2016女子数学奥林匹克试题

2016女子数学奥林匹克

（2016年8月12‐8月13日）

1、整数3n ≥，将写有21,2,...,n 的2

n 张卡片放入n 个盒子，每个盒子各有n 张。其后允许操作如下：每次选其中两个盒子，在每个盒子中各取两张卡片放入另一个盒子。证明：总是可以通过有限次操作，使得每个盒子内的n 张卡片上恰好是n 个连续整数。

2、ABC ∆的三条边长为,,BC a CA b AB c ===，ω是ABC ∆的外接圆。 ①若不含A 的 BC 上有唯一的点P （不同于,B C ），满足

PA PB PC =+，求,,a b c 应该满足的充要条件。

②P 是①中所述唯一的点，证明：若AP 过BC 的中点，

则60BAC ∠<︒。

3、,m n 是互素整数，且大于1。求证：存在正整数,,a b c 满足1a b m n c =+⋅，且(,)1c n =。

4、n 是正整数，{}12,,...,0,1,2,...,n a a a n ∈，对于整数1j n ≤≤，j b 是集合{}{}1,2,...,i i a j n ≥ 所含元素的个数。例如：对于1233,1,2,1n a a a ====，对应得到1233,1,0b b b ===。

①证明：2

211

()()n n i i

i i i a i b ==+≥+∑∑。

②证明：对于整数3k ≥，都有11()()n n k k i i i i i a i b ==+≥+∑∑。

5、设于数列12,,...a a 的前n 项之和为12...n n S a a a =+++，已知11S =，对于1n ≥都有

21(2)4n n n S S S ++=+。证明：对于任意正整数n

，都有n a ≥。

6、求最大的正整数m ，使得可以在m 行8列的方格表中填入,,,C G M O ，每个单元格填一个字母。使得对于其中任意两行，这两行中最多在一列所填字母相同。

7、I 是锐角ABC ∆的内心，AB AC >。BC 边上的高AH 与直线,BI CI 分别交于,P Q 。O 是IPQ ∆的外心，,AO BC 交于L ，AIL ∆的外接圆与BC 交于,N L ，D 是I 在BC 上的投影，求：BD BN CD CN

=。

8、,Q Z 分别代表全体有理数、整数，在坐标平面上，对于任意整数m ，定义

(,),,0,m xy A x y x y Q xy Z m ⎧⎫=∈≠∈⎨⎬⎩⎭

。对于线段MN ，定义()m f MN 为线段MN 上属于m A 的点的个数。求最小的实数λ，使得对于任意直线l ，均存在与l 有关的实数()l β，满足：对于l 上任意两点,M N ，都有20162015()()()f MN f MN l λβ≤⋅+。