2018年上海市高三数学竞赛试题
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2018年上海市高三数学竞赛试题
2018年上海市高三数学竞赛试题
时间:2小时,满分:120分 姓名
一、填空题(本大题满分60分,前4小题每小题7分,后4小题每小题8分)
1.集合22{(,)100,x y x y +≤且,}x y Z ∈的元素个数是 .
2.设函数()f x 是R R →的函数,满足对一切R x ∈,都有()(2)2f x xf x +-=,则()f x 的解析式为()f x = .
3.已知椭圆2222
1(0)x y a b a b +=>>,F 为椭圆的右焦点,AB 为过中心O 的弦,则ABF ∆面积的最大值为 .
4.设集合111111{,,,,,}2711131532A =的非空子集为1263
,,,A A A ,记集合i A 中的所有元素的积为(1,2,,63)i p i =(单元数集的元素积是这个元素本身),则1263p p p +++= .
5.已知一个等腰三角形的底边长为3,则它的一条底角的角平分线长的取值范围是 .
6.设实数,,a b c 满足2221a b c ++=,记ab bc ca ++的最大值和最小值分别为M 和m ,则M m -= .
7.在三棱锥P ABC -中,已知3,1,2AB AC PB PC ====则22ABC PBC S S ∆∆+的取值范围是 .
8.在平面直角坐标系xoy 中,有2018个圆:⊙1A ,⊙2A ,…,⊙2018A 其中⊙k A 的圆心为2
1(,)4k k k
A a a ,半径为2
1
(1,2,,2018)4k a k =,这里12201812018a
a a >>>=,且⊙k A 与⊙1k A +外切(1,2,,2017)k =,则1
a = .
11.设,,,
a b c d是实数,求
2222
+++++++++++++的最小值.
a b c d ab ac ad bc bd cd a b c d
12.设n为给定的正整数,考虑平面直角坐标系xoy
中的点集{(,),,}
==≤∈对T中的两点,P Q,当
T x y x y n x y Z
且仅当2
PQ=PQ与两条坐标轴之一平行时,称
,P Q是“相邻的”,将T中的每个点染上红、蓝、绿三种颜色之一,要求任意两个相邻点被染不同的颜色,求染色方式的数目.