关系的关系矩阵的主对角
2 t1× t2 × … ×tn
五、关系的表示法-----通常有三种表示方法
⒈ 集合表示法： 因为关系也是集合，所以也可以用集合 的表示方法
例：A={ 2, 3,4,6 ,9,12 }上的整除关系
用特征描述法表示为
R＝{ < x , y > | x∈A ∧ y∈A ∧ x|y }
用穷举法表示为
R={ < 2 , 2 > , < 2 , 4 > , < 2 , 6 > ,
离散数学中等价关系的教学导入与导出
离散数学中等价关系的教学导入与导出等价关系是离散数学中的重要概念，也是理解和掌握其它更复杂思维模式的基础。
教学导入和导出是传播知识的一种常用方式，在等价关系教学中也同样重要。
导入：1.首先，等价关系应该是离散数学中概念的初步启蒙，可以使用简单的例子向学生描述简单的等价关系，比如，“1+1=2”和“2-1=1”的关系；同时，可以引入更复杂的例子，比如运用“立方体六个面，正方形四个角”的知识来讲解等价关系的概念。
2.然后，延伸到数字或集合中比较等价关系的概念，以展示他们数字之间的联系。
可以用统一的图示或表格呈现出来，比如，┌──────┐┌─┬─┬─┐┌┬┬┬┐|数字a |│1│2│3││4│5│6│└──────┘└─┴─┴─┘└┴┴┴┘┌──────┐┌─┬─┬─┐┌┬┬┬┐|数字b |│3│4│1││2│6│5│└──────┘└─┴─┴─┘└┴┴┴┘使用上述表格，可以展示出等价关系，比如数字a的1与数字b 的3互为等价，数字a的2与数字b的4互为等价。
3.接下来可以给出一个抽象的定义来理解等价关系：“等价关系是一种对象间的关系，当对对象执行的操作保持不变时，等价关系也不会改变，这种关系被称为，‘互换关系’。
”导出：1.在学习等价关系之前，应当清楚地解释等价关系有多种形式，比如：等值关系、对称关系、隐式关系，显式关系等。
这些关系的研究有助于学生更好地把握等价关系的含义和思想，以及如何使用等价关系来分析问题。
2.在深入了解等价关系之后，应当在练习中完成解题任务，提高学生综合运用等价关系分析问题的能力，比如提出一道已知等价关系形式的问题，要求学生以正确的方法分析出结果，并使用图示来表示等价关系。
3.最后，可以把具有更深层次思想的问题提出来，让学生发现某种等价关系和其它更复杂的概念或理论的联系，比如运用等价关系的思想来理解逻辑式的真值表的编制，或者利用等价关系来解决一个组合优化的问题。
《离散数学》《集合论》作业２：等价关系部分题解
１．｛１，２，３，４｝上的等价关系有多少？解：∵４＝１＋３＝１＋１＋２＝２＋２＝１＋１＋１＋１∴集合｛１，２，３，４｝的划分有：１＋Ｃ４１＋Ｃ４２＋Ｃ４２／２＋１＝１＋４＋６＋６／２＋１＝１５（种）∵集合的划分与集合上的等价关系一一对应∴集合｛１，２，３，４｝上的等价关系有１５种２．Ｘ＝｛１，２，３，４｝，Ｘ的划分Π＝｛｛１，２，３｝，｛４｝｝：①求由Π诱导的等价关系②计算Π的全部加细解：①由Π诱导的等价关系Ｒ＝｛１，２，３｝×｛１，２，３｝∪｛４｝×｛４｝＝｛<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<2,3>,<3,1>,<3,2>,<3,3>,<4,4>｝②Π的加细有：｛｛1,2,3｝,｛4｝｝｛｛1,2｝,｛3｝,｛4｝｝｛｛1,3｝,｛2｝,｛4｝｝｛｛2,3｝,｛1｝,｛4｝｝｛｛1｝,｛2｝,｛3｝,｛4｝｝３．Ａ是非空集合，Ｒ１、Ｒ２是Ａ上的等价关系，下列关系是否等价关系？为什么？①（Ａ×Ａ）－Ｒ１②Ｒ１－Ｒ２③ r（Ｒ１－Ｒ２）④Ｒ１oＲ２⑤Ｒ１oＲ１解：①（Ａ×Ａ）－Ｒ１不是等价关系：不自反②Ｒ１－Ｒ２不是等价关系：不自反③ r（Ｒ１－Ｒ２）不是等价关系：有可能不传递例：A={1,2,3}R1=IA∪{<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,1>,<2,3>,<3,2>}R2=IA∪{<2,3>,<3,2>}④Ｒ１oＲ２不是等价关系：有可能不对称例：A={1,2,3}R1=IA∪{<1,2>,<2,1>}R2=IA∪{<2,3>,<3,2>}⑤Ｒ１oＲ１是等价关系：（１）∵R1是等价关系∴R1自反,对称,传递∀x∈A ∵R1自反∴<x,x>∈R1 ∴<x,x>∈R1oR1 ∴R1oR1自反（２）∀<x,y>∈R1oR1 存在z∈A使<x,z>∈R1且<z,y>∈R1∵R1对称∴有<z,x>∈R1且<y,z>∈R1∴<y,x>∈R1oR1 ∴R1oR1对称（３）∀<x,y>,<y,z>∈R1oR1存在u∈A使<x,u>∈R1且<u,y>∈R1 存在v∈A使<y,v>∈R1且<v,z>∈R1∵R1传递∴有<x,y>∈R1且<y,z>∈R1∴<x,z>∈R1oR1 ∴R1oR1传递10.2 A={<1,2>,<2,4>,<3,3}, B={<1,3>,<2,4>,<4,2},求: ①A∪B ②A∩B ③dom(A) ④dom(B) ⑤ran(A) ⑥ran(B) ⑦dom(A∪B) ⑧ran(A∩B) 解：①A∪B = {<1,2>,<1,3>,<2,4>,<3,3>,<4,2>}②A∩B = {<2,4>}③dom(A) = {1,2,3}④dom(B) = {1,2,4}⑤ran(A) = {2,3,4}⑥ran(B) = {2,3,4}⑦dom(A∪B) = {1,2,3,4}⑧ran(A∩B) = {4}10.3 求证：①dom(R∪S) ＝ dom(R)∪dom(S)②dom(R∩S) ≤ dom(R)∩dom(S)证明：设R和S是从A到B的关系①∵∀x∈A, 有x∈dom(R∪S)<＝> (∃y)( y∈B ∧ <x,y>∈R∪S )<＝> (∃y)( y∈B ∧ (<x,y>∈R ∨ <x,y>∈S) )<＝> (∃y)( (y∈B ∧ <x,y>∈R) ∨ (y∈B ∧ <x,y>∈S) )<＝> (∃y)(y∈B ∧ <x,y>∈R) ∨ (∃y)(y∈B ∧ <x,y>∈S)<＝> x∈dom(R) ∨ x∈dom(S)<＝> x∈(dom(R)∪dom(S))∴dom(R∪S) ＝ dom(R)∪dom(S)②∵∀x∈A, 有x∈dom(R∩S)<＝> (∃y)( y∈B ∧ <x,y>∈R∩S )<＝> (∃y)( y∈B ∧ (<x,y>∈R ∧ <x,y>∈S) )<＝> (∃y)( (y∈B ∧ <x,y>∈R) ∧ (y∈B ∧ <x,y>∈S) )＝> (∃u)(u∈B ∧ <x,u>∈R) ∧ (∃v)(v∈B ∧ <x,v>∈S)<＝> x∈dom(R) ∧ x∈dom(S)<＝> x∈(dom(R)∩dom(S))∴dom(R∩S) ≤ dom(R)∩dom(S)10.5 列出所有从A={a,b,c}到B={d}的关系解: 应该有23×1 = 8种关系即A×B={<a,d>,<b,d>,<c,d>} 的所有子集:Φ{<a,d>}{<b,d>}{<c,d>}{<a,d>,<b,d>}{<a,d>,<c,d>}{<b,d>,<c,d>}{<a,d>,<b,d>,<c,d>}10.8 R={<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,2>,<1,3>,<2,3>}求: ①RoR ②R↑{1} ③R-1↑{1} ④R[{1}] ⑤R-1[{1}]解: ①RoR = {<0,2>,<0,3>,<1,3>}②R↑{1} = {<1,2>,<1,3>}③R-1↑{1} = {<1,0>}④R[{1}] = {2,3}⑤R-1[{1}] = {0}10.9 A = { <Φ,{Φ,{Φ}}> , <{Φ},Φ> }求: ①AoA ②A-1③A↑Φ④A↑{Φ} ⑤A↑{Φ,{Φ}} ⑥A[Φ] ⑦A[{Φ}] ⑧A[{Φ,{Φ}}] 解: ① AoA = { <{Φ} , {Φ,{Φ}}> }② A-1 = { < {Φ,{Φ}},Φ> , <Φ,{Φ} > }③ A↑Φ = Φ④ A↑{Φ} = { <Φ,{Φ,{Φ}}> }⑤ A↑{Φ,{Φ}} = { <Φ,{Φ,{Φ}}> , <{Φ},Φ> }⑥ A[Φ] = Φ⑦ A[{Φ}] = { {Φ,{Φ}} }⑧ A[{Φ,{Φ}}] = { {Φ,{Φ}} , Φ }10.10 R,S,T是A上的关系, 求证Ro(S∪T) = (RoS)∪(RoT)10.11 S是从X到Y的关系, T是从Y到Z的关系, A和B是集合求证: ① S[A] ≤Y② (ToS)[A] ＝ R[S[A]]③ S[A∪B] ＝ S[A]∪S[B]④ S[A∩B]≤S[A] ∩S[B]10.12 对A上的关系R, 以及集合A1和A2 ,求证: ① A1≤A2 => R[A1]≤R[A2]② R↑(A1∪A2) = R↑A1 ∪ R↑A210.18 对A上的关系R, 以下结论为真则证明,为假则举一反例:①若R1和R2自反，则R1oR2也自反②若R1和R2反自反，则R1oR2也反自反③若R1和R2对称，则R1oR2也对称④若R1和R2传递，则R1oR2也传递解: ①为真。
等价关系与等价类 离散数学
1、任意两个分块相交为空
2、[1]R ∪ [2]R = A
定理3 定理3 集合A上的等价关系R，决定了商集A/R ，可确定A 上的一个划分。
证明: A/R = { [a]R | a∈A} 。 i. 对于aA ，由于R是自反的，有aRa成立，即a ∈[a]R ， 由等价类的定义知[a]R为A的子集，故每个等价类都是A 的非空子集。 ii. 在A/R={ [a]R | a ∈A}中， a∪∈A[a]R =A iii. A的每个元素只能属于一个分块。(反证)
3. 若<a,b>∈R，<b,c>∈R，则a≡b(mod k)，b≡c(mod k)，有a-
b= t1×k ，b-c= t2×k(t1,t2是整数)，故a-c=(t1+t2)×k， 从而a≡c(mod k)， 故<a,c>∈R。
由1，2，3知，R在I上是自反的、对称的和传递的，从而R是I上 的等价关系。
3-10 等价关系与等价类
1. 等价关系 定义： R是定义在集合A上的一个关系，如果R是自反的、对 称的和传递的，则称R为等价关系。
说明：设R是A上的等价关系，a,b是A的任意元素，若<a,b>R ， 通常我们记作 a~b，读作“a等价于b”。 等价关系的 关系图有何特点？
例如，平面上的三角形集合中，三角形相似关系是等价关系； 上海市的居民集合中，住在同一区的关系也是等价关系。 数中的相等关系，集合间的相等关系，命题演算中的 等价关系都是等价关系。
因为 i. 对aA， a与a在同一分块中，故有aRa，即R是自反的； ii. 对a，bA，若aRb ，则a与b在同一分块中，故b与a也必在同一 分块中，则bRa，故R是对称的； iii. 对a,b,cA，若aRb，bRc即a与b在同一分块中，b与c在同一分块 中，因为Si∩Sj=(i≠j),所以b属于且仅属于一个分块，故a与c必 在同一分块中，故有aRc，即R是传递的;
离散数学作业6-集合与关系-等价关系
-----WORD 格式--可编辑--专业资料-----
--完整版学习资料分享---- 离散数学作业
作业6 ——等价关系
1. 设R 和S 均为A 上的等价关系，确定下列各式，哪些是A 上的等价关系？如果是，证明之；否则，举反例说明。
（1）R ∩S （2）R ∪S （3）r (R-S)
（4）R- S （5）R ◦S （6）R 2
2. R 是集合A 上的二元关系，∀ a,b,c ,若aRb,且bRc,有cRa ,则称R 是循环关系。
证明R 是自反和循环的，当且仅当R 是一等价关系。
3. 设|A|=n ，在A 上可以确定多少个不同的等价关系？
4. 给定集合S={ 1 , 2 , 3, 4, 5 }，找出S 上的等价关系R ，此关系R 能够产生划分{{1，2}，{3}，{4，5}}，并画出关系图。
5. 设A={1，2，3，4，5}。
R 是集合A 上的二元关系，其关系矩阵如下图所示。
求包含R 的最小等价关系和该等价关系所确定的划分。
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0010001000
000000101000001R
M
6. （选做题）设R 与S 是A 上的等价关系，证明：
（1）R S 是A 上的等价关系，iff R S=S R ；
（2）R ∪S 是A 上的等价关系，iff R S ⊆S 且 S R ⊆R.。
离散数学：第7讲 等价关系
C11n2 ,.nn
1.
2020/12/29
等价关系
34
Stirling子集数
递推公式: n n 1 n 1
k
k
k
k
1.
剔除一个
其余分k类
加入一类
其余分k-1类
2020/12/29
自成一类
等价关系
35
Bell数表
n
Bn
1
1
2
2
3
5
4
15
5
52
6
203
7
877
2020/12/29
n 8 9 10 11 12 13 14
具有对称性
2020/12/29
等价关系
8
问题(续2)
自反 对称 传递
tsr(R)=trs(R) str(R)=srt(R)
=rts( R )
=rst( R )
2020/12/29
等价关系
9
定理7.13
定理7.13: 设RAA且A,则 (1) R自反 s( R )和t( R )自反; (2) R对称 r( R )和t( R )对称; (3) R传递 r( R )传递。
xy
2020/12/29
等价关系
24
商集(quotient set)
商集: 设R是A上等价关系, A/R = { [x]R | xA }
称为A关于R的商集, 简称A的商集. 例11(续):
A/R ={ {1,4}, {2,5,8}, {3} }.
2020/12/29
等价关系
25
例12
例: 考虑A={a,b,c}上的等价关系.
等价关系
Bn 4,140 21,147 115,975 678,570 4,213,597 27,644,437 190,899,322
离散数学第18讲
2、A= {1,2,3,4,6,8,12}，R是A上的整除关系，请作出偏 序集<A,R>的哈斯图，给出关系矩阵，并求出A的极大 元、极小元、最大元和最小元。若B={2,3,4}，求出B的 上界，下界，最小上界，最大下界。
第八章 函 数
定义8.2 设F,G为函数，则 F=G F G ∧G F 即 1、domF=domG 2、 x∈domF= domG都有F(x)=G(x)
例如 函数 x2-1 F(x)= x+1
G(x)= x-1 是否相等？？？
第八章 函 数
定义8.3 设A，B为集合，如果f为函数，且domf=A,ranfB, 则称f为从A到B的函数，记作f:A→B。 例：当x ∈ N时, f(x)=2x, G(x)=4 均为从N到N的 函数。 定义8.4 所有从A到B的函数的集合记作BA，读作“B上A”。 符号化表示为： BA ={f | f: A→B}
解: f。g (x)=g(f(x))=g(x+3)=2(x+3)+1=2x+7 g。h。f(x)=f(g。h (x))= f(h (g(x))) = f(h (2x+1))=f((2x+1)/2)= (2x+1)/2+3=x+7/2
第八章 函 数
等价关系与等价类集合与关系离散数学-文档资料
[3]R={3,7}
=[7]R
余数为3的等价类
[4]R={4}
余数为0的等价类
总结：
（1）集合中的10个元素都有一个等价类。
（2）各等价类之间或者完全相等或者不相交。
（3）所有等价类的并集就是A。
第12页
2
6
1
59
10 14
37
4
[1]R=[5]R=[9]R={1,5,9} [2]R=[6]R=[10]R=[14]R={2,6,10,14} [3]R=[7]R={3,7} [4]R={4}
整数集合上的“小于”关系 不是等价关系。
第4页
例3-10.2 集合A={1,2,3,4,5,6,7,9,10,14}，R是A上的模4同 余关系，试通过关系图说明R是等价关系。
分析：R={<x,y>|x除以4与y除以4的余数相同}
<x,y>∈R x(mod 4)=y(mod 4)或x≡y(mod 4)
每个关系子图即为一个等价类，位于此子图中的元 素的等价类相同，等于该子图中的所有元素构成的 集合。
第13页
2、等价类性质
R是A上等价关系，任意x,y,z∈A
⑴同一个等价类中的元素，彼此有等价关系R。
第9页
二
元 关
性 质
系
自反 对称 传递 反对称 反自反
等价关系
有 向 图
等 价 类
商 集
划 分
第10页
二、 等价类
1、定义3-10.2 : x的等价类 R是A上的等价关系，对任何x∈A，集合[x]R称为 由x生成的R等价类，简称x的等价类： [x]R={y|y∈A∧xRy} 简化写法：y∈[x]R xRy 讨论： （1）等价类[x]R是一个集合，且[x]R A。 （2）[x]R中的元素是在等价关系R中，与x有 等价关系R的所有元素组成的集合。 （3）[x]R Φ， x∈[x]R。
“离散数学”中的等价关系
“离散数学”中的等价关系本文阐述了离散数学课程中的一个非常重要的概念即等价关系以及各种具体的等价关系和等价关系在计算机领域中的应用，并运用认识论中的同一性原理和联系与发展的观点，分析了各种等价关系间的联系，说明了对等价关系的概念以及各种具体的等价关系及其应用的教学对促进学生抽象思维能力和逻辑推理能力提高的重要性。
关键词：离散数学；等价关系；认识论；教学“离散数学”是计算机专业的重要基础课程和核心课程。
通过该课程的教学，不仅要为学生们进一步学习本专业的后续课程提供必备的数学理论基础，更重要的是培养和提高学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。
与高等数学主要以连续量作为研究对象不同，离散数学主要以离散量作为主要的研究对象，内容包括数理逻辑、集合论、代数结构、图论以及组合数学、数论和离散概率等。
由于这些内容在描述形式、研究方法和计算机应用领域等方面均存在着较大差异，且含有大量比较抽象的概念、定理和各种各样的形式化描述，因而学生普遍感到困难重重，学习效果不理想。
因此，如何改进教学方法，提高教学效果，使学生们的抽象思维能力和逻辑推理能力真正得到提升，是“离散数学”课程教学过程中必须认真解决的重要课题。
1离散数学课程中的等价关系1.1离散数学课程中等价关系的概念定义1 设R为非空集合A上的二元关系。
如果R是自反的、对称的和可传递的，则称R为A上的等价关系。
定义2 设R为非空集合A上的等价关系，x∈A，令[ x ]R={ y | y ∈A ∧xRy }，则称[ x ]R 为x关于R的等价类，简记为[ x ]。
定义3 设R为非空集合A上的等价关系，以R的所有等价类作元素的集合称为A关于R的商集，记为A/R，即A/R={ [ x ]R| x∈A }。
根据定义1，很容易证明矩阵理论中的矩阵合同关系、相似关系都是等价关系；线性空间的同构关系也是一种等价关系。
下面主要讨论离散数学中一些常见的等价关系。
1.2离散数学课程中各种具体的等价关系数理逻辑中，命题公式A和B等值(记为A B)是指由它们构成的等价式A B 为永真式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
离散数学是一门研究离散量结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的重要分支。
离散的含义是指不同的连接元素，主要根据离散量研究结构和它们之间的关系，其对象通常是有限的或可数的元素。
离散数学已广泛应用于各个学科，尤其是计算机科学和技术。
同时，离散数学也是计算机专业许多专业课程必不可少的高级课程，例如编程语言，数据结构，操作系统，编译技术，人工智能，数据库，算法设计和分析以及计算机理论基础。
通过对离散数学的研究，我们不仅可以掌握处理离散结构的描述工具和方法，为后续课程创造条件，还可以提高抽象思维和严格的逻辑推理能力，打下坚实的基础。
参与未来的创新研发工作。
随着信息时代的到来，以微积分为代表的连续数学在工业革命时代的主导地位发生了变化，离散数学的重要性逐渐为人们所认识。
离散数学教授的思想和方法广泛地反映在计算机科学和技术及相关专业的各个领域，从科学计算到信息处理，从理论计算机科学到计算机应用技术，从计算机软件到计算机硬件，从人工智能到认知系统，所有这些都与离散数学密切相关。
因为数字电子计算机是离散结构，所以它只能处理离散或离散的定量关系。
因此，计算机科学本身以及与计算机科学及其应用密切相关的现代科学研究领域都面临着如何为离散结构建立相应的数学模型的问题。
以及如何离散化通过连续数量关系建立的数学模型，以便可以通过计算机对其进行处理。
离散数学是一门综合性学科，由传统逻辑，集合论（包括函数），数论基础，算法设计，组合分析，离散概率，关系论，图论和树，抽象代数（包括代数系统，组）组成。
，环，域等），布尔代数和计算模型（语言和自动机）。
离散数学已应用于现代科学和技术的许多领域。
离散数学也可以说是计算机科学的基本核心学科。
离散数学中有一个著名的典型例子-四色定理，也称为四色猜想，它是现代世界上三个主要的数学问题之一。
它是由英国制图员弗朗西斯·古斯里（Francis guthrie）于1852年提出的。
当他为地图着色时，他发现了一种现象：“每张地图只能用四种颜色着色，而具有共同边界的国家可以使用不同的颜色。
”那么可以通过数学证明吗？100多年后的1976年，肯尼思·阿佩尔（Kenneth Appel）和沃尔夫冈·哈肯（Wolfgang Haken）使用了计算机辅助计算，这花了1200个小时和100亿次判断，终于证明了四色定理，这在世界上引起了轰动。
这是离散数学与计算机科学合作的结果。
离散数学可以看作是数学与计算机科学之间的桥梁，因为离散数学不仅可以与诸如集合论和图论之类的数学知识区分开，而且与计算机科学中的数据库理论和数据结构有关，这可以导致人们进入计算机科学的思维领域，促进计算机科学的发展。