勾股定理的逆定理的证明方法

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京改版八年级数学上册12.12勾股定理的逆定理说课稿

（二）教学反思
在教学过程中，我预见到可能会出现学生对逆定理证明过程的理解困难、运用逆定理解决实际问题的能力不足等问题。对于这些问题，我将采取以下应对措施：对于理解困难的学生，我将通过具体的例子和讲解，进一步解释和澄清逆定理的证明过程；对于运用能力不足的学生，我将设计一些有针对性的练习题，提供指导和辅导，帮助他们提高解决问题的能力。课后，我将通过学生的练习作业和课堂表现来评估教学效果。根据评估结果，我将反思和改进教学方法，如调整教学节奏、增加练习题的难度等，以提高教学效果。
四、教学过程设计
（一）导入新课
为了快速吸引学生的注意力和兴趣，我将以一个有趣的实际问题导入新课。我会提出一个问题：“为什么电梯门的尺寸通常是正方形的？”这个问题会引发学生的好奇心，让他们思考和讨论。然后我会揭示答案：“因为电梯内部的直角是由三条边长为整数的直角三角形组成的，而这三条边长满足勾股定理。”通过这个问题和答案，我可以自然地引出本节课的主题——勾股定理的逆定理。
（五）作业布置
课后作业的目的是让学生巩固所学知识，提高自主学习能力。我会布置一些相关的练习题，让学生在课后进行自主学习和练习。这些练习题将涵盖本节课的主要知识点，包括逆定理的定义、证明过程和应用。同时，我还会鼓励学生进行一些拓展性的学习活动，如查找相关的资料、进行调查研究等，培养他们的自主学习和探究能力。
三、教学方法与手段
（一）教学策略
本节课的教学策略将采用问题驱动法和案例分析法。问题驱动法通过提出问题引导学生思考和探究，激发学生的学习兴趣和动力，培养学生的批判性思维能力。案例分析法通过分析实际案例，让学生将理论知识应用到实际问题中，提高学生的解决问题的能力。
（二）媒体资源
视频动画、图片等，通过直观的方式展示勾股定理的逆定理的证明过程和应用实例。网络技术工具包括在线学习平台和互动讨论区，学生可以通过网络平台进行自主学习和交流讨论，促进学生的合作和共享。

勾股定理公式知识点总结

勾股定理公式知识点总结一、勾股定理的证明方法勾股定理的证明有许多种方法，下面介绍其中比较常见的几种证明方法：1. 几何法证明几何法证明是最直观的证明方法之一，它利用几何图形和性质进行推理。

一种常见的几何法证明是利用平行四边形的性质，将直角三角形的两个直角边分别构造成平行四边形的边，利用平行四边形的对角线相等性质即可证明勾股定理。

2. 代数法证明代数法证明是利用代数运算推导出勾股定理成立的证明方法。

一种常见的代数法证明是利用两个直角三角形组成一个正方形，通过展开式的数字运算推导出勾股定理成立。

3. 数学归纳法证明数学归纳法是一种数学论证方法，通过证明当n=k时定理成立，再证明当n=k+1时定理也成立，从而得出在一切正整数n上定理成立的论证方法。

勾股定理的证明中也可以使用数学归纳法证明。

4. 数学分析法证明数学分析法是通过数学函数的图像分析证明定理的方法。

通过分析直角三角形和斜边的关系，利用函数的性质进行推导，可以证明勾股定理成立。

以上是勾股定理的几种常见的证明方法，它们都是通过不同的数学思维和方法来证明同一个定理的正确性。

在学习和掌握勾股定理时，可以通过比较不同的证明方法，增加对定理的理解和掌握。

二、勾股定理的应用场景勾股定理是数学中的基础定理，它被广泛地应用于各种实际问题中。

下面将介绍一些勾股定理在实际应用中的具体场景：1. 地理测量在地理测量中，经常需要利用勾股定理来计算直角三角形的边长。

例如，利用直角三角形的边长和角度来计算地球上两点的距离，或者计算某一点的具体位置等。

2. 建筑设计在建筑设计中，经常需要利用勾股定理来设计直角三角形结构的建筑物。

例如，在设计楼梯的高度和跨度，或者在设计房屋的墙角和斜面等方面，都需要用到勾股定理。

3. 机械制造在机械制造中，勾股定理也有广泛的应用。

例如，在设计机械零件的装配结构、角度、长度等方面，都需要用到勾股定理来进行计算和设计。

4. 航空航天在航空航天领域，勾股定理也有重要的应用。

初二勾股定理逆定理证明方法

初二勾股定理逆定理证明方法
初二勾股定理逆定理是指在已知三角形三边长度的情况下，判断该三角形是否为直角三角形。

其逆定理为：若三边的长度满足勾股定理条件，即a+b=c，则该三角形为直角三角形。

为了证明初二勾股定理逆定理，我们可以采用以下方法：
方法一：通过计算
1. 已知三角形的三边边长为a、b、c，且满足a+b=c。

2. 计算a、b和c的值。

3. 判断a+b是否等于c。

- 若等于，说明三角形满足勾股定理，是直角三角形。

- 若不等于，说明三角形不满足勾股定理，不是直角三角形。

方法二：利用勾股定理的性质
1. 已知三角形的三边边长为a、b、c，且满足a+b=c。

2. 假设三角形不是直角三角形。

3. 根据假设，评估三角形的类型：锐角三角形或钝角三角形。

4. 假设三角形是锐角三角形，根据锐角三角形的特点，有a+b>c。

5. 假设三角形是钝角三角形，根据钝角三角形的特点，有a+b<c。

6. 可以看到，无论假设三角形是锐角三角形还是钝角三角形，都与已知条件（a+b=c）相矛盾。

7. 因此，根据反证法，假设不成立，说明三角形必定是直角三角形。

以上是初二勾股定理逆定理的证明方法。

通过计算三边长度或利用勾股定理的性质，我们可以判断一个三角形是否为直角三角形。

这个逆定理的应用可以帮助我们在解决实际问题时，更准确地判断三角形的类型。

勾股定理逆定理八种证明方法

勾股定理逆定理八种证明方法集团标准化小组：[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN]证法1作四个的直角三角形，把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条上（设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c.）。

过点C作AC的延长线交DF于点P.∵ D、E、F在一条直线上，且RtΔGEF ≌ RtΔEBD，∴ ∠EGF = ∠BED，∵ ∠EGF + ∠GEF =90°，∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，∴ ∠BEG =180°―90°= 90°又∵ AB = BE = EG = GA = c，∴ ABEG是一个边长为c的正方形。

∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD，∴ ∠ABC = ∠EBD.∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 即∠CBD= 90°又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，BC = BD = a.∴ BDPC是一个边长为a的正方形。

同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则证法2作两个的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），做一个边长为c的正方形。

斜边长为c. 再把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C 三点在一条直线上. 过点Q作QP∥BC，交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N.∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC，∴ ∠MPC = 90°，∵ BM⊥PQ，∴ ∠BMP = 90°，∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC =90°。

∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°，∴ ∠，又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c，∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即证法3作两个全等的直角三角形，同证法2，再作一个边长为c的正方形。

勾股定理逆定理符号语言

勾股定理逆定理符号语言勾股定理是初中数学中极为基础的一条定理，它有着广泛的应用和重要的意义。

而勾股定理的逆定理同样也有着很高的实用价值，在实际生活中起到重要的作用。

本文将对勾股定理逆定理进行详细的解释和阐述，探讨其应用领域和数学意义。

首先，我们来复习一下勾股定理的内容。

勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于两条直角边的平方和。

用符号语言表示为：a² + b² = c²。

其中，a和b为直角边的长度，c为斜边的长度。

那么，勾股定理的逆定理就是：如果一个三角形的三边的边长符合a² + b² = c²的关系，那么这个三角形一定是一个直角三角形。

在证明勾股定理逆定理之前，我们首先来看一下为什么勾股定理成立。

勾股定理可以通过几何方法和代数方法进行证明。

在几何方法中，我们可以用三个正方形的面积之和来证明勾股定理。

具体来说，我们可以将三角形分别取为三个正方形的内切圆，然后计算三个正方形的面积。

在代数方法中，我们可以利用坐标系的方法，将三角形的顶点设为某个点，然后利用勾股定理设立方程来证明勾股定理。

接下来，我们来证明勾股定理的逆定理。

假设有一个三角形，已知三个边的长度为a、b、c，且符合a² + b² = c²的关系。

我们需要证明这个三角形一定是直角三角形。

我们可以假设反证法，假设这个三角形不是直角三角形，而是一个锐角三角形或者钝角三角形。

首先，我们假设这个三角形是一个锐角三角形。

根据锐角三角形的性质，三个内角都是锐角，即都小于90°。

那么根据余弦定理，我们可以得到：c² = a² + b² - 2ab·cosC。

由于c² = a² + b²，可以得到2ab·cosC = 0。

由于a和b都大于0，所以cosC = 0。

但是在三角函数表中，我们知道cos90° = 0，意味着C = 90°，与假设的锐角三角形相矛盾。

勾股逆定理的证明方法

勾股逆定理的证明方法一、引言勾股定理是初中数学中最基础的定理之一，指的是直角三角形斜边的平方等于两个直角边平方和。

而勾股逆定理则是指，如果一个三元组(a,b,c)满足a²+b²=c²，那么这个三元组就可以构成一个直角三角形。

本文将介绍证明勾股逆定理的几种方法。

二、几何证明法1. 图形法：画出一个以a,b,c为边长的三角形，在c边上作高h，则有：a²=h²+(c-b)²b²=h²+(c-a)²将两式相加得：a²+b²=2h²+2c²-2ac-2bc+2ab又因为a²+b²=c²，所以有：c²=2h²+2c²-2ac-2bc+2ab化简可得：h=(a+b-c)/2即可证明(a,b,c)可以构成一个直角三角形。

2. 面积法：假设以a,b,c为边长的三角形面积为S，则有：S=1/2 * a * h = 1/2 * b * h = 1/2 * c * h其中h为以c为底边的高。

将上式代入可得：S=1/4 * sqrt[(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)]又因为S=1/2 * ab/2 = 1/4 * c * sqrt(a²+b²)，所以有：c²=a²+b²即可证明(a,b,c)可以构成一个直角三角形。

三、代数证明法1. 平方差分法：将c²-a²-b²代入(a,b,c)的条件，得：c²-a²-b²+2ab-2ab=0移项整理可得：(c+a-b)(c-a+b)=2ab因为a,b,c都是正整数，所以(c+a-b)和(c-a+b)都是正整数。

而且它们的积等于2ab，因此它们中必有一个是偶数。

不妨设(c+a-b)为偶数，则有：c+a-b=2mc-a+b=2n其中m,n均为正整数，且mn=ab。

勾股定理逆定理的证明方法

勾股定理逆定理的证明方法证明勾股定理逆定理勾股定理逆定理是指：给定任意正整数a，b，c，如果a^2+b^2=c^2，则a，b，c三者互为正整数的勾股数。

证明勾股定理逆定理，可以采用反证法。

假设a，b，c三者不是正整数，即a，b，c至少有一个不是正整数。

首先，假设a不是正整数，则a可能是负数或者零。

如果a是负数，则a^2是负数，而b^2和c^2都是正数，因此a^2+b^2不可能等于c^2，这与勾股定理逆定理的要求相矛盾，因此a不可能是负数。

如果a是零，则a^2也是零，而b^2和c^2都是正数，因此a^2+b^2不可能等于c^2，这也与勾股定理逆定理的要求相矛盾，因此a也不可能是零。

其次，假设b不是正整数，则b可能是负数或者零。

如果b是负数，则b^2是负数，而a^2和c^2都是正数，因此a^2+b^2不可能等于c^2，这与勾股定理逆定理的要求相矛盾，因此b不可能是负数。

如果b是零，则b^2也是零，而a^2和c^2都是正数，因此a^2+b^2不可能等于c^2，这也与勾股定理逆定理的要求相矛盾，因此b也不可能是零。

最后，假设c不是正整数，则c可能是负数或者零。

如果c是负数，则c^2是负数，而a^2和b^2都是正数，因此a^2+b^2不可能等于c^2，这与勾股定理逆定理的要求相矛盾，因此c不可能是负数。

如果c是零，则c^2也是零，而a^2和b^2都是正数，因此a^2+b^2不可能等于c^2，这也与勾股定理逆定理的要求相矛盾，因此c也不可能是零。

由以上分析可知，a，b，c三者不可能同时不是正整数，因此a，b，c三者必须同时是正整数，这就是勾股定理逆定理的证明。

综上所述，可以得出结论：给定任意正整数a，b，c，如果a^2+b^2=c^2，则a，b，c三者互为正整数的勾股数。

勾股定理题型总结【范本模板】

勾股定理知识技能和题型归纳（一）——知识技能一、本章知识内容归纳1、勾股定理—-揭示的是平面几何图形本身所蕴含的代数关系。

（1）重视勾股定理的叙述形式：①直角三角形直角边上的两个正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积. ②直角三角形斜边长度的平方,等于两个直角边长度平方之和。

从这两种形式来看，有“形的勾股定理"和“数的勾股定理”之分。

（2)定理的作用：①已知直角三角形的两边，求第三边。

②证明三角形中的某些线段的平方关系.③作长为n 的线段.(利用勾股定理探究长度为,3,2……的无理数线段的几何作图方法,并在数轴上将这些点表示出来，进一步反映了数与形的互相表示，加深对无理数概念的认识。

） 2、勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理的证明方法，通过构造一个三角形与直角三角形全等，达到证明某个角为直角的目的。

(2）逆定理的作用：判定一个三角形是否为直角三角形。

(3）勾股定理的逆定理是把数转化为形,是利用代数计算来证明几何问题。

要注意叙述及书写格式。

运用勾股定理的逆定理的步骤如下：①首先确定最大的边（如c )②验证22b a +与2c 是否具有相等关系：若222c b a =+，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形. 若222c b a ≠+，则△ABC 不是直角三角形。

补充知识:当222c b a >+时,则是锐角三角形；当222c b a <+时，则是钝角三角形.（4）通过总结归纳,记住一些常用的勾股数.如：3，4，5；5，12,13；6，8，10；8,15，17；9，40，41；……以及这些数组的倍数组成的数组。

勾股数组的一般规律： ① 丢番图发现的：式子n m n m mn n m >+-(,2,2222的正整数)② 毕达哥拉斯发现的：122,22,1222++++n n n n n （1>n 的整数） ③柏拉图发现的:1,1,222+-n n n （1>n 的整数）3、勾股定理与勾股定理逆定理的关系（1）注意分清应用条件：勾股定理是由直角得到三条边的关系，勾股定理逆定理则是由边的关系来判断一个角是否为直角。

勾股定理的逆定理证明过程

勾股定理的逆定理证明过程《勾股定理的逆定理证明过程》
嘿，大家好呀！今天咱来说说勾股定理的逆定理的证明过程哈。

先给大家讲个事儿，就前几天我去帮奶奶整理院子。

奶奶院子里有个直角三角形的小菜地，三边分别是 a、b、c 呢。

我就好奇呀，这三边到底有啥关系呢。

然后咱就开始研究啦。

咱先假设 a 的平方加 b 的平方等于 c 的平方，就好像是说呀，这两条短边的力量加起来能和长边的力量抗衡一样。

那如果这个假设成立，那这个三角形不就是直角三角形嘛。

然后呢，我就开始各种比划，用尺子量来量去，嘿，还真发现了一些奇妙的地方。

我发现当我按照这个假设去计算的时候，这个三角形的形状真的就是直角的那种感觉呢。

哎呀呀，这不就和勾股定理的逆定理对上号了嘛。

就好像是我发现了一个神奇的密码，解开了这个三角形的秘密。

经过我在奶奶院子里这么一折腾呀，我算是彻底搞明白勾股定理的逆定理的证明过程啦。

嘿嘿，原来数学就在我们身边的小事情里藏着呢！
好啦，这就是我关于勾股定理的逆定理证明过程的小分享，希望大家也能从生活中的小事里发现数学的奇妙哟！。

初中数学知识点总结：勾股定理及其逆定理

知识点总结一、勾股定理：1.勾股定理内容：如果直角三角形的两直角边长分别为a，斜边长为c，那么a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

2.勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是：(1)图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变;(2)根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。

4.勾股定理的适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。

二、勾股定理的逆定理1.逆定理的内容：如果三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。

说明：(1)勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过数转化为形来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形;(2)定理中a，b，c及a2+b2=c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但此时的斜边是b.2.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的一般步骤：(1)确定最大边;(2)算出最大边的平方与另两边的平方和;(3)比较最大边的平方与别两边的平方和是否相等，若相等，则说明是直角三角形。

三、勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数.四、一个重要结论：由直角三角形三边为边长所构成的三个正方形满足两个较小面积和等于较大面积。

五、勾股定理及其逆定理的应用解决圆柱侧面两点间的距离问题、航海问题，折叠问题、梯子下滑问题等，常直接间接运用勾股定理及其逆定理的应用。

常见考法(1)直接考查勾股定理及其逆定理;(2)应用勾股定理建立方程;(3)实际问题中应用勾股定理及其逆定理。

勾股逆定理的证明方法

勾股定理是数学中一个经典且重要的定理，它被广泛应用于几何学和物理学等领域。

而勾股定理的逆定理，即勾股逆定理，同样具有重要的意义和应用。

本文将从数学推导和几何解释两个方面，探讨勾股逆定理的证明方法。

一、数学推导勾股逆定理是勾股定理的逆命题，即对于给定的三条边长a、b、c，若满足a² + b² = c²，则这三条边构成一个直角三角形。

下面将介绍两种常见的证明方法。

1.代入法通过代入法，可以证明勾股逆定理。

假设a、b、c分别是一个三角形的三条边长，若满足a² + b² = c²，则需要证明这三条边构成直角三角形。

令a、b、c满足a² + b² = c²，假设c为最长边。

若c² = a² + b²，则有c² =a² + b² ≥ 2ab（根据算术平均与几何平均不等式）。

根据三角形的性质得知，两边之和大于第三边，即a + b > c。

结合前面的不等式可得：c² ≥ 2ab > (a + b)²，展开计算可得：c² > a² + 2ab + b² = (a + b)²。

a +b > c，而c又是三角形的最长边，所以a、b、c构成一个直角三角形。

2.几何法勾股逆定理的证明还可以通过几何法来进行。

假设三边a、b、c可以构成一个直角三角形，那么需要证明它们满足a² + b² = c²。

假设a、b、c的平方分别代表了三个小正方形的面积，且这些小正方形分别位于三角形的三边上。

根据几何知识可得，通过将两个小正方形放置在直角边上，可以拼成一个较大的正方形，其面积等于斜边上的小正方形的面积。

根据上述推理，可以通过图形来证明。

假设我们有一个边长为c的正方形，将其四个顶点命名为A、B、C和D，如图所示：C ┌------┐ D| || || |A └------┘ B可以将这个正方形逆时针旋转90度，使得边AB与边AC重叠，如图所示：C ┌------┐| || |B ─-------A此时，可以发现A、B和C形成了一个直角三角形。

直角三角形勾股定理以及与它的逆定理的证明

利用相似三角形的性质证明
总结词
通过证明两个直角三角形相似，利用相似三角形的性质来证明勾股定理的逆定理。
详细描述
首先，根据勾股定理，直角三角形的两条直角边平方和等于斜边的平方。如果一个三角形的三边满足这个条件，那么这个三角形必定是直角三角形。因此，如果一个三角形的一边满足勾股定理的条件，那么这个三角形必定是直角三角形。
毕达哥拉斯证明法
毕达哥拉斯学派给出了勾股定理的一个证明方法，主要利用了三角形的面积和勾股定理的关系。
毕达哥拉斯学派首先证明了直角三角形的面积等于两个直角边长的乘积的一半，然后利用勾股定理证明了直角三角形的斜边长等于两个直角边长的平方和的平方根。
勾股定理的代数证明法
代数证明法是利用代数方法来证明勾股定理的一种方法。
物理学
在研究地球或其他天体的运动时，可以利用勾股定理来计算距离和角度。
三角函数
在计算三角函数时，可以利用勾股定理来求解一些未知数。
02
勾股定理的证明
欧几里得证明法
欧几里得在《几何原本》中给出了勾股定理的证明，主要利用了相似三角形的性质和等腰直角三角形的性质。
欧几里得首先构造了两个直角三角形，一个直角在直角顶点，另一个直角在斜边的中点。然后利用相似三角形的性质证明了勾股定理。
首先，代数证明法通过构造一个方程来表达勾股定理，然后通过解方程来证明勾股定理。这种方法比较抽象，但是可以适用于任何形式的勾股定理，包括非直角的三角形。
03定理逆定理定义
如果一个三角形的三边满足$a^2 + b^2 = c^2$，则这个三角形是直角三角形。
直角三角形勾股定理以及与它的逆定理的证明
目录
• 勾股定理的介绍 • 勾股定理的证明 • 勾股定理逆定理的介绍 • 勾股定理逆定理的证明 • 勾股定理与逆定理的扩展

勾股定理逆定理八种证明方法

证法1作四个全等的直角三角形，把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上（设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c.）。

过点C作AC 的延长线交DF于点P.∵ D、E、F在一条直线上，且RtΔGEF ≌ RtΔEBD，∴∠EGF = ∠BED，∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，∴ ∠BEG =180°―90°= 90°又∵ AB = BE = EG = GA = c，∴ ABEG是一个边长为c的正方形。

同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则证法2作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），做一个边长为c的正方形。

斜边长为c. 再把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上. 过点Q作QP∥BC，交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N.∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC，∴ ∠MPC = 90°，∵ BM⊥PQ，∴ ∠BMP = 90°，∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°。

第十七章勾股定理知识与题型总结及测试题含答案

勾股定理知识技能和题型归纳（一）——知识技能一、本章知识内容归纳1、勾股定理——揭示的是平面几何图形本身所蕴含的代数关系。

（1）重视勾股定理的叙述形式：①直角三角形直角边上的两个正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积.②直角三角形斜边长度的平方，等于两个直角边长度平方之和.从这两种形式来看，有“形的勾股定理”和“数的勾股定理”之分。

（2）定理的作用：①已知直角三角形的两边，求第三边。

②证明三角形中的某些线段的平方关系。

,2……的无理数线段的几③作长为n的线段。

（利用勾股定理探究长度为,3何作图方法，并在数轴上将这些点表示出来，进一步反映了数与形的互相表示，加深对无理数概念的认识。

）2、勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理的证明方法，通过构造一个三角形与直角三角形全等，达到证明某个角为直角的目的。

（2）逆定理的作用：判定一个三角形是否为直角三角形。

（3）勾股定理的逆定理是把数转化为形，是利用代数计算来证明几何问题。

要注意叙述及书写格式。

运用勾股定理的逆定理的步骤如下：①首先确定最大的边（如c）②验证22b a +与2c 是否具有相等关系：若222c b a =+，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形。

若222c b a ≠+，则△ABC 不是直角三角形。

补充知识：当222c b a >+时，则是锐角三角形；当222c b a <+时，则是钝角三角形。

（4）通过总结归纳，记住一些常用的勾股数。

如：3，4，5；5，12，13；6，8，10；8，15，17；9，40，41；……以及这些数组的倍数组成的数组。

勾股数组的一般规律： ① 丢番图发现的：式子n m n m mn n m >+-(,2,2222的正整数） ② 毕达哥拉斯发现的：122,22,1222++++n n n n n （1>n 的整数） ③柏拉图发现的：1,1,222+-n n n （1>n 的整数）3、勾股定理与勾股定理逆定理的关系（1）注意分清应用条件：勾股定理是由直角得到三条边的关系，勾股定理逆定理则是由边的关系来判断一个角是否为直角。

勾股定理逆定理的内容及证明方法

勾股定理逆定理的内容及证明方法如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。

最长边所对的角为直角。

本文整理了勾股定理逆定理的内容及其证明方法。

勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理是判断三角形是否为锐角、直角或钝角三角形的一个简单的方法。

若c为最长边，且a²+b²=c²，则△ABC是直角三角形。

如果a²+b²>c²，则△ABC是锐角三角形。

如果a²+b²<c²，则△ABC是钝角三角形。

勾股定理逆定理的证明方法如图，已知在△ABC中，设AB=c，AC=b，BC=a，且a²+b²=c²。

求证∠ACB=90°证明：在△ABC内部作一个∠HCB=∠A，使H在AB上。

∵∠B=∠B,∠A=∠HCB∴△ABC∽△CBH(有两个角对应相等的两个三角形相似)∴AB/BC=BC/BH，即BH=a²/c而AH=AB-BH=c-a²/c=(c²-a²)/c=b²/c∴AH/AC=(b²/c)/b=b/c=AC/AB∵∠A=∠A∴△ACH∽△ABC(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)∴△ACH∽△CBH(相似三角形的传递性)∴∠AHC=∠CHB∵∠AHC+∠CHB=∠AHB=180°∴∠AHC=∠CHB=90°∴∠ACB=∠AHC=90°勾股定理的证明方法做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像下图那样拼成两个正方形。

发现四个直角三角形和一个边长为a的正方形和一个边长为b的正方形，刚好可以组成边长为(a+b)的正方形;四个直角三角形和一个边长为c的正方形也刚好凑成边长为(a+b)的正方形。

所以可以看出以上两个大正方形面积相等。

勾股定理逆定理证明

a 1 b 1 2 bb 1 b
c
2
(3)
(4)
a b 2 bb 1 c
2 2
2
a
2
b
Hale Waihona Puke 2 c22
b1 0
a1 a
2
把 b 1 0 代入（2）得
则 a1 a
因此点C与点D重合，∠ACB=∠ADB=90°，结论与假设矛盾，所以 △ABC是直角三角形。
假设△ABC不是直角三角形而是锐角三角形，则∠C＜90°。 B
a
A b C 过B作BD垂直于AC的延长线于D，垂足为D。
B c
a
A b C
b1
a1
D
B c a A b C
a1
b1 D △ABD与△CBD都是直角三角形，根据勾股定理有：
a1 ( b b 1 ) c
2
2
2
(1)
a1
2
b1
2
a
2
(2)
2 2 2
由（1）得
把（2）代入（3）得
对比已知条件可得
勾股定理逆定理证明
已知△ABC的三边长满足，求证：△ABC是直角三角形。用反证法证明如下：由 a 2 b 2 c 2 可知c边最大，即∠ACB最大。只要证明了∠ACB=90°, 即△ABC是直角三角形。分两种情况进行。假设△ABC不是直角三角形而是钝角三角形，则∠C＞90°。 B c
2
a
2
把（5）-（6）得
c
2
a
2
b1 b 2
2
2
( b1 b 2 )( b1 b 2 ) b ( b 2 b 2 ) b

勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理（1）知识领航1．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形． 2. 满足a 2 +b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用的勾股数有3、4、5、；6、8、10；5、12、13等.3. 应用勾股定理的逆定理时，先计算较小两边的平方和再把它和最大边的平方比较.4. 判定一个直角三角形，除了可根据定义去证明它有一个直角外，还可以采用勾股定理的逆定理，即去证明三角形两条较短边的平方和等于较长边的平方，这是代数方法在几何中的应用.e 线聚焦【例】如图，已知四边形ABCD 中，∠B =90°，AB =3，BC =4，CD =12，AD =13，求四边形ABCD的面积.分析：根据题目所给数据特征，联想勾股数，连接AC ，可实现四边形向三角形转化，并运用勾股定理的逆定理可判定△ACD 是直角三角形.解：连接AC ，在Rt △ABC 中，AC 2=AB 2＋BC 2=32＋42=25， ∴ AC =5. 在△ACD 中，∵ AC 2＋CD 2=25＋122=169，而 AB 2=132=169，∴ AC 2＋CD 2=AB 2，∴ ∠ACD =90°．故S 四边形ABCD =S △ABC ＋S △ACD =21AB ·BC ＋21AC ·CD =21×3×4＋21×5×12=6＋30=36.双基淘宝仔细读题，一定要选择最佳答案哟！1. 分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）8，15，17；（4）4，5，6.其中能构成直角三角形的有（）A .4组B .3组C .2组D .1组2. 三角形的三边长分别为 a 2＋b 2、2ab 、a 2－b 2（a 、b 都是正整数），则这个三角形是（）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定3．如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )A .1倍B . 2倍C . 3倍D . 4倍 4. 下列各命题的逆命题不成立的是( )A .两直线平行,同旁内角互补B .若两个数的绝对值相等,则这两个数也相等C .对顶角相等D .如果a =b ,那么a 2=b 2 5．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）715242520715202425157252024257202415(A)(B)(C)(D)A B C D综合运用认真解答，一定要细心哟！6. 如图所示的一块地，已知AD =4m ，CD =3m ， AD ⊥DC ，AB =13m ，BC =12m ，求这块地的面积.7. 一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角．工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个零件符合要求吗？ABCDA B CD5312138. 如图，E 、F 分别是正方形ABCD 中BC 和CD 边上的点，且AB =4，CE =41BC ，F 为CD 的中点，连接AF 、AE ，问△AEF 是什么三角形？请说明理由.AA D C B拓广创新试一试，你一定能成功哟！9. 勾股数又称商高数，它有无数组，是有一定规律的.比如有一组求勾股数的式子：a =m 2-n 2,b =2mn ,c =m 2+n 2（其中m ，n 为正整数，且m ＞n ）.你能验证它吗？利用这组式子，完成下.123456 (2)3 4 5 6 …… … … … … ……勾股定理的逆定理（2）知识领航1．应用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题，建立数学模型．2．体会从“形”到“数”和从“数”到“形”的转化，培养转化、推理的能力.e 线聚焦【例】如图，南北向MN 为我国领域，即MN 以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A 艇发现正东方向有一走私艇C 以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN 线上巡逻的我国反走私艇B .已知A 、C 两艇的距离是13海里，A 、B 两艇的距离是5海里；反走私艇测得离C 艇的距离是12海里.若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？分析：为减小思考问题的“跨度”，可将原问题分解成下述“子问题”：（1）△ABC 是什么类型的三角形？（2）走私艇C 进入我领海的最近距离是多少？（3）走私艇C 最早会在什么时间进入？这样问题就可迎刃而解.解：设MN 交AC 于E ，则∠BEC =900.又AB 2+BC 2=52+122=169=132=AC 2， ∴△ABC 是直角三角形，∠ABC =900.又∵MN ⊥CE ，∴走私艇C 进入我领海的最近距离是CE ，则CE 2+BE 2=144，（13-CE ）2+BE 2=25，得26CE =288， ∴CE =13144. 13144÷169144≈0.85（小时）， 0.85×60=51（分）. 勾股数n m A ME NB9时50分+51分=10时41分.答：走私艇最早在10时41分进入我国领海.双基淘宝◆ 仔细读题，一定要选择最佳答案哟！1. 如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( )A .7,24,25B .321,421,521 C .3,4,5 D .4,721,821 2．在下列说法中是错误的（）A ．在△ABC 中，∠C ＝∠A 一∠B ，则△ABC 为直角三角形.B ．在△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C ＝5：2：3，则△ABC 为直角三角形.C ．在△ABC 中，若a ＝53c ，b ＝54c ，则△ABC 为直角三角形. D ．在△ABC 中，若a ：b ：c ＝2：2：4，则△ABC 为直角三角形.3. 有六根细木棒，它们的长度分别为2，4，6，8，10，12（单位：cm ），从中取出三根首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这根木棒的长度分别为（）A ．2，4，8B .4,8,10C .6,8,10D .8,10,124．将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出三组基本勾股数 , , .5．若三角形的两边长为4和5，要使其成为直角三角形，则第三边的长为 . 6．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm ，则它的面积为 .综合运用◆ 认真解答，一定要细心哟！7．如图，已知等腰△ABC 的底边BC =20cm ，D 是腰AB 上一点，且CD =16cm ，BD =12cm ，求△ABC 的周长.8．如图，三个村庄A 、B 、C 之间的距离分别为AB =5km ,BC =12km ,AC =13km .要从B 修一条公路BD 直达AC .已知公路的造价为26000元/km ，求修这条公路的最低造价是多少？D B C AB12 59．如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处上爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D 处滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经路程都是15m，求树高AB.拓广创新试一试，你一定能成功哟！10．如图，在△ABC中，∠ACB=90º，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PB=1，PC=2，P A=3，求∠BPC的度数．BACD.ACPB18.2 勾股定理的逆定理（1）参考答案1.B2.A3.B4.C5.C6.24m 27.符合 8.由勾股定理得AE 2=25，EF 2=5，AF 2=20，∵AE 2= EF 2 +AF 2，∴△AEF 是直角三角形 . 9.略18.2 勾股定理的逆定理（2）参考答案1.B2.D3.C4.5，12，13; 8，15，17; 11，60，61（此题答案不唯一）5.3或416.120cm 27.由BD 2+DC 2=122+162=202=BC 2得CD ⊥AB 又AC =AB =BD +AD =12+AD ，在Rt△ADC 中，AC 2=AD 2+DC 2，即(12+AD )2=AD 2+162，解得AD =314，故 △ABC 的周长为2AB +BC =3153cm 8.由勾股定理的逆定理可判定△ABC 是直角三角形，由面积关系可求出公路的最短距离BD =1360km ， ∴最低造价为120000元 9.设AD =x 米，则AB 为（10+x ）米，AC 为（15-x ）米，BC 为5米，∴(x +10)2+52=(15-x )2，解得x =2，∴10+x =12（米） 10．如图，将△APC 绕点C 旋转，使CA 与CB 重合，即△APC ≌△BEC ,∴△PCE 为等腰Rt △，∴∠CPE =45°，PE 2=PC 2+CE 2=8. 又∵PB 2=1，BE 2=9，∴PE 2+ PB 2= BE 2,则∠BPE =90°，∴∠BPC =135°.第10题图。