柱面锥面二次曲线
(整理)柱面锥面旋转曲面与二次曲面
第4章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面§ 4.1柱面1、已知柱面的准线为：⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 且（1）母线平行于x 轴；（2）母线平行于直线c z y x ==,，试求这些柱面的方程。
解：（1）从方程⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 中消去x ，得到：25)2()3()3(222=-+++--z y y z 即：0235622=----+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。
（2）取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 且平行于直线⎩⎨⎧==c z yx 的直线方程为：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=z z t y y tx x zz t y y tx x 000000 而0M 在准线上，所以⎩⎨⎧=+--+=-++-+--02225)2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去t 后得到：02688823222=--+--++z y x xy z y x 此即为要求的柱面方程。
2、设柱面的准线为⎩⎨⎧=+=z x z y x 222，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。
解：由题意知：母线平行于矢量{}2,0,1- 任取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 的母线方程为：⎪⎩⎪⎨⎧+==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z z yy tx x tz z y y tx x 2200000而0M 在准线上，所以：⎩⎨⎧+=-++=-)2(2)2(22t z t x t z y t x 消去t ，得到：010*******22=--+++z x xz z y x 此即为所求的方程。
3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。
解：过原点且垂直于已知三直线的平面为0=++z y x ：它与已知直线的交点为())34,31,31(),1,0,1(,0,0,0--，这三点所定的在平面0=++z y x 上的圆的圆心为)1513,1511,152(0--M ，圆的方程为： ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-++++07598)1513()1511()152(222z y x z y x 此即为欲求的圆柱面的准线。
3.1柱面、锥面和旋转曲面PPT课件
已知柱面的准线为 (u) x(u), y(u), z(u)
母线的方向平行于矢量 S X ,Y, Z
柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：
x x(u) Xv
x
Y (u)
vS
与
y
y(u)
Yv
z z(u) Zv
式中的 u, v 为参数.
-
7
2） 柱面的一般方程
设柱面的准线的方程为
而母线的方向数是－1，0，1，求这柱面的方程.
解 设 M 1(x1, y1, z1) 是准线上的点，那么过 M 1(x1, y1, z1)
的母线为
xx yy zz
1
1
1
1 0
1
且有
x12 y12 z12 1
（4）
2 x12
2 -
y12
z12
2
（5）
15
x x1 y y1 z z1
1 0
1,
z c.
zc
这是平面上的一个椭圆
O
y
• 因此,这个锥面又常常被称为椭圆锥x 面.
-
35
3.1.3 旋转曲面
定义. 一条曲线C一条定直线旋转一周所形成 的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转轴 .
例如 :
-
36
1、旋转曲面的有关概念
Ⅰ 母线上任意一点绕旋转轴 l 旋转的轨迹是一个圆，称为旋转面的纬圆或纬线 Ⅱ 以旋转轴 l 为边界的半平面与旋转面的交线称为旋转面的经线
说明：
ⅰ纬圆也可看作垂直于旋转轴 l 的平面与旋转面的交线
ⅱ 任一经线都可以作为母线，但母线不一定是经线.
如:单叶旋转双曲面的母线是双曲线或直线;而经线是双曲
4.1柱面
0 4 4 1 1 0 1 2 2 2 2 1
2 2
2
2 2 (1) 2 22
117 . 3
现设 P( x, y, z ) 为圆柱面上的任意点,那么 即
y 1 z 3 z 3 x 1 x 1 y 1 1 2 2 2 2 1
.
圆柱面的参数方程:
与上一节介绍的球面的参数方程一样,母线平行于轴 的圆柱面的参数方程在计算机绘图及数学分析课中 的重积分计算等应用上也是非常有效的. 在圆柱面的轴上任取一点作为坐标原点,轴的方向平 行于z轴建立直角坐标系. 设圆柱面上任一点到轴线 的距离为常数r, P( x, y, z )是圆柱面上任意一点,过P的 母线与准线圆交于M,那么 OP OM MP (r cos )i (r sin ) j uk .
故得圆柱面的参数方程是：
x r cos , y r sin , z u.
z
x
P u O r M
y
其中 , u 为参数, 0 , u
f ( x, y ) 0, z 0.
设 P( x, y, z ) 是柱面上的任意一点,过点P的母线与准线的交点为 M ( x1 , y1 , z1 ).那么 x x1 0,
y y 0, 1 z z1 u , f ( x , y ) 0, 1 1 z1 0.
2 2 2
AP d.
2 2 (1) 2 22
117 . 3
化简得所求圆柱面的方程为：
二次曲面
解析几何第四版复习重点第四章柱面锥面旋转面与二次曲面
第四章柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面§ 4.1柱面2、设柱面的准线为⎩⎨⎧=+=z x z y x 222，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。
解：由题意知：母线平行于矢量{}2,0,1- 任取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 的母线方程为：⎪⎩⎪⎨⎧+==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z z yy tx x tz z y y t x x 22000000 而0M 在准线上，所以：⎩⎨⎧+=-++=-)2(2)2(22t z t x t z y t x 消去t ，得到：010*******22=--+++z x xz z y x 此即为所求的方程。
3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。
解：过原点且垂直于已知三直线的平面为0=++z y x ：它与已知直线的交点为())34,31,31(),1,0,1(,0,0,0--，这三点所定的在平面0=++z y x 上的圆的圆心为)1513,1511,152(0--M ，圆的方程为： ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-++++07598)1513()1511()152(222z y x z y x 此即为欲求的圆柱面的准线。
又过准线上一点),,(1111z y x M ，且方向为{}1,1,1的直线方程为： ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=t z z t y y tx x tz z t y y t x x 111111 将此式代入准线方程，并消去t 得到：013112)(5222=-++---++z y x zx yz xy z y x§ 4.2锥面2、已知锥面的顶点为)2,1,3(--，准线为0,1222=+-=-+z y x z y x ，试求它的方程。
解：设),,(z y x M 为要求的锥面上任一点，它与顶点的连线为：221133++=++=--z Z y Y x X 令它与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使⎪⎩⎪⎨⎧++-=++-=-+=t z Z t y Y t x X )2(2)!(1)3(3000 将它们代入准线方程，并消去t 得：044441026753222=+-+-+--+-z y x xz yz xy z y x此为要求的锥面方程。
空间曲面与曲线 (2)
得到一组交线称为截口曲线（简称截口）。
通过这组平行平面上的截口（简称为平行截口）
的形状来分析曲面的大体形状，这种方法称为
截割法。
用平行于xOy坐标平面z=h(|h|≤c)截椭球面，截
口为
x2 y2
h2
a2
b2
1
c2
z h
30
当|h|=c时，截口是平面z=h上的一个点(0,0,c)或
c h2 b2 b
虚半轴平行于x轴，虚半轴长为
a h2 b2 b
它的顶点 0,h, c h2 b2
(0,0,-c);
当|h|<c时，截口是一椭圆，它的两半轴分别为
a
1
h2 c2
及b
h2 1 c2
它的两轴的端点分别是
a
1
h2 c2
,0,
h
与
0,b
1
h2 c2
,
h
31
椭球面的参数方程
x a cos cos
y z
b cos sin c sin
空间曲面与空间曲线
1. 球面 2.柱面 3.锥面 4.旋转曲面 5.二次曲面： 一、椭球面 6. 空间曲线
二、双曲面
三、抛物面
1
1. 球面
到定点P0 (x0 , y0 , z0 )的距离等于定长 r的点的轨迹叫球面 . 则球面方程是 (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 r 2 , r是半径, P0 (x0 , y0 , z0 )是球心. 一般方程: x 2 y 2 z 2 Ax By Cz D,即
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
主要内容 1、柱面 、 2、锥面 、 3、旋转曲面 、 4、椭球面 、 5、双曲面 、 6、抛物面 、
第一节
柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 所形成的曲面称为柱面. 叫柱面的准线 准线， 这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线 L 叫 柱面的母线 母线. 柱面的母线 F1 ( x , y , z ) = 0 设柱面的准线为 F ( x , y , z ) = 0 (1) 2 母线的方向数为X,Y,Z。如果 1(x1,y1,z1)为准线 母线的方向数为 。如果M 为准线 上一点，则过点M 上一点，则过点 1的母线方程为 x − x1 y − y1 z − z1 = = (2) X Y Z
z = ay
z
z = a(± x 2 + y 2 )
y x
平方得: z2 = a2 ( x2 + y2 ) 该旋转曲面叫做圆锥面, 其顶点在原点.
将下列各曲线绕对应的轴旋转一周， 例3 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程． 生成的旋转曲面的方程．
x z （1）双曲线 2 − 2 = 1分别绕 x 轴和 z 轴； ） a c
第三节 旋转曲面
一、. 旋转曲面 1、 定义 以一条平面曲线 绕其平面上的一 、 定义: 以一条平面曲线C绕其平面上的一 条直线旋转一周所成的曲面叫做旋 条直线旋转一周所成的曲面叫做 旋 转曲面, 这条定直线叫旋转曲面的 转曲面 轴. 曲线C称为放置曲面的母线 曲线 称为放置曲面的母线 称为放置曲面的 纬线
即
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) = 0 绕z 轴旋
转一周的旋转曲面方程 转一周的旋转曲面方程. 旋转曲面方程
4.1,4.2柱面和锥面
(6) 直线的射影式方程
X X z ( x0 z0 ) 表示的平面平行于oy轴 Z Z 在直角坐标系下又垂直 与坐标面xoz Y Y 方程 y z ( y0 z0 ) 表示的平面平行于ox轴 Z Z 在直角坐标系下又垂直 与坐标面 yoz
直线向坐标面所引的射影平面
x y a ① 例 画出 C : 2 2 x y 2 z 2 2a 2 ②
首先证: 以原点为顶点的锥面方程是 x , y , z 的齐次方程. 设锥面的准线为 C
D0
z
推论 关于 x x0 , y y0 , z z0 的齐次方程表示顶点在 ( x0 , y0 , z0 )的锥面.
F ( x, y, z ) 0 C : Ax By Cz D 0 O M ( x, y, z ) x y z 1 x1 y1 z1 t F ( x1 , y1 , z1 ) 0
为所求柱面方程
4 x 2z y 2 2 x z 5 5
2
M0 ( x0 , y0 , z0 )
C
l 考虑方程 F ( x , y ) 0 在 x y 平面上 它一般表示一条曲线C.
z
M ( x, y, z )
在空间直角坐标系中,以C为准线, 作母线平行于z轴的柱面Σ. 空间中任一点 M ( x , y , z ) M 在 x y平面上的投影为M1 ( x , y ,0)
三元方程中,如果不含z: F ( x , y ) 0 则它一定表示一个 母线平行于z轴的柱面. 反之,任何一个母线平行于z 轴的柱面, 它的方程中 一定不含z.
z
o x
y
证 设Σ是一个母线平行于z轴的柱面,
柱面锥面二次曲线
(a
x2 1 h2
y2
c2 )2 (b 1 h2
zh
1 c2 )2
无论h取何值，此方程组总表示在平面: z h
上的椭圆，它的两半轴为：a 1 h2 c2 与b 1 h2 c2
此时椭圆的两轴端点（± a 1 h2 c2 ，0， h）与
（0， ±b 1 h2 c2 ， h）分别在两条主截线（双
曲线）上，且所在平面与腰椭圆平行.
所表示的曲面，叫做单叶双曲面, 做单叶双曲面的标准方程.
此方程叫
方程
x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
与
x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
表示的曲面也是单叶双曲面.
二、性质
1. 对称性
x2 y2 z2 1(a,b, c 0) a2 b2 c2
中心 ：坐标原点（1个）;
主轴 ：x轴、y轴和z轴（3条）;
§4.1 柱面
定义4.1.1 平行于定直线并沿定曲线移动 的直线所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线叫
柱面的准线，
母线
动直线叫柱面
的母线.
观察柱面的形
成过程:
准
线
柱面举例：
z
M(x, y, z)
M1( x, y,0)
z
•
• x2 2y
平面
o
y
o
y
x
抛物柱面 x
y x
抛物柱面方程：
x2 2y
平面方程：
相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面形状的截痕法：
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
几种常见的曲面及其方程()
2
z
2 y
1
o o
o x
2y
x
(3)
x z a
2
2
2
x2 y2 a2
z
a
o
a
y
x
P324 题2 (1)
y 5x 1 y x3 y x3
z
y 5x 1
o
y
z
x2 y2 1 4 9 y3
x
2
3
y
z
z
ay x
x 2 y 2 ax z0
M ( x, y, z )
C
M 1 (0, y1 , z1 )
z z1 ,
x y y1
2
2
o
y
故旋转曲面方程为
x
f ( x 2 y 2 , z) 0
思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？
z
C : f ( y, z ) 0
o x
y
f ( y, x z ) 0
2 2
例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为 的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为
z
L
M (0, y, z )
y
两边平方
x
2
z a (x y )
2
2
2
例4. 求坐标面 xoz 上的双曲线 轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解:绕 x 轴旋转 所成曲面方程为
所围的立体在 xoy 面上的投影区域为: 二者交线在
xoy 面上的投影曲线所围之域 . 二者交线
z
在 xoy 面上的投影曲线 所围圆域: x y 1, z 0 .
特殊曲面及其方程--柱面、锥面、旋转面知识讲解
特殊曲面及其方程--柱面、锥面、旋转面引言空间解析几何所研究的曲面主要是二次曲面。
但是也可以研究一些非二次特殊曲面。
本论文中将利用直线或曲线适合某几何特征来建立一些曲面的方程。
主要讨论由直线产生的柱面和锥面，曲线产生的旋转曲面这三大类。
1.柱面定义1：一直线平行于一个定方向且与一条定曲线Γ相交而移动时所产生的曲面叫做柱面（图1），曲线Γ作叫做准线。
构成柱面的每一条直线叫做母线。
显然，柱面的准线不是唯一的，任何一条与柱面所有母线都相交的曲线都可以取做柱面的准线，通常取一条平面曲线作为准线。
特别地，若取准线Γ为一条直线，则柱面为一平面，可见平面是柱面的特例。
下面分几种情形讨论柱面的方程。
1.1 母线平行于坐标轴的柱面方程选取合适的坐标系，研究对象的方程可以大为化简。
设柱面的母线平行于z 轴，准线为Oxy 面上的一条曲线，其方程为：(),00f x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩图1u v又设(),,P x y z 为柱面上一动点（图2），则过点P 与z 轴平行的直线是柱面的一条母线，该母线与准线Γ的交点记为(),,0M x y ，因点M 在准线上，故其坐标应满足准线方程，这表明柱面上任一点(),,P x y z 的坐标满足方程(),0f x y =反过来，若一点(),,P x y z 的坐标满足方程(),0f x y =，过P 作z 轴的平行线交Oxy 面于点M ，则点M 的坐标(),,0x y 满足准线Γ的方程(),0,0f x y z ==，这表明点M 在准线Γ上，因此直线MP 是柱面的母线 (因为直线MP 的方向向量为{}{}0,0,||0,0,1z )，所以点P 在柱面上。
综上所述，我们有如下结论：母线平行上于z 轴，且与Oxy 面的交线为(),0,0f x y z ==的柱面方程为：(),0f x y = （1）它表示一个无限柱面。
若加上限制条件a z b ≤≤，变得它的一平截段面。
同理，母线平行于x 轴，且与Oyz 面的交线为(),0,0g y z x ==的柱面方程为(),0g y z =；母线平行于y 轴，且与Ozx 面的交线为(),0,0h x z y ==的柱面方程为(),0h x z =。
柱面的方程
当h< 0时。(h=-3)截痕是双曲线。其实轴平行于 y 轴。
(2)用平面x = k 去截这曲面，截痕方程是
y 2 b2
k2 a2
z,
x k.
当k = 0时，截痕是yoz平面上顶点在原点的抛物线且张口朝下。
k≠0时，截痕都是张口朝下的抛物线，且抛物线的顶点随∣k∣增
x2 y2 z2 0
x y k z 2 2 22
x2 y2 kz
4
Y
2
0
-2
-4
6
Z4
2
0
-4
-2
0
X
2
4
旋转曲面
平面上曲线C绕该平面上一条定直线旋转形成的曲面叫做旋转 曲面，平面曲线C叫做旋转曲面的母线，定直线叫做旋转曲面的 轴。
旋转曲面的方程
yoz面上曲线C:f(y,z)=0 绕定直线z轴旋转
面的方程就有所改变.若曲面 的方程是F(x,y,z) = 0, 则方程
F(x-x0 , y-y0 , z-z0) = 0的图形 ´与 有相同的形状.有两种方法可得 到方程F(x-x0 , y-y0 , z-z0) = 0 的图形: 一种方法是在同一坐标架下, 将 沿着向径 r = (x0 ,y0 ,z0) 方平移 r 距离而得到方程 F(x-x0 , y-y0 , z-z0) = 0 的图形´；另一种方法是先在OXYZ坐标系下作出 ： F(x,y,z) = 0的图形， 然后将坐标架平移，使移动后的坐标原点位于
2
z2 b2
1 绕z轴旋转而成的曲面
y 0
单叶旋转双曲面：
X
-1
Y
1
0
0
空间抛物面,柱面方程总结
一、柱面及其方程平行定直线并沿定曲线移动的直线形成的轨迹称为柱面。
定曲线称为准线，直线称为母线。
准线与母线不唯一。
以平行于坐标轴的直线为母线的柱面方程为由两个变量描述的方程，即在空间直角坐标系中，由两个变量描述的方程都表示母线平行于其不包含的变量对应的坐标轴的柱面。
平面是一类特殊的柱面。
二、锥面及其方程在空间，通过一定点且与定曲线（定点在曲线外）相交的一族直线所生成的曲面叫做锥面。
直线称为锥面的母线，定点称为锥面的顶点，定曲线称为锥面的准线。
锥面由它的顶点和准线唯一确定，准线不唯一且所有母线都相交于顶点。
圆锥面是旋转曲面，它的准线可以取为垂直于旋转轴的圆;同时，圆锥面也可以看成是由所有经过顶点，并与中心轴成相同角度的直线形成的曲面。
三、直纹面由一族直线所形成的曲面称为直纹面。
比如，柱面、单叶双曲面、双曲抛物面、锥面都可以由直线生成，所以它们的图形都为直纹面图形。
一般直纹面方程可以分解为相等的两两一次项或零次项乘积。
比如单叶双曲面方程因此，根据比例关系，可以将上述等式用如下两个式子来描述其中u,v为实数。
上面两组方程表示的都是直线，当u,v取不同的值时，构成不同的直线，所有这样的直线构成的直线族描述单叶双曲面的图形。
四、常见二次曲面及其标准方程三元二次方程（二次项系数不全为 0 ）所描述的图形通常为二次曲面。
基本的二次曲面类型有：椭球面（特殊情况为旋转椭球面、球面）、抛物面（椭圆抛物面、双曲抛物面，特殊为旋转抛物面）、双曲面（双叶双曲面、单叶双曲面，特殊为旋转双曲面）、锥面（圆锥面）。
适当选取直角坐标系，或者通过坐标的平移、旋转变换可得它们的标准方程。
【注】：对于教材、课件中列出的二次曲面的标准方程结构和几何图形特征要非常熟悉，尤其与坐标轴、坐标面的位置关系要非常清楚！看到方程要能够想到图形，看到相应的图形名称，要能够直接写出相应结构的方程。
第4章柱面锥面旋转曲面与二次曲面小结
5 、若柱面的母线平行于某条坐标轴，则柱面方程的特 点是_________；
2 y 2 6 、曲面 x z 1 是由 _______ 绕 _________ 轴放 4
置一周所形成的； 7 、曲面 ( z a )2 x 2 y 2 是由______________ 绕 _____ 轴旋转一周所形成的； 8 、方程 x 2 在平面解析几何中表示___________ 在空 间解析几何中表示___________________； 9 、方 程 x 2 y 2 4 在 平 面 解 析 几 何 中 表 示 _______________ ， 在 空 间 解 析 几 何 中 表 示 _______________.
第四章 思考题
指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几 何中分别表示什么图形？
(1) x 2; ( 3) y x 1.
( 2) x 2 y 2 4;
思考题解答
方程
x2
x2 y2 4
y x 1Biblioteka 平面解析几何中空间解析几何中
平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0)，
取二异面直线的公垂线为 z 轴,公垂线中点为原点； x 轴与二异面直线的夹角相等，二异面直线与z 轴的 交点为(0,0,a)和(0,0, -a),则两异面直线方程为:
y tan x 0 y tan x 0 z a z a x y za x y za ， ， 1 tan 0 1 tan 0
二、画出下列各方程所表示的曲面： a a 1、( x ) 2 y 2 ( ) 2 ； 2 2 x2 z2 2、 1 ； 9 4 3、 z 2 x 2 .
曲面及其方程 柱面、锥面、旋转曲面
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二、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线. 观察柱面的形 成过程:
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考察方程 F(x,y)=0 F(x,y)=0表示母线平行于z轴的柱面
(不含z)
z
0 2
过原点和椭圆上任一点的直线的方向向量为 v {a cos , b sin , c }
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过原点和椭圆上任一点的直线族方程为：
x0 y0 z0 t a cos b sin c
即
x (a cos )t y (b sin )t z ct
y
x G ( y , z ) 0 准线 是 yoz 面上的曲线 z x 0 方程 H ( z , x ) 0 表示 柱面， l3 母线 平行于 y 轴; H ( z, x) 0 x 准线是 xoz 面上的曲线 y 0
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y
椭圆柱面
第六节
第七章
曲面及其方程
一、基本概念 二、柱面、锥面、旋转曲面 三、二次曲面
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结束
一、基本内容
曲面方程的定义：
如果曲面S 与三元方程 F ( x , y , z ) 0 有下述关系：
(1) 曲面S 上任一点的坐标都满足方程；
(2) 不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程；
那么，方程 F ( x , y , z ) 0 就叫做曲面 S 的 方程，而曲面 S 就叫做方程的图形.
几种常见的曲面及其方程(精)
母线 平行于 z 轴; 准线 xoy 面上的曲线 l1.
方程 G( y, z) 0 表示柱面,
母线 平行于 x 轴;
准线 yoz 面上的曲线 l2.
方程 H (z, x) 0 表示柱面,
母线 平行于 y 轴; 准线 xoz 面上的曲线 l3. 0表示母线平行 z 轴的柱面.
又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .
2. 二次曲面
三元二次方程
• 椭球面
• 抛物面:
( p, q 同号)
椭圆抛物面
x2 y2 z 2 p 2q
双曲抛物面
• 双曲面: 单叶双曲面
双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
1
• 椭圆锥面:
(二次项系数不全为 0 ) 的图形通常为二次曲面. 其基本类型有:
椭球面、抛物面、双曲面、锥面 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
1. 椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
( a,b, c为正数)
(1)范围：
ay
ay
x
x2 z2 a2 (x 0, z 0) y0
作业
P32 3， 4，5，6， 7， 8， 9，10，11，12
y z l2
x z l3
x
y y
3、旋转曲面
一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转 轴.
例如 :
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z) 0
高等数学几种常见的曲面及其方程
⾼等数学⼏种常见的曲⾯及其⽅程⼀、⼆次曲⾯
1-1球⾯
(X-X0)2+(Y-Y0)2+(Z-Z0)2=R2
球⼼为M0(X0,Y0,Z0)
1-2椭圆锥⾯
1-3椭球⾯
其中，表⽰xOz平⾯上的椭圆绕z轴旋转⽽成的椭球⾯。
1-4单叶双曲⾯
其中，表⽰xOz平⾯上的双曲线绕z轴旋转⽽成的单叶双曲⾯。
1-5双叶双曲⾯
其中，表⽰xOz平⾯上的双曲线绕x轴旋转⽽成的双叶双曲⾯。
1-6椭圆抛物⾯
1-7双曲抛物⾯（马鞍⾯）
⼆、柱⾯
2-1圆柱⾯
X2+Y2=R2
2-2椭圆柱⾯
2-3双曲柱⾯
2-4抛物柱⾯
y2=2px
注：形如⼆、柱⾯只含x,y⽽缺少z的⽅程F(x,y)=0在空间直⾓坐标系中表⽰母线平⾏于z 轴的柱⾯，其准线为xOy平⾯上的曲线C：F(x,y)=0
特别地，
1.球x2+y2+z2=R2
2.圆柱⾯x2+y2=R2
3.旋转抛物⾯X2+Y2=z(以原点为顶点，上下两个开⼝分别向上向下的抛物线旋转⽽成的图形)
4.X2+Y2=z2(以原点为顶点，上下两个开⼝分别向上向下的圆锥，锥顶⾓为90。
)。
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绕 y 轴一周
y
o
a
x
2 单叶旋转双曲面
f (y1, z1)=0
z1 z
| y1 | MP x2 y2
Sz
o
N (0, y1,z1) .
z1 C
y1
y
.
x
曲线 C
f ( y, z) 0
x
0
绕 z轴
z
旋转一周得旋转曲面 S M(x,y,z) S
P M
N (0, y1,z1) .
ff (y11,, zz11))==00 .
z1 z
反之，以原
z
点为顶点的锥面
的方程是n次齐次
方程 F(x,y,z)= 0.
准线
锥面是直纹面
锥面的准线不
唯一，和一切母线
顶点 0
y
都相交的每一条曲
线都可以作为它的
x
母线.
x2 y2 z2 0
a2 b2 c2
椭圆锥面
请同学们自己用截痕法 研究其形状.
例 1 直线L绕另一条与 L相交的直线旋转一周，
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与 二次曲面
曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等．
曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨 迹． 曲面方程的定义：
如果曲面S 与三元方程F ( x, y, z) 0有下述关系：
（1） 曲面S 上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程；
那么，方程F( x, y, z) 0就叫做曲面 S 的方程， 而曲面S 就叫做方程的图形．
y x
只含x,y而缺z的方程F(x,y)0， 在 空间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱 面，其准线为xo面 y上曲线C:F(x,y)0.
（其他类推）
从柱面方程看柱面的特征：
例实
y2 b2
z2 c2
1
椭圆柱面， 母线// x轴
x2 a2
y2 b2
1
双曲柱面 ， 母线// z轴
x2 2pz 抛物柱面， 母线// y轴
| y1 | MP x2 y2
Sz
z1 C
o
y1
y
.
S： f( x2y2,z)0.
x
建立旋转曲面的方程：
如图 设M(x,y,z),
(1) zz1
（ 2） 点 M 到 z轴 的 距 离
z
d M 1(0,y1,z1)
M f ( y,z) 0
o
y
dx2y2 |y1| x
将 z z 1 , y 1 x 2 y 2代入 f ( y1, z1 ) 0
绕 z轴 旋 转x2 y2
a2
cz22
1
旋转单叶双曲面
z
z
y
y
o
x
o
x
（ 3 ） y O z面 上 抛 物 线 y 2 2 p绕 zz轴 ；
x2y22pz 旋转抛物面
z
z
xo
y
xo
y
p0
几种 特殊旋转曲面
1 双叶旋转曲面 2 单叶旋转曲面 3 旋转锥面 4 旋转抛物面 5 环面
1 双叶旋转双曲面
z
绕 y 轴和 z轴；
面旋 转 椭 球
绕 y轴 旋 转
y2 a2
x2c2 z2
1
绕 z轴 旋 转
x2 y2 a2
cz22
1
y x
z
y x
（2）xOz
面上双曲线
x2 a2
z2 c2
1分别绕
x轴和
z 轴；
x
x
绕 x轴 旋 转
x2 a2
y2c2z2
1
oz
o
z
旋转双叶双曲面 y
y
（ 1 ） x O z面 上 双 曲 线 a x 2 2 c z 2 2 1 分 别 绕 x 轴 和 z轴 ；
双 曲 线ax
y b
z
绕 x 轴一周
x
0
y
1 双叶旋转双曲面
双 曲 线ax
y b
z
绕 x 轴一周
.
x
z
0
y
1 双叶旋转双曲面
双 曲 线ax
y b
z
绕 x 轴一周
得双叶旋转双曲面
.
x2 y2 z2 a2 b2 1
x
z
0
y
.
2 单叶旋转双曲面
x2 y2
上题双曲线
a
2
b2
1
z 0
y1 0
1z 绕直线
x 0
y 0
z 1
旋转一周所得旋转曲面的方程。
解
下面特殊 的旋转曲 面
f ( y, z) 0
z
曲线 C
x
0
绕 z轴
C
o
y
曲线 C
f ( y, z) 0
x
0
绕z轴
.
z
C o
y
x
曲线
C
f ( y, z)
x
0
0
绕 z轴
z
旋转一周得旋转曲面 S
P
M
M(x,y,z) S
§4.1 柱面
定义4.1.1 平行于定直线并沿定曲线移动 的直线所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线叫
柱面的准线，
母线
动直线叫柱面
的母线.
观察柱面的形
成过程:
准
线
柱面举例：
z
M(x, y,z)
M1(x, y,0)
z
•
• x2 2y
平面
o
y
o
y
x
抛物柱面 x
y x
抛物柱面方程：
x2 2y
平面方程：
所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面
的顶点，两直线的夹角
0
2
叫圆锥面的
半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为 z
轴，半顶角为 的圆锥面方程．
z
解 y面 o 上 直 z 线 方 程 为
zyco t
圆锥面方程 zx2y2co t o
y
或 z2 a2 x2 y2
x
§4－3 旋转曲面
目标：通过本节的学习，掌握
旋转曲面的有关概念，熟练掌握旋 转曲面方程的求法，了解几个常见 的旋转曲面.
重点难点：旋转曲面方程的
求法.
定义0
在空间，一条曲线 绕着定直线 l 旋 转一周所产生的曲面叫旋转曲面.其中 称 为旋转轴，称 l 为母线.
纬圆，经线
图4-3
方程
例1 求直线
x2 0
得方程 fx 2 y 2 ,z 0 ,
方程 f x2 y2 , z 0,
yoz坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0绕 z 轴
旋转一周的旋转曲面方程.
同 理 ： yo 坐 标 z面 上 的 已 知 曲 线 f(y,z)0 绕 y轴 旋 转 一 周 的 旋 转 曲 面 方 程 为
1. 椭圆柱面
x2 y2 a2 b2 1
z
2. 双曲柱面
x2 a2
y2 b2
1
z
o
y
O
y
x
x
§4.2 锥面
定义4.2.1 通过一定点且与定曲线相交的一 族直线所产生的曲面叫做锥面.
这些直线都叫做锥面的母线. 那个定点叫做锥面的顶点. 锥面的方程是一个三元方程.
特别当顶点在坐标原点时：
方程 F(x,y,z)= 0是 n次齐次方程：若 F (t,x t,y t)z tn F (x ,y ,z). n次齐次方程 F(x,y,z)= 0 的图形是以原点为顶点的锥面；
f y, x2 z2 0.
结论（规律）： 当坐标面上的曲线Γ绕此坐标面上的一个坐
标轴旋转，求此旋转曲面的方程，只需将Γ在 此坐标面里的方程改变即得，改变的方法是： 保留与旋转轴同名的坐标，而以其他两个 坐标的平方和的平方根代替方程中的另一坐标。
y2 z2
（1）yOz 面上椭圆 a 2 c 2 1