第三章概率
必修3第三章-概率-知识点总结和强化练习：
高中数学必修3 第三章 概率 知识点总结及强化训练一、 知识点总结3.1.1 —3.1.2随机事件的概率及概率的意义 1、基本概念：（1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件； （2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件； （3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件；（4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件；（5）频数与频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A出现的次数nA 为事件A 出现的频数；称事件A 出现的比例fn(A)=n n A为事件A 出现的概率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P （A ），称为事件A 的概率。
（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA 与试验总次数n 的比值n n A，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。
我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。
频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率3.1.3 概率的基本性质 1、基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件（2）若A ∩B 为不可能事件，即A ∩B=ф，那么称事件A 与事件B 互斥；（3）若A ∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件；（4）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)2、概率的基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1； 2）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A 与事件B 在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件A 发生且事件B 不发生；（2）事件A 不发生且事件B 发生；（3）事件A 与事件B 同时不发生，而对立事件是指事件A 与事件B 有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件A 发生B 不发生；（2）事件B 发生事件A 不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。
必修3 第三章概率
随着18、19世纪科学的发展，人们注意到在某些生物、物理和 社会现象与机会游戏之间有某种相似性，从而由机会游戏起源 的概率论被应用到这些领域中；同时这也大大推动了概率论本 身的发展。使概率论成为数学的一个分支的奠基人是瑞士数学 家j.伯努利，他建立了概率论中第一个极限定理，即伯努利大数 定律，阐明了事件的频率稳定于它的概率。现在，概率与统计 的方法日益渗透到各个领域，并广泛应用于自然科学、经济学、 医学、金融保险甚至人文科学中。
从A、B、C、D四名学生中选出2人参加竞赛， ⑴写出这个试验的基本事件空间； ⑵求这个试验的基本事件总数； ⑶写出事件“A没被选中”所包含的基本事 件 疑问：这个事件选择时是否需要顺序呢？例 如：AB和BA一样吗？
1个盒子中装有4个完全相同的小球，分别标有 号码1、2、3、5，有放回的任取两球。 ⑴写出这个试验基本事件空间； ⑵求这个基本事件总数； ⑶写出“取出的两球上的数字之和是6”这一事 件包含的基本事件。 疑问：这个事件选择时是否需要顺序呢？例如： 12和21一样吗？
投掷两颗骰子，观察它们面朝上的点数，试 写出这个试验的基本事件和基本事件空间。 疑问1：基本事件空间中的基本事件有顺序关 系吗？例如（1,4）和（4,1）一样吗？ 疑问2：基本事件空间中的基本事件个数一定 是有限个吗，如果不是请举例说明！ 疑问3：能否找出点数之和为7的基本事件； 至少出现一个6点的呢？
从含有两件正品A、B和一件次品B的3件产 品中每次任取1件，每次取出后不放回，连 续取两次。 ⑴写出这个试验的基本事件空间； ⑵下列随机事件由哪些基本事件构成； 事件A：取出的两件产品都是正品； 事件B：取出的两件产品恰有1件次品。
频率与概率区别与联系？
0 P A 1
概率的加法公式
第三章 概率 第二讲 古典概率
第三章概率第二讲古典概率【考点透视】1．基本事件：在实验中所有可能的结果都是随机事件，我们把这类随机事件称为基本事件．基本事件有两个特点：(1)任何两个基本事件是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．2．古典概型：将具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(2)每个基本事件出现的可能性相等3．古典概型概率计算公式P(A)＝mn.m表示事件A包含的基本事件的个数，,n表示基本事件的总数。
3．古典概型的适用条件：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;(2)每个基本事件出现的可能性相等.4．古典概型的解题步骤：(1)求出总的基本事件数；(2)求出事件A所包含的基本事件数，然后利用公式P(A)＝A包含的基本事件的个数基本事件的总数【新知探究】探究点一基本事件问题1抛掷两枚质地均匀的硬币，有哪几种可能结果？连续抛掷三枚质地均匀的硬币，有哪几种可能结果？答(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)；(正，正，正)，(正，正，反), (正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反).问题2上述试验中的每一个结果都是随机事件，我们把这类事件称为基本事件．在一次试验中，任何两个基本事件是什么关系？答由于任何两种结果都不可能同时发生，所以它们的关系是互斥关系．问题3在连续抛掷三枚质地均匀的硬币的试验中，随机事件“出现两次正面和一次反面”，“至少出现两次正面”分别由哪些基本事件组成？答(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)；(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．例1从字母a、b、c、d中任意取出两个不同字母的试验中,有哪些基本事件?事件“取到字母a”是哪些基本事件的和?解所求的基本事件有6个，A＝{a，b}，B＝{a，c}，C＝{a，d}, D＝{b，c}，E＝{b，d}，F＝{c，d};“取到字母a”是基本事件A、B、C的和，即A＋B＋C.小结基本事件有如下两个特点：(1)任何两个基本事件是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．探究点二古典概型问题1抛掷一枚质地均匀的硬币，每个基本事件出现的可能性相等吗？答基本事件有两个，正面朝上和正面朝下，由于质地均匀，因此基本事件出现的可能性是相等的．问题2抛掷一枚质地均匀的骰子，有哪些基本事件？每个基本事件出现的可能性相等吗？答这个试验的基本事件有6个，正面出现的点数为1,2,3,4,5,6，由于质地均匀，因此基本事件出现的可能性是相等的．问题3上述试验的共同特点是什么？答(1) 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(2) 每个基本事件出现的可能性相等．我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．例2某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环、……、命中5环和不中环．你认为这是古典概型吗？为什么？解不是古典概型，因为试验的所有可能结果只有7个，而命中10环、命中9环、……、命中5环和不中环的出现不是等可能的(为什么？)，即不满足古典概型的第二个条件.小结判断一个试验是不是古典概型要抓住两点：一是有限性；二是等可能性．探究点三古典概型概率公式导引在古典概型下，每一基本事件的概率是多少？随机事件出现的概率如何计算？问题1在抛掷硬币试验中,如何求正面朝上及反面朝上的概率?解出现正面朝上的概率与反面朝上的概率相等，即P(“正面朝上”)＝P(“反面朝上”)．由概率的加法公式，得P(“正面朝上”)＋P(“反面朝上”)＝P(必然事件)＝1，因此P(“正面朝上”)＝P(“反面朝上”)＝1 2，即P(出现正面朝上)＝12=“出现正面朝上”所包含的基本事件的个数基本事件的总数.问题2在抛掷骰子的试验中，如何求出现各个点的概率？解出现各个点的概率相等，即P(“1点”)＝P(“2点”)＝P(“3点”)＝P(“4点”)＝P(“5点”)＝P(“6点”)，反复利用概率的加法公式，我们有P(“1点”)＋P(“2点”)＋P(“3点”)＋P(“4点”)＋P(“5点”)＋P(“6点”)＝P(必然事件)＝1.所以P(“1点”)＝P(“2点”)＝P(“3点”)＝P(“4点”)＝P(“5点”)＝P(“6点”)＝1 6.进一步地，利用加法公式还可以计算这个试验中任何一个事件的概率，例如，P(“出现偶数点”)＝P(“2点”)＋P(“4点”)＋P(“6点”)＝16＋16＋16＝12.即P(“出现偶数点”)＝“出现偶数点”所包含基本事件的个数”/基本事件的总数；P(“出现不小于2点”)＝“出现不小于2点”所包含的基本事件的个数”/基本事件的总数．P(A)＝事件A所包含的基本事件的个数/基本事件的总数.问题3从集合的观点分析，如果在一次试验中，等可能出现的所有n个基本事件组成全集U，事件A包含的m个基本事件组成子集A，那么事件A发生的概率P(A)等于什么？特别地，当A＝U，A＝∅时，P(A)等于什么？答P(A)＝mn；当A＝U时，P(A)＝1；当A＝∅时，P(A)＝0.例3单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案．如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案，假设考生不会做，他随机地选择一个答案，则他答对的概率是多少？解由于考生随机地选择一个答案，所以他选择A，B，C，D哪一个选项都有可能，因此基本事件总数为4，设答对为随机事件A，由于正确答案是唯一的，所以事件A只包含一个基本事件，所以P(A)＝1 4.小结解答概率题要有必要的文字叙述，一般要用字母设出所求的随机事件，要写出所有的基本事件及个数，写出随机事件所包含的基本事件及个数，然后应用公式求出．探究点四与顺序有关的古典概型问题1在标准化的考试中既有单选题又有多选题,多选题是从A、B、C、D四个选项中选出所有正确答案,同学们可能有一种感觉,如果不知道正确答案,多选题更难猜对,这是为什么?答这是因为猜对的概率更小,由概率公式可知,分子上的数还是1,因正确答案是唯一的,而分母上的数即基本事件的总数增多了,有(A), (B),(C),(D),(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D) ,(A,B,C),(A,B,D),(A,C,D),(B,C,D),(A,B,C,D)共15个,所以所求概率为115<14.例1同时掷两个骰子，计算：(1)一共有多少种不同的结果？(2)其中向上的点数之和是5的结果有多少种？(3)向上的点数之和是5的概率是多少？解(1)掷一个骰子的结果有6种，我们把两个骰子标上记号1,2以便区分，由于1号骰子的结果都可以与2号骰子的任意一个结果配对，我们用一个“有序实数对”来表示组成同时掷两个骰子的一个结果(如表)，其中第一个数表示1号骰子的结果，第二个数表示2号骰子的结果．(可由列表法得到)由表中可知同时掷两个骰子的结果共有36种．(2)在上面的结果中，向上的点数之和为5的结果有4种，分别为(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)．(3)由于所有36种结果是等可能的，其中向上点数之和为5的结果(记为事件A)有4种，因此，由古典概型的概率计算公式可得P(A)＝A所包含的基本事件的个数基本事件的总数＝436＝19.问题2为什么要把两个骰子标上记号？如果不标记号会出现什么情况？若用古典概型公式，所求的概率是多少？答如果不标上记号，类似于(1,2)和(2,1)的结果将没有区别，这时，所有可能的结果将是(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)(4,4)(4,5)(4,6)(5,5)(5,6)(6,6)共有21种，和是5的结果有2个，它们是(1,4)(2,3)，所求的概率为P(A)＝A所包含的基本事件的个数基本事件的总数＝2 21.问题3在例1中所求的概率和问题2中所求的概率相同吗？哪种求法不符合古典概型？为什么？答求出的概率不相同；问题2中的求法不符合古典概型；因为两个不同的骰子所抛掷出来的点构造的基本事件不是等可能事件.小结古典概型问题包含的题型较多，但都必须紧扣古典概型的定义，进而用公式进行计算．列举法是求解古典概型问题的常用方法，借助于图表等有时更实用有效．探究点五与顺序无关的古典概型例2现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通晓日语，B1、B2、B3通晓俄语，C1、C2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．(1)求A1被选中的概率；(2)求B1和C1不全被选中的概率．解(1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1), (A1,B3,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A2,B3,C1),(A2,B3,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2 ),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2),(A3,B3，C1),(A3,B3,C2)}有18个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽取的机会均等,因此这些基本事件的发生是等可能的.用M表示“A1恰被选中”这一事件，则M={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1) , (A1,B3,C2)}事件M有6个基本事件组成,因而P(M)＝618＝13.(2)用N表示“B1、C1不全被选中”这一事件，则其对立事件N表示“B1、C1全被选中”这一事件，由于N＝{(A1，B1，C1),(A2,B1,C1),(A3,B1,C1)},事件N有3个基本事件组成，所以P(N)＝318＝16，由对立事件的概率公式得P(N)＝1－P(N)＝1－16＝56.小结在应用古典概型概率计算公式求概率时,有些事件用文字书写较麻烦,我们常用一些字母或数字来表示事件,为解题带来方便.【知识梳理】1．基本事件是一次试验中所有可能出现的最小事件，且这些事件彼此互斥．试验中的事件A可以是基本事件，也可以是由几个基本事件组合而成的.2．有限性和等可能性是古典概型的两个本质特点,概率计算公式P(A)＝事件A所包含的基本事件的个数基本事件的总数,只对古典概型适用.3．求某个随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数常用的方法是列举法(画树状图和列表)，注意做到不重不漏.4．在求概率时，通常把全体基本事件列表或用直角坐标系中的点来表示，以方便我们更直接、准确地找出某个事件所包含的基本事件的个数，然后再根据古典概型的概率公式，求出相应的概率即可．5．解题时，将所有基本事件全部列出是避免重复或者遗漏的有效方法；对于用直接方法难以解决的问题，可以求其对立事件的概率，进而求得其概率，以降低难度．【小露一手】古典概型练习(一)一、基础过关1．下列是古典概型的是 ( )A ．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件时B ．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件时C ．从甲地到乙地共n 条路线，求某人正好选中最短路线的概率D ．抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止2．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b >a 的概率是( )A.45B.35C.25D.153．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是( ) A.14 B.12 C.18 D ．无法确定4．一袋中装有大小相同的四个球，编号分别为1,2,3,4，现从中有放回地每次取一个球，共取2次，记“取得两个球的编号和大于或等于6”为事件A ，则P (A )等于( )A.14B.16C.38D.49 5．三张卡片上分别写上字母E 、E 、B ，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE 的概率为________．6．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球．从球中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率为________．7．从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表．求：(1)甲被选中的概率；(2)丁没被选中的概率．8．从含有两件正品a ，b 和一件次品c 的三件产品中每次任取1件，每次取出后放回，连续取两次，求取出的两件中恰好有一件次品的概率．二、能力提升9．有五根细木棒，长度分别为1,3,5,7,9(cm)，从中任取三根，能搭成三角形的概率是( )A.320B.25C.15D.31010．在1,2,3,4四个数中，可重复地选取两个数，其中一个数是另一个数的2倍的概率是________．11．从1,2,3,4,5这5个数字中，不放回地任取两数，两数都是奇数的概率是________．12．某学校要从艺术节活动中所产生的4名书法比赛一等奖的同学和2名绘画比赛一等奖的同学中选出2名志愿者，参加某项活动的志愿服务工作．(1)求选出的两名志愿者都是获得书法比赛一等奖的同学的概率；(2)求选出的两名志愿者中一名是获得书法比赛一等奖，另一名是获得绘画比赛一等奖的同学的概率．三、探究与拓展13．田忌和齐王赛马是历史上有名的故事，设齐王的三匹马分别为A、B、C，田忌的三匹马分别为a、b、c；三匹马各比赛一次，胜两场者为获胜．若这六匹马比赛优、劣程度可以用以下不等式表示：A>a>B>b>C>c.(1)正常情况下，求田忌获胜的概率；(2)为了得到更大的获胜机会，田忌预先派出探子到齐王处打探实情，得知齐王第一场必出上等马A，于是田忌采用了最恰当的应对策略，求这时田忌获胜的概率．答案1．C2．D3．B4．C5.13 6.257．解(1)记甲被选中为事件A，基本事件有甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁共6个，事件A包含的事件有甲乙，甲丙，甲丁共3个，则P(A)＝36＝12.(2)记丁被选中为事件B，由(1)同理可得P(B)＝12，又因丁没被选中为丁被选中的对立事件，设为B，则P(B)＝1－P(B)＝1－12＝12.8．解有放回的连取两次取得两件，其一切可能的结果组成的样本空间是Ω＝{(a，a)，(a，b)，(a，c)，(b，a)，(b，b)，(b，c)，(c，a)，(c，b)，(c，c)}，∴n＝9，用B表示“恰有一件次品”这一事件,则B＝{(a,c)，(b，c)，(c，a)，(c，b)}，∴m＝4.∴P(B)＝4 9.9．D 10.1411.31012．解把4名获书法比赛一等奖的同学编号为1,2,3,4；2名获绘画比赛一等奖的同学编号为5,6.从6名同学中任选两名的所有可能结果如下：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5), (2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15个．(1)从6名同学中任选两名，都是书法比赛一等奖的所有可能如下：(1,2)，(1,3)，(1,4), (2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个．∴选出的两名志愿者都是书法比赛一等奖的概率是P1＝615＝2 5.(2)从6名同学中任选两名，一名是书法比赛一等奖，另一名是绘画比赛一等奖的所有可能如下：(1,5), (1,6), (2,5), (2,6), (3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8个．∴选出的两名志愿者一名是书法比赛一等奖,另一名是绘画比赛一等奖的概率是P2＝815.13．解比赛配对的基本事件共有6个，它们是(Aa，Bb，Cc)，(Aa，Bc，Cb)，(Ab，Ba，Cc)，(Ab，Bc，Ca)，(Ac，Ba，Cb)，(Ac，Bb，Ca)．(1)经分析：仅有配对为(Ac，Ba，Cb)时，田忌获胜，且获胜的概率为1 6.(2)田忌的策略是首场安排劣马c出赛，基本事件有2个：(Ac，Ba，Cb)，(Ac，Bb，Ca)，配对为(Ac，Ba，Cb)时，田忌获胜且获胜的概率为1 2.答正常情况下，田忌获胜的概率为16，获得信息后，田忌获胜的概率为12.古典概型练习(二)一、基础过关1．老师为研究男女同学数学学习的差异情况，对某班50名同学(其中男同学30名，女同学20名)采取分层抽样的方法，抽取一个样本容量为10的样本进行研究，某女同学甲被抽到的概率为( )A.150B.110C.15D.142．有100张卡片(标号为1～100)，从中任取1张，取到卡片上的号码是7的倍数的概率是( )A.750B.7100C.748D.3203．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为X 、Y ，则log 2X Y ＝1的概率为( )A.16B.536C.112D.12 4．同时抛掷三枚均匀的硬币，出现一枚正面，二枚反面的概率等于( ) A.14B.13C.38D.125．从含有3件正品和1件次品的4件产品中不放回地任取2件，则取出的2件中恰有1件是次品的概率是________．6．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的坐标，则点P 落在圆x 2＋y 2＝16内的概率是________．7．设袋中有a 1，a 2两支好签，b 1，b 2两支坏签，四人依次从袋中无放回地任抽一签，分别求他们抽到好签的概率．8．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n <m ＋2的概率． 二、能力提升9．先后两次抛掷一枚骰子，在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率为( )A.16B.15C.13D.2510．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是 ( )A.49B.13C.29D.1911．某人有4把钥匙，其中2把能打开门，现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是________；如果试过的钥匙不扔掉，这个概率是________．12．袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是12.(1)求n 的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的小球标号为b .记事件A 表示“a ＋b ＝2”，求事件A 的概率． 三、探究与拓展13．班级联欢时，主持人拟出了如下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等，指定3个男生和2个女生来参与，把5个人分别编号为1,2,3,4,5，其中1,2,3号是男生，4,5号是女生，将每个人的号分别写在5张相同的卡片上，并放入一个箱子中充分混合，每次从中随机地取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目．(1)为了选出2人来表演双人舞，连续抽取2张卡片，求取出的2人不全是男生的概率； (2)为了选出2人分别表演独唱和朗诵，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片，求：独唱和朗诵由同一个人表演的概率．答案1．C2．A3．C4．C 5.12 6.297．解设事件A1,A2,A3,A4分别表示第一人，第二人，第三人，第四人抽到好签的事件，则A1＝{a1a2b1b2，a1a2b2b1，a1b1a2b2，a1b1b2a2，a1b2a2b1，a1b2b1a2，a2a1b1b2，a2a1b2b1，a2b1a1b2，a2b1b2a1，a2b2a1b1，a2b2b1a1}，共12个基本事件．A2＝{b1a1b2a2，b1a1a2b2，a2a1b1b2，a2a1b2b1，b2a1b1a2，b2a1a2b1，b1a2b2a1，b1a2a1b2，a1a2b1b2，a1a2b2b1，b2a2a1b1，b2a2b1a1}，共12个基本事件．同理，我们可列举出A3，A4也都包含12个基本事件．由古典概型的计算公式，可得P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(A4)＝1224＝12.8．解(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有：1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个．从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有：1和2,1和3，共2个．因此所求事件的概率为P＝26＝13.(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．又满足条件n≥m＋2的事件有：(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个．所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝316. 故满足条件n<m＋2的事件的概率为1－P1＝1－316＝13 16.9．C10．D11.131412．解(1)由题意可知：n1＋1＋n＝12，解得n＝2.(2)不放回地随机抽取2个小球的所有基本事件为(0,1)，(0,21)，(0,22)，(1,0)，(1,21)，(1,22)，(21,0)，(21,1)，(21,22)，(22,0)，(22,1)，(22,21)，共12个，事件A包含的基本事件为(0,21)，(0,22)，(21,0)，(22,0)，共4个．∴P (A )＝412＝13.13．解 (1)利用树形图我们可以列出连续抽取2张卡片的所有可能结果(如下图所示)．由上图可以看出，试验的所有可能结果数为20，因为每次都随机抽取，所以这20种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典概型．用A 1表示事件“连续抽取2人是一男一女”，A 2表示事件“连续抽取2人都是女生”，则A 1与A 2互斥，并且A 1∪A 2表示事件“连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生”，由列出的所有可能结果可以看出，A 1的结果有12种，A 2的结果有2种，由互斥事件的概率加法公式，可得P (A 1∪A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝1220＋220＝710＝0.7，即连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生的概率为0.7.(2)有放回地连续抽取2张卡片，需注意同一张卡片可再次被取出，并且它被取出的可能性和其他卡片相等，我们用一个有序实数对表示抽取的结果，例如“第一次取出2号，第二次取出4号”就用(2,4)来表示，所有的可能结果可以用下表列出.第二次抽取第一次抽取1 2 3 4 5 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) 5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)试验的所有可能结果数为25，并且这25种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典概型． 用A 表示事件“独唱和朗诵由同一个人表演”，由上表可以看出，A 的结果共有5种，因此独唱和朗诵由同一个人表演的概率P (A )＝525＝15＝0.2.。
新课标人教A版 必修三 第三章概率课件 (100张)
物体的大小常用质量、体积等 来度量，学习水平的高低常用考试 分数来衡量.对于随机事件，它发 生的可能性有多大，我们也希望用 一个数量来反映.
频数、频率的定义
频数： 在相同的条件S下重复n次试验，
若某一事件A出现的次数为nA,则称nA为 事件A出现的频数. 那么事件A出现的频率fn(A)等于什么？ 频率的取值范围是什么？
不可能事件 必然事件 不可能事件
⑻老满煮熟了一只鸭子放在桌上,飞啦；
⑼掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后 随机事件 偶数点朝上； ⑽一袋中若干个球，其中有3个红球，小 明从中摸出3个球，都是红球。 随机事件
讲故事
1名数学家＝10个师
在第二次世界大战中，美国曾经宣布：一名优秀数学家的 作用超过10个师的兵力．这句话有一个非同寻常的来历． 1943年以前，在大西洋上英美运输船队常常受到德国潜艇 的袭击，当时，英美两国限于实力，无力增派更多的护航舰， 一时间，德军的“潜艇战”搞得盟军焦头烂额． 为此，有位美国海军将领专门去请教了几位数学家，数学 家们运用概率论分析后，认为舰队与敌潜艇相遇是一个随机事 件，从数学角度来看这一问题，它具有一定的规律性．一定数 量的船（为100艘）编队规模越小，编次就越多（为每次20艘， 就要有5个编次），编次越多，与敌人相遇的概率就越大． 美国海军接受了数学家的建议，命令舰队在指定海域集合， 再集体通过危险海域，然后各自驶向预定港口．结果奇迹出现 了：盟军舰队遭袭被击沉的概率由原来的25％降为1％，大大减 少了损失，保证了物资的及时供应．
⑴在地球上，抛出的篮球会下落；
必然事件
必然事件 随机事件
⑵导体通电时，发热；
⑶在今天即将进行的NBA全明星赛中，
科比第一次投篮会进；
不可能事件 ⑷随意翻一下日历，翻到的日期为2月30日；
第三章 概率的进一步认识 课件 北师大版数学九年级上册(20张PPT)
第三章 复习课
复习目标
1.回顾本章的内容，梳理本章的知识结构，建立有关概率知
识的框架图.
2.知道求概率的一般方法——树状图和列表法.
3.知道试验频率与理论概率的关系；会合理运用概率的思想，
解决生活中的实际问题.
◎重点:会用树状图或列表法计算简单事件的概率，以及用
试验或模拟试验的方法估计复杂事件发生的概率.
时，用列表法.
(3)用树状图或表格求概率的关键:
①各种情况出现的可能性 一定要相同 ；
事件发生的次数 )
②P(A)＝ 各种情况出现的次数 ；
(
③在统计各种情况出现的次数和某一事件发生的次数时，
要做到不重不漏.
预习导学
4.估计总体数目.
通过试验法估计总体数目的方法:(1) 抽取 法估算总体
数目；(2)用 放入 法估算总体数目.
预习导学
·导学建议·
本节可通过问题的形式引导学生，梳理知识结构，重点关
注以下几个问题:(1)频率与概率的区别；(2)计算概率的两种方
法；(3)概率与统计之间的内在的联系.
合作探究
随机事件的概率计算
1.某市体育中考现场考试内容有三项:50米跑为必测项目，
另在立定跳远、实心球(二选一)和坐位体前屈、1分钟跳绳(二
(2)小国同学的父亲认为，如果到A处不买，到B处发现比A
处便宜就马上购买，否则到C处购买，这样更有希望买到最低价
格的礼物.这个想法是否正确？试通过树状图分析说明.
解:(1)∵在每一处都有价格最低，最高，较高的可能，
∴P（A处买到最低价格礼物）＝ .
合作探究
(2)作出树状图如下:
概率论第三章事件的独立性
用P(AB)=P(A) P(B)刻划独立性,比用
P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B)
更好,它不受P(B)>0或P(A)>0的制约.
一、两事件独立的定义
若两事件A、B满足
P(AB)= P(A) P(B)
(1)
则称A、B独立，或称A、B相互独立.
例1 从一副不含大小王的扑克牌中任取一 张，记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的}
所求为 P(A1∪A2∪A3)
记 Ai={第i个人破译出密码} i=1,2,3
1 所求为 P(A1∪A2∪A3)
3
已知, P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4
P(A1∪A2∪A3) 1 P( A1 A2 An )
2
1 P( A1A2 A3)
1 P( A1)P( A2 )P( A3)
= P( A1 )P( Ai1 ) P( Aim ).
[注释] 1. n个事件独立，则其中任意k（2≤k<n） 个事件也独立，反之未必成立，
2. 在实际应用中，独立性往往通过实际 意义判断，而不用定义证明；在理论证 明中，独立性用定义或定理证明。
3. 事件的独立与互斥是两个截然不同的概 念，互斥是指两个事件之间的关系，独 立是指两个事件概率之间的关系。
由于“甲命中”并不影响“乙命中”的
概率，故认为A、B独立 .
（即一事件发生与否并不影响另一事件发生 的概率）
又如：一批产品共n件，从中抽取2件，设 Ai={第i件是合格品} i=1,2
若抽取是有放回的, 则A1与A2独立.
因为第二次抽取的结果
不受第一次抽取的影响. 若抽取是无放回的，则A1 与A2不独立.
概率论第三章
若二维随机变量（ 若二维随机变量（X,Y）具有概率密度 ） 1 1 x − µ1 2 f (x, y) = exp{− ) 2 [( 2 2(1− ρ ) σ1 2πσ1σ2 1− ρ x − µ1 y − µ2 y − µ2 2 )( ) +( ) ]} − 2ρ( 其中
µ1, µ2,σ1,σ2, ρ
3.1.2、二维随机变量的联合分布函数 、 维随机变量的联合 联合分布函数
二维随机变量（ 二维随机变量（X,Y） ） ( X , Y )的联合分布函数 )的联合分布函数
一维随机变量X 一维随机变量 X的分布函数 的分布函数
F(x, y) = P(X≤ x,Y ≤ y) − ∞ < x, y < ∞
xi ≤3yj ≤2
求：F(3,2) = P(X≤ 3,Y ≤ 2) = ∑∑pij
1 1 1 1 = + 0+ 0+ + + 0 = 4 8 8 2
例２ 设随机变量 Y ~ E (1) ，随机变量
0 , 若Y ≤ k ( k = 1，） 2 Xk = 1 , 若Y > k 的联合概率分布列。 求 X 1 和 X 2 的联合概率分布列。
第三章 多维随机变量及其分布
到现在为止， 到现在为止，我们只讨论了一维随机变量 及其分布. 及其分布. 但有些随机现象用一个随机变量来 描述还不够， 描述还不够，而需要用几个随机变量来描述 在打靶时, 在打靶时,命中点的位置是由一 对随机变量(两个坐标)来确定的. 对随机变量(两个坐标)来确定的. 飞机的重心在空 中的位置是由三个随 机变量(三个坐标） 机变量(三个坐标）来 确定的等等. 确定的等等.
1/ 4 x 1 1 解: (3)P( X < ,Y < ) = ∫0 [∫0 3xdy]dx 4 2
高二数学古典概率
少？
36；6；1/6.
典例讲评
例4 某种饮料每箱装6听，如果其中有2 听不合格，质检人员依次不放回从某箱 中随机抽出2听，求检测出不合格产品的 概率.
P（A）=8/30+8/30+2/30=0.6
典例讲评
例5 甲、乙两人参加法律知识竟答，共 有10道不同的题目，其中选择题6道，判断 题4道，甲、乙依次各抽一道. （1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率
高中数学必修3第三章《概率》
3.2 古典概率
温故知新
1、如果事件A与事件B互斥,
则P(A∪B)= P(A)+P(B)
.
2、如果事件A与事件B互为对立事件，
则 P(A)与P(B)关系是P(A)+P(B)=1.
3、若P(A∪B)= P(A)+P(B)=1，则事
件A与事件B的关系是（ C ） （A）互斥不对立 （B）对立不互斥
典例讲评
例2 单选题是标准化考试中常用的 题型，一般是从A，B，C，D四个选项中 选择一个正确答案．如果考生掌握了考 查的内容，他可以选择唯一正确的答案， 假设考生不会做，他随机地选择
一个答案，问他答对的概率是多少？
0.25
典例讲评
例3 同时掷两个骰子，计算： （1）一共有多少种不同的结果？ （2）其中向上的点数之和是7的结果有
（C）互斥且对立 （D）以上答案都不对
4、由经验可知，在某建设银行营业窗 口排队等候存取款的人数及其概率如下：
排队
41人
人数 0~10人 11~20人 21~30人 31~40人 以上
概率 0.12 0.27 0.30 0.23 0.08
计算：（1）至多20人排队的概率？
第三章 概率 第一讲 随机事件的概率
第三章概率第一讲随机事件概率【考点透视】一、相关定义1.在一定条件下一定发生的事件叫做必然事件。
2.在一定条件下一定不发生的事件叫做不可能事件。
3.在一定条件下可能发生，也可不发生的事件叫做随机事件。
以后我们用A、B、C等大写字母表示事件。
4.事件A的频数：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现nA的次数为事件A出现的频数(frequency)。
5.事件A的频率：称事件A出现的比例为事件A出现的频率(relative frequency)。
6.概率的定义：对于给定的随机事件A，如果随着实验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率。
（1）求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验；（2）只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件A的概率；（3）0≤P(A)≤1 不可能事件的概率为0，必然事件为1，随机事件的概率大于0而小于1。
7.频率与概率的关系(1)频率本身是随机变化的,在试验前不能确定.(2)概率是一个确定的数,是客观存在的,与试验次数无关.(3)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值二、答疑（一）必然事件、不可能事件和随机事件问题1考察下列事件：(1)导体通电时发热；(2)向上抛出的石头会下落；(3)在标准大气压下水温升高到100 ℃会沸腾．这些事件就其发生与否有什么共同特点？答都是必然要发生的事件．问题2我们把上述事件叫做必然事件，你能说出必然事件的一般含义吗？答在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件．问题3考察下列事件：(1)在没有水分的真空中种子发芽；(2)在常温常压下钢铁融化；(3)服用一种药物使人永远年轻．这些事件就其发生与否有什么共同特点？答都是不可能发生的事件．问题4我们把上述事件叫做不可能事件，你能表达不可能事件的一般含义吗？答在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件．问题5考察下列事件：(1)某人射击一次命中目标；(2)山东地区一年里7月15日这一天最热；(3)抛掷一个骰子出现的点数为偶数．这些事件就其发生与否有什么共同特点？答都是可能发生也可能不发生的事件．问题6我们把上述事件叫做随机事件，你能指出随机事件的一般含义吗？答在条件S下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件．小结在条件S下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件，简称随机事件；在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称必然事件；在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称不可能事件，必然事件和不可能事件统称为确定事件；确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A，B，C，…表示．问题7现在有10件相同的产品，其中8件是正品，2件是次品．我们要在其中任意抽出3件．那么，我们可能会抽到怎样的样本？答有三种可能：A.3件正品；B.2件正品，1件次品；C．1件正品，2件次品．问题8我们再仔细观察上题中抽到样本的可能情况，还能得到一些什么结论？答结论1:必然有1件正品;结论2:不可能抽到3件次品.问题9在问题7抽到样本的几种情况中及问题8的结论中，哪些是随机事件？哪些是必然事件？答抽到的样本情况：A.3件正品；B.2件正品，1件次品；C.1件正品，2件次品，都是随机事件．结论1：必然有1件正品；结论2：不可能抽到3件次品都是必然事件．（二）探究点二事件A发生的频率与概率导引物体的大小常用质量、体积等来度量，学习水平的高低常用考试分数来衡量．对于随机事件，它发生的可能性有多大，我们也希望用一个数量来反映，最直接的方法就是试验，下面我们进行抛掷一枚硬币的试验．问题1请班内四位同学依次、分别抛掷一枚硬币20次，其它同学观看并且记录硬币正面朝上的次数，比较他们的结果一致吗？为什么会出现这样的情况？答通过实际比较可知一致的可能性小，因为抛掷硬币是随机事件，在每一次抛掷前不知道抛掷后会出现什么结果，因此四位同学的结果一致的可能性比较小．问题2历史上曾有人作过抛掷硬币的大量重复试验，结果如下表所示：在上述抛掷硬币的大量重复试验中，你发现了什么规律？答 当试验次数很多时,出现正面的比例在0.5附近摆动.问题3 在抛掷硬币试验中，把正面向上的比例称作正面向上的频率，你能给频率下个定义吗？答 在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数nA 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例fn(A)＝nAn 为事件A 出现的频率．问题4 频率的取值范围是什么？答 [0,1]．问题5 抛掷硬币试验表明，正面朝上在每次试验中是否发生是不能预知的，但是在大量重复试验后，随着试验次数的增加，正面朝上发生的频率呈现出一定的规律性，这个规律性是如何体现出来的？答 事件A 发生的频率较稳定，在某个常数附近摆动．问题6 我们把硬币正面朝上的频率所趋向的稳定值称做硬币正面朝上的概率,你能给随机事件A 发生的概率下个定义吗?答 对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记做P(A)，称为事件A 的概率，简称为A 的概率．问题7 在实际问题中，随机事件A 发生的概率往往是未知的(如在一定条件下射击命中目标的概率)，你如何得到事件A 发生的概率？答通过大量重复试验得到事件A发生的频率的稳定值，即概率．问题8在相同条件下，事件A在先后两次试验中发生的频率fn(A)是否一定相等？事件A在先后两次试验中发生的概率P(A)是否一定相等？答频率具有随机性，做同样次数的重复试验，事件A发生的频率可能不相同；概率是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关．问题9必然事件、不可能事件发生的概率分别为多少？概率的取值范围是什么？答必然事件、不可能事件发生的概率分别为1、0，概率的取值范围是[0,1]．问题10概率为1的事件是否一定发生？概率为0的事件是否一定不发生？为什么？答都不一定．因为概率是频率的稳定值，当频率的稳定值接近1时，我们就说概率为1，但也不能确定一定发生，只是发生的可能性很大，同样的道理概率为0的事件也不是一定不发生．【经典例题】例1李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年来的考试成绩分布：经济学院一年级的学生王小慧下学期将选修李老师的高等数学课，用已有的信息估计她得以下分数的概率(结果保留到小数点后三位)．①90分以上；②60分～69分；③60分以上．解总人数为43＋182＋260＋90＋62＋8＝645，根据公式可计算出选修李老师的高等数学课的人的考试成绩在各个段上的频率依次为：43645≈0.067，182645≈0.282，260645≈0.403，90645≈0.140，62645≈0.096，8645≈0.012. 用已有的信息，可以估计出王小慧下学期选修李老师的高等数学课得分的概率如下：①将“90分以上”记为事件A ，则P(A)≈0.067； ②将“60分～69分”记为事件B ，则P(B)≈0.140；③将“60分以上”记为事件C ，则P(C)＝0.067＋0.282＋0.403＋0.140＝0.892.小结 随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，它的发生呈现出一定的规律性，可以用事件发生的频率去“测量”，因此可以通过计算事件发生的频率去估算概率．本讲总结：随机事件A 在每次试验中是否发生是不能预知的,但是在大量重复试验后,随着试验次数的增加,事件A 发生的频率逐渐稳定在区间[0,1]内的某个常数上(即事件A 的概率),这个常数越接近于1,事件A 发生的概率就越大,也就是事件A 发生的可能性就越大;反之,概率越接近于0,事件A 发生的可能性就越小.因此,概率就是用来度量某事件发生的可能性大小的量,根据随机事件发生的频率只能得到概率的估计值.【小露一手】一、基础过关1．下面五个事件：(1)某地明年2月3日将下雪；(2)函数y＝a x(a>0且a≠1)在定义域上是增函数；(3)实数的绝对值不小于0；(4)在标准大气压下，水在1℃结冰；(5)a，b∈R，则ab＝ba.其中必然事件是()A．(3)(5) B．(2)(3)(4) C．(1)(2) D．(2)(5)2．下列事件中，随机事件的个数为()①在标准大气压下，水在0℃结冰；②方程x2＋2x＋5＝0有两个不相等的实根；③明年长江武汉段的最高水位是29.8 m；④一个三角形的大边对小角，小边对大角．A．1 B．2 C．3 D．43．气象台预测“本市明天降雨的概率是90%”，对预测的正确理解是() A．本市明天将有90%的地区降雨B．本市明天将有90%的时间降雨C．明天出行不带雨具肯定会淋雨D．明天出行不带雨具可能会淋雨4．给出关于满足A B的非空集合A，B的四个命题：①若任取x∈A，则x∈B是必然事件；②若任取x∉A，则x∈B是不可能事件；③若任取x∈B，则x∈A是随机事件；④若任取x∉B，则x∉A是必然事件．其中正确的命题是()A．①③B．①③④C．①②④D．①④5．设某厂产品的次品率为2%，则该厂8 000件产品中合格品的件数约为________．6．在掷一颗骰子观察点数的试验中，若令A＝{2,4,6}，则用语言叙述事件A对应的含义为________．7．指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件？(1)如果a、b都是实数，那么a＋b＝b＋a；(2)从分别标有号数1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的10张号签中任取一张，得到4号签；(3)没有水分，种子发芽；(4)某电话总机在60秒内接到至少15次呼叫； (5)在标准大气压下，水的温度达到50℃时沸腾．8．某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化，10 000个鱼卵能孵出8 513尾鱼苗，根据概率的统计定义解答下列问题：(1)这种鱼卵的孵化概率(孵化率)是多少？ (2)30 000个鱼卵大约能孵化多少尾鱼苗？(3)要孵化5 000尾鱼苗，大概需备多少鱼卵？(精确到整数)二、能力提升9．某医院治疗一种疾病的治愈率为15，那么，前4个病人都没有治愈，第5个病人治愈的概率是( )A ．1B.15C.45D ．010．从2 004名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取，先用简单随机抽样法从2 004人中剔除4人，剩下的2 000人按系统抽样的方法进行，则每人入选的概率( ) A ．不全相等B ．均不相等C ．都相等且为251 002D ．都相等且为14011．“从盛有3个排球、2个足球的筐子里任取一球”的事件中，一次试验是指__________，试验结果是指________________．12．一个地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下：时间范围 1年内 2年内 3年内 4年内 新生婴儿数n 5 544 9 607 13 520 17 190 男婴数n A2 8834 9706 9948 892(1)计算男婴出生的频率(保留4位小数)；(2)这一地区男婴出生的频率是否稳定在一个常数上？三、探究与拓展13．用一台自动机床加工一批螺母，从中抽出100个逐个进行直径检验，结果如下：直径个数直径个数6.88<d≤6.891 6.93<d≤6.94266.89<d≤6.902 6.94<d≤6.95156.90<d≤6.9110 6.95<d≤6.9686.91<d≤6.9217 6.96<d≤6.97 26.92<d≤6.9317 6.97<d≤6.98 2从这100个螺母中任意抽取一个，求：(1)事件A(6.92<d≤6.94)的频率；(2)事件B(6.90<d≤6.96)的频率；(3)事件C(d>6.96)的频率；(4)事件D(d≤6.89)的频率．答 案1．A 2．A 3．D 4．B 5．7 8406．掷出的点数为偶数7．解 结合必然事件、不可能事件、随机事件的定义可知(1)是必然事件；(3)、(5)是不可能事件；(2)、(4)是随机事件．8．解 (1)这种鱼卵的孵化频率为8 51310 000＝0.851 3，它近似的为孵化的概率．(2)设能孵化x 个，则x 30 000＝8 51310 000， ∴x ＝25 539，即30 000个鱼卵大约能孵化25 539尾鱼苗． (3)设需备y 个鱼卵，则5 000y ＝8 51310 000，∴y ≈5 873， 即大概需备5 873个鱼卵． 9．B 10．C11．取出一球 得到一排球或者一足球12．解 (1)男婴出生的频率依次是：0.520 0，0.517 3,0.517 3，0.517 3.(2)各个频率均稳定在常数0.517 3上． 13．解 (1)事件A 的频率f (A )＝17＋26100＝0.43. (2)事件B 的频率f (B )＝10＋17＋17＋26＋15＋8100＝0.93.(3)事件C 的频率f (C )＝2＋2100＝0.04. (4)事件D 的频率f (D )＝1100＝0.01.。
概率论第三章
8 July 2010
联合密度函数的基本性质 (1) p(x, y) ≥ 0. (非负性) (2) (正则性)
注意: P{(X,Y) ∈D} = ∫∫ p(x, y)dxdy
D
8 July 2010
3.1.5
一,多项分布
常用多维分布 常用多维分布
若每次试验有r 种结果:A1, A2, ……, Ar 记 P(Ai) = pi , i = 1, 2, ……, r 记 Xi 为 n 次独立重复试验中 Ai 出现的次数. 则 (X1, X2, ……, Xr)的联合分布列为:
2x
+∞
1 2x +∞ 1 3y +∞ = A e × e 2 0 3 0
=A/6 所以, A=6
8 July 2010
例3.1.4
6e(2x+3y) , x ≥ 0, y ≥ 0 若 (X, Y) ～ p( x, y) = 其 它 0,
试求 P{ X< 2, Y< 1}.
8 July 2010
注 意 点 (2)
二维正态分布的边际分布是一维正态: 若 (X, Y) N ( ), 则 XN( ), YN( ).
二维均匀分布的边际分布不一定是一维均匀分布.
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例3.2.1 设 (X, Y)服从区域 D={(x, y), x2+y2 <1} 上的均匀分布,求X 的边际密度p(x). 解: 由题意得
e y , 0 < x < y p( x, y) = 其 他 0,
求概率P{X+Y≤1}. 解: P{X+Y≤1}=
1/2
1x x
y=x
x+y=1
= ∫ dx∫
第三章 概率分布
第二节 概率分布
概率:一次试验某一个结果发生的可能性大小 概率分布:试验的全部可能结果及各种可能结果发生 的概率
一、随机变量 随机试验的所有可能结果中，若对于每一种可能结果 都有唯一的实数x与之对应，则称x为随机试验的随 机变量。
【例4.3】 对100头病畜用某种药物进行治疗，其可能 结果是“0头治愈”、 “1头治愈”、“2头治愈”、 “…”、“100头治愈”。若用x表示治愈头数，则x的 取值为0、1、2、…、100。
【例4.4】 孵化一枚种蛋可能结果只有两种，即“ 孵出小鸡”与“未孵出小鸡”。 若用变量x表示试验 的两种结果，则可令x=0表示“未孵出小鸡”，x=1表 示“孵出小鸡”。
【例4.5】 测定某品种猪初生重，表示测定结果的 变量x所取的值为一个特定范围(a,b)，如0.5―1.5kg，x 值可以是这个范围内的任何实数。
但在相同条件下进行大量重复试验时，其试验结
果却呈现出某种固有的特定的规律性——频率的稳定
性，通常称之为随机现象的统计规律性
概率
论与数理统计
（二）随机试验与随机事件
1、随机试验 通常我们把根据某一研究目的 ，在一定条件下对 自然现象所进行的观察或试验统称为随机试验。
随机试验满足下述三个特性
（1）可重复性：试验可以在相同条件下多次重复进行； （2）结果多样性：每次试验的可能结果不止一个，并且事先 知道会有哪些可能的结果； （3）未知性：每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个， 但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。
一类随机现象或不确定性现象：事前不可预言其 结果的，即在保持条件不变的情况下，重复进行观察， 其结果未必相同。即在个别试验中其结果呈现偶然性、 不确定性现象。例
随机现象特点：
概率论第三章
例2.一袋中有四个球,上面分别标有数字1,2,2,3.从 袋中任取一球后不放回,再从袋中任取一个球,以 X , Y 分别表示第一、二次取得的球上标有的数字，求 ( X , Y ) 的分布律。 解 X , Y 可能取值均为1,2,3.
p11 P{ X 1, Y 1}
p12 P{ X 1, Y 2}
F (,) 1.
③ 关于 右连续，即
例1. 设 ( X , Y ) 的分布函数为
x y F ( x , y ) A( B arctan )(C arctan ) 3 4 求常数 A, B, C 的值及概率 P{ X 3, Y 4}. 9 F (3, 4) 解 由分布函数的性质
第三章 多维随机变量及其分布
一、二维随机变量
二、边缘分布
三、相互独立的随机变量 四、两个随机变量的函数的分布
第一节
二维随机变量
定义1 设随机试验 的样本空间是 设 和 是定义在 上的随机变量，则由它们构成的一 个向量 定义2 设 二元函数 称为二维随机变量或二维随机向量。 是二维随机变量，对于任意实数
16
一、二维离散型随机变量
定义： 若二维随机变量 ( X , Y ) 的所有可能取值 ( xi , y j ),
i, j 1, 2, 是有限对或可列无限多对时，则称 ( X , Y ) 为 离散型随机变量。
P{ X xi , Y y j } pi j (i , j 1 , 2 , )
若存在 f ( x, y) 0 , 使得对任意实数 x , y , 总有
F ( x, y )
y
x
f (u , v )dudv
则称 ( X , Y ) 为二维连续型随机变量, f ( x, y ) 称为 ( X , Y ) 的 概率密度,或称为随机变量 X 和 Y的联合概率密度。 f (x,y)的性质: ① f ( x, y ) 0 ②
高中数学 第三章概率教案 新人教版必修3
第三章概率一、课时学习目标知识与技能1、掌握随机事件、必然事件、不可能事件的概念。
2、正确理解事件A出现的频率的意义。
3、正确理解概率的概率和意义，明确事件A发生的频率f n〔A〕与事件A发生的概率P〔A〕的区别与联系。
4、利用概率知识，正确理解现实生活中的实际问题。
过程与方法通过在抛硬币、抛骰子的试验中获取数据的过程，培养探索、归纳的能力和自主学习的能力。
情感、态度与价值观1、通过自己动手、动脑和亲身试验来理解知识，体会数学知识与现实世界的联系。
2、培养辩证唯物主义观点，增强科学意识。
二、课前预习导学请同学们阅读P108—112，完成以下问题1、事件的有关概念〔1〕必然条件：在条件S下，_________会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称必然事件；〔2〕不可能事件：在条件S下，__________会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称不可能事件；〔3〕确定事件：__________事件与___________事件统称为相对于条件S的确定事件，简称确定事件；〔4〕随机事件：在条件S下，___________的事件叫做相对于条件S的随机事件，简称随机事件。
〔5〕_________事件与________事件统称为事件，一般用________表示。
2、概率与频率〔1〕频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的_________，称事件A出现的比例fn〔A〕=nAn为事件A出现的__________，显然频率的取值X围是____________。
〔2〕概率：在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件A发生的频率如果逐渐________在区间［0，1］中的某个______上，这个便称为事件A的概率，用P〔A〕表示，显示概率的取值X围是［0，1］，且不可能事件的概率为_________，必然事件的概率为___________。
第三章 概率与概率分布
2.离散型变量的概率分布
要了解离散型随机变量Y的统计规律，必须知道 它的一切可能值 yi 及取每种可能值的概率pi。 2.1 概率函数（probability function )
研究偶然现象本身规律性的科学称为概率 论。
基于实际观测结果，利用概率论得出的规 律，揭示偶然性中所寄寓的必然性的科学就是 统计学。
概率论是统计学的基础，统计学是概率论 所得出的规律在各领域中的实际应用。
二、事件及事件的关系 1. 随机试验 同一组综合条件的实现，称为试验（trial）。
而一个试验如果满足下述三个特性， 则 称 其 为 一个 随机试验（random trial），简称试验。
B＝ “一次取5个球，其中有2个红球的概率”
10个球中任意取5个，其可能结果有C105个基本事件， 即n= C105 事件B =5个球中有2个红球，则B包含的基本事件 数m= C32 C73
P(B) = C32 C73 / C105 = 0.417
任何事件 0≤P(A)≤1 必然事件 P( W )=1 不可能事件 P(V)＝0 随机事件 0<P(A)<1
P(A+B)=m1+m2/n=m1/n+m2/n=P(A)+P(B)
1 互斥事件加法定理的推理
推理1 P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An) 推理2 P(A)=1-P(A) 推理3 完全事件系的和事件的概率为1。
第三章 概率与概率分布 华中农业大学生物统计学讲义
该试验样本空间由10个等可能的基本事件构成，即n=10，而事 件A所包含的基本事件有3个，即抽得编号为1、2、3中的任何一 个，事件A便发生。
P(A)=3/10=0.3
P(B)=5/10=0.5
12 3 4 5
6
7
8 9 10
一、概率基本概念
A＝“一次取一个球，取得红球的概率”
10个球中取一个球，其可能结果有10个基本事件（即每个球 被取到的可能性是相等的），即n=10 事件A：取得红球，则A事件包含3个基本事件，即m=3
P(A)=3/10=0.3
12 3 4 5
6
7
8
9 10
一、概率基本概念
B＝ “一次取5个球，其中有2个红球的概率” 10个球中任意取5个，其可能结果有C105个基本事件，即n= C105 事件B =5个球中有2个红球，则B包含的基本事件数m= C32 C73
P(B) = C32 C73 / C105 = 0.417
2、在一定条件下可能发生也可能不 发生。
（二）频率（frequency）
一、概率基本概念
若在相同的条件下，进行了n次试验，在这n 次试验中，事件A出现的次数m称为事件A出现的 频数，比值m/n称为事件A出现的频率(frequency)， 记为W(A)=m/n。
0≤W(A) ≤1
例：
一、概率基本概念
设样本空间有n个等可能的基本事件所构成，其中事件A包 含有m个基本事件，则事件A的概率为m/n，即P(A)=m/n。
古典概率(classical probability) 先验概率(prior probability)
一、概率基本概念
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
随机抽取一个球，求下列事件的概率; （1)事件A＝抽得一个编号< 4 （2)事件B =抽得一个编号是2的倍数
高中数学必修3第三章：概率3.2古典概型
验，如果这2个元素没有顺序，那么这次试验共有
nn－1 2
个
基本事件；如果这2个元素有顺序，那么这次试验有n(n－1)
个基本事件．可以作为结论记住(不要求证明)，在选择题或
填空题中可以直接应用．
计算基本事件个数的常用法
1.列举法 列举法也称枚举法．对于一些情境比较简单，基本事件 个数不是很多的概率问题，计算时只需一一列举即可得出随 机事件所含的基本事件数．但列举时必须按一定顺序，做到 不重不漏．
球，d，e为黑球．
列表如下：
a
b
c
d
e
a
(a，b) (a，c) (a，d) (a，e)
b (b，a)
(b，c) (b，d) (b，e)
c (c，a) (c，b)
(c，d) (c，e)
d (d，a) (d，b) (d，c)
(d，e)
e (e，a) (e，b) (e，c) (e，d)
由于每次取两个球，每次所取两个球不相同，而摸(b，a) 与(a，b)是相同的事件，故共有10个基本事件．
新课引入 “三门问题”是美国一个经典的电视游戏节目，内容如 下：现有三扇门，其中一扇后面有一辆汽车，另外两扇门后 各有一只羊，参赛者选中车门就得车，选中羊门就得羊，首 先参赛者选一扇门，然．后主持人故意打开剩下两门中的一 扇羊门(主持人知道车在何处)，接着主持人给参赛者选择机 会，是坚持原门还是换另一扇门？
[解析] 第1个概率模型不是古典概型，因为从区间[1,10] 内任意取出一个数，有无数个对象可取，所以不满足“有限 性”．
第2个概率模型是古典概型，因为试验结果只有10个， 而且每个数被抽到的可能性相等，即满足有限性和等可能 性；
第3个概率模型不是古典概型，而是以后将学的几何概 型；
高中数学必修三第三章概率知识要点
一、随机事件的概率1.事件与随机事件在一定条件下必然发生的事件叫；在一定条件下不可能发生的事件叫；在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫。
2.事件的频率与概率⑴若在n次试验中事件A发生了m次, 则称为事件A的频率。
记做。
二、⑵若随着试验次数n的增大, 事件A的频率总接近某个常数p, 在它的附近作微小摆动, 则称为事件A的概率, 记做, 显然。
三、 3.概率从数量上反映了一个事件的大小。
四、概率的基本性质1.事件的关系与运算:（1）互斥事件：若为, 则称事件与事件互斥。
（2）对立事件：若为, 为, 则称事件与事件互为对立事件。
2.概率的几个基本性质:（1）概率的取值范围是: 。
（2）的概率为1；的概率为0。
五、（3）如果事件与事件互斥, 那么。
六、（4）如果事件与事件对立, 那么；；。
七、古典概型1.古典概型的特征:（1）：一次试验中, 基本事件只有有限个；八、（2）: 每个基本事件发生的可能性都相等。
九、2、求古典概率的常用方法: 列举法与列表法。
十、几何概型1.几何概型的特征:（1）几何概型的基本事件有无穷多个；（2）每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例。
2.求几何概率用到的一个方法: 线性规划。
练习题：1.甲盒中有红, 黑, 白三种颜色的球各3个, 乙盒子中有黄, 黑, 白, 三种颜色的球各2个, 从两个盒子中各取1个球, 求取出的两个球是不同颜色的概率.2.设关于的一元二次方程, 若是从区间任取的一个数, 是从区间任取的一个数,求上述方程有实数根的概率.3.将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1, 2, 3, 4, 5, 6）先后抛掷两次, 将得到的点数分别记为.将的值分别作为三条线段的长, 求这三条线段能围成等腰三角形的概率.1 / 1。
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第三章概率（A ）
（时间：120分钟满分：150分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. 下列事件中不是随机事件的是（ ） A .某人购买福利彩票中奖
B. 从10个杯子（8个正品，2个次品）中任取2个，2个均为次品
C. 在标准大气压下，水加热到100°C 沸腾 D .某人投篮10次，投中8次 2. 某班有男生25人，其中1人为班长，女生15人，现从该班选出1人, 作为该班的代表参加座谈会 ③ 选出
④ 在女生中选出1人是班长的概率是0. A .①②B •①③ C.③④D •①④ 3.
同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是（
）
A V V J 1 A 尹3沖8
4•把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人 分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是 （） A .对立事件B •不可能事件
C.互斥但不是对立事件D •以上答案都不对
5. 在2010年广州亚运会火炬传递活动中，在编号为1,2,3,4,5的5名火炬 手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号相连的概率为（ ） A.^GB.^
CroDvo
6. 从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件 “两球都为白球”互斥而非对立的事件是以下事件“①两球都不是白球； ②两球恰有一白球；③两球至少有一个白球”中的哪几个？ （ ） A .①②B •①③ C.②③D •①②③
7. 矩形长为6,宽为4,在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分 内的黄豆数为204颗，以此实验数据为依据可以估计出阴影部分的面积约为 （）
，下列说法中正确的是（） 丄 40； 1
- •
25；
1 ①选出 1人是班长的概率为 ②选出 1人是男生的概率是 1人是女生的概率是
A. 16
B. 16.32
C. 16.34
D. 15.96
8. 在区间（15,25］内的所有实数中随机取一个实数 a,则这个实数满足 17<a<20的概率是（ ） A V 1 A.3B.2 3 7 C.帀D.命
9. 口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋 中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23,则摸出黑球的概率为（ ） A. 0.45B. 0.67 C. 0.64D. 0.32
10. 一只猴子任意敲击电脑键盘上的0到9这十个数字键，则它敲击两次（每 次只敲击一个数字键）得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为（） .旦 B 3_ A .100B
.50
C 丄
D 2 C
.100D .9
11. 分别在区间［1,6］和［1,4］内任取一个实数，依次记为m 和n,则m>n 的 概率为（） 7 3 A
.10B.10 3 2 沖2
12. 如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容 器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底 上,现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面 的鱼吃到”的概率是
n n n
A.4
B.12
C. — 4D •
13. 从一箱苹果中任取一个，如果其重量小于200克的概率为0.2,重量在 ［200,300］内的概率为0.5,那么重量超过300克的概率为 _________ . 14.
在抛掷一颗骰子的试验中，事件A 表示“不大于4的偶数点出现”，事 件B 表示“小于5的点数出现”,贝U 事件A+ ©发生的概率为 ________ . （"B 表示B 的对立事件）
15. 先后两次抛掷同一枚骰子，将得到的点数分别记为a ，b.将a ，b,5分别
作为三条线段的长，则这三条线段能构成等腰三角形的概率是__________ . 16.设b和c分别是先后抛掷一颗骰子得到的点数，贝昉程X2— bx+ c= 0有实根的概率为________ .
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17.(10分)经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队等候的人数及相应概率如下：
(1)至多2人排队等候的概率是多少?
(2)至少3人排队等候的概率是多少?
18.(12分)为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A, B，C三个区中抽取7个工厂进行调查，已知A, B，C区中分别有
18,27,18个工厂.
(1)求从A，B，C区中分别抽取的工厂个数；
(2)若从抽得的7个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率.
19.(12分)在区间(0,1)上随机取两个数 m，n，求关于x的一元二次方程x2 —祈X + m= 0有实根的概率.
20．(12 分)某市地铁全线共有四个车站，甲、乙两人同时在地铁第一号车站(首发站 )乘车．假设每人自第 2号车站开始，在每个车站下车是等可能的.约定用有序实数对(X, y)表示“甲在x号车站下车，乙在y号车站下车”．
(1)用有序实数对把甲、乙两人下车的所有可能的结果列举出来；
(2)求甲、乙两人同在第 3 号车站下车的概率；
(3)求甲、乙两人在不同的车站下车的概率．
21．(12 分)在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱” ，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有 3只黄色、3 只白色的乒乓球 (其体积、质地完全相同)，旁边立着一块小黑板写道：
摸球方法：从袋中随机摸出 3 个球，若摸得同一颜色的 3个球，摊主送给摸球者 5元钱；若摸得非同一颜色的 3个球，摸球者付给摊主 1 元钱．
(1)摸出的 3 个球为白球的概率是多少？
(2)假定一天中有 100 人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一天能赚多少钱？
22. (12分)汽车厂生产A, B, C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种
型号，某月的产量如下表(单位：辆):
按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆.
(1)求z的值；
(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本•将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；
(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如
下： 9.4,8.6,929.6, 8.7, 9.3,9.0, 8.2.把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.。