电磁场与电磁波期末复习题

2014年第一学期《电磁场与电磁波》复习题

一．填空题

1．已知矢量2z 2y 2x z e xy e x e A ++=，则A ⋅∇=z xy x 222++， A

⨯∇=2y e z 。

注：

z xy x z

A y A x A A z

y x 222++=∂∂+∂∂+∂∂=

⋅∇

222)(y e x xy e xy y e A y e A z z y

y y =∂∂=∂∂=∂∂=

⨯∇ 2．矢量B A

、垂直的条件为0=⋅B A 。

3．理想介质的电导率为0=σ，理想导体的电导率为∞→σ，欧姆定理的微分形式为E J σ=。

4．静电场中电场强度E

和电位φ的关系为ϕ-∇=E ，此关系的理论依据为0=⨯∇E ；若已知电位

22z 3x y 2+=ϕ，在点（1,1,1）处电场强度=E

()

642z y x e e e ++-。

注：()

z e xy e y e z e y e x e E z y x z y x 6422

++-=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=-∇=ϕϕϕϕ

5．恒定磁场中磁感应强度B

和矢量磁位A 的关系为A B ⨯∇=；此关系的理论依据为0=⋅∇B 。

6．通过求解电位微分方程可获知静电场的分布特性。静电场电位泊松方程为ερϕ/2

-=∇，电位拉普拉斯方程为02

=∇ϕ。

7．若电磁场两种媒质分界面上无自由电荷与表面电流，其D E

、边界条件为：()

021=-⨯E E e n 和()

021=-⋅D D e n ；H B

、边界条件为：()

021=-⋅B B e n 和()

021=-⨯H H e n 。

8．空气与介质)4(2

r =ε的分界面为z=0的平面，已知空气中的电场强度为4e 2e e E z y x 1

++=,则介质中

的电场强度=2E 12z y x e e e

++。

注：因电场的切向分量连续，故有z z y x E e e e E 222

++=，又电位移矢量的法向分量连续，即

1422200=⇒=⨯z z r E E εεε

所以122z y x e e e E

++=。

9. 有一磁导率为 µ 半径为a 的无限长导磁圆柱，其轴线处有无限长的线电流 I ，柱外是空气（µ0 ），则

柱内半径为1ρ处磁感应强度1B =12πρμφI e ；柱外半径为2ρ处磁感应强度2B =2

02πρμφI e 。

10．已知恒定磁场磁感应强度为z 4e my e x e B z y x

++=,则常数m= -5 。

注:因为0=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇z

B y B x B B z

y x ，所以5041-=⇒=++m m 。 11．半径为a 的孤立导体球，在空气中的电容为C 0=a 04πε；若其置于空气与介质（ε1 ）之间，球心位于分界面上，其等效电容为C 1=()a 102εεπ+。 解：（1）0

2

4επQ

r E r =

⨯，2

04r Q E r πε=

，a

Q dr E U a

r 04πε=

=⎰

∞

，a U

Q

C 04πε==

（2）Q r D r D r r =+2

22122ππ，

1

20

1εεr

r

D D =

，()210012r Q D r εεπε+=

，()2

10122r

Q

D r εεπε+=，()210212r Q

E E r

r εεπ+==，a Q dr E U a

r )(2101εεπ+==⎰∞

，a U Q

C )(210εεπ+== 12．已知导体材料磁导率为μ，以该材料制成的长直导线单位长度的内自感为

π

μ

8。 13．空间有两个载流线圈，相互 平行 放置时，互感最大；相互 垂直 放置时，互感最小。 14．两夹角为n

π

α=

(n 为整数)的导体平面间有一个点电荷q ，则其镜像电荷个数为 （2n-1） 。

15．空间电场强度和电位移分别为D E

、，则电场能量密度w e =

D E ⋅2

1

。 16．空气中的电场强度)2cos(20kz t e E x -=π ，则空间位移电流密度D J

= ()kz t e x --ππε2sin 400。

注：[]

)2sin(40)2cos(2000kz t e kz t e t

t D J x x D --=-∂∂

=∂∂=

ππεπε（A/m 2）。 17．在无源区内，电场强度E

的波动方程为022=+∇E k E c 。

18．频率为300MHz 的均匀平面波在空气中传播，其波阻抗为)(120Ωπ，波的传播速度为

)/100.3(8s m c ⨯≈，波长为 1m ，相位常数为)/(2m rad π；当其进入对于理想介质(εr = 4，μ

≈μ0)，在该介质中的波阻抗为)(60Ωπ，传播速度为)/(105.18

s m ⨯，波长为 0.5m ，相位常数为

)/(4m rad π。

注：有关关系式为

波阻抗εμ

η=

（Ω），相速度με

1=v （m/s ），v f =λ，λπ2=k （rad/m ）

空气或真空中，)(1200Ωπη=，)/(1038

s m c v ⨯≈=。

19．已知平面波电场为z j y x i e e j e (E E β--=)0

，其极化方式为 右旋圆极化波 。

注：因为传播方向为z +方向，且ym xm E E =，0=x φ，2

π

φ-=y ，02

<-

=-=π

φφφx y ∆，故为右旋

圆极化波。

20．已知空气中平面波())

86(,z x j m e E e z x E ππ+-=y ，则该平面波波矢量=k

ππ86z x e e + ， 角频率

ω=)/(1039s rad ⨯π，对应磁场()=

z ,x H

()

)/(36600)86(m A e e e E z x j z x m

πππ

+-+- 。 解：因为z x z k y k x k z y x ππ86+=++，所有π6=x k ，0=y k ，π8=z k ，π10222=++=z y x k k k k ，

从而ππ86z x e e k +=，)(2.02m k

==

π

λ，)/(1038s m c v f ⨯===λ，)(105.19Hz f ⨯=，)/(10329s rad f ⨯==ππω。相伴的磁场是

()

()

)/(366008*********)86()86(m A e e e E e E e e e E k k E e H z x j z x m

z x j m y z x n πππππ

πππ

πηη

+-+-+-=⨯+⨯=⨯=

⨯=

21．海水的电导率σ=4S/m ，相对介电常数81=r ε。对于f=1GHz 的电场，海水相当于 一般导体 。 解：因为

181

72

8110361101242990<=⨯⨯⨯⨯⨯==-π

πεεπσωεσr f 所以现在应视为一般导体。

22．导电媒质中，电磁波的相速随频率变化的现象称为 色散 。

23． 频率为f 的均匀平面波在良导体（参数为εμσ、、）中传播，其衰减常数α=

μσπf ，本征阻抗相