勾股定理(一)(1)

第十八章勾股定理

18．1 勾股定理（一）

一、教学目标

1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。

二、重点、难点

1．重点：勾股定理的内容及证明。

2．难点：勾股定理的证明。

三、例题的意图分析

例1（补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生的动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。

例2使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。进一步让学生确信勾股定理的正确性。

四、课堂引入

目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，

如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。

让学生画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，用刻度尺量出AB 的长。

以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。

再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长。

你是否发现32+42与52的关系，52+122

和132的关系，即32+42=52，52+122=132

，那么就有勾2+股2=弦2。

对于任意的直角三角形也有这个性质

吗？

五、例习题分析

例1（补充）已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。 求证：a 2＋b 2=c 2。

分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，

A B

让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。 ⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S △+S 小正=S 大正 4×2

1ab ＋（b －a ）2=c 2，化简可证。

⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。

⑷ 勾股定理的证明方法，达300余种。这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。

例2已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。 求证：a 2＋b 2=c 2。 分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。 左边

S=4×2

1

ab ＋c 2

右边S=（a+b ）2 左边和右边面积相等，即 4×2

1ab ＋c 2=（a+b ）2 化简可证。 六、课堂练习 1．

勾

股

定

理

的

具

体

内

容

是：

。

b

b

b

b

a

a

2．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）

⑴

两

锐

角

之

间

的

关

系： ；

⑵若D 为斜边中点，则斜边中线 ； ⑶若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ； ⑷三边之间的关系： 。

3．△ABC 的三边a 、b 、c ，若满足b 2= a 2＋c 2，

则 =90°； 若满足b 2＞c 2＋a 2，则∠B 是

角； 若满足b 2＜c 2＋a 2，则∠B 是 角。 4．根据如图所示，利用面积法证明勾股定理。

七、课后练习

1．已知在Rt △ABC 中，∠B=90°，a 、b 、c 是△ABC 的三边，则

⑴c= 。（已知a 、b ，求c ） ⑵a= 。（已知b 、c ，求a ） ⑶b= 。（已知a 、c ，求b ）

2．如下表，表中所给的每行的三个数a 、b 、c ，有a ＜b ＜c ，

A

B

b E

B

试根据表中已有数的规律，写出当a=19时，b ，c 的值，并把b 、c 用含a 的代数式表示出来。

3．在△ABC 中，∠BAC=120°，AB=AC=310cm ，一动点

P

从B 向C 以每秒2cm 的速度移动，问当P 点移动多少秒时，PA 与腰垂直。

4．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 在CB 的延长线上。 求证：⑴AD 2－AB 2=BD ·CD

⑵若D 在CB 上，结论如何，

试证明你的结论。

课后反思：

D

C

B

八、参考答案

课堂练习 1．略；

2．⑴∠A+∠B=90°；⑵CD=2

1AB ；⑶AC=

2

1AB ；⑷

AC 2+BC 2=AB 2。

3．∠B ，钝角，锐角；

4．提示：因为S 梯形ABCD = S △ABE + S △BCE + S △EDA ，又因为S 梯

形ACDG

=2

1

（a+b ）2，

S △BCE = S △EDA =2

1 ab ，S △ABE =2

1c 2, 21（a+b ）2=2×2

1 ab ＋2

1c 2。

课后练习

1．⑴c=22a b -；⑵a=22c b -；⑶b=22a c +

2．⎩⎨⎧+==+1

2

22b c c b a

；则

b=212-a ，c=2

12+a ；当

a=19时，b=180，

c=181。

3．5秒或10秒。

4．提示：过A 作AE ⊥BC 于E 。