5 机械波习题详解

答案：D 解：当机械波传播到某一媒质质元时，媒质质元在平衡位置处形变最大，因此其弹性势 能也最大。运动到最大位移处形变最小，其弹性势能最小。媒质质元的振动动能和弹性 势能是等相位的，能量向前传播，媒质质元机械能不守恒。所以答案应选 D。
5．设声波在媒质中的传播速度为 u，声源的频率为ν S 。若声源 S 不动，而接收器 R 相对 于媒质以速度 vR 沿着 S、R 连线向着声源 S 运动，则位于 S、R 连线中点的质点 P 的振动
y u
PC O l 2l x
（C）波的表达式为 y = A cosω(t + l − x ) ； uu
（D）C 点的振动方程为 y = Acosω(t − 3l ) 。 u
答案：C
解：波向右传播，原 O 的振动相位要超前 P 点 ω l ，所以原点 O 的振动方程为 u
y = Acosω(t + l ) ，因而波方程为 y = Acosω(t − x + l ) ，可得答案为 C。
y
=
y1
+
y2
=
6 ×10−3
cos(2πt
−
1 2
π)
三、计算题
1．平面简谐波沿 x 轴正方向传播，振幅为 2cm ，频率为 50Hz ，波速为 200 m/s．在 t = 0
时，x = 0 处的质点正在平衡位置向 y 轴正方向运动，求 x = 4m 处媒质质点振动的表达式 及该点在 t = 2s 时的振动速度。
端。设反射时无能量损失，求
（1）反射波的表达式；（2）合成的驻波的表达式；（3）波腹和波节的位置。
答案：（1）
y2
=
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Acos[2π( x λ
−
t T
)
+
π]
=
− Acos 2π( x λ
−
t T
)
；
（2） y = 2 Acos( 2π x + π) cos( 2π t − π ) = −2Asin 2πx sin 2πt ；
π)
；令
B
P
BP = 0.45 m ， CP = 0.30 m ，两波的传播速度 u= 0.20 m/s 。若不
考虑传播途中振幅的减小，则 P 点的合振动的振动方程为
C
____________________________________。
答案： y = 6 ×10−3 cos(2πt − 1 π) (SI)。
2π / a 2π / b
a
b
2．如图，一平面简谐波以波速 u 沿 x 轴正方向传播，O 为坐标原点．已知 P 点的振动方
程为 y = Acosωt ，则 ［ ］ （A）O 点的振动方程为 y = Acosω(t − l ) ； u （B）波的表达式为 y = Acosω(t − l − x ) ； uu
5 机械波习题详解
习题册-上-5
2．如图所示，一平面简谐波沿 Ox 轴正向传播，波速大小为 u，若 P 处质点的振动方程
为 yP = Acos(ω t + ϕ) ，则
O 处质点的振动方程___________________________________；
L
u
P 该波的波动表达式_____________________________________。
y
=
A
cos
2π(ν
t
−
x λ
)
，而另一平面
简谐波沿 Ox 轴负方向传播，波的表达式为 y = 2 Acos 2π(ν t + x ) λ
求：（1） x = λ 处介质质点的合振动方程；（2） x = λ 处介质质点的速度表达式。
4
4
答案：（1） y = Acos(2πνt + 1 π) ；（2） v = 2πν Acos(2πν t + π) 。 2
习题册-上-5
（1）求 P 处质点的振动方程； （2）求此波的波动表达式；
yP (m)
（3）若图中
d
=
1 2
λ
，求坐标原点
O
处质点的振动方程。
01
t (s)
答案：（1）
yP
=
A cos( 1 2
πt
+
π)
；
-A
（2） y = Acos[2π( t + x − d ) + π] ； 4λ
d
O
Px
（3）
λ 2 T2
（2） x = λ 处质点的速度 4
v = d y = −2πν Asin(2πν t + 1 π) = 2πν Acos(2πν t + π)
dt
2
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5 机械波习题详解
习题册-上-5
4．设入射波的表达式为
y1
=
Acos 2π( x λ
+
t T
)
，在
x
=
0
处发生反射，反射点为一固定
y0
=
Acos(
1 2
πt) 。
解：（1）由振动曲线可知，周期 T=4，所以 P 处质点振动方程为
yP
=
Acos[( 2π 4
t)
+
π]
=
A cos( 1 2
πt
+
π)
（2）波动表达式为
y
=
Acos[2π( t 4
+
x
− λ
d
)
+
π]
（3）O 处质点的振动方程
y0
=
Acos(
1 2
πt)
3．一平面简谐波沿 Ox 轴正方向传播，波的表达式为
解：（1） x1 = 10m 处的振动方程为
y = 0.25cos(125t − 3.7) x =10
（2） x2 = 25m 处的振动方程为
y = 0.25cos(125t − 9.25) x = 25
所以 x2 与 x1 两点间相位差 Δϕ = ϕ2 − ϕ1 = −5.55 rad
2
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Ox
答案：
y0
=
A cos[ω (t
+
L) u
+ϕ]
；
y
=
A cos[ω (t
−
x
− u
L)
+ ϕ]
解：（1）O 处质点振动方程
y0
=
A cos[ω (t
−
|
L u
|)
+ϕ]
=
A cos[ω (t
+
L) u
+ ϕ]
(L < 0)
（2）波动表达式 y = Acos[ω(t − x+ | L |) + ϕ] = Acos[ω(t − x − L ) + ϕ] (L < 0)
答案：（1） y = 2 ×10−2 cos(100πt − 1 π) ；（2） v = 6.28 m/s 。 2
解：设 x = 0 处质点振动的表达式为 y0 = Acos(ωt + ϕ) ，
已知
t = 0 时， y0 = 0 ，且
v0
>
0 ，所以ϕ
=
−1 2
π ，因此得
y0
=
Acos(2πν t
故波动表达式为
y = 0.04cos[2π( t − x ) − π ] (SI) 5 0.4 2
（2）P 处质点的振动方程为
yP
=
0.04 cos[2π( t 5
−
0.2) − 0.4
π ]
2
=
0.04 cos(0.4πt
−
3π ) 2
(SI)
4．一平面简谐波，频率为1.0 ×103 Hz ，波速为1.0 ×103 m/s ，振幅为1.0 ×104 m ，在截面 面积为 4.0 ×10−4 m2 的管内介质中传播，若介质的密度为 8.0 ×102 kg ⋅ m−3 ，则该波的能量
解：（1）在 x = λ 处 4
y1
=
A cos(2πνt
−
1 2
π) ，
y2
=
2 A cos(2πνt
+
1 2
π)
因 y1 与 y2 反相，所以合振动振幅为二者之差： As = 2 A − A = A ，且合振动的初相ϕ 与
振幅较大者（即
y2
）的初相相同，为
1 2
π
。所以，
合振动方程
y = Acos(2πνt + 1 π) 2
该质点在 t = 2s 时的振动速度为
v = − Aω sin(ωt + ϕ) = −2 ×10−2 ×100π sin(200π − 1 π) = 2π= 6.28 m/s 2
2．一平面简谐波沿 Ox 轴的负方向传播，波长为λ ，P 处质点的振动规律如图所示．
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W = P ⋅ Δt = ISΔt = 3.79×103 J 。
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习题册-上-5
5．如图所示，两列相干波在 P 点相遇。一列波在 B 点引起的振动是 y10 = 3×10−3 cos 2πt ；
另一列波在
C
点引起的振动是
y20
=
3 ×10−3
cos(2πt
+
1 2
u
u
3．图示为一平面简谐波在 t = 0 时刻的波形图，则该波的波动表达
式__________________________________； P 处质点的振动方程
y (m) u = 0.08 m/s
为_________________________________。
答案： y = 0.04 cos[2π( t −
x
)−
π ]
(SI)；
5 0.4 2
yP
=
0.04 cos(0.4πt
−
3π ) 2
(SI)。
O -0.04
P
x (m)
0.20 0.40 0.60
解：（1）O 处质点， t = 0 时
y0 = Acosϕ = 0 ， v0 = − Aω sinϕ > 0
所以
ϕ =−1π，
2
又有 T = λ = 0.40 = 5s u 0.08
密度__________________；该波在 60 s 内垂直通过截面的总能量为_________________。 答案：1.58×105 W ⋅ m−2 ； 3.79 ×103 J 。
解： （1） （2）
I = 1 ρuA2ω2 = 2π 2ρuA2ν 2 = 1.58×105 W ⋅ m−2 2
b
2
（D） y = a cos[π u (t − t′) − π]。
b
2
O
x
b
答案：D
解：令波的表达式为
y = a cos[2π(ν t − x ) + ϕ] λ
1
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5 机械波习题详解
习题册-上-5
当t = t′ ，
y
=
a
cos[2π(ν
t′
−
x λ
)
+
ϕ
]
由图知，此时 x = 0 处的初相 2πν t′ + ϕ = − π ， 所以 ϕ = − π − 2πν t′ ，
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5 机械波习题详解
习题五
习题册-上-5
一、选择题
1．已知一平面简谐波的表达式为 y = A cos(at − bx) （a、b 为正值常量），则 ［ ］
（A）波的频率为 a；
（B）波的传播速度为 b/a；
（C）波长为 π / b；
（D）波的周期为 2π / a。
答案：D
解：由 y = Acos(at − bx) = Acos( 2π t − 2π x) ，可知周期 T = 2π 。波长为 2π 。
+ϕ)
=
2 ×10−2
cos(100πt
−
1 2
π)
由波的传播概念，可得该平面简谐波的表达式为
y = Acos[2πν (t − x ) + ϕ] = 2 ×10−2 cos(100πt − 1 πx − 1 π)
u
22
x = 4m 处的质点在 t 时刻的位移
y = 2 ×10−2 cos(100πt − 1 π) 2
u
uu
3．一平面简谐波以速度 u 沿 x 轴正方向传播，在 t = t′ 时波形曲线如图所示．则坐标原点
O 的振动方程为［ ］
（A） y = a cos[u (t − t′) + π] ；
b
2
（B）
y
=
a
cos[2π
u
(t
−
t ′)
−
π ]
；
b
2
y
a
u
（C） y = a cos[π u (t + t′) + π] ；
频率为［ ］
（A）ν S ；
答案：A
（B）
u
+ vR u
ν
S
；
（C）
u
u +
vR
ν
S
；
（D）
u
u − vR
ν
S
。
解：位于 S、R 连线中点的质点 P 相对于声源并没有相对运动，所以其接收到的频率应是
声源的频率ν S
二、填空题
1．已知一平面简谐波的表达式为 y = 0.25 cos(125t − 0.37x) (SI)，则 x1 = 10m 处质点的振动方程为________________________________； x1 = 10m 和 x2 = 25m 两点间的振动相位差为_____________。 答案： y = 0.25cos(125t − 3.7) (SI)； Δϕ = −5.55 rad 。
2
解：根据波动表达式 y = [ Acos 2πν (t − x ) + ϕ] 可算出，由 B 处发出的波在 P 点引起的振 u
动的振动方程为
y1
=
3 × 10−3
cos(2πt
−
1 2
π)
由 C 处发出的波在 P 点引起的振动的振动方程为
y2
=
3 ×10−3
cos(2πt
−
1 2
π)
两振动同相位，所以 P 点的合振动的振动方程
2
2
由图得
λ = 2b ， ν = u = u λ 2b
故x=0处
y = a cos[2πν t + ϕ] = a cos[ πu (t − t′) − π ]
b
2
4．当一平面简谐机械波在弹性媒质中传播时，下述各结论哪个是正确的？［ ］ （A）媒质质元的振动动能增大时，其弹性势能减小，总机械能守恒； （B）媒质质元的振动动能和弹性势能都作周期性变化，但二者的相位不相同； （C）媒质质元的振动动能和弹性势能的相位在任一时刻都相同，但二者的数值不等； （D）媒质质元在其平衡位置处弹性势能最大。