系统聚类分析
五种常用系统聚类分析方法及其比较
五种常用系统聚类分析方法及其比较胡雷芳一、系统聚类分析概述聚类分析是研究如何将对象按照多个方面的特征进行综合分类的一种统计方法［１］。
然而在以往的分类学中，人们主要靠经验和专业知识作定性分类处理，许多分类不可避免地带有主观性和任意性，不能揭示客观事物内在的本质差别和联系；或者人们只根据事物单方面的特征进行分类，这些分类虽然可以反映事物某些方面的区别，但却往往难以反映各类事物之间的综合差异。
聚类分析方法有效地解决了科学研究中多因素、多指标的分类问题［２］。
在目前的实际应用中，系统聚类法和Ｋ均值聚类法是聚类分析中最常用的两种方法。
其中，Ｋ均值聚类法虽计算速度快，但需要事先根据样本空间分布指定分类的数目，而当样本的变量数超过３个时，该方法的可行性就较差。
而系统聚类法（Ｈｉｅｒａｒｃｈｉｃａｌｃｌｕｓｔｅｒｉｎｇｍｅｔｈｏｄｓ，也称层次聚类法）由于类与类之间的距离计算方法灵活多样，使其适应不同的要求。
该方法是目前实践中使用最多的。
这该方法的基本思想是：先将ｎ个样本各自看成一类，并规定样本与样本之间的距离和类与类之间的距离。
开始时，因每个样本自成一类，类与类之间的距离与样本之间的距离是相同的。
然后，在所有的类中，选择距离最小的两个类合并成一个新类，并计算出所得新类和其它各类的距离；接着再将距离最近的两类合并，这样每次合并两类，直至将所有的样本都合并成一类为止。
这样一种连续并类的过程可用一种类似于树状结构的图形即聚类谱系图（俗称树状图）来表示，由聚类谱系图可清楚地看出全部样本的聚集过程，从而可做出对全部样本的分类［３］。
二、五种常用系统聚类分析方法系统聚类法在进行聚类的过程中，需要计算类与类之间的距离。
根据类与类之间的距离计算方法的不同，我们可以将系统聚类法分为单连接法、完全连接法、平均连接法、组平均连接法与离差平方和法等。
１．单连接法（Ｓｉｎｇｌｅｌｉｎｋａｇｅ）单连接法又称最短距离法。
该方法首先将距离最近的样本归入一类，即合并的前两个样本是它们之间有最小距离和最大相似性；然后计算新类和单个样本间的距离作为单个样本和类中的样本间的最小距离，尚未合并的样本间的距离并未改变。
聚类分析
聚类分析聚类分析又称群分析，它是研究（样品或指标）分类问题的一种多元统计方法，所谓类，通俗地说，就是指相似元素的集合。
聚类分析内容非常丰富，按照分类对象的不同可分为样品分类（Q-型聚类分析）和指标或变量分类（R-型聚类分析）；按照分类方法可分为系统聚类法和快速聚类法。
1. 系统聚类分析先将n 个样品各自看成一类，然后规定样品之间的“距离”和类与类之间的距离。
选择距离最近的两类合并成一个新类，计算新类和其它类（各当前类）的距离，再将距离最近的两类合并。
这样，每次合并减少一类，直至所有的样品都归成一类为止。
系统聚类法直观易懂。
1.1系统聚类法的基本步骤：第一，计算n 个样品两两间的距离 ，记作D= 。
第二，构造n 个类，每个类只包含一个样品。
第三，合并距离最近的两类为一新类。
第四，计算新类与各当前类的距离。
第五，重复步骤3、4，合并距离最近的两类为新类，直到所有的类并为一类为止。
第六，画聚类谱系图。
第七，确定类的个数和类。
1.2 系统聚类方法：1.2.1最短距离法1.2.2最长距离法1.2.3中间距离法1.2.4重心法1.2.5类平均法1.2.6离差平方和法（Ward 法）上述6种方法归类的基本步骤一致，只是类与类之间的距离有不同的定义。
最常用的就是最短距离法。
1.3 最短距离法以下用ij d 表示样品i X 与j X 之间距离，用ij D 表示类i G 与j G 之间的距离。
定义类i G 与j G 之间的距离为两类最近样品的距离，即ij G G G G ij d D j J i i ∈∈=,min设类p G 与q G 合并成一个新类记为r G ，则任一类k G 与r G 的距离是：ij G X G X kr d D j j i i ∈∈=,min ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∈∈∈∈ij G X G X ij G X G X d d q j k i p j k i ,,min ,min min {}kq kp D D ,min = 最短距离法聚类的步骤如下：ij d {}ij d（1）定义样品之间距离，计算样品两两距离，得一距离阵记为)0(D ，开始每个样品自成一类，显然这时ij ij d D =。
系统聚类
为了便于我们理解系统聚类法的方法和步骤，下面给出一个例子逐步进行说 明：
例：为了研究辽宁等 5 省 1991 年城镇居民生活消费情况的分布规律，根据调 查资料做类型分类，用最短距离法做类间分类。数据如下：
因此将 3、4 合并为一类，为类 6，替代了 3、4 两类 类 6 与剩余的 1、2、5 之间的距离分别为：
d(3,4)1=min(d31,d41)=min(13.80,13.12)=13.12 d(3,4)2=min(d32,d42)=min(24.63,24.06)=24.06 d(3,4)5=min(d35,d45)=min(3.51,2.21)=2.21 得到新矩阵
2、选择 D（0）表中最小的非零数，不妨假设 dpq ,于是将 Gp 和 Gq 合并为一
新类，记为 Gr GP ,Gq
3、利用递推公式计算新类与其它类之间的距离，产生 D（1）表。若类的个 数等于 1，转到下一步，否则回到前一步。类推直至所有的样本点归为一类为止。
4、画聚类图 5、决定类的个数 6、聚类结果的解释和证实 由于类与类之间的距离的计算方法不同，形成了不同的系统聚类方法。
吉林 黑龙江 天津 北京 上海 河南 福建 安徽 辽宁 青海 贵州 湖南 江西 广西 宁夏
6 -+-+
7 -+ +-----+
3 ---+ +---------------------------+
1 -+-------+
|
2 -+
+-----------+
聚类分析的方法
聚类分析的方法一、系统聚类法系统聚类分析法就是利用一定的数学方法将样品或变量（所分析的项目）归并为若干不同的类别（以分类树形图表示），使得每一类别内的所有个体之间具有较密切的关系，而各类别之间的相互关系相对地比较疏远。
系统聚类分析最后得到一个反映个体间亲疏关系的自然谱系，它比较客观地描述了分类对象的各个体之间的差异和联系。
根据分类目的不同，系统聚类分析可分为两类：一类是对变量分类，称为R型分析；另一类是对样品分类，称为Q型分析。
系统聚类分析法基本步骤如下（许志友，1988）。
（一）数据的正规化和标准化由于监测时所得到的数值各变量之间相差较大，或因各变量所取的度量单位不同，使数值差别增大，如果不对原始数据进行变换处理，势必会突出监测数据中数值较大的一些变量的作用，而消弱数值较小的另一些变量的作用，克服这种弊病的办法是对原始数据正规化或标准化，得到的数据均与监测时所取的度量单位无关。
设原始监测数据为Xij (i＝1，2，…，n；j＝1，2，…，m；n为样品个数，m为变量个数)，正规化或标准化处理后的数据为Zij (i＝1，2，…，n；j＝1，2，…，m)。
1. 正规化计算公式如下：（7-32）（i＝1，2，…，n；j＝1，2，…，m）2. 标准化计算公式如下：（7-33）（i＝1，2，…，n；j＝1，2，…，m）其中：（二）数据分类尺度计算为了对数据Zij进行分类，须对该数据进一步处理，以便从中确定出分类的尺度，下列出分类尺度计算的四种方法。
1.相关系数R两两变量间简单相关系数定义为：（7-34）（i，j＝1，2，…，m）其中一般用于变量的分类（R型）。
有一1≤≤1且愈接近1时，则此两变量愈亲近，愈接近-1，则关系愈疏远。
2.相似系数相似系数的意义是，把每个样品看做m维空间中的一个向量，n个样品相当于m维空间中的n个向量。
第i个样品与第j个样品之间的相似系数是用两个向量之间的夹角余弦来定义，即：（7-35）（i，j＝1，2，…，m）常用于样品间的分类（Q型）。
系统聚类法的原理和具体步骤
系统聚类法（Hierarchical Clustering）是一种常用的聚类分析方法，用于将样本或对象根据相似性或距离进行层次化的分组。
其原理和具体步骤如下：
原理：
系统聚类法通过计算样本或对象之间的相似性或距离，将它们逐步合并为不同的聚类组。
该方法基于一个假设，即相似的样本或对象更有可能属于同一个聚类。
具体步骤：
距离矩阵计算：根据选定的相似性度量（如欧氏距离、曼哈顿距离等），计算样本或对象之间的距离，并生成距离矩阵。
初始化聚类：将每个样本或对象视为一个初始聚类。
聚类合并：根据距离矩阵中的最小距离，将距离最近的两个聚类合并为一个新的聚类。
更新距离矩阵：根据合并后的聚类，更新距离矩阵，以反映新的聚类之间的距离。
重复步骤3和4，直到所有的样本或对象都合并为一个聚类或达到指定的聚类数目。
结果展示：将合并过程可视化为一棵聚类树状图（树状图或树状图），以显示不同聚类之间的关系和层次结构。
需要注意的是，系统聚类法有两种主要的实现方式：凝聚层次聚类和分裂层次聚类。
凝聚层次聚类从单个样本开始，逐步合并为更大的聚类；分裂层次聚类从一个整体聚类开始，逐步分裂为更小的聚类。
以上步骤适用于凝聚层次聚类。
系统聚类法在数据分析、模式识别、生物学分类等领域广泛应用。
通过系统聚类法，可以将样本或对象进行有序的分组，帮助发现数据中的模式和结构，并为进一步的分析和解释提供基础。
第一节系统聚类分析
第一节系统聚类分析第五章聚类分析(一)教学目的通过本章的学习，对聚类分析从总体上有一个清晰地认识，理解聚类分析的基本思想和基本原理，掌握用聚类分析解决实际问题的能力。
(二)基本要求了解聚类分析的定义，种类及其应用范围，理解聚类分析的基本思想，掌握各类分析方法的主要步骤。
(三)教学要点1、聚类分析概述;2、系统聚类分析基本思想，主要步骤;3、动态聚类法基本思想，基本原理，主要步骤;4、模糊聚类分析基本思想，基本原理，主要步骤;5、图论聚类分析基本思想，基本原理。
(四)教学时数6课时五)教学内容 (1、聚类分析概述2、系统聚类分析3、动态聚类法4、模糊聚类分析5、图论聚类分析统计分组或分类可以深化人们的认识。
实际应用中，有些情况下进行统计分组比较容易，分组标志确定了，分组也就得到了，但是，有些情况下进行统计分组却比较困难，特别是当客观事物性质变化没有明显标志时，用于确定分组的标志和组别就很难确定。
聚类分析实际上给我们提供了一种对于复杂问题如何分组的统计方法。
第一节聚类分析概述一、聚类分析的定义聚类分析是将样品或变量按照它们在性质上的亲疏程度进行分类的多元统计分析方法。
聚类分析时，用来描述样品或变量的亲疏程度通常有两个途径，一是把每个样品或变量看成是多维空间上的一个点，在多维坐标中，定义点与点，类和类之间的距离，用点与点间距离来描述样品或变量之间的亲疏程度;另一个是计算样品或变量的相似系数，用相似系数来描述样品或变量之间的亲疏程度。
二、聚类分析的种类(一)聚类分析按照分组理论依据的不同，可分为系统聚类法，动态聚类法，模糊聚类、图论聚类、聚类预报等多种聚类方法。
1、系统聚类分析法。
是在样品距离的基础上定义类与类的距离，首先将个样品自成n一类，然后每次将具有最小距离的两个类合并，合并后再重新计算类与类之间的距离，再并类，这个过程一直持续到所有的样品都归为一类为止。
这种聚类方法称为系统聚类法。
根据并类过程所做的样品并类过程图称为聚类谱系图。
系统聚类
系统聚类分析(hierachical cluster analysis)在聚类分析中应用最为广泛。
凡是具有数值特征的变量和样品都可以通过选择不同的距离和系统聚类方法而获得满意的数值分类效果。
系统聚类法就是把个体逐个地合并成一些子集，直至整个总体都在一个集合之内为止。
1. 数量型资料数据变换处理DPS提供了如下4种常用的变换方法：(1) 中心化变换。
x'ij=x ij-j)。
(2) 规格化变换(极差正规化)。
(3) 标准化变换。
，其中,。
(4) 对数变换。
x ij=ln{x ij}。
2. 计算距离系数对数量型资料，提供了如下6种距离系数：(1) 欧氏距离:(2) 绝对值距离(又称Manhattan度量或网格变量):(3) 切比雪夫距离:(4) 兰氏距离:(5) 马氏距离:(6) 卡方距离:式中, , T ij=T i+T j(k=1, 2,…, m; i,j=1, 2, …, n)当原始数据是二元性质的属性变量时, 由于数据结构的特殊性, 它不必进行数据转换处理。
它可直接根据原始数据计算相似系数和距离系数。
假设有2个分类单位A和B,当数据为二元，即取0或1时，两组数据匹配有4种形式，可以一个列联表形式表示：其中，a是A、B两单元都取1的个数，b和c是其中之一去1的个数，d是a是A、B两单元都取0的个数, a+b+c+d=n.在DPS系统中提供的常用的10种距离系数以用于系统聚类分析，各个系数计算公式为：1.Jaccard (1901)系数(2) Czekanowski (1913)系数(3) Sokal (1958)简单匹配系数(4) Baroni-Urbani & Buser系数(5) Ochilai (1957)系数(6) Dagnelie (1962)系数(7) Rogers and Tanimoto (1960)系数(8) Kulczynski, (1927)系数(9) Sokal and Sneath (1963)系数(10) Watson et al. (1966)系数3. 进行聚类分析根据Wishart (1969)提出的统一公式进行。
系统聚类分析方法
系统聚类分析方法聚类分析是研究多要素事物分类问题的数量方法。
基本原理是根据样本自身的属性，用数学方法按照某种相似性或差异性指标，定量地确定样本之间的亲疏关系，并按这种亲疏关系程度对样本进行聚类。
常见的聚类分析方法有系统聚类法、动态聚类法和模糊聚类法等。
1. 聚类要素的数据处理假设有m 个聚类的对象，每一个聚类对象都有个要素构成。
它们所对应的要素数据可用表3.4.1给出。
（点击显示该表）在聚类分析中，常用的聚类要素的数据处理方法有如下几种。
①总和标准化②标准差标准化③极大值标准化经过这种标准化所得的新数据，各要素的极大值为1，其余各数值小于1。
④极差的标准化经过这种标准化所得的新数据，各要素的极大值为1，极小值为0，其余的数值均在0与1之间。
2. 距离的计算距离是事物之间差异性的测度，差异性越大，则相似性越小，所以距离是系统聚类分析的依据和基础。
①绝对值距离选择不同的距离，聚类结果会有所差异。
在地理分区和分类研究中，往往采用几种距离进行计算、对比，选择一种较为合适的距离进行聚类。
例：表3.4.2给出了某地区九个农业区的七项指标，它们经过极差标准化处理后，如表3.4.3所示。
对于表3.4.3中的数据，用绝对值距离公式计算可得九个农业区之间的绝对值距离矩阵：3. 直接聚类法直接聚类法是根据距离矩阵的结构一次并类得到结果。
▲ 基本步骤：①把各个分类对象单独视为一类；②根据距离最小的原则，依次选出一对分类对象，并成新类；③如果其中一个分类对象已归于一类，则把另一个也归入该类；如果一对分类对象正好属于已归的两类，则把这两类并为一类；每一次归并，都划去该对象所在的列与列序相同的行；④那么，经过m-1次就可以把全部分类对象归为一类，这样就可以根据归并的先后顺序作出聚类谱系图。
★直接聚类法虽然简便，但在归并过程中是划去行和列的，因而难免有信息损失。
因此，直接聚类法并不是最好的系统聚类方法。
[举例说明]（点击打开新窗口，显示该内容）例：已知九个农业区之间的绝对值距离矩阵，使用直接聚类法做聚类分析。
系统聚类分析的理论
rij
(X
k 1 p k 1
p
ik
X i )( X jk X j )
p
( X ik X i )2 ( X jk X j )2
k 1
显然也有， | rij | 1 。
无论是夹角余弦还是相关系数，他们的绝对值都小于 1，作为变量近似性的度量工具， 我们把他们统计为 cij 。当 | cij | 1 时，说明变量 Xi 与 X j 完全相似；当 | cij | 趋近于 1 时， 说 明变量 Xi 与 X j 非常密切；当 | cij | 0 时，说明变量 Xi 与 X j 完全不一样；当 | cij | 趋近于 0 时，说明变量 Xi 与 X j 差别很大。据此，我们把比较相似的变量聚为一类，把不太相似的变 量归到不同的类内。 在实际聚类过程中，为了计算方便，我们把变量间相似性的度量公式作一个变换为
2 Dkr
np nr
2 Dkp
nq nr
2 Dkq
n p nq n
2 r
2 D pq
这里我们应该注意，实际上上式表示的类 Gk 与新类 Gr 的距离为
2 Dkr ( X k X r )' ( X k X r )
[X k
1 1 (n p X p nq X q )]'[ X k (n p X p nq X q )] nr nr np nr X 'k X p 2 nq nr X 'k X q 1 2 2 (n p X ' p X p 2n p nq X p X q nq X 'q X q ) nr2
2 D pq
1 n p nq
X i G p X j Gq
系统聚类分析的方法
系统聚类分析的方法系统聚类分析是一种常用于数据分类和分组的技术，它可以从大量的数据中找出数据的相似性和差异性，以此来帮助人们更好地理解数据中的结构和规律。
在这篇文章中，我们将介绍系统聚类分析的方法和应用，以及它在实际中的应用。
系统聚类分析所使用的方法主要是对数据进行层次聚类，即将数据分成多个组，每个组中的数据相似度较高，组间的数据相似度较低。
系统聚类分析可分为两类：凝聚式聚类和分离式聚类。
凝聚式聚类是先将每个数据视为一组，再将其依据相似性合并成越来越大的组，直至形成一个大的组。
相反，分离式聚类是先将所有数据视为一个组，然后将其逐渐分成越来越小的组，直至分成单独的数据为止。
系统聚类分析主要有三个步骤：数据预处理、相似性度量和聚类方法选择。
首先，对数据进行预处理，包括数据清洗、数据变换和数据标准化。
其次，计算不同数据之间的相似性度量，主要有欧氏距离、曼哈顿距离和余弦相似性等。
最后，选择合适的聚类方法对数据进行分类分组，包括链接聚类法、划分聚类法和模糊聚类法等。
其中，其中链接聚类法是最常用的方法之一，它将数据的相似性度量作为加权距离函数，将数据逐渐合并成一个大的组。
在这个过程中，会计算每个组的距离，再将距离矩阵作为输入进行递归地计算，直到形成一个大的组。
划分聚类法是一种将数据分成不同组的方法，它通过选择一些分割点来划分不同的组，使得每个组内的数据相似性较高。
模糊聚类法则是一种通过将数据分成多个隶属于不同组的程度来对数据进行分类的方法，它允许每个数据隶属于多个不同组，这在实际应用中也有一定的优势。
系统聚类分析方法的应用非常广泛，其中最常见的应用就是在生物学和医学领域。
在这些领域中，可以将样本数据视为数据点，然后使用聚类法将它们分成不同的类别，以便更好地理解不同样本的特征和性质。
另外，系统聚类分析也可以用于社会科学、经济学和地质学等领域，这些领域中也有大量的数据需要进行分类和处理。
为了更好地应用系统聚类分析方法，需要注意一些要点。
聚类分析 系统聚类 变量聚类
聚类分析我们所研究的样品（网点）或指标（变量）之间存在程度不同的相似性（亲疏关系——以样品间距离衡量）。
于是根据一批样品的多个观测指标，具体找出一些能够度量样品或指标之间相似程度的统计量，以这些统计量为划分类型的依据。
把一些相似程度较大的样品（或指标）聚合为一类，把另外一些彼此之间相似程度较大的样品（或指标）又聚合为另一类，直到把所有的样品（或指标）聚合完毕，这就是分类的基本思想。
在聚类分析中，通常我们将根据分类对象的不同分为Q 型聚类分析和R 型聚类分析两大类。
一：Q 型聚类分析（系统聚类） 1：样本的相似性度量记Ω是样本点集，距离(,)d ⋅⋅是R ΩΩ+⨯→的一个函数，满足条件： （1） (,)0,,d x y x y Ω≥∈；（2） (,)0d x y =当且仅当x y =； （3） (,)(,),,d x y d y x x y Ω=∈；（4） (,)(,)(,),,,d x y d x z d z y x y z Ω≤+∈。
这一距离的定义是我们所熟知的，它满足状态性、对称性和三角不等式。
在聚类分析中，对于定量变量，最常用的是闵式距离(Minkowski)距离，即11(,),0pqq p k k k d x y x y q =⎡⎤=->⎢⎥⎣⎦∑当1,2q =或q →∞时，则分别得到： （1） 绝对值距离11(,)pk k k d x y x y ==-∑（2） 欧式(Euclid)距离12221(,)pk k k d x y x y =⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦∑（3） 切比雪夫(Chebyshew)距离1(,)max k k k pd x y x y ∞≤≤=-（4） 马氏(Mahalanobis)距离(,)d x y =,其中：,x y 为来自p 维总体Z 的样本观测值；∑为Z 的协方差矩阵，实际中∑往往是未知的，常常需要用样本协方差来估计。
马氏距离对一切线性变换是不变的，故不受量纲的影响。
聚类分析之系统聚类法
聚类分析之系统聚类法系统聚类法是一种常用的聚类分析方法，旨在将样本集合划分为不同的簇，使得同一个簇内的样本之间相似度较高，而不同簇之间的样本相似度较低。
本文将介绍系统聚类法的基本原理、常用的聚类算法以及应用领域等内容。
系统聚类法的基本原理是通过计算样本之间的距离或相似度来判断它们之间的关系，并将相似的样本归为同一簇。
在系统聚类法中，最常用的距离度量方法有欧氏距离、曼哈顿距离和余弦相似度等。
通过选择适当的距离度量方法，可以更准确地描述样本之间的差异。
常见的系统聚类算法包括层次聚类法、BIRCH算法和DBSCAN算法等。
层次聚类法是一种自底向上的聚类算法，它从每个样本开始，逐步合并相邻的样本，直到所有样本都被合并为一个簇。
BIRCH算法是一种基于CF树的聚类算法，它通过构建一种多叉树的数据结构来实现高效的聚类计算。
DBSCAN算法则是一种基于密度的聚类算法，它通过确定样本的邻域密度来判断是否属于同一簇。
系统聚类法在许多领域中都有广泛的应用。
在生物信息学领域，系统聚类法可以用于基因表达数据的聚类分析，从而找到具有相似表达模式的基因。
在市场营销领域，系统聚类法可以用于将顾客划分为不同的群体，从而为不同群体制定个性化的营销策略。
在图像处理领域，系统聚类法可以用于图像分割，将具有相似颜色或纹理特征的像素归为同一簇。
尽管系统聚类法具有广泛的应用前景，但也存在一些挑战和限制。
首先，系统聚类法对初始样本集合的选择较为敏感，不同的初始选择可能导致不同的聚类结果。
其次，系统聚类法在处理大规模数据时计算复杂度较高，需要消耗大量的计算资源。
此外，系统聚类法还面临着噪声和异常值的影响，这些值可能会干扰正常的聚类结果。
总之，系统聚类法是一种重要的聚类分析方法，通过计算样本之间的距离或相似度，将相似的样本归为同一簇。
它在生物信息学、市场营销和图像处理等领域具有广泛的应用价值。
然而，系统聚类法仍面临一些挑战和限制，如初始样本选择、计算复杂度和噪声处理等问题。
系统聚类的方法解析
系统聚类的方法解析系统聚类是一种数据分析技术，用于将一组对象划分为不同的类别或群组，使得同一类别内的对象具有相似的特征，而不同类别之间的对象具有明显的差异。
系统聚类方法基于对象之间的相似度或距离来判断它们是否属于同一类别。
本文将介绍几种常见的系统聚类方法，包括层次聚类、K-均值聚类和DBSCAN聚类。
层次聚类是一种将对象以树形结构进行组织的聚类方法。
它可以分为凝聚式聚类和分裂式聚类两种类型。
凝聚式聚类从每个对象作为一个类开始，逐步合并最相似的类，直到所有对象都合并为一个类为止。
分裂式聚类从所有对象作为一个类开始，将其分解为越来越小的类，直到每个类只包含一个对象为止。
层次聚类方法可以根据不同的相似度度量（如欧几里得距离、曼哈顿距离等）来计算对象之间的距离。
K-均值聚类是一种基于距离的聚类方法。
它将要聚类的对象划分为K 个类别，其中K是预先指定的。
它通过迭代优化的方式，计算每个对象与每个类别的距离，并将对象划分到距离最近的类别中。
在每次迭代后，重新计算每个类别的质心（即所有对象的平均值），并调整对象的归属，直到达到一定的停止准则（如达到最大迭代次数或类别的变化小于一些阈值）。
DBSCAN（Density-Based Spatial Clustering of Applications with Noise）是一种基于密度的聚类方法。
它将对象的密度定义为一些半径内的对象数目。
DBSCAN通过定义两个参数：半径(ε)和最小对象数目(MinPts)，来判断对象是否是核心对象、边界对象还是噪声对象。
从核心对象开始，递归地将密度可达的对象划分到同一类别中，直到没有更多的密度可达对象。
DBSCAN可以有效地发现任意形状和大小的聚类，且对噪声对象的影响较小。
系统聚类方法适用于无监督学习任务，因为它们不需要事先的标记数据。
它们可以通过计算对象之间的相似度或距离，自动发现潜在的模式和结构。
然而，系统聚类方法需要选择合适的聚类数目、参数和相似度度量，这对于不同的数据集可能是挑战性的。
聚类分析(第3节_系统聚类法)
1 2 1 2 2 Dkp Dkq Dpq , (1/ 4 0) 2 2
(6.3.5)
第三节 系统聚类分析法以及类的确 定
设 Dkq ＞ Dkp ，如果采用最短距离法，则 Dkr = Dkp ，如果采用最长距离法，则 Dkr = Dkq 。
如图 6.1 所示， (6.3.5) 式就是取它们（最长
● 重心法
重心法定义类间距离为两类重心（各类样品的均值）的 距离。重心指标对类有很好的代表性，可体现出每类包含 的样品个数，但并不能充分利用个样本所含的信息。 设 G p 与 G q 分别有样品 n p ， 其重心分别为 X p 和 X q ， n q 个， 则 G p 与 G q 之间的距离定义为 X p 和 X q 之间的距离，这里 我们用欧氏距离来表示，即
第三节 系统聚类分析法以及类的确 定
◆
类间距离与系统聚类法
在进行系统聚类之前，我们首先要定义类与类之间 的距离，由类间距离定义的不同产生了不同的系统聚 类法。常用的类间距离定义有 8种，与之相应的系统 聚类法也有 8种，分别为：最短距离法、最长距离法、 中间距离法、重心法、类平均法、可变类平均法、可 变法和离差平方和法。它们的归类步骤基本上是一致 的，主要差异是类间距离的计算方法不同。
第三节 系统聚类分析法以及类的确 定
以下用 d ij 表示样品 X i与 X 之间距离，用 Gij表示类 Gi j 与 G j 之间的距离。
●
最短距离法
定义类 Gi 与类G j 之间的距离为两类最近样品的距离，即 为
Dij
X i Gi , X j G j
min
d ij
（6.3.1）
设类G p 与 Gq 合并成一个新类记为 Gr ，则任一类Gk 与Gr 的距离为
系统聚类分析
0.26
0.04
0.00
0.15
0.00
0.00
二、距离的计算
常见的距离有 ① 绝对值距离
d ij xik x jk
② 欧氏距离
d ij ( xik x jk ) 2
k 1 n
n
(i, j 1,2,, m)
（3.4.5）
i 1
(i, j 1,2,, m)
（3.4.6）
计算原来各类与新类之间的距离，这样就得到 一个新的（m－1）阶的距离矩阵； 再从新的 距离矩阵中选出最小者dij，把Gi和Gj归并成新 类；再计算各类与新类的距离，这样一直下去， 直至各分类对象被归为一类为止。
例题:以下根据式（3.4.9）中的距离矩阵，
用最短距离聚类法对某地区的9个农业区进行 聚类分析。
1 m x j xij 0 m i 1 sj 1 m ( xij x ) 2 1 j m i 1
③ 极大值标准化，即
xij xij max{xij }
i
(i 1,2, , m; j 1,2, , n)
（3.4.3）
经过这种标准化所得的新数据，各要素的 极大值为1，其余各数值小于1。
假设有m 个聚类的对象，每一个聚类对象 都有n个要素构成。它们所对应的要素数据可 用表3.4.1给出。
表3.4.1 聚类对象与要素数据
要 聚 类 对 象 素
x1
x11 x21 xi1 xm1
x2 x j
x12 x22 xi 2 x1 j xij
xn
x1n xin xmn
d8，10=min｛d84，d89｝= min｛1.29，1.40｝=1.29
聚类算法（五）--层次聚类（系统聚类）及超易懂实例分析
聚类算法（五）--层次聚类（系统聚类）及超易懂实例分析博客上看到的，叫做层次聚类，但是《医学统计学》上叫系统聚类（chapter21）思想很简单，想象成⼀颗倒⽴的树，叶节点为样本本⾝，根据样本之间的距离（相似系数），将最近的两样本合并到⼀个根节点，计算新的根节点与其他样本的距离（类间相似系数），距离最⼩的合为新的根节点。
以此类推对于样本X=（x1，x2，，，x m ），共n 个样品，m 个特征，我们可以考虑两种情形聚类R 型聚类：m 个特征之间的聚类，可以理解为⼀种降维。
Q 型聚类：n 个样品之间的聚类，这就是⼀般意义上机器学习中的系统聚类（⽂中的下标i 、j 在R 型、Q 型中的含义不⼀样，聪明的读者⾃⾏分辨）相似系数：R 型（真正意义上的相似系数）（r ）r ij =∑X i −¯X i X j −¯X j ∑X i −¯X i 2∑X j −¯X j 2可以看到r ij 越⼤标明两特征相似程度越⾼Q 型（真正意义上的样品距离）（d ）闵可夫斯基（Minkowski ）距离：px −µi pMinkowski 距离没有考虑变量之间的相关关系。
引进马⽒距离：d ij =X ′S −1X其中X=(X_{i1}-X_{j1} \right , X_{i2}-X_{j2} \right, X_{im}-X_{jm})（不明原因的公式不正确显⽰）类间相似系数:最⼤相似系数法r=Max(r)D=Min(d)|()()|√()()√||最⼩相似系数法r=Min(r)D=Max(d)可以看出，就是⼈为规定了，当某两个指标或样品合并后，新的样本（或指标）与上⼀节点样品（或指标）的距离（或相似系数）的选取现举实例说明测量了300名成年⼥⼦⾝⾼（X1）、下肢长（X2）、腰围（X3）、胸围（X4）得到相似系数矩阵可以看到X1,X2的相似系数最⼤，所以将X1,X2合并为G5X3变为G3，X4变为G4G3与G4的相似系数不变，为0.73G5与G3、G5与G4的类间相似系数采⽤最⼤相似系数法G5与G3的类间相似系数r = Max r即r53=Max(r13,r23)=Max(0.09,0.05)=0.09r54=Max(r14,r24)=Max(0.23,0.17)=0.23所以有根据上述步骤，直到所有的类都归为⼀类。
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聚类分析
聚类分析是研究“物以类聚”的一种多元统计方法。
国内有人称它为群分析、点群分析、簇群分析等。
聚类分析的基本概念
聚类分析是研究对样品或指标进行分类的一种多元统计方法,是依据研究对象的个体的特征进行分类的方法。
它把分类对象按一定规则分成若干类，这些类非事先给定的，而是根据数据特征确定的。
在同一类中这些对象在某种意义上趋向于彼此相似，而在不同类中趋向于不相似。
它职能是建立一种能按照样品或变量的相似程度进行分类的方法。
聚类分析的基本思想是认为我们所研究的样本或指标（变量）之间存在着程度不同的相似性（亲疏关系）。
于是根据一批样本的多个观测指标，具体找出一些彼此之间相似程度较大的样本（或指标）聚合为一类，把另外一些彼此之间相似程度较大的样本（或指标）又聚合为另一类，关系密切的聚合到一个小的分类单位，关系疏远的聚合到一个大的分类单位，直到把所有样本（或指标）都聚合完毕，把不同的类型一一划分出来，形成一个由小到大的分类系统。
最后把整个分类系统画成一张谱系图，用它把所有样本（或指标）间的亲疏关系表示出来。
这种方法是最常用的、最基本的一种，称为系统聚类分析。
聚类分析有两种：一种是对样本的分类，称为Q型，另一种是对变量（指标）的分类，称为R型。
聚类分析给人们提供了丰富多彩的方法进行分类，这些方法大致可以归纳为：
（1）系统聚类法。
首先将n个也样品看成n类（一个类包含一个样品），然后将性质最接近的两类合并成一个新类，我们得到n-1类，再从中找出最接近的两类加以合并成了n-2类，如此下去，最后所有的样品均在一类，将上述并类过程画成一张图（称为聚类图）便可决定分多少类，每类各有什么样品。
（2）模糊聚类法。
将模糊数学的思想观点用到聚类分析中产生的方法。
该方法多用于定型变量的分类。
（3）K—均值法。
K—均值法是一种非谱系聚类法，它是把样品聚集成k个类的集合。
类的个数k可以预先给定或者在聚类过程中确定。
该方法可用于比系
统聚类法大得多的数据组。
系统聚类分析
一、距离和相似系数
为了对样品进行分类，需要研究样品之间的关系，而目前用得最多的方法是：
1.相似系数：根据相似系数把相似的样品归为一类，不怎么相似的系数归为不同的类。
性质接近的样品，它们相似系数的绝对值越接近于1，而彼此五官的样品，它们的相似系数接近于0。
2.空间距离：将所有的样本（有P 项指标表示）看作P 维空间中的点，距离越接近的点归为一类，距离较远的点归为不同的类。
由于指标数据表示不同的度量，有的是表示数量的定量数据，有的是表示排序的顺序数据，而有的是表示类别的定性数据。
这里讨论定量数据的距离和相似系数。
⒈距离
每个样本有p 个指标，因此每个样本可以看成p 维空间中的一个点，n 个样本就组成p 维空间中的n 个点，这时很自然想到用距离来度量n 个样本间的接近程度。
用ij d 表示第i 个样本与第j 个样本之间的距离。
一切距离应满足以下条件： 0ij d ≥ 对于一切i ，j
0ij d = 等价于样品i 和样品j 的指标相同
ij ji d d ＝ 对于一切i ，j
ij ik kj d d d ≤+ 对于一切i ，j ，k
常见的距离有： 绝对值距离：1p t it jt
d x x ==∑
- 欧式距离：
d =
平方欧式距离：()2
1p it jt t d x x ==-∑ 切比雪夫距离：it jt t d Max x x =- 明考斯基距离：11q
p q it jt t x x d =∑=⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
当q=1,2时，为绝对值、欧式距离；若趋近无穷时，则为切比雪夫距离 明氏距离在实际的运用很多，但有一些缺点。
例如观测值的单位问题；指标间的相关问题，因此改进得到以下两种距离： 兰氏距离：1||1()()
p it jt ij t it jt x x d L p x x =-=+∑ 马氏距离：1()()()()()()()ij i j i j d M X X S X X -'=--
以上都是样本间距离的定义。
⒉相似系数
（1）相似系数
设()12,,,i i ip x x x '=i x 和12(,,,)j j jp x x x '=j x 是第i 和j 个样品的观测值，则二者之间的相似系数为
:
()()p ik i jk j ij x x x x C --=∑
（2）夹角余弦
夹角余弦时从向量集合的角度所定义的一种测度变量之间亲疏程度的相似系数。
设在n 维空间的向量()12,,,i i i ni x x x '=x ，()12,,,j j j nj x x x '=x
cos n ki kj ij ij x x c α==∑ 221ij ij d C =-
二、系统聚类法基本步骤
1. 选择样本间距离的定义及类间距离的定义；
2. 计算n 个样本两两之间的距离，得到距离矩阵；
3. 构造个类，每类只含有一个样本；
4. 合并符合类间距离定义要求的两类为一个新类；
5. 计算新类与当前各类的距离。
若类的个数为1，则转到步骤6，否则回到步骤4；
6.画出聚类图；
7.决定类的个数和类。
三、系统聚类分析的方法
系统聚类法的聚类原则决定于样品间的距离以及类间距离的定义，类间距离的不同定义就产生了不同的系统聚类分析方法。
以下用ij d 表示样品X(i)和X(j)之间的距离，当样品间的亲疏关系采用相似系
数ij C 时，令221ij ij
d C =- 以下用D(p,q)表示类Gp 和Gq 之间的距离。
1.最短距离法
定义距离：{}pq ij p q D Min d G G =∈∈i j x x ：，
等于Gp 和Gq 最为邻近的两个样品之间的距离
2.最长距离法
定义距离：{}pq ij p q D Max d G G =∈∈i j x x ：，
等于Gp 和Gq 最远的两个样品之间的距离
3.重心法
定义距离：22c (,)p q X X D p q d = 等于Gp 和Gq 两个重心之间的距离
4.类平均法 定义距离：221
i p j q pq ij x G x G p q D d n n ∈∈=∑∑
等于Gp 和Gq 中任意两个样品距离的平均
5.离差平方和法
用p D 和q D 分别表示Gp 和Gq 的直径，用p q D +表示大类的直径，则 '()()p p p p i i i G D x x x x ∈=
--∑
'()()q q q q j j j G D x x x x ∈=
--∑
'()()q p p q j j j G G D x x x x +∈=--∑
定义距离：2
(,)w p q P q D p q D D D +=--
等于Gp 和Gq 之间距离的平方。