方程与不等式的综合应用
方程与不等式的综合应用
方 程 与 不 等 式 的 综 合 应 用若关于X 的方程2x - m=x- 2的解为x=3，则m 的值为（ ）C. - 7 D . 710. _____________________________________________________ 如果不等式3x - mC 0的正整数解是1, 2, 3,那么m 的范围是 ____________________ . 11. 关于x 的一元二次方程x 2+2x+k+1=0的实数解是X 1和X 2,如果X 汁X 2 - X 1X 2V-1,且k 为整数，则k 的值为解答题1. A.2. 已知关于x 的二元一次方程组 3x+y=3ni-5 ,若x+y >3,则m 的取值范围是A.mv 2 C. m> 3 D. m> 53. 方程2x 2- 6x - 5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ A. 6、2、5 B . 2、- 6、5 C. 2、- 6、- 5D. - 2、6、54. 关于X 的分式方程旦二I 的解为正数，贝U m 的取值范围是（ A.5. m> 2 B . m> 2 且 m^ 3 C. nv 2 D. m> 3 且 m^ 2 有解，则实数a的取值范围是（若不等式组A. a>- 2B. av — 2C. a<- 2D. a>- 2二.填空题K =y •7.已知（X - y+1） 2也旳=0，则x+y 的值为 ______ .8若关于X 的一元二次方程kx 2- 2x - 1=0有两个不相等的实数根，则6.已知3x=4y ,则 范围是9.若关于x 的分式方程 已=2的解为非负数，贝U m 的取值范围是H-1k 的取值12. 解分式方程: 13. 解不等式组:2亠s+L K-1 ^3K +3>2K +7,-①"空竺-<3-K …②，并把解集在数轴上表示出来.3某地区住宅用电之电费计算规则如下：每月每户不超过50度时，每度以4 14.元收费；超过50度的部分，每度以5 元收费，并规定用电按整数度计算（小数部份无条件舍去） .（1）下表给出了今年3月份A, B两用户的部分用电数据，请将表格数据补充完整，电费（元）240合计90（2）若假定某月份C用户比D用户多缴电费38元，求C用户该月可能缴的电费为多少？15.已知关于x的方程x2+ax+a-2=0.1）当该方程的一个根为1 时，求a 的值及该方程的另一根；2）求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.16.随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器,已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500 元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同.（1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元?2）在销售过程中，A 型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎.为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台, 在此基础上，售价每降低50 元，每天将多售出1 台，如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元？参考答案与试题解析.选择题（共5 小题）1.（2017?江阴市一模）若关于x的方程2x- m=x- 2的解为x=3,则m的值为（）A.—5 B . 5 C - 7 D . 7解得：m=5 故选B去分母得：2m- 3- 1>6, 解得：m>5. 故选D3. （2017?红桥区模拟）方程2x 2- 6x - 5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A. 6、2、5B. 2、- 6、5C. 2、- 6、- 5D.- 2、6、5【解答】解：方程2x 2- 6x - 5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为 -6、- 5; 故选C.4. （2017?仁寿县模拟）关于x 的分式方程亠卄丄二I 的解为正数，贝U m 的取值K-1 11 辽范围是（）A. m> 2B. m>2 且 m^ 3C. m< 2D. m> 3 且 m^ 2【解答】解：分式方程去分母得：m- 3=x - 1, 解得：x=m- 2,根据题意得：m- 2>0,且m- 2工1, 解得：m>2且m^3.2. （2017?历城区二模） 已知关于 x 的二元一次方程组3x4y=3ni-5 ，若 x+y >3, 则m 的取值范围是（C. m> 3 A. m> 1 B. m< 2 【解答】解：P 心弘，①，,K-y=ni-l©①+②得：4x=4m — 6, 即卩X 丄旦D. m> 5①-②X 3得: 4y=- 2, 即卩 y=-丄, 根据x+y > 3得: 脸-3 —12、故选B有解，则实数a 的取值范围是（）4-2x>3r-2 A. a >- 2 B. a <- 2 C. a <- 2 D. a >- 2【解答】解：r 好空 ,4-2K >X -2■解不等式x+a >0得，x >- a ,由不等式4 - 2x >x - 2得，x <2,4-2K >X -2二 a >— 2, 故选D.二.填空题（共6小题）6. （2017?龙岗区一模）已知3x=4y ,则兰二2 .y —3 —【解答】解：根据等式性质2,等式3x=4y 两边同时除以3y , 得：兰旦y 3故答案为：解得：x+y — y 33&（ 2017?罗平县一模）若关于x 的一元二次方程kx 2 - 2x - 1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 k >-1且k 工0.【解答】解：V 关于x 的一元二次方程kx 2- 2x - 1=0有两个不相等的实数根,•••不等式组：不等式组 有解,i 317. （2017?邹城市模拟）已知（x - y+1） 2^+y =0,则x+y 的值为吕_【解答】解：由题意可知:s-y+l=05.（2017?日照模拟）若不等式组 故答案为:•••△ =b2- 4ac= （- 2）2- 4X kX （- 1） =4+4k> 0, •I k>- 1,2V x的一元二次方程kx - 2x- 1=0••• k 的取值范围是：k >- 1且kM0.故答案为：k >- 1且kM0.范围是 m $> - 1且mM 1【解答】解：去分母得，m- 1=2 （X - 1）, • X -昭 1 •-X 一〒,•••方程的解是非负数，••• m+1> 0 即 1又因为x — 1M 0, …X M 1 , •昭1 M 11,•• mM 1,则m 的取值范围是m>- 1且mM 1. 故选：mT>- 1 且 mM 1.10. （2017?仁寿县模拟）如果不等式 3x - mK0的正整数解是1, 2, 3,那么m的范围是 9K m< 12【解答】解：解不等式3X - mK 0得到：X K 詈, •••正整数解为1, 2, 3,解得 9< m< 12. 故答案为：9K m < 12.11. （2017?江西模拟）关于X 的一元二次方程X 2+2X+k+1=0的实数解是X 1和 沁,如果X 1+X 2 - X 1X 2<- 1,且k 为整数，则k 的值为 -1或0 .【解答】解：根据题意得X 1+X 2=-2, X 1?X 2=k+1,X 1+X 2 - X 1X 2<- 1,•••- 2-(k+1)<- 1,解得 k >- 2, •••△ =4- 4 ( k+1)>0,解得 kK0,9. （2017?夏津县一模）若关于x 的分式方程 己=2的解为非负数，贝U m 的取值 K-1•••整数k 为-1或0. 故答案为-1或0. 三.解答题（共5小题）12（2017?繁昌县模拟）解分式方程：备唸1【解答】解：方程的两边同乘（x+1） （x - 1）,得 2 (x - 1) =x (x+1)-( x+1) (x - 1),2 22x - 2=x +x - x +1, 2x - x=1+2.解得x=3.检验：把x=3代入（x+1） （x - 1） =8工0. •••原方程的解为：x=3.13. （2017?昆山市一模）解不等式组:■乐…②，并把解集在数轴上3表示出来.【解答】解：由①得x >4, 由②得xv 1, •原不等式组无解,14. （2017?瑞安市一模）某地区住宅用电之电费计算规则如下： 每月每户不超过 50度时，每度以4元收费；超过50度的部分，每度以5元收费，并规定用电按整数度计算（小数部份无条件舍去）（1）下表给出了今年3月份A , B 两用户的部分用电数据，请将表格数据补充完整,电费（元）240 128（2）若假定某月份C 用户比D 用户多缴电费38元，求C 用户该月可能缴的电费为多少?58 32合计90 368【解答】解：（1）设A 用户用电量为x 度，则4X 50+5 (x - 50) =240,解得x=58;B 用户的用电量：90 - 58=32 （度）. B 用户的电费：32X 4=128 （元） A 、B 用户的电费：240+128=368（元），故答案是:••• 38不能被4和5整除, ••• x >50, y <50, ••• 200+5 (x - 50)- 4y=38 •- 5x - 4y=88,•丨 5x-88 52••店-X EQ ,又••• x 是4的倍数,• x=52, 56 C 用户可能缴的缴电费为 210元或230元.15. （2017?博兴县模拟）已知关于x 的方程x 2+ax+a- 2=0. （1）当该方程的一个根为1时，求a 的值及该方程的另一根; （2）求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.【解答】解：（1）设方程的另一个根为x , 则由根与系数的关系得：x+1 = - a , x?1=a- 2, a 4，即a g ,方程的另一个根为-(2)v^ =a 2- 4 (a-2) =a 2 - 4a+8=c i - 4a+4+4= (a-2) 2+4>0,•••不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.电量（度）电费（元）A 58 240 B32 128 合计90368（2）设3月份C 用户用电x度,D 用户用电y 度.解得：x=-16. (2017?云南模拟)随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A, B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同.(1)求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元?(2)在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎.为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台, 在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元?【解答】解：(1)设每台B型空气净化器为x元，A型净化器为(x+300)元, 由题意得，&000=7500,K it+300解得：x=1200,经检验x=1200是原方程的根, 则x+300=1500,答：每B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元，1500元; (2)设B型空气净化器的售价为x元，根据题意得；(x - 1200) (4凰归50=3200,解得：x=1600,答：如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为1600元.。
方程和不等式的综合应用
（ ）该校准备再次购买这两种消毒 液 ２ （ 不包 括 已购 买 的 １０瓶 ） ０ ，使 乙种 瓶数是
甲种瓶数 的 ２倍 ，且所需 费用 不多 于 １０ ２０
方程 （ ） 出要 求 的未知量 ， 根据 不等 不 多 于 １０ ” 这个 不 等 关 系构 造 不等 组．求 再 ２ ０元
关 系构造不等式 （ ） 出另一个 或另一些 式 ． 组 求
要求 的未知量 ； 的则要根据相 等关系和不 有 要求的未知量． 现仅 以 ２０ 年 的中考试题为 ０９ 例介绍如下 ：
要 注意根据 “ 国家财 政拨付 的改造资金不超
过 ４０ ０ 万元 ．地方财政投 入 的改造 资金不少
于７ Ｏ万元” 这两个 不等关 系构造不等式组．
学 校和一所 曰类
０万 元 和 ６万 元 ．
誊 蒜 鬻
依题意 ． 得
商店购买学 习用 品， 小芳用 ｌ 元钱买 了 １ ８ 支钢
江西省上 高县 第四 中学 黄细把 近年来 的中考试 题 中， 常出现一些 既 买的 １０ 甲、乙两种消毒液共用 ７ ０ ” 经 ０瓶 ８元
含有相等关 系 ， 又含 有不等关 系的综合应用 这 个相 等关 系构 造方 程 ； 答第 （ ） 解 ２ 问时 ，
题 ．解答它们 ， 的应先根据相 等关系构造 要 注意根据 “ 有 再次购买 的两种 消毒液 的费用
某玻璃制 品销售 公司今年一月 份调整 了职工 的月工资分 配方 案 ，调整后月 工资 由基 本保 障工资和计件奖励工资两部分组成 （ 计件 奖
方程与不等式的应用如何利用方程和不等式解决实际问题
方程与不等式的应用如何利用方程和不等式解决实际问题方程和不等式是数学中非常重要的概念，它们的应用远不止于纸上的计算，更可以帮助我们解决实际生活中的问题。
通过运用方程和不等式，我们可以建立模型，分析问题，找到问题的解决方法。
本文将通过一些实际例子，来探讨方程与不等式的应用，以及如何利用它们解决实际问题。
一、方程的应用方程是用于表示两个量之间相等关系的数学表达式。
在实际中，我们常常会遇到各种各样需要求解的问题，而方程就是帮助我们求解这些问题的工具之一。
举例来说，假设小明有10个苹果，他和小红一起分享这些苹果。
如果小明和小红每人分得的苹果个数相同，我们可以建立如下方程来求解每人分得的苹果个数：10 = 2x其中，x代表每人分得的苹果个数。
解这个方程，我们可以得到x=5，表示每人分得5个苹果。
通过方程的求解，我们得到了问题的解决方法，即每人分得5个苹果，这样就能平均分享。
方程在实际问题中的应用是非常广泛的，无论是物理学、经济学还是工程学，方程都扮演着重要的角色。
通过建立合适的方程模型，我们可以分析问题，找到问题的解决方法。
二、不等式的应用不等式是用于表示两个量之间大小关系的数学表达式。
在实际问题中，有些情况不能简单地用等号表示，而是需要考虑大小关系，这时就需要使用不等式来解决问题。
比如，某公司每月的固定成本为5000元，每个产品的生产成本为10元，售价为20元。
公司希望通过卖出产品来覆盖固定成本，并获得利润。
为了求解该问题，我们可以建立以下不等式：20x ≥ 5000 + 10x其中，x代表销售的产品数量。
通过解这个不等式，我们可以得到销售的产品数量至少需要250个，才能覆盖固定成本并获得利润。
这样，我们就找到了问题的解决方法。
同样地，不等式在实际问题中的应用非常广泛。
比如在优化问题中，我们常常需要考虑资源的有限性和成本的限制，这时就需要使用不等式来求解问题。
三、方程与不等式在实际问题中的综合应用在实际生活中，方程和不等式往往是同时存在的，通过综合运用它们，我们可以更全面地分析问题并找到解决方法。
人教版数学九年级上册第10讲 有关方程与不等式的综合应用-课件
C
解析：设该店销售额平均每月的增长率为x，则二月份销售额为2(1＋x)万元，三月份销售额 为2(1＋x)2万元，由题意可得：2(1＋x)2＝4.5，解得：x1＝0.5＝50%，x2＝－2.5(不合题意舍 去)，即该店销售额平均每月的增长率为50%.故选C.
第10讲 有关方程与不等式的 综合应用
C
B
【思路点拨】根据利润＝售价－进价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结 论；根据题意可得等量关系：①4个篮球的花费＋5个足球的花费＝435元，②篮球的单价 －足球的单价＝3元，根据等量关系列出方程组即可．
B 【思路点拨】根据题意可以得到甲、乙两车的工作效率，从而可以得到相应的方程，得以解决．
A
【思路点拨】设每月增长率为x，据题意可知：三月份销售额为2(1＋x)2万元，依此等量关 系列出方程，求解即可；六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为x m，根据草 坪的面积是570 m2，即可列出方程．
数阅
学读
使使
人人
精充
细实
；；
博会
物谈
使使
人人
深敏
沉捷
；；
伦写
理作
使与
人笔
庄记
重使
；人
逻精
You made my day!
辑确 与； 修史
辞鉴
使使
人人
善明
辩智
。；
诗
歌
使
人
巧
慧
；
我们，还在路上……
方程、不等式的实际应用问题
方程和不等式在实际应用中广泛用于解决各种问题。
以下是一些实际应用问题的示例，涉及方程和不等式的解决：1. 费用问题（线性方程）：问题：一家公司生产一种产品，每个产品的生产成本为100美元，销售价格为150美元。
公司希望知道需要卖多少个产品，才能达到盈亏平衡。
解决方法：设销售的产品数量为x，那么公司的总成本为100x美元，总收入为150x美元。
要实现盈亏平衡，总成本应等于总收入，即100x = 150x。
解这个线性方程可以得到x的值，即需要卖多少个产品才能盈亏平衡。
2. 距离、时间、速度问题（一元一次方程）：问题：一辆汽车以60公里/小时的速度行驶，开了3小时后，它离起点多远？解决方法：使用速度=距离/时间的公式，我们可以得到距离=速度×时间。
将速度60公里/小时和时间3小时代入方程，计算出距离=60公里/小时×3小时= 180公里。
3. 增长与衰减问题（指数方程）：问题：一种细菌在每小时分裂成两倍，如果开始有100个细菌，多少小时后会有1000个细菌？解决方法：设t小时后有x个细菌，我们可以建立指数方程2^t = x，其中2表示细菌数量翻倍的速度。
解这个方程，我们可以得到t的值，即多少小时后会有1000个细菌。
4. 成本效益问题（不等式）：问题：一家工厂可以生产两种产品A和B，产品A的生产成本为5美元，产品B的生产成本为8美元。
如果工厂每天最多能生产100个产品，且希望最小化生产成本，应该生产多少个产品A和产品B？解决方法：设产品A的数量为x，产品B的数量为y。
我们可以建立以下不等式：5x + 8y ≤100（生产成本不超过100美元）x ≥0（产品A数量为非负数）y ≥0（产品B数量为非负数）通过解这组不等式，可以确定应该生产多少个产品A和产品B，以实现最小化生产成本的目标。
这些示例展示了方程和不等式在各种实际应用中的用途，从财务决策到物理问题和生产规划等。
方程和不等式是解决复杂问题的有力工具，可以用来优化决策、解决工程问题和预测趋势。
初二数学-一次函数、方程(组)及不等式的综合应用
不等式在实际问题中的应用
方案优选问题 在多种方案中选择最优方案，可以通过建立和解决不等式来比较各种方案的优劣。 最大值最小值问题 在生产、生活中，经常需要求某个量的最大值或最小值，可以通过建立不等式来解决。 经济问题 在经济学中，价格、成本、利润等变量之间存在不等关系，可以通过建立和解决不等式来分析经济问题。
建立实际问题与数学模型的联系
实际问题的数学建模与解决
通过分析实际问题，将问题转化为数学模型，如线性方程、不等式或函数表达式。
利用数学知识和方法求解数学模型，得出实际问题的解决方案。
实际问题的数学解决方案
将数学解决方案应用到实际问题中，验证其可行性和有效性。
实际问题的应用与验证
综合应用题的解题思路与技巧
方程组在实际问题中的应用
在经济学中，方程组被用来描述和解决各种问题，如供需关系、成本和收益等。
经济问题
在解决物理问题时，经常需要建立和解决方程组，例如在力学、电磁学和热力学等领域。
物理问题
在航天工程中，需要建立复杂的方程组来描述和解决飞行器的轨道、速度和加速度等问题。
航天工程
PART THREE
初二数学-一次函数、方程(组)及不等式的综合应用
答辩学生：XXX 指导老师：XXX
Contents
目 录
目录
绪论
研究 方法
PART ONE
一次函数的应用
3.1关键技术 3.2技术难点 3.3案例分析
一次函数的定义与性质
一次函数是形如$y=kx+b$的函数，其中$k$和$b$是常数，且$k neq 0$。 一次函数的图像是一条直线，其斜率为$k$，截距为$b$。 一次函数的性质包括单调性、奇偶性等，这些性质在解决实际问题中具有重要意义。
二元一次方程组与不等式实际问题结合
二元一次方程组与不等式实际问题结合二元一次方程组是高中数学中的重要内容之一，它可以帮助我们解决各种实际问题。
在此，我们将通过几个实际问题来结合二元一次方程组和不等式的内容，来说明它们的应用。
问题一：小明去超市购买香蕉和苹果。
已知香蕉的价格是每斤2元，苹果的价格是每斤3元。
小明共购买了10斤水果，总共花费了24元。
问小明购买了多少斤香蕉和苹果？解答：设小明购买的香蕉的斤数为x，购买的苹果的斤数为y。
根据题意，可以得到如下二元一次方程组：x + y = 10 （方程一）2x + 3y = 24 （方程二）我们可以通过解这个方程组来求得x和y的值。
首先，我们可以从方程一中得到x = 10 - y；然后，我们将x的值代入方程二中，得到2(10 - y) + 3y = 24；化简得到20 - 2y + 3y = 24；继续化简得到y = 4；将y的值代入方程一中可以求得x = 10 - 4 = 6。
因此，小明购买了6斤香蕉和4斤苹果。
问题二：一条钢筋工厂共生产两种规格的钢筋，每根重量为x 千克和y千克。
已知钢筋工厂每天生产的重量总和为1000千克，共生产了300根。
已知钢筋的总价值为10000元，且每根x千克的钢筋价格为20元，每根y千克的钢筋价格为30元。
问x和y的值分别是多少？解答：设每根重量为x千克的钢筋的数量为a，每根重量为y千克的钢筋的数量为b。
根据题意可以得到如下二元一次方程组：a +b = 300 （方程三）20ax + 30by = 10000 （方程四）由于每天生产的钢筋的重量总和为1000千克，所以可以得到方程：x*a + y*b = 1000。
为了求得x和y的值，我们可以先解方程三，得到b = 300 - a；将b的值代入方程四中，得到20ax + 30(300 - a)y = 10000；化简得到20ax + 9000y - 30ay = 10000；继续化简得到y = (10000 - 20ax)/(9000 - 30a)。
方程与不等式的应用
方程与不等式的应用方程和不等式是数学中常见的概念，它们在现实生活和科学领域中有着广泛的应用。
本文将介绍方程与不等式在实际问题中的具体应用，并探讨它们的解决方法和意义。
一、方程的应用方程是一个含有未知数的等式，通过求解方程，我们可以找到未知数的值。
方程在物理学、化学、经济学等领域中有广泛的应用。
1. 物理学中的方程应用物理学研究的是自然界中各种物理现象，而这些现象往往可以用方程来描述。
例如，牛顿第二定律F=ma（其中F代表力，m代表物体的质量，a代表物体的加速度），可以通过解方程来求解物体的加速度或力的大小。
2. 化学中的方程应用化学反应也可以用方程来描述，通过方程我们可以了解各种物质之间的相互转化关系。
例如，化学方程式2H2+O2→2H2O表示了氢气和氧气反应生成水蒸气的反应。
通过解方程，我们可以确定反应物的摩尔比和生成物的数量。
3. 经济学中的方程应用经济学研究的是资源的分配和利用方式，方程在经济学中有广泛的应用。
例如，成本方程可以用来计算生产某种商品所需的材料成本、人工成本等。
另外，供求方程可以用来分析市场的供给和需求关系。
二、不等式的应用不等式是数学中比较大小关系的一种表达方式，通过求解不等式，我们可以找到使不等式成立的值。
不等式在经济学、生活中的各种决策问题中发挥着重要的作用。
1. 经济学中的不等式应用经济活动中，往往存在着资源的有限性和多个目标的冲突。
例如，一个生产厂家要最大化利润，但生产成本又是有限的。
这时候就需要建立相应的不等式模型，通过求解不等式可以得到最优解，如最大化利润的生产量。
2. 生活中的不等式应用不等式在日常生活中也有许多应用。
例如，我们希望在有限的时间内完成一项任务，需要合理安排时间。
这时候可以通过建立时间分配的不等式模型，来优化时间的利用，实现任务的最佳完成。
三、方程与不等式的解决方法解方程和不等式的方法有很多，常见的有图像法、代数法和数值法等。
1. 图像法对于简单的一元一次方程或一元一次不等式，可以通过绘制图像来求解。
分式方程与分式不等式的综合应用
分式方程与分式不等式的综合应用在数学中，分式方程与分式不等式是一种常见的数学应用。
它们可以在解决实际问题中起到重要的作用。
本文将综合讨论分式方程与分式不等式的应用，并通过实例进行详细解析。
一、分式方程的应用分式方程是一种含有分式的方程，通常以分数形式表达。
分式方程在各个领域中都有广泛的应用，比如经济学、物理学和化学等。
下面将通过一些实例来说明分式方程的应用。
【案例一】投资问题假设小明和小华共同投资1000元用于创业，小明投资的部分占总投资额的1/4，小华投资的部分占总投资额的2/5。
如果小明的投资收益率是8%，小华的投资收益率是6%，求他们各自的投资额以及一年后的总收益。
解答：设小明的投资额为x元，则小华的投资额为（1000 - x）元。
根据题意可得分式方程：x/4 * 8/100 + (1000 - x)/5 * 6/100 = 总收益化简上式，得：2x/25 + (2000 - 2x)/25 = 总收益合并同类项并化简，得：2000/25 = 总收益计算可得小明的投资额为400元，小华的投资额为600元。
一年后的总收益为80元。
【案例二】化学反应问题某化学反应的速率与反应物的浓度有关，可以用分式方程表示。
例如，燃烧反应中，汽油的燃烧速率与氧气浓度（表示为O₂）有关，设反应速率正比于氧气浓度，比例系数为k。
求反应速率与氧气浓度之间的关系。
解答：设汽油燃烧速率为y，氧气浓度为x，则可得分式方程：y = kx上式表示反应速率与氧气浓度之间成正比关系，比例系数为k。
二、分式不等式的应用分式不等式是一种含有分式的不等式，通常以不等号表示。
它们在实际问题中也有诸多应用，比如经济学中的利润最大化问题和约束条件优化问题等。
下面将通过一些实例来说明分式不等式的应用。
【案例三】库存管理问题假设某公司的产品库存量为S，年销售量为A，需求量为D。
设每个单位库存的成本为C1，每个单位销售的收益为C2，每个单位未满足的需求所损失的成本为C3。
人教版七年级数学下册 第九章：不等式(组)和方程(组)的综合应用(含答案)
不等式（组）与方程（组）的综合应用1.方程组或不等式出现字母系数时可将字母当数字，解方程组成不等式的参数解。
2.解决不等式(组)或方程(组)的问题可运用整体思想、转化思想、消元思想。
【例1】若方程组3133x y k x y +=+⎧⎨+=⎩解为x ，y ，且2<k <4，则x －y 的取值范围是（ ） A.102x y -<<B.01x y -<<C.31x y ---<<D.11x y --<<【例2】若关于x ，y 的二元一次方程组323225x y m x y m -=+⎧⎨-=-⎩的解满足x >y ，求m 的取值范围。
【例3】若2a +b =12，其中a ≥0，b ≥=0，又P=3a +2b ，试确定P 的最小值和最大值。
【例4】若关于x ，y 的二元一次方程组25x y a x y +=⎧⎨-=⎩的解满足1x >，1y ≤，其中a 是满足条件的最小整数，求a 2+1的值。
【例5】已知关于x，y的方程组2232 4x y mx y m-=⎧⎨+=+⎩①②的解满足不等式组3050x yx y+≤⎧⎨+⎩>，求满足条件的m的整数值。
1.已知关于x，y的方程组2121x y ax y a-=+⎧⎨+=-⎩的解满足不等式21x y->，求a的取值范围。
2.已知x、y同时满足三个条件：①324x y p-=-，②4x－3y=2+p，③x>y，则（）A.p>－1B.p<1C.1p-< D.1p>3.若30x y z++=，350x y z+-=，x、y、z皆为非负数，求M=5x+4y+2z的取值范围。
4.在关于x ，y 的方程组2728x y m x y m +=+⎧⎨+=-⎩中，未知数满足x ≥0，y >0，那么m 的取值在数轴上应表示为（ ）5.已知关于x ，y 的方程组213252x y k x y k +=+⎧⎨-=-⎩的解满足5035x y x y -⎧⎨-+≥-⎩>，求整数k 的值。
一次方程与不等式的综合运用
（2）若购进A型号衣服的数量是B型号衣服的2倍还多4件，则商店在这次进货中可有几种方案？并简述购货方案。
方法总结2：
1.利用一元一次不等式解答应用题往往要找到表示不等关系的关键词语，如大于(>)，小于(<)，不多于(≤)，不少于(≥)，不超过(≤)，至少(≥)……
3、情感态度与价值观：通过自主学习体验获取数学知识的感受，培养学生勇于创新，多方位审视问题的创造技巧。
教学重点、
难点及措施
1、重点：探究一次方程（组）与一元一次不等式（组）之间的内在联系。
2、难点：对一次方程（组）与一元一次不等式（组）之间的联系的揭示及归纳、运用。
3、采用让学生动手，小组合作探究，“先学后教”，教师的“导”立足于学生的“学”，以学法为重心，放手让学生自主探索的学习，主动地参与到知识形成的整个思维过程，以及教学中渗透整体的数学思想方法来突出重点，突破难点。
2.利用一元一次不等式解应用题常常要借助方程思想，解题方法与利用方程解应用题类似;
3.不等式的解有无限个，而实际问题的答案往往要取特殊解，而这些条件往往是隐含条件，解题时要特别注意.
让学生们自己阅读、讨论、交流，教师抽一名学生分析应用题中的等量关系，并利用实物展台将他的过程展示给学生。
第二问老师引导学生去思考，发现有关键词“不少于”、“不多于”，引导学生目前最好设一个未知数进行解答，学生们讨论交流不等关系，老师抽一个学生上台板演完整的解题过程。
（1）求解：把方程或方程组的解用字母参数表示出来；
（2）构造：将解代入到已知条件中，构造出关于字母参数的不等式或不等式组；
（3）解答：解不等式或不等式组，从而得到字母参数的取值范围。
若关于x，y的二元一次方程组 的解满足x+y＜2，求正整数k的值。
2022年中考数学人教版一轮复习讲练课件：第9课 方程与不等式的综合应用
解：(1)设长益段高铁全长为 x 千米，长益城际铁路全长为 y 千米． 根据题意，得y6y＝0＝x＋1x64×01330，解得xy＝＝16044，.
答：长益段高铁全长为 64 千米，长益城际铁路全长为 104 千米．
(2)设甲队后期每天施工 a 千米． 甲原来每天的施工长度为 64÷40×176＝0.7(千米)， 乙每天的施工长度为 64÷40×196＝0.9(千米)． 根据题意，得 0.7×5＋0.9×(40－3)＋(40－3－5)a≥64， 解得 a≥0.85. 答：甲工程队后期每天至少施工 0.85 千米，可确保工程提早 3 天以上(含 3 天)完成．
解：(1)设甲型货车每辆可装载 x 箱பைடு நூலகம்料，乙型货车每辆可装载 y 箱材料，
依题意，得2300xx＋＋6500yy＝＝11 450000，解得xy＝＝1255. 答：甲型货车每辆可装载 25 箱材料，乙型货车每辆可装载 15 箱材料．
(2)设租用 m 辆甲型货车，则租用(70－m)辆乙型货车， 依题意，得2750m－＋m1≤53（m 70－m）≤1 245 解得325≤m≤329. 又∵m 为整数，∴m 可以取 18，19， ∴该公司共有 2 种租车方案， 方案 1：租用 18 辆甲型货车，52 辆乙型货车； 方案 2：租用 19 辆甲型货车，51 辆乙型货车．
解：(1)A 型消毒液的单价是 x 元，B 型消毒液的单价是 y 元， 依题意，得52xx＋＋23yy＝＝5431，解得xy＝＝97， 答：A 型消毒液的单价是 7 元，B 型消毒液的单价是 9 元．
(2)设购进 A 型消毒液 a 瓶，
则购进 B 型消毒液(90－a)瓶，费用为 w 元，
依题意可得 w＝7a＋9(90－a)＝－2a＋810，
方程与不等式的综合运用
方程与不等式的综合运用在数学中，方程和不等式是两种常见的数学模型，它们在实际问题中具有广泛的应用。
通过将方程和不等式综合运用，可以帮助我们解决各种实际问题。
本文将探讨方程与不等式的综合运用，并通过一些例子来说明其实际应用。
一、线性方程与不等式的综合运用线性方程和不等式是最简单的数学模型之一，在各个领域中经常会遇到。
例如，在商业领域中，我们通常会遇到成本、收入、利润等与数量成正比的关系。
假设某公司生产的产品每件成本为C元，每件的售价为P元，每月销售量为S件，则其成本与收入的关系可以表示为以下方程和不等式：成本：C = S * C收入：R = S * P利润：P = R - C在实际问题中，我们可能需要求解某一项具体的数值，比如：当销售量为100件时，该公司的成本、收入和利润是多少？通过联立这些方程和不等式，可以解得具体数值，进而得出结论。
二、二次方程与不等式的综合运用二次方程和不等式是一类更复杂的数学模型，应用范围更为广泛。
在物理学中，牛顿第二定律常常用到二次方程，可以描述物体的运动。
假设某物体的质量为m千克，受力F牛顿，加速度为a米每秒的平方，则根据牛顿第二定律可以得到以下方程和不等式：F = m * a在工程中，二次方程也有广泛的应用。
例如，在设计一座拱桥时，我们需要考虑拱桥的自重、荷载和支持力等因素。
这些因素之间的关系可以用到二次方程。
三、指数方程与不等式的综合运用指数方程和不等式是在金融、生物学、环境科学等领域中常见的数学模型。
例如，在金融投资中，复利的计算往往使用指数方程。
假设某笔投资的年利率为r，本金为P元，投资年限为t年，则该笔投资在t 年后的价值可以表示为以下方程和不等式：价值：V = P * (1 + r)^t在生物学中，指数方程可以用来描述生物种群的增长和衰退。
例如，某种细菌以每小时翻倍的速度增长，初始细菌数量为N个，则t小时后的细菌数量可以表示为以下方程和不等式：数量：N = N0 * 2^(t/k)其中，k为细菌的翻倍时间。
方程和不等式应用综合
2013.2.22方程和不等式应用综合11. 如果x y y x b a b a 2427773-+-和是同类项，则x 、y 的值是2.已知3是关于x 的方程2x －a=1的解,则a 的值是3．若5x －5的值与2x －9的值互为相反数,则x ＝_____．4. 在方程y x 413-＝5中，用含x 的代数式表示y 为y＝ .5.已知2,1x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程组7,1ax by ax by +=⎧⎨-=⎩的解，则a b -的值为6.若⎩⎨⎧-==21y x 是关于x 、y 的方程1=-by ax 的一个解，且3-=+b a ，则b a 25-＝ 。
7.⎩⎨⎧=+=②13y 2x ①113y -4x 8. ⎩⎨⎧ x －y =12x ＋y =29. 131122x x =+--10. 0.30.5210.23x x +-=11.2x 2x 2x 1-=+ 12.解不等式组2392593x x x x++⎧⎨+>-⎩≥13.某校为了进一步开展“阳光体育”活动，计划用2000元购买乒乓球拍，用2800元购买羽毛球拍。
已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍贵14元。
该校购买的乒乓球拍与羽毛球拍的数量能相同吗？请说明理由。
14.如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD （围墙MN 最长可利用25m ），现在已备足可以砌50m 长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m 2．15.暑期中，哥哥和弟弟二人分别编织28个中国结，已知弟弟单独编织一周（7天）不能完成，而哥哥单独编织不到一周就已完成．哥哥平均每天比弟弟多编2个． 求：（1）哥哥和弟弟平均每天各编多少个中国结？（2）若弟弟先工作2天，哥哥才开始工作，那么哥哥工作几天，两人所编中国结数量相同？16.学校6名教师和234名学生集体外出活动，准备租用45座大客车或30座小客车，若租用1辆大车2辆小车供需租车费1000元；若若租用2辆大车1辆小车供需租车费1100元. （1）求大、小车每辆的租车费各是多少元？ （2）若每辆车上至少．．要有一名教师，且总租车费用不超过．．．2300元，求最省钱的租车方案。
中考数学第一轮复习《方程与不等式的综合应用》教案
方程与不等式的综合运用学习目标：1．进一步加强方程(组）与不等式(组)的之间的联系;2.会运用方程(组）或不等式(组）模型解决实际问题, .在问题解决的过程中理解数学思想方法.学习重点:方程（组）或不等式(组)的综合运用学习难点:方程(组)或不等式(组)的综合运用课前准备:下列问题你能不能不用老师点拨就把别人讲懂?请先尝试看,看自己有无“漏洞”.问题1:若不等式组2x x a<⎧⎨≥⎩ 无解,那么a 的取值范围是 问题2：如果关于x 的方程3211ax x x =-++ 无解，则a 的值为判断方程ax bx c ++=0（a ≠０,a,b,c 为常数)一个解x 的范围是( ）A 、 3<ｘ<３.２３B 、 3．２３<ｘ＜3．24C 、 3.２4＜x<3.25D 、 3.25<ｘ<３.26问题４：甲、乙两人完成一项工作，甲先做了3天,然后乙加入合作，完成剩下的工作,设工作总量为１,Ａ.9 Ｂ.10 C.11 Ｄ.1２问题５：某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机。
已知该厂家生产三种不同型号的电视机,出厂价分别为：甲种每台１５0０元，乙种每台２１０0元,丙种每台２500元。
(1）商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元,请你研究一下商场的进货方案;(２)若商场销售一台甲种电视机可获利15０元,销售一台乙种电视机可获利２０0元，销售一台丙种电视机可获利２５0元,在同时购进两种不同型号的电视机的方案中，为使销售时获利最多，你选择哪种进货方案？（3)若商场准备用9万元同时购进三种不同型号的电视机50台，请你设计进货方案。
教学过程（一）与大家交流你的“课前准备”是否有“漏洞”？你能以知识点或题型给它们分类吗？解决这些问题后,你发现了哪些解题规律或数学思想方法?（二)变一变，你还认识下列问题吗？请运用发现的规律或方法挑战下列问题,试试你的能力吧!问题1：若关于x 的不等式组3155x a x a≥-⎧⎨≤-⎩无解，则二次函数21(2)4y a x x =--+的图象与x 轴（ )Ａ. 没有交点 Ｂ. 相交于一点 C ．相交于两点 D. 相交于一点或没有交点问题２：已知不等式组 111x x x k >-⎧⎪<⎨⎪<-⎩(１）当12k =时,不等式组的解集是 ; 当3=k 时，不等式组的解集是 ；当2-=k 时，不等式组的解集是 ；(2)由（１）知不等式组的解集随实数ｋ的变化而变化，当k 为任意实数时,写出不等式组的解集。
八年级数学《方程与不等式的综合应用》实际问题解决教案
八年级数学《方程与不等式的综合应用》实际问题解决教案序言：本教案旨在帮助八年级学生通过综合应用方程与不等式的解法，解决实际问题。
通过针对不同类型的实际问题进行讲解和练习，帮助学生掌握运用数学知识解决实际问题的能力。
一、问题引入在日常生活中，我们经常会遇到一些需要用数学方法来解决的实际问题，比如购物打折、公交车站的距离计算等等。
这些问题可以通过方程和不等式的解法来求解。
接下来，我们将通过一些具体的实例来帮助学生理解和应用。
二、购物打折问题假设一家商场举行促销活动，对所有商品进行打折。
折扣前某商品的价格为x元，打折后的价格为7折。
如果小明花了y元购买了这件商品，我们需要通过方程来求解x和y的关系。
解题步骤：1. 设折扣前商品的价格为x元，则打折后的价格为0.7x元。
2. 根据题意，小明花了y元购买了该商品，即0.7x = y。
3. 整理方程得到x = y /0.7。
三、公交车站的距离计算问题小明从家里骑自行车去公交车站，速度为v1米/秒，然后乘坐公交车，速度为v2米/秒，最后从公交车站到目的地继续骑自行车，速度为v3米/秒。
已知小明从家到公交车站的距离为x1米，从公交车站到目的地的距离为x2米，我们要通过不等式来求解v1、v2和v3的关系。
解题步骤：1. 设从家到公交车站的时间为t1秒，则公交车行驶x1米的时间为t1 = x1 / v1。
2. 设从公交车站到目的地的时间为t2秒，则自行车行驶x2米的时间为t2 = x2 / v3。
3. 公交车行驶x1米所需的时间为x1 / v2。
4. 根据题意，t1 + t2 ≤ x1 / v2。
5. 整理不等式得到v2(t1 + t2) ≥ x1。
四、实际应用扩展通过上述两个实例的讲解，学生应该能够理解数学方程和不等式在解决实际问题中的应用。
教师可以设计更多类似的实际问题并引导学生使用方程和不等式的解法进行求解。
例如：问题一：甲乙两人进行长跑比赛，假设甲的速度为v1米/秒，乙的速度为v2米/秒。
9讲：方程(组)与不等式(组)的应用
方程（组）与不等式(组)的综合应用【课前练习】1．某商贩去菜摊买黄瓜，他上午买了30斤，价格为每斤x 元；下午，他又买了20斤，价格为每斤y 元．后来他以每斤2x y +元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱，其原因是（ ）A.x y < B.x y > C.x y ≤ D.x y ≥ 2．某电脑用户计划使用不超过530元的资金购买单价为70元的单片软件和80元的盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，不相同的选购方式共存( )A.4种B.5种C.6种D.7种3. (2010宿迁)某花农培育甲种花木2株，乙种花木3株，共需成本1700元；培育甲种花木3株，乙种花木1株，共需成本1500元.(1)求甲、乙两种花木每株成本分别是多少元？（2）据市场调研，1株甲种花木售价为760元，一株乙种花木售价为540元.该花农决定在成本不超过30000元的前提下培育甲乙两种花木，若培育乙种花木的株数是甲种花木的3倍还多10株，那么要使总利润不少于21600元，花农有哪几种具体的培育方案？【考点剖析】一、方程（组）与不等式（组）的实际应用:1．行程中的基本关系： 路程=速度×时间；速度？（1）相遇问题： 快行距＋慢行距＝原距（2）追及问题： 快行距－慢行距＝原距※同时出发开始计时，到相遇时两者所花时间是相等的；※在解决行程问题时，单位必须统一，必要时须画图进行思考.2.工程问题： 工作总量=工作效率×工作时间 （工作总量常看为1）工作效率？如，一项工程甲队需x 天完成任务，乙队需要y 天完成任务，两人一起合作完成该项工作需_______天.3.利润问题中的等量关系：利润=商品售价－商品进价 ；利润=商品进价×商品利润率 商品利润率＝商品利润商品成本价×100% 商品销售额＝商品销售价×商品销售量某件商品9折降价销售后每件商品售价为a 元,则该商品每件原价为________4.利率问题中的等量关系：本息和=本金+利息；利息=本金×利率×时间；利息税=利息×税率5.数字数位问题: 数字×数位=数如一个两位数十位数字是x ，个位数字是y ，则这个两位数可表示为_______6.浓度问题：溶液的浓度=溶质的质量÷溶液的质量100%⨯7．日历中的数量关系日历中前后两日相差1，上下两日相差7.8.人员分配问题二、解决实际问题的一般步骤：1.审题；2.设未知数；3.列方程（组）或不等式（组）；4．解方程（组）或不等式（组）；5.检验；6.写出答案.【典例探究】例1.（2010江苏泰州）近期以来，大蒜和绿豆的市场价格离奇攀升，网民戏称为“蒜你狠”、“豆你玩”．以绿豆为例，5月上旬某市绿豆的市场价已达16元/千克．市政府决定采取价格临时干预措施，调进绿豆以平抑市场价格．经市场调研预测，该市每调进100吨绿豆，市场价格就下降1元/千克．为了即能平抑绿豆的市场价格，又要保护豆农的生产积极性，绿豆的市场价格控制在8元/千克到10元/千克之间（含8元/千克和10元/千克）．问调进绿豆的吨数应在什么范围内为宜？例2.（2010盐城）整顿药品市场、降低药品价格是国家的惠民政策之一．根据国家《药品政府定价办法》，某省有关部门规定：市场流通药品的零售价格不得超过进价的15%．根据相关信息解决下列问题：（1）降价前，甲乙两种药品每盒的出厂价格之和为6.6元．经过若干中间环节，甲种药品每盒的零售价格比出厂价格的5倍少2.2元，乙种药品每盒的零售价格是出厂价格的6倍，两种药品每盒的零售价格之和为33.8元．那么降价前甲、乙两种药品每盒的零售价格分别是多少元？（2）降价后，某药品经销商将上述的甲、乙两种药品分别以每盒8元和5元的价格销售给医院，医院根据实际情况决定：对甲种药品每盒加价15%、对乙种药品每盒加价10%后零售给患者．实际进药时，这两种药品均以每10盒为1箱进行包装．近期该医院准备从经销商处购进甲乙两种药品共100箱，其中乙种药品不少于40箱，销售这批药品的总利润不低于900元．请问购进时有哪几种搭配方案？练. （2010年门头沟区）某商场用2500元购进A、B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价、标价如下表所示:类型A型B型价格进价(元/盏) 40 65标价(元/盏) 60 100(1)这两种台灯各购进多少盏？(2)在每种台灯销售利润不变的情况下，若该商场计划销售这批台灯的总利润不少于1400元，问至少需购进B种台灯多少盏？例3 某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞，现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器的日生产活塞的数量如下表表示，经过预算，本（1） 按该公司要求可以有几种购买方案?（2） 若该公司购进6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应选择哪种方案？【达标练习】 方程（组）不等式（组）应用中考真题集锦1．(2010毕节)有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中，平均一个人传染的人数为（ ）A ．8人B ．9人C ．10人D ．11人2．（2009深圳）某商场的老板销售一种商品，他要以不低于进价20%的价格才能出售，但为了获得更多利润，他以高出80%的价格标价.若你想买下标价为360元的这种商品，最多降价多少时商店老板才能出售（ ）A ． 80元 B. 100元 C.120元 D.160元3．(2009襄樊) 为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10平方米提高到12.1平方米，若每年的增长率相同，则年增长率为（ ）A ．9% B.10% C.11% D.12%4. （2009德城）某商品进价为800元，标价1200元，由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于20%，则至少可以打（ ）折A. 6折B.7折C.8折D.9折5. (2009临沂)某制药厂两年前生产1吨某种药品的成本是100万元，随着生产技术的进步，现在生产一吨这种药品的成本是81万元，则这种药品的成本的年平均下降率为 .6.（2010临沂）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a ，b ，c ，d 对应密文a + 2b ，2b + c ，2c + 3d ，4d ．例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16．当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为 ．7．（2009泉州）某工地实施爆破，操作人员点燃导火线后，必须在炸药爆炸前跑到400米外安全区域，若导火线燃烧的速度为1.1/cm s ,人跑步的速度为5/cm s ，则导火线的长x 应满足的不等式是 .8．（2010年益阳市） 货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同,已知小车每小时比货车多行驶20千米,求两车的速度各为多少?设货车的速度为x 千米/小时,依题意可列方程 .9.(2010泉州)和谐商场销售甲、乙两种商品，甲种商品每件进价15元，售价20元；乙种商品每件进价35元，售价45元.（1）若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件，恰好用去2700元，求能购进甲、乙两种商品各多少件？（2）该商场为使甲、乙两种商品共100件的总利润（利润=售价-进价）不少于750元，且不超过760元，请你帮助该商场设计相应的进货方案.10.（2010福建德化）某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：（1）若商店计划销售完这批商品后能获利1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件?（2）若商店计划投入资金少于4300元，且销售完这批商品后获利多于1260元，请问有哪几种购货方案? 并直接写出其中获利最大的购货方案.11.（2010年四川省眉山）某渔场计划购买甲、乙两种鱼苗共6000尾，甲种鱼苗每尾0.5元，乙种鱼苗每尾0.8元．相关资料表明：甲、乙两种鱼苗的成活率分别为90%和95%．（1）若购买这批鱼苗共用了3600元，求甲、乙两种鱼苗各购买了多少尾？（2）若购买这批鱼苗的钱不超过4200元，应如何选购鱼苗？（3）若要使这批鱼苗的成活率不低于93%，且购买鱼苗的总费用最低，应如何选购鱼苗？（此问涉及一次函数，暂时不解）12.（2010年山东省济南市）某超市销售有甲、乙两种商品．甲商品每件进价10元，售价15元；乙商品每件进价30元，售价40元．（1）若该超市同时一次购进甲、乙两种商品共80件，恰好用去1600元，求能购进甲、乙两种商品各多少件？（2）该超市为使甲、乙两种商品共80件的总利润（利润=售价-进价）不少于600元，但又不超过610元．请你帮助该超市设计相应的进货方案．。
不等式与方程的综合应用题
不等式与方程的综合应用题一、不等式与方程的综合应用题示例（一）题目11. 题目内容小明去商店买文具，一支铅笔的价格是x元，一本笔记本的价格是y元。
已知3支铅笔和2本笔记本的总价格不超过15元，且2支铅笔和1本笔记本的总价格不少于8元。
若小明想买4支铅笔和3本笔记本，求他可能花费的金额范围。
2. 解题思路首先根据题目中的条件列出不等式组。
3x + 2y ≤ 15 （表示3支铅笔和2本笔记本总价格不超过15元）2x + y ≥ 8 （表示2支铅笔和1本笔记本总价格不少于8元）我们设4支铅笔和3本笔记本的花费为z元，z = 4x+3y。
通过对前面不等式组的变形和运算来求解z的范围。
由2x + y ≥ 8可得y ≥ 8 - 2x。
将y ≥ 8 - 2x代入3x + 2y ≤ 15中，得到3x+2(8 - 2x)≤15，3x + 16 - 4x ≤ 15，x ≤ - 1，x ≥ 1。
再将x ≥ 1代入y ≥ 8 - 2x，得y ≥ 6。
现在求z = 4x+3y的范围，因为x ≥ 1，y ≥ 6，所以z = 4x+3y ≥ 4×1+3×6 = 4 + 18 = 22。
再由3x + 2y ≤ 15得y ≤ (15 - 3x)/2。
将y ≤ (15 - 3x)/2代入2x + y ≥ 8中，得到2x+(15 - 3x)/2≥8，4x + 15 - 3x ≥ 16，x ≥ 1。
将x = 1代入y ≤ (15 - 3x)/2得y ≤ 6。
当x = 1，y = 6时，z = 4×1+3×6 = 22。
当x = 3，y = 3时（通过联立方程试值得到满足不等式组的值），z =4×3+3×3 = 21。
所以21 ≤ z ≤ 22。
3. 答案小明买4支铅笔和3本笔记本可能花费的金额范围是21元到22元。
4. 解析在解决这个问题时，关键是要根据题目中的文字描述准确地列出不等式组。
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方程与不等式的综合应用一．选择题1．若关于x的方程2x﹣m=x﹣2的解为x=3，则m的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣7 D．72．已知关于x的二元一次方程组，若x+y＞3，则m的取值范围是（）A．m＞1 B．m＜2 C．m＞3 D．m＞53．方程2x2﹣6x﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．6、2、5 B．2、﹣6、5 C．2、﹣6、﹣5 D．﹣2、6、54．关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＞2且m≠3 C．m＜2 D．m＞3且m≠25．若不等式组有解，则实数a的取值范围是（）A．a≥﹣2 B．a＜﹣2 C．a≤﹣2 D．a＞﹣2二．填空题6．已知3x=4y，则=．7．已知（x﹣y+1）2+=0，则x+y的值为．8．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．9．若关于x的分式方程=2的解为非负数，则m的取值范围是．10．如果不等式3x﹣m≤0的正整数解是1，2，3，那么m的范围是．11．关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2，如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1，且k为整数，则k的值为．三．解答题12．解分式方程：．13．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．14．某地区住宅用电之电费计算规则如下：每月每户不超过50度时，每度以4元收费；超过50度的部分，每度以5元收费，并规定用电按整数度计算（小数部份无条件舍去）．（1）下表给出了今年3月份A，B两用户的部分用电数据，请将表格数据补充完整，（2）若假定某月份C用户比D用户多缴电费38元，求C用户该月可能缴的电费为多少？15．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．16．随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．（1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？（2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎．为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天商社电器销售B 型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元？参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2017•江阴市一模）若关于x的方程2x﹣m=x﹣2的解为x=3，则m的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣7 D．7【解答】解：把x=3代入方程得：6﹣m=3﹣2，解得：m=5，故选B2．（2017•历城区二模）已知关于x的二元一次方程组，若x+y＞3，则m的取值范围是（）A．m＞1 B．m＜2 C．m＞3 D．m＞5【解答】解：，①+②得：4x=4m﹣6，即x=，①﹣②×3得：4y=﹣2，即y=﹣，根据x+y＞3得：﹣＞3，去分母得：2m﹣3﹣1＞6，解得：m＞5．故选D3．（2017•红桥区模拟）方程2x2﹣6x﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．6、2、5 B．2、﹣6、5 C．2、﹣6、﹣5 D．﹣2、6、5【解答】解：方程2x2﹣6x﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2、﹣6、﹣5；故选C．4．（2017•仁寿县模拟）关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＞2且m≠3 C．m＜2 D．m＞3且m≠2【解答】解：分式方程去分母得：m﹣3=x﹣1，解得：x=m﹣2，根据题意得：m﹣2＞0，且m﹣2≠1，解得：m＞2且m≠3．故选B5．（2017•日照模拟）若不等式组有解，则实数a的取值范围是（）A．a≥﹣2 B．a＜﹣2 C．a≤﹣2 D．a＞﹣2【解答】解：，解不等式x+a≥0得，x≥﹣a，由不等式4﹣2x＞x﹣2得，x＜2，∵不等式组：不等式组有解，∴a＞﹣2，故选D．二．填空题（共6小题）6．（2017•龙岗区一模）已知3x=4y，则=．【解答】解：根据等式性质2，等式3x=4y两边同时除以3y，得：=．故答案为：．7．（2017•邹城市模拟）已知（x﹣y+1）2+=0，则x+y的值为．【解答】解：由题意可知：解得：∴x+y=故答案为：8．（2017•罗平县一模）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＞﹣1且k≠0．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）=4+4k＞0，∴k＞﹣1，∵x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0∴k≠0，∴k的取值范围是：k＞﹣1且k≠0．故答案为：k＞﹣1且k≠0．9．（2017•夏津县一模）若关于x的分式方程=2的解为非负数，则m的取值范围是m≥﹣1且m≠1．【解答】解：去分母得，m﹣1=2（x﹣1），∴x=，∵方程的解是非负数，∴m+1≥0即m≥﹣1又因为x﹣1≠0，∴x≠1，∴≠1，∴m≠1，则m的取值范围是m≥﹣1且m≠1．故选：m≥﹣1且m≠1．10．（2017•仁寿县模拟）如果不等式3x﹣m≤0的正整数解是1，2，3，那么m 的范围是9≤m＜12．【解答】解：解不等式3x﹣m≤0得到：x≤，∵正整数解为1，2，3，∴3≤＜4，解得9≤m＜12．故答案为：9≤m＜12．11．（2017•江西模拟）关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2，如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1，且k为整数，则k的值为﹣1或0．【解答】解：根据题意得x1+x2=﹣2，x1•x2=k+1，∵x1+x2﹣x1x2＜﹣1，∴﹣2﹣（k+1）＜﹣1，解得k＞﹣2，∵△=4﹣4（k+1）≥0，解得k≤0，∴﹣2＜k≤0，∴整数k为﹣1或0．故答案为﹣1或0．三．解答题（共5小题）12．（2017•繁昌县模拟）解分式方程：．【解答】解：方程的两边同乘（x+1）（x﹣1），得2（x﹣1）=x（x+1）﹣（x+1）（x﹣1），2x﹣2=x2+x﹣x2+1，2x﹣x=1+2，解得x=3．检验：把x=3代入（x+1）（x﹣1）=8≠0．∴原方程的解为：x=3．13．（2017•昆山市一模）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．【解答】解：由①得x≥4，由②得x＜1，∴原不等式组无解，14．（2017•瑞安市一模）某地区住宅用电之电费计算规则如下：每月每户不超过50度时，每度以4元收费；超过50度的部分，每度以5元收费，并规定用电按整数度计算（小数部份无条件舍去）．（1）下表给出了今年3月份A，B两用户的部分用电数据，请将表格数据补充完整，（2）若假定某月份C用户比D用户多缴电费38元，求C用户该月可能缴的电费为多少？【解答】解：（1）设A用户用电量为x度，则4×50+5（x﹣50）=240，解得x=58；B用户的用电量：90﹣58=32（度）．B用户的电费：32×4=128（元）A、B用户的电费：240+128=368（元），故答案是：（2）设3月份C用户用电x度，D用户用电y度．∵38不能被4和5整除，∴x＞50，y≤50，∴200+5（x﹣50）﹣4y=38∴5x﹣4y=88，∴．∵，∴50＜x≤57.6．又∵x是4的倍数，∴x=52，56 C用户可能缴的缴电费为210元或230元．15．（2017•博兴县模拟）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【解答】解：（1）设方程的另一个根为x，则由根与系数的关系得：x+1=﹣a，x•1=a﹣2，解得：x=﹣，a=，即a=，方程的另一个根为﹣；（2）∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4＞0，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．16．（2017•云南模拟）随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．（1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？（2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎．为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天商社电器销售B 型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元？【解答】解：（1）设每台B型空气净化器为x元，A型净化器为（x+300）元，由题意得，=，解得：x=1200，经检验x=1200是原方程的根，则x+300=1500，答：每B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元，1500元；（2）设B型空气净化器的售价为x元，根据题意得；（x﹣1200）（4+）=3200，解得：x=1600，答：如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为1600元．。