2017高一数学竞赛试题
数学竞赛试题高一及答案
数学竞赛试题高一及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1的图像关于直线x = -1/2对称，则下列哪个函数的图像也关于直线x = -1/2对称？A. g(x) = x^2 + 2x + 3B. h(x) = -x^2 + 2x - 3C. i(x) = x^2 - 2x + 3D. j(x) = -x^2 - 2x - 3答案：B2. 已知集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A∪B等于：A. {1, 2, 3, 4}B. {1, 2, 3}C. {2, 3}D. {1, 3, 4}答案：A3. 若方程x^2 - 5x + 6 = 0的两个根为α和β，则α + β的值为：A. 1B. 2C. 3D. 5答案：C4. 函数y = |x - 2| + 3的图像与x轴交点的个数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知等差数列的前三项依次为2, 5, 8，则该数列的第五项为________。
答案：112. 圆的方程为x^2 + y^2 - 6x - 8y + 25 = 0，则圆心坐标为________。
答案：(3, 4)3. 函数y = sin(x)在区间[0, π]上的最大值为________。
答案：14. 已知三角形的三边长分别为3, 4, 5，则该三角形的面积为________。
答案：6三、解答题（每题15分，共30分）1. 证明：若一个三角形的两边长分别为a和b，且满足a^2 + b^2 =c^2（c为第三边长），则该三角形为直角三角形。
证明：根据勾股定理，若三角形的两边长为a和b，且满足a^2 + b^2 = c^2，则第三边c所对的角θ为直角，即θ = 90°。
因此，该三角形为直角三角形。
2. 解方程：2x^2 - 3x - 2 = 0。
解：首先，我们计算判别式Δ = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4*2*(-2) = 9 + 16 = 25。
2017年高中数学联赛一二试及详解版
2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时，)9(l o g )(2x x f -=，则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为1109:22=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为__________.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是5.正三棱锥ABC P -中，1=AB ，2=AP ，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为__________.6.在平面直角坐标系xOy 中，点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3π=∠A ，ABC ∆的面积为3，则⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a +=++12，n n b b 21=+，则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数，不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z ，0)Re(2>z ，且2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）. （1）求)Re(21z z 的最小值；（2）求212122z z z z --+++的最小值.2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图，在ABC ∆中，AC AB =，I 为ABC ∆的内心，以A 为圆心，AB 为半径作圆1Γ，以I 为圆心，IB 为半径作圆2Γ，过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a ， ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数，n m ≥，n a a a ,,,21 是n 个不超过m 的互不相同的正整数，且n a a a ,,,21 互素.证明：对任意实数x ，均存在一个)1(n i i ≤≤，使得x m m x a i )1(2+≥，这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A卷一试答案1.2.3.4.6.7.9.10.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二、。
2017年全国高中数学联赛陕西赛区试题(一试)解析pdf版
abc （ a ≥1 且 a Z ） abc
f '(a )
bc(a b c) abc b 2 c bc 2 ≥0 (a b c) 2 (a b c) 2
所以 f ( a ) 在 [1, ) 上单调递增 所以 f ( a ) min f (1) 令 g (b)
A、
1 2
B、
1 3
C、
2 2
D、
3 3
【解析】由 AOB 60 ， OA OB b ，得 A
3 1 2 a, 2 a , B (0, a ) ，所以直线 AB 为
y
3 xa 3
3 y xa 3 由 2 2 x y 1 a 2 b2
A
Q
D P Q1 B
C
1 1 1 AC , PP AC , QQ1 AC ， 1 2 2 2
P1 C1 B1
因 为 AC PR, AC PQ, AC QR ， 所 以 RR1 平 面
R D1 A1 R1
PQR ， PP 1 平面 PQR ， QQ1 平面 PQR ，所以三棱柱
4
)4∴Βιβλιοθήκη 4≤
4
≤
5 4
∴
2 ≤ sin( ) ≤ 1 2 4
∴ 4 5 ≤ 10 sin(
4
) 4 ≤ 4 10
∴ B y 4 5 ≤ y ≤ 4 10
∵A 中的元素是 3 的倍数的正整数，而 B 中的元素是 3 的倍数的有 3 和 6 ∴集合 A B 中元素的个数有 2 个 所以选 B 8、设 x ≥ y 0，若存在实数 a, b 满足 0≤ a ≤ x ，0≤ b ≤ y ，且
2017年广西高一数学竞赛“创新杯”决赛试卷(含参考答案)
2017年广西高一“创新杯”决赛试卷参考答案一、选择题（每小题6分，共36分）1．如果1=++cc bb aa ，则abcabc 的值为 ( _★_ )A.1-B. 1C. 1±D. 与c b a ,,的值有关【答案】A解：c c b b a a ，，的取值是1或－1,因为1=++c c b b a a ，所以c c b b a a ，，中有2个1，1个－1.c b a ,,中有两正一负，所以0<abc ，.1-=abcabc2．已知非零实数a b 、满足:2210a ab b a b ++-+=+，则a b +的值等于 ( _★_ )A ．1-B ．0C ．1D ．2 【答案】B解：由题设得22211102a b a b ⎡⎤++++-=⎣⎦（）（）（），则0a b =+，10a =+，10b -=，故0a b =+．3．方程 3)2(22=-+x x x 的所有实数根之和为 ( ★ ) A ．1 B.3 C.5 D .7 【答案】C 解：方程22()32x x x +=-化为2222(2)3(2)x x x x -+=-。
即3251060x x x -+-=，2(1)(46)0x x x --+=。
解得1x =。
经检验1x =是原方程的根。
∴ 原方程所有实数根之和为5。
4．如图，四边形ABHK 是边长为6的正方形，点C 、D 在边AB 上，且AC =DB =1，点P 是线段CD 上的动点，分别以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作正方形AMNP 和正方形BRQP ，E 、F 分别为MN 、QR 的中点，连接EF ，设EF 的中点为G ，则当点P 从点C 运动到点D 时，点G 移动的路径长为 ( _★_ ) A.1 B. 2 C. 3 D. 6【答案】B解：设KH 中点为S ，连接PE 、ES 、SF 、PF 、PS ，可证明四边形PESF 为平行四边形，∴G 为PS 的中点,即在点P 运动过程中，G 始终为PS 的中点，所以G 的运行轨迹为△CSD 的中位线,∵CD =AB －AC －BD =6－1－1=4，∴点G 移动的路径长为421⨯=2.5．已知,,x y z 为三个非负实数，且满足325231x y z x y z ++=⎧⎨+-=⎩，设37s x y z =+-，则s 的最大值是 ( _★_ ) A ．57-B. 75-C. 111D. 111- 【答案】D 解：由方程组解出73711x z y z=-⎧⎨=-⎩，由,x y 非负实数，可解得37711z ≤≤，∵373(73)711732s x y z z z z z =+-=-+--=-，取711z =代入即可求得，111max -=s6．()f x 是定义在R 上的函数，若0)1(=f ，且对任意x R ∈，满足)()2(x f x f -+≤2，)()6(x f x f -+≥6，则=)2017(f ( _★_ )A. 2015B. 2016C. 2017D. 2018 【答案】B解：∵ 对任意x R ∈，满足)()2(x f x f -+≤2，∴[][][](6)()(6)(4)(4)(2)(2)()6f x f x f x f x f x f x f x f x +-=+-+++-+++-≤,又)()6(x f x f -+≥6因此，(6)()6f x f x +-=，(6)()6f x f x +=+. ∴ (6)()6f x k f x k +=+，*k N ∈.∴ .20163366)1()33661()2017(=⨯+=⨯+=f f f二、填空题（每小题9分，共54分）7．已知实数x ，y 满足x 2+3x +y －4=0，则x +y 的最大值为 ． 【答案】5解：由x 2+3x +y －4=0得y =－x 2－3x +4，把y 代入x +y 得：x +y =x －x 2－3x +4=－x 2－2x +4=－（x +1）2+5≤5，∴x +y 的最大值为5．8．设a =，且ab = 1，则a 2 + b 2的值为 ．【答案】98解：因25a ===+，及ab = 1知,625)23(23232-=-=+-=b ，故a 2 + b 2 = (a + b )2– 2ab = 100 – 2 = 98．9．若f ex dx cx bx ax x +++++=+23455)12(,则e d c b a +-+-的值是 ．【答案】2解：f ex dx cx bx ax x +++++=+23455)12( ,当x =0时，1=f ，当1-=x 时，1-=+-+-+-f e d c b a ，2-=-+-+-e d c b a2=+-+∴e d c b a -.10．如图所示，BC 是半圆⊙O 的直径，EF ⊥BC 于点F ，5BFFC=． 已知AB = 8，AE = 2．则AD 的长为 ．【答案】231+ 解：联结BE ．由BC 为直径知∠BEC = 90°．故BE == 又由Rt △BFE ∽Rt △EFC ，知225BE BF EF BE BF EC EC EF FC EC FC==⇒==⇒=由割线定理得()AE AE EC AD AB +===11．我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l ：34+=kx y 与x轴、y 轴分别交于A 、B ，∠OAB =30°，点P 在x 轴上，⊙P 与l 相切，当P 在线段OA 上运动时，使得⊙P 成为整圆的点P 个数是 ．【答案】6解：∵直线l ：y =kx +与x 轴、y 轴分别交于A 、B ，∴B （0，4），∴OB =在Rt △AOB 中，∠OAB =30°，∴OA OB =×4=12，∵⊙P 与l 相切，设切点为M ，连接PM ，则PM ⊥AB ，∴PM =12P A ，设P （x ，0），∴P A =12﹣x ，∴⊙P 的半径PM =12PA =6－12x ，∵x 为整数，PM 为整数，∴x 可以取0，2，4，6，8，10，6个数，∴使得⊙P 成为整圆的点P 个数是6．12．黑板上写有1001,,31,21,1⋅⋅⋅共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数b a ,，然后删去b a ,，并在黑板上写上数ab b a ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是 ． 【答案】100解：1)1)(1(-++=++b a ab b a ，∵计算结果与顺序无关，∴顺次计算得：21)121)(11(=-++，31)131)(12(=-++，41)141)(13(=-++，…… 1001)11001)(199(=-++.13．（本小题满分20分）已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝13，a 2＋b 2＋c 2＝77，abc ＝48，求cb a 111++的值． 解：因为a ＋b ＋c ＝13，所以(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )＝169． ……………… 5分 因为a 2＋b 2＋c 2＝77，所以ab ＋bc ＋ca ＝46． ……………… 10分 又因为abc ＝48，所以2423111=++=++abc ca bc ab c b a ． ……………… 20分14．（本小题满分20分）如图，⊙O 的直径AB =2，AM 和BN 是它的两条切线，DE 切⊙O 于E ，交AM 于D ，交BN 于C ．设AD =x ，BC =y ． （1）求y 关于x 的关系式；（2）求四边形ABCD 的面积S ，并证明：S ≥2.解：（1）过点D 作BC DF ⊥于F ，则DF AB // ∵AB 是直径，AM 、BN 是切线∴AB BN AB AM ⊥⊥, ∴BN AM //∴四边形ABFD 为平行四边形又∵∠ABC =90°，∴四边形ABFD 为矩形.∴2==AB FD ，x AD BF ==∵DE 、DA ，CE 、CB 都是切线 ∴根据切线长定理，得x AD DE ==，y CB CE ==在DFC Rt ∆中，x y BF BC CF y x CE DE DC DF -=-=+=+==,,2∴222)(2)(x y y x -+=+化简，得)0(1>=x xy ……………………………… 10分 （2）)0(,1)(21>+=+=x xx BC AD AB S ABCD,即)0(,1>+=x xx S ……………………………… 15分 ∵2)1(21xx x x -=-+≥0当且仅当1=x 时，等号成立 ∴xx 1+≥2，即S ≥2.……………………………… 20分15．（本小题满分20分）已知,a b 为正整数，求22324M a ab b =---能取到的最小正整数值.解：因,a b 为正整数，要使得22324M a ab b =---的值为正整数，则有2a ≥. 当2a =时，b 只能为1，此时 4.M =故M 能取到的最小正整数值不超过4. 当3a =时，b 只能为1或2.若1,18b M ==;若2b =，则7M =.当4a =时，b 只能为1或2或3.若1,38b M ==;若2,24b M ==;若3,b =则2M =.……… 10分(下面考虑：22324M a ab b =---的值能否为1？)（反证法）假设1M =，则223241a ab b ---=，即22325a ab b -=+，2(3)25a a b b -=+ ①因b 为正整数，故25b +为奇数，从而a 为奇数，b 为偶数， 不妨设21,2a m b n =+=，其中,m n 均为正整数，则22222(3)(21)3(21)(2)4(332)3a a b m m n m m mn n ⎡⎤-=++-=+--+⎣⎦即2(3)a a b -被4除所得余数为3，而252(2)141b n n +=+=+被4除所得余数为1， 故①式不可能成立，故1M ≠.因此，M 能取到的最小正整数值为2.……………… 20分。
2017年全国高中数学联赛一试(B卷)答案
成立，求实 成立．由于
解：设 t 2 x ，则 t [2, 4] ，于是
对所有
t a 5 t (t a ) 2 (5 t ) 2 (2t a 5)(5 a ) 0 ． ………………8 分 对给定实数 a ，设 f (t ) (2t a 5)(5 a ) ，则 f (t ) 是关于 t 的一次函数或常 值函数．注意 t [2, 4] ，因此 f (t ) < 0 等价于 f (2) (1 a )(5 a ) 0, ………………12 分 f (4) (3 a )(5 a ) 0, 解得 3 a 5 ． 所以实数 a 的取值范围是 3 a 5 ． ………………16 分 10. （ 本 题 满 分 20 分 ） 设 数 列 {an } 是 等 差 数 列 ， 数 列 {bn } 满 足 2 , n 1, 2, ． bn an1an2 an （1）证明：数列 {bn } 也是等差数列； （2） 设数列 {an } 、 并且存在正整数 s, t ， 使得 as bt {bn } 的公差均是 d 0 ， 是整数，求 a1 的最小值． 解： （1）设等差数列 {an } 的公差是 d ，则 2 2 bn1 bn ( an2an3 an 1 ) ( an1an2 an ) an2 ( an3 an1 ) ( an1 an )( an1 an ) an2 2d ( an1 an ) d
2017 年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷） 参考答案及评分标准
说明： 1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分， 解答题中第 9 小题 4 分为一个档次， 第 10、 11 小题 5 分为一个档次，不得增加其他中间档次． 一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分． 1. 在等比数列 {an } 中， a2 2, a3 3 ，则
2017年全国高中数学联赛新疆赛区预赛高一试题及详解
12017年全国高中数学联赛新疆赛区预赛高一试题详解一．填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分，把答案填在横线上）1.已知函数()f x 是R 上的减函数，且是奇函数.若,m n 满足不等式组()(2)0,(1)0,f m f n f m n +-≤⎧⎨--≤⎩则5m n -的取值范围是 .2.已知1231,2,3x x x ===是满足432()f x x ax bx cx d =++++的三个零点，则(0)(4)f f += .3.已知1a >，则4log 162log a a +的最小值为 .4.在Rt ABC ∆中，60C ∠=.以C 为圆心，BC 为半径的圆交AC 于D 点.连接BD .弧BD 与弦BD 将ABC ∆分为三部分（如图）.则三部分面积之比123::S S S = .5.已知A 从甲地到乙地用了整数个小时，且A 每小时走的公里数与他从甲地到乙地所用时间相同. B 从甲地到乙地每小时走2公里，且每走4公里休息1小时，公用了11小时，则甲乙两地距离为 公里.6.已知在ABC ∆中，tan ,(1tan ,tan A B C +成等差数列，则B ∠的最小值为 .7.已知直线2017ax by +=与圆22100x y +=有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，则这样的直线E 为AB 上一点，1AE =.现将BCE ∆沿CE 折起，使得点B 在平面ABCD 上共有 条.8.已知数列{n a }首项为2，且满足16341n n n S a +=+-，则n S 的最大值为 . 二．解答题（本大题共3小题，其中第1题16分，第2,3小题各20分，共56分）1.(1)对于任意的,0a b >，求证: 1111()4a b a b≤++; (2)设123,,0x x x >,且1231111x x x ++=.求证：12312312313321231213232x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++≤+++.2.已知已,,x y z 是正数，且满足2222223,4,7.x y xy y z yz z x zx ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩求x y z ++.（1）求椭圆的方程；3.如图，边长为2的等边三角形ABC ∆中，D 是BC 的中点. ,E F 分别是边,AB AC 上的动点.（1）若120EDF ∠=，求证：AE AF +为定值；（2）若60EDF ∠=，此时AE AF +是否为定值？若是，请给出证明；否则，求出AE AF +的取值范围.。
2017年全国高中数学联合竞赛一试(A卷)(含参考答案及评分标准)
答案： 13, 20 ． 解：由条件可知： a1 , a2 , b1 均为正整数，且 由于 ，故 ． ．反复运用 {an } 的递推关系知 ， 因此 而 21a1 a10 b10 512b1 2b1 (mod 34) ， ，故有 ． 另一方面，注意到 ，有 ． 当 当 时，①，②分别化为 时，①，②分别化为 ，此时 当 ． ，得到唯一的正整数 ，无解． ，得到唯一的正整数 ，故 ②
( x1 + 3x2 + 5 x3 )( x1 +
x2 x3 1 5x + ) = ( x1 + 3x2 + 5 x3 )(5 x1 + 2 + x3 ) 3 5 5 3 2 1 1 5x ≤ ⋅ ( x1 + 3x2 + 5 x3 ) + (5 x1 + 2 + x3 ) 5 4 3
1 PP PF 1 1 P 2F 1 2 4 2 PF 1 2 P 2 F2 PP 1 2 4 2 ， ………………15 分 （例如， 当 z1 z2 2 2 i 时，F2 恰是 PP 等号成立当且仅当 F2 位于线段 PP 1 2 上 1 2 的中点） ． 综上可知， z1 2 z2 2 z1 z2 的最小值为 4 2 ． …………20 分
① ② ③
a b a b ab f k m 1 ． 2 2 2
由① ② 2 ③知， a b ( a b) 2 4， =f ( a ) f ( b ) 2 f 2 2 故ba 2 2 ．
2
1 14 ………………10 分 = 6 x1 + x2 + 6 x3 20 3 1 9 2 ≤ ( 6 x1 + 6 x2 + 6 x3 ) = ， 20 5 1 1 9 = x1 = , x2 0, = x3 当 时不等式等号成立，故欲求的最大值为 ． ………20 分 2 2 5 11. （ 本 题 满 分 20 分 ） 设 复 数 z1 , z2 满 足 Re( z1 ) 0, Re( z2 ) 0 ， 且
2017年第10届全国中学数理化竞赛高一数学试题答案(初赛)
二、填空题(每题 8 分，共 48 分) 9 9.－2 解析 函数f(x)的定义域是不等式ax2＋abx＋b≥0 的解集．不等式ax2＋abx＋b≥0 的解集为 a<0， 1＋2＝－b， {x|1≤x≤2}，所以 b 1×2＝a， 3 a＝－2， 3 9 所以a＋b＝－2－3＝－2. 解得 b＝－3，
y f 0 x 2 的图像，作该图像在 x 轴下方的部分关于 x 轴的对称图形得到图 3，其中 x 轴
上方的部分即是 f 2 x f1 x 2 的图像．易得所求面积为 7．
y
y
y (1,2) 1
(-1,2)
1
o
x
-1
o
1
x
-3
o
-1
3
x
图1
图2
图3
三、解答题（共 70 分） 13.（23 分）
特级教师 王新敞
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1 1 1 1 对于①，f(x)＝x－x ， f ( ) ＝x－x＝－f(x)，满足“倒负”变换；对于②， f ( ) ＝ x x
1 1 1 x ,0 x 1, x , x 1, 1 1 1 1 不满足 “倒负” 变换； 对于③， f ( ) ＝ 0, 1, 即 f ( ) ＝ 0, x 1, x ＋x＝f(x)， x x x x,0 x 1 1 x , x 1 1 故 f ( ) ＝－f(x)，满足“倒负”变换．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③. x
2017年全国高中数学联赛湖北省预赛试题参考答案及评分标准(高一年级)
6 6 2 3 2 2说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅， 请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题（本大题共10小题，每小题9分，共90分．）1．已知非空集合 A = {x | m +1 ≤ x ≤ 2m -1}， B = {x | x 2 - 2x -15 ≤ 0} ，且 A ⊆ B ，则实数 m 的取值范围是 [2,3] ．2. 已知正项等比数列{a n }满足a 6 + a 5 + a 4 - a 3 - a 2 - a 1 = 49 ，则a 9 + a 8 + a 7 的最小值为 196 ．3. 设函数 f (x ) = x 3 + ax 2 + bx + c （ x ∈R ），其中a ,b , c 为互不相同的非零整数，且 f (a ) = a 3 ， f (b ) = b 3 ，则a + b + c = 18 ．4 ． 设△ ABC 的内角 A , B ,C 的对边分别是 a ,b , c ， 若 cos A = 3cos B = 4 cos C ，则a b ct a n A = ． 3 5．设函数 f (x ) = (1) x + ( 2) x + (5) x ， x ∈[0,+∞) ，则该函数图象上整点的个数为 3 ．2 3 66 ． 已知 O 为△ ABC 的外心， D 为 BC 的中点， 若 AO ⋅ AD = 4 ， BC = 2 ，则 AD = ．7. 已知正实数a ,b 满足ab (a + b ) = 4 ，则2a + b 的最小值为 2 ．8. 设 x , y ∈R ，则 P = (x +1- cos y )2 + (x -1+ sin y )2 的最小值为 3 - 2 ．9. 若关于 x 的方程 | x | x +1= k x 2 恰有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围为(-∞, 0) (0, 4)． 10. 将与 70 互素的所有正整数从小到大排成数列，这个数列的第 2017 项为 5881 ．二、解答题（本题满分 60 分，每小题 20 分。
2017年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
2 2 1 AM AN 3 AB AC 4 AB AC ， 8
由 3 S ABC
1 3 AB AC sin A AB AC 得 AB AC 4 2 4
2
所以 AB AC 2 ，所以 3 AB
AC 8 3 ，当且仅当 AB
x x1 3x 2 5 x3 x1 2 3
★解析：由柯西不等式
x3 的最小值和最大值。 5 x2 5 x3 3 x3 5 1
2
x x x1 3x 2 5 x3 x1 x1 3 x 2 x1 2 3 3 5
当 x1 1 ， x 2 0 ， x 3 0 时取等号，故所求的最小值为 1 ； 又 x1 3 x 2 5 x 3 x1
x 2 x3 1 5x x1 3 x 2 5 x 3 5 x1 2 x 3 3 5 5 3
2
512 b1 ② 55
★证明：记 f ( x ) x kx m ， x a, b ，则 f ( x ) 1,1 。于是
2
f (a ) a 2 ka m 1 ①； f (b) b 2 kb m 1 ② ab ab 2 ab )( ) k( ) m 1 ③ 2 2 2 ①+②- 2 ③知 f(
2017 年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）
一、填空题：本大题共 8 个小题，每小题 8 分，共 64 分。 2017A1、设 f ( x ) 是定义在 R 上函数，对任意的实数 x 有 f ( x 3) f ( x 4) 1 ，又当 0 x 7 时， f ( x ) log 2 (9 x ) ，则 f ( 100) 的值为 ◆答案：
2017年全国高中数学联赛一试(B卷)答案
2017 年全国高中数学联合竞赛一试（B卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第 9 小题 4 分为一个档次，第 10、11 小题 5 分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分．1. 在等比数列{a } 中，a2, a 3，则a 1a2011的值为．3n23a 7a2017答案：8．9a 3 a a a a 1 8 解：数列{a } 的公比为q 3，故．a 2 q 6 ( a 1 a 2011 ) q 6n 2 a 7a 201792. 设复数 z 满足z 9 1022 i ，则 z z 的值为．答案：．5 a , b R ．由条件得解：设z a b i,( a 9) b i 10 a ( 10b 22) i ． 比较两边实虚部可得 a + 9 = 10 a ,b = −10b + 22,解得a 1, b 2 ，故z 1 2 i ，进而 z 5 ．3. 设 f ( x ) 是定义在R 上的函数，若 f ( x ) x 2 是奇函数， f ( x ) 2x 是偶函数， 则 f (1) 的值为 ．答案： 7．4f ( 1) 1 ， 解：由条件知， f (1) 1f ( 1) ( 1) 2 f ( 1) 1, f (1) 221 ，即 f (1) 7两式相加消去 f ( 1) ，可知2 f (1) 3 ．244. 在 ABC 中，若sin A 2sin C ，且三条边a , b , c 成等比数列，则cos A 的值为 ．答案：42．解：由正弦定理知，ac sinsin C A 2 ，又b 2ac ，于是a : b : c 2 : 2 : 1，从而由余弦定理得，cos A b2c2a 2(2) 2122 22． 4 2 bc 2 2 15. 在正四面体 ABCD 中，E , F 分别在棱 AB , AC 上，满足BE = 3, EF = 4 ，且EF 与面BCD 平行，则∆DEF 的面积为．1答案：233 ．解：由条件知，EF 平行于BC ．因为正四面体 ABCD 的各个面是全等的正三角形，故AE AF EF 4, AD AB AE BE 7 ．由余弦定理得，DE AD 2 AE 2 2 AD AE cos 6049 16 28 37 ，同理有DF 37 ．作等腰 DEF 底边EF 上的高DH ，则EH12 EF 2 ，故DH DE 2 EH 2 33 ，于是S DEF12 EF DH 233 ．6. 在平面直角坐标系 xOy 中，点集K ( x , y ) | x , y 1, 0, 1 ．在K 中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过 2 的概率为 ．答案：145．解：注意K 中共有 9 个点，故在K 中随机取出三个点的方式数为种．当取出的三点两两之间距离不超过 2 时，有如下三种情况：（1）三点在一横线或一纵线上，有 6 种情况．（2）三点是边长为1, 1, 2 的等腰直角三角形的顶点，有4 4 16 种情况．（3）三点是边长为2, 2, 2 的等腰直角三角形的顶点，其中，直角顶点位于(0, 0) 的有 4 个，直角顶点位于( 1, 0), (0, 1) 的各有一个，共有8 种情况．综上可知，选出三点两两之间距离不超过 2 的情况数为 ，进而所求概率为30 5 ． 14 847. 设a 为非零实数，在平面直角坐标系 xOy 中，二次曲线 x 2 ay 2 a 2 0 的 焦距为 4，则a 的值为 ．答案：1 217．解：二次曲线方程可写成 x 2 y2 1．显然必须 a 0 ，故二次曲线为双曲 a 2ay 2x 2222 21 ．则c ( a )( a )a a ，注意到焦距( a )2 ( a )2c 4 ，可知a 2 a 4 ，又a 0，所以a 117．28. 若正整数a , b , c 满足2017 10 a 100b 1000c ，则数组( a , b , c ) 的个数为．答案：574 ．解：由条件知c20172 ．1000当c1时，有10b20．对于每个这样的正整数b，由10b a201知，2相应的a的个数为202 10b．从而这样的正整数组的个数为20b 10 2当c2时，由20 b 2017 ．进而200 2017 201 ，，知b20 a100 10故a200, 201．此时共有2组(a,b,c)．综上所述，满足条件的正整数组的个数为．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）设不等式2x a5 2x对所有成立，求实数a的取值范围．解：设t2x，则t[2, 4]，于是对所有成立．由于t a 5 t ( t a ) 2 (5 t)2(2 t a 5)(5 a) 0 ．………………8 分对给定实数a，设f(t) (2t a5)(5a)，则f(t)是关于t的一次函数或常值函数．注意t[2, 4]，因此f(t) 0等价于………………12 分f (4) (3 a )(5 a) 0,解得3a5．所以实数a的取值范围是3a5．………………16 分10.（本题满分20分）设数列{a n}是等差数列，数列{b n}满足b a a a 2, n 1, 2,．n n 1 n 2 n（1）证明：数列{b n}也是等差数列；（2）设数列{a n}、{b n}的公差均是d0，并且存在正整数s,t，使得a s b t是整数，求a1的最小值．解：（1）设等差数列{a n}的公差是d，则b n1b n( a n2a n3 a n21)( a n1a n2a n2)a n2( a n3 a n1) ( a n1 a n)( a n1 a n)a n22 d ( a n1 a n) d(2a n2a n1a n ) d ．所以数列{b n}也是等差数列．………………5 分（2）由已知条件及（1）的结果知．因为，故．这样b a an 2 a 2 ( a d )( a 2 d ) a2n n 1 n n n n3da n 2d2a n 2 ．………………10分9若正整数s,t满足，则3a b a a 2a ( s 1) d a ( ts ts t 9 1 12a s t 22 Z ． 13 9 s t 2 2记l 2a ，则l Z ，且18a 3(3l1 3 91 整数，故，从而．又当时，有ab1 17 1 Z ．13 18 18综上所述， a 1 的最小值为181．1)d92s t 1) 1是一个非零的………………15 分………………20 分11. （本题满分 20 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C 1 : y 2 4x ，曲线 C2 : ( x 4) 2 y 28 ．经过C 1 上一点P 作一条倾斜角为45 的直线l ，与C 2 交于两个不同的点Q , R ，求 PQ PR 的取值范围．解：设P (t 2 , 2t ) ，则直线l 的方程为 y x 2t t 2 ，代入曲线C 2 的方程得， ( x 4) 2 ( x 2t t 2 ) 2 8 ，化简可得 2 x 2 2(t 2 2t 4) x (t 2 2t ) 2 8 0 ．①由于l 与C 2 交于两个不同的点，故关于x 的方程①的判别式 为正．计算得，(t 2 2t 4) 2 2((t 2 2t ) 2 8) (t 2 2t ) 2 8(t 2 2t ) 16 2(t 2 2t ) 2 164(t 2 2t ) 2 8(t 2 2t )(t 2 2t ) (t 2 2t 8)t (t 2)(t 2)(t 4) ，因此有 t ( 2, 0) (2,4) ． ②………………10 分设Q , R 的横坐标分别为x 1 , x 2 ，由①知，x x t 22t 4, x x 1((t 2 2t ) 2 8) ，121 2 2因此，结合l 的倾斜角为45 可知，PQ PR 2( x 1t 2 ) 2( x 2 t 2 ) 2 x 1 x 2 2 t 2 ( x 1 x 2 ) 2t 4(t 2 2t ) 2 8 2t 2 (t 2 2t 4) 2t 4t 4 4t 3 4t 2 8 2t 4 4t 3 8t 2 2t 4t 4 4t 2 8 (t 2 2) 2 4 ．③………………15 分由②可知，t 2 2 ( 2, 2) (2, 14) ，故( t 2 2) 2 [0,4) (4, 196) ，从而由③得，PQ PR (t 2 2) 2 4 [4, 8) (8, 200) ．………………20 分注 1：利用C 24 2 t t2的圆心到l 的距离小于C 2 的半径，列出不等式2，2 2同样可以求得②中t 的范围．注 2：更简便的计算 PQ PR 的方式是利用圆幂定理．事实上，C 2 的圆心为 M (4, 0) ，半径为r 2 2 ，故PQ PRPM 2 r 2 (t 2 4) 2 (2t ) 2 (22) 2 t 4 4t 2 8 ．4。
2017年福建省高一数学竞赛试题(原卷排版+解析)
6
3
6
∴ 1 c 1 ，且 1 c 1 。
66
2
6
∴ c1。 6
6
此时， f (0) 1 ，可见 f (x) 在区间 1，1 上的最小值为 f (0) 。
6
∴ f (x) 的对称轴为 x 0 ，即 1 a 0 ， a 1 。
3
3
∴ f (x) 1 x2 1 。 36
2xy yz 1 ，当且仅当 x 2y ，且 y z ，即 x 2 ， y z 1 时，等
2
10
10
号成立。
所以， 2xy yz 的最大值为 1 。 2
三、解答题（第 13、14、15、16 题每题 16 分，第 17 题 14 分，满分 78 分）
13．已知 f (x) ax2 (1 a)x c ，且当 1 x 1时， f (x) 1 恒成立。
2017 年福建省高一数学竞赛试题
（考试时间：5 月 14 日上午 8：30－11：00）
一、选择题（每小题 6 分，共 36 分）
1．已知集合A来自 xx2 x3
0，x Z
，则集合
A 中所有元素的和为（
）
A． 1
B．0
C．2
D．3
【答案】 B
【解答】由 x 2 0 ，得 2 x 3。又 x Z 。因此 A 2，1，0，1，2 。
也是 1，0 ，则 a m 的值为
。
【答案】 5 2
【解答】当 a 1时， f (x) 在 1，0 上为增函数，依题意有
3
f (1) loga (1 m) 1，方程组无解。 f (0) loga (0 m) 0
2017年浙江省高中数学竞赛试卷
2017年浙江省高中数学竞赛试卷一、填空题：本大题共10个小题,每小题8分,共80分. 1.在多项式310(1)(2)x x -+的展开式中6x 的系数为 ． 2.已知3)a -=,则实数a = ．3.设2()f x x ax b =++在[]0,1中有两个实数根,则22a b -的取值范围为 ．4.设x ,y R ∈,且222222sin cos cos cos sin sin 1sin()x x x y x yx y -+-=+,则x y -= ．5.已知两个命题,命题p :函数()log a f x x =(0x >)单调递增；命题q ：函数2()1g x x ax =++ （x R ∈）．若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则实数a 的取值范围为 ．6.设S 是5(0,)8中所有有理数的集合，对简分数q S p ∈，(,)1p q =，定义函数1()q q f p p +=，则2()3f x =在S 中根的个数为 ． 7.已知动点P ，M ，N 分别在x 轴上，圆22(1)(2)1x y -+-=和圆22(3)(4)3x y -+-=上，则||||PM PN +的最小值为 ．8.已知棱长为1的正四面体P ABC -，PC 的中点为D ，动点E 在线段AD 上，则直线BE 与平面ABC 所成的角的取值范围为 ．9.已知平面向量a r ，b r ，c r ，满足||1a =r ，||2b =r ，||3c =r ，01λ<<，若0b c ⋅=r r，则|(1)|a b c λλ---r r r所有取不到的值的集合为 ．10. 已知22,0,()1,0,x x f x x x -<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩方程()|()240f x f x ax +---=有三个根123x x x <<．若32212()x x x x -=-，则实数a = ．二、解答题：本大题共5个小题，满分120分，将答案填在答题纸上）11. （本题满分20分）设1()f x =1()n f x +，1,2,n =L ．对每个n ， 求()n f x 3x =的实数解．12. （本题满分20分）已知椭圆22162x y +=的右焦点为F ，过F 的直线(2)y k x =-交椭圆于P ，Q 两点(0)k ≠．若PQ 的中点为原点，直线ON 交直线3x =于M ． （Ｉ）求MFQ ∠的大小； （Ⅱ）求PQMF的最大值．13. （本题满分20分）设数列{}n a 满足：1|2|2n n a a +-=，||2n a ≤，1,2,3,n =L ． 证明：如果1a 为有理数，则从某项后{}n a 为周期数列．14. （本题满分30分）设1a ，2a ，3a ；1b ，2b ，3b Z +∈，证明：存在不全为零的数1λ，2λ， {}30,1,2λ∈，使得112233a a a λλλ++和112233b b b λλλ++同时被3整除．15. （本题满分30分）设{}12,,n a a a σ=…,为{}1,2,,n …的一个排列，记11()ni i i F a a σ+==∑，11n a a +=，求min ()F σ．。
江西省萍乡市2017年高一数学竞赛试题(含解析)
2017年江西省萍乡市高一年级数学竞赛试卷第Ⅰ卷（共60分）一、填空题（每题10分，共80分.）1. 若是单位向量，且，则__________．【答案】0【解析】2. 函数的值域为__________．【答案】【解析】时，x-1时，1-x<0, <-1综上值域为故答案为点睛：分段函数求值域，先分段求，再求并集，注意的是指数函数都是大于0的3. 4个函数，，，图象的交点数共有__________．【答案】5故答案为54. 若，则__________．【答案】0.........5. 已知，，，则__________．【答案】【解析】∵cosα+cosβ+cosγ=sinα+sinβ+sinγ=0，∴cosγ=−cosα−cosβ，sinγ=−sinα−sinβ，∵=1，∴=1，整理得：2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)=1,即cosαcosβ+sinαsinβ=−，∴cos(β−α)= −，∵0⩽α<β<2π，∴0<β−α<2π∴β−α=或.①∴同理可得：cos(γ−β)=−−,解得：γ−β=或②。
cos(γ−α)= −;解得：γ−α=或③。
∵0⩽α<β<γ<2π，∴β−α=,γ−β=,γ−α=.故β−α的值为.点睛：本题主要考查了同角平方关系的应用，解题的关键是要发现sin2γ+cos2γ=1，从而可得α，β的基本关系，但要注意出现多解时一定要三思而后行.6. 甲乙两人玩猜数学游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若，称甲乙“心相近”，现任意两人玩这游戏，则他们心相近的概率为__________．【答案】【解析】7. 在中，角所对边分别为，若，则__________．【答案】【解析】又A为锐角，所以A=8. 将10个数1，2，3，…，9，10按任意顺序排列在一个圆圈上，设其中连续相邻的3数之和为，则的最大值不小于__________．【答案】18【解析】设10个在圆圈上的排列的数依次为其中于是=故中必有一个不小于18故答案为18二、解答题（共70分）9. 已知函数（）是偶函数，若对一切实数都成立，求实数的取值范围.【答案】【解析】试题分析：函数（）是偶函数得出，证明出当时，为增函数，，根据单调性去掉f,得出，即得解试题解析：（）是偶函数，当时，，得对一切都成立，所以，.于是设，，所以，当时，为增函数.，，于是，即，所以即对一切实数都成立.点睛：型如的题目肯定会用到函数的奇偶性，单调性，所以做题时从这两方面着手即可.10. 记表示不超过实数的最大整数，在数列中，，（），证明：.【答案】见解析【解析】试题分析：由（）知，数列为正项递增数列.把化为，两边同除得，裂项相消求和即得解.试题解析：由（）知，数列为正项递增数列.又，所以，.化为，两边同除得.因此，故11. 如图，定直线与定相离，为上任意一点，为的两条切线，为两切点，其垂足为点，交于点，证明：为定长.【答案】见解析【解析】试题分析：因为，，由射影定理，得，因为，所以，四点共圆，由圆幂定理得结合两个等式即得解.试题解析：连，设为，的交点，因为，，由射影定理，得因为，所以，四点共圆.由圆幂定理，得所以，即（定值），所以，为定长.12. 有（）个整数：，，…，，满足，，证明能被4整除.【答案】见解析【解析】试题分析：反证法来解决问题，若为奇数，由，得均为奇数推出矛盾，所以，中必有偶数，如果中仅有一个偶数，推出矛盾，所以中必至少有2个偶数，即得证试题解析：首先，为偶数，事实上，若为奇数，由，得均为奇数，而奇数个奇数和应为奇数，且不为0，这与矛盾，所以，为偶数所以，中必有偶数.如果中仅有一个偶数，则中还有奇数个奇数，从而，也为奇数，矛盾，所以，中必至少有2个偶数.由知，能被4整除.。
2017北京市高一数学初赛试题及解答
2017年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题参考解答（2017年4月9日）选择题答案填空题答案一、选择题1．集合A ={2, 0, 1, 7}，B ={x | x 2−2∈A , x −2∉A }，则集合B 的所有元素之积为（A ）36． （B ）54．（C ）72． （D ）108． 答：A ．解：由x 2−2∈A ，可得x 2=4，2，3，9，即x =±2，，±3． 又因为x −2∉A ，所以x ≠2，x ≠3，故x = −2，，，−3． 因此，集合B ={−2, −−−3}．所以，集合B 的所有元素的乘积等于(−2)(−−−3)=36．2．已知锐角△ABC 的顶点A 到它的垂心与外心的距离相等，则tan(2BAC∠)= （A． （B ． （C ）1． （D 答：A ．解：作锐角△ABC 的外接圆，这个圆的圆心O 在形内，高AD ，CE 相交于点H ，锐角△ABC 的垂心H 也在形内．连接BO 交⊙O 于K ，BK 为O 的直径. 连接AK ，CK ． 因为AD ，CE 是△ABC 的高，∠KAB ，∠KCB 是直径BK 上的圆周角，所以∠KAB =∠KCB =90°．于是KA//CE ，KC//AD ，因此AKCH 是平行四边形．所以KC =AH =AO =12BK ． 在直角△KCB 中，由KC =12BK ，得∠BKC =60°，所以∠BAC =∠BKC =60°． 故tan(2BAC∠)= tan30°．3．将正奇数的集合{1, 3, 5, 7, …}从小到大按第n 组2n −1个数进行分组：{1}，{3, 5, 7}，{9, 11, 13, 15, 17}，…，数2017位于第k 组中，则k 为 （A ）31． （B ）32． （C ）33． （D ）34． 答：B.解：数2017是数列a n = 2n −1的第1009项．设2017位于第k 组，则1+3+5+…+(2k −1)≥1009，且1+3+5+…+(2k −3)＜1009．即k 是不等式组221009(1)1009k k ⎧≥⎨-<⎩的正整数解，解得k =32，所以2017在第32组中． 4．如图，平面直角坐标系x -O -y 中，A , B 是函数y =1x在第I 象限的图象上两点，满足∠OAB =90°且AO = AB ，则等腰直角△OAB 的面积等于（A ）12． （B ）2． （C）2． （D）2．答：D ．解：依题意，∠OAB =90°且AO = AB ，∠AOB =∠ABO =45°．过点A 做y 轴垂线交y 轴于点C ，过点B 做y 轴平行线，交直线CA 于点D ．易见△COA ≌△DAB ．设点A (a , 1a )，则点B (a +1a , 1a − a )．因为点B 在函数y =1x 的图象上，所以(a +1a )(1a− a )=1即21a− a 2=1． 因此S △ABC =12OA 2=12(21a + a 2) =122=． 5．已知f (x ) = x 5 + a 1x 4 + a 2x 3 + a 3x 2 + a 4x + a 5，且当m =1, 2, 3, 4时，f (m )=2017m ，则f (10)−f (−5)=（A ）71655． （B ）75156． （C ）75615． （D ）76515． 答：C ．解：因为 当m =1, 2, 3, 4时，f (m )=2017m ，所以1, 2, 3, 4是方程f (x )−2017x =0的四个实根，由于5次多项式f (x )−2017x 有5个根，设第5个根为p ，则f (x )−2017x = (x −1)(x −2)(x −3)(x −4)(x −p )即 f (x ) = (x −1)(x −2)(x −3)(x −4)(x −p )+2017x ．所以f (10)=9×8×7×6(10−p )+2017×10，f (−5)=−6×7×8×9(5+p )−2017×5，因此f (10)− f (−5)=15(9×8×7×6+2017)=75615．6．已知函数2||,,()42,.x x a f x x ax a x a ≤⎧=⎨-+>⎩若存在实数m ，使得关于x 的方程f (x )=m有四个不同的实根，则a 的取值范围是（A ）17a >． （B ）16a >． （C ）15a >． （D ）14a >．答：D ．解：要使方程f (x )=m 有四个不同的实根，必须使得y =m 的图像与y =f (x )的图像有4个不同的交点．而直线与y =|x |的图像及二次函数的图像交点都是最多为两个，所以y =m 与函数y =|x |, x ≤a 的图像和y =x 2−4ax +2a , x ＞a 的图像的交点分别都是2个．而存在实数m ，使y =m 与y =|x |, x ≤a 的图像有两个交点，需要a ＞0，此时0＜m ≤a ；又因为y =x 2−4ax +2a , x ＞a 顶点的纵坐标为242(4)4a a ⨯-，所以，要y =m 与y =x 2−4ax +2a ,x ＞a 的图像有两个交点，需要m ＞242(4)4a a ⨯-．因此y =m 的图像与y =f (x )的图像有4个不同的交点需要满足：0＜m ≤a 且m ＞242(4)4a a ⨯-，解得14a >．二、填空题1. 用[x ]表示不超过x 的最大整数，设[99]S =++++，求的值．答：24．解：因为12≤1, 2, 3＜22，所以12，因此1===，共3个1；同理，22≤4, 5, 6, 7, 8＜32，因此，2=====，共5个2；又32≤9, 10, 11, 12, 13, 14, 15＜42，因此=[15]3===，共7个3；依次类推，[23]4=====，共9个4；[34]5=====，共11个5；[47]6=====，共13个6；[62]7=====，共15个7；[79]8=====，共17个8；[98]9=====，共19个9.S= (++)+(++++)+…+([99]++)= 1×3+2×5+3×7+4×9+5×11+6×13+7×15+8×17+9×19=615． 因为242=576＜615=S ＜625=252，即2425，所以，．2．确定(201721log 2017×201741log 2017×201781log 2017×2017161log 2017×2017321log 2017)15的值．答：8． 解：原式=(20172017log 2×20172017log 4×20172017log 8×20172017log 16×20172017log 32)15=(2×4×8×16×32)15= (21×22×23×24×25)15=(21+2+3+4+5)15=(215)15=23=8．3．已知△ABC 的边AB厘米，BCCA 厘米，求△ABC 的面积． 答：9.5平方厘米．解：注意到13=32+22，29=52+22，34=52+32，作边长为5厘米的正方形AMNP ，分成25个1平方厘米的正方形网格，如图．根据勾股定理，可知，AB厘米，BCCA 因此△ABC 的面积可求．△ABC 的面积=5×5−12×3×5−12×2×5−12×2×3=9.5（平方厘米）．4. 设函数()f x =的最大值为M ，最小值为N ，试确定M +N的值．答：2．解：由已知得22)()11x x f x x ++=++因为)())(())]x x x x ++-=-- =22ln(()1())ln10x x -+--==，所以()))x x +-=-，NA MBP因此，)x是奇函数．进而可判定，函数()g x=为奇函数．则g(x)的最大值M1和最小值N1满足M1+N1= 0．因为M =M1+1，N = N1+1，所以M + N = 2．5．设A是数集{1, 2, …, 2017}的n元子集，且A中的任意两个数既不互质，又不存在整除关系，确定n的最大值．答：504．解：在数集{1, 2, …, 2017}中选取子集，使得子集中任意两个数不互质，最大的子集是偶数集{2, 4, …, 2016}共1008个元素，但其中，有的元素满足整除关系，由于1010的2倍是2020，所以集合A={1010, 1012, 1014, …, 2016}中，任意两个数既不互质，又不存在整除关系，A中恰有504个元素．事实上504是n的最大值．因为若从{1009, 1011, …, 2017}中任取一个奇数，会与A中的与它相邻的偶数互质；若从{1, 2, 3, …, 1008}中任取一数，则它的2倍在A中，存在整除关系．6．如图，以长为4厘米的线段AB的中点O为圆心、2厘米为半径画圆，交AB的中垂线于点E和F. 再分别以A、B为圆心，4厘米为半径画圆弧交射线AE于点C，交射线BE于点D. 再以E为圆心DE为半径画圆弧DC，求这4条实曲线弧连接成的“卵形”AFBCDA的面积．（圆周率用π表示，不取近似值）答：(12−)π−4平方厘米．解：半圆(O, 2)的面积=12π×22=2π．因为AO=OB=2，所以AB=AC=BD=4，AE=BE，ED=EC=4−．又∠AEB=∠CED=90°，∠EAB =∠EBA=45°，因此，扇形BAD的面积=扇形ACB的面积=18π×42=2π，△AEB的面积=12×4×2=4，直角扇形EDC的面积=14π(4−)2= 6π−π，卵形AFBCDA的面积 = 半圆(O, 2)的面积+扇形BAD的面积+扇形ACB的面积−△AEB的面积+直角扇形EDC的面积= 2π+2×2π−4+6π−π= (12−)π−4（平方厘米）．BFADCEO7. 已知22()1005000x f x x x =-+，求f (1)+f (2)+…+f (100)的值．答：101．解：设g (x ) = x 2−100x +5000，则g (100−x ) = (100−x )2−100(100−x )+5000=1002−200x +x 2−1002+100x +5000= x 2−100x +5000= g (x )，即 g (k ) = g (100−k )．所以 f (k ) + f (100−k ) =22(100)()(100)k k g k g k -+- =22(100)()k k g k +-=2， 又 f (50) =2250=150100505000-⨯+， f (100)22100==2.1001001005000-⨯+ 所以， f (1)+ f (2)+…+ f (100)= (f (1)+ f (99))+ (f (2)+ f (98))+…+ (f (49)+ f (51))+ f (50)+ f (100) = 2×49+1+2=101．8．如图，在锐角△ABC 中，AC = BC = 10，D 是边AB 上一点，△ACD 的内切圆和△BCD 的与BD 边相切的旁切圆的半径都等于2，求AB 的长．答：解：线段AB 被两圆与AB 的切点及点D 分成四段，由于两圆半径相等，再根据切线长定理，可知中间两段相等，于是可将这四段线段长度分别记为a , b , b , c ，由于圆O 2的切线长CE = CG ，所以BC +a = CD +b = (AC −c +b )+b ，而AC = BC ，所以a +c = 2b ．由等角关系可得△AO 1F ∽△O 2BE ，得12OF B E A F OE =，即22ac =，由此推出ac = 4． 分别计算△BCD 和△ACD 的面积： 12(),2BCD S BC CD BD ∆=⨯+-12()2ACD S AC CD AD ∆=⨯++ 所以24ACD BCD S S AD BD AB a c b b ∆∆-=+==++=. ①又设由C 引向AB 的高为h ，可得1()2ACD BCD S S c a h ∆∆-=-=②由①、②两式可得4b =将a +c = 2b ，ac = 4代入，化简得42251000b b -+=DA CBD A CB E G FO 1 O 2 · a b b c·解得b2=5或b2=20，即b b ，（负根舍）．于是，AB = a+c+2b = 4b AB ．若AB ，△ABC为钝角三角形，不合题设△ABC是锐角三角形的要求．所以AB的长为．。
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2017高一数学竞赛试题
导读：我根据大家的需要整理了一份关于《2017高一数学竞赛试题》的内容，具体内容：在我们的学习生活中，考试试卷的练习是我们的重要学习方式，我们应该认真地对待每一份试卷!下面是有我为你整理的2017高一数学竞赛试题，希望能够帮助到你!一、选择题：(本大...
在我们的学习生活中，考试试卷的练习是我们的重要学习方式，我们应该认真地对待每一份试卷!下面是有我为你整理的2017高一数学竞赛试题，希望能够帮助到你!
一、选择题：(本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)
1.已知 , 为集合I的非空真子集，且 , 不相等，若，则
( )
A. B. C. D.
2.与直线的斜率相等，且过点(-4,3)的直线方程为 ()
A. = 32
B. =32
C. =32
D. =-32
3. 已知过点和的直线的斜率为1，则实数的值为 ( )
A.1
B.2
C.1或4
D.1或2
4. 已知圆锥的表面积为6 ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为 ( )
A. B.2 C. D.
5. 在空间中，给出下面四个命题，则其中正确命题的个数为 ()
①过平面外的两点，有且只有一个平面与平面垂直;
②若平面内有不共线三点到平面的距离都相等，则∥;
③若直线l与平面内的无数条直线垂直，则l;
④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两平行线;
A.3
B.2
C.1
D.0
6. 已知函数定义域是，则函数的定义域是 ( )
A. B. C. D.
7. 直线在同一坐标系中的图形大致是图中的 ( )
8. 设甲，乙两个圆柱的底面面积分别为，体积为，若它们的侧面积相等且，则的值是 ( )
A. B. C. D.
9.设函数，如果，则的取值范围是 ( )
A. 或
B.
C.
D. 或
10.已知函数没有零点，则实数的取值范围是 ()
A. B. C. D.
11.定义在R上的偶函数满足：对任意的，有 .则 ( )
A. B.
C. D.
12. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各个面中，直角三角形的个数是 ( )
A.1
B.2
C.3
D.
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)..
13.已知增函数，且，则的零点的个数为
14. 已知在定义域上是增函数，则的取值范围是
15. 直线恒过定点
16. 高为的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为
三、解答题(17题10,其余每题12分)
17.已知一个空间组合体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，请说出该组合体由哪些几何体组成，并且求出该组合体的表面积和体积
18.已知偶函数的定义域为 ,且在上是增函数，试比较与的大小。
19. 已知方程 + +6- =0( ).
(1)求该方程表示一条直线的条件;
(2)当为何实数时，方程表示的直线斜率不存在?求出这时的直线方程;
(3)已知方程表示的直线在轴上的截距为 -3，求实数的值;
20. 已知函数，判断函数的奇偶性，单调性，并且求出值域
21. 如图，长方体﹣中，，， ,点分别在上， .过点的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.
(1)在图中画出这个正方形(说明画法和理由)
(2)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.
22. 如图，三棱锥P-A BC中，平面PAC 平面ABC， ABC= ，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F在线段AB上，且EF//面PBC.
(1)证明：EF// BC.
(2)证明：AB 平面PFE.
(3)若四棱锥P-DFBC的体积为7，求线段BC的长.
答案
一、ACACD,BCBDA,DB
13、1个 14、 15、(-2,3) 16、1
17、解：解：由一个半球和一个圆柱组成的...2分
表面积是： ...6分
体积是： ... 10分
18、解： ...5分
因为函数为偶函数，且在上是增函数，所以在是减函数...8分
所以 ...12分
19、解：解：(1)当x，y的系数不同时为零时，方程表示一条直线，令m2―2m―3=0，解得m=-1或m=3;
令2m2+m-1=0，解得m=-1或m= .
所以方程表示一条直线的条件是mR，且m-1....4分
(2)由(1)易知，当m= 时，方程表示的直线的斜率不存在，此时的方程为x= ，它表示一条垂直于轴的直线 (8)
(3)依题意，有 =-3，所以3m2-4m-15=0.所以m=3，或m=- ，由(1)知所求m=- ....12分
20、解：函数的定义域是，...2分
因为，所以函数是奇函数。
...4分，设，则
当时，，所以，所以在上是减函数;...8分
当时，，所以，所以在上也是减函数。
由，，所以或 ...12分
21、解：
(Ⅰ)交线围成的正方形EHGF如图：在面ABCD中做HG平行于BC,连接EH,FG且HB=GC=6，则E F平行且等于HG，所以四边形EFGH是平行四边形，EF平行于 ,所以EF垂直面 ,所以EF垂直于EH,且经过计算可知EH=FG=10，所以EFGH是正方形...6分
(Ⅱ)作EMAB,垂足为M，则AM= A1E=4，EB1=12，EM=AA1=8.
因为EHGF为正方形，所以EH=EF=BC=10.于是MH= .
因为长方体被平面分为两个高为10的直棱柱，
所以其体积的比值为 ( 也正确)...12分
22、(1)证明： EF//面PBC.EF 面ABC, 面PBC 面ABC=BC,
所以根据线面平行的性质可知EF// BC. ...4分
(2)由DE=EC,PD=PC可知：E为等腰 PDC中D C边的中点，
故PE AC,又平面PAC 平面ABC，
平面PAC 面ABC=AC,PE 平面PAC, PE AC,
所以PE 平面ABC，
所以PE AB,因为 ABC= ，EF// BC.所以AB EF
所以AB 面PEF...8分
(3)设BC= ，在直角三角形ABC中，AB= ，，EF// BC知 AFE相似于 ABC，所以
由AD= AE, ，
从而四边形DFBC的面积为，
由(2)可知PE是四棱锥P-DFBC的高，PE= ，
所以V=所以，所以或者，
所以BC=3或BC= ...12分。