图形与证明热点试题

6．B。
【解析】寻找规律：∵等腰直角三角形OAB中，∠A=∠B=450，
∴△AA1C1和△BB1D1都是等腰直角三角形。∴AC1=A1C1，BD1=B1D1。
又∵正方形A1B1C1D1中，A1C1=C1D1=B1D1=A1B1，∴AC1=C1D1=D1B。
又∵AB=1，∴C1D1= ，即正方形A1B1C1D1的边长为 。
参考答案
1．B。
【解析】过点E作EM⊥BC于M，交BF于N。
∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC，
∵∠EMB=90°，∴四边形ABME是矩形。∴AE=BM，
由折叠的性质得：AE=GE，∠EGN=∠A=90°，∴EG=BM。
∵∠ENG=∠BNM，∴△ENG≌△BNM（AAS）。∴NG=NM。
6．如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中，作接正方形A1B1C1D1；在等腰直角三角形OA1B1中，作接正方形A2B2C2D2；在等腰直角三角形OA2B2中，作接正方形A3B3C3D3；……；依次作下去，则第n个正方形AnBnCnDn的边长是【 】
（A） （B） （C） （D）
7．已知⊙O的直径等于12cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的交点个数为【 】
∵对角线AC、BD相交于O点，∴BO=DO。
又∵E是AD的中点，∴OE是△ABD的中位线。∴OE= AB= ×6=3（cm）。故选A。
3．C。
【解析】∵正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，
∴AB=BC=CD=AD，OA=OB=OC=OD，四个角都是直角，AC⊥BD。
∴图中的等腰直角三角形有△AOB、△AOD、△COD、△BOC、△ABC、△BCD、△ACD、△BDA八个。故选C。
14．如图，菱形ABCD的边长为8cm，∠A=60°，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则四边形BEDF的面积为_cm2.
15．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，且AB⊥AE．若AB=5，AE=6，则梯形上下底之和为．
16．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC，点E是BC的中点，且DE∥AB，
20．如图1，正方形OCDE的边长为1，阴影部分的面积记作S1；如图2，最大圆半径r=1，阴影部分的面积记作S2，则S1S2（用“>”、“<”或“=”填空）.
21．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，以其三边为直径向三角形外作三个半圆，矩形EFGH的各边分别与半圆相切且平行于AB或BC，则矩形EFGH的周长是．
设BE=x．
∵∠BCD=60°，tan∠BCE ，
，
在直角△ABE中，AE= ，AC=50米，
则 ，
解得
即小岛B到公路l的距离为 ，
故选B。
13． 。
【解析】寻找规律：由已知△ABC的周长是32，以它的三边中点为顶点组成第2个三角形，根据三角形中位线定理，第2个三角形的周长为32× ；
同理，第3个三角形的周长为32× × =32× ；
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
8．一个圆锥的三视图如图所示，则此圆锥的底面积为【 】
A．30πcm2B．25πcm2C．50πcm2D．100πcm2
9．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=【 】
A．20° B．40° C．50° D．80°
10．如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种侧面展开图，那么在原正方体的表面上，与汉字“美”相对的面上的汉字是【 】
∵AD∥BC，∴∠DAE=∠BGF。
∵DE⊥AG，BF⊥AG，∴∠AED=∠GFB=90°。∴△BGF∽△DAE。故结论C正确。
由△ABF∽△AGB得 ，即 。
由勾股定理得， 。
∴
。
∵ （只有当∠BAG=300时才相等，由于G是的任意一点，∠BAG=300不一定），
∴ 不一定等于 ，即DE﹣BG=FG不一定成立。故结论D不正确。故选D。
A.3cmB.4cmC.2.5cmD.2cm
3．如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰直角三角形有【 】
A．4个 B．6个 C．8个 D．10个
4．如图，ABCD是正方形，G是BCபைடு நூலகம்（除端点外）的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于点F．下列结论不一定成立的是【 】
26．极具特色的“八卦楼”(又称“威镇阁”)是的标志性建筑，它建立在一座平台上．为了测量“八卦楼”的高度AB，小华在D处用高1.1米的测角仪CD，测得楼的顶端A的仰角为22o；再向前走63米到达F处，又测得楼的顶端A的仰角为39o(如图是他设计的平面示意图)．已知平台的高度BH约为13米，请你求出“八卦楼”的高度约多少米?
图形与证明
一、选择题
1．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为【 】
A． B． C． D．
2．如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于【 】
A．△AED≌△BFA B．DE﹣BF=EF C．△BGF∽△DAE D．DE﹣BG=FG
5．如图,已知正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AB、BC上，且AE=BF=1，CE、DF交于点O.下列结论：①∠DOC=90° ,②OC=OE，③tan∠OCD = ，④ 中，正确的有【 】
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
则∠BCD的度数是
17．已知：如图，在⊙O中，C在圆周上，∠ACB=45°，则∠AOB=．
18．如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为．
19．如图，⊙O的半径为6cm，直线AB是⊙O的切线，切点为点B，弦BC∥AO，若∠A=30°，则劣弧 的长为cm．
9．D。
【解析】∵弦AB∥CD，∴∠ABC=∠BCD（两直线平行，错角相等）
又∵∠ABC=40°，∴∠BOD=2∠ABC=2×40°=80°（同圆所对圆周角是圆心角的一半）。故选D。
10．C。
【解析】根据正方体及其表面展开图的特点，让“美”字面不动，分别把各个面围绕该面折成正方体，其中面“美”与面“枣”相对，面“爱”与面“丽”相对，面“我”与面“庄”相对。故选C。
(参考数据：sin22o≈ ，tan220≈ ，sin39o≈ ，tan39o≈ )
27．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC=2AD，EA=ED=2，AC与ED相交于点F．
（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；
（2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．
（1）猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；
（2）求线段BD的长．
25．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，三角形ABC的顶点均落在格点上．
（1）将△ABC绕点O顺时针旋转90°后，得到△A1B1C1．在网格中画出△A1B1C1；
（2）求线段OA在旋转过程中扫过的图形面积；（结果保留π）
（3）求∠BCC1的正切值．
三、解答题
22．如图，AF=DC，BC∥EF，请只补充一个条件，使得△ABC≌△DEF，并说明理由．
23．如图，已知AB＝CD，∠B＝∠C，AC和BD交于点O，E是AD的中点，连接OE．
(1)求证：△AOD≌△DOC；
(2)求∠AEO的度数．
24．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使B点与C点重合，得到△DCE，连接BD，交AC于F．
4．D
【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，AD∥BC，
∵DE⊥AG，BF∥DE，∴BF⊥AG。∴∠AED=∠DEF=∠BFE=90°。
∵∠BAF+∠DAE=90°，∠DAE+∠ADE=90°，∴∠BAF=∠ADE。
∴△AED≌△BFA（AAS）。故结论A正确。
∴DE=AF，AE=BF，∴DE﹣BF=AF﹣AE=EF。故结论B正确。
∴△ABD和△BCD是等边三角形。
由DE⊥AB，DF⊥BC，根据等边三角形三线合一的性质，
得AE=BE=BF=CF。
∴△ADE、△BDE、△BDF和△CDF全等。∴四边形BEDF的面积=△ABD的面积。
∵E是AD的中点，CM=DE，∴AE=ED=BM=CM。
∵EM∥CD，∴BN：NF=BM：CM。∴BN=NF。∴NM= CF= 。∴NG= 。
∵BG=AB=CD=CF+DF=3，∴BN=BG﹣NG=3﹣ 。∴BF=2BN=5
∴ 。故选B。
2．A。
【解析】∵菱形ABCD的周长为24cm，∴边长AB=24÷4=6cm。
28．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD. (1)求证：BD平分∠ABC；
(2) 当∠ODB=30°时，求证：BC=OD.
29．如图，已知AD为⊙O的直径，B为AD延长线上一点，BC与⊙O切于C点，∠A=30°．
求证：（1）BD=CD；（2）△AOC≌△CDB．
11．B。
【解析】将A、B、C、D分别展开，能和原图相对应的即为正确答案：
A、展开得到，不能和原图相对应，故本选项错误；
B、展开得到，能和原图相对，故本选项正确；
C、展开得到，不能和原图相对应，故本选项错误；
D、展开得到，不能和原图相对应，故本选项错误。
故选B。
12．B
【解析】解：过点B作BE⊥AD于E．
根据题意，得该圆的半径是6cm，即大于圆心到直线的距离5cm，则直线和圆相交，故直线l与⊙O的交点个数为2。故选C。
8．B。
【解析】根据主视图与左视图可以得到：圆锥的底面直径是10cm，利用圆的面积公式即可求解：
根据主视图与左视图可以得到：圆锥的底面直径是10cm，则底面半径是5cm。
则此圆锥的底面积为：π·52=25πcm2。故选B。
∴∠DOC=90°。故①正确。
如图，
若OC=OE，∵DF⊥EC，∴CD=DE。
∵CD=AD＜DE（矛盾），故②错误。
∵∠OCD+∠CDF=90°，∠CDF+∠DFC=90°，∴∠OCD=∠DFC。
∴tan∠OCD=tan∠DFC= 。故③正确。
∵△EBC≌△FCD，∴S△EBC=S△FCD。
∴S△EBC－S△FOC=S△FCD－S－，即S△ODC=S四边形BEOF。故④正确。故选C。
同理，正方形A2B2C2D2的边长为 ，正方形A3B3C3D3的边长为 ，……正方形AnBnCnDn的边长为 。故选B。
7．C。
【解析】首先求得该圆的半径，再根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行分析判断．若d＜r，则直线与圆相交，直线与圆相交有两个交点；若d=r，则直线于圆相切，直线与圆相交有一个交点；若d＞r，则直线与圆相离，直线与圆相交没有交点：
A．我B．爱 C．枣D．庄
11．如图给定的是纸盒的外表面，下面能由它折叠而成的是【 】
A、 B、 C、 D、
12．如图，小明要测量河小岛B到河边公路l的距离，在A点测得 ，在C点测得 ，又测得 米，则小岛B到公路l的距离为【 】米．
A．25B． C． D．
二、填空题
13．如图，△ABC的周长是32，以它的三边中点为顶点组成第2个三角形，再以第2个三角形的三边中点为顶点组成的第3个三角形，…，则第n个三角形的周长为．
5．C。
【解析】∵正方形ABCD的边长为4，∴BC=CD=4，∠B=∠DCF=90°。
∵AE=BF=1，∴BE=CF=4－1=3。
在△EBC和△FCD中，∵BC=CD，∠B=∠DCF，BE=CF，∴△EBC≌△FCD（SAS）。
∴∠CFD=∠BEC。∴∠BCE+∠BEC=∠BCE+∠CFD=90°。
30．如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．
（1）求证：直线PA为⊙O的切线；
（2）试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明；
（3）若BC=6，tan∠F= ，求cos∠ACB的值和线段PE的长．
第4个三角形的周长为32× × =32× ；
…
∴第n个三角形的周长为=32× 。
14． 。
【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【解析】如图，连接BD，
根据菱形四边相等和对角相等的性质，得AB=AD=CB=CD，∠C=∠A=60°，