勾股定理1

合集下载

勾股定理(1)教学案设计

苏教版勾股定理（1）教学案设计盐城市泽夫中学季军一、学情简析学生在小学里已经掌握了三角形和正方形等图形的面积公式，并且在七年级（下）的学习中已经认识到了三角形的三边之间满足一种不等关系，在此基础上，让学生自己动手画图，学习小组合作发现定理的存在，激发学生的学习动机，引导学生探索直角三角形的三边关系。

二、教材分析本节课是《数学》苏教版八年级（上）第二章《勾股定理与平方根》中第一节勾股定理的第一课时，勾股定理是几何中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系，将形与数密切联系起来，它在数学的发展中起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的作用，学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。

三、教学目标知识目标：掌握勾股定理的内容，并能用它解决简单的问题能力目标：在探索勾股定理过程中，发展合情合理的推理能力，体会数形结合的思想，发展归纳、概括和有条理地表达活动过程及结论的能力。

情感目标：了解勾股定理的历史和应用，感受勾股定理的文化价值，增强学生的民族自豪感，树立学好数学的信心。

四、教学重点：探索勾股定理的过程，会利用直角三角形的两边长求另一边长五、教学难点：用面积割、补的方法探索勾股定理六、教学方法与教学手段运用引导发现与动手实验相结合的方法，采用多媒体辅助教学手段，组织学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的过程，让学生亲身经历并感受定理的形成过程，体会数形结合和有特殊到一般的数学思想。

八、设计说明在本节课的教学中，我首先在课前让学生充分预习，了解这节课的内容。

在课的开始采用学生熟悉的实际问题引入教学，目的是验证学生的预习，解决预习中的困难。

在解决问题中，让学生自己动手去操作，小组合作，共同探索，使每一位学生都参与学习活动之中。

作为教师的我，是本节课的引导者，参与者，和学生一起发现问题，探索问题，解决问题，与同学一起享受成功的喜悦。

在探索的过程中，捕捉学生的闪光点，及时给与鼓励，使学生在愉悦的氛围中学习。

直角三角形-勾股定理1上海学

第讲勾股定理知识点睛1、勾股定理：如果直角三角形的两直角边上分别为a, b ，斜边长为c ，那么222a b c +=。

即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的证明方法：法1（赵爽：内弦图）：甲的面积=（大正方形面积）-（4个直角三角形面积）．法2（赵爽：外弦图）：：四个直角三角形的面积和 +小正方形的面积 =大正方形的面积，222()ab a b c +-=，22222ab a ab b c +-+=，∴222a b c +=法3（美国第20任总统伽菲尔德的证法）：2111()()2222a b a b ab c ++=⨯+ 梯形面积=三个直角三角形的面积和22()2a b ab c +=+ 22222a ab b ab c ++=+∴222a b c +=法4（毕达哥拉斯的旋转证法）：若设AB=a ，BC=b ，DB=c ，则梯形A′B′BC 面积()()()21122S a b a b a b =++=+梯形ABBC ，又"""2111222BCD A B D DBB S S S S ab c ab ∆∆∆=++=++""梯形A B BC ，所以()2211112222a b ab c ab +=++，则22222a b ab c ab ++=+，即222a b c +=。

甲c ccbababa cb acb acb aab ca bcb-ab-acc cc甲丙乙ab cabc法5（新娘图法）：用方格来验证勾股定理法6（欧几里得证法）：如图2-16所示．在Rt△ABC的外侧，以各边为边长分别作正方形ABDE，BCHK，ACFG，它们的面积分别是c2，a2，b2．下面证明，大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和．过C引CM∥BD，交AB于L，连接BG，CE．因为AB=AE，AC=AG，∠CAE=∠BAG，所以△ACE≌△AGB(SAS)．而所以 S AEML=b2，同理可证 S BLMD=a2．相加得S ABDE=S AEML+S BLMD=b2+a2，即 c2=a2+b2．法7：如图2-18．在直角三角形ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE，延长CB，自E作EG⊥CB延长线于G，自D作DK⊥CB延长线于K，又作AF， DH分别垂直EG于F，H．由作图不难证明，下述各直角三角形均与Rt△ABC全等：△AFE≌△EHD≌△BKD≌△ACB．设五边形ACKDE的面积为S，一方面S=S ABDE+2S△ABC，另一方面S=S ACGF+S HGKD+2S△ABC，相加得所以 c2=a2+b2．练习：用下面各图验证勾股定理(虚线代表辅助线)：（1）赵君卿图(图2-27)； (2)项名达图(2-28)； (3)杨作枚图(图2-29)．CBA3、由勾股定理的基本关系式222a b c +=，还可得到一些变形关系式如：22c a b =+，222()()a c b c b c b =-=+-，22a c b =-，222()()b c a c a c a =-=+-，22b c a =-等。

《勾股定理》(1)教学反思

《勾股定理》（1）教学反思商南县初级中学石贵旺本节课是公式课，探索勾股定理和利用数形结合的方法验证勾股定理。

勾股定理是在学生已经掌握了直角三角形的有关性质的基础上进行学习的，它揭示了一个三角形三条边之间的数量关系，它是解直角三角形的主要根据之一，是直角三角形的一条非常重要的性质，也是几何中最重要的定理之一，它将形与数密切联系起来，在数学的发展中起着重要的作用，在现实世界中也有着广泛的作用.由此可见，勾股定理是对直角三角形进一步的认识和理解，是后续学习的基础。

因此，本节内容在整个知识体系中起着重要的作用。

针对八年级学生的知识结构和心理特征，本节课的设计思路是引导学生“做数学”，选用“引导探究式”教学方法，先由浅入深，由特殊到一般地提出问题，接着引导学生通过实验操作，归纳验证，在学生的自主探究与合作交流中解决问题，这样既遵循了学生的认知规律，又充分体现了“学生是数学学习的主人、教师是数学学习的组织者、引导者与合作者”的教学理念.通过教师引导，学生动手、动脑，主动探索获取新知，进一步理解并运用归纳猜想，由特殊到一般，数形结合等数学思想方法解决问题。

同时让学生感悟到：学习任何知识的最好方法就是自己去探究。

本节课采用的教学流程是：提出问题—实验操作—归纳验证—解决问题—课堂小结五部分，在这一过程中，让学生经历了知识的发生、形成和发展的过程，让学生体会到观察、猜想、归纳、验证的思想和数形结合的思想，从而更好地理解勾股定理，应用勾股定理，发展学生应用数学的意识与能力，增强了学生学好数学的愿望和信心。

本节课中的学生对邮票的观察发现，对直角三角形三边关系的发现，自我小结等，都给学生提供了充分的表达和交流的机会，发展了语言表达和概括能力，增强了合作意识。

由展示生活图片，感受生活中直角三角形的应用，引导学生将生活图形数学化。

感受到生活中处处有数学。

由实际问题：工人师傅要做出一个直角三角形支架，一般会怎么做？引导学生思考：直角三角形的三边除了我们已知的不等关系以外，是不是还存在着我们未知的等量关系呢？调动学生的学习热情，激发学生的学习愿望和参与动机。

1勾股定理(第1课时)(教学PPT课件(华师大版))28张

正方形中小方格的个数，你有什么猜想？
1955年希腊发行的一枚纪念邮票.
讲授新课
知识点一直角三角形三边的关系
视察正方形瓷砖铺成的地面.
（1）正方形P的面积是
1
（2）正方形Q的面积是
1
平方厘米；
（3）正方形R的面积是
2
平方厘米.
平方厘米；
上面三个正方形的面积之间有什么关系？
等腰直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？
程.
b
a
b
a
c
c
b
c
c
a
a
b
讲授新课
证明：大正方形的面积=(a+b)2.
四个个全等的直角三角形和小正方形的面积
1
2
2
之和= 4 ab c 2ab c .
2
b
由题可知(a+b)2=2ab+c2，
a
c
化简可得a2+b2=c2.
我们利用拼图的方法，将形的问题
与数的问题结合起来，再进行整式
A的面积
B的面积
C的面积
左图
4
9
13
右图
16
9
25
结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
SA+SB=SC
讲授新课
猜想:两直角边a、b与斜边 c 之间的关系？
A
a
B b
c
a2+b2=c2
C
讲授新课
概念总结
由上面的探索可以发现：对于任意的直角三角形，如果它的两
数学（华东师大版）
八年级上册
第14章勾股定理

初中数学_《勾股定理(1)》教学设计学情分析教材分析课后反思

《勾股定理（1）》教学设计教学目标：知识与技能1、了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程。

2、在勾股定理的探索过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想。

3、能利用勾股定理的数学模型解决现实世界中的简单实际问题。

过程与方法1、在勾股定理的探索过程中，发展合情推理能力，体会数形结合思想。

2、经历观察与发现直角三角形三边关系的过程，感受勾股定理的应用意识。

情感、态度与价值观1、通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习热情。

2、在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神。

教学重点：探索和验证勾股定理。

教学难点：用拼图的方法验证勾股定理。

课时安排：1课时教学过程：一、情境导入相传2500年前，古希腊数学家毕达哥拉斯到朋友家做客时，发现朋友家的地砖反映了直角三角形三条边的数量关系。

请同学们观察，并填空1、观察图形（简化图中每个小方格代表一个单位面积）①正方形A的面积是个单位面积。

②正方形B的面积是个单位面积。

③正方形C的面积是个单位面积。

结论：2、观察图形，填表A的面积B的面积C的面积图1-1图1-2教师口述毕达哥拉斯发现勾股定理的故事，并展示图案。

学生认真观察图形，填空，探究发现，学生就发现的特点用语言描述出来。

教师做详细准确的归纳。

通过毕达哥拉斯的故事激发学生的学习兴趣。

渗透从特殊到一般的数学思想，充分发挥学生的主体地位。

鼓励学生体会观察、大胆猜想、归纳，提高学生的语言表达能力和归纳概括能力。

你能发现图1-1正方形A、B、C的的面积有什么关系吗？图1-2呢？3、用边长表示A的面积用边长表示B的面积用边长表示C的面积用边长表示图1-1图1-2二、探究新知大胆猜想：命题：直角三角形中，三边的长度存在什么关系？语言描述：符号表示：动手拼拼图1、准备四个全等的三角形（设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c）2、你能用这四个直角三角形拼出边长为c的正方形吗？拼一拼，试试看。

【数学课件】勾股定理(1)

同学们,再见
1、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之毁灭。——卢梭 2、教育人就是要形成人的性格。——欧文 3、自我教育需要有非常重要而强有力的促进因素——自尊心、自我尊重感、上进心。——苏霍姆林斯基 4、追求理想是一个人进行自我教育的最初的动力，而没有自我教育就不能想象会有完美的精神生活。我认为，教会学生自己教育自己，这是一种最高级的技巧和艺术。——苏霍姆林斯基 5、没有时间教育儿子——就意味着没有时间ห้องสมุดไป่ตู้人。——（前苏联）苏霍姆林斯基 6、教育不是注满一桶水，而且点燃一把火。——叶芝 7、教育技巧的全部奥秘也就在于如何爱护儿童。——苏霍姆林斯基 8、教育的根是苦的，但其果实是甜的。——亚里士多德 9、教育的目的，是替年轻人的终生自修作准备。——R.M.H. 10、教育的目的在于能让青年人毕生进行自我教育。——哈钦斯 11、教育的实质正是在于克服自己身上的动物本能和发展人所特有的全部本性。——（前苏联）苏霍姆林斯基 12、教育的唯一工作与全部工作可以总结在这一概念之中——道德。——赫尔巴特 13、教育儿童通过周围世界的美，人的关系的美而看到的精神的高尚、善良和诚实，并在此基础上在自己身上确立美的品质。——苏霍姆林斯基 14、教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行。——园斯金 15、教育工作中的百分之一的废品，就会使国家遭受严重的损失。——马卡连柯 16、教育技巧的全部诀窍就在于抓住儿童的这种上进心，这种道德上的自勉。要是儿童自己不求上进，不知自勉，任何教育者就都不能在他的身上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方，儿童才会产生上进心。——苏霍姆林斯基 17、教育能开拓人的智力。——贺拉斯 18、作为一个父亲，最大的乐趣就在于：在其有生之年，能够根据自己走过的路来启发教育子女。——蒙田 19、教育上的水是什么就是情，就是爱。教育没有了情爱，就成了无水的池，任你四方形也罢、圆形也罢，总逃不出一个空虚。班主任广博的爱心就是流淌在班级之池中的水，时刻滋润着学生的心田。——夏丐尊 20、教育不能创造什么，但它能启发儿童创造力以从事于创造工作。——陶行知

勾股定理1

(一)勾股定理1：勾股定理如果直角三角形的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c,那么a 2+b 2＝c 2我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.要点诠释：2、勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a cb =-）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 3：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证4：勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17；9,40,41等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）5、注意：（1）勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。

勾股定理(一)

国家之一。早在三千多年前，我国是最早了解勾股定理的
国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，周国家之一。早在三千多年前，朝数学家商高就提出，将一根直国家之一。早在三千多年前，尺折成一个直角，如果勾等于三，国家之一。早在三千多年前，股等于四，那么弦就等于五，即国家之一。早在三千多年前， “勾三、股四、弦五”，它被记国家之一。早在三千多年前，载于我国古代著名的数学著作国家之一。早在三千多年前《周髀算经》中。
勾股世界
两千多年前，古希腊有个哥拉两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此学派，他们首先发现了勾股定理，因此在在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定定理。为了纪念毕达哥拉斯学派， 1955 理。为了纪念毕达哥拉斯学派， 1955年年希腊曾经发行了一枚纪念票。希腊曾经发行了一枚纪念邮票。
2
a2 + b2 + 2ab = c2+2ab
b a
c
b
a
可得: a2 + b2 = c2
大正方形的面积该怎样表示?
汉代赵爽的证法
c b a
c2 = b2 + a2
b
c
c b
a
a
1 方法(一): (a b)(a b) 2
对比两种方法, 1 1 方法(二): 2 ab c c 你能得到什么?
SA+SB=SC c
Aa
C
A a
B b
图乙
c C
b B
图甲图甲图乙 4 9 A的面积 4 16 B的面积 C的面积 8 25 SA+SB=SC

勾股定理(1)优秀学案

222a b c +=勾股定理(1)学习目标1.经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想2.掌握勾股定理，并应用它解决一些简单问题3.理解并利用割补法证明勾股定理一．情景引入1.勾股定理的历史及背景2.如图（1）所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形。

各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧，你能说说其中的奥秘吗？（1） (2)二．新知探究1.（1）能发现图(2)中三个正方形的面积之间有何关系吗？结论：。

合作探究（2）观察下图，填表。

（3）你是怎样得到正方形C 的面积的？与同伴交流．2.猜想命题：如果直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么。

3.合作探究已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。

求证:归纳定理：如果直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么_______________4. 证法积累：利用下图，模仿上述推导，能否得到相同的结果？（1）.传说中的毕达哥拉斯证法(提示（1）中拼成的正方形与（2）中拼成的正方形面相等.)A 的面积B 的面积C 的面积左图右图 A B C C B AC A BD（2）.美国的20任总统詹姆斯·加菲尔德的证法.提示：3个三角形的面积的和=梯形的面积三．典型题例例题1．在△ABC 中，2∠A=3∠B=6∠C ，则它的三条边之比为( )A ．1:1:2B ．1:3:2C ．1:3:2D ．1:4:1例题2. 如图，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AC ＝20，BC ＝15，DB ＝9。

(1)求DC 的长。

(2)求AB 的长。

例题3.如图，AC ⊥BC ，垂足为C ，AC=4，BC=33，将线段AC 绕点A 按逆时针方向旋转60°，得到线段AD ，连接DC ，BD ．(1)求线段CD 的长； (2)求线段DB 的长．四.活学活用：1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，（1）若5=a ，12=b ，则c =_________；（2）若15=a ，25=c ，则b =___________；2. 在Rt △ABC 中，∠C=90°（1）若5=a ，1=-b c 则=b ____；c = （2）若4:3:=b a ，10=c 则S Rt △ABC =________。

勾股定理 1

a b c
2 2
2
赵爽弦图证明勾股定理.gsp
总统巧证勾股定理
学过几何的人都知道勾股定理．它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛．迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500余种．其中，美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话．总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？答案是否定的．事情的经过是这样的： 1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德．他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨．由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形．于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀．”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味．于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题．他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法．
百牛定理
毕达哥拉斯（Pythagoras，前572～前497），西方理性数学创始人，古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年．
“勾股定理”在国外，尤其在西方被称为“毕达哥拉斯定理”或“百牛定理”．毕达哥拉斯有一次应邀参加一位富有政要的餐会，这位主人豪华宫殿般的餐厅铺着是正方形美丽的大理石地砖，由于大餐迟迟不上桌，这些饥肠辘辘的贵宾颇有怨言．毕达哥拉斯却凝视脚下这些排列规则、美丽的方形磁砖，这位善于观察和理解的数学家不只是欣赏磁砖的美丽，而是想到它们和数之间的关系，于是拿了画笔并且蹲在地板上，选了一块磁砖以它的对角线为边画一个正方形，他发现这个正方形面积恰好等于两块磁砖的面积和．他很好奇，于是再以两块磁砖拼成的矩形之对角线作另一个正方形，他发现这个正方形之面积等于5块磁砖的面积，也就是以两股为边作正方形面积之和．至此毕达哥拉斯作了大胆的假设：任何直角三角形，其斜边的平方恰好等于另两边平方之和．那一顿饭，这位古希腊数学大师，视线都一直没有离开地面，就这样毕达哥拉斯也发现了勾股定理．

勾股定理(1)Microsoft PowerPoint 演示文稿

C
┌
B
例4 △ABC中，∠ACB=90°，AC=4，中 ° ， BC=3，CD⊥AB于D，求CD ， ⊥ 于，
C
求
A
AB= 5 ，求 CD= ? .
D
B
小结勾股定理揭示了直角三角形三边之间的等量关系，你能说出勾股定理吗？的等量关系，你能说出勾股定理吗？勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。平方和等于斜边的平方。在△ABC中，若∠ACB=90°， ABC中 ACB=90° 则
灌云县实验中学李芳
一、观察、思考、操作、计算观察、思考、操作、
小方格的边长为1，小方格的边长为，以BC为一边的正方为一边的正方形面积是 9 ，以AC 为一边的正方形的面积是 16 ，你能计算出以AB为一边的正出以为一边的正方形面积吗？方形面积吗？你打算用什么方法？你打算用什么方法？可不知道边长啊
三、勾股定理的应用：勾股定理的应用：已知直角三角形中的任意两边求第三边格式：写出直角，得出三边之间的等量关系，格式：写出直角，得出三边之间的等量关系，把已知条件代入，求得第三边。把已知条件代入，求得第三边。例1 △ABC中，∠C=90°，已知下列两边，中 ° 已知下列两边，求第三边：求第三边：）ａ=5，ｂ；（2）ａ，ｃ=17；（1）ａ，ｂ）ａ，ｂ=12；（）ａ，ｃ；（）ａ=8，ｃ；）ｂ=12，ｃ，ｃ=13；（3）ｂ）ｂ，ｃ；
a2+b2=c2
勾股定理的应用：勾股定理的应用：
已知直角三角形中的任意两边求第三边格式：写出直角，得出三边之间的等量关系，格式：写出直角，得出三边之间的等量关系，把已知条件代入，求得第三边。把已知条件代入，求得第三边。需熟记一些数的平方：1到20与25 需熟记一些数的平方：到与需熟记一些勾股数：、、；需熟记一些勾股数：3、4、5； 6、8、10；、、； 5、12、13；、、； 3n、4n、5n（n为正整数）、、（为正整数为正整数）

勾股定理1全面版

勾股定理
a2b2c2
定理和证明
勾股定理直角三角形两直角边的a、 b的平方和，等于斜边c的平方。
a2b2c2
证明方法
练
基础练习
习
1、在Rt△ABC中，∠C= Rt∠, (1)已知a=6,c=10,求b； b=8 (2)已知a=40,b=9,求c； c=41 (3)已知c=25,b=15,求a；a=20 (4)已知a:b=1:2,且c=5,求a、b； (5)已知∠A=1/2 ∠B, 且 a=2,求b、c.
练：如果一个三角形的三条边长分别是a＝m² －n²，b＝2mn，c＝m²＋n²（m>n），则这个三角形是直角三角形。
利用比例关系证明Rt △
例：如图，四边形ABCD是正方形，M为AB的
中点，E为AD上一点，且AE=1/4AD，求证
△EMC是直角三角形。A
M
B
E
D
C
面积分割
例：四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3， BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD 的面积。
角与角的关系：两个锐角互余。
思考：
直角三角形的三条角平分线的交点在
哪里？
形内
三条中线呢？形内Biblioteka 三条高呢？直角顶点
三条垂直平分线？斜边中点
练习
应用练习
4、作长为 2 、 3 、 5 的线段。
5、求如图所示（单
21
位：mm）的矩形
零件上两孔中心A
A
和B的距离（精确 41 到0.1mm）。
60
B 21
勾股定理的逆定理
a2b2c2
古埃及人画直角的方法：
把一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉如图那样钉成一个三角形，其中一个角便是直角

苏科版八年级数学上册《勾股定理(1)》课件

3.1 勾股定理（1）
直角三角形角的特殊关系是：两锐角互余
？直角三角形的边的特殊关系是
勾股史话
我国是最早了解勾股定理的国家之一．早在三千多年前，周朝的数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”．它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．（勾股定理又叫商高定理）。在这本书中的另一处，还记载了勾股定理的一般形式．这一发现，至少早于古希腊人500多年．作为一名中国人，我们应为我国古人的博学和多思而感到自豪！
2、理解勾股定理，并能应用勾股定理解决问题； 3、体会数形结合思想。
P
C
A
Q
CR
B
P
Q CR
用了“补”的方法
用了“割”的方法
如图，小方格的边长为1.
(1)你能求出正方形R的面积吗？
从面积来看AC、BC、AB之
间有什么关系？
SP=AC2=9 SQ=CB2=16
SSRR==AABB22==2?5
观察所得到的各组数据，不难得到：
小本节课小结：结
①本节课学到了什么数学知识？ ②你还有什么困惑？
作业
作业：教材第79-80页习题 18.1第1、2、3题
勾股定理是人类文明的成果，几乎所有拥有古代文化的民族和国家都对勾股定理有所研究．在地球以外是否存在生命这个问题上，我国数学家华罗庚曾认为，如果外星人也拥有文明的话，我们可以用“勾股定理”的图形，作为人类探寻“外星人”并与“外星人”联系的“语言”．
P
SP+SQ=SR
a
Qb c
R
a2+b2=c2
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？

勾股定理(1)教学课件

即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
勾
a
弦c
股b
弦图
• 赵爽
• 东汉末至三国时代吴国人
• 为《周髀算经》作注，并著有《勾股圆方图说》。
伽菲尔德证法:
a
bc
c a
b
s梯形=
1 (a+b)(a+b)=
2
1 (a2+2ab+b2)
2
= 1 a2+ab+ 1 b2
2
2
s梯形=2×
1 ab+ 1 c2=ab+ 1 c2
连结AC,在Rt△ABC中,根据勾股定理,
AC 2 AB2 BC2 12 22 5 D C
5 因此,AC=
≈2.236
2m
因为AC_大__于___木板的宽,
AB
所以木板_能___ 从门框内通过.
学以致用
例1 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞
到一个男孩头顶上方4000米处，过了20秒，飞
5 .在直角△ ABC中,a=5,c=13,则△ ABC的面积 S=_____________.
6. 在直角△ ABC中, ∠C=90°,c=20,b=15,则 a=__________.
小结：
1.这节课你学到了什么知识？
勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a， b，斜边为c，那么 a2 + b2 = c2 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
2
2
2
∵s梯形=s梯形 ∴ 1 a2+ab+ 1 b2=ab+ 1 c2
2
2
2
∴a2+b2=c2
学以致用 1、已知：a＝3，

勾股定理1(1)

对的角是直角.
1、判断以下列各数为边长的三角形形状
（1） a=9， b=5，c=7 5 3 (2) a , b 1, c 4 4
（3） a=11， b=8，c=4
锐角△
直角△ 钝角△
2、若△ABC中,AB=7,BC=24, AC=25,则S△ABC= 84 。
【问题探究】
1、勾股方向航行，能知道“海天”
号沿哪个方向航行吗？
巩固练习
A、B、C三地的两两距离分别为AB=12km，
BC=5km,AC=13km,A地在B地的正东方向，
C地在B地的什么方向？
C 5km B 13km
12km
A
2、如图,点A是一个半径为 400 m的圆形森林公园的中心,在森林公园附近有 B、C 两个村庄,现要在 B、C两村庄之间修一条长为 1000 m 的笔直公路将两村连通,经测得 ∠B=60°,∠C=30°,问此公路是否会穿过该森林公园?请通过计算说明.
互逆定理: 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题, 那么它也是一个定理, 这两个定理叫做互逆定理, 其中一个叫做另一个的逆定理.
例题教学
1、写出下列命题的逆命题并判断它们是否正确: (1) 对顶角相等 (2)等腰三角形的两底角相等 (3)两直线平行,同位角相等 (4)三内角之比为1:2:3的三角形为直角三角形 (5)三角形的三内角之比为1:1:2,则三角形为等腰直角三角形
且m＞n，那么△ABC是直角三角形吗？为什么？
5、如图，在正方形ABDC中，E是CD的中点，
F为BD上一点，且BF=3FD，求证：∠AEF=90º.
A C E B F D
6.在Rt△ABC中,∠C=90°,CD 是高,AB=1, 则 2 CD2 + AD2 +BD2 =＿＿＿＿; 7.三角形的三边长 a, b, c 满足 a2 +b2 +c2 +338 = 10a + 24b +26c, 此三角形为＿＿＿＿＿三角形.

勾股定理1

(2) 已知：a=40，c=41，求b；
求a； (4) 已知: a:b=3:4, c=15,求a、b.
(1)在直角三角形中,已知两边,可求第三边; (2)可用勾股定理建立方程.
１、如图,一个高3 米,宽4 米的大门,需在相
对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长
( B)
A 2、4、6
Ｂ 6、8、10
Ｃ 4、6、8
Ｄ 8、10、12
4、如图，一根电线杆在离地面5米处断裂，
电线杆顶部落在离电线杆底部12米处，电
线杆折断之前有多高？
解：∵ＢＣ⊥ＡC，
B
∴在Ｒt△ＡＢＣ中，
5米
ＡＣ＝１２，ＢＣ＝５,
根据勾股定理， AB2 AC2 BC2
C
12米
A
即AB2 122 52 169
AB 13 ∴电线杆折断之前的高度
=BC+AB=5米+１３米＝１８米
5、在波平如静的湖面上,有一朵美丽的红莲 ,它高出水面1米 ,一阵大风吹过,红莲被吹至一边,花朵齐及水面,如果知道红莲移动的水平距离为2米 ,问这里水深多少?
A
x2+22=(x+1)2
1
C
2
H
┓
x?
B
邮票赏析
这是1955年希腊曾经发行的纪念一位数学家的邮票。
在方格纸上,画一个顶点都在格点上的直角三角形;并分别以这个直角三角形的各边为一边向三角形外作正方形,计算以斜边为一边的正方形的面积.
P
Q CR
P
Q CR
用了“补”的方法
用了“割”的方法
如图，小方格的边长为1.
(1)你能求出正方形R的面积吗？