高中竞赛质点动力学习题详解
质点运动学动力学作业解
t = 2h = 2s 10
4．如图所示，质量 m 为 0.1kg 的木块，在一个水平面上 和一个倔强系数k 为 20Nm-1 的轻弹簧碰撞，木块将弹簧
由原长压缩了0.4m。假设木块与水平面间的滑动摩擦系数
µk 为0.25，问在将要发生碰撞时木块的速率 υ 为多少?
动能定理
−
frx −
1 2
kx2
3.一质点从静止(t＝0)出发，沿半径 R = 3m 的圆周运动，
切向加速度大小保持不变，为 at = 3ms-2。在t时刻，其
总加速度恰与半径成45°角，此时 t ＝_______ ，此时，
质点的速度大小为_______，质点的加速度大小为 ______。
解：切向加速度不变
at
=
dυ dt
= 不变
∆E = 0
MgLsin
α
=
1 2
Mυ02
（1）
过垂程 直二x：方发向炮，。则由沿于x爆方炸向产动生量的守作恒用。力很大，重力px
m
α
υ
Mυ0 = mυ cos α （2）
由式（1）、（2）解出 υ = M
2gL sin α
m cos α
四、证明题
一艘正在沿直线行驶的电艇，在发动机关闭后，其加速度 方向与速度方向相反，大小与速度平方成正比，即 dυ = −kυ2
2
3
3
解: υ = (4 + t 2 ) = dx
[C]
dt
dx = (4 + t 2 )dt
x = 4t + 1 t3 + C 3
当t =3s时，质点位于 x = 9m 处 C = 9 − 4× 3 − 1 × 33 = −12 3
高二物理竞赛质点动力学习题课件
，求电子从 运动到
的过程中，核的吸引力所做的
功。
f 试分别用动能定理和牛顿第二定律求物体A自静止落下
时的速度。
a (m m )g m g 求解第一三 ：次物拉体伸从和B到第C二的次过拉程伸中弹机簧械A时能做守功恒的，比F值做B。的功即物体重力势能C和弹力势能的增加量。
C
T
(m m m ) （1）求物体C与水平桌面的摩擦系数；
的过程中，核的吸引力所做的
F 7.P 0 7i 7.0i714 .1i1 t 0.05
2-11. 一质量为m的滑块，沿图示轨道以初速度 v0 2 Rg 无摩擦地滑动，求滑块由A运动到B的过程中所受的冲量。
解：根据动能定理，
12mB 2v12m02vmgR
y
vB
代入数据解得：vB 2Rg
建立如图直角坐标系，
12 1 l
2
22 2
0 2 m v kx m d ( 1 x v l)k k( 2 ) 1
比较（1）（2）式解得：l 1 2
取其中的正解得：l0.414cm
2-17. 如图，物体A和B的质量分别为 m Am B0.0k 5g ， 物体B与桌面的滑动摩擦系数为 k 0.1 。试分别用动能
1
l
v0 22g(lco1 s)
2-8. 长为l的轻绳，一端固定，另一端系一质量为m的小
球，使小球从悬挂着的位置以水平初速度 v 0 开始运动，
求小球沿逆时针转过 角度时的角速度和绳子张力。
解：法向方程
Tmcgosm2l
mv022g(lcos1) l
l
m
v0
Tmvl022g3gcos
2-9. 质量均为M的三条小船以相同的速率 v沿一直线同 向航行，从中间的小船向前后两船同时以相同速率 u （相对于该船）抛出质量同为 m的小包。从小包被抛出
高中物理竞赛习题专题之质点运动(Word版包含答案)
【由 知 ，再利用公式 和 可得 ， 】
7．在 平面内有一运动质点，其运动学方程为： ，则 时刻其速度 ；其切向加速度的大小 ；该质点的运动轨迹是：。
【∵ 有 ；而 （与时间无关），∴切向加速度 ；运动轨迹由 消去时间求得： 】
6．一质点沿x轴作直线运动，其 曲线如图所示，
如 时，质点位于坐标原点，则 时，质点在
x轴上的位置为：()
（A）0；（B）5m；
（C）2m；（D）－2m。
【提示：由于是 曲线图，∴质点的位移为图中所围的面积。梯形面积为中位线乘高】
7．一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表达式为 (其中a、b为常量)，则该质点作：( )
（A） ， ；（B）0， ；（C）0，0；（D） ，0。
【提示：平均速度大小指的是一段时间的位移与该段时间的比值，平均速率指的是路程与该段时间的比值，显然2t时间间隔中质点转2周，位移为0，但路程是4πR】
1-3．质点作曲线运动， 表示位置矢量， 表示路程，at表示切向加速度，下列表达式中，
（1） ；（2） ；（3） ；（4） 。
5．质点 在水平面内沿一半径为R=1m的圆轨道转动，转动的角速度ω与时间t的函数关系为ω=kt2，已知t=2s时，质点 的速率为16m/s，试求t=1s时，质点 的速率与加速度的大小。
1-20．一直立的雨伞，张开后其边缘圆周半径为R，离地面的高度为h，当伞绕伞柄以匀角速ω旋转时，求证水滴沿边缘飞出后落在地面上半径为 的圆周上。
可利用自然坐标系得切向和法向加速度：
则总的加速度： ；
加速度与半径的夹角为：
（2）由题意应有： ，∴当 时，a=b。
质点动力学习题解答
作业06（质点动力学4）1. 关于机械能守恒条件和动量守恒条件有以下几种说法，其中正确的是[ ]。
A ． 不受外力作用的系统，其动量和机械能必然同时守恒B ． 所受合外力为零，内力都是保守力的系统，其机械能必然守恒C ． 不受外力，而内力都是保守力的系统，其动量和机械能必然同时守恒D ． 外力对一个系统做的功为零，则该系统的机械能和动量必然同时守恒答：［C ］解：如果系统不受外力作用，则动量肯定守恒；如果非保守内力做功不为零，则系统的机械能不守恒。
例如，在水平桌面上的两个小球的非弹性相撞过程，不受外力作用（水平方向），系统的动量守恒，但系统的机械能不守恒。
A 错。
如果系统所受合外力为零，则动量肯定守恒；但和外力为零的系统，如果和外力做功不为零，即使系统不受非保守内力，系统的机械能也不守恒。
系统的机械能守恒要求合外力以及非保守内力做功为零，而不是合外力为零。
如图所示，A 和B 组成的系统，A 和B 受到的作用力大小相等、方向相反，系统和外力为零，但A 和B 的动能都在增加，势能不变，系统的机械能不守恒。
B 错。
外力对一个系统做的功为零，但如果非保守内力做功不为零，则系统的机械能不守恒；外力对一个系统做的功为零，不能保证系统的动量不变。
例如，如图，上抛一个小球又落回原地，在此过程中，重力对小球做功为零（机械能不变），但过程开始和结束，小球的速度方向相反，动量（矢量）变化，不守恒。
D 错。
系统不受外力，合外力为零，动量肯定守恒；不受外力，外力的功肯定为零，内力都是保守力，非保守内力做功肯定为零，机械能必然守恒。
C 正确。
2.R H 34= 3. 已知地球半径为R ，质量为M ，现有一质量为m的物体，在离地面高度为R 2处。
以地球和物体为系统，若取地面为势能零点，则系统的引力势能为_________；若取无穷远处为势能零点，则系统的引力势能为________。
（万有引力常数为G ）答：R mM G E B 32=；RmM G E B 3-= 解：如图，物体受到地球的引力为r rmM G f ˆ2-= （1）若取地面为势能零点，由势能的定义，物体的势能为R mM G l d l R mM Gl fd l d f E R A B A B B 32)3(202)()()()(=-==⋅=⎰⎰⎰（2）若取无穷远处为势能零点，由势能的定义，物体的势能为R mM G r d r mM Gr fd l d f E R B B B 332)()()()(-=-=-=⋅=⎰⎰⎰∞∞∞4. 如图所示，一水平放置的轻弹簧，劲度系数为k ，其一端固定，另一端系一质量为m 的滑块A ，A 旁又有一质量相同的滑块B 。
高中物理奥林匹克竞赛专题——质点动力学(37张)
t1 t2
I
t1
Fd t p2p1
2
t2
I Fd t p2p1
t1
上式表明: 质点所受合外力的冲量等于质点动量 的增量。这一结论称为质点动量定理（积分形式）。
适用条件：惯性系
注意：
恒I力 Ft
1、力的冲量是矢量：
变力I
t2
Fdt
t1
在碰撞、冲击、爆炸等现象中，冲力大，作用时间
短，常用平均冲力。
代入下式就得
y 2
30o
o
x
30o
1
F
mt (2
1
)
m
m2co s30 o j
3m
j
t
t
30o 30o 1
2
大小: F 3 m ,方向: j (y轴正方向)。
t
8
例题 煤粉自高h=0.8m处的料斗口自由落在传送带 A上。设料斗口连续卸煤的流量为qm=40kg/s, 传送带A
的速度=3m/s。求卸煤的过程中，煤粉对传送带A的
平均作用力的大小和方向。(不计相对传送带静止的煤 粉质量，取g=10m/s2）
解 煤粉下落h时的速度 o 2gh4m/s
取在时间dt内落下的煤粉dm=qmdt 为研究对象,由动量定理有
dm :Fd dt m d m 0 h
dm
平 dt q均 m : F 4 0,4 冲 ( 0 力 0)
0
mi
M
zcm 1zm 11m m 2z22 ... .. .m m ii zi. .....o
ri rc
mi zi
x
m1 y
24
M
质心坐标为:
mi xi
mi yi
质点动力学习题解答
第2章 质点动力学2-1. 如附图所示，质量均为m 的两木块A 、B 分别固定在弹簧的两端，竖直的放在水平的支持面C 上。
若突然撤去支持面C ，问在撤去支持面瞬间，木块A 和B 的加速度为多大？ 解：在撤去支持面之前，A 受重力和弹簧压力平衡，F mg =弹，B 受支持面压力向上为2mg ，与重力和弹簧压力平衡，撤去支持面后，弹簧压力不变，则A ：平衡，0A a =；B ：不平衡，22B F mg a g =⇒=合。
2-2 判断下列说法是否正确？说明理由。
（1） 质点做圆周运动时收到的作用力中，指向圆心的力便是向心力，不指向圆心的力不是向心力。
（2） 质点做圆周运动时，所受的合外力一定指向圆心。
解：（1）不正确。
不指向圆心的力的分量可为向心力。
（2）不正确。
合外力为切向和法向的合成，而圆心力只是法向分量。
2-3 如附图所示，一根绳子悬挂着的物体在水平面内做匀速圆周运动（称为圆锥摆），有人在重力的方向上求合力，写出cos 0T G θ-=。
另有沿绳子拉力T 的方向求合力，写出cos 0T G θ-=。
显然两者不能同时成立，指出哪一个式子是错误的 ，为什么？解：cos 0T G θ-=正确，因物体在竖直方向上受力平衡，物体速度竖直分量为0，只在水平面内运动。
cos 0T G θ-=不正确，因沿T 方向，物体运动有分量，必须考虑其中的一部分提供向心力。
应为：2cos sin T G m r θωθ-=⋅。
2-4 已知一质量为m 的质点在x 轴上运动，质点只受到指向原点的引力的作用，引力大小与质点离原点的距离x 的平方成反比，即2kf x=-，k 为比例常数。
设质点在x A =时的速度为零，求4Ax =处的速度的大小。
解：由牛顿第二定律：F ma =，dvF mdt=。
寻求v 与x 的关系，换元： 2k dv dx dvm m v x dx dt dx-=⋅=⋅，分离变量： 2k dx vdv m x =-⋅。
质点系动力学习题解答
第六章 “ 质点系动力学”习题解答6-1解：由质心定义式：∑∑∑∑======41414141,i i C i i i i i C i i i y m y m x m x m ，有1,1)4321(343)2(2)1(1)(33432144332211=⨯+++=⨯++-⨯+-⨯+++=+++x x x m m m m x m x m x m x m C 1),1()4321()2(430211)(33432144332211-=-⨯+++=-⨯++⨯+⨯+++=+++y y y m m m m y m y m y m y m C6-2 解：（1）用质点系动量定理解：以岸为参考系，把车、 船当作质点系，该系在水平方向只受缆绳的拉力F 的作用， 应用 质点系动量定理，有F Δt=m 1v ∴F=m 1v/Δt=1500×5/5=1500N（2）用质心运动定理解：F=(m 1+m 2)a c ,据质心定义式，有：(m 1+m 2)a c =m 1a 1+m 2a 2 ， a 1为车对岸的加速度，a 1=(v-0)/Δt=v/Δt ， a 2为船对地的加速度，据题意a 2=0，∴a c =a 1m 1/(m 1+m 2)，代入a 1， a c =m 1v/[(m 1+m 2)Δt] ，∴F=m 1v/Δt=1500N（3）用牛顿定律解： a 2=0 a 1分别分析车、船两个质点的 受力与运动情况：其中f 为静摩擦力，a 1=v/Δt ，对两个质点分别应用牛顿二定律：N f F f F Ntv m a m f150001500/111===-=∆==6-3解：⑴用质心定理求解 车相对船无论静止还是运动，螺旋桨的水平推力不变，即车、船系统所受外力不变，由质心运动定理可知，车运动时的质心加速度与车静止时的质心加速度相等a C =0.2m/s 2设车运动时相对船的加速度为a '，相对地的加速度为a 1，船相对地的加速度为a 2，由相对运动公式：,'21a a a += ①由质心定义式可知：C a m m a m a m )(212211+=+②将①代入②中，可得：'2112a a a m m m C +-=，取船前进方向为正，代入数据：3.0)5.0(2.06000150015002=--=+a m/s 2 ⑵用质点系动量定理求解 设船所受的水平推力为F ，在车静止时，可把车、船当作质x a 2'x量为(m 1+m 2)的质点，加速度为a =0.2，由牛顿第二定律：①a m m F )(21+=设车运动时相对船的加速度为a '，相对地的加速度为a 1，船相对地的加速度为a 2，由相对运动公式：,'21a a a +=对车、船应用质点系动量定理的导数形式：②2221221121)'(21a m a a m a m a m m m F dtdv dtdv ++=+=+=令①=②，',)'()(2112222121a a a a m a a m a m m mm m +-=++=+,取船前进方向为正，代入数据：3.0)5.0(2.06000150015002=--=+a m/s 26-4解：由质心定理：F- (m+M)g = (m+M)a C ①设人相对地的加速度为a 1，气球相对地的加速度为a 2，由相对运动公式：a 1=a m +a 2， 由质心定义式可知：（m+M ）a C = m a 1+M a 2=m(a m +a 2)+M a 2 ② ①②联立，可求得：g Mm ma F a m-+-=26-5解：以地为参考系，选图示坐标o-x,设人的质量为m 1=70kg ，人相对地的速度为v 1，相对船的速度为v 1’，它们的方向显然与x 轴同向；设船的质量为m 2=210kg ，船相对地的速度为v 2，（方向显然与x 轴相反）；据相对运动的速度变换公式，人对地的速度v 1=v 1’+v 2.由于不计水的阻力，所以在水平方向上，人与船构成的质点系动量守恒，有：m 1v 1+m 2 v 2=0，即 m 1(v 1’+ v 2)+m 2 v 2=0 ，可求得v 2= - v 1’m 1/(m 1+m 2)，将上式两边同时乘上相互作用时间Δt ，v 2Δt=s 2为船相对地的位移，v 1’Δt=s 1’=3.2m ，即s 2 = - s 1’m 1/(m 1+m 2) = - 3.2×70/(70+210) = - 0.8m6-6解：以地为参考系，把手榴弹视为质点系，由于在爆炸过程中，弹片所受的重力远远小于弹片之间的冲力，因而在爆炸过程中可忽略重力作用，认为质点系动量守恒。
高二物理竞赛课件：质点动力学习题 (1)
(1)木块的下滑过程 (2)碰撞过程
m
9
解 (1)木块的下滑过程
(M+m+地球)：机械能守恒。选弹簧原长处为零 势点，则有
求得
方向沿斜面向下。
m
1
10
(2)碰撞过程 (M+m): 只有沿斜面方向系统动量守恒:
M1-m cos=(M+m)2 解出: 2=-0.89m/s。
负号表示此速度的方向沿斜面向上。
质点动力学习题
1
例题 半球面(R 、M) , 球面和地光滑， m、M静 止，若在角处m开始脱离球面，试求：
(1) 角满足的关系式； (2)分别讨论m/M<<1和m/M>>1时cos的取值。
解 (1)小物体脱离球面的条 件是：N=0。
m相对球面作圆运动， m
离开球面的瞬间球面是惯性
系，于是沿法向有
Vx
N
m
1
11
例题 要从地面以初速o发射卫星m进入离 地心为r的圆轨道，求o =？(地球: me、Re，
不计空气阻力)
解 圆轨道： 机械能守恒：
12
例题 质点作园周运动，半径为r，受力： (k为常量) ，方向指向园心。取无穷远为零势 点，求该质点的机械能。
解 r
o
机械能
13
讨论：(1)当r=Re时,
中的x、是m对地的速度。
m
R M
N
mg r
4
由速度合成定理: (4)
(5)
(1)
y
解上述式子得:
(2)
x m
N
(3)
Vx
R
M mg r
5
(2) 当m/M<<1，即M>>m时,
高中物理竞赛习题专题一：质点运动学(含详解)
高总物理竞赛习题专题一：质点运动学一．选择题1.如图所示,湖中有一小船,有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动．设该人以匀速率v0 收绳,绳不伸长且湖水静止,小船的速率为v,则小船作( )(A) 匀加速运动,θcos 0v v =(B) 匀减速运动,θcos 0v v =(C) 变加速运动,θcos 0v v =( D) 变减速运动,θcos 0v v =(E) 匀速直线运动,0v v =答案：C2.如上题图1-5，此时小船加速度为（ ） A.0 B.θθcos )tan (20l v C.lv 20)tan (θ D.θcos 0v 答案：B3.地面上垂直竖立一高20.0 m 的旗杆,已知正午时分太阳在旗杆的正上方,求在下午2∶00 时,杆顶在地面上的影子的速度的大小为（ ）A.s m /1094.13-⨯B.s m /1094.14-⨯C.0D.s m /100.35-⨯答案：A解析：设太阳光线对地转动的角速度为ω,从正午时分开始计时,则杆的影长为s ＝htg ωt,下午2∶00 时,杆顶在地面上影子的速度大小为132s m 1094.1cos d d --⋅⨯===tωωh t s v二．计算题4.质点沿直线运动,加速度a ＝4 -t2 ,式中a 的单位为m ·ｓ-2 ,t 的单位为ｓ．如果当t ＝3ｓ时,x ＝9 m,v ＝2 m ·ｓ-1 ,求质点的运动方程．解析： 由分析知,应有⎰⎰=t t a 0d d 0vv v 得 03314v v +-=t t (1)由 ⎰⎰=t xx t x 0d d 0v 得 00421212x t t t x ++-=v (2) 将t ＝3ｓ时,x ＝9 m,v ＝2 m ·ｓ-1代入(1) (2)得v0＝-1 m ·ｓ-1,x0＝0.75 m ．于是可得质点运动方程为75.0121242+-=t t x 5.一石子从空中由静止下落,由于空气阻力,石子并非作自由落体运动,现测得其加速度a ＝A -Bv,式中A 、B 为正恒量,求石子下落的速度和运动方程．解析：本题亦属于运动学第二类问题,与上题不同之处在于加速度是速度v 的函数,因此,需将式dv ＝a(v)dt 分离变量为t a d )(d =v v 后再两边积分． 解：选取石子下落方向为y 轴正向,下落起点为坐标原点．(1) 由题意知 v v B A ta -==d d (1) 用分离变量法把式(1)改写为 t B A d d =-vv (2) 将式(2)两边积分并考虑初始条件,有⎰⎰=-t t B A 0d d d 0v v v v v 得石子速度 )1(Bt e B A --=v 由此可知当,t →∞时,B A →v 为一常量,通常称为极限速度或收尾速度． (2) 再由)1(d d Bt e BA t y --==v 并考虑初始条件有 t eB A y tBt yd )1(d 00⎰⎰--= 得石子运动方程)1(2-+=-Bt e B A t B A y6.质点在Oxy 平面内运动,其运动方程为r ＝2.0ti ＋(19.0 -2.0t2 )j,式中r 的单位为m,t 的单位为s ．求：(1)质点的轨迹方程；(2) 在t1＝1.0s 到t2 ＝2.0s 时间内的平均速度；(3) t1 ＝1.0ｓ时的速度及切向和法向加速度；(4) t ＝1.0s 时质点所在处轨道的曲率半径ρ．解析：根据运动方程可直接写出其分量式x ＝x(t)和y ＝y(t),从中消去参数t,即得质点的轨迹方程．平均速度是反映质点在一段时间内位置的变化率,即t ΔΔr =v ,它与时间间隔Δt 的大小有关,当Δt →0 时,平均速度的极限即瞬时速度td d r =v ．切向和法向加速度是指在自然坐标下的分矢量a ｔ 和an ,前者只反映质点在切线方向速度大小的变化率,即t t te a d d v =,后者只反映质点速度方向的变化,它可由总加速度a 和a ｔ 得到．在求得t1 时刻质点的速度和法向加速度的大小后,可由公式ρa n 2v =求ρ． 解 (1) 由参数方程x ＝2.0t, y ＝19.0-2.0t2消去t 得质点的轨迹方程：y ＝19.0 -0.50x2(2) 在t1 ＝1.00ｓ 到t2 ＝2.0ｓ时间内的平均速度j i r r 0.60.2ΔΔ1212-=--==t t t r v (3) 质点在任意时刻的速度和加速度分别为j i j i j i t ty t x t y x 0.40.2d d d d )(-=+=+=v v v j j i a 222220.4d d d d )(-⋅-=+=s m ty t x t 则t1 ＝1.00ｓ时的速度v(t)｜t ＝1ｓ＝2.0i -4.0j切向和法向加速度分别为t t y x t t t tt e e e a 222s 1s m 58.3)(d d d d -=⋅=+==v v v n n t n a a e e a 222s m 79.1-⋅=-=(4) t ＝1.0ｓ质点的速度大小为122s m 47.4-⋅=+=y x v v v 则m 17.112==na ρv 8.已知质点的运动方程为j i r )2(22t t -+=,式中r 的单位为m,t 的单位为ｓ．求：(1) 质点的运动轨迹；(2) t ＝0 及t ＝2ｓ时,质点的位矢；(3) 由t ＝0 到t ＝2ｓ内质点的位移Δr 和径向增量Δr ；*(4) 2 ｓ 内质点所走过的路程s ．分析 质点的轨迹方程为y ＝f(x),可由运动方程的两个分量式x(t)和y(t)中消去t 即可得到．对于r 、Δr 、Δr 、Δs 来说,物理含义不同,可根据其定义计算．其中对s 的求解用到积分方法,先在轨迹上任取一段微元ds,则22)d ()d (d y x s +=,最后用⎰=s s d 积分求ｓ．解 (1) 由x(t)和y(t)中消去t 后得质点轨迹方程为 2412x y -= 这是一个抛物线方程,轨迹如图(a)所示．(2) 将t ＝0ｓ和t ＝2ｓ分别代入运动方程,可得相应位矢分别为j r 20= , j i r 242-=图(a)中的P 、Q 两点,即为t ＝0ｓ和t ＝2ｓ时质点所在位置．(3) 由位移表达式,得j i j i r r r 24)()(Δ020212-=-+-=-=y y x x 其中位移大小m 66.5)(Δ)(ΔΔ22=+=y x r 而径向增量m 47.2ΔΔ2020222202=+-+=-==y x y x r r r r *(4) 如图(B)所示,所求Δs 即为图中PQ 段长度,先在其间任意处取AB 微元ds,则22)d ()d (d y x s +=,由轨道方程可得x x y d 21d -=,代入ds,则2ｓ内路程为 m 91.5d 4d 402=+==⎰⎰x x s s Q P9.一质点P 沿半径R ＝3.0 m 的圆周作匀速率运动,运动一周所需时间为20.0ｓ,设t ＝0 时,质点位于O 点．按(a)图中所示Oxy 坐标系,求(1) 质点P 在任意时刻的位矢；(2)5ｓ时的速度和加速度．分析 该题属于运动学的第一类问题,即已知运动方程r ＝r(t)求质点运动的一切信息(如位置矢量、位移、速度、加速度)．在确定运动方程时,若取以点(0,3)为原点的O ′x ′y ′坐标系,并采用参数方程x ′＝x ′(t)和y ′＝y ′(t)来表示圆周运动是比较方便的．然后,运用坐标变换x ＝x0 ＋x ′和y ＝y0 ＋y ′,将所得参数方程转换至Oxy 坐标系中,即得Oxy 坐标系中质点P 在任意时刻的位矢．采用对运动方程求导的方法可得速度和加速度．解 (1) 如图(B)所示,在O ′x ′y ′坐标系中,因t Tθπ2 ,则质点P 的参数方程为t TR x π2sin =', t T R y π2cos -=' 坐标变换后,在Oxy 坐标系中有 t T R x x π2sin='=, R t T R y y y +-=+'=π2cos 0 则质点P 的位矢方程为j i r ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=R t T R t T R π2cos π2sin j i )]π1.0(cos 1[3)π1.0(sin 3t t -+=(2) 5ｓ时的速度和加速度分别为j j i r )s m π3.0(π2sin π2π2cos π2d d 1-⋅=+==t TT R t T T R t v i j i r a )s m π03.0(π2cos )π2(π2sin )π2(d d 222222-⋅-=+-==t TT R t T T R t10.如图所示，半径为R 的半圆凸轮以等速v0沿水平面 向右运动，带动从动杆AB 沿竖直方向上升，O 为凸轮圆心，P 为其顶点．求：当∠AOP=α时，AB 杆的速度和加速度．根据解析：速度的合成，运用平行四边形定则，得：v 杆=v0tan α。
第7章质点动力学习题解答080714
第七章 质点动力学本章要点一、质点运动的动力学建模 1动力学基本定律：牛顿三定律. 2质点运动微分方程矢量形式 ∑==ni i t m 122d d F r；形式直角坐标 ∑∑∑======n i zi n i yi n i xi F t zm F t y m F t x m 122122122d d d d d d ，，；自然坐标形式 ∑∑∑======ni i ni i ni ti F F v mF t s m 1b 1n 21220,,d d ρ.式中n t F F ,和b F 分别是作用于质点的各力F i 在切线、主法线和副法线上的投影；ρ为运动轨迹在该点处的曲率半径；v 是质点的速度。
二、质点运动的动力学分析 1 质点动力学的两类基本问题质点动力学基本问题可分为两类：一类是已知质点的运动，求作用于质点的力；另一类是已知作用于质点的力，求质点的运动。
求解质点动力学第一类基本问题只需求两次导数得到质点的加速度，代入到质点运动方程中，得到一代数方程组，即可求解。
求解质点动力学第二类基本问题在数学上归结为求解微分方程的定解问题。
还要根据已知的初始条件确定积分常数。
此外，有些质点动力学问题是第一类和第二类问题的综合。
解题要领1） 解题步骤：(1) 根据题意选取某质点为研究对象；(2) 分析作用在质点上的主动力和约束反力；(3) 根据质点的运动特征，建立适当的坐标系。
（4）选择适当的形式建立运动微分方程，第二类问题还要确定初始条件；(4)求解运动微分方程。
2） 最好将要建立运动微分方程的“一般状态”下速度投影的正向为坐标轴方向，要特别注意当阻力与速度的奇次方成正比时在轴上的投影，注意各力在坐标轴上投影的正负号。
3） 在3维空间，质点运动微分方程有3个投影式，只能够解3个未知量。
2 单自由度系统的线性振动(1) 单自由度系统的自由振动的微分方程：02=+x xn ω ，在初始条件：0000,v x x x t t ==== 下的解为)sin(ϕω+=t A x n其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+==002220arctan ,,v x v x A mk n n n ωϕωω 这里A 为振幅，ϕ为初相位，ωn 为固有频率。
02质点动力学(牛顿定律)解答解析
刻的速度为 v 5t 2 4t 3 。
解： 20t 8 2 dv dt
t
v
0 (20t 8)dt 3 2dv
2．质量为M的小艇在靠岸时关闭发动机，此刻的船速为v0， 设水对小艇的阻力f 正比于船速v，即f =kv（k为比例系
撑点距地面高度为h＝1.5 m，不计箱高，为了使人最省力，绳
的长度l应为
2.9。2m
解： 水平方向
F cos (Mg F sin ) 0 F Mg
cos sin
最省力 cos sin 有极小值吗，得 tan
tan h
l2 h2
1 2
1 0.62
l
h
1.5 2.92m
0.6
示。设绳的质量分布均匀，且长度不变。物体与水平面之间
的摩擦力以及重力队绳的影响皆可忽略不计。
求：（1）绳作用在物体上的力； （2）绳上任意点的张力。
m
F
m1
解： （2）
T dT T (dm)a
dm
dT m adx
l
F dT
l
m adx
T
xl
mF
F
T
F
(m1
m1
m)l
(l
x)
(m1
m)l
(m1l
a1
(m1
m2 )g m1 m2
m2 a2
T (2g a2 )m1m2 m1 m2
m1
m2
a2
环
a2
a1
a2
(m1
m2 )g m1a2 m1 m2
2．质量为m、长为l的柔软细绳，一端系着放在水平桌面上
01章 质点运动学 习题解答
x(m)
b
30° 120° 20 10 30
c
45°
t(s)
t图像中为曲线斜率。由于三种图像都是直线，因此三种运动都是匀速直线运动，设直线 与x轴正向夹角为α，则速度 v tg x / t 对于a种运动：
v tg120 3m / s, x |t 0 20m, t | x 0 20tg 30 11.55s
S 2 | x 2 (30) x 2 (0) | x 2 (0) x 2 (30) 195 60 135m
1-17 电梯以1.0m/s的匀速率下降，小孩在电梯中跳离地板0.50m高，问当小孩再次落到地板上 时，电梯下降了多长距离？ 解：以电梯为参考系，小孩相对电梯做竖直上抛运动，他从起跳到再次落到地板所需
1-14质点从坐标原点出发时开始计时，沿x轴运动，其加速度ax
=
2t
(cms-
2)，求在下列两种情况下质点的运动学方程，出发后6s时质点的位置、在此期间所走过的
位移及路程。⑴初速度v0=0；⑵初速度v0的大小为9cm/s，方向与加速度方向相反。 解： dv x a x dt 2tdt ,
x
vx
3 2
3g
2
2
120列车在圆弧形轨道上自东转向北行驶，在我们所讨论的时
北
间范围内，其运动学方程为S=80tv O
S
东 an α a
τ
aτ
t2（m,s），t=0时，列车在图中O点，此圆弧形轨道的半径r=1500m，求列车驶过O点以后 前进至1200m处的速率及加速度。 解：S=80t-t2 ① v=dS/dt=80-2t ② 令S=1200，由①可求得对应时间：
a x a, a v x a, a a x a
质点运动学 习题分析与解答
第1章 质点运动学 习题解答（一）. 选择题1．一运动质点在某瞬时位于矢径()y x r , 的端点处, 其速度大小为A. t r d dB. d d t rC. d d t rD.22d d d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛t y t x [ ] 【分析与解答】t r d d 表示质点到坐标原点的距离随时间的变化率，d d t r表示速度矢量，d d t r 与t rd d 意义相同，在直角坐标系中，速度大小即速率可由2222d d d d ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=t y t x v v v yx求解，在自然坐标系中，速率可用公式t s v d d =计算。
正确答案是D 。
2. 一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表示式为22at bt =+r i j （其中a 、b 为常量）, 则该质点作 A. 匀速直线运动． B. 变速直线运动． C. 抛物线运动． D.一般曲线运动． ［ ］ 【分析与解答】22at bt =+v i j 是变速运动，22,,ax at y bt x yb ===为直线方程正确答案是B 。
3． 某质点的速度为，已知，时它过点(3,-7)，则该质点的运动方程为：A. B.C. D.不能确定 [ ]【分析与解答】22d 24(23)(47)t t t t t ==-+=+-+⎰r v i j c i j正确答案是B 。
4. 以初速将一物体斜向上抛，抛射角为，不计空气阻力，则物体在轨道最高点处的曲率半径为:A. B. C. D.不能确定。
[ ] 【分析与解答】v 0θv 0sin θg g v 02v 02cos 2θg v =2i -8t j t =02t i -4t 2j (2t +3)i -(4t 2+7)j -8j轨道最高点22220,(cos ),x xn v v v v v a g θρ=====v i ，故曲率半径2v g ρ=正确答案是C 。
5. 质点沿半径为R 的圆周作匀速率运动，每T 秒转一圈．在2T 时间间隔中，其平均速度大小与平均速率大小分别为．．［ ］ 【分析与解答】平均速度为位移除以时间间隔，平均速率为路程除以时间, 质点沿半径为R 的圆周转动一周，位移为零，路程等于。
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2． 一轻绳跨过一定滑轮，两端各系一重物，它们的质量分别为和，且(滑轮质量及一切摩擦均不计)，此 时系统的加速度大小为 a，今用一竖直向下的恒力代替，系统的加速度大小为，则有 [ ]
（A）； （B）； （C）； （D）条件不足，无法确定。 答案：B 解：
，所以，。
3．对质点组有以下几种说法：
（1）质点组总动量的改变与内力无关；（2）质点组总动能的改变与保守内力无关；（3）质点组机械能的
离 l 后停在砂箱中，同时砂箱向前运动的距离为 S，此后子弹与砂箱一起以共同速度匀速运动，则子弹受
到的平均阻力
；砂箱与子弹系统损失的机械能 E =
。
（注意：此题第一问有多种解法，也有多种答案）
答案：；。 解：设共同运动的速率为， 则
， 子弹停止时相对地面移动距离 l + s，则有
能量损失
4． 如图所示，质量 m =2.0kg 的质点，受合力的作用，沿 ox 轴作直线运动。已知 t =０时 x0=0，v0=0，则
平衡时，有 解以上方程得：，解得盘向下移动的最大距离为。
5．如图所示，从太阳系外飞入太阳系的一颗流星
为，这时它的速度为。若不考虑其他行星的影响，
v0
入太阳系之前的速率和它飞向太阳的瞄准距离 b。
答案：（1）；（2）。
b
解：对流星飞经太阳附近的过程，由机械能守恒得 r
由此得流星刚进入太阳系时的速率为 v
1．如图，已知水深为 1.5m，水面至街道的距离为 5m。把水从面积为 50m2 的地下室中抽到街道上来所需
做的功为
。
答案：
解：该功数值上等于同一过程中重力
5m 做的功，取坐标如图，则有：
抽F0 (1
1.5m －kt)（F0、k 为常量）作用下沿 ox 轴作直
离太阳最近的距离 试求这颗流星在进
v0
v2 2GM r
(7.5 104 )2
2
6.67
1011 1.99 5.0 1010
1030
1.8 104 m/s
流星受太阳的引力总指向太阳，流星对太阳的角动量守恒： 流星飞向太阳的瞄准距离为
，， （2）
，
，
5． 沙子从 h = 0.8m 高处落到以 3m/s 速度水平向右运动的传送带上。取 g = 10m/s2，则传送带给予沙子的
作用力的方向 [ ]
（A）与水平夹角向下； （B）与水平夹角向上；
（C）与水平夹角向上； （D）与水平夹角向下。
答案：B 解：
y
v0 h
v x
v
v0 v
二、填空题
习题二
一、选择题 1．用铁锤把质量很小的钉子敲入木板，设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深度成正比。在铁锤敲打 第一次时，能把钉子敲入 1.00cm。如果铁锤第二次敲打的速度与第一次完全相同，那么第二次敲入的深度 为[ ]
（A）0.41cm； （B）0.50cm； （C）0.73cm； （D）1.00cm。 答案：A 解：
系数为
。
答案：0.2
解：在 x1 处，物体和弹簧分离，在物体整个运动过程中，弹性力做功，摩擦力做功，根据动能定理有，解 得
三、计算题 1． 图中 A 为定滑轮，B 为动滑轮，三个物体 m1=200g，m2=100g，m3=50g，滑轮及绳的质量以及摩擦均 忽略不计。求：
（1）每个物体的加速度； （2）两根绳子的张力 T1 与 T2。 答案：（1），，；
（1）若忽略一切摩擦，则绳中张力为 [ ]
A
（A）mg；（B）mg/2；（C）2mg；（C）3mg/4。
（2）若 A 与桌面间的摩擦系数为(系统仍加速滑
a g 2
B
动)，则绳中张
力为 [ ] （A）；
（B）；
a N T a
A
a
mg
T
a g
B
2
mg
（C）； （C）。 答案：（1）D；（2）C。 解：（1）受力分析 B： A：，
从 t = 0 到 t = 3s 这段时间内，合力的冲量为
；质点的末速度大小为
。
答案：；。
解：
；
5．一轻质弹簧的劲度系数为 k = 100N/m，用手推一质量 m = 0.1kg 的物体 A 把弹簧压缩到离平衡位置为
x1 = 0.02m，如图所示。放手后，物体沿水平面移动距离 x2 = 0.1m 后停止。求物体与水平面间的滑动摩擦
（2）人迎面跳上小车，根据动量守恒
3． 一小球在弹簧的作用下振动（如图所示），弹力 F = - kx，而位移 x = Acost，其中 k、A、 都是常量。
求在 t = 0 到 t = /2 的时间间隔内弹力施于小球的冲量。
答案：
解法一：由冲量的定义得
F
x
解法二：由动量定理 而， 所以，（这里利用了）。
改变与保守内力无关。在上述说法中，[ ]
（A）只有（1）是正确的；
（B）（1）、（3）是正确的；
（C）（1）、（2）是正确的；
（D）（2）、（3）是正确的。
答案：B
解：略
４．如图所示，系统置于以 g/2 加速度上升的升降机内，A、B 两物块质量均为 m，A 所处桌面是水平的，
绳子和定滑轮质量忽略不计。
（2），。 解：设两根绳子的张力分别为 T1、T2； m2、m3 相对 B 轮的加速度为； m1、m2、m3 的加速度分别为 a1、a2、a3。 根据牛顿运动定律
； ； 由以上六式解得
A
T1
T1
a1 m1
B a1
T2 T2
a 2 a 2 m
a 2 a 3
，加速度方向如图所示。
2．质量为 60Kg 的人以 8Km/h 的速度从后面跳上一辆质量为 80Kg 的，速度为 2.9Km/h 的小车，试问小车 的速度将变为多大；如果人迎面跳上小车，结果又怎样？ 答案：（1）；（2）。 解：（1）设人和车的质量分别为和，初速率分别为和。人和车组成的系统沿水平方向动量守恒，有，所以
Ox
4．一质量为 200g 的砝码盘悬挂在劲度系数 k = 196N/m 的弹簧下，现有质量为 100g 的砝码自 30cm 高处 落入盘中，求盘向下移动的最大距离（设砝码与盘的碰撞是完全弹性碰撞）。 答案：。 解：砝码从高处落入盘中，机械能守恒：
又碰撞过程动量守恒，设共同运动速度为 v2 有：
砝码与盘向下移动过程机械能守恒
线运动。若 t =０时，质点在坐标原
点 ， 速 度 为 v0 ， 则 质 点 运 动 微 分 方 程
为
；速度随时间变化规律为 v =
；质点运动学方程 x
=
。
答案：；；。
解： （1）
，所以，微分方程为：
（2）
所以，速度为：
（3） 运动方程为：
3．质量为 m 的子弹，以水平速度 v0 射入置于光滑水平面上的质量为 M 的静止砂箱，子弹在砂箱中前进距