误差理论概念总结
误差知识与算法知识点总结
误差知识与算法知识点总结1. 误差的概念误差是指测量结果与真实值之间的差异。
在实际应用中，无法完全获得真实值，因此测量结果总会有一定的偏差，这种偏差就是误差。
误差可以分为系统误差和随机误差两种类型。
2. 系统误差系统误差是指测量结果偏离真实值的固有偏差，常常是由于仪器、环境或测量方法等因素引起的。
系统误差的存在会导致测量结果产生偏差，降低测量结果的准确性。
3. 随机误差随机误差是由于实验环境、人为操作等随机因素引起的误差，是无法完全避免的。
随机误差会导致测量结果的离散度增大，降低测量结果的精确性。
4. 误差分析误差分析是对测量结果中的误差进行定量分析的过程，其目的是评估测量结果的准确性和精确性。
误差分析通常包括误差的来源和类型、误差的大小和分布、误差的传递和积累等内容。
5. 误差传递误差传递是指当多个测量结果相互影响时，每个测量结果中的误差会随着计算和运算的进行而传递和积累。
误差传递的过程需要考虑各种因素对误差的影响，以准确评估测量结果的误差范围。
6. 误差控制误差控制是指在测量过程中采取一系列措施来减小误差的产生和传递，以提高测量结果的准确性和精确性。
误差控制的方法包括校准仪器、规范操作、提高测量精度等。
7. 误差分布误差分布是指测量结果中误差的分布情况，可以通过统计学方法进行分析和描述。
误差分布通常服从正态分布或其他概率分布，可以通过统计参数进行描述。
8. 误差评估误差评估是对测量结果中的误差进行评定和验证的过程，以确定测量结果的可靠性和可信度。
误差评估通常包括测量不确定度的计算和报告，以及误差边界的确定和验证。
二、算法知识点总结1. 算法的概念算法是指解决问题或实现功能的一系列有序步骤的描述，是计算机程序的核心。
算法描述了如何通过一定的计算过程来实现特定的功能或者处理特定的数据。
2. 算法的特性算法具有确定性、有限性、输入和输出、易实现等特性。
确定性指算法的每一步都有唯一的后续步骤，有限性指算法必须在有限的步骤内结束，输入和输出指算法需要接受输入数据并产生输出结果，易实现指算法可以通过简单的描述和规范步骤来实现。
误差理论
当数字末端的0不作为不效数 字时，要改写成用10n来表示
• 例:24600保留三位有效数字，应表 示为： • 2.46×104
• 分析化学中还经常遇到PH，logK等对 分析化学中还经常遇到PH，logK等对 PH 数值， 数值，其有效数字的位数取决于小数部 分数字的位数， 分数字的位数，因整数部分中说明该数 的方次。 PH值为12.68， 值为12.68 的方次。如PH值为12.68，即 [H+]=2.1× M,有效数字是两位 有效数字是两位， [H+]=2.1×10-13M,有效数字是两位， 而不是四位。 而不是四位。
误差和偏差
• 由于“真实值”无法准知道，因 由于“真实值”无法准确知道， 此无法计算误差。在实际工作中， 此无法计算误差。在实际工作中， 通常是计算偏差（ 平均值代替真 通常是计算偏差（用平均值代替真 实值计算误差，其结果是偏差） 实值计算误差，其结果是偏差）
四、精密度和偏差
• 1.精密度 精密度是指在相同条件下多次测定 1.精密度 结果之间相互接近的程度。（ 。（精密度用偏差表 结果之间相互接近的程度。（精密度用偏差表 示） • 2.偏差 系指测得的结果与平均值之差。 2.偏差 系指测得的结果与平均值之差。 • 偏差越小，说明分析结果的精密度越高。所以 偏差越小，说明分析结果的精密度越高。 偏差的大小是衡量分析结果的精密度高低的尺 偏差常用绝对偏差 相对偏差、 绝对偏差、 度。偏差常用绝对偏差、相对偏差、平均偏差 表示。 和相对平均偏差表示 和相对平均偏差表示。
误差理论与数据处理知识总结
第一章绪论1.1研究误差的意义1.1.1研究误差的意义为：1）正确认识误差的性质，分析误差产生的愿意，以消除或减小误差2）正确处理测量和试验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据3）正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。
1.2误差的基本概念1.2.1误差的定义：误差是测得值与被测量的真值之间的差。
1.2.2绝对误差：某量值的测得值之差。
1.2.3相对误差：绝对误差与被测量的真值之比值。
1.2.4引用误差：以仪器仪表某一刻度点的示值误差为分子，以测量范围上限值或全量程为分母，所得比值为引用误差。
1.2.5误差来源：1）测量装置误差 2）环境误差 3）方法误差 4）人员误差1.2.6误差分类：按照误差的特点，误差可分为系统误差、随机误差和粗大误差三类。
1.2.7系统误差：在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，按一定规律变化的误差为系统误差。
1.2.8随机误差：在同一测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差称为随机误差。
1.2.9粗大误差：超出在规定条件下预期的误差称为粗大误差。
1.3精度1.3.1精度：反映测量结果与真值接近程度的量，成为精度。
1.3.2精度可分为：1）准确度：反映测量结果中系统误差的影响程度2）精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度3）精确度：反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度，其定量特征可用测量的不确定度来表示。
1.4有效数字与数据运算1.4.1有效数字：含有误差的任何近似数，如果其绝对误差界是最末位数的半个单位，那么从这个近似数左方起的第一个非零的数字，称为第一位有效数字。
从第一位有效数字起到最末一位数字止的所有数字，不论是零或非零的数字，都叫有效数字。
1.4.2测量结果应保留的位数原则是：其最末一位数字是不可靠的，而倒数第二位数字应是可靠的。
简述误差的概念
简述误差的概念
误差是指实际值和理论值之间的差异或者是预期结果和实际结果之间的差异，它是一种常见的量化测量工具，可以用来描述各种现象或实验中的实际情况与预期情况之间的差距程度。
误差分为绝对误差和相对误差两种，绝对误差指实际值与理论值之差的绝对值，相对误差则是指绝对误差与理论值之比的绝对值。
误差的来源可以是各种因素，例如仪器或测量设备的精度、实验条件、心理或生理因素等等。
误差存在的原因多种多样，但总的来说可以归纳为以下几类：第一是系统性误差，它是由某种系统性因素而导致的误差，例如测量仪器的故障或人为因素等。
第二是随机误差，这种误差是由于各种因素相互作用，导致实际值与理论值之间的差异比较随机，可能是测量仪器的不稳定性或测量操作员的操作失误等。
误差在各种领域都有广泛的应用。
在科学研究中，误差是实验数据可靠性的重要指标之一，只有保证误差尽可能小，才能保证实验结果的准确性和可靠性。
在工商管理中，误差也是品质控制和质量管理的重要指标之一，只有保证错误率尽可能小，才能提高产品的质量和
降低生产成本。
而在金融和经济领域，误差也是衡量预测和决策准确性的关键因素之一，只有通过对误差的监控和调整，才能提高经济预测的准确率和决策的准确性。
总的来说，误差是一个非常重要的概念，不论是在科学研究、工程技术、经济或金融领域都是不可或缺的。
了解误差的概念和特点，并学会适当地控制和调整误差，是每个领域从业者的必备技能。
误差理论的基本知识
通常把仪器条件、观测者的技术条件（包括 使用的方法）及外界条件这三方面因素综合起来， 称为观测条件。
观测条件相同的各次观测称为等精度观测。 相反，观测条件之中，只要有一个不相同的各次 观测称为不等精度观测。
§6-2偶然误差的特性
设某个量的真值为X，对此量进行n观测，得到的观测值为L1， L2，…，Ln，每次观测发生的偶然误差（即真差）为Δ1，Δ2，…， Δn，则
i Li X
(i=1，2，…n)
在观测过程中，不可避免会产生偶然误差，偶然误差是测量误
差理论主要讨研究对象。根据偶然误差的特性对该组观测值进行数
-m
+m
【例2】 ：甲、乙两组，各自在同精度条件下对某一三角形的三个 内角观测10次，算得三角形闭合差Δ i 如下：
甲组：+30〃,-20〃,-40〃,+20〃, 0〃, -40〃,+30〃,+20〃,-30〃,10〃
乙组：+10〃,-10〃,-60〃,+20〃,+20〃,+30〃,-50〃, 0〃, +30〃,10〃
△i=ai+bi+ci-180°
（i=1,2, ········365）
b
a
c
把这365个真误差按其绝对值的大小排列，列于下表：
偶然误差Δ分布统计表
误差区间d Δ
0″～ 2″ 2″～ 4″ 4″～ 6″ 6″～ 8″ 8″～ 10″ 10″～ 12″ 12″～ 14″ 14 ″～ 16″ 16″以上
误差理论概念总结
精密度：表示测量结果随机误差的分散程度示值：仪器指示或显示被测量值。
示值范围：由仪器所显示或指示的最小值到最大值的范围。
刻度：指仪器上所指示不同量值的刻线标记的组合。
分辨力：刻尺或度盘上相邻两刻线代表的被测量值，对于数字式仪器分度值称为分辨力或分辨率。
分辨率：仪器所显示的最末一位数字间隔所代表的被测量值。
测量范围：仪器能测出被测量变化的反应能力。
s=ΔLΔxs仪器灵敏度ΔL被观测变量增量Δx被测量增量鉴别阈（灵敏限）：仪器对被测参数最小值的增量的响应能力。
稳定性：一定条件下，对某一参数多次测量，示值的最大变化范围。
漂移：仪器的某些特性随时间改变的能力。
滞差：仪器正反行程对同一输入量有不同输出值。
基值误差：规定在某些特定的示值或被测量处于对测量仪器的示值进行检查这些点的示值误差称基值误差准确度：由系统误差、随机误差共同作用使量仪所给出的示值接近其真值的能力准确度等级等别：高一等级量仪对本量仪检定给出的结果作为真值或接近真值的能力。
（以等别划分的仪器按实际值或依据示值误差评定结果对示值修正后使用）级别：以量仪最大示值允许误差按档次划分级别(以级别划分的仪器直接使用示值不需修正)仪器的静态特征：是指测量仪器输出和输入量值之间的关系，即测量装置的输出信号与产生这一信号的输入信号的函数关系。
示值误差：指测量仪器的示值与被测量的真值之差。
重复性：指测量仪器的随机误差分量，用实验标准偏差s来定量表示。
动态误差：在动态误差中，由于仪器传递系数受惯性、弹性、阻尼等因素的影响，并且被测量的变化速度，加速度都会给测量仪器带来动态测量误差。
像偏转：除特征方向外，棱镜绕其他轴向旋转均导致像向量的偏转，称之为像偏转。
旋转角：U`X`是像向量绕出射光轴X`的旋转角。
像倾斜：A` 绕y`,z`轴转动时，引起像面倾斜。
像偏转极值轴向：即产生X`轴y`轴z`轴向偏转的最大方向，分别用μ、γ、ω单向量表示偏转极值：绕μ、γ、ω转动产生的橡偏值用U`x`max,U`y`max,U`z`max表示。
误差理论的基本知识
负
正
个数 k
46 41 33 21 16 13 5 2 0
误
差 相对个数 k/n
0.128 0.115 0.092 0.059 0.045 0.036 0.014 0.006 0.000
0″.0 ~ 0″.2 0″.2 ~ 0″.4 0″.4 ~ 0″.6 0″.6 ~ 0″.8 0″.8 ~ 1″.0 1″.0 ~ 1″.2 1″.2 ~ 1″.4 1″.4 ~ 1″.6 1″.6 ~以上
1
二.评定精度的指标
• 1.方差和中误差 由数理统计知，表示随机变量分布离散性的数字特征是方 2 差或标准差 2 D ( ) E[ E( )]
2 E( 2 )[ E( )] E( 2 )
测量上习惯用中误差表示
2 2 2 2 n M 2 D() 2 lim 1 lim n n n n
y
y=f(△)
－△
+△
1. σ与观测误差△及偶然误差概率密度f(△)的关系
D() f ()d
2 2 1 2 2 e d 2 2 2
§6-3
评定真误差精度的指标
• 一.精度的含义 一定的观测条件 确定的误差分布 条件好，误差分布密集，即离散度 2 0 小，误差曲线比较陡峭，顶峰较高----质量好---精度高，反之，则相反 •精度的含义：误 右图为不同的两组观测对应着的两条 差分布的密集与 离散程度。即离 不同的误差分布曲线。 散度 若1<2，则第一组观测，误差 分布密集，图形陡峭，精度较高； 凡能反映误差分布 第二组观测，误差分布离散，图形平 离散度大小的量， 都可作为衡量精度 缓，精度较低。 的指标。
误差理论与数据处理期末_简答汇编
1)误差的定义及其表示法。
(1) 绝对误差：绝对误差=测得值-真值；(2) 相对误差：相对误差=绝对误差/真值≈绝对误差/测得值；(3) 引用误差：引用误差=示值误差/测量范围上限；2)误差的基本概念。
所谓误差就是测得值与被测量的真值之间的差。
误差=测得值-真值3)误差的来源。
(1) 测量装置误差； (2) 环境误差； (3) 方法误差； (4)人员误差； (5)被测量对象变化误差；4)误差分类：(1) 系统误差：在相同条件下，多次测量同一量值时，该误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，按某一确定规律变化的误差。
(2) 随机误差：在相同测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差。
(3) 粗大误差：指明显超出统计规律预期值的误差。
又称为疏忽误差、过失误差或简称粗差。
5)测量的精度。
① 准确度：表征测量结果接近真值的程度。
系统误差大小的反映②精密度：反映测量结果的分散程度(针对重复测量而言)。
表示随机误差的大小③ 精确度：表征测量结果与真值之间的一致程度。
系统误差和随机误差的综合反映6)有效数字答： (1)有效数字：含有误差的任何近似数，若其绝对误差界是最末位数的半个单位，则从这个近似数左方起的第一个非零数字称为第一位有效数字。
且从第一位有效数字起到最末一位数止的所有数字，无论是零还是非零的数字，都叫有效数字。
论是零还是非零的数字，都叫有效数字1 ．若舍去部分的数值大于保留末位的 0.5，则末位加 1 ， (大于 5 进) ；2 ．若舍去部分的数值小于保留末位的 0.5 ，则末位不变， (小于 5 舍) ；3 ．若舍去部分的数值恰等于保留末位的 0.5，此时:①若末位是偶数；则末位不变，②若末位是奇数，则末位加 1 ， (等于 5 奇进偶不进) 。
1 -1 研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。
答：研究误差的意义(1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差。
第五章误差理论的基本知识
Δi = Li - X ( i = 1,2,…,n)
|误差区间| （〃） 0.00 ~ 0.50 0.50 ~ 1.00 1.00 ~ 1.50 1.50 ~ 2.00 2.00 ~ 2.50 2.50 ~ 3.00 3.00 ~ 3.50 3.50 ~ ∞ ∑ Δ 为负值 个数 V 频率ω 121 0.148 90 0.110 78 0.095 51 0.062 39 0.048 15 0.018 9 0.011 0 0 403 0.493 Δ 为正值 个数 V 频率ω 123 0.151 104 0.127 75 0.092 55 0.067 27 0.033 20 0.024 10 0.012 0 0 414 0.507 总数 244 194 153 106 66 35 19 0 817
(例 ) 水准测量在水准点1~6各点之间往返各测了一次，各 水准点间的距离均为1km，各段往返测所得的高差见 下表。求：往返测较差的中误差？单程观测的高差测 量中误差？ 测段 高差观测值(m)
往测h 返测h
d h h
+3 -3 +5
dd 9 9
1~2 2~3 3~4
-0.185 +1.626 +1.435
偶然误差：在相同的观测条件下，对某一量进行多次 的观测，如果误差出现的符号和数值大小都不相同， 从表面上看没有任何规律性。
2．系统误差的特点：
具有积累性，对测量结果的影响大，但可通过 一般的改正或用一定的观测方法加以消除。
例如：钢尺尺长误差、 钢尺温度误差、
水准仪视准轴误差、 经纬仪视准轴误差。
实践表明，对于在相同条件下独立进行的一组观测 来说，不论其观测条件如何，也不论是对一个量还是对 多个量进行观测，这组观测误差必然具有上述四个特性。 而且，当观测的个数n愈大时，这种特性就表现得愈明 显。偶然误差的这种特性，又称为统计规律性。
测量误差理论基本知识及事例
对流层的高度为40km 以下的大气底层,其大气密度比电离层更大,大气状态也更复杂。对流层与地面接触并从地面得到辐射热能,其温度随高度的增加而降低。GPS 信号通过对流层时,也使传播的路径发生弯曲,从而使测量距离产生偏差,这种现象称为对流层折射。减弱对流层折射的影响主要有3 种措施: ①采用对流层模型加以改正,其气象参数在测站直接测定。②引入描述对流层影响的附加待估参数,在数据处理中一并求得。③利用同步观测量求差。
4、GPS的主要误差源
GPS 测量是通过地面接收设备接收卫星传送来的信息，计算同一时刻地面接收设备到多颗卫星之间的伪距离，采用空间距离后方交会方法，来确定地面点的三维坐标。因此，对于GPS卫星、卫星信号传播过程和地面接收设备都会对GPS 测量产生误差。主要误差来源可分为:
4.1、与GPS卫星有关的误差;
1.2、误差
测量结果与被测量真值之差叫误差
1.3、精度
观测结果、计算值或估计值与真值（或被认为是真值）之间的接近程度。
1.4、中误差
带权残差平方和的平均数的平方根，作为在一定条件下衡量测量精度的一种数值指标。 为同精度观测误差。
中误差与观测值的比值来评定精度叫相对中误差， ，经常用到的有边长相对中误差。
（1）卫星星历误差
卫星星历误差是指卫星星历给出的卫星空间位置与卫控系统根据卫星测轨结果计算求得的,所以又称为卫星轨道误差。它是一种起始数据误差,其大小取决于卫星跟踪站的数量及空间分布、观测值的数量及精度、轨道计算时所用的轨道模型及定轨软件的完善程度等。星历误差是GPS 测量的重要误差来源.
5.2、外界条件引起的误差
外界条件引起的误差主要包括温度变化的影响、仪器和水准尺沉降的影响、大气垂直折光的影响等。温度变化的影响主要通过测前取出仪器一段时间，尽量使用太阳伞，相邻测站使用相反的观测程序等方法来消除或减弱这方面的影响。仪器和水准尺沉降的影响可以通过选择立尺和设置仪器的土壤，或采用尺垫的方法来减弱。大气折光影响可以通过观测时前后视距尽量相等、视线离开地面一定高度、选择有利观测时间等办法来减弱折光影响。在高精度水准测量时，严格按照相应的规范要求执行，采取的观测程序和方法就可以减弱这方面的影响。
大学物理误差理论
多源误差综合
研究多源误差的综合影响和作用机制， 提高系统误差的评估和控制水平。
智能化误差处理
结合人工智能和机器学习方法，实现 误差的智能化识别、评估和补偿。
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产生原因
随机误差的产生通常与测量条件、环 境因素、测量者的操作习惯等偶然因 素有关。
减小方法
可以通过增加测量次数，取多次测量 的平均值来减小随机误差。
系统误差
定义
产生原因
系统误差是由于测量系统本身的不完善、 测量设备的不准确、测量方法的局限性等 因素引起的测量结果偏差。
系统误差的产生通常与测量设备、测量方 法、环境条件等有关，具有一定的规律性 和重复性。
特性
粗大误差具有明显性和不可预 测性，通常表现为异常值或离 群值。
减小方法
在数据处理过程中，应识别并 剔除粗大误差，通过加强操作 规范和数据审核来避免粗大误
差的出现。
误差的传递与合成
误差传递
误差的传递是指一个测量结果中包含的各个误差分量对最终 结果的影响。通过误差传递公式，可以计算出各个误差分量 对最终结果的贡献。
特性
减小方法
系统误差具有重复性、规律性和可预测性 ，即多次测量的结果呈现相同或相似的偏 差，可以通过校准和修正来减小。
可以通过校准测量设备、改进测量方法、 控制环境条件等方法来减小系统误差。
粗大误差
定义
粗大误差是由于测量过程中出 现异常情况或人为错误引起的
明显偏差。
产生原因
粗大误差的产生通常与测量者 的疏忽、操作错误、记录错误 等有关。
不确定度评定方法
不确定度的评定方法包括A类和B类两种，A类方法基于多 次测量结果，B类方法基于经验和标准。
误差基本概念
R1 R2
R
（2）R不变，将可调标准电阻箱Rn
替换成Rx接入电桥，调Rn使电桥平衡
则
Rn
R1 R2
R
（3）∴Rx=Rn，消除了桥臂参数的
系统误差。
2 正负误差补偿法：（用于消除恒定系统误差）
在不同的试验条件下进行两次测量，使其读数一 次为正，一次为负，则两次读数的平均值将与恒 定系统误差无关。 例如：为了消除恒定直流外磁场对仪表读数的影响。
相对误差
￡1-2 误差的来源与分类
一、 误差的来源
1 装备误差：
①标准器误差：如标准电阻，标准砝码的标称值误差。 ②仪表误差：测量所用工具的误差。 ③装备、附件误差：如谐波，不对称，非工频，引线、安装、
布置不合理等。
2 方法误差：（理论误差）
①测量方法理论根据不完善。 ②采用了近似公式等。
3 人员误差：测量人员的感觉器官或运动器官不完善
相对误差=绝对真误差/真值×100% ≈绝对真误差/给出值×100%
r x x x0 x
r越小，准确度越高。
3、引用误差
引用误差=绝对误差/满刻度值×100%
即：
rn
x xN
ห้องสมุดไป่ตู้
100 %
例如：电流表，满刻度为5A，测量值4A，实际值为4.02A
4 4.02 则： rn 5 100% 0.4%
可将仪表转过180度进行两次测量，然后取平 均值。 3 对称观测法 用测量数据的对称关系消除系统误差的方法。
例：谐振频率的测量
❖ 若通过测量U0来确定f0 会产生较大误差（∵峰 值处电压变化平坦）
❖ 若在某—U1 下，测试
f1 和f2
f1
1 2
第三章误差理论
②假设被测量使用唯一的真值或范围可忽略的一组真值表征时，测量 误差是未知的。
2、测量误差不应与出现的错误或过失相混淆。
相对误差（relative error）
测量误差除以被测量的真值
相对误差只有大小和符号，而无量纲，一般用百分数来表示 当被测量值相差较大时，用相对误差才能进行有效的测量水平比较
查点房间内的人数是，若漏点（多计）了人数时，获得的数 值应认为是错误的，含粗大误差；但在人口普查中，计数误 差被认为是不可避免的，而且遵从某种分布规律。
四、测量准确度的质量概述
①
“精度”：反映测量结果与真值接近程度的量
误差小－精度高；误差大－精度低 正确度（trueness）：反映测量结果中系统误差的影响程度 精密度（ precision ）：反映测量结果中随机误差的影响程度 准确度（ accuracy）：反映测量结果中系统误差和随机误差综合
19
二、误差的分类
①
随机误差（random error） 系统误差（systematic error）
粗大误差：由测量过程中不可重复的突发事件（电子或机械 噪声、操作人员的错误读数或记录、测量仪器的错误使用） 所引起的。20Fra bibliotek示形式误差
性质特点
绝对 误差
相对 误差
系统 误差
随机 粗大 误差 误差
23
随机误差举例
传动部件的间隙和摩擦等引起示值不稳定 连接件的弹性变形等引起的示值不稳定 电表轴承摩擦力矩的变动引起的示值不稳定 螺旋测微仪测头的压紧力变化 操作读数的视差影响 数字式仪表末位取整的舍入
随机误差的统计规律性
误差的基本知识.
第一章 误差的基本知识§1.0 误差的来源→→→观测误差 模型误差 截断误差 舍入误差 (1) 观测误差：受测量工具本身精度的影响(2) 模型误差：因简化和抽象，数学模型本身包含的误差(3) 截断误差：近似解与精确解之间的误差，将数学模型转化为数值方法时产生 (4) 舍入误差：取有限位小数所引起的误差例1 公式：!!212n x x x e nx++++≈ 所产生的误差即截断误差 例2 R = π- 3.14159 = 0.0000026... 所产生的误差即舍入误差注：(1) 疏忽大意造成的错误不属于误差。
(2) 总假定：由实际问题建立的数学模型是合理的，参量也是足够精确的 (3) 主要讨论截断误差和舍入误差。
§1.1 绝对误差、相对误差及有效数字1. 绝对误差与绝对误差限定义3.1 设x 为精确值，x *为x 的近似值，称e = x * - x 为近似值x*的绝对误差，简称误差，简记为e 。
注：e 可正可负，很难求出。
（但往往知道|e |的范围：|e | ≤ ε）若|e | = | x * - x | ≤ ε(x *)，则称ε(x *)为x *的绝对误差限，简称误差限，简记为ε。
注：(1) ε > 0(2) x 的范围：x * - ε ≤ x ≤ x * + ε，工程上常记为：x = x * ± ε。
（知道误差限就可知道精确值的范围） 例1：“四舍五入”的绝对误差限设x = ±0.a 1a 2⋯ anan +1⋯⨯10m ，—— 十进制标准表示式（a 1≠ 0）。
四舍五入：⎪⎩⎪⎨⎧≥⨯+±≤⨯±=++510)1(.04 10.0*121121n mn n m n a a a a a a a a x 若若此时，总有n m m nx x e -⨯=⨯≤-=1021105000.0||||*2. 相对误差与相对误差限绝对误差限不能完全表示近似程度的好坏，如x = 100 ± 2，y = 10 ± 1定义3.2 称xxx x e e r -==*为近似值x *的相对误差。
误差理论与数据处理总结
定义：
2
2 1 2
n
2
n
i 1
n
2 i
当测量列的测量次数较少时，应按“学生氏”分布或称 t 分 布计算。即
第二节系统误差 一、系统误差产生的原因 （1 ）测量装置的因素：仪器设计原理的缺陷，如齿轮杠杆 测微仪直线位移和转角不成比例的误差；仪器制造和安装的 不正确，如标尺的刻度误差、刻度盘和指针的安装偏心、仪 器导轨的误差；计量校准后发现的偏差，如标准环规的直径 偏差。 （ 2 ）测量环境的因素：测量时的实际温度对标准温度的偏 差，对测量结果可以按确定规律修正的误差等等 （3 ）测量方法的因素：采用近似的测量方法或近似的计算 公式等所引起的误差； （4 ）测量人员的因素：由于测量者固有的测量习性，如读 出刻度上读数时，习惯于偏于某一个方向，记录动态测量数据时 总有一个滞后的倾向等。 二、系统误差的特征 系统误差特征是在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的 绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，误差按一定的规律变 化。 (a) 无补偿性：影响算术平均值的估计 (b) 可变系统误差影响测量结果分散性的估计 （1）不变系统误差（2）线性变化的系统误差： （3）周期性变化 的系统误差（4）复杂规律变化的系统误差 三、系统误差的发现 （一）实验对比法（适用于不变的系统误差） ： （二）残差观察法（适用于发现有规律变化的系统误差） ：P36 Vi li x 结论；任一测量值的残差为系统误差与测量 列系统系统误差平均值之差 (无法发现不变系统误差) （三）残差校核法： 1、用于发现线性系统误差。 （马利科夫准则） 将测量列中前 K 个残差相加，后 n-K 个残差相加（当 n 为
n
lim x ta x
（式中 t a —置信系数，由给定的置信概率 P 1 a 和自由度
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精密度：表示测量结果随机误差的分散程度
示值：仪器指示或显示被测量值。
示值范围：由仪器所显示或指示的最小值到最大值的范围。
刻度：指仪器上所指示不同量值的刻线标记的组合。
分辨力：刻尺或度盘上相邻两刻线代表的被测量值，对于数字式仪器分度值称为分辨力或分辨率。
分辨率：仪器所显示的最末一位数字间隔所代表的被测量值。
测量范围：仪器能测出被测量变化的反应能力。
s=ΔL
Δx
s仪器灵敏度ΔL被观测变量增量Δx被测量增量
鉴别阈（灵敏限）：仪器对被测参数最小值的增量的响应能力。
稳定性：一定条件下，对某
一参数多次测量，示值的最大变化范围。
漂移：仪器的某些特性随时间改变的能力。
滞差：仪器正反行程对同一输入量有不同输出值。
基值误差：规定在某些特定的示值或被测量处于对测量仪器的示值进行检查这些点的示值误差称基值误差
准确度：由系统误差、随机误差共同作用使量仪所给出的示值接近其真值的能力
准确度等级
等别：高一等级量仪对本量仪检定给出的结果作为真值或接近真值的能力。
（以等别划分的仪器按实际值或依据示值误差评定结果对示值修正后使用）
级别：以量仪最大示值允许误差按档次划分级别(以级别划分的仪器直接使用示值不需修正)
仪器的静态特征：是指测量仪器输出和输入量值之间的关系，即测量装置的输出信号与产生这一信号的输入信号的函数关系。
示值误差：指测量仪器的示值与被测量的真值之差。
重复性：指测量仪器的随机误差分量，用实验标准偏差s来定量表示。
动态误差：在动态误差中，由于仪器传递系数受惯性、弹性、阻尼等因素的影响，并且被测量的变化速度，加速度都会给测量仪器带来动态测量误差。
像偏转：除特征方向外，棱镜绕其他轴向旋转均导致像向量的偏转，称之为像偏转。
旋转角：U`X`是像向量绕出射光轴X`的旋转角。
像倾斜：A` 绕y`,z`轴转动时，引起像面倾斜。
像偏转极值轴向：即产生X`轴y`轴z`轴向偏转的最大方向，分别用μ、γ、ω单向量表示
偏转极值：绕μ、γ、ω转动产生的橡偏值用U`x`max,U`y`max,U`z`max表示。
测量仪器示值误差符合性评定的基本要求？评定示值误差不确定度U95与被评定测量仪器的最大允许误差的绝对值MPEV之比应小于1：3
即U95≤1
3
MPEV
被评定仪器的示值误差Δ在其最大允许误差限内时，可判为合格即Δ≤MPEV为合格被评定测量仪器测量误差超出最大允许误差时，可判为不合格即Δ≥MPEV为不合格（1）对于型式评价和仲裁判定，必要时U95和MPEV之比可取小于或等于1：5。
（2）在一定情况下，评定示值误差的不确定度U95可取饱含因子k=2的扩展不确定度代替。
影响仪器精度的主要因素1仪器原理误差2形状特性3外部干扰特性4运动特性
外部干扰：1工作台移动，重心位置变化的变形对仪器精度的影响2仪器工作台变形对仪器精度的影响3环境温度变化对仪器精度的影响4噪声、振动与灰尘干扰
运动特性：1运动装置对测量误差的影响2运动误差和支撑点位置的影响
测量仪器示值误差的评定方法1比较法2分部法3组合法
比较法：1量仪示值不变，用标准仪器给出变量，用量仪示值比较2标准值不变量仪示值改变被评定测量仪器和测量标准通过第三者进行比较：直接测量比较法、零位测量法、替代测量法、微差测量法、异号测量法
重复性条件：人员，测量次数、量具与标准物质的重复性、测量时间、测量对象、重复性的独立性
传动与变换机构的精度
提高滑动螺旋副传动精度措施：
滑动螺旋副：利用双螺母、采取机动式螺旋副、采用弹性螺旋副
滚珠螺旋副：双螺母齿差式、双螺母螺纹式、双螺母垫片式
消除齿轮机构中空会的方法：1调整中心距法2弹簧加载齿轮：弹簧加载剪式齿轮、可变弹簧负载齿轮、辅助齿轮传动链、齿厚可调齿轮、辅助力矩马达
透镜偏心的三种情况：
偏心差：透镜的外园中心轴和光轴的偏离程度1垂轴位移(相当于轴线)2二轴倾斜3平移又倾斜
平行玻璃板的最小焦距：由平行玻璃板两平面不严格平行所致∆f`0
f`0=−f`0
f`min
f`0相机物镜焦距，f`min滤光片焦距
一般航测相机要求f`min≥5000~10000m
反射棱镜的作用：正像、折转光轴、缩小仪器尺寸等作用。
特征向量：反射棱镜存在一个轴向在物向量在物向量固定的条件下，反射棱镜绕此轴转动时，像向量不发生偏转称此轴向为特征方向用T表示。
开环测试系统：
原理：出的连续光经过斩光器调制成脉冲光束照射在被测元件上，然后由测量元件光电探测器接收，再经过电子学放大或进行其他处理，最后用数字仪表指示或记录测量结
果。
特点：不将测量结果直接反馈到测量元件上，直观简单。
精度：这种系统中每一环节如光源，测量器件、放大器等都会带来误差仪器总体精度设计
回程误差：表示由机构本身缺陷造成的测量结果的变化程度，在不同条件下仪器正反行程在同一点的被测量值之差的绝对值
失效率：仪器工作到某一点时在单位时间内发生故障的概率
原始误差：运动副元件在机构的环节中的尺寸偏差、位置偏差和表面几何形状偏差
有效原始误差：影响仪器精度的原始误差。
特点：是一种综合误差，即反映环节所有误差总效应的误差
在直接测量法中若仪器的示值等于被测量，则仪器的工作特性由输出误差表征
微分法步骤：1求出相应的仪器方程式，式中应包括原始误差参数，研究该式是否可微2根据误差相互独立作用原则3用原始误差Δu i代替微分d ui求得局部误差Δy s 缺点：具有局限性、有些参数不可微、没有解决仪器方程式中未反应的参数误差问题
转换机构法：机构从动件位置误差是主动件位置、各构件的尺寸和形状误差的函数
转换机构：为求某一机构的原始误差传动比可将各构件均看做理想构件，仅将产生该原始误差的构件以一组元件代替后作为主动件，然后求出此主动件的速比关系，此速比关系即为误差传动比，转换后的机构称转换机构。
光学仪器的对准度
横向对准误差：由于观察者主观条件限制称横向对准误差（对准误差）
望远镜放大率Г像方主视对准误差ε=ε‘
Г显微镜放大率Г对准误差Δy=0.073
Г
ε‘
纵向调焦误：差瞄准过程中，所取的实际平面不可能和真实像面重合，这个位置误差反映到物方所对应的所对应的数值称为纵向调焦误差简称调焦误差
提高精度的方法：1光电对准2利用人眼对称度的灵敏度3利用眼睛的体视灵敏度4将纵向调焦变为横向对准
分划板的视度是指由分划板发出的光经由目镜出射后发散或会聚的程度
SD=1000/L
分划板对视差的影响：
视差：目视仪器中，若分划板的分画面不位于物镜的像面上，距物镜的像面有一定的距离b则通过目镜观察时，产生人眼在出瞳面内移动看到物象与分划板相互错动，影响瞄准。
望远系统无穷远像和系统分划板中心与分划中心在像方的视差
ΔSD=-1000b/f′2dpt b为分划板位移量
用作瞄准镜和测量的系统用视差引起的瞄准角误差ε表示
ε=3438D′b/(f′物f’目 )（‘）
ΔSD=-0.299ε/D‘dpt
ε=-3.44D‘·ΔSD/Г（‘）
ε视场中心的物方极限瞄准误差角即全视差角D‘望远系统出瞳直径
显微系统用视差引起的物方横向瞄准误差表示Δy=D‘b/β物f ′目
Δy物方瞄准误差=D‘出瞳直径β物
显微系统物镜放大率
分划板绕光轴旋转导致分划倾斜，分划倾斜、像倾斜、和相对像倾斜常同一使用。
分划倾斜：光学系统处于使用状态下，光学系统的垂直刻线通过系统成的像相对铅垂线的倾斜。
像倾斜：物方铅垂线通过光学系统成的像相对铅垂线的倾斜。
相对像倾斜：光学系统处于使用状态时，物方铅垂线的像相对分划垂直刻线的像的倾斜。