高一数学函数的概念和图像练习题
高一数学二次函数与图像题
高一数学二次函数与图像题二次函数是高中数学中的重要内容之一，它在数学模型、图像绘制等方面具有广泛的应用。
本文将通过几个具体的题目，来讨论二次函数的性质、图像特点以及解题技巧。
1. 求解二次函数的顶点坐标题目：已知二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的顶点坐标为 $(-1, 2)$，且过点 $(2, 5)$。
求 $a$、$b$、$c$ 的值。
解析：由于已知顶点坐标为 $(-1, 2)$，可得到一个方程：\[a(-1)^2 + b(-1) + c = 2\]即：\[a - b + c = 2\]又因为过点 $(2, 5)$，可得到另一个方程：\[a(2)^2 + b(2) + c = 5\]即：\[4a + 2b + c = 5\]解方程组\[\begin{cases} a - b + c = 2 \\ 4a + 2b + c = 5 \end{cases}\]经过计算，得到 $a = 2$，$b = -1$，$c = 1$。
因此，该二次函数的表达式为 $y = 2x^2 -x +1$。
2. 求二次函数的图像与相关性质题目：已知函数 $y = x^2 + bx + c$ 的图像与 $x$ 轴相切于点 $(1,0)$，且该函数的极值为 $-4$，求 $b$、$c$ 的值。
解析：已知函数与 $x$ 轴相切于点 $(1, 0)$，说明该点为函数的顶点。
即顶点坐标为 $(1, -4)$。
因此，我们得到方程：\[1 + b + c = -4\]同时，根据极值的性质，可以知道顶点的纵坐标即是该函数的极值。
所以该函数极值为 $-4$。
解方程\[1 + b + c = -4\]经过计算，得到 $b = -6$，$c = -1$。
因此，该二次函数的表达式为 $y = x^2 - 6x - 1$。
此外，该函数的图像开口向上，顶点为 $(1, -4)$，且与 $x$ 轴相切于点 $(1, 0)$。
3. 解二次函数不等式题目：求解二次函数 $y = 2x^2 + 3x - 2$ 的不等式 $y \geq 0$ 的解集。
高一数学必修一函数练习题
高一数学必修一函数练习题函数是高中数学中非常重要的概念，它描述了两个集合之间的一种对应关系。
下面为高一学生准备了一系列函数练习题，以帮助学生更好地理解和掌握函数的基本概念和性质。
练习题一：函数的定义域与值域1. 给定函数 \( f(x) = \frac{1}{x - 2} \)，求其定义域。
2. 对于函数 \( g(x) = x^2 - 4x + 3 \)，找出其值域。
练习题二：函数的单调性1. 判断函数 \( h(x) = x^3 - 3x \) 在 \( x \in (-\infty,\infty) \) 上的单调性。
2. 若函数 \( k(x) = 2x - 1 \) 在 \( x \in [0, 2] \) 上单调递增，求 \( k(x) \) 在 \( x \in [2, 4] \) 上的单调性。
练习题三：函数的奇偶性1. 判断函数 \( f(x) = |x| \) 是否为奇函数或偶函数。
2. 若函数 \( g(x) = x^2 + 1 \) 是偶函数，求证。
练习题四：复合函数1. 已知 \( f(x) = x^2 \) 和 \( g(x) = x + 3 \)，求复合函数\( (f \circ g)(x) \)。
2. 若 \( h(x) = \sqrt{x} \) 和 \( k(x) = x - 1 \)，求 \( (h \circ k)(x) \)。
练习题五：反函数1. 若 \( f(x) = 2x + 1 \)，求其反函数 \( f^{-1}(x) \)。
2. 对于函数 \( g(x) = x^2 \)，讨论其反函数的存在性。
练习题六：函数的图像与性质1. 画出函数 \( y = |x - 1| \) 的图像，并标出其顶点坐标。
2. 对于函数 \( y = x^3 \)，描述其在 \( x = 0 \) 附近的图像变化趋势。
练习题七：函数的实际应用1. 某工厂生产的产品数量与时间的关系为 \( P(t) = 100t - 5t^2 \)，求出生产量达到最大时的时间。
高一数学必修1第一章第二节基本初等函数
精心整理第二章：函数及其表示第一讲：函数的概念：知识点一：函数的概念：典型例题：判断下列对应关系是否为集合A到集合B的函数：A=z,B=Z,A=Z,B=Z,A={-1,1},B={0},f:）））巩固练习：已知函数f(-3),的值时，求知识点三：函数相等：如果两个函数的定义域相等，并且对应关系完全一致，那么我们称这两个函数一致。
典型例题3：下列函数中，f(x)与g(x)相等的是（）A、B、C、D、巩固练习：）(2)）(4)知识点四：区间的表示：零售量是否为月份的函数？为什么？知识点二：分段函数：典型例题1：作出下列函数的图像：（1）f(x)=2x,x∈Z，且|x|≤2（2）y=|x|典型例题2：某市“招手即停”公共汽车票价按下列规则制定：（1）5公里以内（含5公里），票价2元（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加一元（不足5公里按5f:（1）集合A={P|P是数轴上的点}，集合B=R，对应关系f:数轴上的点所代表的实数对应。
（2）集合A={P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B={（x,y）|x ∈R，y∈R}，对应关系f:平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；（3）集合A={x|x是三角形}；集合B={x|x是圆}；对应关系f:每个三角形都有对应它的内切圆。
课堂练习：1、如图，把截面半径为25cm的圆形木头据成矩形木料，如果中元素作业布置：1、求下列函数的定义域：（1）2、下列哪一组中的函数f(x)与g(x)相等？3、画出下列函数的图像，并说明函数的定义域和值域（1）y=3x(2)(3)y=-4x+5(4)x2-6x+74、已知函数f(x)=3x2-5x+2,求的值。
高一数学函数及其表示试题
高一数学函数及其表示试题1.下列函数中，图象如图的函数可能是（）.A．y=x3B．y=2x C．y=D．y=log2x【答案】C【解析】由图像可知，函数的定义域为，且过点；而选项A:的定义域为,选项B:的定义域为，选项C:的定义域为，且过点，选项D:的定义域为；故选C.考点:函数的图像.2.，则 ( )A．B．C．D．【答案】D【解析】本题主要考查函数解析式.由，故选D.【考点】函数解析式，诱导公式.3.下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A．与B．与C．与D．与【答案】D【解析】表示同一函数必须具备两个条件：一是定义域相同，二是对应法则相同.对于A，的定义域为，而的定义域为，不符合；对于B，的定义域为，对于的定义域为，不符合；对于C，函数与函数的定义域都为，但当时，与的对应法则不相同，也不符合；对于D，函数与函数的定义域都为，且，两个函数的对应法则也相同，故相同函数的是答案D.【考点】1.函数的概念；2.对数的恒等式.4.设是集合M到集合N的映射, 若N="{1,2}," 则M不可能是（）A．{－1}B．C．D．【答案】D【解析】对应法则是,根据映射的定义，集合M中的任何一个元素在N中都要有唯一的元素和他对应，而D选项中的2，，,不满足定义，所以不正确，故选D.【考点】映射的定义5.已知函数，那么的值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】表示当自变量时对应的函数值；根据分段函数的定义,当时,；因为 , 所以.故选D【考点】1、函数的概念；2、分段函数.6.已知函数,则下列说法中正确的是（）A．若，则恒成立B．若恒成立，则C．若，则关于的方程有解D．若关于的方程有解，则【答案】D.【解析】绝对值不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,由题,a≤0,则|x-a|≤|x|-a,f(x)≥1,A错误;f(x)≥1恒成立,则a≤0,x≥0,B错误,a<0,则0≤|x-a|≤|x|-a,方程f(x)=a,左边是正数,右边是负数,无解,所以C错误,方程f(x)=a有解,则两边同号,即|x|-a与a同号,可解得0<a≤1,选D.【考点】函数与绝对值不等式.7.下列四组中表示相等函数的是 ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】A.的定义域不同；B.是同一函数；C.的定义域不同；D.的值域不同。
高一数学函数图像试题
高一数学函数图像试题1.如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间t（分）的函数关系表示的图象只可能是A． B． C． D．【答案】A【解析】利用特殊值法，圆柱液面上升速度是常量，表示圆锥漏斗中液体单位时间内落下的体积相同，当时间取1．5分钟时，液面下降高度与漏斗高度的一半比较，由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，当时间取0．5t时，漏斗中液面下落的高度不会达到漏斗高度的一半，对比四个选项的图象可得结果．故选A．本题考查函数图象，还可以正面分析得出结论：圆柱液面上升速度是常量，则V（这里的V是漏斗中剩下液体的体积）与t成正比（一次项），根据圆锥体积公式V=πr2h，可以得出H=at2+bt中，a为正数，另外，t与r成反比，可以得出H=中，b为正数．所以选择A．【考点】函数的图像，,函数的性质及应用2.一高为H、满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为V，则函数的大致图象可能是( )【答案】B【解析】根据题目所给鱼缸图形可以分析出:水深的变换是开始快，中间慢，最后快，所以答案是B.【考点】函数图像问题.3.已知函数在时取得最大值，在时取得最小值，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，则，依题意知在时取得最大值，而在时取得最小值，结合二次函数的图像可知即，也就是，所以，故选C.【考点】1.余弦函数的值域；2.二次函数的图像与性质.4.若函数图象关于对称，则实数的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵函数图象关于对称，则，即，则或，即．【考点】函数的图象的对称性．5.函数的图象大致是（）【答案】A.【解析】因为f(2)=f(4)=0,所以函数在y轴的右边最少有两个交点.只能选A,D.由因为f(-1)=-0.5.所以D选项排除.故选A.由于函数图像不是很清晰所以采用特值排除法等.【考点】1.特值法研究较复杂的图像.2.排除法.6.当0<≤时，，则a的取值范围是A．(0，)B．(，1)C．(1，)D．(，2)【答案】B【解析】做出函数的图像，使其当0<≤时观察图像可知当时，所以当时有当0<≤时，成立【考点】函数性质及数形结合法点评：本题中将不等式成立转化为两函数值的大小关系，进而结合函数图像使其满足相应的位置关系，求得参数范围7.函数的图象A．关于原点对称B．关于y轴对称C．关于x轴对称D．关于直线对称【答案】B【解析】根据题意，由于，所以，因此根据偶函数的定义可知图像关于y轴对称，故选B.【考点】函数图像的对称性点评：解决关键是理解关于原点对称说明是奇函数，关于y轴对称说明是偶函数，属于基础题。
高一数学函数经典练习题(含答案详细)
高一数学函数经典练习题(含答案详细)一、求函数的定义域1、求下列函数的定义域：⑴ $y=\frac{x^2-2x-15}{x+3-3}$答案：首先化简得到 $y=\frac{x^2+2x-15}{x}$。
然后根据分式的定义，分母不能为零，即 $x\neq0$。
同时，分子中有$x-5$ 和 $x+3$ 两个因式，因此 $x\leq-3$ 或 $x\geq5$。
综合起来得到定义域为 $\{x|x\leq-3 \text{ 或 } x\geq5 \text{ 或 }x\neq0\}$。
⑵ $y=1-\frac{x-1}{2x+2}$答案：首先化简得到 $y=\frac{x+1}{2x+2}$。
然后根据分式的定义，分母不能为零，即 $x\neq-1$。
同时，分子中有 $x-1$ 和 $x+1$ 两个因式，因此 $x\geq0$。
综合起来得到定义域为 $\{x|x\geq0 \text{ 且 } x\neq-1\}$。
2、设函数 $f(x)$ 的定义域为 $[0,1]$，则函数 $f(x^2)$ 的定义域为 _。
_。
_；函数 $x-2f(x-2)$ 的定义域为答案：对于 $f(x^2)$，$x^2\in[0,1]$，因此 $x\in[-1,1]$。
综合起来得到定义域为 $\{x|-1\leq x\leq1\}$。
对于 $x-2f(x-2)$，$x-2(x-2)\in[0,1]$，即 $2\leq x\leq3$。
因此定义域为 $\{x|2\leq x\leq3\}$。
3、若函数 $f(x+1)$ 的定义域为 $[-2,3]$，则函数 $f(2x-1)$ 的定义域是；函数 $f(\frac{x+2}{x})$ 的定义域为。
答案：对于 $f(2x-1)$，$2x-1\in[-2,3]$，因此 $-1\leqx\leq2$。
综合起来得到定义域为 $\{x|-1\leq x\leq2\}$。
对于 $f(\frac{x+2}{x})$，$x\neq0$ 且 $\frac{x+2}{x}\in[-2,3]$，即 $-2x\leq x+2\leq3x$，解得 $-3\leq x\leq-1$ 或$x\geq2$。
高一数学函数的图像试题答案及解析
高一数学函数的图像试题答案及解析1.下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】判断函数的奇偶性，首先研究定义域是否关于原点对称。
如果定义域不满足关于原点对称，此函数必既不是奇函数也不是偶函数。
为使有意义，须，即其定义域不满足关于原点对称，故其既不是奇函数也不是偶函数，选D。
【考点】常见函数的奇偶性点评：简单题，判断函数的奇偶性，首先研究定义域是否关于原点对称。
2.如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是、4m，不考虑树的粗细，现在用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的共圃ABCD，设此矩形花圃的面积为Sm2，S的最大值为，若将这棵树围在花圃中，则函数的图象大致是（）【答案】C【解析】假设则.所以即.花圃的面积为（）.所以时,.当时，，这一段的图像是递减的，故选C.【考点】1.阅读理解清题意.2.二次函数的最值问题.3.含参数的最值的求法.3.函数的值域___________．【答案】【解析】∵，∴，∴。
因此函数的值域为。
答案：4.若函数的定义域是，则函数的定义域为_________．【答案】【解析】要使函数有意义，需满足，解得且。
∴函数的定义域为。
答案：点睛：（1）解决函数问题，函数的定义域必须优先考虑；（2）求复合函数y＝f(t)，t＝q(x)的定义域的方法：①若y＝f(t)的定义域为(a，b)，则解不等式a<q(x)<b即可求出y＝f(q(x))的定义域；②若y＝f(g(x))的定义域为 (a，b)，则求出g(x)的值域即为f(t)的定义域．5.观察下表：则__________．【答案】5【解析】由题意，得：g（3）=﹣4，f（﹣1）=﹣1，g（3）﹣f（﹣1）=﹣4+1=﹣3，∴f[g（3）﹣f（﹣1）]=f（﹣3）=5．故答案为：5.6.下列函数中，定义域为的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】对于A中，函数，所以函数的定义域为；对于B中，函数，所以函数的定义域为；对于C中，函数，所以函数的定义域为；对于D中，函数，所以函数的定义域为，故选D.7.已知函数，若且，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题可知，由于，由，由，又，所以，从而，，故选D8.设，则的值为（）A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】当时，，故；当时，，故，故选B.9.已知函数（1）求的值；（2）求证：在上是增函数；（3）解不等式：.【答案】(1) (2)详见解析(3)【解析】（1）先算，再算；（2）单调性的证明利用定义证明；（3）根据解析式得到，结合单调性，得到，得到答案。
高一数学函数的图像试题
高一数学函数的图像试题1.欲得到函数y＝cos x的图象，须将函数y＝3cos2x的图象上各点()A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的3倍B．横坐标缩短到原来的，纵坐标缩短到原来的C．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短到原来的D．横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的3倍【答案】C【解析】按照三角函数的图像的变换可知，将函数y＝3cos2x的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝3cosx，纵坐标缩短到原来的得到y＝cosx，可知结论，故选C2.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，求ω和φ的值．【答案】ω＝或ω＝2. φ＝，【解析】∵f(x)＝sin(ωx＋φ)是R上的偶函数，∴φ＝＋kπ，k∈Z.又∵0≤φ≤π，∴φ＝，∴f(x)＝sin＝cosωx.∵图象关于点对称，∴cosω＝0.∴ω＝＋nπ，n∈Z.∴ω＝＋n，n∈Z.又∵f(x)在区间上是单调函数，∴≥－0，即×≥，∴ω≤2.又∵ω>0，∴ω＝或ω＝2.3.函数y＝－sin的图象与x轴各个交点中离原点最近的一点是()A．B．C．D．【答案】A【解析】由4x＋＝kπ得，x＝－，k＝0时，得点，k＝1时得点，故选A 4.函数y＝sin的图象()A．关于点对称B．关于直线x＝对称C．关于点对称D．关于直线x＝对称【答案】A【解析】y＝sin的图象的对称轴方程为x＝＋ (k∈Z)，对称中心为，当k ＝1时，选项A正确．5.正弦函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)的定义域为R，周期为，初相为，值域为[－1,3]，则f(x)＝________.【答案】2sin＋1【解析】由值域[－1,3]知，A＝ [3－(－1)]＝2，∴k＝1.周期T＝＝，∴ω＝3，∴f(x)＝2sin＋1.6.将最小正周期为的函数g(x)＝sin(ωx＋φ＋)(ω>0，|φ|<2π)的图象向左平移个单位长度，得到偶函数图象，则满足题意的φ的一个可能值为________．【答案】，，－，－填一个即可【解析】∵T＝＝，∴ω＝4，∴g(x)＝sin左移个单位得到y＝sin＝sin＝－sin为偶函数，∴φ＋＝kπ＋，∴φ＝kπ＋，(k∈Z)∵|φ|<2π，∴φ＝，，－，－.7.由函数y＝2sin3x与函数y＝2(x∈R)的图象围成一个封闭图形，则这个封闭图形的面积为________．【答案】【解析】如图所示，根据对称性，所围成封闭图形的面积等价于一个矩形面积(S3＝S1＋S2)．所以封闭图形面积S＝×2＝π.8.如图为函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象的一段．试确定函数y＝A sin(ωx＋φ)的解析式．【答案】y＝3sin.【解析】解法一：由图可知A＝3，B，C，则⇒ω＝2，φ＝.所以y＝3sin.解法二：由振幅情况知A＝3，＝π－＝，所以T＝π＝⇒ω＝2.由B，令×2＋φ＝π，得φ＝.所以y＝3sin.解法三：由图知A＝3，T＝π，∴A，图象由y＝3sin2x向左平移个单位而得，所以y＝3sin2＝3sin.9.设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝.(1)求φ；(2)求函数y＝f(x)的单调增区间．【答案】（1）－.（2）[kπ＋，kπ＋]，k∈Z.【解析】(1)∵x＝是函数y＝f(x)的图象的对称轴，∴sin(2×＋φ)＝±1，∴＋φ＝kπ＋，k∈Z.∵－π＜φ＜0，∴φ＝－.(2)y＝sin(2x－)．由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z.得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.所以函数y＝sin(2x－)的单调增区间为[kπ＋，kπ＋]，k∈Z.10.如图所示，某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝A sin(ωx＋φ)＋b.(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；(2)写出这段曲线的函数解析式．【答案】（1）最大用电量为50万度，最小用电量为30万度（2）y＝10sin＋40 (x∈[8,14])．【解析】(1)最大用电量为50万度，最小用电量为30万度．(2)观察图象可知，从8～14时的图象是y＝A sin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象，∴A＝×(50－30)＝10，b＝×(50＋30)＝40，∵·＝14－8，∴ω＝，∴y＝10sin＋40.将x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝.∴所求解析式为y＝10sin＋40(x∈[8,14])．。
高一数学必修一函数概念性质知识点及配套练习
(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；
(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；
(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
8．分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况．
1
函数等的图像，利用函数单调性）
（2）基本不等式 （3）换元法 （4）判别式法
5. 函数图象知识归纳
(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)均在C上 .
2．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：
(1)分式的分母不等于零；
(2)偶次方根的被开方数不小于零；
(3)对数式的真数必须大于零；
(4)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
(2) 画法
描点法
图象变换法：常用变换方法有三种：平移变换 伸缩变换 对称变换
Hale Waihona Puke 6．区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间
（2）无穷区间
（3）区间的数轴表示．
7．映射
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A?B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）?B（象）”
高一数学三角函数的概念、图像与性质含答案
高一数学三角函数的概念、图像与性质【重难点知识点网络】：【重难点题型突破】：一、扇形的周长与面积例1 .(1)、（2022·全国·高三专题练习）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧AB和弦AB所围成的图中阴影部分.若弧田所在圆的半径为2，圆心角为23，则此弧田的面积为__________．(2)、（2021·辽宁·大连二十四中高一期中）“莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，转子发动机的设计就是利用了莱洛三角形，转子引擎只需转一周，各转子便有一次进气、压缩、点火与排气过程，相当于往复式引擎运转两周，因此具有小排气量就能成就高动力输出的优点．另外，由于转子引擎的轴向运动特性，它不需要精密的曲轴平衡就可以达到非常高的运转转速．“莱洛三角形”是分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形（如图所示）．设“莱洛三角形”曲边上两点之间的最大距离为4，则该“莱洛三角形”的面积为（）A．8π-B．8π-C．16π-D．16π-【变式训练1-1】、（2022·全国·高三专题练习）如图所示，弧田是由圆弧AB 和其所对弦AB 围成的图形，若弧田的弧AB 长为3π，弧所在的圆的半径为4，则弧田的面积是___________.【变式训练1-2】、（2022·广东·东涌中学高三期中）古代文人墨客都善于在纸扇上题字、题画，题字、题画的部分多为扇环.如图是扇环的几何图形，设弧AD 长度是1l ，弧BC 长度是2l ，几何图形ABCD 面积为1S ，扇形BOC 面积为2S ，若128S S =，则12l l =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二、同角公式与诱导公式例2 .(1)、（2022·安徽·阜南县王店孜乡亲情学校高一阶段练习）172053sin cos tan 636πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______．(2)、（2022·江苏省江浦高级中学高一阶段练习）已知π1cos 62α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则4πsin 3α⎛⎫+=⎪⎝⎭___________.(3)、（2022·黑龙江·密山市第四中学高三阶段练习）已知tan 3α=-，则sin(π)cos(π)αα+⋅-=（ ） A ．910- B ．310-C ．310D ．910【变式训练2-1】、（2022·重庆市云阳高级中学校高一阶段练习）若4cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．45 B ．35 C ．35D ．45-【变式训练2-2】、（2022·江苏·昆山震川高级中学高三阶段练习）若()π2cos cos π2θθ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则22cos sin 2θθ+=__________．【变式训练2-3】、（2022·陕西·宝鸡市渭滨中学高一阶段练习）已知角 α 的终边经过点 ()2,1P -，则 3cos 2πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（ ）A B C ．D ．三、三角函数的图像变换例3 .(1)、（2022·江西赣州·高三阶段练习（文））已知函数π()sin()0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x =（ ）A ．π2sin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．π2sin 6x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．π2cos 23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．cos2x(2)、（2021·陕西·礼泉县第一中学高三期中（文））下列函数中，以π为周期且在区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的是（ ）A ．()sin2f x x =B ．()cos 2xf x =C ．()sin cos f x x x =-D ．()22cos 1f x x =-【变式训练3-1】、（2022·河南省体育中学高三期中）函数()sin y A ωx φ=+（0ω>，2πϕ<）的部分图象如图所示，则（ ）A ．2sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C ．2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【变式训练3-2】、（2022·宁夏·银川一中高三阶段练习（理））已知函数()π1cos (0)32f x x ωω⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，将()f x 的图像上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像.已知()g x 在[]0,π上恰有5个零点，则ω的取值范围是__________.四、三角函数的单调性与最值例4 .(1)、（2022·浙江·杭州外国语学校高一期中）若函数212cos sin y x x =--的值域是[],a b ，则a b +=_____________．(2)、（2022·上海·华东师范大学第三附属中学高一期末）函数π2sin(2)6y x =+的单调递减区间是___________.(3)、（2022·广东韶关·一模）下列区间中，函数()3sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递减区间是（ ）A ．π0,2⎛⎫⎪⎝⎭ B ．π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3ππ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3π,2π2⎛⎫ ⎪⎝⎭【变式训练4-1】、（2022·黑龙江·哈尔滨市第一六二中学校高三阶段练习）函数()23cos 4f x x x =-，[],2x ππ∈的最大值是______.【变式训练4-2】、（2021·陕西渭南·高三阶段练习（文））函数()π2cos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一个单调递减区间为（ ）A ．()0,πB ．()π,0-C ．π0,2⎛⎫⎪⎝⎭ D ．ππ,63⎛⎫- ⎪⎝⎭【变式训练4-3】、（2022·全国·高三专题练习）函数tan ,,636y x x πππ⎛⎫∈⎛⎫=+ ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭的值域为______.例5．（2022·山东·菏泽市定陶区明德学校（山大附中实验学校）高一阶段练习）已知函数()π2sin 2,R 4f x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭(1)求()f x 的最小值及对应的x 的集合； (2)求()f x 在[]0,π上的单调递减区间；【变式训练5-1】、（2022·江苏·金陵中学高一阶段练习）已知函数()π2sin 1(0)3f x x ωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为π.(1)求π6f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)求函数()f x 的单调递减区间： (3)若π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的最值.五、综合应用例6 .(1)、（2022·安徽·合肥八中教育集团铭传高级中学高一期末）已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，π8x =-是函数()f x 的一个零点，π8=x 是函数()f x 的一条对称轴，若()f x 在区间ππ,54⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值是（ ） A ．14 B ．16 C ．18 D ．20(2)、（2020·辽宁沈阳·高三阶段练习）关于函数()cos 22|cos |f x x x =-有如下四个命题： ①()f x 的最小值为32-；②()f x 在2,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增； ③()f x 的最小正周期为π；④方程()f x =(0,)π内的各根之和为2π. 其中所有真命题的序号是________.【变式训练7-1】、（2023·全国·高三专题练习（文））已知函数()πcos (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在ππ,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且当ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≥恒成立，则ω的取值范围为（ ）A ．522170,,232⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ B ．4170,8,32⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ C ．4280,8,33⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ D ．5220,,823⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【变式训练7-2】、（2020·四川眉山·高一期末）已知函数()sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><≤ ⎪⎝⎭，4x π=-为()f x 的零点，4x π=为图象的对称轴，且()f x 在5,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为________.例8．（2022·黑龙江·尚志市尚志中学高一阶段练习）已知函数()π26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)求函数()f x 在区间ππ,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值，并求此时x 的值．【变式训练8-1】、（2022·浙江·温州外国语学校高一阶段练习）已知函数()π2sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期π．(1)求函数()f x 单调递增区间和对称中心； (2)求函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．专题08 三角函数的概念、图像与性质【重难点知识点网络】：【重难点题型突破】： 一、扇形的周长与面积例1 .(1)、（2022·全国·高三专题练习）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧AB 和弦AB 所围成的图中阴影部分.若弧田所在圆的半径为2，圆心角为23π，则此弧田的面积为__________．【详解】依题意，等腰AOB 底边，则AOB 的面积为3， 2423π⨯=，则有阴影部分的面积为3π-. (2)、（2021·辽宁·大连二十四中高一期中）“莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，转子发动机的设计就是利用了莱洛三角形，转子引擎只需转一周，各转子便有一次进气、压缩、点火与排气过程，相当于往复式引擎运转两周，因此具有小排气量就能成就高动力输出的优点．另外，由于转子引擎的轴向运动特性，它不需要精密的曲轴平衡就可以达到非常高的运转转速．“莱洛三角形”是分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形（如图所示）．设“莱洛三角形”曲边上两点之间的最大距离为4，则该“莱洛三角形”的面积为（）A．8π-B．8π-C．16π-D．16π-S=ABC面积与扇形面积之间的关系求出其面积即可=AB BC1S=ABC莱洛三角形8S=ABC故选：A.【变式训练1-1】、（2022·全国·高三专题练习）如图所示，弧田是由圆弧AB和其所对弦AB围成的图形，若弧田的弧AB长为3π，弧所在的圆的半径为4，则弧田的面积是___________.【变式训练1-2】、（2022·广东·东涌中学高三期中）古代文人墨客都善于在纸扇上题字、题画，题字、题画的部分多为扇环.如图是扇环的几何图形，设弧AD 长度是1l ，弧BC 长度是2l ，几何图形ABCD 面积为1S ，扇形BOC 面积为2S ，若128S S =，则12l l =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二、同角公式与诱导公式例2 .(1)、（2022·安徽·阜南县王店孜乡亲情学校高一阶段练习）172053sin cos tan 636πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______．【答案】1-1-(2)、（2022·江苏省江浦高级中学高一阶段练习）已知cos 62α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 3α⎛⎫+=⎪⎝⎭___________. 【答案】12-##0.5-(3)、（2022·黑龙江·密山市第四中学高三阶段练习）已知tan 3α=-，则sin(π)cos(π)αα+⋅-=（ ） A ．910-B ．310-C ．310D ．910【变式训练2-1】、（2022·重庆市云阳高级中学校高一阶段练习）若4cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．45 B ．35 C ．35D ．45-【变式训练2-2】、（2022·江苏·昆山震川高级中学高三阶段练习）若()2cos cos π2θθ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则22cos sin 2θθ+=__________． 【答案】45##0.8【变式训练2-3】、（2022·陕西·宝鸡市渭滨中学高一阶段练习）已知角 α 的终边经过点 ()2,1P -，则 3cos 2πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（ ） AB C ．D ．三、三角函数的图像变换例3 .(1)、（2022·江西赣州·高三阶段练习（文））已知函数π()sin()0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x =（ ）A ．π2sin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．π2sin 6x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．π2cos 23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．cos2x(2)、（2021·陕西·礼泉县第一中学高三期中（文））下列函数中，以π为周期且在区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的是（ ）A ．()sin2f x x =B ．()cos 2xf x =C ．()sin cos f x x x =-D ．()22cos 1f x x =-【变式训练3-1】、（2022·河南省体育中学高三期中）函数()sin y A ωx φ=+（0ω>，2πϕ<）的部分图象如图所示，则（ ）A ．2sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【变式训练3-2】、（2022·宁夏·银川一中高三阶段练习（理））已知函数()cos (0)32f x x ωω⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，将()f x 的图像上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像.已知()g x 在[]0,π上恰有5个零点，则ω的取值范围是__________.四、三角函数的单调性与最值例4 .(1)、（2022·浙江·杭州外国语学校高一期中）若函数212cos sin y x x =--的值域是[],a b ，则a b +=_____________． 【答案】2【分析】通过换元，利用余弦函数的有界性，转化为二次函数在给定区间求值域，结合单调性解决即可. 【详解】令[]cos ,1,1x t t =∈-，则2212cos sin 12(1)y x x t t =--=---222(1)1t t t =-=--，[]1,1t ∈-， 根据二次函数的单调性可知，函数在[]1,1t ∈-上单调递减， 所以max 3y =，min 1y =-，所以值域为[]1,3-，则2a b +=. 故答案为：2(2)、（2022·上海·华东师范大学第三附属中学高一期末）函数π2sin(2)6y x =+的单调递减区间是___________.(3)、（2022·广东韶关·一模）下列区间中，函数()3sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递减区间是（ ）A ．π0,2⎛⎫⎪⎝⎭ B ．π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3ππ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3π,2π2⎛⎫ ⎪⎝⎭【变式训练4-1】、（2022·黑龙江·哈尔滨市第一六二中学校高三阶段练习）函数()23cos 4f x x x =-，[],2x ππ∈的最大值是______.【答案】14##0.25【变式训练4-2】、（2021·陕西渭南·高三阶段练习（文））函数()π2cos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一个单调递减区间为（ ）A ．()0,πB ．()π,0-C ．π0,2⎛⎫⎪⎝⎭ D ．ππ,63⎛⎫- ⎪⎝⎭【变式训练4-3】、（2022·全国·高三专题练习）函数tan ,,636y x x πππ⎛⎫∈⎛⎫=+ ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭的值域为______.例5．（2022·山东·菏泽市定陶区明德学校（山大附中实验学校）高一阶段练习）已知函数()π2sin 2,R 4f x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭(1)求()f x 的最小值及对应的x 的集合； (2)求()f x 在[]0,π上的单调递减区间；【变式训练5-1】、（2022·江苏·金陵中学高一阶段练习）已知函数()π2sin 1(0)3f x x ωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为π.(1)求π6f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)求函数()f x 的单调递减区间： (3)若π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的最值.五、综合应用例6 .(1)、（2022·安徽·合肥八中教育集团铭传高级中学高一期末）已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，π8x =-是函数()f x 的一个零点，π8=x 是函数()f x 的一条对称轴，若()f x 在区间ππ,54⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值是（ ） A ．14 B ．16 C ．18 D ．20π2ϕ-≤≤当π5x <<函数()f x （ii ）当ωπ2ϕ-≤≤当π5x <<函数()f x 因此，ω故选：A.(2)、（2020·辽宁沈阳·高三阶段练习）关于函数()cos 22|cos |f x x x =-有如下四个命题：①()f x 的最小值为32-； ②()f x 在2,3ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增； ③()f x 的最小正周期为π；④方程()f x =(0,)π内的各根之和为2π.其中所有真命题的序号是________.【变式训练7-1】、（2023·全国·高三专题练习（文））已知函数()cos (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且当ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≥恒成立，则ω的取值范围为（ ） A ．522170,,232⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ B ．4170,8,32⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ C ．4280,8,33⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ D ．5220,,823⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦178,2⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎦⎣⎦. 【点睛】在处理正弦型、余弦型三角函数性质综合问题时，通常使用整体代换的方法，将整体范围满足组对应的单调性或者对应的条件关系，罗列出等式或不等式关系，帮助我们进行求解【变式训练7-2】、（2020·四川眉山·高一期末）已知函数()sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><≤ ⎪⎝⎭，4x π=-为()f x 的零点，4x π=为图象的对称轴，且()f x 在5,412ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为________.故答案为：5【点睛】本小题主要考查三角函数的单调性、周期性、零点和对称轴等知识，属于中档题.例8．（2022·黑龙江·尚志市尚志中学高一阶段练习）已知函数()π26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． (1)求函数()f x 的单调区间；(2)求函数()f x 在区间ππ,42⎡⎤-⎢⎥上的最小值和最大值，并求此时x 的值．【变式训练8-1】、（2022·浙江·温州外国语学校高一阶段练习）已知函数()2sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期π．(1)求函数()f x 单调递增区间和对称中心；(2)求函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域． 【答案】(1)答案见解析。
人教A版高一数学必修第一册《函数的概念与性质》单元练习题卷含答案解析(60)
人教A 版高一数学必修第一册《函数的概念与性质》单元练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 已知不等式 ax 2−x +c >0 的解集为 {x∣ −2<x <1}，则函数 y =ax 2+x +c 的图象大致为 ( )A ．B ．C ．D ．2. 已知函数 f (x ) 为定义在 R 上的奇函数，当 x <0 时，f (x )=x (x −1)，则 f (2)= ( ) A ． −6 B ． 6 C ． −2 D ． 23. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若 a,b,c ∈R ，则下列命题正确的是 ( ) A ．若 ab ≠0 且 a <b ，则 1a >1b B ．若 a >b >0，则b+1a+1>baC ．若 a +b =2，则 ab <1D ．若 c <b <a 且 ac <0，则 cb 2<ab 24. 定义全集 U 的子集 A 的特征函数 f A (x )={1,x ∈A0,x ∉A ，对于任意的集合 A,B ⊆U ，下列说法错误的是 ( )A ．若 A ⊆B ，则 f A (x )≤f B (x )，对于任意的 x ∈U 成立B ． f A∩B (x )=f A (x )f B (x )，对于任意的 x ∈U 成立C ． f A∪B (x )=f A (x )+f B (x )，对于任意的 x ∈U 成立D ．若 A =∁U B ，则 f A (x )+f B (x )=1，对于任意的 x ∈U 成立5. 已知 −π2<α<0，sinα+cosα=15，则 1cos 2α−sin 2α= ( )A ． 75B ．257C ．725D ．24256. 若不等式x 2+mx +1>0的解集为R ，则m 的取值范围是( ) A ．RB ．(−2，2)C ．(−∞，−2)∪(2，+∞)D ．[−2，2]7. 设 a ，b ，c 是实数，下列条件中可以推出“a =b ”的是 ( ) A ．1a=1bB ． a 2=b 2C ． ac =bcD ． a −c =c −b8. 定义在 R 上的函数 f (x ) 满足：f (x −2) 的对称轴为 x =2，f (x +1)=4f (x )(f (x )≠0)，且 f (x ) 在区间 (1,2) 上单调递增，已知 α，β 是钝角三角形中的两锐角，则 f (sinα) 和 f (cosβ) 的大小关系是 ( ) A ． f (sinα)>f (cosβ) B ． f (sinα)<f (cosβ) C ． f (sinα)=f (cosβ)D ．以上情况均有可能9. 若函数 f (x ) 为定义在 D 上的单调函数，且存在区间 [a,b ]⊆D ，使得当 x ∈[a,b ] 时，f (x ) 的取值范围恰为 [a,b ]，则称函数 f (x ) 是 D 上的正函数．若函数 g (x )=x 2+m 是定义在 (−∞,0) 上的正函数，则实数 m 的取值范围为 ( ) A ． (−54,−1) B ． (−54,−34) C ． (−1,−34)D ． (−34,0)10. 定义函数 [x ] 为不大于 x 的最大整数，对于函数 f (x )=x −[x ] 有以下四个结论：① f (2019.67)=0.67；②在每一个区间 [k,k +1)，k ∈Z 上，f (x ) 都是增函数； ③ f (−15)<f (15)；④ y =f (x ) 的定义域是 R ，值域是 [0,1)．其中正确的个数是 ( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4二、填空题（共6题）11. 关于函数 f (x )=∣x∣∣∣x∣−1∣，给出以下四个命题：（1）当 x >0 时，y =f (x ) 单调递减且没有最值；（2）方程 f (x )=kx +b (k ≠0) 一定有实数解；（3）如果方程 f (x )=m ，（m 为常数）有解，则解的个数一定是偶数；（4）y =f (x ) 是偶函数且有最小值．其中假命题的序号是 ．12. 已知函数 f (x )={x 2+4x −1,x ≤02x −3−k,x >0，若方程 f (x )−k ∣x −1∣=0 有且只有 2 个不相等的实数解，则实数 k 的取值范围是 ．13. 给出下列四个命题：① f (x )=sin (2x −π4) 的对称轴为 x =kπ2+3π8，k ∈Z ；②函数 f (x )=sinx +√3cosx 的最大值为 2； ③ ∀x ∈(0,π)，sinx >cosx ；④函数 f (x )=sin (π3−2x) 在区间 [0,π3] 上单调递增． 其中正确命题的序号为 ．14. 设函数 f (x )=sin2x +2cos 2x ，则函数 f (x ) 的最小正周期为 ；若对于任意 x ∈R ，都有f (x )≤m 成立，则实数 m 的最小值为 ．15. 若对任意 x >3，x >a 恒成立，则 a 的取值范围是 ．16. 若 log a (a +1)<log a (2√a)<0（a >0 且 a ≠1），则实数 a 的取值范围是 ．三、解答题（共6题）17. 求下列函数的定义域与值域．(1) y =21x−1；(2) y =3√5x−1； (3) y =(12)x−1．18. 已知函数 f (x )=2x +2−x ．(1) 求证：函数f(x)是偶函数；(2) 设a∈R，求关于x的函数y=22x+2−2x−2af(x)在x∈[0,+∞)时的值域g(a)的表达式；(3) 若关于x的不等式mf(x)≤2−x+m−1在x∈(0,+∞)时恒成立，求实数m的取值范围．19.定义：若函数f(x)的定义域为R，且存在实数a和非零实数k（a，k都是常数），使得f(2a−x)=k⋅f(x)对x∈R都成立，则称函数f(x)是具有“理想数对(a,k)”的函数．比如，函数f(x)有理想数对(2,−1)，即f(4−x)=−f(x)，f(4−x)+f(x)=0，可知函数图象关于点(2,0)成中心对称图形．设集合M是具有理想数对(a,k)的函数的全体．(1) 已知函数f(x)=2x−1，x∈R，试判断函数f(x)是否为集合M的元素，并说明理由；(2) 已知函数g(x)=2x，x∈R，证明：g(x)∉M；(3) 数对(2,1)和(1,−1)都是函数ℎ(x)的理想数对，且当−1≤x≤1时，ℎ(x)=1−x2．若正比例函数y=mx(m>0)的图象与函数ℎ(x)的图象在区间[0,12]上有且仅有5个交点，求实数m的取值范围．20.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)（A>0，ω>0，∣φ∣<π2）的部分图象如图所示．(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 设π12<x<11π12，且方程f(x)=m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围和这两个根的和．21.某广告公司要为客户设计一幅周长为l（单位：m）的矩形广告牌，如何设计这个广告牌可以使广告牌的面积最大？22.化简1−cos4α−sin4α．1−cos6α−sin6α答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】C【解析】因为 不等式 ax 2−x +c >0 的解集为 {x∣ −2<x <1}， 所以 a <0，故 x 2−1ax +ca<0 的解集为 {x∣ −2<x <1}，所以 −2 和 1 是方程 x 2−1ax +c a=0 的两个根，故 −2+1=1a，−2×1=ca，解得 a =−1，c =2．故函数 y =ax 2+x +c =−x 2+x +2=−(x +1)(x −2)，其图象大致为 C ． 【知识点】二次函数的性质与图像2. 【答案】A【知识点】函数的奇偶性3. 【答案】B【解析】对于A ，取 a =−2，b =1，可知1a>1b不成立，因此选项A 不正确；对于B ，因为 a >b >0，所以 b+1a+1−ba =a−ba (a+1)>0，所以 b+1a+1>ba ，因此选项B 正确； 对于C ，取 a =b =1 时，ab =1，因此选项C 不正确； 对于D ，取 b =0 时，cb 2<ab 2 不正确，因此选项D 不正确． 【知识点】不等式的性质4. 【答案】C【知识点】函数的表示方法5. 【答案】B【解析】因为 sinα+cosα=15， 所以 1+2sinαcosα=125，所以 2sinαcosα=−2425，(cosα−sinα)2=1+2425=4925，又因为 −π2<α<0， 所以 cosα>0>sinα， 所以 cosα−sinα=75， 所以1cos 2α−sin 2α=1(cosα+sinα)(cosα−sinα)=115×75=257.故选B ．【知识点】同角三角函数的基本关系6. 【答案】B【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法即可得出．【解析】解：∵不等式x 2+mx +1>0的解集为R ，∴△=m 2−4<0，解得−2<m <2． ∴m 的取值范围是(−2，2)． 故选：B ．【点评】熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键．7. 【答案】A【知识点】充分条件与必要条件8. 【答案】A【知识点】抽象函数、函数的单调性9. 【答案】C【解析】因为函数 g (x )=x 2+m 是定义在 (−∞,0) 上的正函数，所以存在 a <b <0，使得当 x ∈[a,b ] 时，g (x )∈[a,b ]，且函数单调递减， 则 g (a )=b ，g (b )=a ， 即 a 2+m =b ，b 2+m =a ， 两式左右分别相减得 a 2−b 2=b −a ， 即 b =−(a +1)，代入 a 2+m =b 得 a 2+a +m +1=0， 因为 a <b <0，且 b =−(a +1)， 所以 a <−(a +1)<0， 解得 −1<a <−12．故关于 a 的方程 a 2+a +m +1=0 在区间 (−1,−12) 内有实数根，把新定义的正函数问题转化为方程有解问题，采用了转化与化归思想．记 ℎ(a )=a 2+a +m +1，则 ℎ(−1)=1−1+m +1>0 且 ℎ(−12)=14−12+m +1<0，解得 m >−1 且 m <−34，即 −1<m <−34． 【知识点】函数的单调性、抽象函数10. 【答案】C【解析】 f (2019.67)=2019.67−2019=0.67，故①正确；设 k ≤x 1≤x 2<k +1，则 f (x 1)−f (x 2)=x 1−k −x 2+k =x 1−x 2<0， 所以 f (x 1)<f (x 2)，所以 f (x ) 在 [k,k +1)，k ∈Z 上是增函数，故②正确； 因为 f (−15)=−15−(−1)=45，f (15)=15−0=15，所以 f (−15)>f (15)，故③错误； 因为 x −[x ]∈[0,1)， 所以④正确． 故选C ．【知识点】函数的值域的概念与求法、函数的单调性二、填空题（共6题） 11. 【答案】（1）、（3）【解析】（1）当 x >1 时，y =f (x )=xx−1=1+1x−1 在区间 (1,+∞) 上是单调递减函数，当 0<x <1 时，y =f (x )=−xx−1=−1−1x−1 在区间 (0,1) 上是单调增函数．所以（1）是假命题． （2）函数 f (x )=∣x∣∣∣x∣−1∣ 是偶函数，当 x >0 时，y =f (x ) 在区间 (0,1) 上单调递增，在 (1,+∞) 上单调递减．当 k >0 时，函数 y =f (x ) 与 y =kx 的图象在第一象限内有交点，由对称性可知，当 x <0 且 k <0 时，函数 y =f (x ) 与 y =kx 的图象在第二象限内有交点．所以，方程 f (x )=kx +b (k ≠0) 一定有解．所以（2）是真命题．（3）因为函数 f (x )=∣x∣∣∣x∣−1∣ 是偶函数，且最小值 f (0)=0，举例：当 m =0 时，函数 y =f (x ) 与 y =m 的图象只有一个交点．此时方程 f (x )=m 的解是奇数．所以（3）是假命题． （4）函数 f (x )=∣x∣∣∣x∣−1∣ 是偶函数，y =f (x )=∣x∣∣∣x∣−1∣ 在区间 (0,1) 上单调递增，(1,+∞) 上单调递减．且 f (0)=0,x >0 时，f (x )>0 恒成立，由对称性可知，函数 f (x ) 有最小值 f (0)=0．所以( 4 )是真命题．【知识点】函数的零点分布、函数的最大（小）值、函数的单调性12. 【答案】 (−2,−32]∪(−1,2)【解析】当 x ≤0 时，f (x )−k ∣x −1∣=x 2+4x −1−k (1−x )=x 2+(4+k )x −k −1， 当 0<x <1 时，f (x )−k ∣x −1∣=2x −3−k −k (1−x )=(k +2)x −3−2k ，当 x ≥1 时，f (x )−k ∣x −1∣=2x −3−k −k (x −1)=(2−k )x −3，设 g (x )=f (x )−k ∣x −1∣，则 g (x )={x 2+(4+k )x −k −1,x ≤0(k +2)x −3−2k,0<x <1(2−k )x −3,x ≥1，f (x )−k ∣x −1∣=0 有且只有 2 个不相等的实数解等价于g (x ) 有且仅有 2 个零点， 若 g (x ) 一个零点位于 (0,1)，即 0<2k+3k+2<1⇒k ∈(−32,−1)，若 g (x ) 一个零点位于 [1,+∞)，即 {2−k >0,22−k≥1⇒k ∈[−1,2)，可知 g (x ) 在 (0,1)，[1,+∞) 内不可能同时存在零点，即当 k ∈(−32,2) 时，g (x ) 在 (0,+∞)上有一个零点；当 k ∈(−∞,−32]∪[2,+∞) 时，g (x ) 在 (0,+∞) 上无零点， ① 当 g (x ) 在 (−∞,0] 上有且仅有一个零点时，（1）当 Δ=(4+k )2+4(k +1)=0 时，k =−2 或 k =−10， 此时 g (x ) 在 (0,+∞) 上无零点， 所以不满足 g (x ) 有两个零点；（2）当 Δ=(4+k )2+4(k +1)>0，即 k <−10 或 k >−2 时， 只需 g (0)=−k −1<0，即 k >−1，所以当 k >−1 时，g (x ) 在 (−∞,0] 上有且仅有一个零点， 因为 k ∈(−32,2) 时，g (x ) 在 (0,+∞) 上有一个零点， 所以 k ∈(−1,2) 时，g (x ) 有且仅有 2 个零点； ② 当 g (x ) 在 (−∞,0] 上有两个零点时，只需 {Δ=(4+k )2+4(k +1)>0,−4+k 2<0,g (0)=−k −1≥0⇒k ∈(−2,−1]，因为 k ∈(−∞,−32]∪[2,+∞) 时，g (x ) 在 (0,+∞) 上无零点， 所以 k ∈(−2,−32] 时，g (x ) 有且仅有 2 个零点， 综上所述：k ∈(−2,−32]∪(−1,2)．【知识点】函数的零点分布13. 【答案】①②【解析】① y =sinx 的对称轴为 x =kπ+π2(k ∈Z )，故 f (x )=sin (2x −π4) 的对称轴由 2x −π4=kπ+π2(k ∈Z )，解得 x =kπ2+3π8(k ∈Z )，故①正确；②函数f(x)=sinx+√3cosx=2sin(x+π3)，故该函数的最大值为2，故②正确；③ ∀x∈(0,π)，sinx>cosx；当x=π4时，sinx=cosx，故③错误；④函数f(x)=sin(π3−2x)在区间[0,π3]上单调递减，故④错误．故答案为：①②．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质14. 【答案】π；√2+1【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质15. 【答案】a≤3【知识点】恒成立问题16. 【答案】(14,1)【解析】当0<a<1时，函数y=log a x单调递减，由题意得{a+1>2√a,2√a>1,解得a>14，所以14<a<1；当a>1时，函数y=log a x单调递增，由题意得{a+1<2√a,2√a<1,无解．综上可知，实数a的取值范围是(14,1)．【知识点】对数函数及其性质三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 由x−1≠0，得x≠1．所以函数的定义域为{x∣ x∈R且x≠1}．又1x−1≠0，所以21x−1>0，且21x−1≠1．所以函数的值域为{y∣ y>0且,y≠1}．(2) 由5x−1≥0，得x≥15．所以函数的定义域为{x∣ x≥15}．因为 5x −1≥0，所以 3√5x−1≥1．所以函数的值域为 {y∣ y ≥1}．(3) y =(12)x−1 的定义域是 R ，值域是 {y∣ y >−1}．【知识点】函数的定义域的概念与求法、函数的值域的概念与求法18. 【答案】(1) 函数 f (x ) 的定义域为 R ，对任意 x ∈R ，f (−x )=2−x +2x =f (x )， 所以函数 f (x ) 是偶函数．(2) y =22x +2−2x −2a (2x +2−x )=(2x +2−x )2−2a (2x +2−x )−2， 令 2x +2−x =t ，因为 x ≥0，所以 2x ≥1，故 t ≥2， 原函数可化为 y =t 2−2at −2，t ∈[2,+∞)，y =t 2−2at −2=(t −a )2−a 2−2 图象的对称轴为直线 t =a ，当 a ≤2 时，函数 y =t 2−2at −2 在 t ∈[2,+∞) 时是增函数，值域为 [2−4a,+∞)；当 a >2 时，函数 y =t 2−2at −2 在 t ∈[2,a ] 时是减函数，在 t ∈[a,+∞) 时是增函数，值域为 [−a 2−2,+∞)．综上，g (a )={[2−4a,+∞),a ≤2[−a 2−2,+∞),a >2．(3) 由 mf (x )≤2−x +m −1 得 m [f (x )−1]≤2−x −1，当 x >0 时，2x >1，所以 f (x )=2x +2−x >2，所以 f (x )−1>1>0， 所以 m ≤2−x −1f (x )−1=2−x −12x +2−x −1=1−2x 22x +1−2x恒成立．令 t =1−2x ，则 t <0，1−2x 22x +1−2x=t (1−t )2+t=t t 2−t+1=1t+1t−1，由 t <0 得 t +1t≤−2，所以 t +1t−1≤−3，−13≤1t+1t−1<0．所以 m ≤−13，即 m 的取值范围为 (−∞,−13]．【知识点】函数的奇偶性、指数函数及其性质、函数的值域的概念与求法19. 【答案】(1) 依据题意，知 f (x )=2x −1，若 f (2a −x )=k ⋅f (x )，即 2(2a −x )−1=k (2x −1)． 化简得 −2x +4a −1=2kx −k ，此等式对 x ∈R 都成立，则 {2k =−2,4a −1=−k,解得 {k =−1,a =12.于是，函数 f (x )=2x −1 有理想数对 (12,−1)．所以，函数 f (x )∈M ． (2) 用反证法证明 g (x )∉M ． 假设 g (x )∈M ，则存在实数对 (a,k )(k ≠0) 使得 g (2a −x )=k ⋅g (x ) 成立． 又 g (x )=2x ，于是，22a−x =k ⋅2x ， 即 22a =k ⋅22x ．一方面，此等式对 x ∈R 都成立；另一方面，该等式左边是正的常数，右边是随 x 变化而变化的实数．两方面互相矛盾，故假设不成立．因此，函数 g (x ) 不存在理想数对 (a,k )(k ≠0) 使 g (x )∈M ， 即 g (x )∉M ．(3) 因为数对 (2,1) 和 (1,−1) 都是函数 ℎ(x ) 的理想数对， 所以 ℎ(4−x )=ℎ(x )，ℎ(2−x )=−ℎ(x )，x ∈R ， 所以ℎ(4+x )=ℎ(4−(4+x ))=ℎ(2−(2+x ))=−ℎ(2+x )=−ℎ(4−(2−x ))=−ℎ(2−x )=ℎ(x ).所以函数 ℎ(x ) 是以 4 为周期的周期函数．由 ℎ(2−x )=−ℎ(x )，ℎ(2−x )+ℎ(x )=0，x ∈R ，可知函数 ℎ(x ) 的图象关于点 (1,0) 成中心对称图形．又 −1≤x ≤1 时，ℎ(x )=1−x 2，所以 1<x ≤3 时，−1≤2−x <1，则 ℎ(x )=−ℎ(2−x )=(2−x )2−1．先画出函数 ℎ(x ) 在 [−1,3] 上的图象，再根据周期性，可得到函数 ℎ(x ) 的图象如图： 所以 ℎ(x )={1−(x −2k )2,k 为偶数,2k −1≤x <2k +1(x −2k )2−1,k 为奇数,2k −1≤x <2k +1，所以 ℎ(x )=1−(x −8)2，7≤x ≤9；ℎ(x )=1−(x −12)2，11≤x ≤13．由 {ℎ(x )=1−(x −8)2,y =mx (7≤x ≤9) 有且仅有一个交点，解得 m =16−6√7（m =16+6√7，舍去）．由 {ℎ(x )=1−(x −12)2,y =mx (11≤x ≤13) 有且仅有一个交点，解得 m =24−2√143（m =24+2√143，舍去）．所以函数 y =mx (m >0) 的图象与函数 ℎ(x ) 的图象在区间 [0,12] 上有且仅有 5 个交点时，实数 m 的取值范围是 24−2√143<m <16−6√7．【知识点】恒成立问题、函数的零点分布、反证法、函数的周期性20. 【答案】(1) 由函数图象知，A =2．因为图象过点 (0,1)，所以 f (0)=1，所以 sinφ=12． 又因为 ∣φ∣<π2，所以 φ=π6． 由函数图象知T 2=2π3−π6=π2，所以 T =π，得 ω=2．所以函数 f (x ) 的解析式为 f (x )=2sin (2x +π6)．(2) 由（1）知，函数 y =2sin (2x +π6)，若 π12<x <11π12，在原图中标出 (π12,√3) 和 (11π12,0)，如图所示： 当 −2<m <0 或 √3<m <2 时，直线 y =m 与曲线 y =2sin (2x +π6) 有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根． 所以 m 的取值范围为 (−2,0)∪(√3,2)． 由对称性可知，当 −2<m <0 时，两根和为 4π3；当 √3<m <2 时，两根和为 π3．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质21. 【答案】设矩形的一边长为 x ，广告牌面积为 S ，则 S =−(x −l 4)2+l 216，x ∈(0,l 2)． 当 x =l4 时，S 取得最大值，且 S max =l 216，所以当广告牌是边长为 l4 的正方形时，广告牌的面积最大．【知识点】函数模型的综合应用22. 【答案】 1−cos 4α−sin 4α1−cos 6α−sin 6α=(sin 2α+cos 2α)2−cos 4α−sin 4α(sin 2α+cos 2α)3−cos 6α−sin 6α=2sin 2αcos 2α3sin 4αcos 2α+3sin 2αcos 4α=2sin 2αcos 2α3sin 2αcos 2α=23.【知识点】同角三角函数的基本关系。
人教版高一数学函数及其性质知识点归纳与习题
（1）（2）（3）（4）人教版高一数学函数及其性质知识点归纳与习题第一部分 函数及其表示知识点一：函数的基本概念1、函数的概念：一般地，设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数。
记作：A x x f y ∈=，)(。
x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域，y 叫函数值，y 的取值范围叫函数的值域。
说明：①函数首先是两个非空数集之间建立的对应关系②对于x 的每一个值，按照某种确定的对应关系f ，都有唯一的y 值与它对应，这种对应应为数与数之间的“一对一”或“多对一”。
③认真理解)(x f y =的含义：)(x f y =是一个整体，)(x f 并不表示f 与x 的乘积，它是一种符号，可以是解析式，也可以是图象，还可以是表格； 2、函数的三要素：定义域，值域和对应法则3、区间的概念：三种区间：闭区间、开区间、半开半闭区间4、两个函数相等：同时满足（1）定义域相同；（2）对应法则相同的两个函数才相等5、分段函数：说明：①在求分段函数的函数值时，首先要确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相应的对应关系求值。
②分段函数是一种重要的函数，它不是几个函数，而是同一个函数在不同范围内的表示方法不同。
6、函数图像 练习1.2．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A ．xxy y ==,1B ．1,112-=+⨯-=x y x x yC ．33,x y x y ==D ． 2)(|,|x y x y ==3.下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为 （ ）（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； （2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速。
高一函数的概念及其性质(含答案)
§1.2.1函数的概念一.【知识要点】1一、复习：初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.并将自变量x 取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义.问题1：1=y （R x ∈）是函数吗？问题2：x y =与xx y 2=是同一函数吗？观察对应：二、讲解新课：（一）函数的有关概念设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的函数，记作)(x f y =， x ∈A其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(（⊆B ）叫做函数y=f(x)的值域.求平方B B函数符号)(x f y =表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数)(x f . (1)函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应 B A f →:这里 A, B 为非空的数集.（2）A ：定义域，原象的集合；{}A x x f ∈|)(：值域，象的集合,其中{}A x x f ∈|)( ⊆ B ；f ：对应法则 ， x ∈A ， y ∈B（3）函数符号：)(x f y = ↔y 是 x 的函数，简记 )(x f （二）已学函数的定义域和值域1．一次函数b ax x f +=)()0(≠a :定义域R, 值域R; 2．反比例函xkx f =)()0(≠k :定义域{}0|≠x x , 值域{}0|≠x x ; 3．二次函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a :定义域R值域：当0>a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 44|2；当0<a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤a b ac y y 44|2 4求函数的定义域时，一般应考虑:（1）偶次方根的被开方数不小于零； （2）分母不等于零；（3）零的零次幂没有意义. (4)实际问题的背景所允许的取值范围.例如：2r S ⋅=π表示圆的面积时，r 的取值范围应是()+∞∈,0r .（三）函数的值：关于函数值 )(a f例：)(x f =2x +3x+1 则 f(2)=22+3×2+1=11注意：1︒在)(x f y =中f 2︒)(x f 不一定是解析式，有时可能是“列表” 3︒)(x f 与)(a f （四）函数的三要素： 对应法则f 、定义域A 、值域{}A x x f ∈|)( （五）了解区间的概念①设a 、b 是两个实数，且a<b ，则：{x|a ≤x ≤b}＝[a,b] 叫闭区间； {x|a<x<b}＝(a,b) 叫开区间； {x|a ≤x<b}＝[a,b) ； {x|a<x ≤b}＝(a,b] ；都叫半开半闭区间。
高一数学必修一函数概念表示及函数性质练习题(含答案)
1．已知R 是实数集，21xx ⎧⎫M =<⎨⎬⎩⎭，{y y N ==，则RN M =（ ）A ．()1,2B ．[]0,2C ．∅D ．[]1,22已知集合A=｛x |01<--ax ax ｝，且A 3A 2∉∈，，则实数a 的取值范围是 ____3．函数f （x ）=x 2﹣4x ﹣6的定义域为[0，m]，值域为[﹣10，﹣6]，则m 的取值范围是（ ）A ．[0，4]B ．[2，4]C ．[2，6]D ．[4，6] 4．设函数g(x)＝x 2－2(x ∈R)，f(x)＝则f(x)的值域是（ ）A. ∪(1，＋∞)B. [0，＋∞)C.D. ∪(2，＋∞)5．定义在),0(+∞上的函数满足对任意的))(,0(,2121x x x x ≠+∞∈，有.则满足＜的x 取值范围是( )&6．已知上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. B.C.D.7．函数在（－1，＋∞）上单调递增，则的取值范围是A ．B ．C ．D ．8．已知函数f （x ）＝{2x 1x 01x 0+≥，，则满足不等式f （1－x 2）>f （2x ）的x 的取值范围是________. 9．若函数y ＝2ax 1zx 2ax 3++的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________． 10．已知函数f （x ）＝x 2－6x ＋8，x ∈[1，a]，并且f （x ）的最小值为f （a ），则实数a 的取值区间是________．11．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴为1x =，给出下列结论：①0abc >；②24b ac =；③420a b c ++>；④30a c +>，其中正确的结论是 ．（写出正确命题的序号）！()f x 2121()(()())0x x f x f x -->(21)f x -1()3f 25---=a x x y a 3-=a 3<a 3-≥a 3-≤a12．已知1x f x x ⎛⎫=⎪+⎝⎭，则(1)f -= ． 13．已知()221f x ax ax =++在[]2,3-上的最大值为6，则()f x 的最小值为_________．14已知[]1,0∈x ，则函数x x y --=12的值域是 ____15．已知2()f x ax bx =+是定义在[1,3]a a -上的偶函数，那么a b +=（ ）16．已知函数222f xmx m mx 为偶函数，求实数m 的值= .17．若函数f （x ）＝（2k －3）x 2＋（k －2）x ＋3是偶函数，则f （x ）的递增区间是____________．/18．定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，()22xf x x =-，则()(0)1f f +-＝ ． 19． 函数()f x 是R 上的偶函数，且在[0,)+∞上单调递增，则下列各式成立的是（ ） A ．)1()0()2(f f f >>- B ．)0()1()2(f f f >->- C ．)2()0()1(->>f f f D ．)0()2()1(f f f >->20．已知函数()f x 是定义在区间[-2，2]上的偶函数，当[0,2]x ∈时，()f x 是减函数，如果不等式(1)()f m f m -<成立，则实数m 的取值范围（ ） A.1[1,)2- B. 1，2 C. (,0)-∞ D.(,1)-∞21．（5分）（2011•湖北）若定义在R 上的偶函数f （x ）和奇函数g （x ）满足f （x ）+g（x ）=e x，则g （x ）=（ ）A.e x﹣e ﹣xB.（e x+e ﹣x） C.（e ﹣x﹣e x） D.（e x﹣e ﹣x）…22．已知函数1()f x x x=-. （1）判断函数()f x 的奇偶性，并加以证明；（2）用定义证明函数()f x 在区间[1,+∞）上为增函数；（3）若函数()f x 在区间[2,]a 上的最大值与最小值之和不小于1122a a-，求a 的取值范围.￥@23．已知c bx x x f ++=22)(，不等式0)(<x f 的解集是)5,0(， （1）求)(x f 的解析式；（2）若对于任意]1,1[-∈x ，不等式2)(≤+t x f 恒成立，求t 的取值范围．、(24．已知函数()x f 为定义域为R ，对任意实数y x ,，均有)()()(y f x f y x f +=+，且0>x 时，0)(>x f（1）证明)(x f 在R 上是增函数 （2）判断)(x f 奇偶性，并证明（3）若2)1(-=-f 求不等式4)4(2<-+a a f 的解集~25．函数2()21f x x ax =-+在闭区间[]1,1-上的最小值记为()g a ．（1）求()g a 的解析式； （2）求()g a 的最大值．《26．已知函数22()1x f x ax x =++为偶函数. （1）求a 的值；￥（2）用定义法证明函数()f x 在区间[0,)+∞上是增函数； （3）解关于x 的不等式(21)(1)f x f x -<+．—】参考答案1．D 【解析】试题分析：因0|{<=x x M 或}1|{},2≥=>x x N x ,故}20|{≤≤=x x M C R ，}21|{≤≤=x x M C N R ,故应选D.考点：集合的交集补集运算． 2．B 【解析】试题分析：函数()f x 是R 上的偶函数,所以()()22f f -=, ()()11f f -=,因为函数()f x 是[)0,+∞上增函数,则()()()210f f f >>,即()()()210f f f ->->．故B 正确． 考点：1函数的奇偶性;2函数的单调性． 3．A 【解析】试题分析：根据题意知,函数在[)0,2-上单调递增,在[]2,0上单调递减.首先满足⎩⎨⎧≤≤-≤-≤-22212m m ,可得21≤≤-m .根据函数是偶函数可知:)()(m f m f -=,所以分两种情况:当20≤≤m 时,根据不等式(1)()f m f m -<成立,有12-21m m m m <-≤≤-<-或,解得102m ≤<;当20m -≤<时,根据不等式(1)()f m f m -<成立,有12 -21m m m m -<-≤≤-<或,解得10m -≤<;综上可得112m -≤<. 考点：偶函数性质. 4．D 【解析】试题分析：根据已知中定义在R 上的偶函数f （x ）和奇函数g （x ）满足f （x ）+g （x ）=e x，根据奇函数和偶函数的性质，我们易得到关于f （x ）、g （x ）的另一个方程：f （﹣x ）+g （﹣x ）=e ﹣x，解方程组即可得到g （x ）的解析式． 解：∵f （x ）为定义在R 上的偶函数 ∴f （﹣x ）=f （x ）又∵g （x ）为定义在R 上的奇函数g （﹣x ）=﹣g （x ） 由f （x ）+g （x ）=e x，∴f （﹣x ）+g （﹣x ）=f （x ）﹣g （x ）=e ﹣x， ∴g （x ）=（e x﹣e ﹣x） 故选D点评：本题考查的知识点是函数解析式的求法﹣﹣方程组法，及函数奇偶性的性质，其中根据函数奇偶性的定义构造出关于关于f （x ）、g （x ）的另一个方程：f （﹣x ）+g （﹣x ）=e ﹣x，是解答本题的关键． 5．B【解析】函数f （x ）=x 2﹣4x ﹣6的图象是开口朝上，且以直线x=2为对称轴的抛物线 故f （0）=f （4）=﹣6，f （2）=﹣10∵函数f （x ）=x 2﹣4x ﹣6的定义域为[0，m]，值域为[﹣10，﹣6]， 故2≤m≤4即m 的取值范围是[2，4] 故选B 6．B 【解析】试题分析：由题意，如下图：设1122(,),(,)A x yB x y ，联立21y x b y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩得2210x bx +-=，则221212||(1)[()4]AB k x x x x =++- 25(8)2b +=，O点到直线AB 的距离||5b d =，∴225(8)1||||8()2245b b b b S f b ++==⋅⋅=. ∵()()f b f b -=，∴()f b 为偶函数.当0x >时，28()4b b f b ⋅+=，易知()f b 单调递增.故选B.考点：1.函数奇偶性；2.三角形面积应用. 7．A 【解析】 试题分析：因为2121()(()())0x x f x f x -->，所以函数()f x 在),0(+∞上单调增. 由(21)f x -＜1()3f 得：.3221,31120<<<-<x x考点：利用函数单调性解不等式 8．C 【解析】,,所以,所以,选C.9．D【解析】令x<g(x)，即x 2－x －2>0， 解得x<－1或x>2.令x ≥g(x)，即x 2－x －2≤0，解得－1≤x ≤2. 故函数f(x)＝当x ＜－1或x ＞2时，函数f(x)＞f(－1)＝2； 当－1≤x ≤2时，函数≤f(x )≤f(－1)，即≤f(x )≤0.故函数f(x)的值域是∪(2，＋∞)．选D.10．B 【解析】 作出函数在区间上的图象，以及的图象，由图象可知当直线在阴影部分区域时，条件恒成立，如图，点,,所以，即实数a 的取值范围是，选B.11．B 【解析】试题分析：由2()f x ax bx =+是定义在[1,3]a a -上的偶函数，得a a 31-=-，解得：41=a ．再由()()x f x f =-，得()bx ax bx x a +=--22，即0=bx ，∴0=b ．则41041=+=+b a ．故选：B ．考点：函数的奇偶性. 12．D 【解析】试题分析：由于函数52x y x a -=--在()1,-+∞上单调递增,可得当1x >-时,()()()()22253'022x a x a y x a x a -----==≥----,可得3021a a -≥⎧⎨+≤-⎩,解得3a ≤-,故选D. 考点：1、反比例函数的图象与性质；2、利用导数研究函数的单调性. 13．()12,1-- 【解析】试题分析：由题意可得()x f 在[)+∞,0上是增函数，而0<x 时，()1=x f ，故满足不等式()()x f x f 212>-的x 需满足⎪⎩⎪⎨⎧>->-012122x xx ，即⎩⎨⎧<<-+-<<--112121x x ，解得()12,1--∈x ，故答案为()12,1--．考点：不等式的解法.【方法点睛】本题考查分段函数的单调性，利用单调性解不等式，考查利用所学知识分析问题解决问题的能力，属于基础题．由题意可得 ()x f 在[)+∞,0上是增函数，而0<x 时，()1=x f ，故21x -必需在0=x 的右侧，故满足不等式()()x f x f 212>-的x 需满足⎪⎩⎪⎨⎧>->-012122x xx ，由此解出x 即可，借助于分段函数的图象会变的更加直观. 14．[)3,0 【解析】试题分析：因为函数3212+++=ax ax ax y 的定义域为R ，所以0322≠++ax ax 恒成立．若0=a ，则不等式等价为03≠，所以此时成立．若0≠a ，要使0322≠++ax ax 恒成立，则有0<∆，即03442<⨯-=∆a a ，解得30<<a ．综上30<≤a ，即实数a 的取值范围是[)3,0．故答案为：[)3,0．考点：函数的定义域及其求法. 15．0或2- 【解析】试题分析：当0=m 时，()2=x f 为偶函数，满足题意；当0≠m 时，由于函数()()222+++=mx m mx x f 为偶函数，故对称轴为022=+-=mm x ，即2-=m ，故答案为0或2-.考点：函数的奇偶性.【方法点晴】本题考查函数奇偶性的应用．若已知一个函数为偶函数，则应有其定义域关于原点对称，且对定义域内的一切x 都有()()x f x f =-成立．其图象关于轴对称．()()222+++=mx m mx x f 是偶函数,对于二次项系数中含有参数的一元二次函数一定要分为二次项系数为0和二次项系数不为0两种情况，图象关于y 轴对称⇒对称轴为y 轴⇒实数m 的值．16．(]31，【解析】试题分析：函数()()[]a x x x x x f ,1,138622∈--=+-=，并且函数()x f 的最小值为()a f ，又∵函数()x f 在区间(]31，上单调递减，∴31≤<a ，故答案为：(]31，．考点：（1）二次函数的性质；（2）函数的最值及其几何意义. 17．①④ 【解析】试题分析：由图象知0a >，0c <，=12ba-，即20a b +=，所以0b <，所以0abc >，故①正确；因为二次函数图象与x 轴有两个交点，所以240b ac ∆=->，即24b ac >，故②错；因为原点O 与对称轴的对应点为(20)，，所以2x =时，0y <，即420a b c ++<，故③错；因为当1x =-时，0y >，所以0a b c -+>，把2b a =-代入得30a c +>，故④正确，故填①④．考点：二次函数图象与系数的关系．【技巧点睛】利用图象判断解析式中,,a b c 的正负及它们之间的关系：(1)开口方向判断a 的正负；(2) 与y 轴交点位置判断c 的正负；(3) 对称轴位置判断b 的正负 (左同右异）；(4) 与x 轴交点个数判断24b ac -的正负；(5) 图象上特殊点的位置判断一些函数值正负；(6) 对称轴判断2a b +和2a b -的正负． 18．12-【解析】 试题分析：由1x f x x ⎛⎫=⎪+⎝⎭,可令；1,1x x =-+求解可得； 11.2x x x =--=-。
高一数学复习考点知识专题提升练习5--- 函数的概念及其表示(解析版)
高一数学复习考点知识专题提升练习精练05函数的概念及其表示1．【广东省深圳市红岭中学2019-2020学年高一期末】下列各组函数中，表示同一函数的是() A ．()() ln xf x eg x x ＝，＝B ．()()24,22x f x g x x x -+＝＝－C ．()()sin 2,sin 2cos xf xg x x x＝＝D ．()()f x x g x ＝，【答案】D 【详解】选项A:函数()f x 的定义域是0x >，函数()g x 的定义域是全体实数，故这两个函数不是同一函数； 选项B:函数()f x 的定义域是2x ≠-，函数()g x 的定义域是全体实数，故两个函数不是同一函数； 选项C: 函数()f x 的定义域是()2x k k Z ππ≠+∈,函数()g x 的定义域是全体实数，故两个函数不是同一函数；选项D:函数()f x 和()g x 的定义域都是全体实数，且()g x x =，对应关系相同，所以是同一函数，故本题选D.2．【浙江省杭州市学军中学（学紫）2019-2020学年高一上学期期中】下列选项中两个函数，表示同一个函数的是（）A ．()4ln f x x =，()4ln g x x =B ．()2f x x =，()g x =C ．()1f x x =-，()g x =D ．()f x x =，()2g x =【答案】B对于A 选项，函数()4ln f x x =的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，函数()4ln g x x =的定义域为()0,∞+，故()4ln f x x =与()4ln g x x =不是同一函数；A 排除对于B 选项，函数()2f x x =与()g x =R ，且()2==g x x ，所以()2f x x =与()g x =B 正确；对于C 选项，函数()1f x x =-的定义域为R ，函数()1g x x ==-,定义域为R ，因此()1f x x =-与()g x =C ；对于D 选项，函数()f x x =的定义域为R ，函数()2g x =的定义域为[)0,+∞，因此()f x x=与()2g x =不是同一函数，排除D.故选B3．与函数()f x x =相等的是（）A ．()2x f x x=B ．()2ln ln x f x x =C ．()22xf x =D ．()22xf x =【答案】C 【详解】()f x x =的定义域为R,而A 中0x ≠，B 中0x >，C 中x ∈R ，D 中x ∈R ， 又C 中()22x f x x ==，D 中()22xf x x =≠， 故选：C.4．【山东省青岛市第二中学2019-2020学年高一上学期期末】下列哪个函数的定义域与函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域相同（） A ．2x y =B ．1y x x=+C ．12y x =D ．ln y x x =-【详解】指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域是(0,)+∞ A 选项定义域是R ； B 选项定义域是{}|0x x ≠； C 选项定义域是{}|0x x ≥；D 选项定义域是{}|0x x >，满足题意。
高一数学函数图像试题
高一数学函数图像试题1.函数的图象如图所示，其右侧部分向直线无限接近，但永不相交。
（1）函数的定义域为，值域为；（2）当时，只有唯一的值与之对应。
（错一空扣2分，扣完为止）【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由图像可得定义域为，值域为；（2）从图像可得答案为.【考点】函数的图像.2.偶函数与奇函数的定义域均为，在，在上的图象如图，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】是偶函数，偶函数的图像关于轴对称，结合图像知的解集，的解集；是奇函数，奇函数的图像关于原点对称，结合图像知的解集，的解集；等价于或,所以解集为,故选C.【考点】1.函数的图像；2.函数的奇偶性.3.已知函数若函数有三个零点，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】有3个零点，即有三个实根，即与有三个不同交点，画出的图像，当有三个交点时，先确定了,解得：.【考点】1.函数零点；2.函数图像.4.学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图像，当时，图像是二次函数图像的一部分，其中顶点，过点；当时，图像是线段，其中，根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳.（1）试求的函数关系式；（2）教师在什么时段内安排内核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由.【答案】（1）；（2）老师在时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳.【解析】（1）这是分段函数的解析式的求解问题，采用分段求解的方法：在时，该图像是二次函数的图像，设这个二次函数的顶点式方程即，由点，可求出的值；在时，由点可求出直线的方程，最后写出函数的解析式即可；（2）求解不等式即或即可得到老师安排核心内容的时间段.试题解析：（1）当时，设 1分因为这时图像过点，代入得所以 3分当时，设，过点得，即 6分故所求函数的关系式为 7分（2）由题意得或 9分得或，即 11分则老师就在时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳 12分.【考点】1.函数的实际应用问题；2.分段函数解析式的求解问题；3一次函数与二次函数的图像与性质；4.一次不等式与二次不等式.5.对于每一个实数 ,取，，三个值中最小的值，则的最大值为_______【答案】3【解析】在同一坐标系中画出，，三个函数的图象如下图所示，则实线为的图象，易知，的最大值为3.【考点】1、基本初等函数的图象；2、数形结合.6.函数的图象大致是（）【答案】C【解析】，即，所以不是偶函数，图像不关于y轴对称，故D不正确；时，所以，所以，所以，故B不正确。
高一数学函数图像专题(含详解)
高一数学函数图像专题(含详解)一、函数的概念函数是一种数学关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
在数学中，我们用函数来描述数量之间的关系。
二、函数图像的绘制为了更好地理解函数的性质和规律，我们可以通过绘制函数图像来进行观察和分析。
绘制函数图像时，我们需要确定函数的定义域和值域，并选取一些代表性的输入值，计算出对应的输出值，然后将这些点连接起来，即可得到函数图像。
三、常见函数图像1.直线函数图像：直线函数的图像通常是一条直线，可以通过确定直线的斜率和截距来确定。
2.平方函数图像：平方函数的图像是一条抛物线，开口的方向由平方项的系数决定，开口向上为正，开口向下为负。
3.正弦函数图像：正弦函数的图像是一条波浪形曲线，表现周期性的特点。
4.指数函数图像：指数函数的图像呈现出递增或递减的趋势，斜率随着自变量的增大而增大或减小。
5.对数函数图像：对数函数的图像通常是一条曲线，呈现出随着自变量的增大，函数值增长趋缓的特点。
四、函数图像的性质1.奇偶性：函数图像关于原点对称的称为奇函数，图像关于y轴对称的称为偶函数。
2.单调性：函数图像上的点随着自变量的增大或减小而具有递增或递减的趋势。
3.零点与极值点：函数图像与x轴相交的点称为零点，图像上的极值点包括最大值和最小值。
五、总结函数图像是研究函数性质和规律的重要工具。
通过绘制函数图像，我们可以直观地了解函数的特点，并进行更深入的分析和推理。
在研究函数图像时，需要注意函数的定义域、值域以及一些常见函数的特点和性质。
这对于理解和应用函数概念都非常重要。
以上是关于高一数学函数图像专题的详细解释和内容总结，希望对你有所帮助。
高一数学函数及其表示试题
高一数学函数及其表示试题1.下列各组函数是同一函数的是（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，两者的定义域不相同，所以不是同一函数，即A不正确；对于B，函数的定义域为，函数的定义域为或，两者的定义域不相同，所以不是同一函数，即B不正确；对于C，函数的定义域为，函数的定义域为，两者的定义域不相同，所以不是同一函数，即C不正确；对于D，函数的定义域和值域均为，函数的定义域和值域也均为，两者的定义域和值域均相同，所以是同一函数，即D正确.【考点】相等函数的概念.2.，则 ( )A．B．C．D．【答案】D【解析】本题主要考查函数解析式.由，故选D.【考点】函数解析式，诱导公式.3.已知定义域为的函数同时满足以下三个条件：（1）对任意的，总有；（2）；（3）若，，且，则有成立，则称为“友谊函数”，请解答下列各题：（1）若已知为“友谊函数”，求的值；（2）函数在区间上是否为“友谊函数”？并给出理由.（3）已知为“友谊函数”，假定存在，使得且，求证：.【答案】（1）（2）是友谊函数（3）见解析.【解析】（1）利用赋值法由得，再由得，所以（2）分别验证（1）由指数函数的性质在区间上的最小值为0，（2）直接带入验证易得（3）利用做差法直接比较（3）先利用单调性的定义证明抽象函数的单调性，然后再证明取得，又由，得（2）显然在上满足（1）；（2）.（3）若，，且，则有故满足条件（1）、（2）、（3），所以为友谊函数.（3）由（3）知任给其中，且有，不妨设所以：.下面证明：(i)若，则有或若，则，这与矛盾；（2）若，则，这与矛盾；综上所述：【考点】函数的概念与性质.4.下列各组函数表示同一函数的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】排除，因为三个选项中两个函数的定义域各不相同，故C正确。
【考点】函数的三要素。
5.函数的定义域为R，且定义如下：（其中是非空实数集）．若非空实数集满足，则函数的值域为．【答案】【解析】解：根据题意：当时，=当时，=当时，=综上可知，对于任意，所以答案应填：【考点】函数的概念与分段函数.6.设是集合M到集合N的映射, 若N="{1,2}," 则M不可能是（）A．{－1}B．C．D．【答案】D【解析】对应法则是,根据映射的定义，集合M中的任何一个元素在N中都要有唯一的元素和他对应，而D选项中的2，，,不满足定义，所以不正确，故选D.【考点】映射的定义7.已知函数（1）若，求的值；（2）求的值.【答案】（1）1；（2）1006【解析】（1）因为.所以可以计算出的值为1，即表示两个自变量的和为1的函数值的和为1.（2）由（1）可知两个自变量的和为1的函数值的和为1.所以令…①.利用倒序又可得到…②.所以由①+②可得2S=2012.所以S=1006.试题解析：． 5分（2）． 10分【考点】1.函数的表示法.2.倒序求和法.8.如果两个函数的对应关系相同，值域相同，但定义域不同，则这两个函数为“同族函数”，那么函数的“同族函数”有（）A．3个B．7个C．8个D．9个【答案】D【解析】1的原象是；2的原象是．值域为{1，2}，定义域分别为{1，}，{，-1}，{，-1}，{，1}，{，-1，1}，{，-1，1}，{，，-1}，{，，1}，{，，1，-1}，共9个.故答案为：9．【考点】函数的概念及构成要素.点评：1的原象是正负1；2的原象是正负．值域为{1，2}，由此来判断解析式为y=x2，值域为{1，2}的“同族函数”的个数．9.下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】本小题考查了构成函数的三要素等知识。
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函数的概念和图像
一、 填空题：（每小题5分，共70分）
1、函数21y x x =+________________.
2、设()x f 为定义在()+∞∞-,上的偶函数，且()x f 在[)+∞,0上为增函数，则()2-f ，()π-f ，()3f 的大小顺序是____________
3、已知函数)127()2()1()(22+-+-+-=m m x m x m x f 为偶函数，则m 的值是___ _
4、设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-=Z 则，≤≤
5、求函数3
2y x =-在区间[3，6]上的最大值_________和最小值
___________．
6、.设f(x)＝ax 7＋bx ＋5，已知f(－2)＝－10,求f(2)的值____________
7、已知函数f(x)，当x<0时，f(x)=x 2+2x-1，若f(x)为R 上的奇函数，则函数在R 上的的解析式为_______________________
8、如果函数5)1()(2+--=x a x x f 在区间)1,21(上是增函数，那么)2(f 的
取值范围是__________________.
9、若函数2()(2)(1)3f x k x k x =-+-+是偶函数，则)(x f 的递减区间是 。
10、已知)(x f 是定义在]1,1[-上的增函数，且)1()2(x f x f -<-，则x
的取值范围为 。
11、定义在)1,1(-上的奇函数1
)(2+++=
nx x m x x f ，则常数=m ____,=n _____。
12、已知函数)(x f y =在R 是奇函数，且当0≥x 时，x x x f 2)(2-=，则0<x 时，)(x f 的解析式为____ ___________。
13、已知函数[]2()22,5,5f x x ax x =++∈-，若()y f x =在区间[]5,5-上是单调函数. 则实数a 的取值范围 。
14、若()x f 是奇函数，且在区间()0,∞-上是单调增函数，又0)2(=f ，则0)(<x xf 的解集为 .
二、解答题（共6题，90分）
15、已知函数()2f x x x =-，求证：()f x 在7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
上是增函数。
16、定义在]11[，-上的函数)(x f y =是减函数，且是奇函数，若
0)54()1(2>-+--a f a a f ，求实数a 的范围.
17、求二次函数f(x)=x2－2ax＋2在[2,4]上的最大值与最小值
18、作出函数
()
21
y x x
=-+的图象，并根据函数的图象找出函数的
单调区间．
19、在经济学中，函数)(x f 的边际函数为)(x Mf ，定义为)()1()(x f x f x Mf -+=，某公司每月最多生产100台报警系统装置。
生
产x 台的收入函数为2203000)(x x x R -=（单位元），其成本函数为
4000500)(+=x x C （单位元），利润的等于收入与成本之差.①求出利润函数)(x p 及其边际利润函数)(x Mp ；②求出的利润函数)(x p 及其边际利润函数)(x Mp 是否具有相同的最大值；③你认为本题中边际利润函数)(x Mp 最大值的实际意义.
20、若非零函数)(x f 对任意实数b a ,均有()()()f a b f a f b +=•，且当0
<x
时，1)(>x f ；（1）求证：()0f x >（2）求证：)(x f 为减函数（3）当16
1)4(=f 时，解不等
()()21354f x f x -•-≤。