第一章图形与证明(二)综合测试题(苏科版九年级上)

“图形与证明（二）”综合测试题

1．如图1，菱形ABCD 中，AE 垂直平分BC ，垂足为E ，AB=4．则菱形ABCD 的面积是 ，对角线

BD 的长是 ． 2．如图2，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠C AB ，BC=8cm ，BD=5cm ，，那么D 点到直线AB 的距离是 cm ．

3．如图3，有一张面积为1的正方形纸片ABCD ，M ，N 分别是AD ，BC 边的中点，将C 点折叠至MN 上，落在P 点的位置，折痕为BQ ，连结PQ ，则PQ= ．

4．如图4，若将边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30︒到正方形AB C D '''，则图中阴影部分的面积为 ．

5．如图5，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 是线段AD 上的一个动点(E 与A 、D 不重合)，G 、F 、H 分别是BE 、BC 、CE 的中点．

（1）试探索四边形EGFH 的形状，并说明理由．

（2）当点E 运动到什么位置时，四边形EGFH 是 菱形?并加以证明．

（3）若（2）中的菱形EGFH

四、创新题

6．我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形．请解答下列问题：

（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称．

（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并说明你的结论．

B

图1 B 图2

Ｍ

Ｄ Ｑ

Ｂ 图3 D 'C 图4

9．将n 个边长都为lcm 的正方形按如图所示的方法摆放，点A 1，A 2，……，A n 分别是正方形的中心，则n 个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为

10．如图，O 为矩形ABCD 的中心，将直角三角板的直角顶点与O 点重合，转动三角板使两直角边始终与BC 、AB 相交，交点分别为M 、N ．如果AB =8，AD =12，O M =x ,ON=y 则 y 与x 的关系是

11.如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长6和8，点P 是对角线AC 上的一个动点，点M 、 N 分别是边AB 、BC 的中点，则PM +PN 的最小值是_____________.

12． 如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点P 在AB 上从A 向B 运动，连接DP 交AC 于点Q . （1）试证明：无论点P 运动到AB 上何处时，都有△ADQ ≌△ABQ ；

（2）若点P 从点A 运动到点B ，再继续在BC 上运动到点C ，在整个运动过程中，当点P 运动到什么位

置时，△ADQ 恰为等腰三角形.

N

O

A

B

D

C

M

第

14

题

13.情境观察：将矩形ABCD 纸片沿对角线AC 剪开，得到△ABC 和△A′C ′D ，如图1所示.将△A′C ′D 的顶点A′与点A 重合，并绕点A 按逆时针方向旋转，使点D 、A (A′)、B 在同一条直线上，如图2所示．观察图2可知：与BC 相等的线段是 ，∠CAC ′=

问题探究

如图3，△ABC 中，AG ⊥BC 于点G ，以A 为直角顶点，分别以AB 、AC 为直角边，向△ABC 外作等腰Rt △ABE 和等腰Rt △ACF ，过点E 、F 作射线GA 的垂线，垂足分别为P 、Q . 试探究EP 与FQ 之间的数量关系，并证明你的结论.

拓展延伸

如图4，△ABC 中，AG ⊥BC 于点G ，分别以AB 、AC 为一边向△ABC 外作矩形ABME 和矩形ACNF ，射线GA 交EF 于点H . 若AB =k AE ，AC =k AF ，试探究HE 与HF 之间的数量关系，并说明理由.

图3

A

B

C

E

F

G

P Q 图1 图2

C'A'B

A

D

C

A

B

C

D

B

C

D

A (A')

C'

图4

M N

G

F

E

C

B

A

H

14.如图①，将直角梯形OABC放在平面直角坐标系中，已知OA＝5，OC＝4，BC∥OA，

BC＝3，点E在OA上，且OE＝1，连结OB、BE．

(1)求证：∠OBC＝∠ABE;

(2)如图②，过点B作BD⊥x轴于D，点P在直线BD上运动，连结PC、P、PA和CE．

①当△PCE的周长最短时，求点P的坐标；

②如果点P在x轴上方，且满足S△CEP：S△ABP＝2：1，求DP的长．

15在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC 的两顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，点O 在原点.现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，当A 点第一次落在直线y=x 上时停止旋转，旋转过程中，AB 边交直线y=x 于点M ，BC 边交x 轴于点N （如图）. （1）求边OA 在旋转过程中所扫过的面积；

（2）旋转过程中，当MN 和AC 平行时，求正方形OABC 旋转的度数； （3）试证明在旋转过程中, △MNO 的边MN 上的高为定值；

（4）设△MBN 的周长为p ，在旋转过程中，p 值是否发生变化？若发生变化，说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求出p 的值。

y

x

y=x N

M

O

C

B

A