土中 应 力 计 算
土力学课件 第3章 土中应力分布及计算.
计算如图所示水下地基土中的自重应力分布
水面 a 8m
粗砂 r=19KN/m3 rsat=19.5KN/m3
黏土r=19.３KN/m3 4m rsat=19.４KN/m3 W=20%,WL=55%,WP=24%
b 76KPa 176KPa c 253.2KPa
解：水下的粗砂层受到 水的浮力作用， 其有效重度： r , rsat rw 19.5 10 9.5 KN / m 3 粘土层因为W WP , 所以I L 0, 故认为土层 不受到水的浮力作用， 土层面上还受到 上面的静水压力作用。 a点：Z 0， CZ 0 KPa； b点：Z 8m, 该点位于粗砂层中，
应力符号规定
法向应力以压为正，剪应力方向的符号规定则与材料力 学相反。材料力学中规定剪应力以顺时针方向为正，土力学 中则规定剪应力以逆时针方向为正。
压为正，拉为负，剪应力以逆时针为正
土中的自重应力计算
土中应力按其起因可分为自重应力和附加应力两种。
自重应力是土受到重力作用产生的应力，自重应力一般是自 土体形成之日起就产生于土中。
二.成层土自重应力计算 地基土通常为成层土。当地基为成层土体时，设各土层 的厚度为hi，重度为ri，则在深度z处土的自重应力计算公 式为：
cz i hi
i 1
n
z hi
i 1
n
n—从地面到深度z处的土层数； hi—第i层土的厚度，m。 成层土的自重应力沿深度呈折线分布，转折点位于r值 发生变化的土层界面上。
◇若0＜IL＜1，土处于塑性状态，土颗粒是否受到水的 浮力作用就较难肯定，在工程实践中一般均按土体受 到水浮力作用来考虑。
四．存在隔水层时土的自重应力计算
当地基中存在隔水层时，隔水层面以下土的自重应力应 考虑其上的静水压力作用。
第三章 土中应力
课程辅导 >>> 第三章、土中应力和地基应力分布第三章土中应力和地基应力分布一、内容简介土中应力是指自重、建筑物和构筑物荷载以及其他因素（如土中水的渗流、地震等）在土体中产生的应力。
土中应力过大时，会使土体发生破坏乃至发生滑动，失去稳定。
此外，附加应力会引起土体变形，使建筑物发生沉降、倾斜以及水平位移。
土是三相体，具有明显的非线性特征。
为简便起见，将地基土视作连续的、均匀的、各向同性的弹性半无限体，采用弹性理论公式计算土的应力。
这种假定同土体的实际情况有差别，不过其计算结果尚能满足实际工程的要求。
二、基本内容和要求1 ．基本内容（ 1 ）土中一点的应力状态；（ 2 ）弹性力学平衡方程及边界条件；（ 3 ）均匀满布荷载及自重应力作用下的应力计算；（ 4 ）垂直集中荷载、线状荷载、带状荷载、局部面积荷载作用下的应力计算；（５）基底接触压力；（６）刚性基础基底压力的简化计算方法。
2 ．基本要求★ 概念及基本原理【掌握】自重应力及附加应力； Winkler 假定；截面核心。
【理解】基底压力的分布规律。
★ 计算理论及计算方法【掌握】均匀满布荷载及自重作用下地基应力的计算；刚性基础基底压力简化算法的基本假定及计算；垂直集中、垂直线状荷载及带状荷载作用下地基应力的简化计算法；角点法；截面核心的计算。
三、重点内容介绍1 ．土中一点的应力状态土中一点的应力可用 6 个独立分量即、、、、、来表示。
其中，总可以找到三个相互正交的面，其上的 6 个剪应力分量均为 0 ，相应的法向应力称为主应力，并有。
对平面问题，设坐标系为x - z ，则有（ 3-1 ）最大主应力的作用方向与竖直线间的夹角θ由下式确定（ 3-2 ）2 ．弹性力学平衡方程设土体的重度为，则相应的平衡方程为在 x 轴方向（ 3 -3a ）在 y 轴方向（ 3-3b ）在 z 轴方向（ 3 -3c ）3 ．饱和土的有效应力原理外荷载在饱和土体内某点所产生的正应力由水和颗粒承担：其中，由水承担的应力称为孔隙水压力，颗粒之间的作用力所对应的应力称为有效应力，并有或（ 3-4 ）上式即为饱和土的有效应力公式。
土中应力计算的方法
力分布状况。
只有掌握了土中应力的计算方法和土中应力的分布规律，才 能正确运用土力学的基本原理和方法解决地基变形、土体稳 定等问题。因此，研究土中应力分布及计算方法是土力学的 重要内容之一。
二、土中应力计算的方法
目前计算土中应力的方法，主要是采用弹性理论，也就是把
地基土视为均质的、连续的、各向同性的半无限空间线弹性
一、基底压力的实际分布规律
1．柔性基础 若一个基础作用着均布荷载，并假设基础是由许多小块组成， 如下图所示，各小块之间光滑而无摩擦力，则这种基础即为 理想柔性基础（即基础的抗弯刚度），基础上的荷载通过小 块直接传递到地基土上，基础随着地基一起变形，基底压力 均匀分布，但基础底面的沉降则各处不同，中央大而边缘小。
四、土中应力的种类
（1）自重应力：由土体重力引起的应力称为自重应力。自重应 力一般是自土形成之日起就在土中产生，因此也将它称为长 驻应力。
（2）附加应力： 由于外荷载（如建筑物荷载、车辆荷载、土中水的渗透力、 地震力等）的作用，在土中产生的应力增量。
自重应力存在于任何土体中，附加应力则存在于受荷载影响
在土中任取一单元体，如下图所示。 作用在单元体上的
3个法向应力（正
应力）分量分别为 ，六个剪应力分量 分别为。剪应力的 脚标前面一个表示 剪应力作用面的法 线方向，后一个表示剪应力的作用方向。
应特别注意的是，在土力学中法向应力以压应力为正，拉应 力为负，这与一般固体力学中的符号规定有所不同。剪应力 的正负号规定是：以外法线与坐标轴方向一致的面为正面， 反之为负面；在正面上剪应力与坐标方向相反者为正，反之 为负；在负面上剪应力与坐标方向相同者为正，反之为负。
的那部分土层中。
修建建筑物前，土中应力属于自重应力；修建建筑物后，
土力学与地基基础——第3章 地基土中的应力计算
2021/1/5
57.0kPa
80.1kPa
103.1kPa 150.1kPa
n
cz1h12h2nhn ihi i1
194.1kPa
第三节 基底压力分布和计算
基底压力：建筑物荷载通过基础传递给地基的压力，也是地 基作用于基础底面的反力，因此又称为地基反力。为计算上部荷载 在地基土层中引起的附加应力，必须首先研究基础底面处接触面的 压力大小与分布情况。
l
l/2-e e>l/6
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偏心荷载作用线
应与基底压力的
b
合力作用线重合
FG1 2pma x32l eb
pmax
2F G
3 l eb
2
三、基底附加压力
• 基底附加压力：作用于地基表面，由于建造建筑物而新增加的压力 称为基底附加压力。
• 建筑物建造前，土中早已存在自重应力，天然土层在自重应力作用 下的变形早已结束，只有基底附加应力才能引起地基的附加应力和 变形
有集中力的，但它在土的应力计算中是一个基本公式，应用集中力的解 答，通过叠加原理或者数值积分的方法可以得到各种分布荷载作用时的 土中应力计算公式。
• 集中荷载作用下的附加应力 • 矩形分布荷载作用下的附加应力 • 条形分布荷载作用下的附加应力 • 圆形分布荷载作用下的附加应力
基本解 叠加原理
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砂性土： 应考虑浮力作用。 液性指数 IL >=1 流动状态，自由水，考虑浮力；
粘性土： 液性指数 IL <=0 固体状态，结合水，不考虑浮； 液性指数 0<IL <1塑性状态，难确定，按不利状态。
液性指数 IL <=0，认为是不透水层（坚硬粘土或岩层），对于不 透水层，由于不存在水的浮力，所以层面和层面以下的自重应力按 上覆土层的水土总重计算。
第3章土中应力计算
n z/b
角点法求矩形面积均布荷载下竖向应力 一般计算步骤 （1）将待求点水平投影在荷载作用面上； （2）过投影点将荷载作用面划分为若干矩形 面积，且投影点必须是各矩形的公共角点； （3）计算单个矩形作用下某深度处的附加应 力并求代数和。 （4）p55，见例3.3，3.4。
计算点在基础内部
p
III IV
3F
2
yz 2 R5
zx
3F
2
xz 2 R5
单个竖向集中力作用 集中力作用下的地基竖向
应力系数
oF
xq r
R
x y
M(x,y,0)
z
z
F z2
y M(x,y,z)
z
对竖向应力进行推导可得
3
1
2
1
(
r z
)
2
5
/
2F
2 z 2
1
1
(
r z
)
2
5
/
2
F
z2
（P52，例3.2）
（5）竖向集中力作用引起的附加应力向深部向四 周无限传播，在传播过程中，应力强度不断降低 （应力扩散）
力的叠加原理
由几个外力共同作用时所引起的某一参数（内力、 应力或位移），等于每个外力单独作用时所引起的该参 数值的代数和
F1
F2
两个集中力
作用下σz的
z
叠加
1
2
多个集中力及不规则分布荷载作用
等代荷载法
（3）侧限应力状态：侧向应变为0的状态。地基在
自重作用下的应力状态。对于半无限弹性体，同深度处的 土单元受力相同，仅能发生竖向变形，不能发生侧向变形； 任何竖直面均为对称面，故任何竖直面和水平面均不会有 剪应力存在。
3 土中应力计算
28
3.4 地基附加应力
• 地基附加应力----指建筑物荷重在土体中引起的附加 于原有应力之上的应力。它是使地基发生变形，引起 建筑物沉降的主要原因。 • 地基附加应力计算的假定 (1)土是均质，各向同性 (2)直采用弹性力学理论解答。 (3)基底压力不考虑基础刚度影响。
• 叠加原理 当地基表面同时作用有几个力时，可分别计算每 一个力在地基中引起的附加应力，然后每一个力 在地基中引起的附加应力累加求出附加应力的总 和。
38
39
（2）
40
（3）
二、矩形荷载荷载下的地基附加应力
设矩形荷载面的长度和宽度分别为l和b 作用于地基上的竖向均布荷载 p0(kPa)， 求矩形荷载面角点下的地基附加应力，然后运用角点法求得 矩形荷载下任意点的地基附加应力
（一）、均布的矩形荷载
42
式中Kc为均布矩形荷载角点下的竖向附加应力系 数，简称角点应力系数，可按m及n值由表查得。
五、土中的应力状态。
土内一点的应力状态是指土内一点各个方向上应力
的大小。
土中的应力状态可用一个正六面单元体上的应力来表 示，作用在单元体上的3个法向应力分量为x、 y 、 z ， 6个切应力分量为:
τxy=τyx
τyz=τzy
τxz=τzx
8
3.2
土中的自重应力计算
一、均匀地基
1、竖直向自重应力(kN/m2)
10
• (1)土中任意截面都包括有骨架和孔隙的面积，所 以在地基应力计算时考虑的是土中单位面积上的 平均应力。 • (2)假设天然土体是一个半无限体，地基中的自重应 力状态属于侧限应力状态，地基土在自重作用下只 能产生竖向变形，而不能有侧向变形和剪切变形。 地基中任意竖直面和水平面上均无剪应力存在。 (3)土中竖向和侧向的自重应力一般均指有效自重应力。 为了简便起见，把常用的竖向有效自重应力 ，简 称为自重应力，并改用符号 表示。
土中应力计算__
第2章土中应力计算一、知识点：概述土中自重应力基底压力(接触应力)2.3.1 基底压力的简化计算基底附加压力地基附加应力2.4.1 竖向集中力下的地基附加应力 2.4.2 矩形基础下的地基附加应力2.4.3 线荷载和条形荷载下的地基附加应力非均质和各向异性地基中的附加应力地基沉降的弹性力学公式二、考试内容：重点掌握内容1．自重应力在地基土中的分布规律，均匀土、分层土和有地下水位时土中自重应力的计算方法。
2．基底接触压力的概念，基底附加压力的概念及计算方法。
3．基底附加压力的概念，基底附加压力在地基土中的分布规律。
应用角点法计算地基土中任意一点的竖向附加应力。
三、本章内容：§ 概述建筑物的建造使地基土中原有的应力状态发生变化，从而引起地基变形，出现基础沉降。
由于建筑物荷载差异和地基不均匀等原因，基础各部分的沉降或多或少总是不均匀的，使得上部结构之中相应地产生额外的应力和变形。
基础不均匀沉降超过了一定的限度，将导致建筑物的开裂、歪斜甚至破坏，例如砖墙出现裂缝、吊车轮子出现卡轨或滑轨、高耸构筑物倾斜、机器转轴偏斜以及与建筑物连接管道断裂等等。
因此，研究地基变形，对于保证建筑物的正常使用、经济和牢固，都具有很大的意义。
地基的沉降，必须要从土的应力与应变的基本关系出发来研究。
对于地基土的应力一般要考虑基底附加应力、地基自重应力和地基附加应力。
地基的变形是由地基的附加应力导致，变形都有一个由开始到稳定的过程。
我们把地基稳定后的累计变形量称为最终沉降量。
地基应力一般包括由土自重引起的自重应力和由建筑物引起的附加应力，这两种应力的产生条件不相同，计算方法也有很大差别。
此外，以常规方法计算由建筑物引起的地基附加应力时，事先确定基础底面的压力分布是不可缺少的条件。
从地基和基础相互作用的假设出发，来分析地基上梁或板的内力和变形，以便设计这类结构复杂的连续基础时，也要以本章的有关内容为前提。
地基土的变形都有一个由开始到稳定的过程，各种土随着荷载大小等条件的不同，其所需时间的差别很大，关于地基变形随时间而增长的过程是土力学中固结理论的研究内容。
地基中应力计算.
室内设计地面
F +0.00
G
b p
(a)
d d
+0.00
F
室外设计地面 G
b
p
(b)
（二）偏心荷载下的 基底压力
单向偏心荷载下的矩形
基础如图所示。设计时通常 取基底长边方向与偏心方向 一致，此时两短边边缘最大 压力设计值pmax与最小压力设 计值pmin (kPa)按材料力学短 柱偏心受压公式计算：
3.1 土中自重应力
研究目的：确定土体的初始应力状态. 研究方法：土体简化为连续体，应用连 续体力学 (例如弹性力学)方法来研究 土中应力的分布。
3.1.1 均质土的自重应力
假设天然土体是一个半无限体，地面以下土质
均匀，天然重度为 (kN/m3)，则在天然地面下任意
深度z(m)处的竖向自重应力cz(kPa)，可取作用于 该深度水平面上任一单位面积上土柱的重量z l计
基底压力重新分布
根据偏心荷载应与
基底反力相平衡的条件，
荷载合力应通过三角形
反力分布图的形心[图(c)
中实线所示分布图形]，
由此可得基底边缘的最
大压力pmax为：
pmax
2(F G) 3bk
ｋ— 单向偏心
荷载作用点至
具有最大压力
的基底边缘的 距离(m)。
K=l/2-e
3.2.3 基底附加压力
一般情况下，建筑物建造前天然土层在自重 作用下的变形早已结束。因此，只有基底附加 压力才能引起地基的附加应力和变形。
而剪应力均为零，即
天然地面
cx= cy= K0cz
xy=yz=zx＝０
cz
z
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第2章 土中 应 力 计 算自重应力：由土体重力引起的应力附加应力：由于建筑物荷载在土中引起的应力 要求：正确理解自重应力、附加应力、基底压力、基底附加压力的概念及影响因素。
掌握各种应力的计算公式、计算方法及分布规律。
第一节 土中应力状态法向应力以压应力为正，拉应力为负；剪应力以逆时针方向为正，顺时针方向为负。
σx 、σy 、σz ，τxy =τyx 、τyz =τzy 、τzx =τxz ，第二节 土中的自重应力由土体重力引起的应力称为自重应力。
一般是自土体形成之日起就产生于土中。
一、均质地基土的自重应力土体在自身重力作用下任一竖直切面均是对称面，切面上都不存在切应力。
因此只有竖向自重应力σc z ，其值等于单位面积上土柱体的重力W 。
深度z 处土的自重应力为： 式中 γ为土的重度，kN/m 3 ；F 为土柱体的截面积m 2。
σcz 的分布:随深度z 线性增加，呈三角形分布。
二、成层地基土的自重应力地基土通常为成层土。
当地基为成层土体时，设各土层的厚度为h i ，重度为γi ，则在深度z 处土的自重应力计算公式地下水位以上的土层取天然重度γ，地下水位以下的土层取有效重度γ`( γ` = γsat- γw) γw=10kN/m3 三、土层中有不透水层时的自重应力在地下水位以下，如果埋藏有不透水层（坚硬的粘土、基岩），该层面处的自重应力应按上覆土层的水土总重计算。
四、水平向自重应力式中K 0为侧压力系数，也称静止土压力系数ZF ZFF W cz γγσ===∑=+++=ii cz h h h h γγγγσ 332211wwii czhh ∑+=γγσ例题 2-1某土层及其物理性质指标如图所示，地下水位在地表下1.0 m ，计算土中自重应力并绘出分布a 点：b 点：c 点：d 点：例题 2-2某地基土层的地质剖面如图所示，计算各土层的自重应力并绘出分布 50m 处：48m 处：45m 顶：45m 不透水层面：43m 处：【课堂讨论】• 土的性质对自重应力有何影响?• 地下水位的升降是否会引起土中自重应力的变化？如何影响？作业1、20==h cz γσkpa h cz 6.1816.1811=⨯==γσkpa h h cz 4.271)108.18(6.182211=⨯-+=+=γγσz18.6kpa 27.4kpa52.6kpakpah h h cz 6.523)104.18(4.27332211=⨯-+=++=γγγσ0==h cz γσkpah cz 3621811=⨯==γσkpa h h cz 5.613)105.18(362211=⨯-+=+=γγσkpah h h ww cz 5.913105.612211=⨯+=++=γγγσkpah h h h w w cz 5.1292195.91332211=⨯+=+++=γγγγσzkpa36kpa5.61kpa 5.91kpa5.129cz第二节 基底压力的简化计算建筑物荷载通过基础传递给地基的压力称基底压力，又称地基反力。
一、基底压力的分布基底压力的分布规律主要取决于基础的刚度和地基的变形条件。
对柔性基础，地基反力分布与上部荷载分布基本相同，如由土筑成的路堤，其自重引起的地基反力分布与路堤断面形状相同。
对刚性基础，在外荷载作用下，开始时地基反力呈马鞍形分布；荷载较大时，边缘地基土产生塑性变形，边缘地基反力不再增加，使地基反力重新分布而呈抛物线分布，若外荷载继续增大，则地基反力会继续发展呈钟形分布。
（a ）理想柔性基础 （b ）路堤下地基反力分布（a ）马鞍形 （b ）抛物线形 (c)钟形二、基底压力的简化计算实用上，通常将基底压力假设为线性分布情况按下列公式进行简化计算：中心荷载作用下的基底压力：偏心荷载作用下的基底压力： 地基反力FG基底压力p)be61(lb G F W M A G F pp minmax±+=±+=AG F p +=F --荷载效应标准组合时，上部结构传至基础顶面的竖向力值.G -基础自重及回填土总重， 式中l ，b 为基底平面的长边与短边尺寸。
在l 方向偏心.偏心荷载作用下的基底压力：1）当 e <b/6 时，基底压力呈梯形分布，p min ＞0； 2）当e ＝b/6 时，基底压力呈三角形分布，p min ＝0；3）e >b/6 时，即荷载作用点在截面核心外，p min ＜0；基底地基反力出现拉力。
此时基底与地基土局部脱开，使基底压力重新分布。
根据偏心荷载与基底压力的平衡条件，得p max 为：a 为竖向荷载作用点至最大压力边缘的距离a=b/2-e（a ）中心荷载下 （b ）偏心荷载e<b ／6时 （c ）偏心荷载e=b ／6时（d ）偏心荷载e>b ／6时三、基底附加压力• 基础通常是埋置在天然地面下一定深度的。
由于天然土层在自重作用下的变形已经完成，故只有超出基底处原有自重应力的那部分应力才使地基产生附加变形，使地基产生附加变形的基底压力称为基底附加压力p 0。
因此，基底附加压力是上部结构和基础传到基底压力与基底处原先存在于土中的自重应力之差，按下式计算：d-从天然地面算起的基础埋深。
例2-3：已知某基础的底面尺寸为3m ×2m ，基底中心处的偏心力矩Mk =147KN.m ，竖向力F k +G k =490kN,求基底压力。
若已知基础埋深2.0米，γ=16kN/m3，计算基底附加压力。
解：3G Gm /kN 20hA G ==γγd p p p cz 0γσ-=-=m 5.06l m 3.010********G F M e 33k k k =<=⨯⨯=+=2k k min k max k m /kN 67.3267.130)33.061(23490)b e 61(bl G F p p =⨯±⨯=±+=2min k min 02max k max 0m /kN 67.021667.32d p p m /kN 67.9821667.130d p p =⨯-=-==⨯-=-=γγ6lb W 2=al3)G F (2p max +=例2―4 某柱基础，作用在设计地面处的柱荷载、基础尺寸、埋深及地基条件如图示，计算基底压力和基底附加压力。
解=G Ad G γkN 4833.25.30.320=⨯⨯⨯=GF Me +=∑m 169.048310503.267105=+⨯+=m583.065.36b ==<kpa 7.103kpa 3.188)5.3169.061(0.35.34831050)b e 61(bl G F p pmin max =⨯±⨯+=±+=3212211m /kN 69.168.05.18.0185.116h h h h =+⨯+⨯=+⨯+⨯=γγγ2min min 02max max 0m /kN 3.653.269.167.103d p p m /kN 9.1493.269.163.188d p p =⨯-=-==⨯-=-=γγ第四节 土 中 附 加 应 力1、土中附加应力是由建筑物荷载在地基内引起的应力。
2、由基底附加应力引起的地基中任一点的附加应力如何确定？ 在计算地基中的附加应力时，一般均假定： ①基础刚度为零，即基底作用的是柔性荷载； ②地基是连续、均匀、各向同性的线性变形体。
③地基是半无限空间弹性体 采用弹性力学解答。
一、竖向集中力P 作用下的地基附加应力以集中力P 的作用点为原点,以P 的作用线为Z 轴建立起三轴坐标系(Oxyz)，则M 点的坐标为(x,y,z )α—集中力作用下土中附加应力系数，可由表查得。
附加应力在地基中的分布规律如图集中力在地基中引起的附加应力是向深部、四周传播. 1.在集中力Ｆ作用线上,σz 随深度增加而递减； 2、在地面下水平面上,σz 向两侧逐渐减小；3、在r ＞０的竖直线上，随ｚ的增加，σz 从小增大，至一定深度后又随ｚ的增加而变小；4、距离地面越远，附加应力分布的范围越广POxyzM(x,y,z)rz R θ mxyθππσ3253z cos R2P 3R 2Pz 3==2225253z z Pz P z r 1123R 2Pz 3αππσ=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+==2z z P ασ=252z r 1123⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+=πα当地基表面作用有几个集中力时，可分别算出各集中力在地基中引起的附加应力，然后根据应力叠加原理求出附加应力的总和。
在实际工程中，建筑物荷载都是通过一定尺寸的基础传递给地基的。
对于不同的基础形状和基础底面的压力分布，都可利用布氏公式，通过积分法或等代荷载法求得地基中任意点的附加应力值σz。
具体求解时又分为空间和平面问题的附加应力。
若基础的长度与宽度之比l/b＜10时，地基中的附加应力计算问题属于空间问题。
二、矩形面积受均布荷载作用下的附加应力计算角点O下z深度处的附加应力σz可按下式计算。
式中αc—均布垂直荷载作用下矩形基底角点下的竖向附加应力分布系数，由l/b、z/b查表得到，l恒为基础长边，b为基础短边。
对于均布矩形荷载下的附加应力计算点不位于角点下的情况，可利用上式以角点法求得。
角点法：通过O点将荷载面分成若干个矩形面积，O点就必然是各个矩形的公共角点，然后再计算每个矩形角点下同一深度z处的附加应力σz，并求其代数和。
1、O点在荷载面边缘：2、O点在荷载面内：3、O点在荷载面边缘外侧：4、O点在荷载面角点外侧：应用角点法时应注意的问题：①划出的每一个矩形，都有一个角点为O 点；②所有划出的各矩形面积的代数和，应等于原有受荷的面积； ③所划出的每一个矩形面积中，l 为长边，b 为短边。
例2-5 某矩形基础，长2.0 m ，宽1.0ｍ，基底的附加压力为100 kPa ，如图所示，计算此矩形面积的角点A 、边点E 、中点O ，矩形面积外F 点和G 点下，深度z =2.0ｍ处的附加应力。
(1)计算角点A 下的附加应力:查得αc =0.1202(2)计算边点E 下的附加应力作辅助线IE ，将原来的矩形ABCD 划分为两个相等的小矩形EADI 和EBCI 。
查得αc =0.084=2×0.0840×100=16.8 kPa (3) 计算中点O 下的附加应力作辅助线JK ，IE 将原来的矩形ABCD 划分为四个相等的小矩形OEAJ 、OJDI 、OICK和OEBK 。
查得αc =0.0474=4×0.0474×100≈19 kPa (4) 计算矩形面积外F 点下的附加应力作辅助线CH 、JF 、BG 和HG ，将原来的矩形ABCD 划分为两个相等的长矩形FHDJ 、FGAJ 和两个小矩形FHCK 、FGBK 。