立体几何中的计算与位置关系

4.(2015·全国Ⅱ卷)已知A，B是球O的球面上两点，
∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱
锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积
为( )
A.36π B.64π
C.144π
D.256π
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解析 如图，要使三棱锥 O-ABC 即 C-OAB 的体积 最大，当且仅当点 C 到平面 OAB 的距离，即三 棱锥 C-OAB 底面 OAB 上的高最大，其最大值为 球 O 的半径 R，则 VO-ABC 最大为13×12S△OAB×R ＝13×12×R2×R＝16R3＝36，所以 R＝6，得 S 球 O＝4πR2 ＝4π×62＝144π，选 C.
第1讲 立体几何中的计算与位置关系
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高考定位 立体几何中的计算主要考查空间几何体与三视图 相结合的几何体的表面积和体积，是历年高考的必考内容， 多为选择题或填空题；空间线面位置关系(包括平行与垂直)的 判断与证明也是历年高考的必考内容，多出现在立体几何解 答题中的第(1)问.
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[微题型 2] 以三视图为载体求几何体的体积 【例 1－2】 (2015·郑州模拟)已知一个几何体的三视图如图
所示，则该几何体的体积为( )
（4＋π） 3
A.
3
（4＋π） 3
C.
6
（4＋π） 3
B.
2
D.(4＋π) 3
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解析 由空间几何体的三视图可得 该空间几何体的直观图，如图， ∴该四面体的表面积为
S 表＝2×12×2×1＋2× 43×( 2)2＝2＋ 3，故选 B. 答案 B 探究提高 (1)若以三视图的形式给出，解题的关键是对 给出的三视图进行分析，从中发现几何体中各元素间的位 置关系及数量关系，得到几何体的直观图，然后根据条件 求解.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的 表面积应注意重合部分的处理.
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(2)柱体、锥体和球的体积公式： ①V 柱体＝Sh(S 为底面面积，h 为高)； ②V 锥体＝13Sh(S 为底面面积，h 为高)； ③V 球＝43πR3.
5.直线、平面平行的判定及其性质
(1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α. (2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b. (3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α， b∥α⇒α∥β.
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真题感悟 1.(2015·浙江卷)某几何体的三视图如图所示
(单位：cm)，则该几何体的体积是( C )
A.8 cm3
B.12 cm3
32 C. 3
cm3
40 D. 3
cm3
解析 该几何体是棱长为 2 cm 的正方体与一
底面边长为 2 cm 的正方形，高为 2 cm 的正四
D.23＋2π
解析 这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，
V＝12π×12×2＋13×12×1×2×1＝π＋13，选 A. 答案 A
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3.(2015·全国Ⅰ卷)《九章算术》是我国古代内 容极为丰富的数学名著，书中有如下问题： “今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺， 问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内 墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米 堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和 堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺， 圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )
答案 C
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1.四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平 行六面体、长方体之间的关系.
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2.用斜二测画法画出的水平放置的平面图形直观图的面积是 原图形面积的 42倍.
3.几何体的摆放位置不同，其三视图也不同，需要注意长对正， 高平齐，宽相等.
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A.14斛
B. 22斛
C.36斛
D. 66斛
解析 由题意知：米堆的底面半径为136(尺)，体积
V＝13×14πR2·h＝3290(立方尺).所以堆放的米大约
为9×3210.62≈22(斛). 答案 B
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棱锥组成的组合体，V＝2×2×2＋13×2×2×2＝332(cm3).
ຫໍສະໝຸດ Baidu故选 C.
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2.(2015·重庆卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体 的体积为( )
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A.13＋π
B.23＋π
C.13＋2π
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热点一 空间几何体的表面积和体积的求解 [微题型1] 以三视图为载体求几何体的表面积 【例1－1】 (2015·安徽卷)一个四面体的三视图如图所示，
则该四面体的表面积是( )
A.1＋ 3
B.2＋ 3 C.1＋2 2
D.2 2
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(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.
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6.直线、平面垂直的判定及其性质
(1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m， l⊥n⇒l⊥α.
(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.
(3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β. (4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a ⊥β.
4.空间几何体的两组常用公式 (1)柱体、锥体、台体的侧面积公式： ①S 柱侧＝ch(c 为底面周长，h 为高)； ②S 锥侧＝12ch′(c 为底面周长，h′为斜高)； ③S 台侧＝12(c＋c′)h′(c′，c 分别为上下底面的周长，h′为斜高)； ④S 球表＝4πR2(R 为球的半径).
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