2004女子数学奥林匹克

6 . 给定锐角 △ABC ,点 O 为其外心 ,直线 AO 交
边 BC 于点 D . 动点 E 、 F 分别位于边 AB 、 AC 上 , 使 得 A、 E、 D、 F 四点共圆 . 求证 : 线段 EF 在边 BC 上 (熊 的投影的长度为定值 . 供题) 斌
7 . 已知 p 、 q 为互质的正整数 , n 为非负整数 .
= 45° , 作射线 OE , 使
( k + 1) ( k + 2) k ( k + 1) + 2 2
2 = ( k + 1) , k = 1 ,2 , …,1 002.
特别地 ,所求的 “好牌组” 的个数为
a2 004 = 1 003 = 1 006 009.
2
解法 2 :对于 n ∈ {1 ,2 , …,2 004} ,用 an 表示分值
1. 试求 u + v + w 的最小值 . uv≥ ( 陈永高 供题)
2. - 17 + 12 2 .
令 x = a + 2 b + c , y = a + b + 2c , z = a + b +
3 c ,则有 x - y = b - c , z - y = c . 由此可得
a + 3 c = 2 y - x , b = z + x - 2 y , c = z - y. a + 3c 4b 8c + a + 2b + c a + b + 2c a + b + 3c
2004 年第 6 期
b = (1 + 2) a , c = (4 + 3 2) a .
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每张牌的分值都除以 2 , 就得到 “三王问题” 中的一 个分值之和为 k 的且允许包括有王牌的牌组 . 易见 , 这种对应是一一的 ,所以 ,这种牌组的个数为 uk .
(2) 若组内有王牌 , 则组内必有 2 张王牌 ( 大小
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中 等 数 学
{ ip + ( n - i) q| i = n - p +1 , n - p + 2 , …, n} , n ≥p ; { ip + ( n - i) q| i = 0 ,1 , …, n} , n < p. 令 an = | A ( p , q , n) | ,有 =
的最小值 .
( 李胜宏 供题)
3 . 已知钝角 △ABC 的外接圆半径为 1. 证明 : 存
在一 个 斜 边 长 为 2 + 1 的 等 腰 直 角 三 角 形 覆 盖 ( 冷岗松 △ABC. 供题)
4 . 一副三色纸牌 , 共有 32 张 , 其中红黄蓝每种
(4) 17 是 “好 数” , 因 为 如 下 的 排 列 中 , k + ak ( k = 1 ,2 , …,17) 都是完全平方数 :
x + y + z = n.
(1 + 2 x + 3 x2 + …+ (2 k + 1) x2 k + … ) ,
故知 x 的系数为
2 a2 k = 1 + 3 + 5 + …+ ( 2 k + 1) = ( k + 1) , k = 1 ,2 , ….
2k
从而 ,所求的 “好牌组” 的个数为
a2 004 = 1 003 = 1 006 009.
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 4 3
ak : 8 2 13 12 11 10 9 1 7 6
(3) 15 是 “好 数” , 因 为 如 下 的 排 列 中 , k + ak ( k = 1 ,2 , …,15) 都是完全平方数 :
k : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ak : 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
亦即
a + b + 2 c = 2 ( a + 2 b + c) , a + b + 3 c = 2 ( a + 2 b + c) .
解此不定方程 ,得到
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2 2
现考虑原题中的 “两王问题” . 对于 n ∈{1 ,2 , …,2 004} ,用 an 表示分值之和为 n 的牌组的个数 . 当 n =2k ≤ 2 004 时 , 对于分值之和为 2 k 的任 一牌组 ,有 : (1) 若组内无王牌 ,则该牌组就是 “三王问题” 中 的一个分值之和为 2 k 的无王牌的牌组 . 如果将其中
un = C n + 2 =
2 2
2
+v
2
+w
2 1, uv ≥
≥u
vw + v
wu + w
( n + 1) ( n + 2) . 2
①
即 u v + vw + wu ≥ 1. 故 ( u + v + w) 2 = u2 + v2 + w2 + 2 uv + 2 vw + 2 wu
=
u +v
所以 ,所求的最小值为 - 17 + 12 2.
3 . 不妨设 ∠C > 90° ,于是 ,min{ ∠A , ∠B } < 45° .
不妨设 ∠A < 45° . 如图 1 , 以 AB 为 直径 , 在顶点 C 的同 侧 作 半 圆 ⊙O , 则 C 位于 半 圆 ⊙O 内 . 作 射线 AT 使 得 ∠BAT
an - a n - 1 = p, n+1, n ≥p ; n< p
综上所述 ,知 u + v + w 的最小值为 3.
6 . 如图 2 , 设 EF 在边 BC 上的投影为 E0 F0 ,过点 D 分别作
DM ⊥AB 于 M , DN ⊥ AC 于 N , 过点 M 、 N
注意到 a0 = 1 ,故对 n < p ,有
2
+
v +w
2
2
1
+
w + u
2
2
2
+ 2 uv + 2 vw + 2 wu
≥ 3 uv + 3 vw + 3 wu ≥ 3. 因此 , u + v + w ≥ 3. 另一方面 , u = v = w = 时 u + v + w = 3.
3 显然满足题中条件 ,此 3
易算出 ,对任何正实数 a , 只要 b = ( 1 + 2 ) a ,
c = (4 + 3 2 ) a ,就都有式 ① 中的等号成立 .
王牌都在组内) . 去掉王牌后 , 就化归为分值之和为
2 k - 2 的无王牌的牌组 . 从而 , 这种牌组的个数为
uk - 1 . 所以 , a2 k = uk + uk - 1 =
≥- 17 + 2 8 + 2
32 = - 17 + 12 2.
①
上式中的等号可以成立 . 事实上 ,由上述推导过程知 ,等号成立当且仅当 平均不等式中的等号成立 ,而这等价于
2
2 2 y =2x , y = 2x , 即 2 即 2 z y z =2y , z =2x , 4 =8 ,
个单位正方形所得到的图形称为 “十字形” . 在一个
5. 设 u 、 v、 w 为正实数 , 满足条件 u
v wu + w vw +
其中用到了轮换 (1 ,3 ,6 ,10 ,15) . (5) 19 是 “好 数” , 因 为 如 下 的 排 列 中 , k + ak
( k = 1 ,2 , …,19) 都是完全平方数 :
k : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ak : 8 7 6 5 4 3 2 1 16 15 14 13 12 11 10 9 19 18 17
0 2
1 2
3
1+ x
2 2
3
… 1 + x2
10
3
的展开式中 x 的系数 ( 约定| x | < 1) . 由于 f ( x) =
1 1+ x 1+ x 1+ x
3 1 2
1+ x
2 2
… 1 + x2
10
3
1 1 AB + 2 ・ AB 2 2
=
11 1 2 1- x (1 + x) (1 - x) 3
2
5.
3.
v+ w w+ u u+ v
由均值不等式和题中条件 ,知
u
由于任一非负整数的二进制表示方法惟一 , 所 以 ,一旦 x 、 y、 z 的值确定之后 , 红组 、 黄组 、 蓝组的 构成情况便惟一确定 . 而方程 x + y + z = n 的非负 整数解的组数等于 C n + 2 ,所以 ,
=
11 1 2 1- x (1 - x2 ) 1 - x) 2