基本迭代方法
计算方法-迭代法讲义
计算 xi(k1) 时,
x(k 1) j
(
j
i)的值已经算出
所以迭代公式可以修改成：
X (k1) D1LX(k1) D1UX (k) D1b
或写成分量形式
i1
n
x(k1) i
(bi
aij
x
( j
k 1)
aij x(jk) ) / aii
j 1
j i 1
7
把矩阵A 记为 A = D – L – U ，则方程组等价为 (D – L)X = ＵＸ＋b ， 从而有： Ｘ = (D – L)-1 UX + (D – L)-1b
2
4.1、雅可比（Jacobi）迭代法
把矩阵A 记为 A = D – L – U ，则方程组等价为
DX = (Ｌ＋Ｕ)Ｘ＋b ，
若 det(D)0, 则有：
Ｘ = D-1(L + U)X + D-1b
得到雅可比迭代矩阵：
BJ = D-1(L + U)，b’= D-1b 从而，得到雅可比迭代公式：
注意：这里的对角 矩阵的D-1是非常 容易计算的。
（精度要求）
得到满足要求的近似解。
例子：p.55(p.52)例8 ，10-3的精度，迭代10 次。
3x1x12xx22
5 5
x( 1
k
1)
x(k) 2 3
5 3
x2( k
1)
x(k) 1
2
5 2
x(0 1
x2(0
) )
0 0
6
4.2、高斯-赛德尔迭代法 雅可比方法中
X (k1) D1(L U) X (k) D1b
|| B || 0.62875, || B ||1 0.648065375,
迭代法
迭代方法也称为滚动方法。
Bai是一个过程，其中变量Du的旧值用于重现新值。
迭代算法是解决计算机问题的基本方法。
它利用了运算速度快的特点，并且适合重复操作，因此计算机可以重复执行一组指令（或某些步骤）。
每次执行指令组（或这些步骤）时，都会从变量的原始值中得出一个新值。
迭代方法分为精确迭代和近似迭代。
典型的迭代方法（例如二分法和牛顿迭代）属于近似迭代。
扩展数据：
对于区间[a，b]和f（a）·f（b）<0上的连续函数y=f（x），通过连续除以函数f（x）零点所在的区间，间隔的两个端点逐渐接近零点，然后获得零点的近似值称为二分法。
令[a，b]为R的封闭区间。
连续二等分方法将创建以下区间序列（[an，BN]），如下所示：A0=a，B0=B，并且对于任何自然数n，[an+1，BN+1]等于[an，cn]或等于[cn，BN]，其中CN表示[an，BN]的中点。
方法介绍
迭代法是一类利用递推公式或循环算法通过构造序列来求问题近似解的方法。
例如，对非线性方程，利用递推关系式，从开始依次计算，来逼近方程的根的方法，若仅与有关，即，则称此迭代法为单步迭代法，一般称为多步迭代法；对于线性方程组，由关系从开始依次计算来过近方程的解的方法。
若对某一正整数，当时，与k无关，称该迭代法为定常迭代法，否则称之为非定常迭代法。
称所构造的序
列为迭代序列。
迭代升级理念、方法、手段和机制
迭代升级理念、方法、手段和机制1.引言1.1 概述迭代升级是一种持续发展和改进产品或服务的理念和方法。
它强调通过逐步迭代的方式，不断优化和更新产品或服务，以适应不断变化的市场需求和用户要求。
迭代升级的核心观点是，产品或服务的完美状态是在不断的优化和改进中实现的。
与传统的一次性发布产品不同，迭代升级将产品或服务的发展视为一个连续、循序渐进的过程。
在迭代升级过程中，每一次迭代都是一个完整的整体，具备一定的功能和价值。
而每一次迭代的目标是通过收集用户反馈和数据分析，发现问题和不足，然后对产品或服务进行相应的改进和升级。
通过不断迭代升级，产品或服务可以更好地满足用户的需求，提供更好的用户体验，提高产品或服务的质量和性能，并保持与市场的竞争力。
本文将从迭代升级理念、方法、手段和机制四个方面进行探讨，旨在深入理解迭代升级的内涵和实践，为企业和团队的发展提供借鉴和启示。
在接下来的章节中，我们将首先对迭代升级理念进行详细阐述，包括其定义、意义和发展历程。
然后，我们将介绍常见的迭代升级方法，并通过实际案例来展示它们的应用。
接着，我们将讨论迭代升级中技术手段的重要性，并列举一些常用的手段。
最后，我们将探讨迭代升级的机制，包括机制的定义、作用和成功案例。
最后，在结论部分，我们将总结迭代升级的重要性，并展望未来的发展方向。
通过本文的阅读，读者将对迭代升级的相关概念有更加明确的认识，了解其在实际应用中的方法、手段和机制，为企业和团队的发展提供参考和指导。
文章结构部分的内容应包括对整篇文章的章节和内容进行简要的介绍，以帮助读者了解文章的结构和主要内容。
下面是一个示例：1.2 文章结构本文分为引言、正文和结论三个部分，总共包括六个章节。
引言部分介绍了本文的背景和意义，概述了迭代升级理念、方法、手段和机制的研究内容和重要性。
同时，引言部分还说明了文章结构和目的。
正文部分是本文的主体，包括了迭代升级理念、方法、手段和机制的详细讨论。
2.2 迭代法
x k +1 = 3 x k + 1
计算结果如下: 计算结果如下:
k=0,1,2,3…….
计算方法
k 0 1 2 3 4
xk
1.5 1.35721 1.33086 1.32588 1.32494
k 5 6 7 8
xk
1.32476 1.32473 1.32Байду номын сангаас72 1.32472
精确到小数点后五位
x = 1.32472
′( x* ) = ϕ ′′( x* ) = L = ϕ ( p−1) ( x* ) = 0, ϕ ( p ) ( x* ) ≠ 0 ϕ 邻域是p阶收敛的。 则迭代过程在 x * 邻域是p阶收敛的。
证: 由于 ϕ ′( x * ) = 0 * ′( x* ) < 1 , 即在 x 邻域 ϕ ϕ ( xk ) 在 x * 处 有局部收敛性, 所以 xk+1 = ϕ( xk ) 有局部收敛性, 将 泰勒展开
计算方法
一、迭代法的基本思想: 迭代法的基本思想: 为求解非线性方程f(x)=0的根，先将其写成便于 的根， 为求解非线性方程 的根 迭代的等价方程
x = ϕ ( x)
的连续函数。 其中ϕ ( x ) 为x的连续函数。 的连续函数
(2.3)
计算方法
即如果数 α 使 f(x)=0, 则也有 α = ϕ (α ) , 反之, 反之, 若α = ϕ (α ) ,则也有 f (α ) = 0 的右端, 任取一个初值 x ,代入式 x = ϕ ( x ) 的右端, 得到 0
ϕ ′( x ) ≤ L < 1
计算方法
则对于任意的初始值 x0 ∈ S ，由迭代公式 收敛于方程的根。 产生的数列 { xn } 收敛于方程的根。 （这时称迭代法在 α 的S邻域具有局部收敛性。） 邻域具有局部收敛性。）
线性方程组的迭代式求解方法
线性方程组的迭代式求解方法迭代法解方程的基本原理1.概述把 Ax=b 改写成 x=Bx+f ，如果这一迭代格式收敛，对这个式子不断迭代计算就可以得到方程组的解。
道理很简单：对 x^{(k+1)}=bx^{(k)}+f 两边取极限，显然如果收敛，则最终得到的解满足 \lim_{k\rightarrow\infty } x^{(k)}=x^*=Bx^*+f ，从而必然满足原方程 Ax^*=b 。
迭代方法的本质在于这一次的输出可以当作下一次的输入，从而能够实现循环往复的求解，方法收敛时，计算次数越多越接近真实值。
2.收敛条件充要条件：迭代格式 x=Bx+f 收敛的充要条件是 \rho (B)<1充分条件： \Vert B\Vert <1即 \Vert B\Vert <1 \Rightarrow \rho(B)<1\Leftrightarrow 迭代收敛一、Jacobi迭代法怎样改写Ax=b ，从而进行迭代求解呢？一种最简单的迭代方法就是把第i行的 x_i 分离出来(假定 a_{ii} \ne 0 )：\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j=b_i\Rightarrow x_i=\frac{b_i-\sum_{j=1,j\ne i}^{n}a_{ij}x_j}{a_{ii}}\quad \\这就是Jacobi(雅可比)迭代法。
迭代格式给定x^{(0)}=\left[x_1^{(0)},x_2^{(0)},\cdots,x_n^{(0)}\rig ht]^T ，则Jacobi法的迭代格式（也称分量形式）为x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\left ( {b_i-\sum_{j=1,j\ne i}^{n}a_{ij}x_j^{(k)}}\right),\quadi=1,2,\cdots,n\\矩阵形式设 A=D-L-U。
Jacobi法的矩阵形式（也称向量形式）为x^{(k+1)}=B_Jx^{(k)}+D^{-1}b\\其中迭代矩阵 B_J=D^{-1}(L+U)收敛条件\begin{eqnarray} \left. \begin{array}{lll} \VertB_J\Vert <1 \\ A 严格对角占优\\ A, 2D-A对称正定\end{array} \right \} \end{eqnarray} \Rightarrow \rho (B_J)<1\Leftrightarrow 迭代收敛特别地，若 A 对称正定且为三对角，则 \rho^2(B_J)=\rho (B_G)<1 。
rankine源法
rankine源法
Rankine源法是一种用于求解流体动力学问题的方法。
它可能是
最基本的迭代方法之一，用于计算剪应力、压力和速度。
该方法是在
19世纪中期由William John Macquorn Rankine首次提出的。
该方法基于流场中的Rankine小孔理论推导而来。
它将流场划分
为若干个小的单元，并在每个单元中引入一些称为Rankine源的点源。
这些点源代表了流体内部的一些物理特性，如流体的流量、速度和压
力等。
通过对这些源进行迭代计算，可以得到流场内部的压力、速度
和剪应力等信息。
Rankine源法在数学上被表示为一系列偏微分方程。
这些方程描
述了流场内部的物理量之间的相互关系，包括质量守恒、动量守恒和
能量守恒等。
通过对这些方程进行求解，可以得到流场内部的精确解。
虽然Rankine源法在流体动力学中应用非常广泛，但它也有一些
局限性。
例如，它通常只适用于稳态流动或低速流动，不适用于高速
流动或湍流等非线性流动问题。
此外，由于计算量较大，它也不适用
于大规模的流体动力学问题。
综上所述，Rankine源法是流体动力学中一种非常基本的分析工具，可以用于求解各种流体力学问题。
但是，在实际应用中，需要根
据具体情况选择合适的方法来求解问题。
几种迭代计算方法
几种迭代计算方法迭代计算方法是一种重要的计算技术，它是基于不断逼近的原理，通过多次迭代运算来逼近所要求解的问题的计算结果。
下面将介绍几种常见的迭代计算方法。
1.不动点迭代不动点迭代是指通过选择一个合适的迭代函数来不断逼近一个不动点的过程。
不动点指的是在迭代函数中，当迭代到其中一步时，迭代函数的值等于该迭代的值，即f(x)=x。
常见的不动点迭代有牛顿迭代法和迭代法求解方程。
牛顿迭代法通过选择一个初始值x0，利用迭代函数f(x)=x-f(x)/f'(x)来逼近方程f(x)=0的根。
每次迭代中，通过计算迭代函数的值来更新x的值，直至满足一定的精度要求。
迭代法求解方程是通过将方程f(x) = 0转化为x = g(x)的形式，并选择一个合适的g(x)来进行不断迭代求解的方法。
通过选择不同的g(x)，可以得到不同的迭代方法，如简单迭代法、Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法等。
2.逐次平方根法逐次平方根法是一种通过不断迭代计算来求解线性方程组的方法。
该方法通过对原始的线性方程组进行变换，将其转化为对角线元素全为1的上三角矩阵，并将方程组的解表示为逐次迭代的形式。
在每次迭代中，通过求解一个线性方程组来更新解的值，直至满足一定的精度要求。
逐次平方根法是一种迭代计算方法，其主要适用于对称正定矩阵，能够有效地求解大规模线性方程组。
3.迭代加权法迭代加权法是一种通过引入权重来加快迭代收敛速度的方法。
该方法在每次迭代更新解的时候，通过对解的不同分量引入不同的权重来控制更新的幅度。
通过合理选择权重，可以加快迭代收敛速度，提高求解效率。
迭代加权法是一种通用的迭代计算方法，在多个领域中有不同的应用，如求解矩阵特征值问题、求解最优化问题等。
以上介绍的是常见的几种迭代计算方法，它们在不同的问题中有着广泛的应用。
这些方法通过迭代运算不断逼近所要求解的问题的计算结果，具有较好的收敛性和计算效率，是一种重要的计算技术。
基本迭代方法
,
k = 0, 1, . . . ,
,
k = 0, 1, . . . , (3.2)
N
称为 迭代矩阵.
这就是基于矩阵分裂 A = M − N 的迭代方法.
选取不同的 M , 就可以构造出不同的迭代方法.
9/98
1.2
Jacobi 迭代
记 A = D − L − U , 其中 D 为 A 的对角部分, −L 和 −U 为 A 的严 格下三角和严格上三角部分. 取 M = D, N = L + U , 则可得 Jacobi 迭代 方法: x(k+1) = D−1 (L + U )x(k) + D−1 b 对应的迭代矩阵为 GJ = D−1 (L + U )
定常迭代法有时也称为经典迭代法, 基本迭代法 或 不动点迭代法.
3/98
迭代法基本想法
当直接求解 Ax = b 比较困难时, 我们可以求解一个近似等价方程 组 M x = b , 其中 M 是对 A 的某种意义下的近似. 设 M x = b 的解为 x(1) . 则它与原方程的解 x∗ = A−1 b 之间的差满足 ( ) A x∗ − x(1) = b − Ax(1) 如果 x(1) 已经满足精度要求, 则可以停止计算, 否则需要进行修正.
关键技术 矩阵分裂
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1.1
矩阵分裂与定常迭代
定义 1 (矩阵分裂, Matrix Splitting) 设 A ∈ Rn×n 非奇异, 称 A=M −N 为 A 的一个 矩阵分裂 , 其中 M 非奇异. (3.1)
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给定一个矩阵分裂 (3.1), 则原方程组 Ax = b 就等价于 M x = N x + b . 于是我们就可以构造出以下的迭代格式 M x(k+1) = N x(k) + b 或 x(k+1) = M −1 N x(k) + M −1 b ≜ Gx(k) + g 其中 G ≜ M
迭代器的基本方法
迭代器的基本方法迭代器是一种用于遍历集合（容器）中元素的对象，它提供了一系列基本方法来访问集合中的元素。
本文将介绍迭代器的基本方法，包括获取迭代器、移动迭代器、访问当前元素、判断迭代器是否结束等。
获取迭代器获取迭代器是使用迭代器的第一步。
在Python中，可以使用iter()函数来获取一个迭代器对象。
该函数接受一个可迭代对象作为参数，并返回该对象的迭代器。
例如，可以使用iter()函数获取一个列表的迭代器，然后使用迭代器遍历列表中的元素。
移动迭代器迭代器的主要功能是遍历集合中的元素，为了实现这一功能，迭代器提供了两个基本方法：next()和__next__()。
这两个方法都用于移动迭代器到下一个元素，并返回该元素的值。
在Python中，可以使用next()函数来调用迭代器的next()方法，用于获取迭代器的下一个元素。
访问当前元素迭代器还提供了一个方法用于访问当前元素的值，即__iter__()方法。
该方法返回迭代器对象本身，因此可以使用迭代器对象直接访问当前元素的值。
例如，可以使用迭代器对象获取当前元素并进行相关操作，然后再移动迭代器到下一个元素。
判断迭代器是否结束在遍历集合时，需要判断迭代器是否已经遍历完所有元素。
迭代器提供了一个基本方法用于判断迭代器是否结束，即__iter__()方法。
该方法返回一个布尔值，表示迭代器是否还有剩余的元素未被遍历。
可以使用该方法来判断迭代器是否结束，并根据需要进行相应的处理。
除了上述基本方法外，迭代器还可以实现其他功能，如过滤、映射、计数等。
通过自定义迭代器类，并实现特定的方法，可以实现这些功能。
例如，可以实现一个过滤器迭代器，用于过滤集合中的元素；或者实现一个映射迭代器，用于对集合中的元素进行映射操作。
总结起来，迭代器是一种用于遍历集合中元素的对象，它提供了一系列基本方法来访问集合中的元素。
这些基本方法包括获取迭代器、移动迭代器、访问当前元素、判断迭代器是否结束等。
最优化理论与方法——牛顿法
牛顿法牛顿法作为求解非线性方程的一种经典的迭代方法，它的收敛速度快，有内在函数可以直接使用。
结合着matlab 可以对其进行应用，求解方程。
牛顿迭代法（Newton Newton’’s s method method ）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method ）,它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法,其基本思想是利用目标函数的二次Taylor 展开，并将其极小化。
牛顿法使用函数()f x 的泰勒级数的前面几项来寻找方程()0f x =的根。
牛顿法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程()0f x =的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时非线性收敛，但是可通过一些方法变成线性收敛。
收敛。
牛顿法的几何解释：牛顿法的几何解释：方程()0f x =的根*x 可解释为曲线()y f x =与x 轴的焦点的横坐标。
如下图：轴的焦点的横坐标。
如下图：设k x 是根*x 的某个近似值，过曲线()y f x =上横坐标为k x 的点k P 引切线，并将该切线与x 轴的交点轴的交点 的横坐标1k x +作为*x 的新的近似值。
鉴于这种几何背景，牛顿法亦称为切线法。
牛顿法亦称为切线法。
2 牛顿迭代公式：（1）最速下降法：x-d gk k×Gg sks×GGd 101x x x -（1）令k k G v I k G -=+，其中：，其中：0k v =，如果k G 正定；0,k v >否则。
否则。
（2）计算_k G 的Cholesky 分解，_T k k k k G L D L =。
（3）解_k k G d g =-得k d 。
（4）令1k k k x x d +=+牛顿法的优点是收敛快，缺点一是每步迭代要计算()()'k k f x f x 及，计算量较大且有时()'k fx 计算较困难，二是初始近似值0x 只在根*x附近才能保证收敛，如0x 给的不合适可能不收敛。
三种牛顿迭代法
三种牛顿迭代法牛顿迭代法是求解方程的一种常用方法。
它是一种迭代法，基本思想是从一个初始点开始，通过函数的局部线性逼近，求得函数的零点。
然后利用新的零点作为下一次迭代的初始点，直到满足预设的精度要求为止。
三种常用的牛顿迭代法包括：常规牛顿迭代法、改进牛顿迭代法和高效牛顿迭代法。
常规牛顿迭代法是最基本的牛顿迭代法，它通过函数的一阶导数和二阶导数来逼近函数的零点。
具体而言，设$f(x)$是要求解的方程，$x_{k}$是当前的估计解，$f^{prime}(x_{k})$是$f(x)$在$x_{k}$处的一阶导数，$f^{prime prime}(x_{k})$是$f(x)$在$x_{k}$处的二阶导数，则常规牛顿迭代法的迭代公式为：$x_{k+1}=x_{k}-frac{f(x_{k})}{f^{prime}(x_{k})}$ 改进牛顿迭代法是针对常规牛顿迭代法的局限性而提出的。
常规牛顿迭代法在求解某些特定的方程时可能会失效，例如当$f^{prime}(x_{k})$接近于零时，迭代公式会出现除零的情况。
改进牛顿迭代法通过加入一个修正因子来避免这种情况的发生。
具体而言，在计算$x_{k+1}$时，改进牛顿迭代法的迭代公式为：$x_{k+1}=x_{k}-frac{f(x_{k})}{f^{prime}(x_{k})+frac{1}{2}f^ {prime prime}(x_{k})(x_{k+1}-x_{k})}$高效牛顿迭代法是一种优化的牛顿迭代法，它通过使用逆Hessian矩阵来加速迭代收敛。
逆Hessian矩阵是函数$f(x)$在$x_{k}$处的Hessian矩阵的逆矩阵，即$H^{-1}(x_{k})=[f^{prime prime}(x_{k})]^{-1}$，其中$[f^{prime prime}(x_{k})]^{-1}$表示$f(x)$在$x_{k}$处的二阶导数矩阵的逆矩阵。
高效牛顿迭代法的迭代公式为：$x_{k+1}=x_{k}-H^{-1}(x_{k})f(x_{k})$总之，牛顿迭代法是一种重要的求解方程的方法，常规牛顿迭代法、改进牛顿迭代法和高效牛顿迭代法是其中的三种常用方法，每种方法都有其适用范围和优缺点。
迭代创新方案
迭代创新方案引言随着科技的快速发展和市场的竞争加剧，企业需要不断地进行创新来保持竞争力。
迭代创新是一种持续改进的方法，通过小步快跑的方式，逐渐优化产品、流程或服务。
本文将介绍迭代创新的概念、原则和实施步骤，并提供一些实用的迭代创新方案。
迭代创新概念迭代创新是指以循序渐进的方式对产品、流程或服务进行不断优化的创新方法。
相对于一次性的创新，迭代创新更注重快速试错、反馈和调整，通过多次小规模改进来实现持续创新。
迭代创新的核心思想是“做一件事比想一件事更重要”。
在迭代创新过程中，企业需要尽快将自己的创意或想法转化为具体的产品或服务，然后通过不断试错和反馈来改进和优化。
迭代创新原则迭代创新有一些基本的原则，可以帮助企业更好地实施迭代创新方案：1. 小步快跑迭代创新注重快速试错，因此应该尽量将改进的范围缩小，采取小步快跑的方式进行迭代。
这样可以降低风险，减少资源和时间的浪费。
2. 鼓励创新文化企业应该鼓励员工提出创新的想法和建议，并给予充分的支持和鼓励。
创新文化的营造和维护是迭代创新成功的关键。
3. 快速反馈迭代创新强调快速试错和反馈，企业应该建立一套有效的反馈机制，及时了解用户或市场对改进的反应。
通过及时的反馈，企业可以快速调整和改进产品或服务。
4. 持续改进迭代创新是一个持续不断的过程，企业需要时刻关注市场的变化和用户的需求，并且持续改进和优化产品或服务。
只有不断改进才能保持竞争力。
迭代创新步骤迭代创新的实施可以按照以下步骤进行：1. 确定目标和范围首先，需要明确改进的目标和范围。
明确目标可以帮助企业更加有针对性地进行改进，避免盲目和漫无目的的尝试。
2. 执行小规模改进接下来，企业可以尝试执行一些小规模的改进，例如改进产品的某个功能、优化服务流程或调整市场营销策略等。
这些改进应该是可行性较高的，可以尽快落地和验证的。
3. 收集反馈在执行改进的过程中，企业应该主动收集并分析用户或市场的反馈。
这些反馈可以来自用户调研、市场竞争对手的表现、销售数据等多个渠道。
产品迭代与改进的方法与技巧
产品迭代与改进的方法与技巧在快速发展的市场环境下，产品迭代和改进已经成为企业不可或缺的一部分。
为了适应用户需求的变化和满足市场竞争的要求，不断改进和迭代产品已经成为企业取得成功的关键之一。
本文将介绍几种常见的产品迭代和改进的方法和技巧，帮助企业更好地进行产品创新和优化。
一、用户需求调研用户需求是产品迭代和改进的基础。
了解用户的真实需求、关注点和痛点，能够为产品的迭代和改进提供有力的依据。
因此，企业可以通过以下几种方法进行用户需求调研：1. 问卷调查：通过设计合适的问卷，向用户收集关于产品的满意度、需求意见以及可能的改进建议等信息。
2. 用户访谈：与目标用户进行面对面的访谈，深入了解他们的使用体验、需求和期望。
3. 用户观察：观察用户在使用产品时的行为和反应，从中发现问题和改进的空间。
二、数据分析与评估数据分析和评估是产品改进的重要手段。
通过分析产品的使用数据和指标，可以发现用户行为和使用习惯，为产品的优化和改进提供依据。
以下是几种常见的数据分析与评估方法：1. 用户行为分析：通过使用工具，如Google Analytics等，分析用户在产品中的行为轨迹，了解用户喜好、使用习惯和痛点。
2. 用户反馈分析：收集和整理用户提交的反馈和评价，了解用户对产品的意见和建议，发现改进的方向。
3. A/B测试：通过对产品的不同版本进行测试，比较用户对不同版本的反应和行为，找出最优的改进方案。
三、团队协作与反馈循环团队的协作和反馈循环是产品迭代和改进的重要环节。
通过与不同部门和团队的密切合作，可以充分利用各个团队的专业知识和经验，快速推进产品的迭代和改进。
以下是几种常见的团队协作与反馈循环的方法与技巧：1. 多部门合作：建立跨部门的合作机制，包括产品、设计、研发、市场等部门的密切协作，确保产品的改进能够全面考虑各个方面的需求。
2. 反馈循环：建立良好的反馈机制，及时收集用户和内部团队的反馈意见，将其融入到产品的迭代和改进中。
迭代法
2 迭代法2.1 迭代法的一般概念迭代法是数值计算中一类典型方法，不仅用于方程求根，而且用于方程组求解，矩阵求特征值等方面。
迭代法的基本思想是一种逐次逼近的方法。
首先取一个精糙的近似值，然后用同一个递推公式，反复校正这个初值，直到满足预先给定的精度要求为止。
对于迭代法，一般需要讨论的基本问题是：迭代法的构造、迭代序列的收敛性天收敛速度以及误差估计。
这里，主要看看解方程迭代式的构造。
对方程(1.1)，在区间],[b a 内，可改写成为：)(x x ϕ= (2.1)取],[0b a x ∈，用递推公式：)(1k k x x ϕ=+, Λ,2,1,0=k(2.2)可得到序列：∞==0210}{,,,,k k k x x x x x ΛΛ(2.3) 当∞→k 时，序列∞=0}{k k x 有极限x ~，且)(x ϕ在x ~附近连续，则在式(2.2)两边极限，得，)~(~x x ϕ=即，x ~为方程(2.1)的根。
由于方式(1.1)和方程(2.1)等价，所以，x x ~*= 即，*lim x x k k =∞→ 式(2.2)称为迭代式，也称为迭代公式；)(x ϕ可称为迭代函数。
称求得的序列∞=0}{k k x为迭代序列。
2.2 程序和实例下面是基于MATLAB 的迭代法程序，用迭代格式)(1n n x g p =+，求解方程)(x g x =，其中初始值为0p 。
**************************************************************************function[p,k,err,P]=fixpt(f1021,p0,tol,max1)% f1021是给定的迭代函数。
% p0是给定的初始值。
% tol 是给定的误差界。
% max1是所允许的最大迭代次数。
% k 是所进行的迭代次数加1。
% p 是不动点的近似值。
% err 是误差。
% P = {p1,p2,…,pn}P(1) = p0;for k = 2:max1P(k) = feval('f1021', P(k-1));k, err = abs(P(k) - P(k-1))p = P(k);if(err<tol),break;endif k == max1disp('maximum number of iterations exceeded');endendP=P;****************************************************************************例2.1 用上述程序求方程0sin 2=-x x 的一个近似解，给定初始值5.00=x ，误差界为510-。
简单迭代法
(1)当迭代函数(x)满足什么条件时，相应的迭代公式 xk+1=(xk)才收敛？
(2)当迭代收敛时，迭代值的误差如何估计？ 我们也不能无穷迭代下去，只能迭代有限次，所以需 要估计迭代值的误差，以便适时终止迭代。
迭代格式有多种，如何选择迭代函数才能保证迭 代法的数列收敛？有如下定理：
计式，得：
x* xk
Lk 1 L
x1 x0
计算方法二③
16/32
注1：定理2.1给出了一个收敛的迭代数列{xk}的误差 估计式。利用它，在给定精度ε>0后，只要计算到
L 1 L
|
xk
xk 1
|
就有：|x*-xk|<ε
即：只要前后两次迭代值的差值足够小，就 可使近似值xk达到任意的精度要求。
计算方法二③
记 x3=(x2) 如此反复计算…… xk+1=(xk) ，(k=0,1,2,…)
8/32
当{xk}收敛于a，而(x)是连续函数时，那么a
就是所求方程的根x* 。这是因为
a
lim
k
xk 1
lim
k
(
xk
)
(lim k
xk
)
(a)
a即是(x)的不动点。 即：x*=a
一般地，我们称(x)为方程f(x)=0的迭代函数，上
述求根的方法，称为简单迭代法。
迭代函数(x)的构造方法是多种多样的。
计算方法二③
5/32
例1 用迭代法求方程x3-x-1=0在x=1. 5附近的根。 解：先将原方程改写为如下两种等价形式：
x=1(x) 3 x 1
迭代法
迭代方法，也称为抛掷和翻转方法，是从变量的旧值连续递归新值的过程。
与迭代方法相对应的是直接方法（或一次性解决方案），即一次解决问题。
迭代算法是计算机解决问题的基本方法。
它利用计算机的快速运行速度并适合于重复操作，并使计算机重复执行一组指令（或某些步骤）。
每次执行这组指令（或这些步骤）时，都会从原始值中得出新的变量值。
迭代方法分为精确迭代和近似迭代。
典型的迭代方法（例如“二分法”和“牛顿迭代法”）是近似迭代方法。
迭代方法的主要研究课题是为有问题的问题构造收敛的迭代方案，并分析它们的收敛速度和收敛范围。
迭代方法的收敛定理可分为以下三类：
①局部收敛定理：假设存在问题的解，则可以得出结论，当初始逼近足够接近解时，迭代方法就会收敛；
②半局部收敛定理：在不假设解存在的前提下，得出迭代法根据迭代法在初始逼近时所满足的条件收敛到问题的解；
③大规模收敛定理：得出的结论是，替换方法收敛于问题的解，而无需假设初始近似值足够接近该解。
代换法广泛用于求解线性和非线性方程，优化计算和特征值计算。
迭代过程何时结束？这是编写迭代程序时必须考虑的问题。
迭代过程不能无休止地重复。
迭代过程的控制通常可以分为两种情况：一种是所需的迭代次数是某个值，并且可以计算；另一个是无法确定所需的
迭代次数。
在前一种情况下，可以构造固定数量的循环来控制迭代过程。
在后一种情况下，有必要进一步分析结束迭代过程的条件。
用迭代求特征值特征向量的方法
用迭代求特征值特征向量的方法
迭代方法是求解特征值和特征向量的常用方法之一。
其基本思想是通过迭代过程逐步逼近所求的特征值和特征向量，直到满足一定的精度要求为止。
具体来说，迭代方法一般分为幂法和反幂法两种。
其中，幂法是求解最大特征值和对应的特征向量的方法，反幂法是求解最小特征值和对应的特征向量的方法。
幂法迭代过程如下：首先任取一个非零向量作为初始向量，然后对其进行归一化处理。
接下来，将该向量与矩阵相乘，得到一个新向量。
对新向量进行归一化处理，再与矩阵相乘，重复以上过程直到收敛。
在迭代过程中，每次得到的向量都是当前矩阵的特征向量的一个近似值。
当迭代到一定次数或者收敛达到一定精度时，所得到的向量就是矩阵的最大特征值对应的特征向量。
反幂法与幂法的迭代过程基本相同，只是在每次迭代时需要对当前向量进行逆矩阵的乘法操作。
这样可以得到矩阵的最小特征值对应的特征向量。
需要注意的是，迭代求解特征值和特征向量的方法对于矩阵的条件数很敏感，因此在实际应用中需要对矩阵进行预处理和调整，以保证迭代过程的收敛性和精度。
- 1 -。
数值计算方法第三章 线性方程组迭代法
0,1,2,
取x1(0) 0, x2(0) 0,计算结果如下：
k0
x (k) 1
0
x (k) 2
0
1
2
3
4
0.66667 0.50000 0.61111 0.58333
0.50000 0.16667 0.25000 0.19445
5
6
7
8
9
0.60185 0.59722 0.60031 0.59954 0.6005
从而得迭代式 x(k1) (D L)1Ux (k) (D L)1 b, (k 0,1,2, )
上式中矩阵 M (D L)1U 为Gauss-Seidel迭代矩阵。
输入：A,b, n,
置初值： k 0; xi 0(i 1,L , n)
k k 1;e 0
3xx1 12xx22
2 1
精确到3位有效数字。
解 Gauss Siedel迭代格式为
x (k 1) 1
x (k 1) 2
(2 x2(k) ) / 3 (1 x1(k1) ) / 2
,
k
0,1,
2,L
取x1(0)
0,
x (0) 2
0, 计算结果如下：
0
101
0
1
10
2
1 0 0 101 1 1 5
0 0.1 0.2 0.1 0 0.2
0.2 0.2 0
取初值x (0) (0,0,0)T 代入迭代式
x(1) Bx (0) g (7.2,8.3,8.4)T x(2) Bx(1) g (9.17,10.70,11.50)T ，如此下去， x(9) Bx (1) g (10.9994 ,11.9994 ,12.9992 )T
牛顿-拉夫森(Newton-Raphson)迭代法
§3.4 牛顿迭代法牛顿迭代法也称为牛顿-拉夫森(Newton-Raphson)迭代法，它是数值分析中最重要的方法之一，它不仅适用于方程或方程组的求解，还常用于微分方程和积分方程求解。
3.4.1 牛顿迭代法用迭代法解非线性方程时，如何构造迭代函数是非常重要的，那么怎样构造的迭代函数才能保证迭代法收敛呢？牛顿迭代法就是常用的方法之一，其迭代格式的来源大概有以下几种方式：1设],[)(2b a C x f ∈，对)(x f 在点],[0b a x ∈作泰勒展开： !2))((''))((')()(20000x x f x x x f x f x f -+-+=ξ略去二次项，得到)(x f 的线性近似式：))((')()(000x x x f x f x f -+≈。
由此得到方程=)(x f 0的近似根(假定≠)('0x f 0)，)(')(000x f x f x x -=即可构造出迭代格式(假定≠)('k x f 0)：)(')(1k k k k x f x f x x -=+ 公式(3.4.1)这就是牛顿迭代公式，若得到的序列{k x }收敛于α，则α就是非线性方程的根。
2 牛顿迭代法也称为牛顿切线法，这是由于)(x f 的线性化近似函数)(x l ＝))((')(000x x x f x f -+是曲线y ＝)(x f 过点))(,(00x f x 的切线而得名的，求)(x f 的零点代之以求)(x l 的零点，即切线)(x l 与x 轴交点的横坐标，如右图所示，这就是牛顿切线法的几何解释。
实际上，牛顿迭代法也可以从几何意义上推出。
利用牛顿迭代公式，由k x 得到1+k x ，从几何图形上看，就是过点))(,(k k x f x 作函数)(x f 的切线k l ，切线k l 与x 轴的交点就是1+k x ，所以有1)()('+-=k k k k x x x f x f ，整理后也能得出牛顿迭代公式： )(')(1k k k k x f x f x x -=+。
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5.1.1 迭代公式的构造
设 A Rnn，b Rn ，A非奇异，x Rn 满足方程组
Ax=b。
（5.1.1）
如果能找到距阵 B Rnn，向量 f Rn ，使 I B 可逆，而且方程组
x=Bx+f
(5.1.2)
的唯一解就是方程组（5.1.1）的解，则可从（5.1.2）式构造一个定常的线
性迭代公式
第五章线性方程组迭代解法
第5章 线性方程组的迭代解法
首先看一个形成大型方程组的例子。考虑下面的Poisson方程
uxx uxx 0,0 x 1,0 y 1,
的离散逼近，其边界条件为：
u(0, y) y 2 , u(1, y) 1,0 y 1, u( x,0) x 2 , u( x,1) 1,0 x 1.
取 x y 0.25 进行网格剖分,用二阶导数,按逐行自左至右和自下而 上的自然次序离散华可得下列线性方程组
第五章线性方程组迭代解法
4 1
1
u1 0.125
1 4 1
1
u2 0.25
1 4
1
u3
1.5625
1
1
4 1
1
1 4 1
1
u4 0.25
u5
0
第五章线性方程组迭代解法
发，用设计好的步骤逐次算出近似解向量 x(k ) ，从而得到向量序 列 x(k) 。
一般 x(k1) 的计算公式是
x(k1) Fk ( x(k ) , x(k1) , , x(km) ), k 0,1, .
称之为多步迭代法．若 x(k1) 只与 x(k )有关，且 Fk 是线性的，即
x(k1) Bx(k ) f 。
（5.1.3）
给定初始向量 x(0) Rn , 由(5.1.3)可以产生序列 x k ,若它有极限 x* , 显然
x*就是(5.1.1)和(5.1.2)的解。
第五章线性方程组迭代解法
定义 5.1 若对任意初始向量 x(0) Rn ，迭代公式（5.1.3）产生的
从计算结果看，本例用 GS 法显然比用 J 法收敛快。
x3( k
1)
( x1(k )
3x2(k )
14) /10.
第五章线性方程组迭代解法
用 GS 法计算，按（5.1.9）有
x1( k x2( k
1) 1)
( (2 x1(k 1)
- 3x2(k )
x3(k ) 14) /10, 3x3(k ) 5) /10,
x3( k
1)
( x1(k 1)
用 J 法计算向量序列 x(k) ，要用两组单元存放向量x(k ) 和x(k1) 。
迭代法可以写成分量形式
i 1
n
x(k1) i
(bi
aij x(jk )
aij
x
(k j
)
)
/
aii
,
i
1,2,
, n.
（5.1.8）
j 1
j i 1
2. Gauss-Seidel 迭代法
在J 法中，计算 xi(k1) 时，分量
其中 D diag(a11, a22 , , ann ),
（5.1.4）
0
0 a12 a1n
L
a21 an1
0
an,n1
,U
0
0
a
n1,n
0
.
现设D非奇异，即 aii 0, i 1,2, , n 。方程组（5.1.1）等价于 x D1(L U ) x D1b.
由此构造迭代公式：
序列 x(k) 都有
lim x(k) x*,
k
则称迭代法（5.1.3）是收敛的。
从（5.1.1）出发，可以由不同的途径得到各种不同的等价方程组
（5.1.2），从而得到不同的迭代法（5.1.3）。例如，设A可以分解为
A M N ，其中M非奇异，则由（5.1.1）可得
x M 1Nx M 1b.
第五章线性方程组迭代解法
5.1 基本迭代方法
5.1.1 迭代公式的构造
5.1.2 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel迭代法
第五章线性方程组迭代解法
第五章 线性方程组的迭代解法
教学目的 1. 掌握Jacobi迭代法，G-S迭代法解大型线性方程组的
方法及其收敛性的判别方法； 2. 掌握SOR迭代法及收敛的必要条件(0<ω<2 )； 3. 了解三种迭代法之间的改进关系从而掌握该思想方法； 4. 理解迭代法基本定理。 教学重点及难点 重点是三种迭代法及收敛性的判别方法； 难点是迭代法基本定理及三种迭代法收敛定理的证明。
和向量 fGS 为
BGS (D L)1U ,
(5.1.11)
（5.1.10）
第五章线性方程组迭代解法
fGS (D L)1b.
(5.1.12)
Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法的分量形式供计算编程用，它们
的距阵形式供研究迭代序列是否收敛等理论分析用。
例５.１ 用Ｊ法和ＧＳ法分别求解方程组
aij
x
(k j
)
)
/
aii
,
i
1,2,
, n.
（5.1.9）
j 1
j i 1
这就是Gauss-Seidel 迭代法，简称 GS 法
将（5.1.9）写成距阵形式
经整理有
x(k1) D1(Lx (k 1) Ux (k ) b),
其中迭代距阵 BGS
x(k1) BGS x(k ) fGS , k 0,1, ,
1
1 4
1
4
1
1
u6 u7
1
1.5625
1
1
1
4 1
1 4
u8 u9
1 2
其中 ui3 j3(i, j 1,2,3) 是 u(ix, jy) 的近似值。这是一 种特殊形状的稀疏矩阵。随着x 和y 的减少，所得到的方程组的阶
数将增大。
对于大型线形代数方程组，常用迭代解法。它是从某些初始向量出
令 B M 1Nx M 1b, 就可以得到（5.1.2）的形式。不同的分解方式 A M N ，可的不同的 B 和 f , 下面给出对应不同分解方式的常用迭代
计算公式。
第五章线性方程组迭代解法
5.1.2 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel迭代法
1. Jacobi 迭代法
记 A (aij ) ， 可以把 A 分解为 A D LU,
x(k1) Bk x(k) fk,k 0,1 ,
其中Bk R(nn，) 称为单步线性迭代法，Bk 称为迭代距阵。若 Bk 和 fk
都与k 无关，即
x(k1) Bx(k ) f , k 0,1 ,
称为单步定常线性迭代法。本章主要讨论具有这种形式的各种迭代方法。
5.1 基本迭代方法
第五章线性方程组迭代解法
第五章线性方程组迭代解法
x(k1) BJ x(k ) f J , k 0,1, , 其中迭代距阵 BJ 和1(L U ) I D1A, f J D1b.
称（5.1.5）为解（5.1.1）的Jacobi 迭代法，简称 J 法。
（5.1.6） （5.1.7）
3x2(k 1)
14) /10.
取 x(0) (0,0,0)T，J 法迭代4次的计算结果是
x(4) (0.9906,0.9645,0.9906)T , x(4) x* 0.0356.
GS 法迭代4次的计算结果是
x(4) (0.99154,0.99578,1.0021)T , x(4) x* 0.0085.
x1(k 1) ,L
, x(k 1) i 1
已经算出，所以可考虑
第五章线性方程组迭代解法
对J 法进行修改。在每个分量计算出来之后，下一个分量的计算就利用最 新的计算结果。这样，在整个迭代过程中只要使用一组单元存放迭代向 量，其分量形式的计算结果为
i 1
n
x(k1) i
(bi
a x(k 1) ii j
10
3
1
x1
14
2 10 3 x2 5,
1 3 10 x3 14
其准确解为 x* (1,1,1)T。
解 用 J 法计算，按（5.1.8）有
x(k 1) 1
x(k 1) 2
( (2 x1( k
)
-
3x2(k )
x3(k ) 14) /10, 3x3(k ) 5) /10,