一元一次方程全章归类题型(典型)
部编数学七年级上册专题09一元一次方程的应用题十二大题型(解析版)含答案
专题09 一元一次方程的应用题 十二大题型一元一次方程的应用题属于必考题，需要完全掌握各个类型的应用题，该专题将应用题分为分段计费、方案优化选择、行程问题、工程问题、商品销售问题、比赛积分问题、日历问题（数字问题）、配套问题、调配问题、和差倍分问题（比例问题）、几何图形问题等共进行方法总结与经典题型进行分类。
1.用一元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应用题的基本思路为：问题¾¾¾®分析抽象方程¾¾¾®求解检验解答．由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．注意：（1）“审”指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，及它们之间的关系，寻找等量关系；（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数；（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一；（4）“解”就是解方程，求出未知数的值．（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．2 .建立书写模型常见的数量关系1）公式形数量关系：生活中许多数学应用情景涉及如周长、面积、体积等公式。
在解决这类问题时，必须通过情景中的信息，准确联想有关的公式，利用有关公式直接建立等式方程。
长方形面积=长×宽 长方形周长=2（长+宽） 正方形面积=边长×边长 正方形周长=4边长2）约定型数量关系：利息问题，利润问题，质量分数问题，比例尺问题等涉及的数量关系，像数学中的公式，但常常又不算数学公式。
我们称这类关系为约定型数量关系。
3）基本数量关系：在简单应用情景中，与其他数量关系没有什么差别，但在较复杂的应用情景中，应用方法就不同了。
我么把这类数量关系称为基本数量关系。
单价×数量=总价 速度×时间=路程 工作效率×时间=总工作量等。
一元一次方程应用专题十大题型（包括数轴上动点问题）
一元一次方程应用专题十大题型（包括数轴上动点问题）一元一次方程应用题十大类型一：配套问题配套问题1. 某车间有52名工人生产甲、乙两种零件，每人每小时平均能生产15个甲种零件或18个乙种零件，1个甲种零件配4个乙种零件，则分配多少名工人生产甲种零件，多少名工人生产乙种零件，恰好使每小时生产的甲、乙两种零件零件配套？2. 加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮刚好配成1套，那么需要分别安排多少名工人生产大小齿轮，才能每天加工的大小齿轮刚好配套？二.利润问题1.某商场购进一批服装，每件服装的进价为200元，由于换季，商城决定将这种服装按标价的六折销售，若打折后每件服装仍能获利20%，则该服装的标价是多少？2.某商店以每件150元的价格卖出两件不同的商品，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，则该商场总的盈亏情况（）A.亏损20元B.盈利30元C. 亏损50元D.不赢不亏三. 比赛积分问题1.小明参加竞赛活动，试卷由50道选择题组成，评分标准规定：选对一题得3分，不选得0分，选错一题倒扣1分.已知小明有5题没选，得103分，则他选错了_______道题.趣味应用题 '五羊杯'竞赛题2. 50名学生中，会讲英语的有36人，会讲日语的有20人，即不会讲英语也不会讲日语的有8人，即会讲英语又会讲日语的有_______人.四工程问题1. 一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成，现在先由甲单独做4小时，剩下的部分由甲乙合作，需要几小时完成？2. 某工厂原计划用26小时生产一批零件，后因每小时多生产5个，用24小时不但完成了任务，而且还比原计划多生产了60个，问原计划生产多少个零件.五．行程问题1. 相遇问题例：A,B两地相距450km，甲乙两车分别从A,B两地同时出发，相向而行.已知甲车得速度为120km/h,乙车得速度为80km/h,经过t h两车相距50km，则t的值是____________.2．追及问题例：甲、乙两人练习跑步，甲每秒跑7m,乙每秒跑6.5m，甲让乙先跑5m.设 x s 后甲追上乙，则可列方程_________.3.小李骑自行车从甲地到乙地，出发40分钟后，小王骑自行车从甲地出发，两人同时到达乙地，已知小李骑自行车的速度是15千米/时，小王骑电动车的速度时小李骑自行车的速度的3倍.求甲乙两地的距离.4.小李骑自行车从A地到B地，小明骑自行车从B地到A地，两人都匀速前进.已知两人在上午8点同时出发，到上午10点两人相距36千米，到中午12时，两人又相距36千米，求A,B两地间的路程.5.甲乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A,C同时沿正方形的边开始移动，甲点依次顺时针方向环形，乙点依次逆时针环形，若乙的速度是甲的速度的4倍，则他们第2000次相遇在边（）。
七年级下册数学一元一次方程应用题归类集锦(经典)
七年级下册数学一元一次方程应用题归类集锦(经典)一元一次方程应用题归类汇集一、列方程解应用题的一般步骤（解题思路）（1）审—审题：认真审题，弄清题意，找出能够表示本题含义的相等关系（找出等量关系）．（2）设—设出未知数：根据提问，巧设未知数．（3）列—列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解——解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）答—检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案．（注意带上单位）二、各类题型解法分析一元一次方程应用题归类汇集：行程问题，工程问题，和差倍分问题（生产、做工等各类问题），等积变形问题，调配问题，分配问题，配套问题，增长率问题，数字问题，方案设计与成本分析，古典数学，浓度问题等。
（一）和、差、倍、分问题——读题分析法这类问题主要应搞清各量之间的关系，注意关键词语。
仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.1、倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率”来体现。
2、多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余”来体现。
增长量＝原有量某增长率现在量＝原有量＋增长量例1．某单位今年为灾区捐款2万5千元，比去年的2倍还多1000元，去年该单位为灾区捐款多少元？例2．旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%，第二次旅程中用去剩余汽油的40%，这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少1公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？（二）等积变形问题等积变形是以形状改变而体积不变为前提。
常用等量关系为：原料体积=成品体积。
常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．2①圆柱体的体积公式V=底面积某高＝S·h＝rh②长方体的体积V＝长某宽某高＝abc③正方体(正六面体)的体积V＝棱长3＝a3例3．现有直径为0.8米的圆柱形钢坯30米，可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴多少根？练习：将一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米，300毫米和80毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内径为200毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高（精确到0.1毫米，≈3.14）．（三）数字问题1.要搞清楚数的表示方法：一个三位数，一般可设百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9），则这个三位数表示为：100a+10b+c．2.数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n-2表示；奇数用2n+1或2n—1表示。
初一一元一次方程解应用题全部类型
1、和、差、倍、分问题；这类问题主要应搞清各量之间的关系，注意关键词语。
（1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现。
（2）多少关系：通过关键词语“多少、和、差、不足、剩余……”来体现。
例1、某单位今年为灾区捐款2万5千元，比去年的2倍还多1000元，去年该单位为灾区捐款多少元？分析：相等关系是：今年捐款=去年捐款×2+1000。
解：设去年为灾区捐款x元，由题意得，2x+1000=250002x=24000∴ x=12000答：去年该单位为灾区捐款12000元。
例2、旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%，第二次旅程中用去剩余汽油的40%，这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少1公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？分析：等量关系为：油箱中剩余汽油+1=用去的汽油。
解：设油箱里原有汽油x公斤，由题意得，x(1-25%)(1-40%)+1=25%x+(1-25%)x×40%去分母整理得，9x+20=5x+6x∴ 2x=20∴ x=10答：油箱里原有汽油10公斤。
2、等积变形问题：“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。
常用等量关系为：原料体积=成品体积。
例3、现有直径为0.8米的圆柱形钢坯30米，可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴多少根？分析：等量关系为：机轴的体积和=钢坯的体积。
解：设可足够锻造x根机轴，由题意得，π()2×3x=π()2×30解这个方程得x=x=×10×==40答：可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴40根。
3、劳力调配问题：这类问题要搞清人数的变化，常见题型有（1）既有调入又有调出。
（2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；（3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变。
例4、有两个工程队，甲队有285人，乙队有183人，若要求乙队人数是甲队人数的，应从乙队调多少人到甲队？分析：此问题中对乙队来说有调出，对甲队来说有调入。
初一数学上册一元一次方程的应用12种经典题型汇总
初一数学上册一元一次方程的应用12种经典题型汇总题型1：增长率问题某石油进口国这个月的石油进口量比上个月减少了5%,由于国际油价上涨,这个月进口石油的费用反而比上个月增加了14%.求这个月的石油价格相对上个月的增长率？解:设这个月的石油价格相对上个月的增长率为x.根据题意,得(1+x)x(1-5%)=1+14%解得x=0.2=20%答:这个月的石油价格相对上个月的增长率20%题型2：配套问题某服装厂要做一批某种型号的学生校服,已知某种布料每3m长可做2件上衣或3条裤子,一件上衣和一条裤子为一套,计划用600m长的这种布料做学生校服,应分别用多少米布料做上衣和裤子,才能恰好配套?解:设用x m布料做上衣,则用(600-x)m布料做裤子,则上衣共做2x/3件，裤子共做(600-x）条因为一件上衣配一条裤子,所以2x/3=600-x.解得x=360.所以600-360=240(m)答:应用360m布料做上衣,240m布料做裤子.题型3：销售问题某商品的进价是2000元,标价为3000元,商店将以利润率为5%的售价打折出售此商品,则该商店打几折出售此商品?解:设利润率为5%时售价为x元.根据题意（x-2000）/2000·100%=5%解得x=2100.所以2100/3000=7/10答:该商店打7折出售此商品.题型4：储蓄问题李明以两种方式储蓄了500元钱,一种方式储蓄的年利率是5%,另一种是4%,一年后共得利息23元5角,求两种储蓄各存了多少元钱？解:设年利率是5%的储蓄存了x元,则年利率是4%的储蓄存了(500-x)元.根据题意,得x·5%·1+(500-x)·4%·1=23.5解得x=350所以500-x=500-350=150答:年利率是5%和4%的储蓄分别存了350元和150元.题型5：等积变形问题用直径为4cm的圆钢,铸造3个直径为2cm,高为16cm的圆柱形零件,求需要截取多长的圆钢.解:设需要截取x cm长的圆钢.根据题意,得4·π·（4/2）^2=3·π·（2/2）^2·16解得x=12答:需要截取12cm长的圆钢。
(完整)人教版的数学七年级上册一元一次方程的应用的题目归类
人教版数学七年级上册一元一次方程应用题归类一、列方程解应用题的一般步骤（解题思路）（1）审—审题：认真审题，弄清题意，找出能够表示本题含义的相等关系（找出等量关系）．（2）设—设出未知数：根据提问，巧设未知数．（3）列—列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解——解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）答—检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案．（注意带上单位）二、各类题型解法分析一元一次方程应用题归类汇集：行程问题，工程问题，和差倍分问题（生产、做工等各类问题），等积变形问题，调配问题，分配问题，配套问题，增长率问题，数字问题，方案设计与成本分析 ，古典数学，浓度问题等。
一、 行程问题基本的数量关系：（1）路程＝速度×时间 ⑵ 速度＝路程÷时间 ⑶ 时间＝路程÷速度要特别注意：路程、速度、时间的对应关系（即在某段路程上所对应的速度和时间各是多少） 常用的等量关系：1、甲、乙二人相向相遇问题⑴甲走的路程＋乙走的路程＝总路程 ⑵二人所用的时间相等或有提前量2、甲、乙二人中，慢者所行路程或时间有提前量的同向追击问题⑴甲走的路程－乙走的路程＝提前量 ⑵二人所用的时间相等或有提前量3、单人往返⑴ 各段路程和＝总路程 ⑵ 各段时间和＝总时间 ⑶ 匀速行驶时速度不变4、行船问题与飞机飞行问题⑴ 顺水速度＝静水速度＋水流速度 ⑵ 逆水速度＝静水速度－水流速度5、考虑车长的过桥或通过山洞隧道问题将每辆车的车头或车尾看作一个人的行驶问题去分析，一切就一目了然。
6、时钟问题：⑴ 将时钟的时针、分针、秒针的尖端看作一个点来研究⑵ 通常将时钟问题看作以整时整分为起点的同向追击问题来分析。
常用数据：① 时针的速度是0.5°/分 ② 分针的速度是6°/分 ③ 秒针的速度是6°/秒1、从甲地到乙地，某人步行比乘公交车多用3.6小时，已知步行速度为每小时8千米，公交车的速度为每小时40千米，设甲、乙两地相距x 千米，则列方程为 。
【一元一次方程核心题型50题(完善版)
4、 方程的解 4. 【中】（人大附中 2012-2013 学年度第一学期期中初一年级数学练习）若关于 x 的方 程 3x 2 k 与方程 2 x k 1 的解相同，则 k ________． 【中】（广东模拟）若 x A．0 三、 一元一次方程的定义 1、 判断方程是否为一元一次方程 6.
25. 【易】（2009 年西安高新一中初一分班数学真卷）小明以 8 折优惠买了一双鞋，省了 20 元，那么他买鞋实际付了________元．
26. 【易】（山东淄博市）家电下乡是我国应对当前国际金融危机，惠农强农，带动工业 生产，促进消费，拉动内需的一项重要举措．国家规定，农民购买家电下乡产品将得 到销售价格 13%的补贴资金．今年 5 月 1 日，甲商场向农民销售某种家电下乡手机 20 部．已知从甲商场售出的这 20 部手机，国家共发放了 2340 元的补贴，若设该手机的 销售价格为 x 元，以下方程正确的是 A． 20x 13% 2340 B． 20x 2340 13% C． 20 x(1 13%) 2340 D． 13% x 2340
23. 【易】（河南郑州市初一上期末）商场推出全场打八折的优惠活动，持贵宾卡可在八 折基础上继续打折．小明妈妈持贵宾卡买了标价为 10000 元的商品，共节省 2800 元， 则她用贵宾卡在八折基础上继续享受________优惠．
24. 【易】（太原市七年级第二次测评）元旦时，某服装店将一件衣服按成本价提高 40% 后标价，又打 8 折卖出，结果这件衣服获利 24 元，这件衣服的成本价是________元
1 x ；④ t 2 3t 2 0 ；⑤ 3x y 3x 5 ； x ⑥ 2 4 6 ；⑦ x 1 2 中，方程有________个，一元一次方程有________（填序号）． 1 是方程 mx 3m 2 0 的根，则 x m 的值为（ m B．1 C． 1 D．2
一元一次方程的解法(六大类型)(题型专练)(原卷版)
专题02 一元一次方程的解法（六大类型）【题型1 解一元一次方程】【题型2 一元一次方程的整数解问题】【题型3 根据两个一元一次方程的解之间的关系求参数】【题型4 错解一元一次方程的问题】【题型5 一元一次方程的解与参数无关】【题型6 一元一次方程的解在新定义中运用】【题型1 解一元一次方程】1．解方程1﹣2（2x﹣1）＝x，以下去括号正确的是（）A．1﹣4x﹣2＝x B．1﹣4x+1＝x C．1﹣4x+2＝x D．1﹣4x+2＝﹣x 2．若与互为相反数，则a的值为（）A．﹣6B．2C．6D．123．解方程3﹣4（x﹣2）＝1，去括号正确的是（）A．3﹣4x+2＝1B．3﹣4x﹣2＝1C．3﹣4x﹣8＝1D．3﹣4x+8＝1 4．解方程：（1）3x+7＝22﹣2x；（2）．5．解方程：＝1﹣．6．解方程：（1）4（2﹣y）+2（3y﹣1）＝7；（2）．7．解方程：（1）；（2）．8．解方程．（1）3（x﹣2）﹣4（2x+1）＝7；（2）．9．解方程：﹣＝﹣1．10．（2022秋•丹徒区期末）解方程：（1）3（2x﹣1）+1＝4（x+2）；（2）．11．（2022秋•零陵区期末）解方程：（1）2（x﹣1）＝3x﹣3；（2）．【题型2 一元一次方程的整数解问题】12．已知关于x的方程2mx﹣6＝（m+2）x有正整数解，则整数m的值是．13．（2022秋•通川区校级期末）若关于x的方程kx﹣2x＝14的解是正整数，则k的整数值有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个【题型3 根据两个一元一次方程的解之间的关系求参数】14．（2023春•新乡期末）若和3﹣2x互为相反数，则x的值为（）A．﹣3B．3C．1D．﹣1 15．（2022秋•柳州期末）已知代数式5a+1与a﹣3的值相等，那么a＝．16．（2023春•通许县期末）设M＝2x﹣2，N＝2x+3，若2M﹣N＝1，则x的值是．【题型4 错解一元一次方程的问题】17．王涵同学在解关于x的一元一次方程7a+x＝18时，误将+x看作﹣x，得方程的解为x＝﹣4，那么原方程的解为（）A．x＝4B．x＝2C．x＝0D．x＝﹣2 18．小明在解方程3a﹣2x＝11（x是未知数）时，误将﹣2x看成了+2x，得到的解为x＝﹣2，请聪明的你帮小明算一算，方程正确的解为（）A．x＝2B．x＝0C．x＝﹣3D．x＝119．某同学在解关于x的方程5a﹣x＝13时，误将﹣x看作+x，得到方程的解为x＝﹣2，则a的值为（）A．3B．C．2D．1 20．（2022秋•莱州市期末）某同学解方程2x﹣3＝ax+3时，把x的系数a看错了，解得x＝﹣2，他把x的系数看成了（）A．5B．6C．7D．8 21．（2022春•唐河县月考）某同学解方程4x﹣3＝□x+1时，把“□”处的系数看错了，解得x＝4，他把“□”处的系数看成了（）A．3B．﹣3C．4D．﹣4 22．（2022秋•咸丰县期末）海旭同学在解方程5x﹣1＝（）x+3时，把“（）”处的数字看错了，解得x＝﹣，则该同学把“（）”看成了（）23．某同学在解方程5x﹣1＝■x+3时，把■处的数字看错了，解得x＝﹣，则该同学把■看成了（）A．3B．﹣3C．﹣8D．824．小明同学在解方程：5x﹣1＝mx+3时，把数字m看错了，解得x＝1，则该同学把m看成了（）A．7B．﹣7C．1D．﹣1【题型5 一元一次方程的解与参数无关】25．（2021春•伊春期末）若代数式（a、b 为常数）的值与字母x、y的取值无关，则方程3ax+b＝0的解为．26．（1）先化简，后求值3（3a2﹣b）﹣2（5a2﹣3b），其中a＝﹣3，b＝﹣1．（2）解方程：．（3）已知代数式2x2+ax﹣y+6﹣2bx2+3x﹣5y﹣1的值与字母x的取值无关，求a b的值．27．定义：若A﹣B＝m，则称A与B是关于m的关联数．例如：若A﹣B＝2，则称A与B是关于2的关联数；（1）若3与a是关于2的关联数，则a＝．（2）若2x﹣1与3x﹣5是关于2的关联数，求x的值．（3）若M与N是关于m的关联数，M＝3mn+n+3，N的值与m无关，求N 的值．【题型6 一元一次方程的解在新定义中运用】28．定义a*b＝ab+a+b，若5*x＝35，则x的值是（）29．定义：“*”运算为“a*b＝ab+2a”，若（3*x）+（x*3）＝22，则x的值为（）A．1B．﹣1C．﹣2D．2 30．（2022秋•东明县校级期末）规定一种运算法则：a※b＝a2+2ab，若（﹣3）※2x＝﹣3﹣2x，则x的值为（）A．B．C．D．﹣1 31．（2022秋•滕州市校级期末）对于任意有理数a、b，规定一种新运算“*”，使a*b＝3a﹣2b，例如：5*（﹣3）＝3×5﹣2×（﹣3）＝21．（2x﹣1）*（x ﹣2）＝﹣3，则x的值为（）A．﹣3B．3C．﹣1D．132．新定义一种运算符号“△”，规定x△y＝xy+x2﹣3y，已知2△m＝6，则m 的值为．33．对于任意有理数a，b，我们规定：a⊗b＝a2﹣2b，例如：3⊗4＝32﹣2×4＝9﹣8＝1．若2⊗x＝3+x，则x的值为．34．对于数a，b定义这样一种运算：a*b＝2b﹣a，例如1*3＝2×3﹣1，若3*（x+1）＝1，则x的值为．35．用符号※定义一种新运算a※b＝ab+2（a+b），若﹣3※x＝2022，则x的值为．36．（2022秋•泗水县期末）对于有理数a，b，定义运算“★”；a★b＝2ab﹣b，例如：2★1＝2×2×1﹣1＝3，所以，若（x+2）★3＝27，则x＝．37．（2022秋•松原期末）已知a，b为有理数，定义一种运算：a*b＝2a﹣3b，若（5x﹣3）*（﹣3x）＝29，则x值为．38．（2023春•巴州区期中）定义一种新运算“※”：a※b＝ab﹣a+b．例如3※1＝3×1﹣3+1＝1，（2a）※2＝（2a）×2﹣2a+2＝2a+2．（1）计算：5※（﹣1）的值为；（2）已知（2m）※3＝2※m，求m的值．。
一元一次方程应用题题型与解题方法归类
一元一次方程应用题归类汇集一元一次方程应用题归类汇集：行程问题，工程问题，和差倍分问题（生产、做工等各类问题），调配问题，分配问题，配套问题，增长率问题数字问题，方案设计与成本分析，古典数学，浓度问题等。
（一）行程问题：（1）行程问题中的三个基本量及其关系：路程=速度×时间S=vt （2）基本类型有①相遇问题；②追及问题；常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题。
（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情况下问题就能迎刃而解。
并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。
例：甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。
（1）慢车先开出1小时，快车再开。
两车相向而行。
问快车开出多少小时后两车相遇？（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？ (此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。
)1、已知A、B相距60千米，甲位于A处，骑自行车，他的速度是每小时15千米，乙位于B处，开汽车，他的速度是每小时45千米。
（1）若他们同时相向而行，则经几小时他们相遇？（2）若他们相向而行，小明先骑车0.5小时，问几小时他们相遇？（3）若他们同时同向而行，则经几小时乙追上甲？（4）若他们同向而行，甲先骑车1小时以后，问乙经几小时追上甲？（5）若他们同向而行，甲先骑车1小时以后，发现他的一个重要文件在乙那里，因此掉头去拿，同时乙也开车给甲送去，问甲经几小时和乙碰到？2、A、B两地相距1200千米。
甲从A地、乙从B地同时出发，相向而行。
甲每分钟行50千米，乙每分钟行70千米。
人教版七年级数学上册第三章一元一次方程常见题型分类
一元一次方程应用题之工程问题工程问题：工程问题的基本量有：工作量、工作效率、工作时间。
关系式为：①工作量=工作效率×工作时间。
②工作时间=工作效率工作量，③工作效率=工作时间工作量。
工程问题中，一般常将全部工作量看作整体1，如果完成全部工作的时间为t ，则工作效率为t 1。
常见的相等关系有两种：①如果以工作量作相等关系，部分工作量之和=总工作量。
②如果以时间作相等关系，完成同一工作的时间差=多用的时间。
例题：例1.一水池装有甲、乙、丙三个水管，加、乙是进水管，丙是排水管，甲单独开需10小时注满一池水，乙单独开需6小时注满一池水，丙单独开15小时放完一池水。
现在三管齐开，需多少时间注满水池？例2.一项工程,甲队单独做需要10天完成,乙队单独做需要20天完成,两队同时工作3天后,乙队采用新技术,工作效率提高了25%,自乙队采用新技术后,两队还需要同时工作多少天才能完成这项工程?针对练习：1.某中学的学生自己动手整修操场，如果让初一学生单独工作，需要7.5小时完成；如果让初二学生单独工作，需要5小时完成。
如果让初一、初二学生一起工作1小时，再由初二学生单独完成剩余部分，共需几小时完成？2.一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做10天完成，现在由乙先独做几天后，剩下的部分由甲独做，先后共花12天完成，问乙做了几天？3.整理一批图书，由一个人做要40小时完成。
现计划由一部分人先做4小时，再增加2人和他们一起做8小时，完成这项工作。
假设这些人的工作效率相同，具体先安排多少人工作。
4.某车间加工30个零件，甲工人单独做，能按计划完成任务，乙工人单独做能提前一天半完成任务，已知乙工人每天比甲工人多做1个零件，问甲工人每天能做几个零件？原计划几天完成？5.整理一批数据，由一个人做需80小时完成任务。
现在计划由一些人先做2小时，再增加5人做8小时，完成任务这项工作的3/4。
怎样安排参与整理数据的具体人数？行程问题行程问题中有三个基本量：路程、时间、速度。
一元一次方程应用题归类练习题
一元一次方程 Juaney知识点讲授（1）重温一元一次方程解题步骤去分母——去括号——移项——合并同类项——系数化为1例1.（1） 22431-=-+x x （2） 3121x x =+-易错注意点：去分母时记得将分子部分看成一个整体进行括号。
（2）用一元一次方程求解实际问题a 、用列方程的方法解决实际问题的一般思路是分析数量关系，列出方程。
b 、列方程的实质就是用两种不同的方法来表示同一个量。
单位统一c 、列方程解应用题的一般步骤是设未知数，列方程，解方程，求出方程的解。
d 、实际问题中的数量关系比较隐蔽，关键是审题，弄清问题背景，分析清楚数量关系，特别是找出可以作为列方程依据的相等关系。
①路程= 时间 ⨯ 速度②工作总量= 工作效率 ⨯ 工作时间③顺水航速= 静水速度+水流速度 ，顺水航速= 静水速度—水流速度 。
④利润= 售出价—成本价 ，利润率= 利润/ 成本价⨯ 100%⑤如果一个两位数十位数字是a ，个位数字是b ，则这个两位数是： 10a+b题型归类：A 、行程问题B 、工程问题C.分配问题Ｅ、利润率问题Ｆ．利息问题G 等积变形问题：H 、方案题小结在小学，学生对应用题的学习还是比较久的，量也比较大，但是很多教师却没有对其题型进行统一分类，这样就导致很多需要记忆的东西，而学生一旦记不住就无法理解了。
怎样引导学生由记忆性思维转化为理解性思维，这是本次课所要解决的主要问题。
教师需要通过题型的分类来帮助学生梳理知识点，这样对于其他应用题也能游刃有余了。
课堂练习A、行程问题[解题指导]（1）行程问题中的三个基本量及其关系：路程=速度×时间。
（2）基本类型有1）相遇问题；(V甲+V乙)T=S2）追及问题:第一种,同时不同地,第二种,同地不同时.（V快-V慢）T追及的时间=S追及的路程3）环道问题：第一种：相向而行（V甲+V乙）T=1圈第二种：同向而行（V快-V慢）T=1圈4）行船问题：V顺=V静+V水V逆=V水-V静2V水=V顺+V逆2V 静=V顺-V逆5）飞行问题：V顺=V静+V风V逆=V风-V静解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情况下问题就能迎刃而解。
一元一次方程(十大类型)(题型专练)(原卷版)
专题01 一元一次方程（十大类型）【题型1 方程及一元一次方程的定义】【题型2 利用一元一次方程的定义求值】【题型3 方程的解】【题型4 列方程】【题型5 利用等式的性质变形】【题型6等式的性质变形】【题型7 利用等式的性质解方程】【题型8 方程的解中遮挡问题】【题型9 利用等式的性质检验方程的解】【题型10 方程的解的规律问题】【题型1 方程及一元一次方程的定义】1．下列各式中，是方程的个数为（）①x＝0；②3x﹣5＝2x+1；③2x+6；④x﹣y＝0；⑤＝5y+3；⑥a2+a﹣6＝0．A．2个B．3个C．5个D．4个2．在①2x+1；②1+7＝15﹣8+1；③；④x+2y＝3中，方程共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．下列是一元一次方程的是（）A．B．x+x2＝3C．D．4．下列各式中，一元一次方程的个数是（）①3+2＝5；②3x﹣2＝4；③3x＝2（x+1）；④2x+3．A．1个B．2个C．3个D．4个5．在下列方程：①3x﹣y＝2，②x2﹣2x﹣3＝0，③，④，⑤中，一元一次方程的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【题型2 利用一元一次方程的定义求值】6．已知关于x的方程（m﹣1）x|m|﹣4＝0是一元一次方程，则m的值为（）A．﹣1B．1C．﹣1或1D．07．若关于x的方程（m﹣2）x|m|﹣1＝6是一元一次方程，则m的值为（）A．±2B．﹣2C．2D．±18．若方程（m﹣1）x|m﹣2|﹣8＝0是关于x的一元一次方程，则m＝（）A．1B．2C．3D．1或39．已知（m﹣3）x|m|﹣2＝18是关于x的一元一次方程，则（）A．m＝2B．m＝﹣3C．m＝±3D．m＝110．若方程（k﹣1）x|k﹣2|＝3是关于x的一元一次方程，则k是（）A．1B．2C．﹣1D．3【题型3 方程的解】11．如果关于m的方程2m+b＝m﹣1的解是﹣4，求b的值．12．已知x＝1是方程x+2m＝7的解，则m＝．13．下列方程中，解是x＝4的是（）A．3x+1＝11B．﹣2x﹣4＝0C．3x﹣8＝4D．4x＝114．如果﹣4是关于x的方程2x+k＝x﹣1的解，那么k等于（）A．﹣13B．3C．﹣5D．515．下列方程中，解是x＝4的是（）A．x+3＝1B．2x＝6C．x＝0D．3x﹣12＝0 16．下列方程中，解为x＝2的是（）A．2x＝6B．（x﹣3）（x+2）＝0C．x2＝3D．3x﹣6＝017．关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x1，x2，若a，b，c满足4a+2b+c＝0和4a﹣2b+c＝0，则方程的根是（）A．0B．1，﹣1C．2，﹣2D．无法确定【题型4 列方程】18．我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，还差8两．问银子共有几两？设银子共有x两，则可列方程为（）A．7x+4＝9x﹣8B．7x﹣4＝9x+8C．D．19．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．若设牧童有x人，根据题意可列方程为（）A．6x+14＝8x B．6（x+14）＝8x C．8x+14＝6x D．8（x﹣14）＝6x 20．中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，《孙子算经》中有这样一个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何．这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人共乘一辆车，则剩余两辆车是空的；每两人共乘一辆车，则剩余九个人无车可乘，问车和人各多少．若我们设有x辆车，则可列方程（）A．3（x﹣2）＝2x+9B．3（x+2）＝2x﹣9C．+2＝D．﹣2＝【题型5 利用等式的性质变形】21．已知a＝b，下列等式不一定成立的是（）A．a+a＝2b B．a﹣b＝0C．ac＝bc D．22．下列变形正确的是（）A．若a+3＝9，则a＝3+9B．若4x＝7x﹣2，则4x﹣7x＝2C．若2a﹣2＝﹣6，则2a＝6+2D．若2x﹣5＝3x+3，则2x﹣3x＝3+5 23．等式变形一定正确的是（）A．如果ax＝ay那么x＝y B．如果a＝b，那么a﹣5＝5﹣bC．如果a＝b，那么2a＝3b D．如果a+1＝b+1，那么a＝b【题型6等式的性质变形】24．如图1，在第一个天平上，物块A的质量等于物块B加上物块C的质量；如图2，在第二个天平上，物块A加上物块B的质量等于3个物块C的质量．已知物块A的质量为10g．请你判断：1个物块B的质量是g．25．现有9颗外观和大小都完全相同的小球，已知8颗球的质量相等，另外一颗球的质量略大一些．小颖想用一架托盘天平称出这颗质量较大的球．她思考后发现最少称n次就一定能找出这颗球，则n的值等于．26．有一堆实心的几何体：圆锥、正方体和球，已知相同的几何体具有相同的质量，某同学借助天平探究三种几何体之间的质量关系时，画出了如下四幅图，图中用“△”“□”和“〇”分别表示圆锥、正方体和球，其中有一幅图画错了，它是④．（填序号）26．如图，天平两边盘中标有相同字母的物体的质量相同，若A物体的质量为20克，当天平处于平衡状态时，B物体的质量为．27．若x﹣2y＝3，则x＝．28．假设“▲、●、■”分别表示三种不同的物体．如图，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放个■．29．若a＝b，则a﹣c＝．30．如图所示，在天平的左盘上的两个物品取下一个，右盘取下个砝码才能使天平仍然平衡．【题型7 利用等式的性质解方程】31．利用等式性质解方程：（1）5x﹣2＝﹣7x+8；（2）3x+1＝x+9；（3）．32．利用等式的性质解下列方程．（1）y+3＝2；（2）﹣y﹣2＝3；（3）9x＝8x﹣6；（4）8m＝4m+1．【题型8 方程的解中遮挡问题】33．方程2+▲＝3x，▲处被墨水盖住了，已知方程的解是x＝2，那么▲处的数字是．34．小强在解方程时，不小心把一个数字用墨水污染成了x＝1﹣，他翻阅了答案知道这个方程的解为x＝1，于是他判断●应该是．35．小强在解方程时，不小心把一个数字用墨水污染成了﹣2x+●＝3x，他翻阅了答案知道这个方程的解为x＝﹣1，于是他判断●的值应为．36．方程3+＝2x，处被墨水盖住了，已知该方程的解是x＝0，那么处的数字是．【题型9 利用等式的性质检验方程的解】37．利用等式的性质解方程并检验：．38．利用等式的性质解方程，并检验．（1）4x﹣6＝﹣10；（2）﹣5x＝﹣15；（3）10x＝5x﹣3；（4）7x﹣6＝8x．39．检验下列方程后面小括号内的数是否为相应方程的解．（1）2x+5＝10x﹣3（x＝1）（2）2（x﹣1）﹣（x+1）＝3（x+1）﹣（x﹣1）（x＝0）40．检验下列方程后面括号内所列各数是否为相应方程的解：（1）；（2）2（y﹣2）﹣9（1﹣y）＝3（4y﹣1）．（﹣10，10）【题型10 方程的解的规律问题】41．一列方程如下排列：＝1的解是x＝2，＝1的解是x＝3，＝1的解是x＝4，…根据观察得到的规律，写出其中解是x＝2017的方程：．。
第09讲-用一元一次方程解决问题(12种题型)(解析版)精选全文
第09讲用一元一次方程解决问题（12种题型）一、配套问题配套问题在考试中十分常见，比如合理安排工人生产、按比例选取工程材料、调剂人数或货物等。
解决配套问题的关键是要认识清楚部分量、总量以及两者之间的关系。
每套所需各零件的比与生产各零件总数量成反比.二、工程问题工程问题的基本量有：工作量、工作效率、工作时间。
关系式为：①工作量=工作效率×工作时间；②工作时间=，③工作效率=。
工程问题中，一般常将全部工作量看作整体1，如果完成全部工作的时间为t，则工作效率为。
还要注意有些问题中工作量给出了明确的数量，这时不能看作整体1，此时工作效率也即工作速度。
三. 销售问题销售问题中有四个基本量：成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率。
（1）商品利润＝商品售价－商品成本价（2）商品利润率＝商品利润商品成本价×100%（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打6折出售，即按原标价的60%出售．四、比赛积分问题①.获取信息（找出胜、平、负的场数和积分，胜、平、负1场的积分，该队的总积分）②.能用字母表示数（常设胜/平/负的场数为x）③.寻找等量关系胜场数×胜1场的积分＋平局场数×平1场的积分+负场数×负1场的积分＝这个队的总积分五、方案选择问题1.借助方程先求出相等的情况。
2.再考虑什么情况下一种方案比另一种方案好，从而进行决策。
六、数字问题1、多位数的表示方法：①若一个两位数的个位上的数字为a，十位上的数字为b，则这个两位数是10b+a②若一个三位数的个位上的数字为a，十位上的数字为b，百位上的数字为c，则这个三位数是100c+10b+a③四、五…位数依此类推。
2、连续数的表示方法:①三个连续整数为：n-1，n，n+1（n为整数）②三个连续偶数为：n-2，n，n+2（n为偶数）或2n-2，2n，2n+2（n为整数）③三个连续奇数为：n-2，n，n+2（n为奇数）或2n-1，2n+1，2n+3（n为整数）七、几何问题1.将几何图形赋予了代数元素，便产生了一类新问题，2.解决这类问题时，通常要用到图形的性质以及几何量之间的关系.八、和差倍分问题1.和、差关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现.2.倍、分关系：通过关键词语“是几倍、增加几倍、增加到几倍、增加百分之几、增长率……”来体现.3.比例问题：全部数量=各种成分的数量之和.此类题目通常把一份设为x.解题的关键是弄清“倍、分”关系及“和、差”关系.九、分段计费问题分段计费问题解题思路1.明确分段区间2.明确不同区间的计费标准3.分区间讨论计算十. 行程问题1.行程问题中有三个基本量：路程、时间、速度。
人教版七年级数学上册 第五章 一元一次方程知识归纳与题型突破(单元复习 8类题型清单)
1第五章一元一次方程知识归纳与题型突破（题型清单）01思维导图02知识速记一、基本概念1、等式的概念：含有等号，表示相等关系的式子2、方程的概念：含有未知数的等式3、一元一次方程的概念：（1）只含有1个未知数；（2）未知数的最高次数为1次；（3）等式两边都是整式．二、等式的性质若b a =，则c b c a +=+、c b c a -=-、bc ac =、cbc a =．特别注意：等式两边须同时乘以或除以一个不为0的数．三、解一元一次方程1、去分母（不漏乘不含分母的项，去分母应加括号）2、去括号（带着符号计算，不要漏乘）3、移项（移项要变号；未知数移到左边，常数移到右边；先后顺序不重要）4、合并同类项5、系数化为1（系数不能为0，若未知数的系数含有字母则需要讨论）四、列方程解应用题的步骤①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x ）③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）五、一元一次方程的应用（4）工程问题（①工作量=人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和=工作总量）；（5）行程问题（路程=速度×时间）；（6）等值变换问题；（7）和，差，倍，分问题；（8）分配问题；（9）比赛积分问题；（10）水流航行问题（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度）．03题型归纳题型一判断是否是一元一次方程例题：（24-25七年级上·全国·单元测试）下列各式：①236x y -=；②2430x x --=；③()2353x x +=-；④310x+=；⑤()3425x x --．其中，一元一次方程有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个巩固训练1．（23-24七年级下·全国·期中）下列各式中，属于一元一次方程的是（）A ．6518x y -=B ．242715x x =+-C ．438x x+=D ．94x x-=2．（23-24七年级上·全国·单元测试）在方程①231325x +=，②=0，③235x y +=，④3120x+=中，一元一次方程共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．（23-24七年级上·全国·单元测试）①12x x -=；②0.31x ≤；③243x x -=；④512x x =-；⑤6x =；⑥20x y +=．其中一元一次方程的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．5题型二根据一元一次方程的定义求参数的值例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知1320m x --=是关于x 的一元一次方程，则m 的值是．巩固训练1．（23-24七年级上·全国·单元测试）若()1246a a x--+=-是关于x 的一元一次方程，则a =．2．（23-24七年级上·河南漯河·期中）已知关于x 的方程()||233m m x m --+=是一元一次方程，则m 的值为．3．（23-24七年级上·全国·单元测试）若关于x 的方程()21120m mx m x -+--=是一元一次方程，则m 的值为．题型三已知一元一次方程的解求参数的值例题：（23-24七年级下·全国·期中）关于x 的一元一次方程213mx x -=-有解，则m 的值为．巩固训练1．（23-24七年级上·浙江金华·期末）已知3x =是方程26ax a -=-+的解，则a =．2．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）整式ax b +的值随着x 的取值的变化而变化，下表是当x 取不同的值时对应的整式的值：x 1-0123ax b+8-4-048则关于x 的方程8ax b +=的解是．3．（23-24七年级上·浙江·期末）若关于x 的方程30ax +=的解为2x =，则方程()130a x -+=的解为．题型四列一元一次方程例题：（23-24六年级下·全国·单元测试）设某数为x ，如果某数的2倍比它的相反数大1，那么列方程是．巩固训练1．（23-24七年级上·福建福州·期末）“x 的5倍与2的和等于x 的13与4的差”，用等式表示为2．（2024·湖南益阳·模拟预测）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，刚好每车坐满后还剩余2辆车没人坐；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘只能步行，问共有多少人，多少辆车？设共有x 辆车，则可列方程．3．（2023·吉林长春·模拟预测）《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空，其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住：若每间住9人，则余下一间无人住，设店中共有x 间房，可列方程为．题型五等式的基本性质例题：（23-24七年级上·天津·期中）下列说法错误的是（）A ．若22x y -=-，则x y =B ．若25x x =，则5x =C ．若a b =，则66a b -=-D ．若2211a bc c =++，则a b =巩固训练1．（23-24七年级下·广西南宁·开学考试）下列是根据等式的性质进行变形，正确的是（）A ．若x y =，则33x y -=+B ．若a b =，则32a b =C ．若22x y=，则x y =D ．若ax ay =，则x y=2．（23-24七年级上·安徽·单元测试）下列运用等式的性质变形中正确的是（）A ．如果a b =，则a c b c +=-B ．如果23x x =，则3x =C ．如果a b =，则22a bc c =D ．如果22a b c c =，则a b =3．（22-23七年级上·山东济南·阶段练习）下列变形正确的是（）A ．4532x x -=+变形得4325x x -=-+B ．211332x x -=+变形得4633x x -=+C ．3(1)2(3)x x -=+变形得3126x x -=+D ．32x =变形得23x =4．（2024·贵州贵阳·一模）用“□”“△”“○”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示．设a ，b ，c 均为正数，则能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为（）A ．如果a c b c +=+，那么a b =B ．如果a b =，那么a c b c +=+C ．如果22a b =，那么a b=D ．如果a b =，那么22a b=题型六解一元一次方程巩固训练题型七解一元一次方程中的错解复原问题巩固训练(2)仿照上例解方程：0.2 0.3x+题型八用一元一次方程解决实际问题例题：（2024上·辽宁大连·七年级统考期末）某车间生产一批螺钉和螺母，由一个人操作机器做需要200h完成．现计划由一部分人先做4h，然后增加5人与他们一起做6h，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同．(1)求具体应先安排多少人工作？(2)在增加5人一起工作后，若每人每天使用机器可以生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母成为一个完整的产品，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？(3)若该车间有10台A型和11台B型机器可以生产这种产品，每台A型机器比B型机器一天多生产1个产品．已知5台A型机器一天的产品装满8箱后还剩4个，7台B型机器一天的产品装满11箱后还剩1个，且每箱装的产品数相同．某天有6台A型机器和m台B型机器同时开工，请问一天生产的产品能否恰好装满29箱．若能，请计算出m的值；若不能，请说明理由．巩固训练1．（2024上·甘肃酒泉·七年级统考期末）合肥庐阳区实验学校七（6）班为迎接学校秋季运动会计划购买30支签字笔，若干本笔记本（笔记本数量超过签字笔数量），用来奖励运动会中表现出色的运动员和志愿者，甲、乙两家文具店的标价都是签字笔8元/支、笔记本2元/本，甲店的优惠方式是签字笔打九折，笔记本打八折；乙店的优惠方式是每买5支签字笔送1本笔记本，签字笔不打折，购买的笔记本打七五折．(1)请用含x的代数式分别表示学校在甲、乙两家店购物所付的费用；(2)如果购买笔记本数量为60本，并且只在一家店购买的话，请通过计算说明，到哪家店购买更合算？(2)小亮家—年缴纳水费1180元，则小亮家这一年用水多少立方米？(3)小红家去年和今年共用水520立方米，共缴纳水费2950元，并且今年的用水量超过去年的用水量，则小红家今年和去年各用水多少立方米？第五章一元一次方程知识归纳与题型突破（题型清单）01思维导图02知识速记一、基本概念1、等式的概念：含有等号，表示相等关系的式子2、方程的概念：含有未知数的等式3、一元一次方程的概念：（1）只含有1个未知数；（2）未知数的最高次数为1次；（3）等式两边都是整式．二、等式的性质若b a =，则c b c a +=+、c b c a -=-、bc ac =、cbc a =．特别注意：等式两边须同时乘以或除以一个不为0的数．三、解一元一次方程1、去分母（不漏乘不含分母的项，去分母应加括号）2、去括号（带着符号计算，不要漏乘）3、移项（移项要变号；未知数移到左边，常数移到右边；先后顺序不重要）4、合并同类项5、系数化为1（系数不能为0，若未知数的系数含有字母则需要讨论）四、列方程解应用题的步骤①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x ）③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）五、一元一次方程的应用（4）工程问题（①工作量=人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和=工作总量）；（5）行程问题（路程=速度×时间）；（6）等值变换问题；（7）和，差，倍，分问题；（8）分配问题；（9）比赛积分问题；（10）水流航行问题（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度）．03题型归纳题型一判断是否是一元一次方程例题：（24-25七年级上·全国·单元测试）下列各式：①236x y -=；②2430x x --=；③()2353x x +=-；④310x+=；⑤()3425x x --．其中，一元一次方程有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【知识点】一元一次方程的定义【分析】本题考查的是一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义是解题的关键．根据一元一次方程的定义进行判定．【详解】解：①是二元一次方程，不符合题意；②是一元二次方程，不符合题意；③是一元一次方程，符合题意；④是分式方程，不符合题意；⑤是代数式，不是方程，不符合题意．故选：A ．巩固训练1．（23-24七年级下·全国·期中）下列各式中，属于一元一次方程的是（）A ．6518x y -=B ．242715x x =+-C ．438x x+=D ．94x x-=2．（23-24七年级上·全国·单元测试）在方程①231325x +=，②=0，③235x y +=，④120x+=中，一元一次方程共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【知识点】一元一次方程的定义3．（23-24七年级上·全国·单元测试）①2x x -=；②0.31x ≤；③243x x -=；④512x x =-；⑤6x =；⑥20x y +=．其中一元一次方程的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．5题型二根据一元一次方程的定义求参数的值例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知1320m x --=是关于x 的一元一次方程，则m 的值是．【答案】2【知识点】一元一次方程的定义【分析】本题考查了一元一次方程的概念，根据一元一次方程的定义得到11m -=，求出m 即可．【详解】解：根据题意得：11m -=，解得：2m =，故答案为：2．巩固训练1．（23-24七年级上·全国·单元测试）若()1246a a x --+=-是关于x 的一元一次方程，则a =．2．（23-24七年级上·河南漯河·期中）已知关于x 的方程()||233m m x m --+=是一元一次方程，则m 的值为．故答案为：13．（23-24七年级上·全国·单元测试）若关于x 的方程()21120m mx m x -+--=是一元一次方程，则m 的值为．【答案】1或0【知识点】一元一次方程的定义【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．根据一元一次方程的一般形式即可判定有3种情况，分别讨论①当0m ≠且10m -≠时，②当0m =且10m -≠时，③当10m -=时是否满足该方程为一元一次方程即可．【详解】解： 关于x 的方程()21120m mxm x -+--=是一元一次方程，可考虑三种情况，①当0m ≠且10m -≠时，即0m ≠且1m ≠，则211m -=，解得：1m =，此时1m ≠，故排除；②当0m =且10m -≠时，即0m =且1m ≠，∴0m =，符合条件；③当10m -=即1m =时，211m -=，符合条件；综上：m 的值为1或0，故答案为：1或0．题型三已知一元一次方程的解求参数的值例题：（23-24七年级下·全国·期中）关于x 的一元一次方程213mx x -=-有解，则m 的值为．1．（23-24七年级上·浙江金华·期末）已知3x =是方程26ax a -=-+的解，则a =．【答案】2【知识点】方程的解【分析】本题考查了方程解的定义，使方程的左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．将3x =代入原方程，可得出关于a 的一元一次方程，解之即可得出a 的值．【详解】解：将3x =代入原方程得326a a -=-+，解得：2a =，∴a 的值为2．故答案为：2．2．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）整式ax b +的值随着x 的取值的变化而变化，下表是当x 取不同的值时对应的整式的值：x 1-0123ax b+8-4-048则关于x 的方程8ax b +=的解是．【答案】3x =【知识点】方程的解【分析】此题考查了方程的解，根据表格中的数据求解即可．【详解】根据题意可得，当3x =时，8ax b +=∴关于x 的方程8ax b +=的解是3x =．故答案为：3x =．3．（23-24七年级上·浙江·期末）若关于x 的方程30ax +=的解为2x =，则方程()130a x -+=的解为．题型四列一元一次方程例题：（23-24六年级下·全国·单元测试）设某数为x ，如果某数的2倍比它的相反数大1，那么列方程是．【答案】21x x =-+【知识点】列方程【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，数x 的2倍为2x ，相反数为x -，据此根据题意列出方程即可．【详解】解：由题意得，21x x =-+，故答案为：21x x =-+．巩固训练1．（23-24七年级上·福建福州·期末）“x 的5倍与2的和等于x 的13与4的差”，用等式表示为2．（2024·湖南益阳·模拟预测）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，刚好每车坐满后还剩余2辆车没人坐；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘只能步行，问共有多少人，多少辆车？设共有x 辆车，则可列方程．【答案】()3229x x -=+【知识点】古代问题(一元一次方程的应用)【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程．根据人数不变，即可得出关于x 的一元一次方程，此题得解．【详解】解：依题意，得：()3229x x -=+．故答案为：()3229x x -=+．3．（2023·吉林长春·模拟预测）《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空，其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住：若每间住9人，则余下一间无人住，设店中共有x 间房，可列方程为．【答案】()7791x x +=-【知识点】古代问题(一元一次方程的应用)【分析】本题考查一元一次方程的应用，理清题中的等量关系是解题的关键．由等量关系“一房七客多七客，一房九客一房空”，即可列出一元一次方程即可．【详解】解： 每间住7人，则余下7人无房可住：若每间住9人，则余下一间无人住，∴客人可表示为()77x +个，也可表示为()91x -个，()7791x x ∴+=-，故答案为：()7791x x +=-．题型五等式的基本性质例题：（23-24七年级上·天津·期中）下列说法错误的是（）A ．若22x y -=-，则x y =B ．若25x x =，则5x =C ．若a b =，则66a b -=-D ．若2211a bc c =++，则a b =【答案】B1．（23-24七年级下·广西南宁·开学考试）下列是根据等式的性质进行变形，正确的是（）A ．若x y =，则33x y -=+B ．若a b =，则32a b =C ．若22x y=，则x y =D ．若ax ay =，则x y=2．（23-24七年级上·安徽·单元测试）下列运用等式的性质变形中正确的是（）A ．如果a b =，则a c b c+=-B ．如果23x x =，则3x =C ．如果a b =，则22a b c c =D ．如果22a b c c =，则a b =3．（22-23七年级上·山东济南·阶段练习）下列变形正确的是（）A ．4532x x -=+变形得4325x x -=-+B ．211332x x -=+变形得4633x x -=+C ．3(1)2(3)x x -=+变形得3126x x -=+D ．32x =变形得23x =4．（2024·贵州贵阳·一模）用“□”“△”“○”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示．设a ，b ，c 均为正数，则能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为（）A ．如果a c b c +=+，那么a b=B ．如果a b =，那么a c b c +=+C ．如果22a b =，那么a b=D ．如果a b =，那么22a b=【答案】A【知识点】等式的性质【分析】本题考查等式的性质，根据天平两端相等即可求得答案．【详解】解：由图形可得如果a c b c +=+，那么a b =，故选：A ．题型六解一元一次方程例题1：解方程：(1)25433x x -=-；(2)576132x x -=-+.【答案】(1)35x =(2)415x =【分析】()1方程移项合并，把x 系数化为1，即可求解；()2方程移项合并，把x 系数化为1，即可求解．【详解】（1）移项，得24353x x -+=-，合并同类项，得1023x -=-，系数化为1，得35x =．（2）移项，得756123x x -+=-，合并同类项，得5223x -=-，系数化为1，得415x =．【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．例题2：解方程：(1)5(1)2(31)41---=-x x x ；(2)23(1)12(10.5)-+=-+x x ．题型七解一元一次方程中的错解复原问题巩固训练(2)仿照上例解方程：0.2 0.3x+【答案】(1)③④①②(2)3x=-题型八用一元一次方程解决实际问题1．（2024上·甘肃酒泉·七年级统考期末）合肥庐阳区实验学校七（6）班为迎接学校秋季运动会计划购买30支签字笔，若干本笔记本（笔记本数量超过签字笔数量），用来奖励运动会中表现出色的运动员和志愿者，甲、乙两家文具店的标价都是签字笔8元/支、笔记本2元/本，甲店的优惠方式是签字笔打九折，笔记本打八折；乙店的优惠方式是每买5支签字笔送1本笔记本，签字笔不打折，购买的笔记本打七五折．答：小红家去年和今年用水分别为245立方米、275立方米．。
解一元一次方程7种题型
xa
2x 1
x 1
把a=1代入
中得
，
1
1
5
2
5
2
去分母，得2（2x-1）+10=5（x+1），
去括号，得4x-2+10=5x+5，
移项、合并同类项，得-x=－3，
系数化为1，得x=3，
答：a的值为1，原方程正确的解为x=3．
2x a 2x 1
1
，去分母
3
6
变式．已知某同学解关于x的一元一次方程
移项得：
x7
合并同类项得：
系数化为1得x 7
考点4 一元一次方程中含字母参数问题
kx
2 2x
例题： 已知方程 2 3( x 1) 0 的解与关于x的方程
2
的解互为倒数，求k的值．
1
解：解方程 2 3( x 1) 0 得：x
，
3
∵方程 2 3( x 1) 0
2x 1 x 3
解方程1
, 解得：x 1
5
10
1
将x 1代入污染的方程得2 y 1，
2
1
解得：y
2
1
被污染的常数应是
2
考点7 规定新定义问题
b
b
例题：我们规定：若关于x的一元一次方程 ax b(a 0) 的解 x
满足 b a ，则
a
a
称该方程为“差解方程”，例如：2x 4 的解为 x 2 满足 2 4 2 ，所以方程 2x 4
4
．
变式1．已知两个整式 A x2 2 x ，B＝
一元一次方程应用题全部题型
一元一次方程应用题全部题型一、数字、年龄、日期问题1.一个两位数，个位上的数是十位数的2倍，如果把十位与个位上的数对调，那么所得的数比原两位数大36，求原两位数.2.(探究题)小赵和小王交流暑假中的活动,小赵说:“我参加科技夏令营,外出一个星期,这七天的日期数之和为84,你知道我是几号出去的吗?”小王说:“我假期到舅舅家去住了七天,日期数的和再加上月份数也是84,你能猜出我是几月几号回家的吗?”试列出方程,解答小赵与小王的问题.解:设小赵参加夏令营这七日中间的日期期数为x,则其余六日日期分别为(x-3),(x-2),(x-1),(x+1),(x+2),(x+3).根据题意列方程:(x-3)+(x-2)+(x-1)+x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=84.去括号,得x-3+x-2+x-1+x+x+1+x+2+x+3=84.移项合并,得7x=84.化系数为1,得x=12,则x-3=12-2=9.故小王是9号出去的.设小王到舅舅家这一个星期中间的日期期数为x,则其余六天日其数分别是( x-3),(x-2),(x-1),(x+1),(x+2),(x+3).根据题意列方程:(x-3)+(x-2)+(x-1)+x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=77.解得7x=77,x=11,则x+3=14.故小王是七月14日回家的.练习：1. 在课外活动中，张老师发现同学们的年龄大多是13岁.就问同学：“我今年45岁，几年以后你们的年龄是我年龄的三分之一?”２、有一个三位数的个位数字为１，若把这个１移到最前面的位置上，则所得到的三位数的２倍比原数大15，求原三位数。
３、一个三位数，十位数字比个位数字少２，百位数字是个位数字的２倍，若把这个三位数的数字顺序倒过来，并把各数字都扩大到原来的２倍，所得三位数减去原三位数的差恰好等于原三位数各个数位上的数字之和，求原三数。
4. 一个三位数，它的百位上的数比十位上的数的2倍大1，个位上的数比十位上的数的3倍小1.如果把这个三位数的百位上的数字和个位上的数字对调，那么得到的三位数比原来的三位数大99，求这个三位数。
列一元一次方程解应用题经典题型归类
列一元一次方程解应用题路程问题1.在800米圆形跑道上有两人练中长跑，甲每分钟跑320米，乙每分钟跑280米，⑴•两人同时同地反向起跑，几分钟后第一次相遇？⑵•两人同时同地同向起跑，几分钟后第一次相遇？2、高速公路上，一长3.5米的小汽车正以每秒45米的速度行驶，前方一长16.5米的大货车，正以每秒35米的速度同向行驶，那么小汽车超过大货车时的超车时间是多少秒？工程问题3、在西部大开发中，基础建设优先发展，甲、乙两队共同承包了一段长6500米的高速公路工程，两队分别从两端施工相向前进，甲队平均每天可完成480米，乙队平均每天比甲队多完成220米，乙队比甲队晚一天开工，乙队开工几天后两队完成全部任务？4、整理一批图书，由一个人做需要40小时完成，现在计划由一部分人先做4小时，在增加2人和他们一起做8小时，完成这项任务。
假设这些人的工作效率都相同，具体应该先安排多少人工作？数字问题5、有一个三位数，百位上的数字是1，若把1放在最后一位上，而另两个数字的顺序不变，则所得的新数比原数大234，求原三位数。
6、一个三位数，百位上的数字比十位上的数字大1，个位上的数字比十位上的数字的3倍少2.若将三个数字顺序倒过来，所得的三位数与原三位数的和是1171，求这个三位数。
利润问题7、某文具店有两个进价不同的计算器都卖64元，其中一个盈利60%，另一个亏本20%,这次交易中的盈亏情况如何？8、某同学在A、B两家超市发现她看中的随身听的单价相同，书包的单价也相同，随身听与书包的单价和是452元，且随身听的单价是书包的单价的4倍少8元。
①求该同学看中的随身听和书包的单价各是多少元?②某一天该同学听说商家促销,超市A 所有商品打八折,超市B 全场购物满100元返购物劵30元(不足100元不返,购物劵可全场通用).但她只带了400元,如果他只在一家超市购买这两样物品,请问他在哪家买更省钱?劳资调配问题9、温州和杭州某厂同时生产某种型号的机器若干台，温州厂可支援外地10台，杭州厂可支援外地4台。
非常全面】实际问题与一元一次方程(十大题型总结)
非常全面】实际问题与一元一次方程(十大题型总结)第三章一元一次方程3.4 实际问题与一元一次方程用一元一次方程解决实际问题的一般步骤为：审、设、列、解、检、答。
具体解释如下：1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系。
2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数。
3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一。
4）“解”就是解方程，求出未知数的值。
5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可。
6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚。
常见列方程解应用题的几种类型：题型一：和、差、倍、分问题常见以下四种题型：一般和差倍分问题、年龄问题、等积变形问题、比赛积分问题。
例题1：某单位今年为灾区捐款2万5千元，比去年的2倍还多1000元，去年该单位为灾区捐款多少元？解：设去年该单位捐款钱数为x。
=2x+1000=2xx=（元）例题2：旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的25％，第二次旅程中用去剩余汽油的40％，这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少1公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？解：设油箱里原有的汽油为x升。
x（1-25％）（1-40％）=25%x+x(1-25%)*40%-1x=10题型二：年龄问题例题3：兄弟二人今年分别为25岁和9岁，多少年后兄的年龄是弟的年龄的2倍？解：设x年后，兄的年龄是弟的年龄的2倍，则x年后兄的年龄是25+x，弟的年龄是9+x。
由题意，得2×（9+x）=25+x。
x=7答：7年后兄的年龄是弟的年龄的2倍。
例题4：三位同学甲乙丙，甲比乙大1岁，乙比丙大2岁，三人的年龄之和是41，求甲同学的年龄？解：设甲得年龄是x，乙得年龄是x-1，丙得年龄是x-1-2.x+x-1+x-1-2=41求解得x=15所以甲得年龄是15岁。
一元一次方程(题型篇)-初中数学题型大全
一元一次方程题型一：一元一次方程与它的解例1.1下列方程：①3x﹣y＝2：②x＋1x＋2＝0；③2x＝1；④x＝0；⑤3x﹣1≥5：⑥x2﹣2x﹣3＝0；⑦21136x+=x．其中一元一次方程有（）A.5个B.4个C.3个D.2个【详解】解：下列方程：①3x﹣y＝2：②x＋1x＋2＝0；③2x＝1；④x＝0；⑤3x﹣1≥5：⑥x2﹣2x﹣3＝0；⑦21136x+=x．其中一元一次方程有③④⑦，共3个．故选：C．变式1.11. 若关于x的方程(2－m)x2＋3mx－(5－2m)＝0是一元一次方程，则m的值是（）A. 2B. 0C. 1D. 52【答案】A【解析】【分析】根据一元一次方程的定义，最高次数是一，不能含有二次项，列式求出m 的值．【详解】解：因为方程是关于x的一元一次方程，则不可能含有x2项，所以2－m＝0，所以m＝2．故选：A．【点睛】本题考查一元一次方程的定义，解题的关键是掌握一元一次方程的定义．②一元一次方程的解例1.2检验x ＝1是不是下列方程的解．（1）x 2－2x ＝－1； （2）x ＋2＝2x ＋1.【详解】（1）把x ＝1代入方程，左边＝12－2×1＝－1，右边＝－1，所以 左边＝右边，所以x ＝1是方程x 2－2x ＝－1的解．（2）把x ＝1代入方程，左边＝1＋2＝3，右边＝2×1＋1＝3，所以 左边＝右边，可得x ＝1是方程x ＋2＝2x ＋1的解．变式1.22. 若x=﹣3是方程x+a=4的解，则a 的值是（ ）A. 7B. 1C. ﹣1D. ﹣7 【答案】A【解析】【详解】解：∵x =﹣3是方程x +a =4的解﹣﹣-3+a =4，移项得：a =4+3﹣a =7﹣故选A﹣ 题型二：等式的性质下列运用等式性质正确的是（ ）A .如果a b =，那么a c b c +=-B .如果23a a =，那么3a =C .如果a b c c =，那么a b =D .如果a b =，那么a b c c= 【详解】A ：如果a ＝b ，那么当c ＝0时，a ＋c ＝b －c ；当c ≠0时，a ＋c ≠b －c ，故A 错误；B ：如果23a a =，那么a ＝0或a ＝3，故B 错误；C ：如果a b c c=，那么a b =，故C 正确； D ：没有说明c 不等于0，故D 错误；故答案选择C ．变式3. 下列变形正确的有( )①由6x＝5x－2，得x＝2；﹣由1223x x+-=，得x＋1＝x－2；﹣由－6x＝6y，得x＝y；﹣从等式ax＝ab变形得到x＝b，必须满足条件a≠0；﹣由12x2＋14y2＝14y2－12x2，得x2＝0．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【分析】根据一元一次方程的运算法则进行计算，然后判断即可．【详解】解：①由6x＝5x－2，得x＝-2，故①错误；②由1223x x+-=，得3（x＋1）＝2（x－2），故②错误；③由－6x＝6y，得-x＝y，故③错误；④从等式ax＝ab变形得到x＝b，必须满足条件a≠0，④正确；⑤由12x2＋14y2＝14y2－12x2，得x2＝0，⑤正确；故正确的是﹣﹣，故选：B．【点睛】本题考查了解一元一次方程，掌握运算法则是解题关键．题型三：求解一元一次方程的基本步骤例3.1解下列方程（1）5m －8m －m ＝3－11；（2）3x ＋3＝2x ＋7【详解】（1）合并同类项，得 ：﹣4m ＝﹣8，系数化为1，得： m ＝2，（2）移项，得：3x ﹣2x ＝7﹣3，合并同类项，得： x ＝4变式3.14. 解下列方程（1）-9x-4x+8x=-3-7；（2）3x+10x=25+0.5x ．【答案】（1）x=2；（2）x=2【解析】【分析】（1）方程移项合并，把x 系数化为1，即可求出解；（2）方程移项合并，把x 系数化为1，即可求出解．【详解】解：（1）合并同类项，得，-5x=-10系数化为1，得，x=2（2）移项，得3x+10x-0.5x=25合并同类项，得12.5x=25系数化为1，得，x=2【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． ②去括号例3.2解方程：122(1)(1)23x x x x ⎡⎤---=+⎢⎥⎣⎦． 【详解】[]22(1)(1)3x x x x ---=+， 222133x x x x -+-=+， 解得：52x =- 变式3.25. 解下列方程：(1)2(x－1)＝6；(2)4－x＝3(2－x)；(3)5(x＋1)＝3(3x＋1)【答案】（1）x＝4；（2）x＝1；（3）x＝1 2【解析】【分析】（1）方程去括号，移项合并，将未知数系数化为1，即可求出解；（2）方程去括号，移项合并，将未知数系数化为1，即可求出解；（3）方程去括号，移项合并，将未知数系数化为1，即可求出解；【详解】(1)去括号，得2x－2＝6.移项，得2x＝8.系数化为1，得x＝4.(2)去括号，得4－x＝6－3x.移项，得－x＋3x＝6－4.合并同类项，得2x＝2.系数化为1，得x＝1.(3)去括号，得5x＋5＝9x＋3.移项，得5x－9x＝3－5.合并同类项，得－4x＝－2.系数化为1，得x＝1 2 .【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．③去分母例3.3解方程：（1）2121 43x x-+=-．（2）52210712210y y y-+--=-．【详解】（1）212143x x -+=-， 两边同乘以12去分母，得3(21)4(2)12x x -=+-，去括号，得634812x x -=+-，移项，得648123x x -=-+，合并同类项，得21x =-，系数化为1，得12x =-； （2）52210712210y y y -+--=-， 两边同乘以10去分母，得105(52)5(2)(107)y y y --=+--，去括号，得102510510107y y y -+=+-+，移项，得105710101025y y y --=--+，合并同类项，得215y -=，系数化为1，得152y =-． 变式3.36. 解方程：（1）321123x x -+-=； （2）31322322105x x x +-+-=-． 【答案】（1）17x =-；（2）716x =． 【解析】【分析】（1）方程两边都乘以6，再去括号，移项，整理可得：17x -=，从而可得答案；（2）方程两边都乘以10，再去括号，移项，整理可得：167x =，从而可得答案．【详解】解：（1）去分母，得3(3)2(21)6x x --+=，去括号，得39426x x ---=，合并同类项，得17x -=，系数化为1，得17x =-；（2）去分母，得5(31)20322(23)x x x +-=--+，去括号，得155203246x x x +-=---，移项，得153426520x x x -+=---+，合并同类项，得167x =，系数化为1，得716x =． 【点睛】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握去分母，去括号，解一元一次方程是解题的关键．题型四：一元一次方程的实际应用例4.1一个两位数，个位数字与十位数字的和为6，若调换位置则新数是原数的47，原来的两位数是（ ）A .24B .42C .15D .51【详解】解：设这个两位数十位上的数字为x ，则个位上的数字为()6x -，根据题意得：()()41061067x x x x +-=-+⎡⎤⎣⎦，解得4x =， ∴原数为42，故选：B ．变式4.17. 有一个两位数，其数字之和是8，个位上的数字与十位上的数字互换后所得新数比原数小36，求原数．分析：设个位上和十位上的数字分别为x 、y ，则原数表示为________，新数表示为________；题目中的相等关系是：①________；②_______，故列方程组为_______．【答案】 ①. 10y x + ①. 10x y + ①. 8x y += ①.()()101036x y x y +-+= ①. 8(10)(10)36x y x y x y +=⎧⎨+-+=⎩【解析】【分析】设个位上和十位上的数字分别为x ，y ，则可分别表示原数和新数，再找出两个等量关系，列方程组；【详解】依题意，原数表示为10y x +，新数表示为10x y +,两个等量关系为：①个位上的数字+十位上的数字=8；②新数+36=原数；列方程组为8103610x y x y y x ⎧+=⎨++=+⎩； 故答案为：10y x +；10x y +；8x y +=；()()101036x y x y +-+=；8(10)(10)36x y x y x y +=⎧⎨+-+=⎩． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，准确计算是解题的关键．②行程问题例4.2有人要去某关口，路程378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第三天走的路程为（ ）A .96里B .48里C .24里D .12里详解】解：设此人第三天走的路程为x 里，则其它五天走的路程分别为4x 里，2x 里，12x 里，14x 里，18x 里，依题意，得：4x＋2x＋x＋12x＋14x＋18x＝378，解得：x＝48故选：B．变式4.28. 甲、乙两站的路程为360千米，一列慢车从甲站开出，每小时行驶48千米；一列快车从乙站开出，每小时行驶72千米．（1）两列火车同时开出，相向而行，经过_____小时相遇；（2）快车先开25分钟，两车相向而行，慢车行驶了______小时两车相遇；（3）若两车同时开出，同向而行，_______小时后，两相距720千米．【答案】 ①. 3 ①. 114①. 15或45【解析】【分析】（1）设x小时后，两车相遇，根据两车一共行驶了360千米列出方程，即可解题；（2）设x小时后，两车相遇，根据快车先走25分钟，即可计算快车行驶距离，根据共行驶了360千米列出方程，即可解题；（3）设x小时后，快车与慢车相距720千米，分慢车在快车的后面，快车在慢车的后面两种情况，列方程求解．【详解】解：（1）设x小时后，两车相遇，由题意得：72x+48x=360，解得x=3，∴经过3小时两车相遇，故答案为：3；（2）设慢车行驶了x小时，两车相遇，由题意得：72（x+2560）+48x=360，解得x=114，∴慢车行驶了114小时两车相遇，故答案为：114；（3）设x小时后，快车与慢车相距720千米，若慢车在快车的后面，72x-48x=720-360，解得x=15，若快车在慢车的后面，72x-48x=720+360，解得x=45，∴15小时或45小时后快车与慢车相距720千米，故答案为：15或45．【点睛】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握行程问题中的基本数量关系是解决问题的关键．③配套问题例4.3一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成，如果1立方米木料可制作方桌的桌面50个或制作桌腿300条，现有5立方米木料，用________立方米木料做桌面，恰好都配成方桌（）A.1B.2C.3D.4【详解】设用x立方米木料做桌面，则可做50x个桌面，剩下的（5－x）立方米木料做桌腿，可做300（5－x）条桌腿．因为桌腿的数量是桌面数量的4倍，所以可列方程4×50x＝300（5－x）．解得x＝3故选：C变式4.39. 某圆柱形饮料瓶由铝片加工做成，现有若干张一样大小的铝片，若全部用来做瓶身可做900个，若全部用来做瓶底可做1200个．已知每一张这样的铝片全部做成瓶底比全部做成瓶身多20个．（1）问一张这样的铝片可做几个瓶底？（2）这些铝片一共有多少张？（3）若一个瓶身与两个瓶底配成一套，则从这些铝片中取多少张做瓶身，取多少张做瓶底可使配套做成的饮料瓶最多？ 【答案】（1）80个（2）15张（3）6张；9张 【解析】【分析】（1）列方程求解即可得到结果； （2）用总量除以（1）的结果即可；（3）设从这15张铝片中取a 张做瓶身，取(15)a -张做瓶底可使配套做成的饮料瓶最多，代入值计算即可；【详解】解：（1）设一张这样的铝片可做x 个瓶底． 根据题意，得9001200(20)x x =-． 解得80x =．2060x -=．答：一张这样的铝片可做80个瓶底． （2）12001580=（张） 答：这些铝片一共有15张．（3）设从这15张铝片中取a 张做瓶身，取(15)a -张做瓶底可使配套做成的饮料瓶最多．根据题意，得26080(15)a a ⨯⋅=-． 解得6a =．则159a -=．答：从这些铝片中取6张做瓶身，取9张做瓶底可使配套做成的饮料瓶最多． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确理解题意是解题的关键．④工程问题例4.4一项工程甲单独做需要40天完成，乙单独做需要50天完成，甲先单独做4天，然后两人合作x 天完成这项工程，则可列的方程是（ ） A .1404050x x +=+B .41404050x+=⨯ C .414050x +=D .41404050x x++= 详解】解：设两人合作x 天完成这项工程，根据题意可列的方程：41404050x x ++= 故选：D ．变式4.410. 两个工程队共同铺设一段长为1350 km 的天然气管道．甲工程队每天铺设5 km ，乙工程队每天铺设7 km ，甲工程队先施工30天后，乙工程队也开始施工，乙工程队施工多少天后能完成这项工程？【答案】乙工程队施工100天后能完成这项工程． 【解析】【分析】设乙工程队施工x 天后能完成这项工程，利用工作量的和等于1350km 列方程解答即可．【详解】设乙工程队施工x 天后能完成这项工程， 依题意，得30×5＋(5＋7)x ＝1350， 解得x ＝100.答：乙工程队施工100天后能完成这项工程．【点睛】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握工作总量、工作时间、工作效率之间的关系是解决问题的关键．⑤比赛问题例4.5在世界杯足球赛中，32支足球队将分为8个小组进行单循环比赛，小组比赛规则如下：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若小组赛中某队的积分为5分，则该队必是（ ）A .两胜一负B .一胜两平C .一胜一平一负D .一胜两负 【详解】由已知易得：每个小组有4支球队，每支球队都要进行三场比赛，设该球队胜场数为x ，平局数为y ，∵该球队小组赛共积5分， ∴y ＝5－3x ， 又∵0≤y ≤3， ∴0≤5－3x ≤3， ∵x 、y 都是非负整数，∴x ＝1，y ＝2，即该队在小组赛胜一场，平二场． 故选B ．变式4.511. 为了促进全民健身运动的开展，某市组织了一次足球比赛，下表记录了比赛过程中部分代表队的积分情况.（2）参加此次比赛的F 代表队完成10场比赛后，只输了一场，积分是23分，请你求出F 代表队胜出的场数. 【答案】(1)3；(2)7 【解析】【分析】(1)根据B 代表队的积分情况可直接得出胜一场的积分情况(2)先根据A,B,C,D 代表队的积分情况分别算出胜一场，平一场，负一场各自的积分情况，再列一元一次方程求解即可.【详解】解：(1)根据B 代表队的积分情况可得胜一场的积分情况：1863÷=（分）(2)由A 代表队的积分情况得出平一场的积分情况：163511-⨯÷=（）（分） 由C 代表队的积分情况得出负一场的积分情况：()11332110-⨯-⨯÷=（分）设F 代表队胜出的场数为x ，则平场为（9-x ）场，列方程得：3x+1⨯(9-x)=23解方程得：x=7答：F 代表队胜出的场数为7场.【点睛】本题是典型的比赛积分问题，清楚积分的组成部分及胜负积分的规则是解本题的关键.⑥销售问题例4.6一件衣服进价120元，按标价的八折出售仍能赚32元，则标价是__元．【详解】解：设标价为x元，x-=，由题意可知：0.812032x=，解得：190故答案为：190变式4.612. 一家商店将某种服装按成本提高40%标价，又以8折优惠卖出，结果每件服装仍可获利15元，则这种服装每件的成本价是（）A. 120元B. 125元C. 135元D. 140元【答案】B【解析】【分析】设每件的成本价为x元，列方程求解即可.【详解】设每件的成本价为x元，⨯+=+，x x0.8(140%)15解得x=125，故选：B.【点睛】此题考查一元一次方程的实际应用—销售问题，正确理解题意是列方程解决问题的关键.⑦几何问题例4.7如图，长方形ABCD被分成六个大小不同的正方形，现在只知道中间一个最小的正方形的面积为1，求长方形ABCD的面积．【详解】设第四个大正方形的边长为x （如图所示）．111=⨯，故最小的正方形的边长为1；21111x x -=+++ 231x x -=+4x =长方形的长：()244113⨯++= 长方形的宽：43411++= 长方形的面积：1311143⨯=．变式4.713. 如图，每个圆纸片的面积都是30，圆纸片A 与B ，B 与C ，C 与A 的重叠面积分别为6，8，5，三个圆纸片覆盖的总面积为73，则图中阴影部分面积为（ ）A. 54B. 56C. 58D. 69【答案】C 【解析】【分析】根据图形可知：三个圆纸片覆盖的总面积＋A 与B 的重叠面积＋B 与C 的重叠面积＋C 与A 的重叠面积−A 、B 、C 共同重叠面积＝每个圆纸片的面积×3，由此等量关系列方程求出A 、B 、C 共同重叠面积，从而求出图中阴影部分面积． 【详解】解：设三个圆纸片重叠部分的面积为x ， 则73＋6＋8＋5−x ＝30×3， 得x ＝2．所以三个圆纸片重叠部分的面积为2．图中阴影部分的面积为：73−（6＋8＋5−2×2）＝58． 故选：C ．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出式子，再求解．⑧水电问题例4.8为了提倡节约用水，采用“阶梯水价”收费办法：每户用水不超过5方，每方水费x 元，超过5方，超过部分每方加收2元，小张家今年3月份用水11方共交水费56元，根据题意列出关于x 的方程，正确的是（ ）A .56(2)56x x +-=B .56(2)56x x ++=C .11(2)56x +=D .11(2)6256x +-⨯= 解：依题意，得：5(115)(2)56x x +-⨯+=， 即56(2)56x x ++=． 故选：B ．变式4.814. 节约用水．市政府决定对居民用水实行三级阶梯水价：（2）若小明家去年2月份用水量是26立方米，缴费64.4元，请求出用水在22～30立方米之间的收费标准a元/立方米？（3）在（2）的条件下，若小明家去年8月份用水量增大，共缴费87.4元，请求出他家8月份的月水量是多少立方米？【答案】（1）46；（2）3.45；（3）32【解析】【分析】（1）因为20立方米不超过22立方米，所以直接按2.3元计算即可；（2）因为26立方米超过22立方米且不超过30立方米，所以22×2.3＋（26−22）×a＝64.4，根据方程即可求出a的值；（3）先根据第（2）问中得出的结果计算30立方米的费用，从而确定属于第几个阶梯，再列方程解决．【详解】（1）∵20＜22∴20立方米应缴费为20×2.3＝46故答案为46．（2）∵22＜26＜30∴根据题意有22×2.3＋（26−22）×a＝64.4解得a＝3.45故用水在22～30立方米之间的收费标准为3.45元/立方米．（3）若用水为30立方米，则收费为22×2.3＋8×3.45＝78.2＜87.4∴小明家去年8月份用水量超过了30立方米．设小明家去年8月份用水量为x立方米，由题意可得22×2.3＋8×3.45＋（x−30）×4.6＝87.4解得x＝32答：小明家去年8月份用水量为32立方米．【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，理解三级阶梯水价收费标准是重点，根据等量关系列方程求解是关键．⑨方案问题例4.9李老师准备购买一套小户型商品房，他去售楼处了解情况得知，该户型商品房的单价是5000元2/m ，如图所示（单位：m ，卫生间的宽未定，设宽为x m ），售楼处为李老师提供了以下两种优惠方案：方案一：整套房的单价为5000元2/m ，其中卫生间可免费赠送一半的面积； 方案二：整套房按原销售总金额的9.5折出售．（1）用含x 的代数式表示该户型商品房的面积及按方案一、方案二购买一套该户型商品房的总金额；（2）当2x =时，通过计算说明哪种方案更优惠，优惠多少元． 【详解】解：（1）该户型商品房的面积为：2473(84)2(73)(842)(482)x x m ⨯+⨯-+⨯-+--=+按方案一购买一套该户型商品房的总金额为：147342425000(2400005000)2x x ⎛⎫⨯+⨯+⨯+⨯⨯=+ ⎪⎝⎭元；按方案二购买一套该户型商品房的总金额为：(4734242)500095%(2280009500)x x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=+元．（2）当2x =时，方案一总金额为2400005000250000x +=（元）； 方案二总金额为2280009500247000x +=（元）． 方案二比方案一优惠2500002470003000-=（元）．所以方案二更优惠，优惠3000元．变式4.915. 一位商人来到一座新城市，想租一套房子，A 家房东的条件是先交2000元，每月租金1200元；B 家房东的条件是每月租金1400元． （1）这位商人想在这座城市住半年，则租哪家的房子划算？ （2）如果这位商人想住一年，租哪家的房子划算？ （3）这位商人住多长时间时，租两家的房子租金一样？【答案】（1）住半年时，租B 家的房子划算；（2）住一年时，租A 家的房子划算；（3）这位商人住10个月时，租两家的房子租金一样． 【解析】【分析】（1）分别根据A 、B 两家租金的缴费方式计算A 、B 两家半年的租金，然后比较即得答案；（2）分别根据A 、B 两家租金的缴费方式计算A 、B 两家一年的租金，然后比较即得答案；（3）根据A 家租金（2000+1200×租的月数）=B 家租金（1400×租的月数）设未知数列方程解答即可．【详解】解：（1）如果住半年，交给A 家的租金是1200620009200⨯+=(元)， 交给B 家的租金是140068400⨯=(元)，因为9200＞8400，所以住半年时，租B 家的房子划算．（2）如果住一年，交给A 家的租金是120012200016400⨯+=(元)， 交给B 家的租金是14001216800⨯=(元)，因为16400＜16800，所以住一年时，租A 家的房子划算． （3）设这位商人住x 个月时，租两家的房子租金一样， 根据题意，得120020001400x x +=． 解方程，得10x =．答：这位商人住10个月时，租两家的房子租金一样．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，属于常考题型，正确理解题意、明确A 、B 两家租金的缴费方式是解题的关键．⑩日历问题例4.101.将正整数1，2，3，4，5，……排列成如图所示的数阵：（1）十字框中五个数的和与框正中心的数11有什么关系？（2）若将十字框上下、左右平移，可框住另外五个数，这五个数的和与框正中心的数还有这种规律吗？请说明理由；（3）十字框中五个数的和能等于180吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由； （4）十字框中五个数的和能等于2020吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由． 【详解】解：（1）十字框中五个数的和是正中心数的5倍．∵十字框中五个数的和41011121855511=++++==⨯， ∴十字框中五个数的和是正中心数的5倍． （2）五个数的和与框正中心的数还有这种规律．设中心的数为a ，则其余4个数分别为1a -，1a +，7a -，7a +．11775a a a a a a +-+++-++=，∴十字框中五个数的和是正中心数的5倍． （3）十字框中五个数的和不能等于180. ∵当5180a =时，解得36a =，36751÷=，36在数阵中位于第6排的第1个数，其前面无数字，∴十字框中五个数的和不能等于180.（4）十字框中五个数的和能等于2020∵当52020a =时，解得404a =，4047575÷=，404在数阵中位于第58排的第5个数，∴十字框中五个数的和能等于2020，这五个数是404，403，405，397，411变式4.1016. 如图，将连续的奇数1、3、5、7 …，排列成如下的数表，用十字框框出5个数．问：①十字框框出5个数字的和与框子正中间的数17有什么关系？②若将十字框上下左右平移，可框住另外5个数，若设中间的数为a ，用代数式表示十字框框住的5个数字之和；③十字框框住的5个数字之和能等于2000吗？若能，分别写出十字框框住的5个数；若不能，请说明理由．【答案】（1）十字框框出5个数字的和=数17的5倍；（2）5,a （3）十字框框住的5个数字之和能等于2000．理由见解析．【解析】【分析】（1）算出这5个数的和，和31进行比较；（2）由图易知同一竖列相邻的两个数相隔12，横行相邻的两个数相隔2．用中间的数表示出其他四个数，然后相加即可；（3）求出（2）中的代数式的和等于5a ，可列方程求出中间的数，然后根据方程的解的情况就可以作出判断．【详解】解：(1) 5+15+17+19+29=85=517,⨯故十字框框出5个数字的和=数17的5倍；(2) a -12+a -2+a +a +2+a +12=5a ，故5个数字之和为5a ；(3)不能，5a =2000，解得a =400．而a 不能为偶数，∴十字框框住的5个数字之和能等于2000．实战练17. 下列方程中，解是3x =的方程是（ ）A. 684x x =+B. ()527x x -=-C. ()3323x x -=-D.()211020.1x x -=+ 【答案】D【解析】【分析】使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解．把x =3代入以上各个方程进行检验，可得到正确答案．【详解】解：对于A ，x =3代入方程，左边=18，右边=20，左边≠右边，故此选项不符合题意；对于B ，x =3代入方程，左边=5，右边=4，左边≠右边，故此选项不符合题意； 对于C ，x =3代入方程，左边=0，右边=3，左边≠右边，故此选项不符合题意； 对于D ，x =3代入方程，左边=50，右边=50，左边＝右边，故此选项符合题意； 故选：D ．【点睛】本题考查了一元一次方程的解，解题的关键是根据方程的解的定义．使方程左右两边的值相等的未知数的值是该方程的解．18. 下列说法中，正确的是（ ）A. 若ca=cb ，则a=bB. 若a b c c=，则a=b C. 若a 2=b 2，则a=bD. 由4-532x x =+，得到4352x x -=-+【答案】B【解析】【分析】利用等式的性质对每个式子进行变形即可找出答案．【详解】A. 因为c=0时式子不成立，所以A 错误；B. 根据等式性质2，两边都乘以c ，即可得到a=b ，所以B 正确；C. 若a 2=b 2，则a=b 或a=−b ，所以C 错误；D.根据等式的性质1，两边同时减去3x ，再加上5得4352x x -=+，所以D 错误.【点睛】本题主要考查了等式的性质.理解等式的基本性质即可直接利用等式的基本性质进而判断得出.19. 解方程21101136x x ++-=时，去分母、去括号后，正确的结果是（ ） A. 411011x x +-+= B. 421011x x +--=C. 421016x x +--=D. 421016x x +-+= 【答案】C【解析】【分析】对原方程按要求去分母，去括号得到变形后的方程，再和每个选项比较，选出正确选项． 【详解】21101136x x ++-=， 去分母，两边同时乘以6为：()()2211016x x +-+=去括号为：421016x x +--=．故选：C ．【点睛】此题考查解一元一次方程的去分母和去括号，注意去分母是给方程两边都乘以分母的最小公倍数；去括号时，括号前是负号括在括号内的各项要变号． 20. 下列去分母错误的是( ) A. 232y y -=，去分母，得2y ＝3（y ＋2） B.235136x x +-=＝0，去分母，得2（2x ＋3）－5x －1＝0C. 23（y－8）＝9，去分母，得2（y－8）＝27D. 151103237x x-+-=，去分母，得21（1－5x）－14＝6（10x＋3）【答案】B【解析】【分析】将各项方程去分母得到结果，即可做出判断．【详解】解：A、由232y y-=得2y＝3（y＋2），本选项正确；B、235136x x+-=＝0，得：2（2x＋3）−（5x−1）＝0，本选项错误；C、23(y－8)＝9，得：2（y−8）＝27，本选项正确；D、由151103237x x-+-=得21（1−5x）−14＝6（10x＋3），本选项正确；故选：B．【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．21. 某商店换季准备打折出售某商品，如果按原售价的七五折出售，将亏损25元，而按原售价的九折出售，将盈利20元，则该商品的成本为（）A. 230元B. 250元C. 270元D. 300元【答案】B【解析】【分析】设该商品的售价为x元，根据按原售价的七五折出售，将亏损25元，而按原售价的九折出售，将盈利20元，列方程求出售价，继而可求出成本．【详解】解：设该商品的售价为x元，由题意得，0.75x+25=0.9x-20，解得：x=300﹣则成本价为：300×0.75+25=250（元）．故选：B．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出等量关系，列方程求解．22. 某次数学测验中有16道选择题，评分办法：答对一道得6分，答错一道扣2分，不答得0分.某学生有一道题未答，那么这个同学至少要答对________道题，成绩才能在60分以上.【答案】12【解析】【分析】找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．得到不等式6x-2（15-x ）＞60，求解即可．【详解】设答对x 道．故6x-2（15-x ）＞60解得：x ＞908. 所以至少要答对12道题，成绩才能在60分以上．【点睛】考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．23. 一个两位数个位上的数是1，十位上的数是x ，把1与x 对调，若新两位数比原两位数小18，则x 的值为_____________【答案】3【解析】【分析】个位上的数是1，十位上的数是x ，则这个数为10x+1；把个位上的数与十位上的数对调得到的数为10+x ，根据新两位数比原两位数小18列出方程，解出即可．【详解】根据题意列方程得：10x+1-18=10+x解得：x=3故答案为：3【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，此题的关键表示出这个数，据题意列出方程解决问题．24. 解下列方程：（1）36156x x -=--（2）1.5 1.510.62x x --= 【答案】（1）1x =-；（2）7=12x 【解析】 【分析】（1）根据解方程步骤，移项，合并同类项，把x 系数化为1，即可求出解； （1）根据解方程步骤，方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把x 系数化为1，即可求出解．【详解】解：（1）移项得：36156x x +=-+，合并同类项得：99x =-，解得：1x =-；（2）去分母得：2?1.50.6(1.5) 1.2x x --=，去括号得：30.90.6 1.2x x -+=，移项得：30.6 1.20.9x x +=+，合并同类项得：3.6 2.1x =， 解得：7=12x ． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键．25. 解下列方程：（1）5(x ＋8)－5＝6(2x －7)（2）2x －3(x －3)＝12＋(x －4)．【答案】（1）x ＝11；（2）12x =【解析】【分析】据去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可；【详解】（1）5(x ＋8)－5＝6(2x －7)，去括号，得5x ＋40－5＝12x －42，移项，得5x －12x ＝－42－40＋5，合并同类项，得－7x ＝－77，系数化为1，得x ＝11；（2）2x －3(x －3)＝12＋(x －4)，去括号，得2x －3x ＋9＝12＋x －4，移项，得2x －3x －x ＝12－4－9，合并同类项，得－2x ＝－1，系数化为1，得x ＝12． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x ＝a 形式转化．26. 某校社团活动课中，手工制作社的同学用一种彩色硬纸板制作某种长方体小礼品的包装盒，每张硬纸板可制作盒身12个，或制作盒底18个，1个盒身与2个盒底配成一套．现有28张这种彩色硬纸板，要使盒身和盒底刚好配套，若设需要x 张做盒身，则下列所列方程正确的是( )A. ()182812x x -=B. ()1828212x x -=⨯C. ()181412x x -=D. ()2182812x x ⨯-= 【答案】B【解析】【分析】若设需要x 张硬纸板制作盒身，则（28-x ）张硬纸板制作盒底，然后根据1个盒身与2个盒底配成一套列出方程即可．【详解】解：若设需要x 张硬纸板制作盒身，则（28-x ）张硬纸板制作盒底，由题意可得，18（28-x ）=2×12x ，故选：B ．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．27. 一件工程，由甲、乙两个工程队共同合作完成，工期不得超过一个月，甲独做需要50天才能完成，乙独做需要45天才能完成，现甲乙合作20天后，甲队有任务调离，由乙队单独工作，问此工程是否能如期完工.（列方程计算）【答案】此工程能如期完成.【解析】【分析】等量关系为：合作20天的工作量+乙单独完成的剩余的工作量=1，据此列出方程求解．【详解】设剩余工程乙独做需要x 天完成，根据题意可得:()11202014550x ++⨯=， 解得x=7,∵20+7<30∴此工程能如期完成.【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是能够了解工作量、工作效率及工作时间之间的关系，难度不大．28. 某商品的进价是2 000元，标价为2 800元，该商品打多少折才能获得12%的利润率？【答案】该商品需打8折才能获得12%的利润率．【解析】【详解】试题分析：设该商品需打x 折才能使利润率为12%，根据等量关系“标价×10x -进价=进价×利润率（利润）”，列出方程，解方程即可． 试题解析：设该商品需打x 折才能使利润率为12%，则根据题意，得2 800×－2 000＝2 000×12%.解得x ＝8.答：该商品需打8折才能获得12%的利润率．29. 甲、乙两人从A ，B 两地同时出发，甲骑自行车，乙开汽车，沿同一条路线相向匀速行．出发后经3小时两人相遇．已知在相遇时乙比甲多行了90千米，相遇后经1小时乙到达A 地问：（1）甲车速度是________千米/小时，乙车速度是_________千米/小时．A ，B 距离。
专题09 一元一次方程 章末重难点题型(12个题型)(原卷版)
专题09 一元一次方程 章末重难点题型（12个题型）一、经典基础题题型1 方程与一元一次方程的辨别题型2 利用一元一次方程的定义和方程的解求值 题型3 等式的性质及应用 题型4 一元一次方程中的同解问题 题型5 方程的特殊解问题（求参数的值） 题型6 解方程题型7 含参数的一元一次方程题型8 一元一次方程中的错解和遮挡问题 题型9 一元一次方程中的新定义问题 题型11 一元一次方程中的整体换元 题型12 一元一次方程中的实际应用 二、优选提升题题型1 方程与一元一次方程的辨别例1．（2022·吉林·大安市七年级期末）下列各式中，是一元一次方程的是（ ） A ．x +2y =5B ．x 2+x -1=0C ．1xD ．3x +1= 10变式1．（2022·河南三门峡·七年级期末）在①21x +；②171581+=-+；③1112x x -=-；④23x y +=中，方程共有（ ） A ．1个B ．3个C ．2个D ．4个变式2．（2022·广东湛江·七年级期末）下列各式中，不是方程的是（ ） A ．2a a a +=B ．23x +C ．215x +=D ．()2122x x +=+题型2 利用一元一次方程的定义和方程的解求值【解题技巧】依据一元一次方程的定义，x 的次数为1，系数不为0方程的解：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解．例1．（2022·河南郑州·七年级期末）若使方程(2)1m x +=是关于x 的一元一次方程，则m 的值是（ ） A ．2m ≠-B ．0m ≠C ．2m ≠D ．2m >-变式1．（2022·福建泉州·七年级期末）若3x =是关于x 的方程5ax b -=的解，则622a b --的值为（ ） A ．2B ．8C ．－3D ．－8变式2．（2022·河南南阳·七年级期末）若()110m x -+=是关于x 的一元一次方程，则m 的值可以是______(写出一个即可)题型3 等式的性质及应用 【解题技巧】等式的性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；等式的性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．例1．（2022·海南·七年级期末）已知a b =，根据等式的性质，可以推导出的是（ ） A ．21a b +=+B ．33a b -=-C ．232a b -=D ．a bc c= 变式1．（2022·四川成都·八年级期末）某小组设计了一组数学实验，给全班同学展示以下三个图，其中（a ）（b ）中天平保持左右平衡，现要使（c ）中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入砝码的克数为（ ） A ．25克B ．30克C ．40克D ．50克变式2．（2022·江苏泰州·七年级期末）已知方程x -2y =5，请用含x 的代数式表示y ，则y =_______．题型4 一元一次方程中的同解问题解题技巧：通过前一个方程求得x 的值并代入后一个方程，转化为含另一未知数的方程、例1．（2022·黑龙江大庆·期末）关于x 的方程4231x m x -=-的解是23x x m =-的解的2倍，则m 的值为（ ） A ．12B ．14C ．14-D ．12-变式1．（2022·辽宁大连·七年级期末）如果方程24=x 与方程的解相同，则k 的值为（ ） A ．2B ．C ．4D ．310x k +=2-4-变式2．（2022·山东烟台·期末）若关于x 的方程()3212x k x -=+的解与关于x 的方程()821k x -=+的解互为相反数，则k =______．题型5 方程的特殊解问题（求参数的值） 解题技巧：求含参数一元一次方程的逆过程例1．（2022·河南安阳·七年级期末）关于x 的方程的解是正整数，则整数k 可以取的值是__________． 变式1．（2022·上海金山·八年级期末）如果关于x 的方程ax ＝b 无解，那么a 、b 满足的条件（ ） A ．a ＝0，b ＝0B ．a ≠0，b ≠0C ．a ≠0，b ＝0D ．a ＝0，b ≠0变式2．（2022·湖南）关于x 的方程（a +1）x ＝a ﹣1有解，则a 的值为（ ） A ．a ≠0B ．a ≠1C ．a ≠﹣1D ．a ≠±1变式3．（2022·黑龙江大庆·期末）关于x 的方程()()2153a x a x b -=-+有无穷多个解，则a b -=______．题型6 解方程 【解题技巧】解含有括号的一元一次方程：一般方法是由内到外逐层去括号，但有时这样做不一定能简化运算。
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一元一次方程全章归类复习题(典型)考点一、判断方程是不是一元一次方程及一元一次方程概念的简单应用１、下列等式中是一元一次方程的是（ ）A.3x ＝y-１B.2(1)21x x -=+ C ．3(x －１)= -2x-3 D.3x 2-2=3 E ．11x x =+ 2、在方程23=-y x ,021=-+xx ,2121=x ，0322=--x x 中一元一次方程的个数为( )A.1个 B ．2个 C ．３个 D.4个3、如果06312=+--a x是一元一次方程，那么=a ，方程的解为 。
(特别注意）考点二、关于在解方程过程中的某些变形问题，只能以选择题的形式出现1、已知等式523+=b a ,则下列等式中不一定．．．成立的是( ) （A);253b a =- (B ）;6213+=+b a (Ｃ);523+=bc ac （D).3532+=b a 2、解方程2631x x =+-,去分母，得（ ) (A)133x x --= （B ）633x x --= （C ）633x x -+= (D ）133x x -+=3、下列方程变形中,正确的是（ ）（Ａ）方程1223+=-x x ,移项，得;2123+-=-x x(Ｂ)方程()1523--=-x x ，去括号,得;1523--=-x x(Ｃ）方程2332=t ,未知数系数化为1，得;1=t （D)方程110.20.5x x --=化成101010125x x --= 考点三、解一元一次方程（1)x x 3.15.67.05.0-=-; （2);(3）1676352212--=+--x x x ; (４)4.06.0-x 3.011.0+x .考点四、列一元一次方程，解与实际生活无关的题目（可以是选择题、填空题、解答题）1、方程432-=+x m x 与方程6)16(21-=-x 的解相同，则m 的值为＿___＿___＿_. ２、已知5x+3=８ｘ－３和65a x +＝37这两个方程的解是互为相反数，则a= . 3、某数的4倍减去3比这个数的一半大４,则这个数为_＿______＿_.4、若与互为相反数,则的值是 .５、一个两位数,个位上的数字是十位上的数字的3倍，它们的和是12，那么这个两位数是 .6、写出一个以x ＝－21为解的一元一次方程 7、小明在做解方程作业时,不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚,被污染的方程是:11222y y -=- ，怎么办呢？小明想了一想,便翻看书后答案,此方程的解是53y =-，于是很快就补好了这个常数，你能补出这个常数吗?它应是( ) A.1Ｂ.2 ﻩﻩ Ｃ.3 D.4 8、已知21=x 是方程32142m x m x -=--的根,求代数式()⎪⎭⎫ ⎝⎛---+-121824412m m m 的值.★★★已知关于x 的一元一次方程b x x +=+2301121的解为2=x ，那么关于y 的一元一次方程b y y ++=++）（）（123101121的解为 . 考点五、列一元一次方程解与实际生活有关的题目(可以是选择题、填空题、解答题）1、日历上竖列相邻的三个数,它们的和是3９，则第一个数是（ )A.6 ﻩ B ．12 C.13 ﻩﻩ D ．14２、有m 辆客车及n 个人,若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车；若每辆客车乘４３人,则还有1人不能上车.有下列四个等式：①4010431m m +=-;②1014043n n ++=；③1014043n n --=;④4010431m m +=+．其中正确的是（ ） A.①② ﻩﻩ Ｂ．②④ ﻩ Ｃ．②③ D ．③④3、某商店卖出两件衣服,每件60元,其中一件赚25%,另一件亏25％,那么这两件衣服卖出后,商店是 （ )Ａ.不赚不亏 B.赚8元 C.亏８元 D. 赚1５元4、一件商品提价25%后发现销路不是很好,欲恢复原价,则应降价（ )A ．4０% ﻩ ﻩB ．20% ﻩ ﻩC.25% ﻩ ﻩD.１5%５、小强比他叔叔小30岁,而两年前，小强的年龄是他叔叔的41,则小强的叔叔今年_______＿_＿＿_岁.6、一项工程甲独做１0天完成,乙的工作效率是甲的2倍,两人合做了2天未完成，剩下的工作量由乙完成,还需的天数为 ( ）（A)．１ 天 (B)2 天 （C ）3 天 （Ｄ)4天７、小明存入10０元人民币,存期一年，年利率为2％,到期应缴纳所获利息的2０%的利息税，那么小明存款到期交利息税后共得款 （ ）A ．1０6元B ．１02元 C.111.6元 D ．101.6元8、银行教育储蓄的年利率如右下表: 小明现正读七年级,今年7月他父母为他在银行存款30000元，以供3年后上高中使用． 要使３年后的收益最大,则小明的父母应该采用( )(A ）直接存一个3年期；（B ）先存一个1年期的,1年后将利息和自动转存一个2年期；（C)先存一个1年期的，1年后将利息和自动转存两个1年期；（D ）先存一个２年期的，2年后将利息和自动转存一个1年期.9、某酒店为招揽生意，对消费者实施如下优惠：凡订餐5桌以上，多于5桌的部分按定价的7折收费.小叶集团公司组织工会活动，预定了10桌，缴纳现金２550元,那么每桌定价是 元.１0、某商店将彩电按成本价提高５０%,然后在广告上写“大酬宾，八折优惠”,结果每台彩电仍获利270元，那么每台彩电成本价是__＿___＿____。
11、国家规定个人发表文章、出版图书获得稿费的纳税计算办法是:(1）稿费低于800元的不纳税；(2)稿费高于8００元，又不高于4000元,应纳超过800元的那一部分稿费的14%的税;（3)稿费高于4000元，应缴纳全部稿费的11％的税.某作家缴纳了280元税，那么他获得的稿费是 元.一年期 二年期 三年期 2．25 ２.43 ２.７012、(和、差、倍、分问题）1、“希望工程”委员会将2０00元奖金发给全校２５名三好学生,其中市级三好学生每人得奖金200元，校级三好学生每人得奖金５0元，问全校市级三好学生、校级三好学生各有多少人?1３、(等积变形问题）要锻造一个直径为8cｍ,高为4cm的圆柱形毛坯,应截取直径为4cm 的圆钢多少cm。
1４、（调配问题）某中学组织同学们春游，如果每辆车座45人，有1５人没座位，如果每辆车座60人,那么空出一辆车,其余车刚好座满,问有几辆车,有多少同学？１5、（行程问题)一队学生去学校外进行军事训练，他们以每小时５千米的速度行进了1８分钟,学校要将一个紧急通知传给队长,通讯员从学校出发，骑自行车以每小时14千米的速度按原路追上去,通讯员需要多少时间可以追上学生队伍?某桥长１０００米,一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到过完桥共用60秒。
而整列火车完全在桥上的时间是40秒，求火车的速度和长度。
1６、(工程问题）一项工程,甲、单独做需2０天完成，乙单独做需3０天完成,如果先由甲单独做8天，再由乙单独做3天,剩下的由甲,乙两人合作还需要几天完成?１7、(利润率问题)某商品按定价销售，每个可获利45元，现在按定价的8．５折出售8个所能获得的利润与按定价每个减价35元出售12个所获得利润一样。
问这种商品每个的进价、定价各是多少元？１８、(银行储蓄问题)小丽的爸爸前年存了年利率为２.25%的二年期定储蓄,今年到期后，扣除利息的20%作为利息税，所得利息正好为小丽买了一只价值36元的计算器,问小丽爸爸前年存了多少元钱？19、(数字问题)有一个三位数,十位数字是个位数字2倍,百位数字比个位数字大3，如果把十位上的数字与百位上的数字对调,新的三位数与原来三位数和为124６,求原来的三位数。
20、(年龄问题)其基本数量关系: 大小两个年龄差不会变。
现在儿子的年龄是8岁，父亲的年龄是儿子年龄的４倍，多少年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍？。
21、（比例类应用题)甲、乙二人去商店买东西，他们所带钱数的比是7:6，甲用掉50元,乙用掉60元,则二人余下的钱数比为3:2，求二人余下的钱数分别是多少?２２、(重叠类数学问题)七年级二班有4５人报名参加了文学社或书画社，已知参加文学社的人数比参加书画社的人数多5人,两个社都参加的有20人,问参加书画社的有多少人?巩 固 练 习一、选择题(每小题３分,共30分)１.下列方程是一元一次方程的是 ( )A ．x+2y=５ B.11-x ＝２ Ｃ．ｘ2=８x －3 Ｄ．ｙ=1 ２.下列方程中，解是x ＝２的是 ( ) Ａ.2x －2=0 B.21ｘ=4 Ｃ．4x=2 D ．21+x －１=21 3.将方程5x －1＝4ｘ变形为5x －4x=1,这个过程利用的性质是 （ )A.等式性质1 Ｂ.等式性质2 C.移项 D.以上说法都不对4．方程3－21-x =1变形如下,正确的是 ( )A ．6-ｘ+１＝２ B.3-x+1=２ Ｃ.6－x ＋1=1 D.6-ｘ－1=25.如果ｘ=－8是方程３x+8=4x －a 的解,则a 的值为 ( ) A.－1４ B ．14 C.3０ D ．-30６.某工作,甲单独完成需4天,乙单独完成需８天，现甲先工作１天后和乙共同完成余下的工作，甲一共做了 ( )A.2天B.3天 Ｃ．4天 D ．5天7.小明存入10０元人民币，存期一年,年利率为2％,到期应缴纳所获利息的20%的利息税,那么小明存款到期交利息税后共得款 ( ）Ａ．10６元 Ｂ．１0２元 C ．１1１.6元 D.１０1．6元8.某种商品的标价为132元.若以标价的9折出售,仍可获利１0％，则该商品的进价为( )A.105元 Ｂ.100元 C.10８元 D.118元９.某工地调来7２人挖土和运土,已知3人挖的±１人恰好能全部运走,怎样调配劳动力才能使挖出来的土能够及时运走且不窝工，解决此问题可设x 人挖土，其他人运土，列方程(1) x x 372-=３;(2)72-x=3x ；(３)xx -72=3；(4）x+3x=72，上述所列方程正确的是 ( )Ａ.１个 B.2个 C.３个 D.4个10.某轮船在两个码头之间航行,顺水航行需４h ，逆水航行需6ｈ，水流速度是２k ｍ/h,求两个码头之间的距离，我们可以设两个码头之间的距离为xkm ，得到方程 ( ) A.42-x =62+x Ｂ．4x -2=6x +2 C ．4x －6x =2 D ．642+x =4x -2 二、填空题(每小题4分,共２4分)1１.若2的２倍与3的差等于2的一半,则可列方程为 .１２.写出一个以ｘ=－21为解的一元一次方程 13．已知5x+3＝8x －3和65a x +=37这两个方程的解是互为相反数，则a= . １４．小强的速度为５千米／时,小刚的速度为４千米／时．两人同时出发,相向而行.经过x 小时相遇，则两地相距 千米.１5.某酒店为招揽生意，对消费者实施如下优惠：凡订餐5桌以上,多于5桌的部分按定价的７折收费.小叶集团公司组织工会活动,预定了10桌,缴纳现金2５５0元，那么每桌定价是 元.16．国家规定个人发表文章、出版图书获得稿费的纳税计算办法是：(１)稿费低于800元的不纳税;(2)稿费高于８00元，又不高于4000元，应纳超过800元的那一部分稿费的１４%的税；（3)稿费高于4000元，应缴纳全部稿费的11%的税.某作家缴纳了2８０元税，那么他获得的稿费是 元.三、解答题(共66分)17.(６分)解下列方程：(1)4ｘ－２(x-3）=x; (２)ｘ－6231+=-x x -1.18.(6分)当ｘ取何值时,代数式623+x 和x －２是互为相反数？１9.（6分)若代数式3a 3ｂ4－5n “与-６a 6-(m+1)b ｍ-1是同类项，求ｍ2－５ｍn 的值.2０.(8分）如图，小明将一个正方形纸片剪去一个宽为4厘米的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5厘米的长条,如果两次剪下的长条面积正好相等,那么每一个长条的面积为多少?2１．(8分)一项工程,由甲队独做需12个月完工,由乙队独做需15个月完工．现决定由两队合作,且为了加快进度，甲、乙两队都将提高工作效率.若甲队的工作效率提高40%,乙队的工作效率提高25%,则两队合作，几个月可以完工?２２.（10分)某市按以下规定收取每月水费：若每月每户用水不超过20立方米，则每立方米水价按１.２元收费；若超过２０立方米，则超过部分每立方米按２元收费．如果某居民在某月所交水费的平均水价为每立方米1.５元，那么这个月他共用了多少立方米水?2３.(10分）小强、小芳、小亮在郊游,看到远处一列火车匀速通过一个隧道后,产生了以下.对话．各位同学,请根据他们的对话求出这列火车的长2４.（12分)温州和杭州某厂同时生产某种型号的机器若干台,温州厂可支援外地10台，杭州厂可支援外地4台．现在决定给武汉8台，南昌6台.每台机器的运费如下表．设杭州运往南昌的机器为x台.(1)用x的代数式来表示总运费(单位：百元)；（2)若总运费为8400元，则杭州运往南昌的机器应为多少台？终点起点南昌武汉温州厂 4 ８杭州厂 3 5(3)试问有无可能使总运费是740０元？若有可能，请写出相应的调运方案;若无可能，请说明理由.。