必修3第三章《概率》 (2)
必修3第三章-概率-知识点总结和强化练习：
高中数学必修3 第三章 概率 知识点总结及强化训练一、 知识点总结3.1.1 —3.1.2随机事件的概率及概率的意义 1、基本概念：（1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件； （2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件； （3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件；（4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件；（5）频数与频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A出现的次数nA 为事件A 出现的频数；称事件A 出现的比例fn(A)=n n A为事件A 出现的概率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P （A ），称为事件A 的概率。
（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA 与试验总次数n 的比值n n A，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。
我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。
频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率3.1.3 概率的基本性质 1、基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件（2）若A ∩B 为不可能事件，即A ∩B=ф，那么称事件A 与事件B 互斥；（3）若A ∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件；（4）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)2、概率的基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1； 2）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A 与事件B 在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件A 发生且事件B 不发生；（2）事件A 不发生且事件B 发生；（3）事件A 与事件B 同时不发生，而对立事件是指事件A 与事件B 有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件A 发生B 不发生；（2）事件B 发生事件A 不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。
必修3 第三章概率
随着18、19世纪科学的发展，人们注意到在某些生物、物理和 社会现象与机会游戏之间有某种相似性，从而由机会游戏起源 的概率论被应用到这些领域中；同时这也大大推动了概率论本 身的发展。使概率论成为数学的一个分支的奠基人是瑞士数学 家j.伯努利，他建立了概率论中第一个极限定理，即伯努利大数 定律，阐明了事件的频率稳定于它的概率。现在，概率与统计 的方法日益渗透到各个领域，并广泛应用于自然科学、经济学、 医学、金融保险甚至人文科学中。
从A、B、C、D四名学生中选出2人参加竞赛， ⑴写出这个试验的基本事件空间； ⑵求这个试验的基本事件总数； ⑶写出事件“A没被选中”所包含的基本事 件 疑问：这个事件选择时是否需要顺序呢？例 如：AB和BA一样吗？
1个盒子中装有4个完全相同的小球，分别标有 号码1、2、3、5，有放回的任取两球。 ⑴写出这个试验基本事件空间； ⑵求这个基本事件总数； ⑶写出“取出的两球上的数字之和是6”这一事 件包含的基本事件。 疑问：这个事件选择时是否需要顺序呢？例如： 12和21一样吗？
投掷两颗骰子，观察它们面朝上的点数，试 写出这个试验的基本事件和基本事件空间。 疑问1：基本事件空间中的基本事件有顺序关 系吗？例如（1,4）和（4,1）一样吗？ 疑问2：基本事件空间中的基本事件个数一定 是有限个吗，如果不是请举例说明！ 疑问3：能否找出点数之和为7的基本事件； 至少出现一个6点的呢？
从含有两件正品A、B和一件次品B的3件产 品中每次任取1件，每次取出后不放回，连 续取两次。 ⑴写出这个试验的基本事件空间； ⑵下列随机事件由哪些基本事件构成； 事件A：取出的两件产品都是正品； 事件B：取出的两件产品恰有1件次品。
频率与概率区别与联系？
0 P A 1
概率的加法公式
北师大版高中数学必修三第三章概率2.3.docx
2.3互斥事件课时目标 1.通过实例理解互斥事件和对立事件的定义及其关系.2.会用概率加法公式求互斥事件及对立事件的概率．1．互斥事件：在一个随机试验中，把__________________________的两个事件A与B 称作互斥事件．2．事件A＋B：事件A＋B发生是指__________________________________________________.3．在一个随机试验中，如果随机事件A和事件B是互斥事件，那么有P(A＋B)＝__________________.4．在每一次试验中，相互对立的事件A和事件A______同时发生，并且一定______．5．P(A)＝______________.6．一般地，如果随机事件A1，A2，…A n中任意两个是互斥事件，那么有P(A1＋A2＋…＋A n)＝______________________.一、选择题1．把语文、数学、物理、化学四本书随机地分给甲、乙、丙、丁四位同学．每人一本，则事件“甲同学分得语文书”与事件“乙同学分得语文书”是()A．对立事件B．不可能事件C．互斥但不对立事件D．以上答案都不对2．现有2008年奥运会志愿者7名，其中4名为男性，3名为女性，从中任选2名志愿者为游客做向导，其中下列事件：①恰有1名女性与恰有2名女性；②至少有1名女性与全是女性；③至少有1名男性与至少有1名女性；④至少有1名女性与全是男性．是互斥事件的组数有()A．1组B．2组C．3组D．4组3．从1,2，…，9中任取两个数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述几对事件中是对立事件的是()A．①B．②④C ．③D ．①③4．下列四种说法：①对立事件一定是互斥事件；②若A ，B 为两个事件，则P(A ＋B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A ，B ，C 彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A ，B 满足P(A)＋P(B)＝1，则A ，B 是对立事件．其中错误的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．35．从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8 g 的概率为0.3，质量小于4.85 g 的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85]g 范围内的概率是( )A ．0.62B ．0.38C ．0.02D ．0.686．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为( )A .15B .25C .35D .45题 号1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，则摸出黑球的概率是________．8．甲、乙两队进行足球比赛，若两队战平的概率是14，乙队胜的概率是13，则甲队胜的概率是________．9．同时抛掷两枚骰子，没有5点或6点的概率为49，则至少有一个5点或6点的概率是________．三、解答题10．某射手射击一次射中10环，9环，8环，7环的概率分别是0.24,0.28,0.19,0.16，计算这名射手射击一次．(1)射中10环或9环的概率；(2)至少射中7环的概率．11．某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第一声时被接的概率为0.1，响第二声时被接的概率为0.3，响第三声时被接的概率为0.4，响第四声时被接的概率为0.1，那么电话在响前四声内被接的概率是多少？能力提升12．某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3、0.2、0.1、0.4.(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；(2)求他不乘轮船去的概率；(3)如果他乘某种交通工具的概率为0.5，请问他有可能乘哪种交通工具？13．在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表：年最高水位[8,10) [10,12) [12,14) [14,16) [16,18) (单位：m)概率0.1 0.28 0.38 0.16 0.08计算在同一时期内，河流这一处的年最高水位在下列范围内的概率：(1)[10,16)(m)；(2)[8,12)(m)；(3)水位不低于12 m.1．互斥事件与对立事件的判定(1)利用基本概念：①互斥事件不可能同时发生；②对立事件首先是互斥事件，且必须有一个要发生．(2)利用集合的观点来判断：设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A、B.①事件A与B互斥，即集合A∩B＝∅；②事件A与B对立，即集合A∩B＝∅，且A∪B＝I，也即A＝∁I B或B＝∁I A；③对互斥事件A与B的和A＋B，可理解为集合A∪B.2．运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件之间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，做到不重不漏，分别求出各个事件的概率然后用加法公式求出结果．3．求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再运用公式求解．如果采用方法一，一定要将事件分拆成若干互斥的事件，不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误．2．3 互斥事件知识梳理1．一次试验下不能同时发生 2.事件A 和事件B 至少有一个发生 3.P(A)＋P(B) 4.不会 有一个发生 5.1－P(A) 6.P(A 1)＋P(A 2)＋…＋P(A n )作业设计1．C 2.B3．C [从1,2，…，9中任取两个数，有以下三种情况：(1)两个奇数；(2)两个偶数；(3)一个奇数和一个偶数．①中“恰有一个偶数”和“恰有一个奇数”是同一个事件，因此不互斥也不对立；②中“至少有一个奇数”包括“两个都是奇数”这个事件，可以同时发生，因此不互斥也不对立；④中“至少有一个奇数”和“至少有一个偶数”，可以同时发生，因此不互斥也不对立；③中是对立事件，故应选C .]4．D [对立事件一定是互斥事件，故①对；只有A 、B 为互斥事件时才有P(A ＋B)＝P(A)＋P(B)，故②错；因A ，B ，C 并不是随机试验中的全部基本事件，故P(A)＋P(B)＋P(C)并不一定等于1，故③错；若A 、B 不互斥，尽管P(A)＋P(B)＝1，但A ，B 不是对立事件，故④错．]5．C [设“质量小于4.8 g ”为事件A ，“质量小于4.85 g ”为事件B ，“质量在[4.8,4.85]g ”为事件C ，则A ＋C ＝B ，且A 、C 为互斥事件，所以P(B)＝P(A ＋C)＝P(A)＋P(C)，则P(C)＝P(B)－P(A)＝0.32－0.3＝0.02.]6．C [记录取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A 、B 、C 、D 、E ，则A 、B 、C 、D 、E 互斥，取到理科书的概率为事件B 、D 、E 概率的和．∴P(B ＋D ＋E)＝P(B)＋P(D)＋P(E)＝15＋15＋15＝35.] 7．0.30解析 P ＝1－0.42－0.28＝0.30.8.512解析 设甲队胜为事件A ，则P(A)＝1－14－13＝512. 9.59解析 没有5点或6点的事件为A ，则P(A)＝49，至少有一个5点或6点的事件为B. 则A 与B 是对立事件，则P(B)＝1－P(A)＝1－49＝59. 故至少有一个5点或6点的概率为59. 10．解 设“射中10环”，“射中9环”，“射中8环”，“射中7环”的事件分别为A 、B 、C 、D ，则A 、B 、C 、D 是互斥事件，(1)P(A ＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.24＋0.28＝0.52；(2)P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.24＋0.28＋0.19＋0.16＝0.87.答射中10环或9环的概率是0.52，至少射中7环的概率为0.87.11．解记“响第1声时被接”为事件A，“响第2声时被接”为事件B，“响第3声时被接”为事件C，“响第4声时被接”为事件D.“响前4声内被接”为事件E，则易知A、B、C、D互斥，且E＝A＋B＋C＋D，所以由互斥事件的概率的加法公式得P(E)＝P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.1＋0.3＋0.4＋0.1＝0.9.12．解(1)记“他乘火车去”为事件A1，“他乘轮船去”为事件A2，“他乘汽车去”为事件A3，“他乘飞机去”为事件A4，这四个事件不可能同时发生，故它们彼此互斥．故P(A1＋A4)＝P(A1)＋P(A4)＝0.3＋0.4＝0.7.所以他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.(2)设他不乘轮船去的概率为P，则P＝1－P(A2)＝1－0.2＝0.8，所以他不乘轮船去的概率为0.8.(3)由于P(A)＋P(B)＝0.3＋0.2＝0.5，P(C)＋P(D)＝0.1＋0.4＝0.5，故他可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去．13．解设水位在[a，b)范围的概率为P([a，b))．由于水位在各范围内对应的事件是互斥的，由概率加法公式得：(1)P([10,16))＝P([10,12))＋P([12,14))＋P([14,16))＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82.(2)P([8,12))＝P([8,10))＋P([10,12))＝0.1＋0.28＝0.38.(3)记“水位不低于12 m”为事件A，P(A)＝1－P([8,12))＝1－0.38＝0.62.。
高中数学第三章概率本章整合课件北师大版必修3
=
1 , 45
所以 P(B)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=
方法二:设“至少有一个二级品”为事件 B, 则������指抽出的2 个产品中没有二级品,由(1)知,A= ������. 所以 P(B)=1-P(������ )=1-P(A)=1−
专题一
专题二
专题三
专题四
应用设点(p,q)在|p|≤3,|q|≤3所表示的区域D中均匀分布,试求关 于x的方程x2+2px-q2+1=0的两根都是实数的概率. 提示:根据一元二次方程有实数根的条件找出p,q满足的条件,进 而确定相应的区域. 解:所有基本事件构成的区域D的度量为正方形的面积,即D的度 量值为S正方形=6×6=36.
事件������包含的可能结果数 试验的所有可能结果数 事件������构成的区域范围 总的区域范围
事件
概率 概率模型 几何概型
定义:结果为无限个且等可能发生的概率模型 计算:������(������) =
区别:古典概型的结果有有限个,几何概型的结果有无限个 联系:所出现的结果都是等可能的 求法:随机模拟法和公式法 随机模拟→应用→估计概率、求图形面积等
所以点 P 落在圆 x +y =36
2
2
22 内的概率为 36
=
11 . 18
专题一
专题二
专题三
专题四
专题三 几何概型 高考中涉及的几何概型的概率求解问题,难度不会太大,题型可 能较灵活,涉及面可能较广.几何概型的三种常见类型为长度型、 面积型和体积型,在解题时要准确把握,要把实际问题做合理的转 化;要注意古典概型和几何概型的区别(基本事件的个数的有限性 与无限性),正确选用几何概型解题.
高二数学必修3第三章概率知识点归纳
高二数学必修3第三章概率知识点归纳聪明出于勤劳，天赋在于积聚。
小编预备了高二数学必修3第三章概率知识点，希望能协助到大家。
一.随机事情的概率及概率的意义1、基本概念：(1)肯定事情：在条件S下，一定会发作的事情，叫相关于条件S的肯定事情; (2)不能够事情：在条件S下，一定不会发作的事情，叫相关于条件S的不能够事情; (3)确定事情：肯定事情和不能够事情统称为相关于条件S确实定事情;(4)随机事情：在条件S下能够发作也能够不发作的事情，叫相关于条件S的随机事情;(5)频数与频率：在相反的条件S下重复n次实验，观察某一事情A能否出现，称n次实验中事情A出现的次数nA为事情A出现的频数;称事情A出现的比例fn(A)=nnA为事情A出现的概率：关于给定的随机事情A，假设随着试验次数的添加，事情A发作的频率fn(A)动摇在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事情A的概率。
(6)频率与概率的区别与联络：随机事情的频率，指此事情发作的次数nA与实验总次数n的比值nnA，它具有一定的动摇性，总在某个常数左近摆动，且随着实验次数的不时增多，这种摆动幅度越来越小。
我们把这个常数叫做随机事情的概率，概率从数量上反映了随机事情发作的能够性的大小。
频率在少量重复实验的前提下可以近似地作为这个事情的概率二.概率的基本性质1、基本概念：Page 8 of 8(1)事情的包括、并事情、交事情、相等事情(2)假定AB为不能够事情，即AB=ф，那么称事情A与事情B互斥;(3)假定AB为不能够事情，AB为肯定事情，那么称事情A与事情B互为统一事情;(4)当事情A与B互斥时，满足加法公式：P(AB)= P(A)+ P(B);假定事情A与B为统一事情，那么AB为肯定事情，所以P(AB)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1P(B) 2、概率的基本性质：1)肯定事情概率为1，不能够事情概率为0，因此01; 2)当事情A与B互斥时，满足加法公式：P(AB)= P(A)+ P(B);3)假定事情A与B为统一事情，那么AB为肯定事情，所以P(AB)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=14)互斥事情与统一事情的区别与联络，互斥事情是指事情A 与事情B在一次实验中不会同时发作，其详细包括三种不同的情形：(1)事情A发作且事情B不发作; (2)事情A不发作且事情B发作;(3)事情A与事情B同时不发作，而统一事情是指事情A 与事情B有且仅有一个发作，其包括两种情形;(1)事情A发作B不发作;(2)事情B发作事情A不发作，统一事情互斥事情的特殊情形。
高中数学 第三章 概率 3.2.2 概率的一般加法公式素材 新人教B版必修3
3.2.2 概率的一般加法公式
加法公式
定理1 若事件A 、B 互不相容，则 ()()().P A B P A P B +=+
解释：如右图，A+B ：12m m +个等概基本事件
1212()()().m m m m P A B P A P B n n n
++==+=+ 推论1 若有限个事件12,,,n A A A L 互不相容，则
1212()()()()n n P A A A P A P A P A +++=+++L L
推论2 若事件 12,,,n A A A L 互不相容，且12n A A A U +++=L ，则
12()()()1n P A P A P A +++=L
推论3 对立事件的概率满足 ()1()P A P A =-
例1 袋中装有2个红球，3个白球，4个黑球. 从中每次任取一个,并放回,连取两次,求
(1) 取得的两球中无红球的概率.
(2) 取得的两球中无白球的概率.
(3) 取得的两球中无红球或无白球的概率.
解： 设A =“无红球”，B =“无白球”，则 (1) 22749()981
P A == (2) 22636()981
P B == (3) A B + =“无红球或无白球”
()()()P A B P A P B +==+ 定理2 设A 、B
解释：看右图，AB 基本事件个数为k ，A B +基本事件个数为12m m k +-。
因此()P A B +=1212m m k m m k n n n n +-=+-()()()P A P B P AB =+- ?。
(易错题)高中数学必修三第三章《概率》测试(有答案解析)(2)
一、选择题1．第24届国际数学大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.如图，会标是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的一个锐角为θ，且πsin2sin52θθ⎛⎫++=⎪⎝⎭.若在大正方形内随机取一点，则该点取自小正方形区域的概率为（）.A．14B．15C．25D．352．中国是发现､研究和运用勾股定理最古老的国家之一，最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，他创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，已知四个直角三角形的两条直角边的长度之比为12，若向大正方形中随机投入一点，则该点落入小正方形的概率为（）A．125B．19C．15D．133．算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65.若在个､十､百位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字为奇数的概率为（）A．13B．49C．59D．234．如图，一个边长为2的正方形里有一个月牙形的图案，为了估算这个月牙形图案的面积，向这个正方形里随机投入500粒芝麻，经过统计，落在月牙形图案内的芝麻有150粒，则这个月牙图案的面积约为（）A．35B．45C．1 D．655．如图，正方形ABNH、DEFM的面积相等，23CN NG AB==，向多边形ABCDEFGH内投一点，则该点落在阴影部分内的概率为（）A．1 2B．3 4C．2 7D．3 86．某研究机构在对具有线性相关的两个变量x和y进行统计分析时，得到如下数据：x4681012y12356由表中数据求得y 关于x 的回归方程为ˆˆ0.65yx a =+，则在这些样本点中任取一点，该点落在回归直线下方的概率为（ ） A ．25B ．35C ．34D ．127．设向量()()1,,a x y x y R =-∈，若1a ≤，则y x ≥的概率为（ ） A ．14B ．1142π- C ．114π-D ．3142π+ 8．如图所示，在一个边长为2.的正方形AOBC 内，曲2y x =和曲线y x =围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC 内随机投一点(该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是（ ）A ．12B ．14C ．13D ．169．从一口袋中有放回地每次摸出1个球，摸出一个白球的概率为0.4，摸出一个黑球的概率为0.5，若摸球3次，则恰好有2次摸出白球的概率为 A ．0.24B ．0.26C ．0.288D ．0.29210．在一个棱长为3cm 的正方体的表面涂上颜色，将其适当分割成棱长为1cm 的小正方体，全部放入不透明的口袋中，搅拌均匀后，从中任取一个，取出的小正方体表面仅有一个面涂有颜色的概率是（） A ．49B ．827C ．29D ．12711．七巧板是我国古代劳动人民发明的一种智力玩具，由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成. 如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（ ）A ．14B ．316C ．38D ．71612．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，则他等待的时间不多于15分钟的概率为（ ） A ．13B ．14C ．15D ．16二、填空题13．如图，在边长为1的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为_______.14．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数： 488 932 812 458 989 431 257 390 024 556 734 113 537 569 683 907 966 191 925 271据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为__________.15．如图，C 是以AB 为直径的半圆周上一点，已知在半圆内任取一点，该点恰好在ABC 内部的概率为1π，则ABC 的较小的内角为________.16．高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A 的概率分别为56、78、34，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得1个A 的概率为____17．设每门高射炮命中飞机的概率为0.06，且每一门高射炮是否命中飞机是独立的，若有一敌机来犯，则需要______门高射炮射击，才能以至少99%的概率命中它．18．若正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，E 为正方体内任意一点，则AE 的长度大于3的概率等于_________.19．明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一准时响的概率是________ .20．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）.三、解答题21．袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球､黄球､绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是59，得到黄球或绿球的概率是23，试求：（1）从中任取一球，得到黑球､黄球､绿球的概率各是多少？（2）从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？22．甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15 ，边界忽略不计)即为中奖.乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2个球(球除颜色外不加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖.问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？23．某校疫情期间“停课不停学”，实施网络授课，为检验学生上网课的效果，高三年级进行了一次网络模拟考试.全年级共1500人，现从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如图所示）.已知这100人中[110，120）分数段的人数比[100，110）分数段的人数多6人.（1）根据频率分布直方图，求a，b的值；并估计抽取的100名同学数学成绩的平均数（假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）；（2）现用分层抽样的方法从分数在[130，140），[140，150]的两组同学中随机抽取6名同学，从这6名同学中再任选2名同学作为“网络课堂学习优秀代表”发言，求这2名同学的分数恰在同一组内的概率.24．将一枚六个面的编号为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后掷两次，记第一次出的点数为a ，第二次出的点数为b ，且已知关于x 、y 的方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩.（1）求此方程组有解的概率；（2）若记此方程组的解为00x x y y =⎧⎨=⎩，求00x >且00y >的概率.25．班级新年晚会设置抽奖环节.不透明纸箱中有大小相同的红球3个，黄球2个，且这5个球外别标有数字1、2、3、4、5.有如下两种方案可供选择： 方案一：一次性．．．抽取两球，若颜色相同，则获得奖品； 方案二：依次有放回．．．地抽取两球，若数字之和大于5，则获得奖品. （1）写出按方案一抽奖的试验的所有基本事件； （2）哪种方案获得奖品的可能性更大？26．为响应国家“精准扶贫、精准脱贫”的号召，某贫困县在精准推进上下功夫，在精准扶贫上见实效.根据当地气候特点大力发展中医药产业，药用昆虫的使用相应愈来愈多，每年春暖以后到寒冬前，昆虫大量活动与繁殖，易于采取各种药用昆虫.已知一只药用昆虫的产卵数y （单位：个）与一定范围内的温度x （单位：℃）有关，于是科研人员在3月份的31天中随机选取了5天进行研究，现收集了该种药物昆虫的5组观察数据如表：（1）从这5天中任选2天，记这2天药用昆虫的产卵数分别为m ，n ，求“事件m ，n 均不小于24”的概率？（2）科研人员确定的研究方案是：先从这5组数据中任选2组，用剩下的3组数据建立线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验.①若选取的是3月2日与3月30日这2组数据，请根据3月7日、15日和22日这三组数据，求出y 关于x 的线性回归方程？②若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的差的绝对值均不超过2个，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问①中所得的线性回归方程是否可靠？附公式：ˆybx a =+，()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据πsin 2sin 52θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，可以求得sin()1θϕ+=，tan 2ϕ=，求出小正方形的边长和直角三角形两直角边的长，进而得到大正方形的边长，然后根据几何概型概率公式求解即可． 【详解】由πsin 2sin 52θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭可得sin 2cos 5θθ+=，即5sin()5θϕ+=，即sin()1θϕ+=，且tan 2ϕ=，所以2πθϕ+=，所以直角三角形较大的锐角为ϕ，较小的锐角为θ，如图，设小正方形的边长为a ，直角三角形较大的锐角为θ、较大的锐角为为ϕ， 较小的直角的边长b ，则直角三角形较大的直角边长为+a b ，∵tan 2a bbϕ+==， ∴a b =，∴22(2)5a a a +=， 由几何概型概率公式可得，所求概率为2215(5)P a ==． 故选：B ． 【点睛】解答几何概型概率的关键是分清概率是属于长度型的、面积型的、还是体积型的，然后再根据题意求出表示基本事件的点构成的线段的长度（或区域的面积、空间几何体的体积），最后根据公式计算即可．解析：C 【分析】由已知的线段的长度比，得出两正方形的面积，运用概率公式可得选项. 【详解】设直角三角形的两直角边分别为1和2所以小正方形的边长为211-=，面积为1，大正方形的面积为25=. 所以飞镖落在小正方形内的概率为15. 故选：C. 【点睛】本题考查几何概型，关键在于由长度的关系得出大正方形和小正方形的面积，属于中档题.3．C解析：C 【分析】列举法列举出所有可能的情况，利用古典概型的计算方法计算即可. 【详解】解：依题意得所拨数字可能为610，601，511，160，151，115，106，61，16，共9个，其中有5个是奇数，则所拨数字为奇数的概率为59，故选：C. 【点睛】本题考查概率的实际应用问题，考查古典概型的计算方法，同时考查了学生的阅读能力和文化素养，属于中档题.4．D解析：D 【分析】利用与面积有关的几何概型概率计算公式求解即可. 【详解】由题可知,正方形的面积为=22=4S ⨯正,设这个月牙图案的面积为S , 由与面积有关的几何概型概率计算公式可得,向这个正方形里随机投入芝麻,落在月牙形图案内的概率为150=4500S S P S ==正,解得65S =. 故选:D 【点睛】本题考查与面积有关的几何概型概率计算公式;属于基础题、常考题型.解析：C 【分析】由正方形ABNH 、DEFM 的面积相等，可得两正方形边长相等，设边长为3，由23CN NG AB ==，可得正方形MCNG 的边长为2，分别求出阴影部分的面积及多边形ABCDEFGH 的面积，由测度比为面积比得答案. 【详解】如图所示，由正方形ABNH 、DEFM 的面积相等，可得两正方形边长相等， 设边长为3，由23CN NG AB ==，可得正方形MCNG 的边长为2， 则阴影部分的面积为224⨯=，多边形ABCDEFGH 的面积为2332214⨯⨯-⨯=. 则向多边形ABCDEFGH 内投一点， 则该点落在阴影部分内的概率为42147=. 故选：C.【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的求法，关键是求出多边形ABCDEFGH 的面积，着重考查了推理与运算能力，以及数形结合的应用，属于基础题.6．A解析：A 【分析】求出样本点的中心，求出ˆa的值，得到回归方程得到5个点中落在回归直线下方的有(6,2)，(8,3)，共2个，求出概率即可．【详解】8x =， 3.4y =，故3.40.658ˆa=⨯+，解得： 1.8a =-， 则0.65.8ˆ1yx =-， 故5个点中落在回归直线下方的有(6,2)，(8,3)，共2个， 故所求概率是25p =，故选：A ． 【点睛】本题考查回归方程概念、概率的计算以及样本点的中心，考查数据处理能力，是一道基础题．7．B解析：B 【分析】利用复数模的公式可得点(),x y 在以()1,0为圆心，以1为半径的圆上及圆的内部，结合y x ≥表示的是图中直线上方且在圆内的弓形，求出圆的面积与弓形的面积利用几何概型可得结果. 【详解】因为()()1,,a x y x y R =-∈，且1a ≤， 所以()2211x y -+≤，∴点(),x y 在以()1,0为圆心，以1为半径的圆上及圆的内部，y x ≥表示的是图中直线上方且在圆内的弓形，而圆的面积为S π=，11=42S π-弓， y x ∴≥的概率为111142=42S P S πππ-==-弓， 故选：B. 【点睛】本题主要考查几何概型中的面积类型，基本方法是：分别求得构成事件A 的区域面积和试验的全部结果所构成的区域面积，两者求比值，即为概率．8．C解析：C 【分析】欲求所投的点落在叶形图内部的概率，须结合定积分计算叶形图（阴影部分）平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式求解． 【详解】联立2y y x⎧=⎪⎨=⎪⎩(1,1)C . 由图可知基本事件空间所对应的几何度量1OBCA S =正方形， 满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：S （A）3123120021)()|33x dx x x ==-⎰13=． 所以P （A ）1()1313OBCAS A S ===正方形． 故选：C ． 【点睛】本题综合考查了几何概型及定积分在求面积中的应用，考查定积分的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．C解析：C 【分析】首先分析可能的情况：（白，非白，白）、（白，白，非白）、（非白，白，白），然后计算相应概率. 【详解】因为摸一次球，是白球的概率是0.4，不是白球的概率是0.6， 所以0.40.60.40.40.40.60.60.40.40.288P =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 故选C. 【点睛】本题考查有放回问题的概率计算，难度一般.10．C解析：C 【分析】由在27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，满足条件的事件是取出的小正方体表面仅有一个面涂有颜色，有6种结果，根据古典概型及其概率的计算公式，即可求解． 【详解】由题意，在27个小正方体中，恰好有三个面都涂色有颜色的共有8个，恰好有两个都涂有颜色的共12个，恰好有一个面都涂有颜色的共6个，表面没涂颜色的1个，可得试验发生包含的事件是从27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，满足条件的事件是取出的小正方体表面仅有一个面涂有颜色，有6种结果，所以所求概率为62279=． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算公式的应用，其中解答根据几何体的结构特征，得出基本事件的总数和所求事件所包含基本事件的个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．11．B解析：B 【分析】设正方形的边长为2，计算出阴影部分区域的面积和正方形区域的面积，然后利用几何概型的概率公式计算出所求事件的概率. 【详解】设正方形的边长为2，则阴影部分由三个小等腰直角三角形构成，则正方形的对角线长为42=，对应每个小等腰三角形的面积1124S ==， 则阴影部分的面积之和为13344⨯=，正方形的面积为4， 若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为344631=，故选：B ． 【点睛】本题考查面积型几何概型概率公式计算事件的概率，解题的关键在于计算出所求事件对应区域的面积和总区域的面积，考查计算能力，属于中等题.12．B解析：B 【分析】由电台整点报时的时刻是任意的知这是一个几何概型，电台整点报时知事件总数包含的时间长度是60，而他等待的时间不多于15分钟的事件包含的时间长度是15，利用时间的长度比即可求出所求. 【详解】解：由题意知这是一个几何概型， ∵电台整点报时，∴事件总数包含的时间长度是60，∵满足他等待的时间不多于15分钟的事件包含的时间长度是15， 由几何概型公式得到151604P ==, 故选B ． 【点睛】本题主要考查了几何概型，本题先要判断该概率模型，对于几何概型，它的结果要通过长度、面积或体积之比来得到，属于中档题.二、填空题13．【分析】利用定积分求得阴影部分的面积然后利用几何概型的概率计算公式即可求解【详解】由题意结合定积分可得阴影部分的面积为由几何概型的计算公式可得黄豆在阴影部分的概率为【点睛】本题主要考查了定积分的几何解析：1 3【分析】利用定积分求得阴影部分的面积，然后利用几何概型的概率计算公式，即可求解．【详解】由题意，结合定积分可得阴影部分的面积为311221 (1()|33S dx x x=-=-=⎰，由几何概型的计算公式可得，黄豆在阴影部分的概率为113113 p==⨯．【点睛】本题主要考查了定积分的几何意义求解阴影部分的面积，以及几何概型及其概率的计算问题，其中解答中利用定积分的几何意义求得阴影部分的面积是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．14．3【分析】在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的可以通过列举得到共6组随机数根据概率公式得到结果【详解】由题意知模拟三天的下雨情况经随机模拟产生了20组随机数在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨解析：3【分析】在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的可以通过列举得到共6组随机数，根据概率公式，得到结果．【详解】由题意知模拟三天的下雨情况，经随机模拟产生了20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：932、812、024、734、191、271，共6组随机数，∴所求概率为60.320P==．故答案为：0.3【点睛】本题主要考查了模拟方法估计概率，解题主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用，属于中档题．15．【分析】由几何概型中的面积型圆的面积公式三角形的面积公式及直角三角形的射影定理可得：设则又不妨设即所以得：所以所以得解【详解】过作设则由在半圆内任取一点该点恰好在内部的概率为则则即又不妨设即所以得： 解析：12π【分析】由几何概型中的面积型、圆的面积公式，三角形的面积公式及直角三角形的射影定理可得：设2AB a =，则22a S π=半圆，||2aCD =，又2||||||CD AD BD =⨯， 不妨设||||AD BD <，即CBA CAB ∠<∠，所以得：23||BD a +=，所以||tan 23||CD CBA BD ∠==-，所以12CBA π∠=，得解． 【详解】 过C 作CD AB ⊥，设2AB a =， 则22a S π=半圆，由在半圆内任取一点，该点恰好在ABC ∆内部的概率为1π， 则212ABC S a ∆=， 则211||||22AB CD a =， 即||2aCD =， 又2||||||CD AD BD =⨯，不妨设||||AD BD <，即CBA CAB ∠<∠， 所以得：23||BD +=， 所以||tan 23||CD CBA BD ∠== 所以12CBA π∠=，故答案为：12π．【点睛】本题考查了几何概型中的面积型、圆的面积公式，三角形的面积公式及直角三角形的射影定理，属中档题．16．【分析】先求对立事件概率：三门科目考试成绩都不是A 再根据对立事件概率关系求结果【详解】这位考生三门科目考试成绩都不是A 的概率为所以这位考生至少得1个A 的概率为故答案为：【点睛】本题考查利用对立事件求 解析：191192【分析】先求对立事件概率：三门科目考试成绩都不是A ，再根据对立事件概率关系求结果. 【详解】这位考生三门科目考试成绩都不是A 的概率为5731(1)(1)(1)684192---=， 所以这位考生至少得1个A 的概率为11911192192-= 故答案为：191192【点睛】本题考查利用对立事件求概率，考查基本分析求解能力，属基础题.17．【分析】设需要门高射炮由题意得出解出的取值范围可得出正整数的最小值【详解】设需要门高射炮则命不中的概率为由题意得出得解得而因此至少需要门高射炮故答案为：【点睛】本题考查独立事件概率乘法公式的应用在涉 解析：75【分析】设需要n 门高射炮，由题意得出()110.060.99n--≥，解出n 的取值范围，可得出正整数n 的最小值.【详解】设需要n 门高射炮，则命不中的概率为()10.06n-，由题意得出10.940.99n-≥，得0.940.01n≤，解得0.942log 0.01lg 0.94n ≥=-， 而274.43lg 0.94-≈，因此，至少需要75门高射炮. 故答案为：75. 【点睛】本题考查独立事件概率乘法公式的应用，在涉及“至少”问题时，可以利用对立事件的概率公式来进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.18．【解析】【分析】先求出满足题意的体积运用几何概型求出结果【详解】由题意可知总的基本事件为正方体内的点可用其体积满足的基本事件为为球心3为半径的求内部在正方体中的部分其体积为故则的长度大于3的概率【点 解析：16π-【解析】 【分析】先求出满足题意的体积，运用几何概型求出结果 【详解】由题意可知总的基本事件为正方体内的点，可用其体积3327=， 满足||3AE 的基本事件为A 为球心3为半径的求内部在正方体中的部分， 其体积为31493832V ππ=⨯⨯=，故则AE 的长度大于3的概率9211276P ππ=-=-．【点睛】本题考查了几何概型，读懂题意并计算出结果，较为基础19．98【解析】设甲闹钟准时响为事件A 乙闹钟准时响为事件B 则两个闹钟没有一个准时响为事件事件A 与事件B 相互独立得两个闹钟至少有一个准时响与事件对立故两个闹钟至少有一个准时响的概率为解析：98 【解析】设甲闹钟准时响为事件A ，乙闹钟准时响为事件B ，则两个闹钟没有一个准时响为事件，事件A 与事件B 相互独立，得，，．两个闹钟至少有一个准时响与事件对立，故两个闹钟至少有一个准时响的概率为．20．【详解】每个同学都有三种选择：跳高与跳远；跳高与铅球；跳远与铅球三个同学共有3×3×3=27种有且仅有两人选择的项目完全相同有种其中表示3个同学中选2个同学选择的项目表示从三种组合中选一个表示剩下的解析：23【详解】每个同学都有三种选择：跳高与跳远；跳高与铅球；跳远与铅球三个同学共有3×3×3=27种，有且仅有两人选择的项目完全相同有21133218C C C ⨯⨯=种,其中23C 表示3个同学中选2个同学选择的项目，13C 表示从三种组合中选一个，12C 表示剩下的一个同学有2中选择,故有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是182273=.考点：古典概型及其概率计算公式．三、解答题21．（1）黑球､黄球､绿球的概率分别是13，29，49；（2）1318.【分析】（1）从中任取一球，分别记得到黑球､黄球､绿球为事件A，B，C，由已知列出()()()P A P B P C、、的方程组可得答案；（2）求出从9个球中取出2个球的样本空间中共有的样本点，再求出两个球同色的样本点可得答案.【详解】（1）从中任取一球，分别记得到黑球､黄球､绿球为事件A，B，C，由于A，B，C为互斥事件，根据已知，得()()()()()()()()()()59231 P A B P A P BP B C P B P CP A B C P A P B P C⎧+=+=⎪⎪⎪+=+=⎨⎪++=++=⎪⎪⎩，解得() () ()132949P AP BP C⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以，任取一球，得到黑球､黄球､绿球的概率分别是13，29，49.（2）由（1）知黑球､黄球､绿球个数分别为3，2，4，从9个球中取出2个球的样本空间中共有36个样本点，其中两个是黑球的样本点是3个，两个黄球的是1个，两个绿球的是6个，于是，两个球同色的概率为3165 3618 ++=，则两个球颜色不相同的概率是513 11818 -=.【点睛】本题考查互斥事件和对立事件的概率，一般地，如果事件A1、A2、…、A n彼此互斥，那么事件A1+A2+…+A n发生(即A1、A2、…、A n中有一个发生)的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1+A2+…+A n)=P(A1)+P(A2)+…+P(A n).22．乙商场中奖的可能性大.【解析】试题分析：分别计算两种方案中奖的概率．先记出事件，得到试验发生包含的所有事件，和符合条件的事件，由等可能事件的概率公式得到． 试题如果顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘的面积2R π，阴影部分的面积为224153606R R ππ⨯=， 则在甲商场中奖的概率为212166R P R ππ==； 如果顾客去乙商场，记3个白球为1a ，2a ，3a ，3个红球为1b ，2b ，3b ，记(x ，y )为一次摸球的结果，则一切可能的结果有：()12,a a ，()13,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()13,a b ，()23,a a ，()21,a b ，()22,a b ，()23,a b ，()31,a b ，()32,a b ，()33,a b ，()12,b b ，()13,b b ，()23,b b ，共15种， 摸到的是2个红球有()12,b b ，()13,b b ，()23,b b ，共3种，则在乙商场中奖的概率为231155P ==， 又12p p <，则购买该商品的顾客在乙商场中奖的可能性大. 23．（1）a ＝0.020，b ＝0.026，112；（2）715. 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有频率之和为1可得+a b ，再由人数差可求得,a b ； （2）计算出分数为[130，140）的同学中抽取4人，分别用a 1，a 2，a 3，a 4表示，在分数为[140，150]的同学中抽取2人，分别用b 1，b 2表示，用列举法写出任取2人所有基本事件，并得出这2名同学的分数恰在同一组内的基本事件，计数后可计算出概率． 【详解】解：（1）依题意a +b ＝0.046，100×10×（b ﹣a ）＝6， 解得a ＝0.020，b ＝0.026， 平均数为：750.02850.08950.141050.21150.261250.151350.11450.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 整理得平均数为112（2）设“抽取的2名同学的分数恰在同一组内”为事件A由题意，在分数为[130，140）的同学中抽取4人，分别用a 1，a 2，a 3，a 4表示， 在分数为[140，150]的同学中抽取2人，分别用b 1，b 2表示，从这6名同学中抽取2人所有可能出现的结果有：（a 1，a 2），（a 1，a 3），（a 1，a 4）（a 1，b 1），（a 1，b 2），（a 2，a 3），（a 2，a 4），（a 2，b 1），（a 2，b 2），（a 3，a 4），（a 3，b 1），（a 3，b 2），（a 4，b 1），（a 4，b 2），（b 1，b 2）共15种，。
高中数学必修3课件：3.2.1 古典概型
第三章 概率
想一想 “在区间[0,10]上任取一个数,这个数恰为2的概率是多少”？这 个概率模型属于古典概型吗？ 提示：不是．因为在区间[0,10]上任取一个数，其试验结果有 无限个，故其基本事件有无限个，所以不是古典概型．
栏目 导引
第三章 概率
做一做 2.投掷一枚骰子，恰好数字6正面向上的概率是________． 解析：由于骰子每一个面向上的可能性相等，故数字 6 正面向 上的概率是16. 答案：16
栏目 导引
第三章 概率
【解】 从 7 人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各 1 名， 其一切可能的结果组成的 12 个基本事件为： (A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)， (A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)， (A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)． C1 恰被选中有 6 个基本事件： (A1，B1，C1)，(A1，B2，C1)，(A2，B1，C1)，(A2，B2，C1)， (A3，B1，C1)，(A3，B2，C1)， 因而 P(M)＝162＝12.
第三章 概率
1．基本事件 (1)定义：在一次试验中，所有可能出现的基本结果中不能 再分的最简单的___随__机____事件称为该次试验的基本事件． (2)特点：一是任何两个基本事件是_互__斥___的；二是任何事 件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的__和___．
栏目 导引
第三章 概率
做一做 1.袋中有红、白色球各一个，每次任取一个，有放回地抽三 次，所有的基本事件数是________． 解析：所有的基本事件有(红红红)(红红白)(红白红)(白红红)( 红白白)(白红白)(白白红)(白白白)，共8个． 答案：8
高中数学 第三章 概率 2.2 建立概率模型教案 北师大版必修3-北师大版高一必修3数学教案
2.2 建立概率模型整体设计教学分析本节教材通过例2的四种模型的所有可能结果数越来越少，调动起学生思考探究的兴趣；教师在教学中要注意通过引导学生体会不同模型的特点以及对各种方法进行比较，提高学生分析和解决问题的能力.三维目标1.使学生能建立概率模型来解决简单的实际问题，提高学生分析问题和解决问题的能力.2.通过学习建立概率模型，培养学生的应用能力.重点难点教学重点：建立古典概型.教学难点：建立古典概型.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.计算事件发生概率的大小时，要建立概率模型，把什么看成一个基本事件是人为规定的.今天我们学习如何建立概率模型，教师点出课题.思路2.解决实际应用问题时，要转化为数学问题来解决，即建立数学模型，这是高中数学的重点内容之一，也是高考的必考内容，同样解决概率问题也要建立概率模型，教师点出课题.推进新课新知探究提出问题1.回顾解应用题的步骤？2.什么样的概率属于古典概型？讨论结果：1.解应用题的一般程序：①读：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础.②建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型.熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关.③解：求解数学模型，得到数学结论.一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程.④答：将数学结论还原给实际问题的结果.2.同时满足以下两个条件的概率属于古典概型：①试验的所有基本事件只有有限个，每次试验只出现其中一个基本事件；②每一次试验中，每个基本事件出现的可能性相等.应用示例思路1例1 口袋里装有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相同,4个人按顺序依次从中摸出一球.试计算第二个人摸到白球的概率.分析：我们只需找出4个人按顺序依次摸球的所有可能结果数和第二个人摸到白球的可能结果数.为此考虑用列举法列出所有可能结果.解法一：用A 表示事件“第二个人摸到白球”.把2个白球编上序号1,2;2个黑球也编上序号1,2.于是,4个人按顺序依次从袋中摸出一球的所有可能结果,可用树状图直观地表示出来(如图1).图1树状图是进行列举的一种常用方法.从上面的树状图可以看出,试验的所有可能结果数为24.由于口袋内的4个球除颜色外完全相同,因此,这24种结果的出现是等可能的,试验属于古典概型.在这24种结果中,第二个人摸到白球的结果有12种,因此“第二个人摸到白球”的概率P(A)=2412=21, 这与第一节的模拟结果是一致的.还可以建立另外的模型来计算“第二个人摸到白球”的概率.如果建立的模型能使得试验的所有可能结果数变少,那么我们计算起来就更简便.解法二：因为是计算“第二个人摸到白球”的概率,所以我们可以只考虑前两人摸球的情况.前两人依次从袋中摸出一球的所有可能结果可用树状图列举出来(如图2).图2从上面的树状图可以看出,这个模型的所有可能结果数为12,因为口袋里的4个球除颜色外完全相同,因此,这12种结果的出现是等可能的,这个模型也是古典概型.在上面12种结果中,第二个人摸到白球的结果有6种,因此“第二个人摸到白球”的概率P(A)=126=21. 这里,我们是根据事件“第二个人摸到白球”的特点,利用试验结果的对称性,只考虑前两人摸球的情况,从而简化了模型.还可以从另外一个角度来考虑这个问题.因为口袋里的4个球除颜色外完全相同,因此,可以对2个白球不加区别,对2个黑球也不加区别,这样建立的模型的所有可能结果数就会更少,由此得到例2的另一种解法.解法三：只考虑球的颜色,4个人按顺序依次从袋中摸出一球的所有可能结果可用树状图列举出来(如图3).图3试验的所有可能结果数为6,并且这6种结果的出现是等可能的,这个模型是古典概型.在这6种结果中,第二个人摸到白球的结果有3种,因此“第二个人摸到白球”的概率P(A)=63=21. 下面再给出一种更为简单的解法.解法四：只考虑第二个人摸出的球的情况,他可能摸到这4个球中的任何一个,这4种结果出现的可能性是相同的.第二个人摸到白球的结果有2种,因此“第二个人摸到白球”的概率P(A)=42=21. 点评：画树状图进行列举是计算结果个数的基本方法之一.解法一利用树状图列出了4个人依次从袋中摸出一球的所有可能结果，共有24种，其中第二个人摸到白球的结果有12种，因此算得“第二个人摸到白球”的概率为21. 解法二利用试验结果的对称性，只考虑前两人摸球的情况，所有可能结果减少为12种，简化了模型.解法三只考虑球的颜色，对2个白球不加区别，对2个黑球也不加区别，所有可能结果只有6种.解法四只考虑第二个人摸出的球的情况，所有可能结果变为4种，这个模型最简单.尽管解法二,三,四建立的模型在解决该问题时比解法一简便，但解法一也有它的优势，利用解法一可以计算出4个人顺次摸球的任何一个事件的概率，而解法二,三,四却不能做到.教师要提醒学生，本章古典概率的计算，解法一是最基本的方法.对于一个实际问题，有时从不同的角度考虑，可以建立不同的古典概型来解决.变式训练小明和小刚正在做掷骰子游戏，两人各掷一枚骰子，当两枚骰子点数之和为奇数时，小刚得1分，否则小明得1分.这个游戏公平吗？分析：计算双方获胜的概率，来判断游戏是否公平.解：设(x,y)表示小明抛掷骰子点数是x ，小刚抛掷骰子点数是y ，则该概率属于古典概型.所有的基本事件是：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3), (4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3), (6,4),(6,5),(6,6),即有36种基本事件.其中点数之和为奇数的基本事件有：(1,2),(1,4),(1,6),(2,1),(2,3),(2,5),(3,2),(3,4),(3,6),(4,1),(4,3),(4,5),(5,2),(5,4),(5,6),(6,1),(6,3),(6,5).即有18种.所以小刚得1分的概率是3618=21. 则小明得1分的概率是1-21=21. 则小明获胜的概率与小刚获胜的概率相同，游戏公平.思路2例1 （2007广东高考,文8）在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同.现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( ) A.103 B.51 C.101 D.121 分析：用(x,y)(x≠y)表示从这5个球中随机取出2个小球上数字的结果，其结果有： (1，2)、(1，3)、(1，4)、(1，5)、(2，3)、(2，4)、(2，5)、(3，4)、(3，5)、(4，5)，即共有10种，取出的小球标注的数字之和为3或6的结果有：(1，2)、(1，5)、(2，4)，共有3种，所以取出的小球标注的数字之和为3或6的概率为P(A)= 103. 答案：A点评：求古典概型的概率的步骤：①利用枚举法计算基本事件的总数;②利用枚举法计算所求事件所含基本事件的个数;③代入古典概型的概率计算公式求得.变式训练1.（2007全国高考卷Ⅰ,文13）从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为(单位：g)：该自动包装机包装的食盐质量在497.5 g —501.5 g 之间的概率约为___________.分析：观察表格可得在497.5 g —501.5 g 之间的食盐有：498，501，500，501，499共5袋，则食盐质量在497.5 g —501.5 g 之间的概率P(A)=205=0.25. 答案：0.252.某校要从高一、高二、高三共2 007名学生中选取50名组成访问团，若采用下面的方法选取：先用分层抽样的方法从2 007人中剔除7人，剩下的2 000人再按简单随机抽样的方法进行，则每人入选的概率( ) A.不全相等 B.均不相等C.都相等且为200750D.都相等且为401 分析：按分层抽样抽取样本时，每个个体被抽到的概率是相等的，都等于200750. 答案：C知能训练1.袋中有4个红球，5个白球，2个黑球，从里面任意摸2个小球，不是基本事件.( )A.｛正好2个红球｝B.｛正好2个黑球｝C.｛正好2个白球｝D.｛至少一个红球｝分析：至少一个红球包含：一红一白或一红一黑或2个红球，所以｛至少一个红球｝不是基本事件，其他事件都是基本事件.答案：D2.抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷10 000次，那么第9 999次出现正面朝上的概率是( )A.99991B.100001C.100009999D.21 答案：D3.有4条线段,长度分别为1、3、5、7,从这四条线段中任取三条,则所取三条线段能够成一个三角形的概率是( )A.41B.31C.21D.52 答案：A4.（2007全国高考卷Ⅱ,文13）一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为____________.分析：按简单随机抽样抽取样本时，每个个体被抽到的概率是相等的，都等于1005,即201. 答案：201 5.某小组有5名女生，3名男生，现从这个小组中任意选出一名组长，则其中一名女生小丽当选为组长的概率是__________.答案：81 6.袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：(1)事件A ：取出的两球都是白球；(2)事件B ：取出1个是白球，另1个是红球.分析：首先应求出任取两球的基本事件的总数，然后需分别求出事件A 的个数和事件B 的个数，运用公式求解即可.解：设4个白球的编号为1，2，3，4，两个红球的编号为5，6.从袋中的6个小球中任取两个的基本事件有：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)共15个.(1)取出的全是白球的基本事件，共有6个，即为(1，2)，(1，3)，(1，4)， (2，3)，(2，4)，(3，4)，∴取出的两个球都是白球的概率为P(A)=156. (2)取出一个红球，而另一个为白球的基本事件，共有8个，即为(1，5)，(1，6)， (2，5)，(2，6)， (3，5)，(3，6)， (4，5)，(4，6),∴取出的两个球一个是白球，另一个是红球的概率为P(B)=158. 拓展提升1.连续掷两次骰子，以先后得到的点数m,n 为点P(m,n)的坐标，设圆Q 的方程为x 2+y 2=17.(1)求点P 在圆Q 上的概率；(2)求点P 在圆Q 外部的概率.解：m 的值的所有可能是1，2，3，4，5，6，n 的值的所有可能是1，2，3，4，5，6，所以,点P(m ，n)的所有可能情况有6×6=36种，且每一种可能出现的可能性相等，本问题属古典概型问题.(1)点P 在圆Q 上只有P(1,4)，P(4,1)两种情况，根据古典概型公式，点P 在圆Q 上的概率为181362=. (2)点P 在圆Q 内的坐标是：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2),共有8点，所以点P 在圆Q 外部的概率为1-18133682=+. 2.将一枚质地均匀的硬币连续投掷3次，求以下事件的概率：(1)3次正面向上;(2)2次正面向上,1次反面向上.解：(1)将一枚质地均匀的硬币连续投掷3次的基本事件总数为8,又事件“3次正面向上”共有基本事件数为1,设事件“3次正面向上”为A, ∴P(A)=81. ∴事件“3次正面向上”发生的概率为81. (2)又事件“2次正面向上，1次反面向上”共有基本事件数为3,设事件“2次正面向上，1次反面向上”为B,∴P(B)=83. ∴事件“2次正面向上，一次反面向上”发生的概率为83. 课堂小结本节课学习了同一个古典概型的概率计算问题，可以建立不同的概率模型来解决. 作业习题3－2 A 组 7、8.设计感想本节教学设计过程中，注重培养学生的应用能力，以及古典概型的计算方法.在实际教学过程中，教师要根据学生的实际，重点指导学生如何建立古典概型.。
《古典概型》教案
《古典概型》教学设计一、教材分析本节课是人教A版高中数学3（必修）第三章概率的第二节古典概型的第一课时，是在随机事件的概率之后，几何概型之前，尚未学习排列组合的情况下教学的。
古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，在概率论中占有相当重要的地位。
学好古典概型能够为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题。
二、教学目标1．知识与技能(1)理解基本领件的特点；(2)通过实例，理解古典概型及其概率计算公式；(3)会用列举法计算一些随机事件所含的基本领件数及事件发生的概率。
2．过程与方法根据本节课的内容和学生的实际水平，通过两个试验的观察让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，观察类比骰子试验，归纳总结出古典概型的概率计算公式，表达了化归的重要思想，掌握列举法，学会使用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题。
3．情感态度与价值观概率教学的核心问题是让学生理解随机现象与概率的意义，增强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象。
适当地增加学生合作学习交流的机会，尽量地让学生自己举出生活和学习中与古典概型相关的实例。
使得学生在体会概率意义的同时，感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是地科学态度和锲而不舍的求学精神。
三、重点、难点重点：理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率。
难点：如何判断一个试验是否是古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本领件的个数和试验中基本领件的总数。
四、教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图以境激情试验1：掷一枚质地均匀的硬币，观察出现哪几种结果？（见课件）试验2：抛掷一颗均匀的骰子一次，观察出现的点数有哪几种结果？1．基本领件的概念一次试验可能出现的每一个结果称为一个基本领件。
如：试验1中的“正面朝上”、“正面朝下”；试验2中的出现“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”、“6点”教师创设情境，为导入新知做准备。
高中数学第三章概率3.1.3概率的基本性质课件新人教A版必修3
(2)对于事件C,可能的结果为1个红球2个白球,2个红球1个白球,3
个均为红球,故C∩A=A.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
互动探究 在本例中A与D是什么关系?事件A与B的交事件是什么?
解:由本例的解答,可知A⊆D.
因为A,B是互斥事件,所以A∩B=⌀.
故事件A与B的交事件是不可能事件.
集合的观点看,事件C1是事件D3,E,H的子集,集合C1与集合D1相等.
3.请指出如果事件C2发生或C4发生或C6发生,就意味着哪个事件
发生?
提示如果事件C2发生或C4发生或C6发生,就意味着事件G发生.
4.如果事件D2与事件H同时发生,就意味着哪个事件发生?
提示如果事件D2与事件H同时发生,就意味着事件C5发生.
然是A1,A2,…,An彼此互斥.在将事件拆分成若干个互斥事件时,注意
不能重复和遗漏.
2.当所要拆分的事件非常烦琐,而其对立事件较为简单时,可先求
其对立事件的概率,再运用公式求解.但是一定要找准其对立事件,
避免错误.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练2据统计,某储蓄所一个窗口排队等候的人数及相应概
点},C5={出现5点},C6={出现6点},D1={出现的点数不大于
1},D2={出现的点数大于4},D3={出现的点数小于6},E={出现的点
数小于7},F={出现的点数大于6},G={出现的点数为偶数},H={出
现的点数为奇数},等等.
1.上述事件中哪些是必然事件?哪些是不可能事件?哪些是随机
5.事件D3与事件F能同时发生吗?
提示事件D3与事件F不能同时发生.
高中数学第三章概率3.2.2概率的一般加法公式素材新人教B版必修3
0 3.2.2 概率的一般加法公式
加法公式
定理1 若事件A 、B 互不相容，则 ()()().P A B P A P B +=+
解释：如右图，A+B ：12m m +个等概基本事件
12
1
2
()()().m m m m P A B P A P B n n n ++==+=+
推论1 若有限个事件12,,,n A A A 互不相容，则
1212()()()()n n P A A A P A P A P A +++=+++
推论2 若事件 12,,,n A A A 互不相容，且12n A A A U +++=，则
12()()()1n P A P A P A +++=
推论3 对立事件的概率满足 ()1()P A P A =-
例1 袋中装有2个红球，3个白球，4个黑球. 从中每次任取一个,并放回,连取两次,求
(1) 取得的两球中无红球的概率.
(2) 取得的两球中无白球的概率.
(3) 取得的两球中无红球或无白球的概率.
解： 设A =“无红球”，B =“无白球”，则 (1) 2
2749
()981P A == (2) 2
2636
()981P B ==
(3) A B + =“无红球或无白球”
()()()P A B P A P B +==+ 定理2 设A 、B
解释：看右图，AB 基本事件个数为k ，A B +基本事件个数为12m m k +-。
因此()P A B +=1212m m k
m m k
n n n n +-=+-()()()P A P B P AB =+-
?。
高中数学 第三章 概率 3.2 古典概型 3.2.1 古典概型的特征和概率计算公式课件 北师大版必修3
对于选项A,因为发芽与不发芽的概率不同,所以不是古典概型;
对于选项
B,因为摸到白球与黑球的概率都是
1 2
,
所以是古典概
型;
对于选项C,因为基本事件有无限个,所以不是古典概型;
对于选项D,因为命中10环,命中9环,……,命中0环的概率不相同,
所以不是古典概型.
答案:B
题型一
题型二
题型三
题型四
古典概型的概率计算 【例3】 某商场举行购物抽奖促销活动,规定每位顾客从装有编 号为0,1,2,3四个相同小球的抽奖箱中,每次取出一个球记下编号后 放回,连续取两次.若取出的两个小球号码相加之和等于6,则中一等 奖;若等于5,则中二等奖;若等于4或3,则中三等奖. (1)求中三等奖的概率; (2)求中奖的概率. 分析:分别写出所有基本事件,利用古典概型的概率计算公式求 出概率.
【做一做2-1】 袋中有2个红球,2个白球,2个黑球,从里面任意摸 出2个小球,下列事件不是基本事件的是( )
A.{正好2个红球} B.{正好2个黑球} C.{正好2个白球} D.{至少1个红球} 解析:至少1个红球包含:一红一白或一红一黑或2个红球,所以{至 少1个红球}不是基本事件,其他事件都是基本事件. 答案:D
【做一做2-2】 已知一个家庭有两个小孩,则所有的基本事件是
() A.(男,女),(男,男),(女,女) B.(男,女),(女,男) C.(男,男),(男,女),(女,男),(女,女) D.(男,男),(女,女) 解析:用坐标法表示:将第一个小孩的性别放在横坐标位置,第二
个小孩的性别放在纵坐标位置,可得4个基本事件(男,男),(男,女),(女, 男),(女,女).
【做一做1】 下列试验中,是古典概型的有( ) A.抛掷一枚图钉,发现钉尖朝上 B.某人到达路口看到绿灯 C.抛掷一粒均匀的正方体骰子,观察向上的点数 D.从10 cm3水中任取1滴,检查有无细菌 答案:C
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必修3第三章《概率》
一、选择题
1.下列说法正确的是（ ）
A. 任何事件的概率总是在（0，1）之间
B. 频率是客观存在的，与试验次数无关
C. 随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
D. 概率是随机的，在试验前不能确定
2.掷一枚骰子，则掷得奇数点的概率是（ ） A. 61 B. 21 C. `
31 D. 41 3. 抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面朝上的概率是（ ） A. 9991 B. 10001 C. 1000999 D. 2
1 4.从一批产品中取出三件产品，设A =“三件产品全不是次品”，B =“三件产品全是次品”，C =“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（ ）
A. A 与C 互斥
B. B 与C 互斥
C. 任何两个均互斥
D. 任何两个均不互斥
5.从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8g 的概率为0.3，质量小于4.85g 的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85]（ g ）范围内的概率是（ ）
A. 0.62
B. 0.38
C. 0.02
D. 0.68
6.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是（ ）
实用文档 A.
21 B. 41 C. 31 D. 81 7.甲，乙两人随意入住两间空房，则甲乙两人各住一间房的概率是（ ）
A. 31 .
B. 41
C. 2
1 D.无法确定 8.从五件正品，一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率是（ ）
A. 1
B. 21
C. 31
D. 3
2 9.一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1球，然后放回袋中再取出 一球，则取出的两个球同色的概率是（ ） A. 21 B. 31 C. 41 D. 5
2 10.现有五个球分别记为A ，C ，J ，K ，S ，随机放进三个盒子，每个盒子只能放 一个球，则K 或S 在盒中的概率是（ ） A. 101 B. 5
3 C. 103 D. 10
9 二、填空题
11. 某小组有三名女生，两名男生，现从这个小组中任意选出一名组长， 则其中一名女生小丽当选为组长的概率是___________
12. 掷两枚骰子，出现点数之和为3的概率是_____________
13. 某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任正副班长， 其中至少有1名女生当选的概率是______________
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则年降水量在 [ 200，300 ] （m,m ）范围内的概率是___________
三、解答题（本大题共3小题，共30分，解答应写出文字说明，证明过程 或演算步骤）
15.（8分）如图，在边长为25cm 的正方形中挖去边长为23cm 的两个等腰直角三
角形，现有均匀的粒子散落在正方形中，
问粒子落在中间带形区域的概率是多少？
16.（8分）10本不同的语文书，2本不同的数学书，从中任意取出2本， 能取出数学书的概率有多大？
17.（14分）甲盒中有红，黑，白三种颜色的球各3个，乙盒子中有黄，黑，白，三种颜色的球各2个，从两个盒子中各取1个球
（1）求取出的两个球是不同颜色的概率.
（2）请设计一种随机模拟的方法，来近似计算（1）中取出两个球是不同
颜色的概率（写出模拟的步骤）.
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实用文档 参考答案
一、选择题
二、填
空题 11.
51
12. 181 13. 75 14. 0.25 三、解答题
15. 解：因为均匀的粒子落在正方形内任何一点是等可能的
所以符合几何概型的条件。
设A ＝“粒子落在中间带形区域”则依题意得
正方形面积为：25×25＝625
两个等腰直角三角形的面积为：2×
2
1×23×23＝529 带形区域的面积为：625－529＝96
∴ P （A ）＝ 625
96 16. 解：基本事件的总数为：12×11÷2＝66
“能取出数学书”这个事件所包含的基本事件个数分两种情况：
（1）“恰好取出1本数学书”所包含的基本事件个数为：10×2＝20
实用文档 （2）“取出2本都是数学书”所包含的基本事件个数为：1
所以“能取出数学书”这个事件所包含的基本事件个数为：20＋1＝21
因此, P （“能取出数学书”）＝22
7 17 解：
（1）设A ＝“取出的两球是相同颜色”，B ＝“取出的两球是不同颜色”.
则事件A 的概率为：
P （A ）＝692323⨯⨯⨯＋＝9
2 由于事件A 与事件B 是对立事件，所以事件B 的概率为：
P （B ）＝1－P （A ）＝1－92＝9
7 （2）随机模拟的步骤：
第1步：利用抓阄法或计算机（计算器）产生1～3和2～4两组
取整数值的随机数，每组各有N 个随机数。
用“1”表
示取到红球，用“2”表示取到黑球，用“3”表示取到
白球，用“4”表示取到黄球。
第2步：统计两组对应的N 对随机数中，每对中的两个数字不同
的对数n 。
第3步：计算N n 的值。
则N
n 就是取出的两个球是不同颜色的概率的近似值。