第三章导数与微分习题解答

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导数与微分练习题及解析

导数与微分练习题及解析在微积分学中，导数和微分是最基本的概念之一。

它们可以帮助我们研究函数的变化率和性质，广泛应用于物理、经济、工程等各个领域。

为了帮助你更好地理解导数和微分的概念，以下是一些练习题及其解析。

练习题1：求函数f(x) = x^2 + 3x + 2在x = 2处的导数和切线方程。

解析：首先，我们求函数f(x)的导数。

使用求导法则，对于多项式函数来说，可以将每一项的指数与系数相乘，并将指数减一，得到函数的导数。

f'(x) = 2x + 3接下来，我们计算x = 2处的导数值。

f'(2) = 2(2) + 3 = 7切线方程的一般形式为y = mx + b，其中m代表斜率，b代表截距。

根据导数的定义，导数即为切线的斜率。

所以切线的斜率为m = 7。

将切点的坐标代入切线方程，我们可以得到b的值。

2 = 7(2) + b2 = 14 + bb = -12最终的切线方程为y = 7x - 12。

练习题2：求函数f(x) = e^x * sin(x)的导数。

解析：考虑到函数f(x) = e^x * sin(x)是两个函数的乘积，我们可以使用乘积法则来求导。

乘积法则的公式为：(uv)' = u'v + uv'对于e^x和sin(x)两个函数，它们的导数分别为e^x和cos(x)。

根据乘积法则，我们可以将这两个导数与原函数进行组合，得到最终的导数为：f'(x) = (e^x * cos(x)) + (e^x * sin(x))练习题3：求函数f(x) = ln(x^2 + 1)的导数和微分。

解析：首先，我们求函数f(x)的导数。

根据链式法则，可以分别计算外函数和内函数的导数。

设内函数为u = x^2 + 1，则内函数的导数为du/dx = 2x。

外函数为f(u) = ln(u)，则外函数的导数为df/du = 1/u。

根据链式法则，函数f(x)的导数为：f'(x) = df/du * du/dx= (1/u) * (2x)= 2x / (x^2 + 1)接下来，我们计算函数f(x)的微分。

第三章导数与微分习题及答案

第三章导数与微分同步练习一、填空 1、若[]1cos 1)0()(lim=--→xf x f x x ，则)0(f '= 。

2、设)100()3)(2)(1()(----=x x x x x x f ，则)0(f '= 。

3、若)(x e f y -=，且x x x f ln )(='，则1=x dxdy = 。

4、若)()(x f x f =-，且3)1(=-'f ，则)1(f '= 。

5、设某商品的需求函数是Q=10-0.2p ，则当价格p=10时，降价10%，需求量将。

6、设某商品的需求函数为：Q=100-2p ，则当Q=50时，其边际收益为。

7、已知x x y ln =，则)10(y = 。

8、已知2arcsin )(),2323(x x f x x f y ='+-=，则：0=x dxdy = 。

9、设1111ln22++-+=x x y ，则y '= 。

10、设方程y y x =确定y 是x 的函数，则dy = 。

11、已知()xke x f ='，其中k 为常数，求()x f 的反函数的二阶导数=22dyxd 。

二、选择1、设f 可微，则=---→1)1()2(lim1x f x f x （）A 、)1(-'-x fB 、)1(-'fC 、)1(f '-D 、)2(f ' 2、若2)(0-='x f ，则=--→)()2(lim000x f x x f xx （）A 、41 B 、41- C 、1 D 、-1 3、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001arctan )(x x xx x f ，则)(x f 在0=x 处（）A 、不连续B 、极限不存在Ｃ、连续且可导Ｄ、连续但不可导４、下列函数在[]1,1-上可微的有（）Ａ、x x y sin 32+= Ｂ、x x y sin =Ｃ、21x x y +=Ｄ、x x y cos += ５、设)(x f 为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数xx f x g )()(=（）Ａ、在0=x 处极限不存在Ｂ、有跳跃间断点0=x Ｃ、在0=x 处右极限不存在Ｄ、有可去间断点0=x６、设函数)(),(21x y x y 的弹性分别为)0(,≠b b a ，则函数)()(21x y x y y =的弹性为（）Ａ、b a - Ｂ、b aＣ、2112y by ay - Ｄ、以上都不对７、已知)(x f e y =，则y ''＝（）Ａ、)(x f e Ｂ、)]()([)(x f x f e x f ''+' Ｃ、)()(x f e x f '' Ｄ、)}()]({[2)(x f x f e x f ''+'８、设函数⎩⎨⎧≤+>+=11)ln()(2x bx x x a x f 在1=x 处可导。

3章微分中值定理与导数应用习题解答

第3章微分中值定理与导数应用习题解答1.验证中值定理的正确性（1) 验证罗尔定理对函数y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上的正确性.解因为y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上连续, 在)65 ,6(ππ内可导, 且)65()6(ππy y =, 所以由罗尔定理知, 至少存在一点)65 ,6(ππξ∈, 使得y '(ξ)=cot ξ=0. 由y '(x )=cot x =0得)65 ,6(2πππ∈，因此确有)65 ,6(2πππξ∈=, 使y '(ξ)=cot ξ=0.(2) 验证拉格朗日中值定理对函数y =4x 3-5x 2+x -2在区间[0, 1]上的正确性.解因为y =4x 3-5x 2+x -2在区间[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导, 由拉格朗日中值定理知, 至少存在一点ξ∈(0, 1), 使001)0()1()(=--='y y y ξ. 由y '(x )=12x 2-10x +1=0得)1 ,0(12135∈±=x .因此确有)1 ,0(12135∈±=ξ, 使01)0()1()(--='y y y ξ.(3) 对函数f (x )=sin x 及F (x )=x +cos x 在区间]2 ,0[π上验证柯西中值定理的正确性. 解因为f (x )=sin x 及F (x )=x +cos x 在区间]2 ,0[π上连续, 在)2 ,0(π可导, 且F '(x )=1-sin x 在)2 ,0(π内不为0, 所以由柯西中值定理知至少存在一点)2,0(πξ∈, 使得)()()0()2()0()2(ξξππF f F F f f ''=--. 令)0()2()0()2()()(F F f f x F x f --=''ππ, 即22sin 1cos -=-πx x .化简得14)2(8sin 2-+-=πx . 易证114)2(802<-+-<π, 所以14)2(8sin 2-+-=πx 在)2 ,0(π内有解, 即确实存在)2,0(πξ∈, 使得)()()0()2()0()2(ξξππF f F F f f ''=--.2. 证明题:(1)证明恒等式: 2arccos arcsin π=+x x (-1≤x ≤1).证明设f (x )= arcsin x +arccos x . 因为 01111)(22≡---='x x x f ,所以f (x )≡C , 其中C 是一常数.因此2arccos arcsin )0()(π=+==x x f x f , 即2arccos arcsin π=+x x .(2)若方程a 0x n +a 1x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ + a n -1x =0有一个正根x 0, 证明方程a 0nx n -1+a 1(n -1)x n -2 + ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1 =0必有一个小于x 0的正根.证明设F (x )=a 0x n +a 1x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ + a n -1x , 由于F (x )在[0, x 0]上连续, 在(0, x 0)内可导, 且F (0)=F (x 0)=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点ξ∈(0, x 0), 使F '(ξ)=0, 即方程a 0nx n -1+a 1(n -1)x n -2 + ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1 =0 必有一个小于x 0的正根.(3)若函数f (x )在(a , b )内具有二阶导数, 且f (x 1)=f (x 2)=f (x 3), 其中a <x 1<x 2<x 3<b , 证明: 在(x 1, x 3)内至少有一点ξ, 使得f ''(ξ)=0.证明由于f (x )在[x 1, x 2]上连续, 在(x 1, x 2)内可导, 且f (x 1)=f (x 2), 根据罗尔定理, 至少存在一点ξ1∈(x 1, x 2), 使f '(ξ1)=0. 同理存在一点ξ2∈(x 2, x 3), 使f '(ξ2)=0.又由于f '(x )在[ξ1, ξ2]上连续, 在(ξ1, ξ2)内可导, 且f '(ξ1)=f '(ξ2)=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点ξ ∈(ξ1, ξ2)⊂(x 1, x 3), 使f ''(ξ )=0.(4) 设a >b >0, n >1, 证明: nb n -1(a -b )<a n -b n <na n -1(a -b ) .证明设f (x )=x n , 则f (x )在[b , a ]上连续, 在(b , a )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在ξ∈(b , a ), 使f (a )-f (b )=f '(ξ)(a -b ), 即a n -b n =n ξ n -1(a -b ). 因为 nb n -1(a -b )<n ξ n -1(a -b )< na n -1(a -b ), 所以 nb n -1(a -b )<a n -b n < na n -1(a -b ) .3. 用洛必达法则求下列极限: (1)22)2(sin ln limx x x -→ππ; (2)nn m m ax a x a x --→lim; (3)x xx 2tan ln 7tan ln lim0+→; (4)x x x 3tan tan lim 2π→;(5)2120lim x x e x →; (6)⎪⎭⎫ ⎝⎛---→1112lim 21x x x ; (7)x x xa )1(lim +∞→; (8)xx xsin 0lim +→; 解: (1)812csc lim 41)2()2(2cot lim )2(sin ln lim 22222-=---=-⋅-=-→→→x x x x xx x x πππππ.(2)nm n m n m ax nn m m ax a nm na mx nx mx a x a x -----→→===--1111limlim. (3)2000021sec 77ln tan 77tan 272tan 7lim lim lim lim 11ln tan 22tan 727sec 22tan 2x x x x x x x x x x x x x x→+→+→+→+⋅⋅====⋅⋅.(4))sin (cos 23)3sin (3cos 2lim31cos 3cos lim 3133sec sec lim 3tan tan lim 22222222x x x x x x x x x x x x x x -⋅-==⋅=→→→→ππππ 3sin 3sin 3lim cos 3cos lim22=---=-=→→x xx x x x ππ.(5)+∞====+∞→+∞→→→1lim lim 1lim lim 2101222t t t t x x xx e t e x e e x (注: 当x →0时, +∞→=21xt ). (6)2121lim 11lim 1112lim 12121-=-=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛---→→→x x x x x x x x . (7)解法1 因为)1ln(lim )1(lim x ax x x x exa +∞→∞→=+, 而 221()ln(1)1lim (ln(1)limlim 11x x x aa axa x x x x x x→∞→∞→∞⋅-+++==- limlim 1x x ax aa x a →∞→∞===+ ,所以 a x ax x x x e exa ==++∞→∞→)1ln(lim )1(lim . 解法2 lim 1lim 1axxa ax x a a e x x →∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦(8) 因为x x x x x e x ln sin 0sin 0lim lim +→+→=,而 00ln lim sin ln lim csc x x x x x x →+→+= 2001sin lim lim 0csc cot cos x x x x x x x x→+→+==-=-⋅ ，所以 1lim lim 0ln sin 0sin 0===+→+→e e x x x x x x .4. 验证下列各题: (1) 验证极限xxx x sin lim+∞→存在, 但不能用洛必达法则得出.解 1)s i n 1(l i m s i n l i m =+=+∞→∞→x x x x x x x , 极限x xx x sin lim+∞→是存在的. 但)cos 1(lim 1cos 1lim )()sin (limx xx x x x x x +=+=''+∞→∞→∞→不存在, 不能用洛必达法则.(2) 验证极限xx x x sin 1sinlim20→存在, 但不能用洛必达法则得出.解 0011sin sin lim sin 1sinlim020=⋅=⋅=→→xx x x x x x x x , 极限x x x x sin 1sinlim 20→是存在的. 但xx x x x x x x x cos 1cos1sin 2lim )(sin )1sin (lim020-=''→→不存在, 不能用洛必达法则. 5. 将下列函数展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式(1) 求函数f (x )=ln x 按(x -2)的幂展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式. 解因为f '(x )=x -1, f ''(x )=(-1)x -2, f '''(x )=(-1)(-2)x -3 , ⋅ ⋅ ⋅ , nn nn x n x n x f )!1()1()1( )2)(1()(1)(--=+-⋅⋅⋅--=--;kk k k f 2)!1()1()2(1)(--=-(k =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n +1)所以])2[()2(!)2( )2(!3)2()2(!2)2()2)(2()2(ln )(32n n n x o x n f x f x f x f f x -+-+⋅⋅⋅+-'''+-''+-'+=])2[()2(2)1( )2(231)2(221)2(212ln 13322n n nn x o x n x x x -+-⋅-+⋅⋅⋅--⋅+-⋅--+=-.(2) 求函数f (x )=xe x 的带有佩亚诺型余项的n 阶麦克劳林公式. 解因为f '(x )=e x +x e x ,f ''(x )=e x +e x +x e x =2e x +x e x , f '''(x )=2e x +e x +x e x =3e x +x e x , ⋅ ⋅ ⋅, f (n )(x )=ne x +xe x ;f (k )(0)=k (k =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ),所以 )(!)0( !3)0(!2)0()0()0()(32n nn xx o x n f x f x f x f f xe ++⋅⋅⋅⋅+'''+''+'+=)()!1(1!2132n n x o x n x x x +-⋅⋅⋅+++=.6. 确定下列函数的单调区间:(1) y =2x 3-6x 2-18x -7; (2)xx x y 6941023+-=; 解 (1) y '=6x 2-12x -18=6(x -3)(x +1)=0, 令y '=0得驻点x 1=-1, x 2=3. 列表得可见函数在(-∞, -1]和[3, +∞)内单调增加, 在[-1, 3]内单调减少.(2)223)694()1)(12(60x x x x x y +----=', 令y '=0得驻点211=x , x 2=1, 不可导点为x =0. 列表得可见函数在(-∞, 0), ]21 ,0(, [1, +∞)内单调减少, 在]1 ,21[上单调增加.7.证明下列不等式::(1)当x >0时, x x +>+1211;(2)当x >4时, 2x >x 2;证明 (1)设x x x f +-+=1211)(, 则f (x )在[0, +∞)内是连续的. 因为x x f +-='12121)(01211>+-+=xx , 所以f (x )在(0, +∞)内是单调增加的, 从而当x >0时f (x )>f (0)=0, 即 01211>+-+x x ,也就是 x x +>+1211.(2)设f (x )=x ln2-2ln x , 则f (x )在[4, +∞)内连续, 因为 0422ln 224ln 22ln )(=->-=-='e x x x f ,所以当x >4时, f '(x )>0, 即f (x )内单调增加.因此当x >4时, f (x )>f (4)=0, 即x ln2-2ln x >0,也就是2x >x 2.8.求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间: (1) y =x 3-5x 2+3x +5 ; (2) y =xe -x ;(3) y =(x +1)4+e x .解 (1)y '=3x 2-10x +3, y ''=6x -10. 令y ''=0, 得35=x .因为当35<x 时, y ''<0; 当35>x 时, y ''>0, 所以曲线在]35 ,(-∞内是是凸的, 在) ,35[∞+内是凹的, 拐点为)2720,35(.(2)y '=e -x -x e -x , y ''=-e -x -e -x +x e -x =e -x (x -2). 令y ''=0, 得x =2.因为当x <2时, y ''<0; 当x >2时, y ''>0, 所以曲线在(-∞, 2]内是凸的, 在[2, +∞)内是凹的, 拐点为(2, 2e -2).(3)y '=4(x +1)3+e x , y ''=12(x +1)2+e x .因为在(-∞, +∞)内, y ''>0, 所以曲线y =(x +1)4+e x 的在(-∞, +∞)内是凹的, 无拐点.9.求函数的极值:(1) y =2x 3-6x 2-18x +7； (2) y =x -ln(1+x )； (3) y =-x 4+2x 2 .解 (1)函数的定义为(-∞, +∞), y '=6x 2-12x -18=6(x 2-2x -3)=6(x -3)(x +1), 驻点为x 1=-1, x 2=3. 列表可见函数在x =-1处取得极大值17, 在x =3处取得极小值-47.(2)函数的定义为(-1, +∞), xxx y +=+-='1111, 驻点为x =0. 因为当-1<x <0时, y '<0; 当x >0时, y '>0, 所以函数在x =0处取得极小值, 极小值为y (0)=0.(3)函数的定义为(-∞, +∞),y '=-4x 3+4x =-4x (x 2-1), y ''=-12x 2+4, 令y '=0, 得x 1=0, x 2=-1, x 3=1.因为y ''(0)=4>0, y ''(-1)=-8<0, y ''(1)=-8<0, 所以y (0)=0是函数的极小值, y (-1)=1和y (1)=1是函数的极大值.10.求下列函数的最大值、最小值: (1) y =2x 3-3x 2 , -1≤x ≤4;(2) y =2x 3-6x 2-18x -7(1≤x ≤4).解 (1)y '=6x 2-6x =6x (x -1), 令y '=0, 得x 1=0, x 2=1. 计算函数值得 y (-1)=-5, y (0)=0, y (1)=-1, y (4)=80,经比较得出函数的最小值为y (-1)=-5, 最大值为y (4)=80.(2) y '=6x 2-12x -18=6(x -3)(x +1), 函数f (x )在1≤x ≤4内的驻点为x =3. 比较函数值:f (1)=-29, f (3)=-61, f (4)=-47,函数f (x )在x =1处取得最大值, 最大值为f (1)=-29.11.某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图), 截面的面积为5m 2, 问底宽x 为多少时才能使截面的周长最小, 从而使建造时所用的材料最省？解设矩形高为h , 截面的周长S , 则5)2(212=⋅+πx xh , x x h 85π-=.于是xx x x h x S 10422++=++=ππ(π400<<x ), 21041xS -+='π.令S '=0, 得唯一驻点π+=440x .因为0203>=''xS , 所以π+=440x 为极小值点, 同时也是最小值点. 因此底宽为π+=440x 时所用的材料最省. 12.从一块半径为R 的圆铁片上挖去一个扇形做成一漏斗(如图), 问留下的扇形的中心角ϕ取多大时, 做成的漏斗的容积最大？解漏斗的底周长l 、底半径r 、高h 分别为 l =R ⋅ϕ, πϕ2R r =, 222242ϕππ-=-=Rr R h .漏斗的容积为22223242431ϕππϕπ-==R hr V (0<ϕ<2π).2222234)38(24ϕπϕπϕπ--⋅='R V ，驻点为πϕ362=. 由问题的实际意义, V 一定在(0, 2π)内取得最大值, 而V 在(0, 2π)内只有一个驻点, 所以该驻点一定也是最大值点. 因此当ϕ π362=时, 漏斗的容积最大.13.一房地产公司有50套公寓要出租. 当月租金定为1000元时, 公寓会全部租出去. 当月租金每增加50元时, 就会多一套公寓租不出去, 而租出去的公寓每月需花费100元的维修费. 试问房租定为多少可获最大收入？解房租定为x 元, 纯收入为R 元.当x ≤1000时, R =50x -50⨯100=50x -5000, 且当x =1000时, 得最大纯收入45000元. 当x >1000时,700072501100)]1000(5150[)]1000(5150[2-+-=⋅---⋅--=x x x x x R ,72251+-='x R . 令R '=0得(1000, +∞)内唯一驻点x =1800. 因为0251<-=''R , 所以1800为极大值点, 同时也是最大值点. 最大值为R =57800.因此, 房租定为1800元可获最大收入.。

第03章微分中值定理与导数的应用习题详解

M 12丿」I 2丿第三章微分中值定理与导数的应用习题3-11.解：(1)虽然 f(x)在［—1,1］上连续，f(—1) = f(1)，且 f(x)在(—1,1)内可导。

可见，f(x)在［_1,1］上满足罗尔中值定理的条件，因此，必存在一点匕€(-1,1)，使得f 牡)=0，即:f(X)=cosx, F(X)=1 — sin X 且对任一 x 乏0,—】，F'(X)H 0, ”■. f (x),F (x)满足柯西 I 2丿中值定理条件。

—12©宀2=0，满足、； (2)虽然f(x)在［—1,1］上连续,f(_1)= f (1)，但 f (x)在(—1,1)内 x = 0点不可导。

可见，f (x)在［ —1,1］上不满足罗尔中值定理的条件，因此未必存在一点 £ £ (_1,1)，使得 f 徉)=0. 2.因为函数是一初等函数，易验证满足条件 3 3 .解：令 y = 3arccos x - arccos(3x - 4x 3), y ‘ = 一 23 —12x 2厂工®®3)2，化简得 y'=0,「. y =c ( C 为常数)，又 y(0.5)=兀，故当-0.5<x<0.5，有 y(x)=兀。

「兀f f 兀、 4 .证明：显然f(x), F(x)都满足在'|0,二I 上连续，在10,二内可导L 2」 I 2丿 c oxsn ——x、、2丿F Q-F(O)12丿兀--1 2F( x) -1 sixn_c O 弓-x厂(X )_F(x) ZL"2 /兀 X ,，即 tan I - -- U--1，此时l 4 2丿 2f JI「兀X = 2 I — -arctan l — -1L 4l 2显然萨〔0,-〕，即丿」 I 2丿5.解：因为f(0) = f (1)= f (2) = f (3) =0，又因为f(x)在任一区间内都连续而且可导, 所以f (X)在任一区间 0,1 ], 1,2], [2,3]内满足罗尔中值定理的条件，所以由罗尔定理，得:3" -(0,1), "^(1,2), ©-(2,3),使得：f 徉1 )= 0 r =) &：◎(=), 30 因为6.证明：设f(x) =0的n+1个相异实根为X o V X 1 <X 2 <H( <X n则由罗尔中值定理知：存在J (i =1,2,川n):X0 <：勺1cj ■<X2 vill <-1^Xn ，使得再由罗尔中值定理至少存在So =1,2,川n-1):上11 C 巴21 V ©2 吒 W ©3 V i 11 < J n d W G n ,使得7.解：反证法，倘若 p(X)=0有两个实根，设为X^X 2，由于多项式函数 p(x)在[X 1,X 2]上连续且可导，故由罗尔中值定理存在一点E€(X I ,X 2),使得P 徉)=0,而这与所设p'(x)=0没有实根相矛盾，命题得证。

微积分第三章习题解答

第三章习题解答习题 3-11. 验证函数()f x =在区间[0,4]上满足罗尔定理的条件，并求出使得结论成立的点ξ。

解：显然函数()f x =[0,4]上连续，在(0,4)上可导，且有(0)(4)0f f ==所以函数在区间[0,4]上满足罗尔定理，则有()0f ξ'==，83ξ=。

2. 验证函数3()1f x x =-在区间[1,2]上满足拉格朗日中值定理的条件，并求出使得结论成立的ξ。

解：函数3()1f x x =-在区间[1,2]上连续，在(1,2)上可导，则满足拉格朗日中值定理，则有2(2)(1)321f f ξ-=-，即ξ=3. 函数4()1f x x =-与2()g x x =在区间[1,2]上是否满足柯西中值定理的所有条件，如满足，求出满足定理的数值ξ。

解：函数4()1f x x =-与2()g x x =在区间上连续，在区间(1,2)上可导，则满足柯西中值定理，则有3(2)(1)4(2)(1)2f f g g ξξ-=-，即ξ=4. 若4次方程432012340a x a x a x a x a ++++=有4个不同的实根，证明3201234320a x a x a x a +++=的所有根皆为实根。

证明：设43201234()f x a x a x a x a x a =++++，()0f x =的四个实根分别为1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则函数()f x 在1[,](1,2,3)i i x x i +=上满足罗尔定理的条件，则在1(,)i i x x +内至少存在一点i ξ，使得()0i f ξ'=。

这说明方程3201234320a x a x a x a +++=至少有3个实根，而方程为3次方，则最多也只有3个实根，所以结论得到证明。

5. 设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(1)0f =，证明：存在(0,1)ξ∈，使得()()f f ξξξ'=-。

高等数学（林伟初）习题详解习题详解-第3章导数与微分

习题3-11．设某产品的总成本C 是产量q 的函数:2+1C q =，求 (1) 从100q =到102q =时，自变量的改变量q ∆； (2) 从100q =到102q =时，函数的改变量C ∆； (3) 从100q =到102q =时，函数的平均变化率； (4) 总成本在100q =处的变化率. 解：(1) q ∆=102-100=2,(2) (102)(100)C C C ∆=-=22102+1)-(100+1)=404((3) 函数的平均变化率为00()()4042022C q q C q C q q +∆-∆===∆∆. (4) 总成本在100q =处的变化率为100()(100)lim 100q C q C q →--22100100100lim lim (100)200100q q q q q →→-==+=- 2．设()f x =(4)f '.解44()(4)(4)lim4x x f x f f x →→-'==-412x →==3．根据函数导数定义，证明(cos )sin x x '=-.证根据函数导数定义及“和差化积”公式，得0cos()cos (cos )limh x h x x h →+-'=0sin2limsin()22h hhx h →=-+⋅sin x =-.4．已知()f a k '=，求下列极限：(1) 0()()lim;x f a x f a x→-- (2) 0()()lim x f a x f a x x→+--解 (1) 00()()()()limlim ();x x f a x f a f a x f a f a k x x →→----'=-=-=-- (2) 0()()lim x f a x f a x x →+--=0()()()()lim x f a x f a f a f a x x →+-+--00()()()()lim lim x x f a x f a f a x f a x x→→+---=+-()()2f a f a k ''=+= 5．已知.0)0(=f (0)1f '=，计算极限0(2)lim.x f x x→ 解 00(2)(2)(0)lim=2lim 2(0)22x x f x f x f f x x →→-'== 6．求下列函数的导数： (1) 5y x =；(2) y =(3) x y e -=； (4) 2x x y e =; (5) lg y x =；(6) sin 4y π=解(1) ()545x x '=；(2) 31443()4x x -''==；(3) 1()ln x x x e e e e ----'==-；(4) (2)[(2)](2)ln(2)2(ln 21)x x x x x x e e e e e ''===+;(5) 1(lg )ln10x x '=； (6)(sin )04π'=7．问函数⎩⎨⎧=,,sin )(x x x f 00≥<x x 在0=x 处是否可导？如可导，求其导数.解考察0=x 处的左、右导数(0)f -'=0(0)(0)lim h f h f h -→+-0sin lim 1,h hh-→==(0)f +'=0(0)(0)lim h f h f h+→+-0lim 1h h h +→==, 所以，函数在0=x 处的可导，且(0)1f '=.8．讨论函数2,0()2,011,1x x f x x x x x ⎧-≤⎪=<<⎨⎪+≥⎩在点0=x 和1x =处的连续性与可导性.解 (1)考察0=x 处的左、右导数(0)f -'=0(0)(0)lim h f h f h-→+-0lim 1,h hh -→-==-(0)f +'=0(0)(0)limh f h f h+→+-02lim 2h hh +→==, 所以，函数在0=x 处不可导；又0lim ()lim ()0(0)x x f x f x f -+→→===,所以，函数在0=x 处连续. (2) 考察1x =处的左、右导数(1)f -'=1()(1)lim 1x f x f x -→--122lim 2,1x x x -→-==-(1)f +'=1()(1)lim 1x f x f x +→--21(1)2lim 2,1x x x +→+-==- 所以，函数在1x =处的可导，且(1)2f '=.9．求等边双曲线x y 1=在点⎪⎭⎫⎝⎛2,21处的切线的斜率, 并写出在该点处的切线方程和法线方程.解由导数的几何意义，得切线斜率为31/21x x k y x =='⎛⎫'== ⎪⎝⎭1/2214x x ==-=-.所求切线方程为,⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-2142x y 即.044=-+y x法线方程为,⎪⎭⎫⎝⎛-=-21412x y 即.01582=+-y x10．求曲线ln y x =在点(),1e 处的切线与y 轴的交点. 解曲线ln y x =在点(),1e 处的切线斜率为111x x ek y x e==⎛⎫'=== ⎪⎝⎭故切线方程为11()y x e e-=-.上式中，令0x =，得0y =.所以，曲线ln y x =在点(),1e 处的切线与y 轴的交点为()0,0.习题3-21．求下列函数的导数：(1) 23sin y x x x =+-；(2) y =；(3) ln 2s t +； (4) cos ln y x x x =⋅(5) 11x y x +=-； (6) 21x e y x =+解 (1) y '=23cos x x +-;(2) 57332422()2()()353y x x x x x x ----''''=+-=+-;(3) sin )0s t t '''=+=t ; (4) cos ln (cos )cos (ln )y x x x x x x x ''''=⋅+⋅cos ln sin ln cos x x x x x x =⋅-⋅+ (5) 22(1)(1)(1)(1)2(1)(1)x x x x y x x ''+--+--'==--； (6) 22222()(1)(1)1(1)x x xe e x x e y x x ''+-+'==++ 222222(1)2(1)(1)(1)x x xe x xe x e x x +--==++ . 2．求下列函数在给定点处的导数： (1) arccos ,y x x =求12x y ='；(2) tan sec ρθθθ=+，求4;d d πθρθ=(3) ()f x =(0)f '. 解 (1) y '=arccos +(arccos )x x x x ''=arccos x12x y ='=11arccos2-3π(2)2d tan sec sec tan d ρθθθθθθ=++4d 121d 4πθρπθ==+⋅+=2π(3) 331()ln(1)22x f x x e =-+，333()22(1)x f x e '=-+ 故(0)f '333(0)22(11)4f '=-=+3．曲线32y x x =-+上哪一点的切线与直线210x y --=平行？解 231y x '=-,令2y '=，即231=2x -，得=1x 或=-1x ，代入原曲线方程都有：2y =，故所求点为：()1,2或()-1,2.4．求下列函数的导数： (1) x y sin ln =；(2) 310(1)y x =-；(3) 23(cos )y x x =+；(4) y =(5) 22sin sin y x x =⋅； (6) 2tan[ln(1)]y x =+ ；(7) 1sin 2x y = ;(8)ln x xy e=；(9)ln(y x =；(10))0(arcsin 22222>+-=a ax a x a x y 解(1) y '=()1sin sin x x '⋅cos cot sin x x x==； (2) 39323910(1)(1)30(1)y x x x x ''=--=-； (3) 2223(cos )(cos )y x x x x ''=++223(cos )(12cos (sin ))x x x x =++⋅-223(cos )(1sin 2)x x x =+-；(4) 211ln(2)ln(1)32y x x ==--+y '=221(1)3(2)21x x x '-+-+=213(2)1x x x --+; (5) 2222sin cos sin sin cos 2y x x x x x x '=⋅+⋅⋅222sin 2sin 2sin cos x x x x x =⋅+⋅；(6) 222sec [ln(1)][ln(1)]y x x ''=+⋅+=222222212sec [ln(1)](1)sec [ln(1)]11x x x x x x'+⋅+=+++ ； (7) 1sin 12ln 2(sin )xy x ''=⋅=1sin 112ln 2cos ()xx x'⋅1sin22ln 21cos xx x =-;(8)ln ()ln x x x y e x ''= ln 2ln (ln )ln x x x x x x e x ''-==ln 2ln 1ln xx x e x-；(9)y x ''=22'==+；(10)22y '=22=+5．已知)(u f(1) (csc )y f x =； (2) (tan )tan[()]y f x f x =+.解 (1) (csc )(csc )y f x x '''=⋅=(csc )csc cot f x x x '-⋅⋅ (2) 2(tan )(tan )sec [()]()y f x x f x f x ''''=⋅+⋅=22sec (tan )sec [()]()x f x f x f x ''⋅+⋅.习题3-31．求下列由方程所确定的隐函数()y y x =的导数d d y x： (1) 4444x y xy -=-； (2)； sin cos()0y x x y +-=;(3) sin 0x y e e xy --=；(4) arctan y x=.解 (1)方程两边同时对自变量x 求导，得33d d 4444d d y y x y y x x x -=--, 整理得 33d ()d y y x x y x -=+,故33d d y x y x y x+=-； (2) d d cos sin sin()(1)0d d y yy x x x y x x+⋅--⋅-= 整理求得d d y x =sin()cos sin()sin x y y xx y x---+(3) d d cos ()0d d x y y y e exy y x x x--+= 求得 d d y x =cos cos x y e y xy e x xy-+(4)2222111.(22)21()xy y x yy y x x y x'-'=+++ 整理求得 2222xy y x yy x y x y ''-+=++ 故 d d y x =x yx y+-.2．求曲线3335x xy y ++=在点(1,1)处的切线方程和法线方程.解方程两边同时对自变量x 求导，得2233330x y xy y y ''+++=解得 d d y x =22y x y x+-+，在点(1,1)处，(1,1)1y '=-，于是，在点(1,1)处的切线方程为 11(1)y x -=--，即20x y +-=, 法线方程为 11(1)y x -=-即y x =.3．用对数求导法求下列各函数的导数d d y x: (1) sin (0)x y x x =>； (2) a x x y x a x =++；(3) y =(4) (sin )(cos )y x x y =.解 (1)等式两边取对数ln sin ln y x x =⋅两边对x 求导得11cos ln sin ,y x x x y x'=⋅+⋅ 故 s i n d 1cos ln sin d x y x x x x x x ⎛⎫=⋅+⋅ ⎪⎝⎭. (2) ()1ln a x x y ax a a x -''=++()1ln ln 1a x x axa a x x x -=++⋅+(3) []1ln(1)ln(2)ln(3)ln(4)2y x x x x =-+----- 11111121234y y x x x x ⎛⎫'=+-- ⎪----⎝⎭得11111234y x x x x ⎫'=+--⎪----⎭.(4) lnsin ln cos y x x y =lnsin cot ln cos tan y x y x y x y y ''+=-⋅ d d y x =ln cos cot tan ln sin y y x x y x-+ 4．求下列参数方程所确定的函数的导数d d yx：(1) 221x t t y t ⎧=-⎨=-⎩； (2) 33cos sin x a y a θθ⎧=⎨=⎩. 解 (1) d ()d ()y y t x x t '='212t t -=- (2) 22d ()3sin cos d ()3cos (sin )y y a x x a θθθθθθ'⋅=='⋅-=tan θ- 5．求椭圆6cos 4sin x t y t=⎧⎨=⎩在4t π=相应点处的切线方程.解 d ()d ()y y t x x t '='()()4sin 4cos 2cot 6sin 36cos t t t t t '===--'.4t π=时，切线斜率为4d 2d 3t yxπ==-，()4x π=()4y π=.故所求切线方程为2(3y x -=-- .习题3-41．求函数2x y =当x 由1改变到1.005的微分. 解因为d d 2d ,y y x x x '== 由题设条件知 1x =，d 1.00510.005x x =∆=-= 故所求微分为 d 210.0050.0y =⨯⨯= 2．求函数sin 2y x =在0x =处的微分. 解所求微分为00d (sin 2)d 2cos2d x x y x x x x =='===2d x 3．求下列各微分d y : (1) 3cos x y e x =； (2) 2sin 2xy x =； (3) 2ln(1)x y e-=+；(4) y = (5) 23xy e x y =+；(6) 221xy x y +=.解 (1) 33d cos d()d(cos )x x y x e e x =+=33cos 3d sin d xxx e x e x x ⋅-⋅=3(3cos sin )d x e x x x -；(2) 22244dsin 2sin 2d 2cos 2d 2sin 2d d x x x x x x x x xy x x x --== 32(cos 2sin 2)d x x x x x-=； (3) 222212d d(1)d 11x xx x xe y e xe ----=+=-++；(4) d y =2)x =+=(5)方程两边对求微分(d d )3d 2d xy e x y y x x y y +=+.整理得 (2)d (3)d xy xy xe y y ye x -=-解得 3d d 2xyxy ye y x xe y-=-；(6) 方程两边对求微分22d 2d 2d d =0y x xy y xy x x y +++.整理得 22(2)d (2)d xy x y y xy x +=-+解得 222d d 2xy y y x x xy+=-+4．计算下列各数的近似值:(1) 0.03e ；(2)解(1) 0.0310.03e ≈+=1.03；(2)==112(1)516=≈-⋅=1.975. 5．在下列等式的括号中填入适当的函数, 使等式成立.(1) d()3d x =; (2) d()2d x x =;(3) d()sin d t t ω=； (4) 2d(cos )(x =.解(1) 3x c +;(2) 2x c +;(3) 1cos t ωω-；(4) 22d(cos )2sin d x x x x =-x = 即d x =，故22d(cos )4x x =-.习题3-51．求下列函数的二阶导数：(1) 38cos y x x x =+-； (2) 2(1)arctan y x x =+； (3) 2x y xe =；(4) x y x =.解(1) 238sin y x x '=++,6cos y x x ''=+； (2) y '=2arctan 1x x +,y ''=222arctan 1xx x ++； (3) y '=2222x x e x e +,y ''=2222244x x x xe xe x e ++=222(32)x xe x +；(4) ln ln y x x =,1ln 1y x y'=+,y '=(ln 1)x x x + y ''=21()(ln 1)(ln 1)(1ln )x x x x x x x x x x x -''+++=++2. 验证函数2312x xy C e C e -=+(其中12,C C 为任意常数)满足方程60y y y '''+-=.证：23122-3x x y C e C e -'=,231249x x y C e C e -''=+232323121212(49)(2-3)6()x x x x x x C e C e C e C e C e C e ---++-+0=. 3．设函数()y f x =二阶可导，求下列函数的二阶导数： (1) (sin )y f x =； (2) 2(ln )y x f x =.解 (1)求导数d (sin )(sin )cos (sin )d yf x x x f x x'''=⋅=⋅，于是22d (cos )(sin )cos (sin )(sin )d yx f x x f x x x'''''=⋅+⋅⋅ =2cos (sin )sin (sin )x f x x f x '''⋅-⋅ (2) d 2(ln )(ln )d y xf x xf x x '=+22d d yx =2(ln )2(ln )(ln )(ln )f x f x f x f x ''''+++=2(ln )3(ln )(ln )f x f x f x '''++. 4．对下列方程所确定的函数)(x y y =求22d d yx：(1) 2y e xy e +=；(2) arctan y x=.解 (1)方程两边对x 求导0y e y y xy ''++=得 yyy e x'=-+. 因此求得222d ()(1)d ()y y y y y e x y e y x e x ''+-⋅+=-+ =2()(1)()y y y y y y y e x y e e x e x e x --+-⋅+++-+=2322()y y y xy ye y e e x +-+；(2) 方程两边对x 求导2222211()1xy yx yy y x yx x'-'+=++得 x yy x y+'=-. 因此求得222d (1)()()(1)d ()y y x y x y y x x y ''+--+-=- = 2232()()x y x y +-5．对下列参数方程所确定的函数)(x y y =求22d d yx：(1) 2323x t t y t t⎧=-⎪⎨=-⎪⎩(1)t ≠； (2) ⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x . 解(1) d ()d ()y y t x x t '='2333(1)222t t t -==+-. 故 22d d y x 3(1)222t t '+=-=34(1)t -； (2) d ()d ()y y t x x t '='()()1cos sin 1cos sin a t t ta t t '-==-'-. 故 22d d yxsin ()1cos (1cos )t t a t '-=- 2cos (1cos )sin sin (1cos )(1cos )t t t tt a t --⋅-=-21(1cos )a t --).,2(Z n n t ∈≠π 6．求下列函数的n 阶导数：(1) 2sin y x =； (2) ln(1)y x =+； (3) 112-=x y ； (4) (1)(2)()y x x x x n =+++ .解(1) 2()()1cos 2(sin )()2n n x x -=1cos 211()2(sin 2)2cos 2,2222x x x π-⎛⎫'=-⋅-=-⋅+ ⎪⎝⎭221cos 211()2sin 22cos 2,222222x x x πππ+⎡⎤⎛⎫⎛⎫''=-⋅-+=-⋅++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2()()1cos 2(sin )()2n n x x +==12cos(2)2n n x π--+；(2) []1ln(1)1x x '+=+[]21ln(1)(1)x x ''+=-+ ,[](3)32ln(1)(1)x x +=+ []()1(1)!ln(1)(1)(1)n n nn x x --+=-+； (3) 21111()1211y x x x ==---+, 故()11(1)!112(1)(1)n n n n n y x x ++⎡⎤-=-⎢⎥-+⎣⎦; (4) 1(1)(2)()(12)n n y x x x x n xn x +=+++=+++++()(1)(1)!!()(1)!22n n n ny n x n x n +=++=++ 复习题3（A ）1．已知0()f x k '=(k 为常数)，则(1) 000(2)()limx f x x f x x∆→+∆-=∆;(2) 001lim [()()] n n f x f x n→∞+-=(3) 000()(2)lim h f x h f x h h→+--=.1.解 (1)2k ; (2) k ; (3) 3k .(1) 000000(2)()(2)()lim 2lim 2x x f x x f x f x x f x x x∆→∆→+∆-+∆-=∆∆=2k ;(2) 00001()()1lim [()()]lim 1n n f x f x n n f x f x nn→∞→∞+-+-==k ;(3) 000()(2)lim h f x h f x h h →+--=00000()()()(2)lim h f x h f x f x f x h h →+-+--000000()()(2)()lim +2lim 2h h f x h f x f x h f x h h→→+---=-=3k . 2．函数)(x f y =在点0x 处的左导数0()f x -'和右导数0()f x +'都存在，是()f x 在0x 可导的( )A . 充分必要条件；B . 充分但非必要条件；C . 必要但非充分条件；D . 既非充分又非必要条件. 2 ．答C . ()f x 在0x 可导的充分必要条件是0()f x -'和0()f x +'都必须存在且相等；反之，0()f x -'和0()f x +'都存在，不能保证()f x 在0x 可导.3．函数()sin f x x =在0=x 处 ()A . 可导；B . 连续但不可导；C . 不连续；D . 极限不存在.3．答B . 函数()sin f x x =在0=x 连续；但(0)1(0)1f f -+''=-≠=，故()s i n f x x =在0=x 不可导.4．设()f x 对定义域中的任意x 均满足(1)()f x mf x +=，且(0)f n '=则必有 ( )A . (1)f '不存在；B . (1)f m '=；C . (1)f n '=；D . (1)f mn '=.4．答D . 0(1)(1)(1)limh f h f f h→+-'=00()(0)()(0)lim lim h h mf h mf f h f m h h →→--== (0)mf mn '==5．解答下列各题：(1)设ln 2y =，求y '；(2) 设a x x a y x a x a =+++(0,1)a a >≠，求d d y x； (3)设22()x y x f e =⋅，)(u f 可导，求d y ；(4) y =d d y x ；(5) 求曲线sin()0xy x y -+=在点(0)π，的切线与法线方程;(6) 已知函数)(x y y =由方程 ⎩⎨⎧==ta y t a x 33sin cos 确定，求d d y x ，22d d y x ; (7) 设(sin )cos 2csc f x x x '=+，求()f x '';(8) 设31x y x =+，求()n y (3)n ≥.5.解(1)y '=22=2cot x x ⋅(2) y '=1ln ()a x x ax a a x -'++由对数求导法，可求得()(1ln )x x x x x '=+故y '=1ln (1ln )a x x ax a a x x -+++； (3) 2222d 2d ()()d x x x y x x f e x f e e '=⋅+⋅=22222()d ()2d x x x xf e x x f e e x '+⋅⋅ =2222[()()]d x x x x f e xe f e x '+⋅；(4)取对数 1ln ln (ln ln )(ln ln )2b y x b a x a x b a ⎡⎤=+-+-⎢⎥⎣⎦两边求导 1y y '=1ln 2b b a a x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭故y '=1ln 2b a b ax -⎛⎫+ ⎪⎝⎭(5) 两边求导cos()(1)0y xy x y y '+-++=得cos()cos()x y yy x x y +-'=-+，故(0)1+1y ππ-'=，因此切线方程为 1()1y x ππ=--+,法线方程为(1)()y x ππ=+-; (6) d ()d ()y y t x x t '='223sin cos 3cos (sin )a t t a t t ⋅=⋅-=tan t - 22d d y x 2(tan )3cos (sin )t a t t '-=⋅-22sec 3cos (sin )t a t t -=⋅-=4sec 3sin t a t； (7) 由21(sin )cos 2csc 12sin sin f x x x x x'=+=-+知21()12f x x x '=-+故()f x ''=214x x--;(8) 3321111111x x y x x x x x -+===-+++++ ()n y =1(1)!(1)n nn x +-⋅+(3)n ≥. 6．设函数2,(),ax b f x x +⎧=⎨⎩ 11x x <≥在1x =处可导，求,a b 的值.6．解：因可导必连续，所以211lim ()lim 1x x ax b x -+→→+==,得1a b += 考察1x =处的左、右导数(1)f -'=1()(1)lim 1x f x f x -→--111lim lim 11x x ax b ax a a x x --→→+--===--(1)f +'=1()(1)lim 1x f x f x +→--211lim 2,1x x x +→-==- 所以，得到2,1a b ==-.7. 设函数()g x 在x a =点连续, 且()()()f x x a g x =-, 证明()f x 在x a =的可导，并求出()f a '.7.证:因()g x 在x a =点连续,故lim ()()x ag x g a →=，又()()limx a f x f a x a →-- ()()0limlim ()()x a x a x a g x g x g a x a →→--===- 故()f x 在x a =的可导，()f a '=()g a8．验证函数12y C C e =+其中12,C C 为任意常数)满足方程420xy y y '''+-=.8．证：因12y C C e '=-,12121(4y C C e C C e x''=-++故12121424(4xy y y x C C e C C e x ⎡⎤'''+-=-++⎢⎥⎣⎦(121220C C e C C e ⎤+--+=⎥⎦232323121212(49)(2-3)6()x x x x x x C e C e C e C e C e C e ---++-+0=.（B ）1. 设函数()f x 在0x =连续，下列命题错误的是( )A . 若0()lim x f x x→存在，则(0)0f =；B . 若0()lim x f x x→存在，则(0)f '存在；C . 若0(2)()lim x f x f x x→+存在，则(0)0f =；D . 若0()()lim x f x f x x→--存在，则(0)f '存在.1.答：D .A .正确，因为0()limx f x x→存在，则0l i m ()=0x f x →，又()f x 在0x =连续，所以0(0)l i m ()=0x f f x →=； B .正确，因为若0()limx f x x →存在，则0()(0)(0)lim x f x f f x →-'==0()lim x f x x →存在；C .正确，因若0(2)()lim x f x f x x→+存在，则0lim (2)()=lim (2)lim ()=2(0)0x x x f x f x f x f x f →→→++=［］,故(0)0f =；D .错，如()f x x =, 0()()lim0x f x f x x→--=，但(0)f '不存在.2. 若21()lim (1)tx x f t t x→∞=+，则()f t '= .2. 2(12)t t e +，221()lim (1)txt x f t t te x→∞=+=,所以()f t '=2()t te '=2(12)t t e +.3．设周期函数()f x 在()-∞∞,周期为3，且0(1)(1)li m 13x f f xx→--=，则曲线)(x f y =在点(4(4))f ,的切线斜率为 .3． -3，00(4)(4)(1)(1)(4)limlim x x f x f f x f f x x →→+-+-'==0(1)(1)limx f f x x →-+=-=0(1)(1)lim x f f t t →--=-0(1)(1)3lim 33x f f x x→--=-=-, 4. 已知(1)(2)(10)()(1)(2)(10)x x x f x x x x ---=+++ ，求(1)f '.4. 解：(1)f '1()(1)lim 1x f x f x →-=-1(1)(2)(10)(1)(2)(10) lim 1x x x x x x x x →---+++=- 1(2)(10)1(2)(9)lim (1)(2)(10) 2391011x x x x x x →---⋅--==+++⋅⋅⋅ =1110 - 5.设()f a '存在，求()()lim x a xf a af x x a→--.5. 解：()()()()()()lim lim x a x a xf a af x xf a af a af a af x x a x a→→--+-=--()()()lim x a f x f a f a a x a→-=--=()()f a af a '-6.设()max{f x x =，在区间(02)，内求()f x '.6.解：()max{,f x x x ==⎪⎩0112x x <≤<<,考察1x =处的左、右导数(1)f -'=1()(1)lim 1x f x f x -→--1111lim lim ,12x x x --→→===-(1)f +'=1()(1)lim 1x f x f x +→--11lim 1,1x x x +→-==- 所以，函数在1x =处不可导.故所求导数为：1()1,f x ⎧⎪'=⎨⎪⎩0112x x <<<< 7. 设函数()g x 在0x x =点连续, 且()()f x x a g x =-, 讨论()f x 在0x x =的可导性.7. 解：0000000()()()()limlimx x x x x x g x f x f x f x x x x x →→--'==-- (1)若0()0g x ≠，则0000()lim x x x x g x x x →--不存在，此时()f x 在0x x =不可导(2)若0()0g x =，则0000()()lim 0x x x x g x f x x x →-'==-，此时()f x 在0x x =可导.8. 验证下列命题：(1) 若定义在()-∞∞,内以周期为T 的周期函数()f x 可微，则()f x '也是以周期为T 的周期函数.(2) 若函数()f x 在()a a -,内是可微奇(偶)函数，则()f x '()a a -,内必为偶(奇)函数. 8. 证: (1)因()()f x T f x +=,又0()()()lim h f x h f x f x h→+-'=,因此00()()()()()lim lim h h f x T h f x T f x h f x f x T h h→→++-++-'+===()f x '(2) 若函数()f x 在()a a -,内是可微奇函数，则有0()()()lim h f x h f x f x h →-+--'-=0()()lim h f x h f x h →--+=0()()lim h f x h f x h→--=-=()f x ', 即证得：若函数()f x 在()a a -,内是可微奇函数，则()f x '()a a -,内必为偶函数. 同理可证得：若函数()f x 在()a a -,内是可微偶函数，则()f x '()a a -,内必为奇函数.9. 设函数()f x 可微，且()()()2f x y f x f y xy +=+-，(0)3f '=，求()f x . 9. 解：由()()()2f x y f x f y xy +=+-，令0x y ==,则(0)(0)(0)f f f =+，得(0)0f =()()()limy f x y f x f x y →+-'=0()()2()limy f x f y xy f x y→+--= 0()lim2y f y x y→=-(0)232f x x '=-=-因此()f x 23x x C =-+(C 为任意常数)，又(0)0f =则C =0，故()f x 23x x =- 10. 设在()-∞∞,内函数()f x 有定义, 且(0)0f =，(0)f C '=(0C ≠)，又2()s i n c o s xg x e x x =+, 对任意,x y 有关系式()()()()()f x y f x g y f y g x +=+成立，证明()()f x C g x '=⋅10. 证：0()()()lim y f x y f x f x y →+-'=0()()()()()lim y f x g y f y g x f x y→+-=00()1()()lim()limy y g y f y f x g x y y →→-=+00()(0)()(0)()lim ()limy y g y g f y f f x g x y y→→--=+ =()(0)()(0)f x g g x f ''+又 2()sin sin 2sin x x g x e x e x x '=+-，得(0)0g '= 故 ()()f x C g x '=⋅.。

高数上册第三章微分中值定理和导数的应用习题答案

《高等数学教程》第三章习题答案习题3-1 (A)1. 34=ξ 2. 14-=πξ习题3-2 (A)1. (1)31 (2) 81- 1)12()11()10(1)9(31)8(21)7()6(21)5(1)4(3)3(31e e --∞习题3-2 (B)1. n a a a e e 21)8(1)7(0)6(2)5(21)4(32)3(1281)2(41)1(--2. 连续4. )(a f ''5. )0()1(g a '=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+''≠--+'='0]1)0([210]c o s )([]s i n)([)()2(2x g x x x x g x x g x x f(3) 处处连续.习题3-31. 432)4()4(11)4(37)4(2156)(-+-+-+-+-=x x x x x f2. 193045309)(23456+-+-+-=x x x x x x x f3. )40(,)(cos 3]2)()[sin sin(31tan 4523<<+++=θθθθx x x x x x x4.)10()]4(4[16!4)4(15)4(5121)4(641)4(412432<<-+---+---+=θθx x x x x x5. )10()(!)1(2132<<+-++++=θn nxx O n x x x x xe6. 645.1≈e7. 430533103.1;3090.018sin )2(1088.1;10724.330)1(--⨯<≈⨯<≈R R8. 121)3(21)2(23)1(-习题3-4 (A)1. 单调减少2. 单调增加3. .),23()23,()1(内单调下降在内单调上升；在+∞-∞.),2[]2,0()2(内单调增加在内单调减少；在+∞ .),()3(内单调增加在+∞-∞.),21()21,()4(内单调增加在内单调减少；在+∞-∞ .),[]0[)5(内单调下降在上单调上升；，在+∞n n7. (1) 凸 (2) 凹（3）内凸内凹，在在),0[]0,(+∞-∞ （4）凹 8. ），（内凹，拐点内凸，在）在（82),2[]2,(1-+∞-∞ ），（内凹，拐点内凸，在）在（222),2[]2,(2e+∞-∞ 内凹，无拐点）在（),(3+∞-∞），（），（：内凹，拐点，内凸，在），，）在（2ln 1;2ln 1]11[1[]1,(4--∞+--∞ ），（内凸，拐点内凹，在）在（3arctan 21),21[]21,(5e +∞-∞ ），（凹，拐点），、凸，在、）在（001[]0,1[]1,0[]1,(6∞+---∞ 9. 29,32=-=b a10. a = 3, b = -9, c = 811. a = 1, b = -3, c = 24, d = 16习题3-4 (B)1. .)1,21(),1()21,0()0,()1(内单调增加在内单调减少；、、在∞+-∞.]22,32[]32,2[)2(内单调下降在内单调上升；在πππππππ+++k k k k .],32[),[]32,()3(内单调下降在内单调上升；、在a a a a ∞+-∞ 2. .1)3(10)2(1)1(是有一个实根时有两个实根时无实根ea e a e a =<<>3. .)2,0(内只有一个实根在π8. .9320时及当=≤k k 9. 在）（凹，拐点凹，在2,),[],(a b b b +∞-∞ 12. 82±=k 习题3-5 (A)1. .1)2(,5)0()1(==y y 极小值极大值.0)0(,4)2()2(2==-y e y 极小值极大值.25)16(,1)4()3(==y y 极小值极大值.205101)512()4(=y 极大值.45)43()5(=y 极大值.0)0()6(=y 极小值 (7) 没有极值. .)()8(1e e e y =极大值.3)1()9(=y 极大值.0)5()1(,18881)21()10(3==-=y y y 极小值极大值2. .14)2(,11)3()1(-==y y 最小值最大值.22)2ln 21(,2)1()2(1=-+=-y e e y 最小值最大值.2ln )41(,0)1()3(-==y y 最小值最大值3. 提示：可导函数的极值点必为驻点，.在题设条件下无驻点所以可证明y '4. .29)1(-=y 最大值5. .27)3(=-y 最小值6. .3)32(,2为极大值==f a7. .21,2-=-=b a8. 长为100m ，宽为5m.9. .1:1:;22,233===h d v h v r ππ 10. .44ππππ++aa ，正方形周长为圆的周长为11. .3843a a h π时，最小体积为锥体的高为=12. .22.1.776小时时间为公里处应在公路右方13. .6000)2(1000)1(==x x14. .45060075.3元件，每天最大利润为元，进货量为定价为 15. .167080,101利润=p习题3-5 (B)1. 1,0,43,41==-==d c b a 2. x = 1为极小点，y (1) = 1为极小值3. 当c = 1时，a = 0，b = -3，当c = -1时，a = 4，b = 5.4. 296)(23++-=x x x x P5. (1) f (x ) 在x = 0处连续；(2) 当ex 1=时，f (x ) 取极小值；当 x = 0时f (x ) 取极大值. 6. 310=x 当时，三角形面积最小7. 323)2()(11)1(032=--=-l x x x x y 8. .1222-≥<b b b b 时为，当时为当 9. 400 10.bc a 2 11. c a e bd L ae bd q -+-=+-=)(4)(,)(2)1(2最大利润eqedd -=η)2( ed q 21)3(==得当η 12. 2)2()4(25)1(=-=t t x 13. 156250元14. (1) 263.01吨 (2) 19.66批/年（3）一周期为18.31天（4）22408.74元15. 2)2()111(1)()1(-+-+=e n n n n M n16. 提示：.)1()1(ln )1()(22是极小值，证明令f x x x x f ---=习题3-6 (A)1. (1) x = 0, y = 1; (2) x = -1, y = 0; (3) x = -1, x = 1, y = 0 ; (4) x = 1, x = 2, x = -3.2. 略习题3-6 (B)1. ex y e x 1,1)1(+=-=（2）x= -1,x=1,y= -2 （3）y=x, x=0 （4）y= -2, x=0 4121,21)5(-=-=x y x2. 略习题3-7 (A)1. k=22. x x k sec ,cos ==ρ3. 02sin 32t a k =4. a a k t 4,41,===ρπ 5. 233)22ln ,22(处曲率半径有最小值- 习题3-7 (B)1. 略2. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=)2(),2(,332323132323131x a y y a x axyR 曲率圆心3. 8)2()3(22=++-ηξ4. 约1246 (N) [提示：作匀速圆周运动的物体所受的向心力为Rmv F 2=]5. 16125)49()410(22=-+--ηπξ 习题3-81.19.018.0<<ξ 2. 19.020.0-<<-ξ 3. 33.032.0<<ξ 4. 51.250.2<<ξ总复习题三一. (1)B (2)B (3)B (4)D (5)C (6)B (7)C (8)B (9)C (10)C] 二. 25)8(/82)7()0,1()6(3)5(63)4()22,22()3(2ln 1)2(2)1(3s cm π+--x x x xeyx y 4)1(,)1(4)10()9(2222+++=三. 9)3(0)2(3)1(,7541,6,50,40,31,221,123---e⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-''≠++-'='-0)1)0((210)1()()()()1(,82x g x x e x x g x g x x f x上连续在),()()2(+∞-∞'x f 9, 略四、证明题和应用题 6．)027.0,025.0()2(450449)1(7．)2,2(b a P8．12ln 31,2ln 3121-+ 9．%82.0%13)3(173)2(20)1(总收益增加，时，若价格上涨当=-p pp10．略。

第三章导数与微分习题

习题三1．根据导数的定义求下列函数的导数：（1）221x y -= （2）21x y = （3）32x y =2．给定函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c ，其中a 、b 、c 为常量，求：)(x f '，)0(f '，)21(f '，)2(a b f -' 3．一物体的运动方程为s ＝t 3＋10，求该物体在t ＝3时的瞬时速度。

4．求在抛物线y ＝x 2上点x ＝3处的切线方程。

5．自变量x 取哪些值时，抛物线y ＝x 2与y ＝x 3的切线平行？6．函数⎪⎩⎪⎨⎧≤-<≤+=x x x x x f 113101)(2在点x ＝1处是否可导？为什么？7．讨论函数y ＝x|x|在点x ＝0处的可导性。

8．用导数定义求⎩⎨⎧≥+<=0)1ln(1)(x s x xx f 在点x ＝0处的导数。

9．设⎩⎨⎧<<--+≤<-+=101101)1ln()(x xx x x x f 讨论f （x ）在x ＝0处的连续性与可导性。

10．函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠=0)1ln(1sin )(12x s x x x f x 在点x ＝0处是否继续？是否可导？11．讨论⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤<+≤<+≤=x xx x x x x x f 2212101201)(2在x ＝0，x ＝1，x ＝2处的连续性与可导性。

12．求下列各函数的导数（其中a ，b 为常量）：（1）532+-=x x y （2）b a x y +=（3）3412+-=xx y （4）2222x x y += （5）x x y 31-= （6）)12(2-=x x y（7）)11)(1(-+=x x y （8）x x y 2)1(+=（9）ba b ax y ++= （10）))((b x a x y --=（10）)1)(1(a b bx ax y ++=13．求下列各函数的导数（其中a ，b ，c ，d ，n 为常量）：（1）)3)(2)(1(+++=x x x y（2）x x y ln =（3）x x y n ln = （4）x y alog = （5）11-+=x x y （6）215xx y += （7）x x x y --=223 （8）n cx b a y += （9）x x y ln 1ln 1+-= （10）2211xx x x y +--+= 14．求下列各函数的导数：（1）x x x y cos sin += （2）xx y cos 1-=（3）x x x y tan tan -= （4）xx y cos 1sin 5+= （5）x x x x y sin sin += （6）x x x y ln sin ⋅= 15．求曲线x y sin =在点x ＝π处的切线方程。

导数与微分练习题及习题详细解答

第二章导数与微分练习题及习题详细解答练习题2.11．已知质点作直线运动的方程为23s t =+，求该质点在5t =时的瞬时速度．解由引例2.1可知，质点在任意时刻的瞬时速度d 2d sv t t==．代入5t =，得10v =． 2．求曲线cos y x =在点π(6处的切线方程和法线方程．解由导数的几何意义知，曲线cos y x =在π(6点切线的斜率 ππ661(cos )(sin )2x x k x x =='==-=-，所以，切线方程为1π()226y x -=--，即612π=0x y +-．法线方程为π2()6y x =-，即1262π=0x y -+． 3．讨论函数32,0()31,013,1x f x x x x x ⎧≤⎪=+<≤⎨⎪+>⎩在0x =和1=x 处的连续性与可导性．解在0x =处，0lim ()lim 22x x f x --→→==，0lim ()lim (31)1x x f x x ++→→=+=，由于0lim ()lim ()x x f x f x -+→→≠，所以不连续，根据可导与连续的关系知，也不可导．在1x =处，11lim ()lim(31)4x x f x x --→→=+=，311lim ()lim(3)4x x f x x ++→→=+=，(1)4f =，所以连续．又00(1)(1)3(1)lim lim 3x x f x f xf x x---∆→∆→+∆-∆'===∆∆， 2300(1)(1)33()()(1)lim lim 3x x f x f x x x f x x+++∆→∆→+∆-∆+∆+∆'===∆∆，所以可导．4．已知函数()f x 在点0x 处可导，且0()f x A '=，求下列极限：000(5)()(1)limx f x x f x x ∆→-∆-∆； 000(2)()(2)lim h f x h f x h →+-解（1）000000(5)()(5)()55()55limlim x x f x x f x f x x f x f x A x x ∆→∆→-∆--∆-'=-=-=-∆-∆;(2)000000(2)()(2)()22()22limlim h h f x h f x f x h f x f x A h h →→+-+-'===．5．求抛物线2y x =上平行于直线43y x =-+的切线方程．解由于切线平行于43y x =-+，所以斜率为4k =-．又2k y x '==，所以2x =-．对应于抛物线上的点为(2,4)-，所以切线方程为44(2)y x -=-+，即440x y ++=．练习题2.21．求下列函数的导数：（1）100(21)y x =-；（2）22e xxy +=；（3）sin(3π)y x =+；（4）2cos y x =；（5）2e sin x y x =；（6）2ln(1)y x =+；（7）tan 2y x =；（8）cot 3y x =；（9）arctan(31)y x =+；（10）arcsin(41)y x =+．解（1）9999100(21)(21)200(21)y x x x ''=--=-；（2）22222e (2)e (41)xxxxy x x x ++''=+=+；（3）cos(3π)(3π)3cos(3π)y x x x ''=+⋅+=+；（4）2cos (cos )2sin cos sin 2y x x x x x ''=⋅=-=-；（5）22222(e )sin e (sin )2e sin e cos e (2sin cos )xxxxxy x x x x x x '''=+=+=+；（6）22212(1)11x y x x x''=⋅+=++；（7）22sec 2(2)2sec 2y x x x ''=⋅=；（8）22csc 3(3)3csc 3y x x x ''=-⋅=-；（9）2213(31)1(31)1(31)y x x x ''=⋅+=++++；（10）(41)y x ''=+=2．设y =d d y x ．解对于y =[]1ln ln(1)ln(2)ln(3)ln(4)3y x x x x =+++-+-+ 两边对x 求导，得111111()31234y y x x x x '=+--++++ 所以1111()1234y x x x x '=+--++++ 3．求曲线31x ty t =+⎧⎨=⎩上，点(1,0)处的切线方程．解点(1,0)对应参数t 的值为0．设k 为曲线上对应(1,0)点的切线斜率，则32000d ()30d (1)1t t t y t t k x t ==='===='+，于是，所求切线方程为0y =，即x 轴．4．求由方程3330y x xy --=所确定的隐函数的导数d d y x．解方程两边对x 求导，可得22333()0y y x y xy ''--+=由上式解出y '，便得隐函数的导数为22x yy y x+'=-（20y x -≠）．练习题2.31．求下列函数的微分：（1）22sin 34y x x x =+-+；（2）2ln y x x x =-；（3）2(arccos )1y x =-；（4）arctan y x x =；（5）ln tan 2x y =；（6）sin ln 57xy x x x x=++-；（7）1cos 2xy -=；（8）3(e e )x x y -=+．解（1）22d (sin 34)d (2sin 23)d y x x x x x x x '=+-+=+-；（2）2d (ln )d (ln 12)d y x x x x x x x '=-=+-；（3）2d ((arccos )1)d y x x x '=-=；（4）2d (arctan )d (arctan )d 1xy x x x x x x '==++；（5）2111d (ln tan )d sec d d csc d 222sin tan 2x x y x x x x x x x '==⋅⋅==；（6）2sin cos sin d (ln 57)d (ln 6)d x x x xy x x x x x x x x-'=++-=++；（7）11cos cos d (2)d 2ln 2sec tan d xxy x x x x --'==-⋅；（8）32d (e e )d 3(e e )(e e )d x x x x x xy x x ---'⎡⎤=+=+-⎣⎦． 2．填空．（1）23d d()x x =（2）21d d()1x x =+ （3）2cos2d d()x x = （4）21d d()x x= 解（1）3x C +；（2）arctan x C +；（3）sin 2x C +；（4）1C x-+． 3解=()f x =064x =，1x ∆=．因为000()()()f x x f x f x x '+∆≈+∆，()f x ''==所以1188.062516=≈=+=．4．半径为10m 的圆盘，当半径改变1cm 时，其面积大约改变多少？解圆盘面积函数为2S πR =，并取0R 10m =，R 1cm 0.01m ∆==．因为 S 2πR '= 所以面积改变量2S dS 2πR R 2π100.010.2π0.628m ∆≈=⋅∆=⨯⨯=≈．习题二1．如果函数()f x 在点0x 可导，求：（1）000()()limh f x h f x h →--；（2）000()()lim h f x h f x h hαβ→+--．解（1）0000000()()()()limlim ()h h f x h f x f x h f x f x h h →-→----'=-=--；（2）00000000()()()()()()lim lim h h f x h f x h f x h f x f x f x h h hαβαβ→→+--+-+--=0000000()()()()limlim ()()h h f x h f x f x h f x f x h hαβαβαβαβ→→+---'=+=+-2．求函数3y x =在点(2,8)处的切线方程和法线方程．解由导数的几何意义，得3222()312x x k x x =='===切，112k =-法．所以，切线方程为812(2)y x -=-即12160x y --=．法线方程为18(2)12y x -=--即12980x y +-=．3．设2, 1(), 1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩，试确定,a b 的值，使()f x 在1x =处可导．解若()f x 在1x =处可导，则必在1x =处连续．1lim ()1x f x -→=，1lim ()x f x a b +→=+， 11lim ()lim ()x x f x f x -+→→=，即1a b +=．又2111()(1)1(1)limlim lim(1)211x x x f x f x f x x x ----→→→--'===+=--， 111()(1)1(1)(1)lim lim lim 111x x x f x f ax b a x f a x x x ++-+→→→-+--'====--- 所以 2a =，1b =-． 4．求下列各函数的导数：（1）231251y x x x =-++；（2）2sin y x x =；（3）1cos y x x =+；（4）1ln 1ln xy x-=+．解（1）23413(251)45y x x x x x''=-++=++；（2）22(sin )2sin cos y x x x x x x ''==+；（3）221(cos )sin 1()cos (cos )(cos )x x x y x x x x x x '+-''==-=+++；（4）21ln (1ln )(1ln )(1ln )(1ln )()1ln (1ln )x x x x x y x x ''--+--+''==++ 2211(1ln )(1ln )2(1ln )(1ln )x x x x x x x -+--==-++ ． 5．求下列函数的导数：（1）36()y x x =-；（2）y =；（3）2sin (21)y x =-；（4）21sin y x x=；（5）ln1xy x=-；（6）[]ln ln(ln )y x =；（7）ln(y x =；（8）arcsin 2x y x =+解（1）3533526()()6()(31)y x x x x x x x ''=--=--；（2）322(1)y x -'==-；（3）2sin(21)cos(21)(21)2sin(42)y x x x x ''=-⋅-⋅-=-；（4）22221111111()sin(sin )2sin cos ()2sin cos y x x x x x x x x x x x x'''=+=+⋅-=-；（5）lnln ln(1)1x y x x x ==---，∴1111(1)y x x x x -'=-=--；（6）[]{}[]1ln ln(ln )ln(ln )(ln )ln ln(ln )y x x x x x x ''''=⋅⋅=；（7）((1y x ''==+=;（8）1arcsin22x y '=++arcsin arcsin 22x x=+=．6．若以310cm /s 的速率给一个球形气球充气，那么当气球半径为2cm 时，它的表面积增加的有多快？解设气球的体积为V ,半径为R ，表面积为S ，则34π3V R =，24πS R =． d d d d d d V V R t R t =⋅，d d d d d d S S Rt R t =⋅， 2d d d d dV 12d 8πd d d d dt 4πd S S V R V R t R t V R R t ∴=⋅⋅=⋅⋅=, 将3d 10cm /s d V t =，2cm R =代入得，2d 10cm /s d St=．7．求下列函数的高阶导数：（1）2sin 2y x x =，求y '''；（2）y =5x y =''．解（1）Q 22sin 22cos2y x x x x '=+，22sin 24cos24cos24sin 2y x x x x x x x ''=++-22sin 28cos 24sin 2x x x x x =+-，∴24cos28cos216sin 28sin 28cos2y x x x x x x x x '''=+---212cos 224sin 28cos 2x x x x x =--．（2）Q 2y '==y ''==23222(24)(16)x x x -=-，∴5x y =''1027=． 8．求由下列方程所确定的隐函数的导数：（1）3330y x xy +-=；（2）arctan ln yx=．解（1）方程两边对x 求导，得22333()0y y x y xy ''+-+=，从中解出y '，得22y x y y x-'=-．（2）方程两边对x 求导，得2222112221()xy y x yy y x x y x''-+⋅=⋅++，从中解出y '，得x yy x y+'=-． 9．用对数求导法求下列各函数的导数：（1）y =；（2）cos (sin )x y x = (s i n 0)x >．解（1）方程两边取对数，得11ln ln(23)ln(6)ln(1)43y x x x =++--+，两边对x 求导，得1211234(6)3(1)y y x x x '=+-+-+，即211[234(6)3(1)y x x x '=+-+-+ （2）方程两边取对数，得cos ln ln(sin )cos lnsin x y x x x ==⋅两边对x 求导，得11sin ln sin cos cos sin y x x x x y x'=-⋅+⋅⋅ sin lnsin cos cot x x x x =-⋅+⋅，即cos (sin )(sin lnsin cos cot )x y x x x x x '=-⋅+⋅．10．求由下列各参数方程所确定的函数()y y x =的导数：（1）33cos sin x a t y b t ⎧=⎪⎨=⎪⎩；（2）e cos e sin tt x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，求π2d d t y x =．解（1）22d d 3sin cos d tan d d 3cos sin d yy b t t bt t x x a t t a t===--；（2）Q d d e (sin cos )sin cos d d d e (cos sin )cos sin d t t yy t t t tt x x t t t t t++===--， ∴π2d d t y x =π2sin cos 101cos sin 01t t tt t=++===---． 11．求下列函数的微分：（1）ln sin2x y =；（2）1arctan 1x y x+=-；（3）e 0x yxy -=；（4）24ln y y x +=．解（1）111d (lnsin )d (cos )d cot d 22222sin 2x x xy x x x x '==⋅⋅=；（2）2221(1)(1)1d d d 1(1)11()1x x y x x x x x x-++=⋅=+-++- （3）方程两边同时取微分，得d(e )d()0x yxy -=，2d de (d d )0x yy x x yy x x y y-⋅-+=，整理得22d d xy y y x x xy-=+．（4）方程两边同时取微分，得312d d 4d y y y x x y+=，整理得324d d 21x yy x y =+．12．利用微分求近似值：（1）sin3030︒'；（2解（1）设()sin f x x =，则0π306x ︒==，π30360x '∆==，()cos f x x '=．11 / 11 000sin3030()()()f x x f x f x x ︒''=+∆≈+∆πππsincos 0.507666360=+⋅≈ （2）设()f x =064x =，1x ∆=，561()6f x x -'=．000()()()f x x f x f x x '=+∆≈+∆5611(64)12 2.00526192-⋅=+≈ 13．已知单摆的振动周期2T =2980cm/s g =，l 为摆长（单位为cm ），设原摆长为20cm ，为使周期T 增大0.05s ，摆长约需加长多少？解由2T =224πgT l =，02T =0.05s T ∆=，22πgT l '=．所以027d 0.050.050.05 2.23cm 2ππgT l l l T '∆≈=⋅∆=⋅===≈，即摆长约需加长2.23cm ．。

经济数学基础微积分第三章习题解答

尖点, 无切线, 不可导
无定义, 不可导
0
x
无确定切线, 不可导
0
x
尖点, 无切线, 不可导
8.讨论下列函数在x 0处的连续性与可导性；若可导，
求出f (0)：
1 x
(1) f ( x) 1 x
x0 x0
解 lim f ( x) 1 lim f ( x) 1
x0
x0
所以函数在x 0连续.
3
y 1 (0 6x2 ) 6 x2
16.求下列函数的导数
(1) y
ex ex
ex ex
(e x ) e x ( x) e x
y
(e x
ex
)(e x
ex (e x
) (e x ex )2
e x )(e x
ex
)
(e x e x )2 (e x e x )2
(e x ex )2
y 10( x )9 ( x ) 1 x 1 x
10(
1
x
x
)9
1 x x (1 x)2
10x9 (1 x)11
(6) y ln ln ln x 设y ln u,u ln v,v ln x
y (lnu) (lnv) (ln x) 1 1 1 uv x
1 1 1
1
lnln x ln x x x ln x ln ln x
(3) y
1 1 x2
(1
x2
1
)2
y
1
(1
x2
)
3 2
(1
x
2
)
2
x(1
x
2
)
3 2
1
(1

微积分第3章导数与微分

2021/4/21
9
三、左、右导数
定义设函数 y = f(x) 在某U+(x0) (或 U-(x0))内有定义. 若
(或
)
存在，则称该极限值为 f 在点 x0 处的右 (左) 导数.
记作 f( x0 ) (或 f( x0 )) .
注：1. f 在x0可导 f 在 x0 的左, 右导数存在且相等.
f
(
x)
x
sin
1 x
,
x 0 与 f(x) = |x| 在 x = 0 处连续但不可导.
0, x 0
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11
例5. 求下列函数的导函数：
(1) c ( 常函数 ) ;
答案：0
记结论
(2) xn , ( n∈N+ ) ; (3) sin x ,
cos x ; (4) log ax ( a > 0, a≠1, x > 0 ) .
方法一：F(x, y) = 0 显化 y = f(x) 已有方法求 y.
√ 方法二：F(x, y) = 0 两边同时求导 [F(x, y)] 0 求 y.
例6. 已知 y x ln y 确定了函数 y = f(x)，求 y.
（答案：
y
y ln y y x
）
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第三章导数与微分
22
要牢记！
(1) (c) 0 (c为常数);
(2) ( x ) x1 (为任意实数 );
(3) (a x ) a x ln a, (ex ) ex ;
(4)
(log a
x)
1, x ln a
(ln
x)
1; x
(5) (sin x) cos x,(cos x) sin x ;

《高等数学一》第三章导数与微试题模拟课后习题汇总(含答案解析)

第三章导数与微分[单选题]1、设函数，则高阶导数=（）A、12!B、11!C、10!D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】本题考察高阶导数计算.因为多项式的最高次幂为11，故=0.[单选题]2、f(x)=4x－x3在点(－1，－3)处的切线方程为( )A、y＝x－2B、y＝x＋2C、y＝－x＋2D、y＝－2x＋1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】f(x)＝4x－x3, f(－1)＝－4＋1＝－3,故(－1,－3)在所给的曲线上. 又f ' (x)＝4－3x2故f ' (－1)＝4－3＝1∴过(－1,－3)的切线方程为y＝(x＋1)－3＝x－2.[单选题]3、y＝cos3x－cos3x的导数为( )A、3(sin3x－sinxcos2x)B、3(sin3x＋sinxcos2x)C、3(sinx－sinxcos2x)D、3(sin3x－sin3xcos2x)【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】 y’＝(cos3x)' －(cos3x) '＝3cos2x(－sinx)－(－sin3x)×3＝3(sin3x－sinxcos2x)[单选题]4、设y＝x n＋e－x，则y(n)(0)＝（）A、n!＋(－1)nB、n!C、n!＋(－1)n－1D、n!－1【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】y(n)(x)＝n！＋(－1)n e－x，从而y(n)(0)＝n!＋(－1)n[单选题]5、设函数f(x)＝arctanx,求=( )A、-2B、1C、3D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]6、设y＝lnx，则y(n)＝()A、(－1)n n!x－nB、(－1)n(n－1)!x－2nC、(－1)n－1(n－1)!x－nD、(－1)n－1n!x－n＋1【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】y′＝x－1,y′′＝－1!x－2, y′′′＝2!x－3,…. y(n)＝ (－1)n－1(n－1)!x－n[单选题]7、已知函数，则f(x)在点x=0处()A、连续但导数不存在B、间断C、导数f ’(0)=－1D、导数f ’(0)=1【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题【答案解析】所以，f(x)在点x=0处间断，答案为B.[单选题]8、y＝(2x2－x＋1)2的导数为( )A、2(2x2－x＋1)(4x－1)B、(2x2－x＋1)(4x－1)C、(2x2－x＋1)(4x＋1)D、(2x2＋x＋1)(4x－1)【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】y’＝2(2x2－x＋1)(2x2－x＋1)’＝2(2x2－x＋1)(4x－1)[单选题]9、设函数f（x）在x0点可微是f（x）在该点可导的( )A、充分必要条件B、充分条件C、必要条件D、无关条件【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】设函数f（x）在x0点可导是f（x）在该点可微的充要条件，对于一元函数，两者是等价的。

《微积分》各章习题及详细答案

第一章函数极限与连续一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。

3、0→x 时,x x sin tan -是x 的阶无穷小.4、01sin lim 0=→xx kx 成立的k 为。

5、=-∞→x e xx arctan lim .6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。

7、=+→xx x 6)13ln(lim 0。

8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。

9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。

10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。

11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。

12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________. 13、lim ____________x →+∞=。

14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________.15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。

二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数,则中所给的函数必为奇函数。

(Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C))]()()[(x h x g x f +；(D ）)()()(x h x g x f 。

2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有。

（Ａ）α是比β高阶的无穷小；（Ｂ）α是比β低阶的无穷小； (C ）α与β是同阶无穷小；（D ）βα~。

浙江大学微积分一习题解答第三,四章(秋冬)

2
∆ T≈ π
1 gl 0
l 0 0.000011∆W ＝ 0.000011π
0
24.83 16 ＝0.8797× 10 −4 (秒)每天约慢 0.8797× 10 −4 ×24×3600＝7.6(秒) 980
又冬季室温到－10
∆ T≈ π
C 时 ∆W ＝－30，周期每秒约快
24.83 30 ＝－0.1648× 10 −3 (秒). 980
π (sin ax )' = a sin(ax + ) 2
π (sin ax )' ' = a 2 sin(ax + 2 ⋅ ) 2
π (sin ax ) ( n ) = a n sin(ax + n ⋅ ) 2
故
y (n ) =
π π π 1 1 1 1 1 1 (sin 2 x ) ( n ) + (sin 4 x ) ( n ) − (sin 6 x ) ( n ) = 2 n sin( 2x + n ) + 4 n sin(4 x + n ) − 6 n sin(6 x + n ) # 4 4 2 4 4 2 4 4 2
～～ calculus I chap 03-- 04 ～～第三章导数与微分题 5(5) (p101) 【1】『解』 f(x)在 x 0 可导，试讨论|f(x)|在 x 0 的可导性只需考虑
x →x 0
lim
| f (x) | − | f (x 0 ) | 。 x − x0
我们希望去掉绝对值。故分情况讨论
以此类推
π y''' (− 2 ) 3 [e − x sin( x − 3 ⋅ )] 4 π y ( n ) = (− 2 ) n [e − x sin( x − n ⋅ )] # 4

导数与微分习题答案

导数与微分习题答案导数与微分习题答案在学习微积分的过程中，导数与微分是非常重要的概念。

它们不仅是解决数学问题的工具，也是许多实际应用的基础。

然而，由于其抽象性和复杂性，许多学生在学习过程中会遇到困难。

为了帮助大家更好地理解导数与微分，我将提供一些习题的答案，并进行详细的解析。

1. 设函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1，求f(x)在x = 2处的导数和微分。

解析：首先，我们需要计算f(x)在x = 2处的导数。

根据导数的定义，导数可以通过函数的极限来求解。

因此，我们可以利用极限的性质来计算导数。

首先，我们计算f(x)在x = 2处的左导数。

左导数表示函数在某一点的左侧的斜率。

利用极限的定义，我们有：f'(2-) = lim (h→0) [f(2 - h) - f(2)] / h代入函数f(x)的表达式，我们有：f'(2-) = lim (h→0) [(3(2 - h)^2 - 2(2 - h) + 1) - (3(2)^2 - 2(2) + 1)] / h化简后，我们得到：f'(2-) = lim (h→0) [12h - 3h^2] / h继续化简，我们得到：f'(2-) = lim (h→0) 12 - 3h = 12接下来，我们计算f(x)在x = 2处的右导数。

右导数表示函数在某一点的右侧的斜率。

同样利用极限的定义，我们有：f'(2+) = lim (h→0) [f(2 + h) - f(2)] / h代入函数f(x)的表达式，我们有：f'(2+) = lim (h→0) [(3(2 + h)^2 - 2(2 + h) + 1) - (3(2)^2 - 2(2) + 1)] / h化简后，我们得到：f'(2+) = lim (h→0) [12h + 3h^2] / h继续化简，我们得到：f'(2+) = lim (h→0) 12 + 3h = 12由于左导数和右导数相等，我们可以得出f(x)在x = 2处的导数为12。

导数和微分练习题(答案版)

1. 13arctan )1()(2+--=x x x x f ,求f’(1) 2. 设1lim )()1()1(2+++=--∞>-x n x n n e b ax e x x f 是区间),(+∞-∞内是可导函数，试确定常数a,b 3. 设f(x)是周期为2的周期函数，且在点x=1处连续，22cos ]3)(ln[lim 1=+>-xx f x π,求曲线y=f(x)在(-1,f(-1))处的切线方程。

4. 设函数在),(+∞-∞内有定义，对任意的x,y 都有)()()(x f e y f e y x f y x +=+,e f =)0(',求f （x ）的表达式5. 设函数0,)(;0,)()(==≠-=-x a x f x x e x x f xϕ,其中的)(x ϕ具有二阶导数，且1)0(',1)0(-==ϕϕ1) 确定常数a 的值，使得f （x ）在x=0时连续2) 求f’(x);3) 讨论f’(x)在区间),(+∞-∞内的连续性6. 设函数)()()(x g x f x F =，如果f(x)在x 0点可导，g （x ）在x 0点连续不可导，证明：F(x)在x 0点可导⇔f(x 0)=07. 设曲线y=f(x)与曲线y e y x =-++)14tan(π在（1,0）处有公切线. 1）求公切线方程2）计算极限)1(lim +∞>-n n nf n 8. 设f(x)是周期为3的连续函数，在点x=0的某一邻域内恒有x x x f x f 2tan 6)tan 1(2)tan 1(+=--+,已知f(x)在点x=1处可导，求曲线y=f(x)在点(10.f(10))处的切线方程。

9. 设函数f(x)在x ≤x 0时具有二阶导数，00200,)()()(;),()(x x c x x b x x a x F x x x f x F >+-+-=≤=,试确定常数a ，b ，c ，使得F(x)在x 0处二阶可导。

经济数学(导数与微分习题与答案)

第三章函数的导数与微分习题 3－11. 根据定义求下列函数的导数: (1)x y 1=(2)x y cos =(3)b ax y +=(a ,b 为常数) (4)x y =解(1)因为00()()'limlimx x y f x x f x y x x ∆→∆→∆+∆-==∆∆=x x x x x ∆-∆+→∆11lim 0=01lim ()x x x x ∆→-+∆=21x -所以21y x '=-. (2) 因为00cos()cos 'limlimx x y x x x y x x ∆→∆→∆+∆-==∆∆02sin()sin22 limsin x x xx x x ∆→∆∆-+==-∆所以sin y x '=-(3) 因为00[()][]'limlimx x y a x x b ax b y x x ∆→∆→∆+∆+-+==∆∆=x x a x ∆∆→∆0lim=a所以y a '=(4)因为00'limlimx x y y x x ∆→∆→∆-==∆∆=)(lim0x x x x xx +∆+∆∆→∆lim x ∆→==所以y '=.2. 下列各题中假定)(0'x f 存在, 按照导数的定义观察下列极限, 指出A 表示什么?(1) A x x f x x f x =∆-∆-→∆)()(lim 000(2) A x x f x =→)(lim 0(其中0)0(=f 且)0('f )存在)(3) A x f tx f x =-→)0()(lim 0(其中)0('f 存在)(4) Ah h x f h x f h =--+→)()(lim000解（1）因为x x f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim000=x x f x x f x ∆--∆--→∆)()(lim 000=)(0'x f - 故)(0'x f A -=. (2) 因为x x f x )(lim→=0)0()(lim 0--→x f x f x =)0('f故)0('f A =. (3) 因为x f tx f x )0()(lim-→=tx f tx f t x )0()0(lim 0-+→=)0('tf故)0('tf A =.(4) 因为000()()limh f x h f x h h →+--00000000000()()()()lim[]()()()()lim lim ]h h h f x h f x f x h f x h hf x h f x f x h f x h h →→→+---=-+---=+-=)()(0'0'x f x f +=)(20'x f 故)(20'x f A =. 3.已知2,,x y x ⎧=⎨⎩11≥<x x , 求d d y x 解由已知易得当1<x 时, x y 2'=, 当1x >时, 1'=y 又1)1()(lim )1(1'--=+→+x f x f f x =11lim 1--+→x x x =11)1()(lim )1(1'--=-→-x f x f f x =11lim 21---→x x x =2)1()1(''-+≠f f即)1('f 不存在.故'2,()1,x f x ⎧=⎨⎩11><x x . 4. 如果f (x )为偶函数，且(0)f '存在，证明(0)0f '=.证由于f (x )为偶函数，所以f (-x ) = f (x ) 则0()(0)()(0)(0)limlim00x x f x f f x f f x x →-→---'==---- 0()(0)lim '(0)0t f t f t x f t →-=--=--故(0)0f '=.5.讨论下列函数在0=x 处的连续性和可导性：(1)21sin ,0,x y x ⎧⎪=⎨⎪⎩00=≠x x (2) cos y x = (3)2,,x y x ⎧=⎨-⎩00<≥x x 解(1) 因为()(0)'(0)lim0x f x f f x →-=- 2001sin1limlim sin 0x x x x x x x →→===所以函数21sin ,0,x y x ⎧⎪=⎨⎪⎩00=≠x x 在0=x 处可导，从而也连续.(2) 因为()(0)'(0)lim0x f x f f x →-=- 0cos cos 0limx x x→-=2002sin cos 12limlimx x xx xx→→--===所以函数cos y x =在x = 0处可导，从而也连续.(3)因为200lim ()lim 0(0)x x f x x f ++→→===00lim ()lim ()0(0)x x f x x f --→→=-==所以函数)(x f 在0=x 处连续.又因为2'00()(0)0(0)lim lim 000x x f x f x f x x +++→→--===--'00()(0)0(0)limlim 100x x f x f x f x x ---→→---===--- ''(0)(0)f f +-≠故'(0)f 不存在, 即函数)(x f 在0=x 不可导.6. 设函数2, 1(), 1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩，为使函数f (x ) 在x = 1处连续且可导，a ,b 应取什么值？解由题意，有11lim ()lim ()(1)(1)(1)x x f x f x f f f -+→→-+==⎧⎪⎨''=⎪⎩首先可得 a+b = 1 即b =1－a又因为211(1)lim 21x x f x --→-'==-11111(1)lim lim 11x x ax b ax a f a x x +++→→+-+--'===--所以a = 2 ,于是b = －1.故当a = 2, b = －1时，函数f (x ) 在x = 1处连续且可导.7.求曲线2x y =在点（-1，1）处的切线方程. 解因1'2,'2x y x y =-==-故曲线2x y =在点（-1，1）处的切线方程为12(1)y x -=-+即21y x =--.8*.设曲线f (x ) = x n 在点 (1, 1) 处的切线与x 轴的交点为(a n ，0), 求lim ()n n f a →∞.解因为1(1)n x f nx n ='==所以曲线()nf x x =在点（1, 1）处的切线方程为y －1 = n ( x －1)切线与x 轴的交点为1(1,0)n -，即11n a n =-从而1()(1)nn f a n =-习题 3－21 求下列函数的导数：（1）52423+-=x x y （2）x y xln 2= (3 )x x y sin 23= (4) 4tan 3-=x y (5) )32)(23(x x y -+=(6)x x x y ln 1ln +=(7) x x e y x 22+=(8) t ty cos 1sin 1++=解（1）x x y 4122'-=. (2)x x y x x2)2)(2(ln ln '+=. (3) x x x x y cos 2sin 632'+=. (4) x y 2'sec 3=.(5))3)(23()32(2'-++-=x x y =x 125--. (6)x xx x x x y 22'ln 1ln 1-+-==x x x x 22ln 1ln 1--.(7) 2'4222x x e x e x y x x -=-=42222x x xe e x x x --.(8)2')cos 1()sin )(sin 1()cos 1(cos t t t t t y t +-+-+==2cos sin 1(1cos )t t t +++.2. 求下列函数在给定点的导数：（1）xxe y =, 求0'|=x y （2）θθθρcos 21sin +=, 求0'|=θρ（3）553)(2x x x f +-=, 求)0('f 和)2('f . 解(1) 因为xx xe e y +=', 所以10|000'=+==e e y x(2) 因为'11sin cos sin sin cos 22θρθθθθθθθ=+-=+所以'211|sin cos 22222θπθπππρ==+=.(3) 因为x x x x f 52)5()5(3)(2'+---==x x 5253+- 所以53)0('-=f , 51)2('-=f . 3. 求21123(1)n x x nxx -++++≠L 的和.解注意到1()n n x nx -'=，有1212121123(1)11(1) (1).(1)n n nn n x x x nxx x x x n x nx x x +-+'⎛⎫-'++++=+++= ⎪-⎝⎭-++=≠-L L4. 求曲线2sin x x y +=上横坐标为0=x 的点处的切线方程和法线方程.解当0=x 时，0=y , 且有x x y 2cos '+=则00cos |0'+==x y =1习题 3－31. 求下列函数的导数：（1）223x y -=（2）32x e y =（3）x y arcsin = (4))ln(22x a x y ++= （5）2cos ln x e y -= (6）x y 1arctan =解(1))4(23212'x x y --==.(2) 33'2222(6)6x xy e x x e ==.(3)x x y 2111'-==)1(21x x -.(4) y '=+=. (5) 22222'1(sin )(2)2tan cos x x x x x y e e x xe e e -----=--=. (6) )1(11122'x x y -+==211x +-.2. 求下列函数的导数：（1）x ey x 2cos 2-=（2）)]ln[ln(ln x x y =（3）nx x y n cos sin =（4）x x y 22ln 2-= 解（1）'221()cos 2(sin 2)22x xy e x e x --=-+-⋅()21cos 24sin 22xe x x -=-+.(2)[]1'ln[ln(ln )]ln(ln )ln y x x x -=+⋅. (3) nx x x n y n cos cos sin 1'-=n nx x n)sin (sin -+()1sin cos cos sin sin n n x x nx x nx -=-sin cos(1)n n x n x =+.(4) x x y 2'ln 22-=)ln 221(22x x -+x x 1)ln 2(- =xx 2ln 22-x xx 2ln 2ln --.3. 设f 可导，求下列函数的导数d d yx ：（1）)(e x x e f y +=（2）)(sin 2cos 2x f x y -= （3）na x f y )]([2+=（4）)]ln ([x x f f y +=（5）)arctan 1(x xf ey +=解（1）()'1dy()d x e x e f e x e ex x -=++.（2）'2d 2sin 2(sin )d yx f x x=--x x cos sin 2.=x x f x 2sin )(sin 2sin 22'--2sin 22(sin )x f x '⎡⎤=-+⎣⎦.(3) 212d [()]()2d n yn f x a f x a xx -'=+⋅+⋅1222()()n nx f x a f x a -'⎡⎤=+⋅+⎣⎦.(4) []d 1(1)(ln )(ln )dx y f f x x f x x x ''=+⋅+⋅+. (5) 1(arctan )d d f x x y e x+=)arctan 1('x x f +)111(22x x ++- 1(arctan )2211arctan (1)f x xf x e x x x +⎛⎫'=-+ ⎪+⎝⎭.4设2ln(1), >0()0, 0 , ().sin , 0x x f x x f x x x x ⎧⎪+⎪⎪'==⎨⎪⎪<⎪⎩求解当x > 0时，[]1()ln(1)1f x x x ''=+=+ 当x < 0时，222sin sin 2sin ()x x x xf x x x '⎛⎫-'== ⎪⎝⎭当x = 0时，由0()(0)ln(1)(0)lim lim 0x x f x f x f x x +++→→-+'==-10lim ln(1)ln 1x x x e +→⎡⎤=+==⎢⎥⎢⎥⎣⎦22000sin ()(0)sin (0)lim =lim lim 10x x x xf x f x x f x x x ----→→→-⎛⎫'=== ⎪-⎝⎭得(0)1f '=.故221, 01()1, 0sin 2sin , 0x x f x x x x x x x ⎧<⎪+⎪⎪'==⎨⎪-⎪<⎪⎩ .5. 设2()1 ()()ln f x y a f x f x a '==且，证明2y y '=. 证由复合函数的求导法则，得2()ln 2()()fx y a a f x f x ''=⋅⋅将1()()ln f x f x a '=代入上式, 可得22()()1ln 2()=22()ln fx f x y a a f x a yf x a '=⋅⋅⋅=即2y y '=.6. 设函数f 可导，且y = f (a + t ) －f (a － t ), 求0d d t yt =.解因为d ()()()()d yf a t a t f a t a t t ''''=+⋅+--⋅- ()()f a t f a t ''=++- 故0d ()()2()d t yf a f a f a t ='''=+=.*7 设()lim xx x t f t t x t →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭，求()f t '. 解因为1lim lim 1xxx x t x t x t x t x →∞→∞⎛⎫+ ⎪+⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪-⎪⎝⎭2lim 1 lim 1xtx t xt x t e x e e t x →∞-→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭===⎛⎫- ⎪⎝⎭所以2()lim lim xxt x x x t x t f t t t t e x t x t →∞→∞++⎛⎫⎛⎫==⋅=⋅ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭故22()()(12)t tf t t e e t ''=⋅=+.习题 3－41. 求下列函数的二阶导数：（1）x xe y 2=（2）)1ln(2x y -= （3）x y arctan =（4）)21(sin 2x y +=（5）)1ln(2x x y ++=（6）2(1)arctan y x x =+解(1)2222(12)xx x y exe e x '=+=+2222(12)24(1)x x x y e x e e x ''=⋅++⋅=+.(2) 因为)1ln(2x y -==)1ln()1ln(x x ++- 所以='y x x --+1111=''y 22222112(1)(1)(1)(1)x x x x -+-=-+--.(3) ='y 211x +, =''y 22)1(2x x +-.(4)()2sin(12)cos(12)22sin 212)y x x x '=++⋅=+ ()()2cos21248cos212y x x ''=+⋅=+.(5)='y =()3221x y x''==-+.(6)='y 2211arctan 2x x x x +++=1arctan 2+x x =''y 22"2arctan .1x y x x=++2. 已知)(''x f 存在，且0)(≠x f ，求22d d yx .（1）)(2a x f y +=（2）)](ln[x f y = 解(1) '22d ()22()d yf x a x xf x a x '=+⋅=+2'222d 2()2()2d y f x a xf x a x x ''=+++⋅2222()4()f x a x f x a '''=+++.(2) 'd 1()d ()y f x x f x =2'''''''2222d ()()()()()()[()]d ()()y f x f x f x f x f x f x f x x f x f x --==.3. 设f (x ) 的n 阶导数存在，求[]()()n f ax b +. 解因[]()()()f ax b f ax b a af ax b '''+=+⋅=+[][]2()()()f ax b af ax b a f ax b ''''''+=+=+………………………………故[]()()()()n n n f ax b a f ax b +=+.4. 验证函数x e y x sin =满足关系式022'''=+-y y y . 解因x e y x sin '=x e xcos +''sin x y e x =x e x cos +x e x cos +x e x sin -=x e x cos 2故'''22y y y -+=x e x cos 2x e x sin (2-)cos x e x +x e x sin 2+=0. 5.求下列函数的n 阶导数的一般表达式：(1)ln y x x = (2) 3xy =解 (1) 因(4)23112ln 1,, , ,y x y y y x x x ''''''=+==-=L故()1(1)(2)!(2)n n n n yn x --⋅-=≥.（2）23ln 3,3ln 3, x x y y '''=⋅=⋅L故()3(ln 3)n x ny =⋅.*6 设22411x y x -=-，求y (100). 解2224133114411211x y x x x x -⎛⎫==+=+- ⎪---+⎝⎭ 而(100)(100)1011011100!1100!, 11(1)(1)x x x x ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭(100)10110110110121013100!100! 2(1)(1)3100!(1)(1) .2(1)y x x x x x ⎡⎤=-⎢⎥-+⎣⎦⎡⎤⨯+--=⎢⎥-⎣⎦故习题 3－51. 求由下列方程确定的隐函数的导数'y ：（1）y x e xy +=（2）)arctan(2xy xy x =+ （3）1=-y xe y （4）033=-+a y x （a 为常数）解（1）方程两边同时对x 求导, 得)1(''y e xy y y x +=++ 解方程得='y yx y x e x y e ++--.(2) 方程两边同时对x 求导，得=++'2xy y x 22'1y x xy y ++ 解方程得3222222xy x y y x y ++'=-.(3) 方程两边同时对x 求导, 得0''=--y xe e y y y解方程得='y y yxe e -1.(4) 方程两边同时对x 求导, 得033'22=+y y x解方程得='y 22y x -.2. 求曲线2ln ()cot 02yy x x e π-+-=在点（e , 1）处的切线方程。

3微分中值定理与导数的应用习题解答

第三章微分中值定理与导数的应用答案§3.1 微分中值定理1．填空题（１）函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是ππ-4．（２）设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有 3 个实根，分别位于区间)5,3(),3,2(),2,1(中．2．选择题（１）罗尔定理中的三个条件:)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f =，是)(x f 在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(='ξf 成立的（ B ）．A ．必要条件B ．充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件（２）下列函数在]1 ,1[-上满足罗尔定理条件的是（ C ）．A . xe xf =)( B. ||)(x x f = C. 21)(x x f -= D. ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(x x xx x f （３）若)(x f 在),(b a 内可导，且21x x 、是),(b a 内任意两点，则至少存在一点ξ，使下式成立（ B ）．A ． ),()()()()(2112b a f x x x f x f ∈'-=-ξξB ． ξξ)()()()(2121f x x x f x f '-=-在12,x x 之间C ． 211221)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξD ． 211212)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ3．证明恒等式：)(2cot arctan ∞<<-∞=+x x arc x π．证明：令x arc x x f cot arctan )(+=，则01111)(22=+-+='xx x f ，所以)(x f 为一常数．设c x f =)(，又因为(1)2f π=，故 )(2c o t a r c t an ∞<<-∞=+x x arc x π．4．若函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中12a x x <<3x b <<，证明:在),(31x x 内至少有一点ξ，使得0)(=''ξf ．证明：由于)(x f 在],[21x x 上连续,在),(21x x 可导,且)()(21x f x f =，根据罗尔定理知，存在),(211x x ∈ξ，使0)(1='ξf ．同理存在),(322x x ∈ξ，使0)(2='ξf ．又)(x f '在],[21ξξ上符合罗尔定理的条件，故有),(31x x ∈ξ，使得0)(=''ξf ．5．证明方程062132=+++x x x 有且仅有一个实根．证明：设621)(32x x x x f +++=，则031)2(,01)0(<-=->=f f ，根据零点存在定理至少存在一个)0,2(-∈ξ，使得0)(=ξf ．另一方面，假设有),(,21+∞-∞∈x x ，且21x x <，使0)()(21==x f x f ，根据罗尔定理，存在),(21x x ∈η使0)(='ηf ，即02112=++ηη，这与02112>++ηη矛盾．故方程062132=+++x x x 只有一个实根．6．设函数)(x f 的导函数)(x f '在],[b a 上连续，且0)(,0)(,0)(<><b f c f a f ，其中c 是介于b a ,之间的一个实数．证明：存在),(b a ∈ξ, 使0)(='ξf 成立.证明：由于)(x f 在],[b a 内可导，从而)(x f 在闭区间],[b a 内连续，在开区间(,)a b 内可导．又因为()0,()0f a f c <>，根据零点存在定理，必存在点1(,)a c ξ∈，使得0)(1=ξf ．同理，存在点2(,)c b ξ∈，使得0)(2=ξf ．因此()f x 在[]21,ξξ上满足罗尔定理的条件，故存在),(b a ∈ξ，使0)(='ξf 成立．7. 设函数)(x f 在]1,0[上连续, 在)1,0(内可导. 试证:至少存在一点(0,1)ξ∈, 使()2[(1)(0)].f f f ξξ'=- 证明：只需令2)(x x g =，利用柯西中值定理即可证明.8．证明下列不等式（１）当π<<x 0时，x xxcos sin >．证明：设t t t t f cos sin )(-=，函数)(t f 在区间],0[x 上满足拉格朗日中值定理的条件，且t t t f sin )(=', 故'()(0)()(0), 0f x f f x x ξξ-=-<<, 即0sin cos sin >=-ξξx x x x (π<<x 0)因此，当π<<x 0时，x xxcos sin >．（２）当 0>>b a 时，bba b a a b a -<<-ln ．证明：设x x f ln )(=，则函数在区间[,]b a 上满足拉格朗日中值定理得条件，有'()()()(),f a f b f a b b a ξξ-=-<< 因为'1()f x x=，所以1ln ()a a b b ξ=-，又因为b a ξ<<，所以111a b ξ<<，从而bba b a a b a -<<-ln ．§3.1 洛毕达法则1．填空题（１） =→xxx 3cos 5cos lim2π35-（２）=++∞→xx x arctan )11ln(lim0 （３）)tan 11(lim 20x x x x -→=31（４）0lim(sin )xx x +→=1２．选择题（１）下列各式运用洛必达法则正确的是（ B ） A ． ==∞→∞→nn n n n en ln limlim 11lim=∞→nn eB ． =-+→x x x x x sin sin lim0 ∞=-+→xxx cos 1cos 1lim 0C ． xx x x x x x x x cos 1cos1sin 2lim sin 1sin lim020-=→→不存在 D ． x x e x 0lim →=11lim 0=→x x e（２）在以下各式中，极限存在，但不能用洛必达法则计算的是（ C ）A ． x x x sin lim 20→B ． x x x tan 0)1(lim +→C ． x x x x sin lim +∞→D ． x nx e x +∞→lim3．求下列极限（１）nn mm a x a x a x --→lim ．解： n n m m a x a x a x --→lim =nm n m a x a nm nx mx ---→=11lim．（２）20222lim x x x x -+-→．解： 20222lim xx x x -+-→=x x x x 22ln 22ln 2lim 0-→-=2)2(ln 2)2(ln 2lim 220x x x -→+=2)2(ln ．（３）30tan sin limxxx x -→ ．解：30tan sin lim x x x x -→＝32030)21(lim )1(cos tan lim x x x x x x x x -⋅=-→→＝21-．（４） 20)(arcsin 1sin lim x x e x x --→．解：20)(arcsin 1sin lim x x e x x --→＝201sin lim xx e x x --→＝212sin lim 2cos lim 00=+=-→→x e x x e x x x x ．（５）x x x x xx ln 1lim 1+--→．解： )ln 1()(x x x xx +='， x x x x xx ln 1lim1+--→＝xx x xx 11)ln 1(1lim 1+-+-→＝22111)ln 1(limx x x x x xx x --+-→2])ln 1([lim 1221=++=++→x x x x x x ．（６） )111(lim 0--→x x e x ．解：2121lim )1(1lim )111(lim 22000==---=--→→→xx e x x e e x x x xx x x（７） xx xtan 0)1(lim +→ ．解：1)1(lim 202000sin limcsc 1lim cot ln limln tan lim tan 0=====+→+→+→+→+----→x xx x xxxx x x x x x x eeeex．（８）)31ln()21ln(lim xxx +++∞→．解： )31ln()21ln(lim x x x +++∞→=2ln 23ln(12)12lim ln(12)3lim 3lim1x x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞+++== =xxx 212lim 2ln 3++∞→=2ln 3．（９） n n n ∞→l i m ．解：因为1lim1limln 1lim===∞→∞→∞→xxxxx x x eex ，所以nn n ∞→lim=1．§3.3 泰勒公式１．按1-x 的幂展开多项式43)(24++=x x x f ．解： 10)1(,64)(3='+='f x x x f ，同理得24)1(,24)1(,18)1()4(=='''=''f f f ，且0)()5(=x f ．由泰勒公式得：43)(24++=x x x f =432)1()1(4)1(9)1(108-+-+-+-+x x x x ．2．求函数xe x xf 2)(=的带有佩亚诺型余项的n 阶麦克劳林公式．解：因为)(!!2!112n nxx o n x x x e +++++= ，所以xe x xf 2)(==2222[1()]1!2!(2)!n n x x x x o x n --+++++-=)()!2(!2!1432n n x o n x x x x +-++++ ．3．求一个二次多项式)(x p ，使得)()(22x x p x ο+=．解：设xx f 2)(=，则2ln 2)(x x f ='，2)2(ln 2)(x x f =''． 2)2(ln )0(,2ln )0(,1)0(=''='=f f f ，故 )(!2)2(ln !12ln 12222x x x xο+++=，则 222)2(ln 2ln 1)(x x x p ++=为所求． 4．利用泰勒公式求极限)]11ln([lim 2xx x x +-∞→．解：因为 ))1((3)1(2)1(1)11ln(332xo x x x x ++-=+，所以 )11ln(2x x x +-=)])1((3)1(2)1(1[3322x o x x x x x ++--=)1(3121x o x +-，故 21)]1(3121[lim )]11ln([lim 2=+-=+-∞→∞→x o x x x x x x ．5．设)(x f 有三阶导数,且0)1(,0)(lim 2==→f x x f x ,证明在)1,0(内存在一点ξ,使0)(='''ξf ．证明：因为 0)(lim20=→x x f x ，所以0)0(,0)0(,0)0(=''='=f f f ．由麦克劳林公式得：332!3)(!3)(!2)0()0()0()(x f x f x f x f f x f ξξ'''='''+''+'+= （ξ介于0与x 之间），因此 !3)()1(ξf f '''=，由于0)1(=f ，故0)(='''ξf ．§3.4函数的单调性与曲线的凹凸性1．填空题（１）函数)ln(422x x y -=的单调增加区间是),21()0,21(+∞-，单调减少区间)21,0()21,( --∞．（２）若函数)(x f 二阶导数存在，且0)0(,0)(=>''f x f ，则xx f x F )()(=在+∞<<x 0上是单调增加．（３）函数12+=ax y 在),0(∞+内单调增加，则a 0>．（４）若点（1，3)为曲线23bx ax y +=的拐点，则=a 23-，=b 29，曲线的凹区间为)1,(-∞，凸区间为),1(∞．2．单项选择题（１）下列函数中，（ A ）在指定区间内是单调减少的函数. A . xy -=2),(∞+-∞ B . xy e = )0,(-∞C . x y ln = ),0(∞+D . x y sin = ),0(π（２）设)12)(1()(+-='x x x f ，则在区间)1,21(内（ B ）． A . )(x f y =单调增加，曲线)(x f y =为凹的 B. )(x f y = 单调减少，曲线)(x f y =为凹的 C. )(x f y =单调减少，曲线)(x f y =为凸的Ｄ．)(x f y =单调增加，曲线)(x f y =为凸的（３）)(x f 在),(+∞-∞内可导, 且21,x x ∀,当 21x x >时, )()(21x f x f >,则( D ) A. 任意0)(,>'x f x B. 任意0)(,≤-'x f x C. )(x f -单调增 D. )(x f --单调增（４）设函数)(x f 在]1,0[上二阶导数大于0, 则下列关系式成立的是（ B ） A. )0()1()0()1(f f f f ->'>' B. )0()0()1()1(f f f f '>->' C. )0()1()0()1(f f f f '>'>- D. )0()1()0()1(f f f f '>->' 2．求下列函数的单调区间（１）1--=x e y x．解：1-='x e y ，当0>x 时，0>'y ,所以函数在区间),0[+∞为单调增加；当0<x 时，0<'y ，所以函数在区间]0,(-∞为单调减少．（２）(2y x =-解：)1(31031-='-x x y ，当1>x ，或0<x 时，0>'y ,所以函数在区间),1[]0,(+∞-∞ 为单调增加；当01x <<时，0<'y ，所以函数在区间]1,0[为单调减少．（３）)1ln(2x x y ++=解： 011111222>+=++++='xxx x x y ，故函数在),(+∞-∞单调增加．3．证明下列不等式（１）证明：对任意实数a 和b , 成立不等式||1||||1||||1||b b a a b a b a +++≤+++．证明：令xxx f +=1)(，则0)1(1)(2>+='x x f ， )(x f 在) , 0 [∞+内单调增加. 于是, 由 |||| ||b a b a +≤+, 就有 ) |||| () || (b a f b a f +≤+, 即||1||||1||||||1||||||1||||||1||||||1||b b a a b a b b a a b a b a b a b a +++≤+++++=+++≤+++（２）当1>x 时, 1)1(2ln +->x x x ．证明：设)1(2ln )1()(--+=x x x x f ， 11ln )('-+=xx x f ，由于当1x >时，211()0f x x x''=->, 因此)(x f '在),1[+∞单调递增, 当 1x >时, 0)1()(='>'f x f , 故)(x f 在),1[+∞单调递增, 当 1>x 时, 有0)1()(=>f x f .故当1>x 时,0)1(2ln )1()(>--+=x x x x f ,因此1)1(2ln +->x x x ．（３）当 0>x 时，6sin 3x x x ->．证明：设6sin )(3x x x x f +-=, 021cos )(2=+-='x x x f ，当0>x ，()sin 0f x x x ''=->，所以)(x f '在),0[+∞单调递增, 当 0>x 时, 0)0()(='>'f x f , 故)(x f 在),0[+∞单调递增, 从而当 0>x 时, 有0)0()(=>f x f . 因此当 0>x 时，6sin 3x x x ->．4．讨论方程k x x =-sin 2π(其中k 为常数)在)2,0(π内有几个实根．解：设()sin ,2x x x k πϕ=-- 则()x ϕ在]2,0[π连续, 且k k -=-=)2(,)0(πϕϕ，由()1cos 02x x πϕ'=-=，得2arccos x π=为)2,0(π内的唯一驻点．()x ϕ在2[0,arccos ]π上单调减少，在2[arccos ,]2ππ上单调增加．故k ---=242arccos )2(arccos 2πππϕ为极小值，因此)(x ϕ在]2,0[π的最大值是k -,最小值是k ---242arccos 2ππ．（１）当,0≥k 或242arccos 2--<ππk 时,方程在)2,0(π内无实根；（２）当0242arccos2<<--k ππ时,有两个实根；（３）当242arccos2--=ππk 时，有唯一实根．5．试确定曲线d cx bx ax y +++=23中的a 、b 、c 、d ，使得2-=x 处曲线有水平切线，)10,1(-为拐点，且点)44,2(-在曲线上．解： c bx ax y ++='232,b ax y 26+=''，所以2323(2)2(2)062010(2)(2)(2)44a b c a b a b c d a b c d ⎧-+-+=⎪+=⎪⎨+++=-⎪⎪-+-+-+=⎩ 解得： 16,24,3,1=-=-==d c b a ．6．求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间（１）12-+=x xx y 解： 222)1(11-+-='x x y , 323)1(62-+=''x xx y ,令0=''y ,得0=x ，当1x =±时y ''不存在．当01<<-x 或1>x 时, 0>''y ,当1-<x 或10<<x 时, 0<''y ．故曲线12-+=x xx y 在)1,0()1,( --∞上是凸的, 在区间和),1()0,1(+∞- 上是凹的，曲线的拐点为)0,0(．（２）32)52(x x y -=拐点及凹或凸的区间解：y '=，y ''=．当0=x 时，y y ''',不存在；当21-=x 时，0=''y ．故曲线在)21,(--∞上是凸的, 在),21(+∞-上是凹的，)23,21(3--是曲线的拐点,7．利用凹凸性证明: 当π<<x 0时, πxx >2sin 证明：令πx x x f -=2sin )(, 则π12cos 21)(-='x x f , 2sin 41)(xx f -=''．当π<<x 0时, 0)(<''x f , 故函数πxx x f -=2sin )(的图形在),0(π上是凸的, 从而曲线)(x f y =在线段AB （其中)(,()),0(,0(ππf B f A ）的上方，又0)()0(==πf f , 因此0)(>x f ,即πx x >2sin ．§3.5 函数的极值与最大值最小值1．填空题（１）函数xx y 2=取极小值的点是1ln 2x =-．（２）函数31232)1()(--=x x x f 在区间]2,0[上的最大值为322)21(=f ，最小值为(0)1f =- ．2．选择题（１）设)(x f 在),(+∞-∞内有二阶导数，0)(0='x f ，问)(x f 还要满足以下哪个条件，则)(0x f 必是)(x f 的最大值？（ C ）A ． 0x x =是)(x f 的唯一驻点B ． 0x x =是)(x f 的极大值点C ． )(x f ''在),(+∞-∞内恒为负D ． )(x f ''不为零（２）已知)(x f 对任意)(x f y =满足xex f x x f x --='+''1)]([3)(2，若00()0 (0)f x x '=≠，则（ B ）A. )(0x f 为)(x f 的极大值B. )(0x f 为)(x f 的极小值C. ))(,00x f x （为拐点D. )(0x f 不是极值点, ))(,00x f x （不是拐点（３）若)(x f 在0x 至少二阶可导, 且1)()()(lim 2000-=--→x x x f x f x x ,则函数)(x f 在0x 处( Ａ )A ．取得极大值B ．取得极小值C ．无极值D ．不一定有极值3．求下列函数的极值（１） ()3/223x x x f -=．解：由13()10f x x-'=-=，得1=x ．4''31(),(1)03f x x f -''=>，所以函数在1=x 点取得极小值．（２）xx x f 1)(=．解：定义域为),0(+∞，11ln 21, (1ln )x xxy ey xx x '==-，令0y '=得驻点x e =，当(0,)x e ∈时，0y '>，当(,)x e ∈+∞时，0y '<．因此ee e y 1)(=为极大值．4．求14123223+-+=x x x y 的在]4,3[-上的最大值与最小值．解：(3)23, (4)132y y -==．由266120y x x '=+-=，得1=x , 2-=x ．而34)2(,7)1(=-=y y , 所以最大值为132，最小值为7．5．在半径为R 的球内作一个内接圆锥体，问此圆锥体的高、底半径为何值时，其体积V 最大．解：设圆锥体的高为h , 底半径为r ,故圆锥体的体积为h r V 2 31π=，由于222)(R r R h =+-，因此)2( 31)(2h Rh h h V -=π )20(R h <<，由0)34( 31)(2=-='h Rh h V π，得34R h =，此时R r 322=．由于内接锥体体积的最大值一定存在,且在)2,0(R 的内部取得. 现在0)(='h V 在)2,0(R 内只有一个根,故当34Rh =, R r 322=时, 内接锥体体积的最大．6. 工厂C 与铁路线的垂直距离AC 为20km , A 点到火车站B 的距离为100km . 欲修一条从工厂到铁路的公路CD , 已知铁路与公路每公里运费之比为3:5，为了使火车站B 与工厂C 间的运费最省, 问D 点应选在何处？解: 设AD x =, B 与C 间的运费为y , 则 )100(340052x k x k y -++= （1000≤≤x ），其中k 是某一正数．由 0)34005(2=-+='xx k y , 得15=x .由于k y x 400|0==, k y x 380|15==, 2100511500|+==x y , 其中以k y x 380|15==为最小, 因此当AD =15=x km 时, 总运费为最省．7．宽为b 的运河垂直地流向宽为a 的运河. 设河岸是直的,问木料从一条运河流到另一条运河去,其长度最长为多少?解：问题转化为求过点C 的线段AB 的最大值. 设木料的长度为l , y CB x AC ==,，木料与河岸的夹角为t ，则l y x =+，且t by t a x sin ,cos ==, t b t a l sin cos += )2,0(π∈t ．则ttb t t a l 22sin cos cos sin -='，由0='l 得3tan abt =, 此时233232)(b a l +=，故木料最长为233232)(b a l +=．§3.6 函数图形的描绘１．求23)1(+=x x y 的渐近线.解：由 -∞=+-→231)1(limx x x ，所以1x =为曲线)(x f y =的铅直渐近线．因为 2)1(lim )(lim ,1)1(limlim 2322-=-+=-=+=∞→∞→∞→∞→x x x x y x x x y x x x x 所以2-=x y 为曲线)(x f y =的斜渐近线．2．作函数23)1(22--=x x y 的图形。

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P61 习题3-11、根据定义求导数：(1)cos y x =00000cos()cos lim2sin sin22limsin()sin22lim2sin2lim sin()lim22sin x x x x x x x x y xx x x x x x xx xx xx x x x ∆→∆→∆→∆→∆→+∆-'=∆+∆++∆--=∆∆∆+=-∆∆∆=-+⋅=- 12(2)y x =1122012()lim limlim 12x x x x x xy xx ∆→∆→∆→-+∆-'=∆====(3)y =033223222(limlimlimlimx x x x x x y x∆→∆→∆→∆→+∆'=∆=====(4)x y a =001lim lim x x x x xx x a a a y a x x+∆∆∆→∆→--'==∆∆设t x =∆，则01lim t xt a y a t→-'=再设ts a =，则log a t s =，于是111111011lim log 1limlog 1lim log [1(1)]1log ln x s ax s s a x s s a xa x s y a s a sa s a ea a→→--→--'===+-==2、0000000()()(1)lim[(()]()lim ()x x f x x f x xf x x f x x f x ∆→-∆→-∆-∆+-∆-=--∆'=-00000000000000000000000()()(2)lim()()()()lim ()()()()lim lim ()()()()lim lim ()[()]2()x x x x x x f x x f x x xf x x f x f x f x x xf x x f x f x f x x x xf x x f x f x x f x x x f x f x f x ∆→∆→∆→∆→∆→∆→+∆--∆∆+∆-+--∆=∆+∆---∆=+∆∆+∆--∆-=-∆∆''=--'= 000()(3)lim()lim (0)(0)lim (0)x x x f x x f x xf x f x f →∆→∆→∆=∆+∆-=∆'= 00001001(4)lim [()()]1()()lim 1()n nn f x f x nf x f x n nf x →∞→+-+-='=3、证：()f x 为偶函数且(0)0f =，则00000(0)(0)(0)lim ()(0)lim ()(0)lim ()(0)lim ()(0)lim (0)x x x x x f x f f x f x f xf x f xf x f xf x f x f ----+-∆→∆→∆→∆→-∆→++∆-'=∆∆-=∆-∆-=∆-∆-=--∆-∆-=--∆'=- 又()f x 在0x =处可导，则(0)(0)f f -+''=即(0)(0)f f ++''=- 所以(0)0f +'= 故(0)0f '=。

4、证：（1）设()f x 为可导的奇函数，则：0000()()()lim()()lim ()()lim[()]()lim ()x x x x f x x f x f x x f x x f x xf x x f x xf x x f x x f x ∆→∆→∆→-∆→-+∆--'-=∆--∆+=∆-∆-=-∆+-∆-=-∆'= 所以()f x '为偶函数。

（2）设()f x 为可导的偶函数，则：0000()()()lim()()lim ()()lim[()]()lim ()x x x x f x x f x f x x f x x f x xf x x f x xf x x f x x f x ∆→∆→∆→-∆→-+∆--'-=∆-∆-=∆-∆-=--∆+-∆-=--∆'=- 所以()f x '为奇函数。

（3）设()f x 为可导的周期函数且其周期为T ，则：00()()()lim()()lim ()x x f x T x f x T f x T x f x x f x x f x ∆→∆→++∆-+'+=∆+∆-=∆'= 所以()f x '仍为以T 为周期的周期函数。

5、解：00||1x x x y e =='==x y e ∴=在点(0,1)处的切线斜率为1，法线斜率为了-1，故所求的切线和法线方程分别为：1,1y x y x -=-=-即1,1y x y x =+=-+。

6、解：1lim ()lim sin0(0)x x f x x f x→→=== 所以()f x 在0x =处连续；000000011()sinsin lim ()lim 111sin sin sinlim 11sin sin1lim lim sin 11(sin sin )1lim sin 11112cos sin 12sin lim x x x x x x x x x x x x x f x xx x x x x x x x xx x x x x x x xx x x x x xx x x x x xx x -------∆→∆→∆→∆→∆→∆→∆→+∆-+∆=∆+∆-+∆+∆=∆-+∆=+∆+∆-+∆=+∆+-+∆+∆=+0022sin112()sin 2cos lim 1sin112()2()sin 2cos lim 2()111sin 2cos ()2111sin cosx x xx x x x x x x xxx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x--∆→∆→∆-∆+∆=+∆--∆+∆+∆=+-∆+∆=+⋅-=-即：111()cos sin f x x x x'=- 于是()f x 在0x =处不可导。

7、解：()f x 在1x =处连续，112lim ()lim()(1)11x x f x ax b a b f ++→→∴=+=+===即1a b +=又()f x 在1x =处可导，00(1)(1)(1)lim (1)()lim x x f x f f x a x b a b x a---∆→∆→+∆-'=∆+∆+-+=∆= 022020(1)(1)(1)lim (1)1lim 2lim 2x x x f x f f x x xx x x +--+∆→∆→∆→+∆-'=∆+∆-=∆∆+∆=∆= 又()f x 在1x =处可导，2a ∴=由1a b +=得1b =-。

8、解：由已知，产品的产量N 并不随劳动力数量x 的增加而均匀增加，当0x x =时劳动生产率应为： 0000()()lim()x x N x N x N x x x →-'=-。

P67 习题3-21、求下列函数的导数：52524(1)(31)()(3)()1561y x x x x x x x x ''=+++''''=+++=++ 2222(2)(cos )()cos (cos )2cos sin y x x x x x x x x x x ''=''=+=- 221(3)()sin (1)sin (1)(sin )sin sin (1)cos sin xy xx x x x xx x x x+''=''+-+=-+=2(4)(tan sin )(tan )(sin )sec cos y x x x x x x''=+''=+=+ 2222222(5)()(2)4x x xy e e x xe ''='=⋅=(6)(arctan 1112y x ''='==⋅+=2222222(7)(cos3)()cos3(cos3)2cos3(3sin 3)2cos33sin 3x x x x x x x y e x e x e x e x x e x xe x e x''=''=+=⋅⋅+-=-(8)(ln(cos ))ln(cos )(ln(cos ))ln(cos )(cos )cos sin ln(cos )cos ln(cos )tan y x x x x x x xx x x x xx xx x x''=''=+'=+⋅=-=-2、解：2212122211()()2111()()21[(2)][(1)]12(2)(1)f x x x x x x x x x x --''=+++''=+++''=+++=--++2221201(0)(02)(01)4f ⨯'∴=--=-++ 22212(1)1(1)(12)((1)1)2f ⨯-'-=--=--+-+ 22212111(1)(12)(11)18f ⨯'=--=-++ 3、解：11()1111()1x f x x xf x x ==++∴=+ 211()()1(1)f x x x ''∴==-++ 4、解：当1x -∞<<时，(1)1y x ''=-=-当12x ≤≤时，[(1)(2)]23y x x x ''=--=-当2x <<+∞时，[(2)1]1y x ''=--+=1,123,121,2x y x x x --∞<<⎧⎪'∴=-≤≤⎨⎪<<+∞⎩P69 习题3-31、求下列函数的二阶导数：325527553(1)()536()525y x x y x x---'''==='''∴==-22222222222(2)()(2)2(2)(2)(2)()22(2)24x x xx x x x x x x y e e x xe y xe x e x e e x xe ex e----------''==⋅-=-'''''∴=-=-+-=---=-+ 22(3)(sin cos )cos sin (cos sin )sin cos y ax bx a ax b bxy a ax b bx a ax b bx ''=+=-'''∴=-=-- (4)(sin )sin cos (sin cos )(sin )(cos )sin cos cos sin 2cos x x x x x xxx x x x x y e x e x e x y e x e x e x e x e x e x e x e x e x ''==+'''∴=+''=+=++-=21(5)(ln 2)11()y x x y x x''=='''∴==-22(6)[ln(2)]ln(2)2[ln(2)]2122(2)4(2)x y x x x x x y x x x x x x x x ''=+=+++'''∴=++++-=++++=+2、求下列函数的n 阶导数：3222(1)(1)321(321)62(62)6y x x x x x y x x x y x ''=+++=++'''=++=+''''=+=当3n >时()0n y =112(4)23(5)34()1(2)(ln )ln 1(ln 1)()()2(2)6()(2)!,(2)n n n y x x x y x x y x x y x x y x x y n x n --------''==+'''=+=''''==-'=-='==-=--≥2(4)(5)(6)(3)(sin )2sin cos sin 2(sin 2)2cos 22sin(2)22(2cos 2)4sin 24sin(2)23(4sin 2)8cos 28sin(2)24(8cos 2)16sin 216sin(2)25(16sin 2)32cos 232sin(y x x x x y x x x y x x x y x x x y x x x y x x ππππ''==='''===+''''==-=+'=-=-=+'=-==+'===()12)212sin(2)2n n x n y x ππ-+-=+()(4)()(1)[(1)](1)(2)()x x x xx x x xn xy xe e xe x ey x e e x e x e y x n e ''==+=+'''=+=++=+=+P73 习题3-4 1、解：由0xyxy e e -+=两边对x 求导得：0x y x yy xy e e y e y y e x''+-+⋅=-'∴=+2、解：由1ln()yy x y e =-++两边对x 求导得：111yyy y y e y x yy xe ye x y '+''=-+⋅+'∴=+---3、解：由23xy e x y --=两边对x 求导得：()2021xy xyxye y xy y ye y xe ''+--=-'∴=-把0y =代入23xy e x y --=解得1x =-，12|11xyx xy ye y xe =--'∴==--即所给曲线在点(1,0)-处的切线斜率1k =- 故所求切线方程为：1(1)y x =-+即1y x =--。