整数因子分解问题_c++源码

消零因子法知识点总结

消零因子法知识点总结第一部分：消零因子法的基本原理1.1 整数因子分解在数论中，整数因子分解是一种重要的数学工具。

它可以帮助我们将一个整数分解为若干个素数的乘积，这样就可以更好地理解这个整数的性质和结构。

整数因子分解在数论、密码学和计算机科学等领域都有重要的应用。

例如，考虑整数24，我们可以将它分解为2*2*2*3。

这样就得到了24的所有因子，分解为素数的乘积形式。

1.2 消零因子法的基本思想消零因子法是一种比较简单的整数因子分解方法。

它的基本思想是利用整数的性质，通过不断地除以小的素数，直到无法再分解为止。

这样就可以找到一个整数的所有因子。

例如，考虑整数24，我们可以用消零因子法将其分解为2*2*2*3。

具体步骤如下：1. 首先将24除以最小的素数2，得到12。

2. 然后将12除以2，得到6。

3. 再将6除以2，得到3。

4. 最后3是一个素数，无法再分解。

通过上述步骤，我们可以得到24的所有因子。

这就是消零因子法的基本思想。

1.3 消零因子法的优缺点消零因子法的优点是比较简单、直观，适合在计算机程序设计和教学中使用。

它可以帮助我们更好地理解整数的性质和结构，对数论知识有一定的启发作用。

然而，消零因子法也有一些缺点，例如它在处理大整数时效率较低，需要不断地进行除法运算。

此外，它也无法直接应用于负整数的因子分解。

因此，在实际应用中需要灵活选择不同的整数因子分解方法。

第二部分：消零因子法的具体步骤2.1 消零因子法的基本步骤要使用消零因子法进行整数因子分解，我们可以按照如下步骤进行：1. 选择一个整数n，我们要对其进行因子分解。

2. 从最小的素数2开始，不断地将n除以素数，直到无法再分解为止。

3. 将得到的素数因子按照顺序排列，即得到了n的所有因子。

具体来说，可以按照以下步骤进行：1. 首先将n除以最小的素数2，得到商m和余数r。

2. 如果r为0，说明n可整除2，将m作为新的n，重复步骤1。

3. 如果r不为0，说明n无法整除2，选择下一个素数作为除数，重复步骤1。

数论与C语言编程

只有一个约数的
１的约数：１
只有两个约数的
２的约数：１２３的约数：１３５的约数：１５７的约数：１７
有两个以上约数的
４的约数：１２４６的约数：１２３６８的约数：１２４８９的约数：１３９
11的约数：１ 11
10的约数：１２５ 10
12 的约数：１２３４６ 12
返
回
有趣的数之四:特殊四位整数
特殊四位整数：
寻找具有下列特性的四位整数，其百位数为0，去掉百位数0可得到一个三位正整数，而该正整数乘以9等于原四位正整数。例如， 6075=675×9，所以6075是具有上述特性的正整数。 (2007秋完善程序第13题)
返
回
Troisky数
2008秋C01编程题：找出符合以下条件的Troitsky数：将该数的首位数字移到末位数字之后得到的数是原数
超完全数：超完全数是指具有下以下特性的整数N：Φ(Φ(N))=2N，其中Φ(N)表示整黑洞数：又称陷阱数，是类具有奇特转换特性的整数。任何一个数字不全相
同整数，经有限次“重排求差”操作，总会得某一个或一些数，这些数即为黑洞数。"重排求差"操作即组成该数得排后的最大数去重排的最小数。在一份科学杂志上看到印度数学家研究过四位黑洞数，得到的四位黑洞数为 6174。在三位数里，495也是一个黑洞数。对任何一个不完全相同的三位数，只要进行如上的重排和求差，几步之后就会得出495。称(a,b)为一对互满数。例如(220,284)是一对互满数，因为220的真因子之和为 284(1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284),且284的真因子之和为 220(1+2+4+71+142=220)。

密码学笔记（3）——分解因子算法

密码学笔记（3）——分解因⼦算法从前⾯两篇的内容可以知道对于RSA密码体制，最为明显的攻击⽅式就是试图分解模数。

对于⼤整数分解⽬前最为有效的三种算法是⼆次筛法、椭圆曲线分解算法以及数域筛法，其他作为先驱的著名包括Pollard的$\rho$算法和$p-1$算法、Willian的$p+1$算法、连分式算法，当然还有试除法，这篇⽂章就根据课本的介绍总结这些算法。

⾸先假定要分解的整数n为奇数。

⼀、试除法试除法的思想是最为简单的，假设n为合数，那么它肯定有⼀个素因⼦满⾜$\rho \leq \lfloor \sqrt{n} \rfloor$，因此，只要利⽤$\lfloor\sqrt{n} \rfloor$的每个奇数去除n，这就⾜以判断n是素数还是合数。

该算法在$n < 10^{12}$时还是不错的算法。

⼆、Pollard p-1算法这个算法有两个输⼊，待分解的奇整数以及⼀个预先指定的阶B，本质来源是⼀个简单的数学证明，我们来先看看算法。

Alg1 Pollard p-1 Factoring Algorithm(n,B)$ a \leftarrow 2$for $j \leftarrow 2$ to B $a \leftarrow a^{j} mod \, n$$d \leftarrow gcd(a-1 , n)$if $1 < d < n$ then return(d)else return("failure") 算法的证明过程如下，关键是在for循环中的操作以及之后的求最⼤公约数。

假定p是n的⼀个素因⼦，⼜假定对每⼀个素数幂$q | (p-1)$，有$q \leq B$，那么在这种情形下必须有$$ (p-1) | B! \quad (因为B!包含有q)$$ 在for循环结束时，我们有$$a \equiv 2^{B!} (mod \, n)$$ 由于$p | n$，⼀定有$$a \equiv 2^{B!} (mod \, p)$$ 现在，由Fermat定理可知$$2^{p-1} \equiv 1 (mod \, p)$$ 由于$(p-1) | B!$可知，得$$a \equiv 1 (mod \, p)$$ 因此有$p|(a-1)$，由于已经有$p|n$，可以看到$p | d$，其中$d = gcd(a-1 , n)$，因此整数d就是n的⼀个⾮平凡因⼦。

大整数分解的二次筛法C++实现

*(remainder+loop)=*(remainder+loop)+step; if(*(remainder+loop)<0) *(remainder+loop)=*(QSData.Base.factor+loop)-1; if(*(remainder+loop)==*(QSData.Base.factor+loop)) *(remainder+loop)=0; } Loop=Loop+Step; }
/* * search smooth factor and save into QSData */
void Sieve(void* init) {
int loop,identity,origin,step; long* remainder; bool* result; Integer Loop,Step,Zero(false),One(true),Quadratic,Result,Terminal;
identity=(*((int*)init))%Thread.size; origin=(*((int*)init))/Thread.size; *(Thread.message+identity)=0;
if(origin%2==0) {
origin=origin/2;
Step=One; step=1; } else { origin=-(origin-1)/2; Step=-One; step=-1; } Loop=SQRT(QSData.Source); for(loop=0;loop<abs(origin);loop++) { Loop=Loop+Step*QSData.Block; } if(step>0) Loop=Loop+Step; Terminal=Loop+Step*QSData.Block;

python 因数分解

python 因数分解一、Python因数分解的概述Python是一门高级编程语言，可以进行各种数学计算，包括因数分解。

因数分解是将一个正整数分解成若干个质数的乘积的过程。

在Python 中，可以使用不同的方法来实现因数分解。

二、Python因数分解的方法1. 直接试除法直接试除法是最简单的因数分解方法之一。

该方法通过依次除以每一个小于等于被分解数平方根的质数来找到其所有的质因子。

代码如下：```pythondef prime_factors(n):i = 2factors = []while i * i <= n:if n % i:i += 1else:n //= ifactors.append(i)if n > 1:factors.append(n)return factorsprint(prime_factors(24)) # 输出 [2, 2, 2, 3]```2. 分解质因数法分解质因数法是另一种常用的因式分解方法。

该方法通过将被分解的正整数反复除以最小素因子来得到所有质因子。

代码如下：```pythondef prime_factors(n):i = 2factors = []while i * i <= n:if n % i:i += 1else:n //= ifactors.append(i)if n > 1:factors.append(n)return factorsprint(prime_factors(24)) # 输出 [2, 2, 2, 3]```3. Pollard-Rho算法Pollard-Rho算法是一种随机算法，用于分解大的合数。

该算法基于Floyd循环检测算法，通过随机生成一个序列来找到一个非平凡因子。

代码如下：```pythonimport randomdef gcd(a, b):while b:a, b = b, a % breturn adef pollard_rho(n):if n == 1:return nif n % 2 == 0:return 2x = random.randint(1, n-1)c = random.randint(1, n-1)y = xd = 1while d == 1:x = (pow(x, 2, n) + c + n) % n y = (pow(y, 2, n) + c + n) % n y = (pow(y, 2, n) + c + n) % n d = gcd(abs(x-y), n)if d == n:return pollard_rho(n)return ddef prime_factors(n):factors = []while n > 1:factor = pollard_rho(n)factors += prime_factors(factor) while factor in factors:factors.remove(factor)factors.append(factor)n //= factorreturn sorted(factors)print(prime_factors(24)) # 输出 [2, 2, 2, 3]```三、Python因数分解的应用因数分解在密码学、数论等领域有着广泛的应用。

数论中的整数分解算法

数论中的整数分解算法整数分解算法是数论中的一个重要概念，它可以将一个整数表示为多个因子的乘积。

在实际应用和密码学中，整数分解算法具有广泛的应用。

本文将介绍几种常见的整数分解算法。

1. 质因数分解算法质因数分解算法是最基本和最常见的整数分解算法。

该算法将一个整数分解为质数的乘积，即将一个大整数分解为较小的质数因子。

质因数分解算法通过逐个判断整数是否能被某个质数整除来进行计算，直到不能被更小的质数整除为止。

这种算法适用于较小的整数，但对于大整数来说，计算时间复杂度较高。

2. Pollard Rho因子分解算法Pollard Rho算法是一种基于随机性的整数分解算法，它采用了费马小定理的思想。

该算法首先选择一个随机种子值，并根据一定的规则进行迭代运算，直到得到一个非平凡的因子。

该算法的时间复杂度较低，适用于大整数的分解。

3. Pollard p-1因子分解算法Pollard p-1算法是另一种基于Pollard Rho算法的整数分解算法。

该算法利用了费马小定理的一个扩展形式，即可以通过计算a^(p-1)模p 来判断p是否是质数。

通过选择不同的a和系数b，可以分解出p的一个非平凡因子。

该算法适用于一些满足特定条件的大整数。

4. QS（Quadratic Sieve）算法QS算法是一种基于数学原理的整数分解算法，它利用了数论中的平方剩余和二次非剩余的性质。

该算法的主要思想是通过寻找一个满足一定条件的整数序列，并将它们相乘得到一个平方数，进而分解出原整数的因子。

QS算法是一种高效的整数分解算法，适用于大整数的分解。

5. GNFS（General Number Field Sieve）算法GNFS算法是目前最快、最常用的整数分解算法之一，它是一种复杂的算法。

该算法利用了数论中的有限域、代数体论等数学原理，通过寻找一个满足特定条件的多项式方程，进而将原整数分解为多个因子的乘积。

GNFS算法是一种高效和通用的整数分解算法，适用于任意大小的整数。

第九章大整数因子分解算法

(2) n=1?若n=1，则执行步骤(5)
(3) 计算余数.q n/dk 且r n(mod dk ) .
若 r 0 ，执行步骤(4).
t t 1, pk dk , n q ，返回步骤(2).
(4) 找到因子？若q dk ，则k k 1 ，且返回步骤(3)
t t 1, pt n
(3) 计算余数. q n/k 且 r n(mod k) . 若 r 0 ，执行步骤(4).
t t 1, pk k, n q ，返回步骤(2). (4) 找到因子？若q>k，则 k k 1 ，且返回步骤(3)
t t 1, pt n
(5) 退出，停止算法
10.1 试除法和费马方法
➢ 这些方法不依赖于待分解数或它的因子的任何特性
▪ 理论依据：若有两个整数x和y满足 x2 y2(mod N), 0 x y N, x y, x y N (2.1) 则gcd(x-y, N)和gcd(x+y, N)可能为N的非平凡因子，
因为N|(x+y)(x-y)但N不是(x+y)的因子，也不是(x-y)的因子。
9.2.2 二次筛法
➢ 筛法不仅可以对表达式
进行，也可以处理更
一般的形如
的二次多项式。这一变革，
称为多重多项式二次筛法（MPQS）。
优越性：每个多项式筛法可以独立地进行，这就可以把工作分散到许多不同的计算机上去做，每个机器将它得到的全因子分解或部分因子分解报告总部。然后，一个全面协调机器在这些部分因子分解中找循环。最后，进行0/1矩阵的计算。
9.2 通用整数因子分解方法
▪ 通用整数因子分解方法: 是指用此方法分解任何给定大小的整数所用时间与分解任何同样大小的整数所用时间相同。

密码学数学基础第一讲整数的因子分解(优选)word资料

密码学数学基础第一讲整数的因子分解(优选)word资料课后作业（1）习题1-4、8、17、19 （2）预习第2章同余式考研数学要想取得好成绩必须要做到两个方面，第一就是打好基础，立足基本知识点，第二便是掌握技巧，并灵活运用。

具体该如何操作，下面为大家详细解读。

1、立足基本知识点，积累基本、常用的方法方法的积累来源于基本知识点的熟练掌握。

要想灵活应用各种方法和技巧，首先要把基本功打好，然后再系统学习各种方法和技巧。

在平时的复习过程中，有一些学生过于追求方法和技巧，忽略基本知识点，往往收效甚微。

只有把基础打牢固了，才能高屋建瓴。

因此，在日常的学习中，同学们要立足基本知识点，积累基本、常用的方法。

2、灵活运用方法和技巧掌握了基本、常用的方法后，接下来的问题就是如何运用方法和技巧。

单纯地积累方法，不在实际中运用，没有任何意义。

方法和技巧的运用离不开定量的练习，只有通过实际练习的巩固检验，才能牢固掌握方法和技巧。

但是在运用方法和技巧的过程中，一定要注意灵活性。

一些学生在做题时，只是单纯回忆这种或这类题目，老师讲过什么方法和老师是怎么运用方法解决题目的。

显然这样的做法是不行的。

老师的讲解的方法和技巧，自己不加以消化和吸收，将这些方法和技巧系统地转化为自己的方法，很难达到熟练运用的境界。

外在的方法与技巧，经过自己的合理利用，才能取得显著的效果。

3、总结方法和技巧的运用我们在做题时，会发现同一道题目的方法与技巧很多，在运用时会出现混淆的情形。

这时，就要求同学们做好总结与归纳，构建好自己的方法和技巧的框架。

可以将我们复习中遇到的方法和技巧适当归类，比如将方法和技巧分为：常用和不常用、熟练和不熟练、易记和不易记等。

通过总结，我们可以对方法和技巧的认识更加深刻和清晰明了。

所以在平时的数学复习中，总结是不可缺少的。

在考试中，方法和技巧的选用，完全取决于同学们平时的复习。

“冰冻三尺，非一日之寒”，只有通过长期的积累和不断的巩固，才能将数学的方法和技巧发挥得淋漓尽致。

整数（质因子）分解（Pollardrho大整数分解）

整数（质因⼦）分解（Pollardrho⼤整数分解）整数分解，⼜称质因⼦分解。

在数学中，整数分解问题是指：给出⼀个正整数，将其写成⼏个素数的乘积的形式。

(每个都可以写成⼏个相乘的形式，这⼏个质数就都叫做这个合数的质。

)1.试除法（适⽤于范围⽐较⼩）⽆论素数判定还是因⼦分解，试除法(Trial Division)都是⾸先要进⾏的步骤。

令m=n,从2~根n⼀⼀枚举，如果当前数能够整除m，那么当前数就是n的素数因⼦，并⽤整数m将当前数除尽为⽌。

若循环结束后m是⼤于1的整数，那么此时m也是n的素数因⼦。

事例如HDU1164:15mm#include <iostream>#include <stdio.h>#include <string.h>#include <algorithm>#include <math.h>#define N 65535using namespace std;int factor[N],top;void divide(int n){for(int i=2; i<=sqrt(n+0.0); i++){while(n%i==0){top++;factor[top]=i;n/=i;}}if(n!=1){top++;factor[top]=n;}for(int i=1; i<=top-1; i++){printf("%d*",factor[i]);}printf("%d\n",factor[top]);return ;}int main(){int n;while(scanf("%d",&n)!=EOF){top=0;divide(n);}return0;}View Code2.筛选法对整数分解试除法进⾏了许多不必要的运算，先将2~根n的所有素数打表，然后对应素数表⼀⼀试除将会⼤⼤节约时间。

第四章整环里的因子分解

第四章整环里的唯一分解概述：本章主要讨论与因子分解有关的问题，我们知道在整数环里有唯一分解定理，即任何大于 1 的整数皆可唯一的写成一些素数的乘积. 在这一章我们要看一看，在一个抽象的环里这个定理是否成立；但由于在一个一般的环里去研究这个问题有相当的困难，所以我们仅把整数中的因子分解的概念推广到一般的整环中.本章中的环I 均表示整环，I 的单位元均记为1，I 中的非零元记为I I {0} .第一节素元、唯一分解基本概念：整除，单位、相伴元，平凡因子、真因子、素元，唯一分解.重点、难点: 唯一分解.正文定义 4.1.1 ：整环I中的可逆元称为I的一个单位(Unit ).注1：单位与单位元是两个概念，单位元一定是单位，而单位未必是单位元.注2：整环I 中的全体单位关于I 的乘法构成一个Abel 群, 称为I 的单位群，记为U(I) . 定义 4.1.2：我们说，整环I 的一个元a可以被I 的元b整除，假如在I 里找得出元c，使得a=bc. 假如 a 能被 b 整除，我们说 b 是 a 的因子，并且用符号b|a 来表示，否则用 b a来表示.定义 4.1.3：元b叫做元a相伴元，假如b=εa其, 中ε是I的一个单位.定义 4.1.4：单位以及元a的相伴元叫做a的平凡因子，其余的 a 的因子，叫做真因子.定义 4.1.5：整环I的一个元p叫做一个素元，假如p既不是零元，也不是单位，并且p只有平凡因子.定理 4.1.1：两个单位ε和ε的′乘积εε也′是一个单位，单位ε的逆ε-1也是一个单位.定理 4.1.2：单位同素元p的乘积p 也是一个素元.证明：(1) 0,p 0 p 0;(2) p不是单位 .若不然，‘I使得1 ‘( p) ( ‘)p p是单位与p是素元矛盾 .(3) p只有平凡因子 .定理 4.1.3：整环中一个不等于零的元 a 有真因子的充分而且必要条件是： a bc，b, c都不是单位元.证明：( ) a有真因子 b U (I)使得 b a且b不是a的相伴元.c I使得a bc.若c U (I ),则a与b是相伴关系，故 c U(I) .( ) 假定 a bc，b,c U(I) b不是a的相伴元，否则b a bc c 1 c U (I ) , 矛盾.故 a 有真因子.定义4.1.6 ：我们说，一个整环I 的一个元a在I 里有唯一分解，假如以下条件能被满足：(1) a p1p r ,其中p i (i 1,r) 是I 中的素元 ;(2)若又有a q1q s,其中q j (j 1,s)是I中的素元，那么r s且p i i q i j,i 1, ,r,其中i j1, ,i r 是1, , n的一个排列.例：设Z[3] {a b 3a,b Z}, 则(1) Z[ 3]是整环 .(2) U(Z[ 3]) {1, 1}设 a b 3 U(Z[ 3]), 则' Z[ 3]使得1 '.22则 1 '(a2 3b2) ' a2 3b2 1 a 1,b 0 1.2(3) Z[ 3], 若2＝4，则为素元.(4) 1 3都不是2的相伴元 .(5) 4 2 2 (1 3)(1 3)是4在Z[ 3]中两种不同的分解 .作业：1．设I 刚好包含所有复数a bi (a, b是整数) 的整环. 证明 5 不是I 的素元. 5 有没有唯一分解？第二节唯一分解环基本概念：唯一分解环，唯一分解环的性质. 公因子、最大公因子，最大公因子的存在性.重点、难点: 唯一分解环.正文定义 4.2.1 ：整环I 叫做一个唯一分解环(UFD), 如果I 的每一个既不等于零又不是单位的元都有唯一分解.定理 4.2.1 ：唯一分解环有以下性质：(3) 若一个素元pab, 那么pa或pb.证明：当a,b 中有一个是零或是单位时，定理显真.现设a,b 皆非零元，也非单位. pab ab pc,c 0,c也非单位.(否则若c是单位，则pc是素元与pc可写成两个非单位的元之积矛盾)于是c p1p2 p n,诸p i皆素元 .又令a q1q2 q r,b q1'q2'q s',诸q j,q k'皆素元. 于是q1q2 q r q1'q2'q s'＝p p1p2 p n .由分解唯一性知p是某个q i或q j的相伴元 , 如q1 p,则pa；如q1 p则pb. 推论：在一个UFD中，若素元pa1a2 a n ,则p必整除某一个a i.定理 4.2.2 ：若整环I 满足：(1) I U (I )中每一个元均有一个分解式；(2) 若p是I的素元,则必有p ab pa或pb, a,b I .那么I 一定是唯一分解环.定义 4.2.2 ：假定d,a1, a n I,如果da i ,i 1, ,n,则称d为a1, ,a n 的一个公因子；假定d为a1, , a n的一个公因子,若a1, , a n的每一个公因子都能整除d ，则称d为a1, , a n的一个最大公因子 .定义 4.2.3 ：假定a1, a n I,如果a1, ,a n在I中的最大公因子是单位，则称a1, a n 互素 .定理 4.2.3 ：假定I 是唯一分解环, a,b I,那么有(1) 在I 中, a和b有最大公因子；(2) 若d,d 均为a和b的最大公因子，则d , d是相伴关系 .作业：1. 假定I是一个整环,(a)和(b)是I的两个主理想证.明：(a) (b)当且仅当 b 是 a 的相伴元的时候.2 ．证明：Z 10 不是唯一分解环.第三节主理想环基本概念：：主理想环，主理想和极大理想、主理想环与唯一分解环的关系. 重点、难点: 主理想、极大理想.正文定义 4.3.1 ：如果整环I 中的每一个理想都是主理想，则称I 是一个主理想环，记为P.I.D.例 1 ：整数环(Z, , ,0,1)是主理想环 .证明：设({ 0} )A是Z的理想，记A中的最小正整数为a,则(a) A . 另一方面，若m A,m (a),则a m,设m as e,0 r a,则r m as A此与a的最小性矛盾，故 A ( a).从而 A (a). 例 2 ：F是域，则(F[x], ,,0,1)是主理想环 .证明：设({ 0} )A是F[x]的理想，记A中次数最低的多项式为f(x),则(f (x)) A. 另一方面，若g(x) A,g(x) (f(x)),则f (x) g(x), 设g(x) f (x)u(x) v(x),(v(x)) ( f ( x))而v( x) A此与f (x)次数最小矛盾 . 故 A ( f (x)),从而A(f(x)) .引理 4.3.1 ：设(I, , ,0,1) 是一个PID, 则I 中的每一个真因子序列一定是有限序列. 即若序列a1,a2, ,(a i I) 中每一个元素都是前面一个元的真因子，则该列一定是有限序列.证明：由于a i 1a i ，所以(a1) (a2)令 A (a i )，则A是I的一个理想 . 事实上：r I,ra (a i) A.ia,b A i, j(不妨设i j)使得 a (a i ),b (a j ) a (a i ) (a j )a b (a j) A .而I是PID ，则存在 d I,使得 A (d). 而d A (a i )，i则n使得d (a n) ，我们断言，a n为序列中的最后一个，如若不然，设还有一个a n 1使得a n 1为a n的真因子 . 由于d (a n ), a n 1 (d) a n d,da n 1a n a n 1又a n 1 a n ，则a n是a n 1相伴关系，这与a n 1为a n的真因子矛盾 . 故原结论成立.引理 4.3.2 ：设(I, , ,0,1)是一个PID, p是I中的素元，则(p) 为I 的极大理想.证明：设 A (a)是I的理想，(p) (A) I p (a) a p.a p是p的相伴元(a) p (a) p 矛盾.a 是单位 1 A ( a)=I.故(p) 为I 的极大理想.定理 4.3.1 ：设(I, , ,0,1)是一个PID, 则I是UFD.证明：(1) a I U(I ), a一定有分解式事.实上，若a是素元，则不用再证.现设a有真因子， a bc若b, c皆素元，则不用再证. 对a 的不是素元的真因子重复上面的讨论过程，这样的分解过程经有限步后必终止 (否则会得到无穷序列a,a1,a2,L 后面的元是前面一个元的真因子，这与I 是PID的前提矛盾) , 此时已把a分解成有限个素元之积.(2) 设素元p ab,于是在I p中有ab 0 a b但I p是域. 因此a 0或b 0 a p 或b p p a或p b.由定理 4.2.2 知I 是UFD.注：定理的逆不成立. 例如￠[ x]是UFD但不是PID.作业：证明：一个主理想环的非零最大理想都是由一个素元所生成的.第四节欧氏环基本概念：欧氏环的定义，欧氏环和主理想环的关系. 重点、难点: 欧氏环.正文定义 4.4.1 ：设I 是整环，若(1) 存在映射:I n Z:n 0 Z.(2) a,b I,a 0,则存在q,r I使b qa r,其中r 0或(r) (a).则称I是一个欧氏环(E.D.) .例1．整环(Z, , ,0,1)是一个欧氏环.证明：令:Z Z;aa a , a Z .则是一个映射,且a,b Z ,一定存在q,r Z使得b aq r,r 0或(r) r a (a).故(Z, , ,0,1)是一个欧氏环.例2．数域F上的多项式环(F[x], , ,0,1)是一个欧氏环例3．Gauss整数环(Z[i], , ,0,1)是欧氏环.证明：易证(Z[i],则是一个映射.设 a bi Z [i ] \{0}, , ,0,1) 是整环. 令:Z[i]\{0} Z;ac di Z[i] ，'122bi a a2b2，k li,k,l Z ，则存在k',l1.2.Z 使得令 k ' l 'i Z[i], ，则 .2若 0, 则( )＝( － )＝( ) －'2' 2 1 ＝ (k k ' l l ' ) 2 ( ) ( ) . 因此(Z[i], , ,0,1)是欧氏环 .定理 4.4.1 ：任何一个欧氏环一定是一个主理想环，因而一定是一个唯一分解环.证明：设 A {0}是欧氏环 I 的一个理想 , 是欧氏环的映射 . 令a A 使( a )=min{ (x)x( 0) A} ，则 A (a). 事实上, b A, q,r I 使得b qa r,r 0或( r )< (a),r A .若 r 0则与( a )的最小性矛盾 . 故 r=0,b=q a (a).注：定理 4.4.1 的逆不真， P.I.D 未必是欧氏环 . 如复数域的子环 R a b 19 1 a,b Z 是一个 P.I.D 但不是欧氏环 .2定理 4.4.2 ：(Z, , ,0,1)是欧氏环 , 从而是唯一分解环 .引理 4.4.1 ：假定 I[x]是整环 I 上的一元多项式， I[x]的元的最高系数 a n U (I ),那么对 f (x) I [ x],存在q( x), r (x) I[x]使得 f (x) q(x)g(x) r(x),其中 r(x) 0或r ( x)的次数小于 g(x) 的次数 n.定理 4.4.3 ：域 F 上的一元多项式环 F[x]是一个欧氏环 . 证明：显然 F[x]是一个整环，令：F[x] Z;f(x)a deg( f (x)), f(x) F[x].n n 1g(x) a n x a n 1x L a 1x a 02例③可取 Z1 19则是一个映射 . g(x) F[x] , f(x) F[x],g(x) 0 g(x)的最高项系数 a n 0,而 a n 由引理 4.4.1 可知， q(x),r(x) F[x]使得f (x) q(x)g(x) r(x),其中 r(x) 0或r ( x)的次数小于 g(x) 的次数 n.即 r(x) 0或 (r(x)) (g(x)).故F[x]是唯一分解环 . 作业：1. 下列环是否是欧氏环，并证明之：(1) Z 2 a b 2 a,b Z .(2) Z 3 a b 3 a,b Z .2. 证明：一个域一定是一个欧氏环 .例④可取 Z 或数域 F 上的一元多项式环 F[x] ；F ,则a n 可逆 .其中，例①可取 Z 3 ；例②可取 Z[x] ；附注本章中介绍的几种常见的整环之间有如下的关系图：例⑤可取有理数域、实数域、复数域等．第五节多项式环的因子分解基本概念：本原多项式的定义及其引理.重点、难点: 多项式的可约性判断.正文设I为U.F.D，I[x]为F 上的一元多项式环，则有如下简单事实：(1)U(I[x]) U(I),且I[x]为整环;(2) I [ x]中多项式 f ( x)称为本原多项式，如果 f (x)系数的最大公因子是单位(3) 若本原多项式 f (x)可约,则f(x) g(x)h(x),g(x),h(x) I[x]且deg f(x) deg g( x) 0.(4) f (x)g(x)h(x)是本原的g(x)和h(x)均是本原的;(5) f (x)I[x],若degf(x) 0,则f (x)是本原的f(x)U(I[x]).引理4.5.1:设Z是I的商域,0 f (x) Z[x],则(1)f(x)b f0(x),a,b I, f 0 ( x)是I [ x]中的本原多项式; a(2)bd若f(x) f0(x) g0(x),a,b,c,d I, f0(x),g0(x)ac均为I [x]中的本原多项式，则U(I) U(I[x])使得f0(x) g0(x).引理4.5.2: 假设f0(x)是I[x]中的一个本原多项式, f0(x)在I[ x]中可约的充分必要条件是f0(x)在Q[x]中可约，其中Q为I的商域.引理 4.5.3: I [ x]的任一个次数大于零的本原多项式f (x)在I[x]里有唯一分解.定理 4.5.1: 若I是U.F.D,则I[x]也是U.F.D.定理 4.5.2: 若I是U.F.D,则I[x1,x2,L ,x n]也是U.F.D.,其中x1,x2,L ,x n是 I 上的无关未定元.作业：1．假定I[ x]是整环I上的一元多项式环.f(x)属于I[x]但不属于I,并且f(x)的最高系数是I 的一个单位. 证明：f(x)在I[x]里有分解.2. 设p为素数, (x) x p 1 x p 2 L x 1,判断(x)在Z 上是否可约.第六节因子分解与多项式的根基本概念：多项式的根、重根、导数；重根的判别定理.重点、难点: 多项式和多项式的根.正文定义 4.6.1: 设 f (x) I [ x],如果存在 a I使得f(a) 0,则称a是f (x)的根.定理 4.6.1: 假定I是整环, f(x) I[x],a I,那么a是f(x)的根的充分必要条件是(x a) f (x).定理 4.6.2 ：f(x) I[x],a1,a2,L , a k是I中k个不同的元素,则a1,a2,L ,a k均是f (x)的根(x a1)L (x a k) f(x).推论：若f(x)是I[x]中的n次多项式,则f(x)在I中至多有n个根.定义 4.6.2: a I, f (x) I[x],如果k 1,使得(x a)k f (x),则称a为f ( x)的一个重根.定理 4.6.3 ：设f (x) I(x),a I,那么a为f ( x)的重根(x a) f '(x).推论：若I为U.F.D., f(x) I[x],a I,那么a为f ( x)的重根(x a)能整除f(x)与f '(x)的最大公因子.作业：1. 假定I是模16的剩余类环.I [ x]的多项式x2在I 里有多少个根？2. 假定F是模3的剩余类环, 我们看 F [ x]的多项式 f (x) x3 x.证明：f (a) 0,不管a是F的哪一个元11。

因子分解

因子分解在数论中，因子分解是一个古老而又困难的问题。

现代的算法并不能测试出一个树所有可能的素因子。

尽管如此，人们在这方面还是取得了不少的进展。

（一）因子分解法目前，比较好的因子分解算法有：二次筛选法数域筛法椭圆曲线法连式分解法试除法因子分解是一个迅速发展的领域，如果没有发展一种新方法，那么2048比特数（由两个1024比特素数相乘产生）从因子分解上来说是安全的。

然而，没有人能够预见未来。

在发现数域筛法之前，许多人猜测二次筛法接近于任何因子分解方法所能做到的最快（极限），但事实并非如此。

（二）模N 的平方根如果n 是两个素数的乘积，那么计算模n 的平方根的能力在计算上等价于对n 进行因子分解的能力。

换句话说，某人知道n 的素因子，那么就能容易计算出一个数模n 的平方根；这个计算已被证明与计算n 的素因子一样困难。

素数生成元两个大的素数相乘，据推测它是一个单向函数，因为这两个数数相乘得到一个数是容易的，但分解这个大数且恢复原来的两个大素数却是困难的。

这样，就有办法利用这个单向函数设计一个陷门单向函数。

一、单向函数的概念及其基本意义由于本章所提出的方案中，单向函数具有特殊的应用，在此有必要对其作一简单介绍。

定义1 令函数f 是集合A 到集合B 的映射，以B A f →:表示。

若对任意,21x x ≠A x x ∈21,，有)()(21x f x f ≠则称f 为单射，或可逆的函数。

f 为可逆的充要条件是：存在函数AB g →:，使对所有A x ∈有x x f g =))((。

定义2 一个可逆函数B A f →:，若它满足：(1) 对所有A x ∈，计算)(x f 是容易的；(2) 对“几乎所有A x ∈”由)(x f 求x “极为困难”以至于实际上不可能做到，则称f 为单向函数。

定义中的“极为困难”是对现有的计算资源和算法而言。

Massey 称之为视在困难性，相应函数称之为视在单向函数，以此来和本质上的困难相区别。

c++信息学奥赛一本通1201因子分解

C++信息学奥赛一本通是计算机科学领域的一本经典教材，包含了许多有趣且具有挑战性的问题。

而其中的1201题目——因子分解，是一个常见且具有一定难度的数学问题。

本文将从以下几个方面展开讨论：一、问题描述题目要求给定一个正整数n，要求将其分解为若干个素数的乘积。

输入12，输出为2 2 3。

二、解题思路为了解决这个问题，我们可以采用贪心算法，从最小的素数开始逐步进行因子分解。

三、具体步骤1. 输入一个正整数n；2. 初始化一个变量i为2，作为最小的素数；3. 若n能被i整除，输出i的值，并更新n的值为n/i；4. 若n不能被i整除，则将i自增1，继续步骤3，直至i大于n。

四、代码实现```cpp#include <iostream>using namespace std;void factorization(int n) {for (int i = 2; i <= n; i++) { while (n i == 0) {cout << i << " ";n = n / i;}}}int m本人n() {int n;cin >> n;factorization(n);return 0;}```五、测试样例输入：12输出：2 2 3六、算法分析该算法的时间复杂度为O(logn)，具有较高的效率；由于素数的唯一性，因子分解的结果也是唯一的。

七、优化与拓展1. 为了提高算法的效率，可以在循环中增加判断条件，当i的平方大于n时，停止循环；2. 在实际应用中，可以将因子分解运用到质因数分解、快速幂、最大公约数等领域。

总结：因子分解是一个常见且有趣的数学问题，通过使用贪心算法，我们可以解决这一问题，并且可以进一步优化算法以提高效率。

这一问题也可以拓展至其他领域，具有一定的实际应用意义。

希望本文的讨论能够对读者解决类似问题提供一定的帮助，同时也欢迎读者就本文内容进行讨论与交流。

数学中的因式分解知识点

数学中的因式分解知识点在数学中，因式分解是指将一个多项式或一个整数分解为若干个乘积的形式，其中每一个乘积因子都是原多项式或整数的因子。

因式分解是数学中的基础概念之一，它在代数、方程与不等式、多项式、分式等诸多领域具有重要的应用。

本文将主要介绍因式分解的一些基本概念和常见方法。

一、整数因式分解整数因式分解是指将一个整数表示为几个素数的乘积的形式。

这种分解方法也叫做质因数分解。

对于任何一个大于1的整数，都可以找到一组素数，使得它们的乘积等于该整数。

例如，对于整数60，可以进行如下的因式分解：60 = 2 × 2 × 3 × 5上述式子中的2、3和5都是素数，它们的乘积正好等于60。

其中2、3、5就是60的质因数。

通过整数的因式分解，我们可以更好地理解整数的性质，例如判断整数的奇偶性、最大公约数、最小公倍数等。

同时，整数因式分解也为解决一些与整数相关的问题提供了有效的方法。

二、多项式因式分解多项式因式分解是指将一个多项式表示为若干个乘积的形式。

在进行多项式因式分解时，可以根据多项式的特点应用不同的方法。

1. 提取公因式法提取公因式法是一种常用的多项式因式分解方法，它适用于多项式中每一项都含有相同的因子的情况。

通过提取公因式，可以将多项式分解为含有公因式的乘积形式。

例如，对于多项式3x^2 + 6x，我们可以进行如下的因式分解：3x^2 + 6x = 3x(x + 2)上述分解过程中，我们提取出了3x这个公因式。

通过提取公因式，我们将多项式3x^2 + 6x分解为了3x和x + 2两个乘积。

2. 平方差公式平方差公式也是一种常用的多项式因式分解方法，它适用于多项式的形式为a^2 - b^2的情况。

平方差公式可以将这种多项式分解为两个因式的乘积。

例如，对于多项式x^2 - 9，我们可以进行如下的因式分解：x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)上述分解过程中，我们利用了平方差公式将多项式x^2 - 9分解为(x + 3)和(x - 3)两个乘积。

大数因数分解Pollard_rho算法详解

⼤数因数分解Pollard_rho算法详解有⼀类问题，要求我们将⼀个正整数x，分解为两个⾮平凡因⼦（平凡因⼦为1与x）的乘积x=ab。

显然我们需要先检测x是否为素数（如果是素数将⽆解），可以使⽤来进⾏测试。

⼤数分解最简单的思想也是试除法，就是从2到sqrt(n)，⼀个⼀个的试验，直到除到1或者循环完，最后判断⼀下是否已经除到1了即可。

（当然这是幼稚做法，复杂度是相当⾼的，不然我就是想打试除法多⽅便呀）Pollard Rho原理⽣⽇悖论如果⼀年只有365天（不计算闰年），且每个⼈的⽣⽇是任意⼀天的概率均相等，那么只要随机选取23⼈，就有50%以上的概率有两⼈同⼀天⽣⽇解释：第⼀个⼈不会和前⾯的⼈重⽣⽇（因为前⾯没有⼈），第⼆个⼈不重⽣⽇的概率为364/365，第三个⼈363/365……以此类推，那么只要到第23个⼈，就有，说明这时就有50%以上的概率有两⼈同⽣⽇更多的，当⼀年有n天时，只要⼈数到达Θ(sqrt(n))的数量级，有⾄少两个⼈同⼀天⽣⽇的概率就可以达到50%以上图象表达：利⽤⽣⽇悖论利⽤⽣⽇悖论来因数分解，重要的思想就是随机。

已知我们随机地从[2,N-1]中选择出⼀个数是N的因数的概率是极⼩的，这也就意味着需要重复随机选择来提⾼正确率。

那么如果我们不是只选择⼀个数，⽽是选择k个数，保证其中两个数的差值是N的因数。

⽽如果其中两个数x，y的差值为N的因数，就⼀定会有gcd(|x-y|,N)>1假设N只有两个因数(除去⾃⼰和1)p和q的情况下，那么就意味着此时只有这两个数能整除N但是如果我们要求的是有多少个数x保证gcd(x,N)>1，此时答案就很多了，有p+q-2个于是我们就得出了⼀个简单的策略：1.在区间[2,N-1]中随机选取k个数，x1~k2.判断是否存在gcd(xi-xj,N)>1，若存在，则显然gcd(xi-xj,N)是N的⼀个因数同时也出现了⼀个问题，就是我们需要选取⼤约（N¼）个数，内存显然是不可能够的，那么⼜要如何解决这个问题呢？于是Pollard-rho算法就出现了。

分解质因数c语言

分解质因数c语言
c语言是一种广泛使用的计算机编程语言，它拥有强大的表达能力、可读性高的语法以及简易的程序结构。

本文将介绍什么是质因数，以及如何使用c语言来分解质因数。

二、质因数
质因数是指一个整数可以被质数整除，其结果正好是这个整数本身，而非1。

也被称为因子，也就是说，一个数如果可以被归结为若干个质数的乘积，则这些质数就是这个数的质因数。

例如，12的质因数为2和3，其质因数式就是12=2*3。

三、如何使用c语言分解质因数
1.用循环结构，找出比目标数小的质数。

要想知道一个数是否是质数，可以利用for循环实现不断减小i，当i到达1时，若其它数都不能被整除，则此时的i为该数的质因数。

如果能被整除，则i不是该数的质因数，可以继续循环，直到找到质因数为止。

2.穷举法给出质因数。

定义一个变量j，用来表示目标数的质因数，可以使用for循环从1开始一直到目标数为止，在循环过程中如果满足质数的条件，则j就为质因数并把它保存下来，重复上述步骤，直到找到目标数的所有质因数，最终结果就是所有质因数的乘积。

3.得到的质因数输出到屏幕上。

最后，使用printf函数把质因数输出到屏幕上，并用循环来显
示相应的结果，这样用户就可以准确的看到质因数分解的结果，更容易理解其含义。

四、总结
本文主要介绍了什么是质因数，以及如何使用C语言分解质因数。

要分解质因数，需要运用到循环结构和穷举法，并且要有良好的程序语法和编程技巧，才能在短时间内准确的得出结果。

python质因子分解

python质因子分解Python是一种高级编程语言，可以用于各种计算机编程任务。

其中之一是质因子分解。

质因子分解是将一个正整数分解成若干个质数的乘积的过程。

这在密码学和数学中都有着广泛的应用。

在Python中，我们可以使用以下代码来实现质因子分解：```pythondef prime_factors(n):i = 2factors = []while i * i <= n:if n % i:i += 1else:n //= ifactors.append(i)if n > 1:factors.append(n)return factorsprint(prime_factors(24))```这段代码首先定义了一个名为prime_factors的函数，该函数接受一个正整数n作为参数。

然后，它初始化了一个变量i为2，并创建了一个空列表factors来存储质因子。

接下来，它使用while循环来计算n的所有质因子。

如果i不是n的因子，则将i加1。

否则，将n除以i并将i添加到factors列表中。

最后，如果n仍然大于1，则将其添加到factors列表中，并返回该列表。

在上面的示例中，我们调用prime_factors函数并传递24作为参数。

该函数返回[2, 2, 2, 3]，表示24可以分解成2 * 2 * 2 * 3。

这段代码虽然简短，但它非常有效。

它使用了一个while循环来计算n的质因子，而不是逐个测试每个数字是否为质数。

这使得该函数能够处理非常大的数字。

此外，该函数还考虑了n本身就是质数的情况。

如果n是质数，则该函数将直接返回[n]。

总之，Python中的质因子分解可以帮助我们快速、有效地将一个正整数分解成若干个质数的乘积。

这对于密码学和数学等领域都非常有用。

迭代主因子法python

迭代主因子法python迭代主因子法是一种用于解决大整数的质因数分解问题的算法，它基于一个简单的观察：如果一个整数n有一个小于等于√n的因子，那么它肯定有一个大于等于√n的因子。

因此，我们可以从√n开始，向下迭代查找因子，直到找到一个质因子为止。

然后，我们用这个质因子去除n，并重复这个过程，直到n仅剩下质数因子。

在python中，我们可以使用以下代码实现迭代主因子法：```import mathdef prime_factorization(n):factors = []i = 2while i <= math.sqrt(n):if n % i == 0:factors.append(i)n /= ielse:i += 1if n > 1:factors.append(int(n))return factorsn = 1234567890print(prime_factorization(n))```在这个示例中，我们将要分解的整数n设置为1234567890，然后调用prime_factorization函数进行质因数分解。

该函数遍历从2到√n的所有整数，如果当前整数是n的因子，则将其添加到factors 列表中，并将n除以该整数。

如果当前整数不是n的因子，则继续向下遍历。

最后，如果n仍然大于1，则说明它是一个质数因子，将其添加到factors列表中。

函数返回factors列表，其中包含n的所有质因子。

在这个示例中，输出结果为[2, 3, 3, 3607, 3803]，表示n的质因子为2、3、3、3607和3803。

迭代主因子法是一种简单而有效的质因数分解算法，它在处理大整数时表现良好。

在python中，我们可以使用标准库中的math模块来实现基本的数学函数，如求平方根。

此外，我们还可以使用python 的整数除法运算符“/”来进行整数除法运算，它会自动将结果向下取整为整数。

c语言求解整数拆分问题

c语言求解整数拆分问题
整数拆分问题是指将一个给定的整数拆分成若干个正整数的和，使得这些整数的和等于原始的整数。

这是一个经典的动态规划问题，可以使用C语言实现。

以下是一个使用C语言实现的整数拆分问题的示例代码：
```c
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define MAX_N 100005
int dp[MAX_N];
int main() {
int n;
scanf("%d", &n);
dp[0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
dp[i] = 1;
for (int j = 1; j < i; j++) {
dp[i] += dp[j];
}
}
printf("%d\n", dp[n]);
return 0;
}
```
该程序中，定义了一个dp数组，其中dp[i]表示将整数i拆分成若干个正整数的和的方法数。

对于每个整数i，从1到i-1遍历，将dp[i]累加dp[j]，表示将整数j加入到整数i的拆分中。

最后输出dp[n]，即可得到将整数n拆分成若干个正整数的和的方法数。

因子分解机原理与代码

因⼦分解机原理与代码本篇通过分析郭⼤的代码深⼊理解FM郭⼤的代码中默认处理的所有的属性都是类别属性，⽽且只能完成⼆分类的任务。

每个属性的每⼀个类别的取值都被当作成⼀个特征。

例如在数据集中国家这个属性有中国，美国，俄罗斯，⽇本等取值，我们把中国，美国等国家当作是⼀个单独的特征，有点类似one hot编码。

参数hparam=tf.contrib.training.HParams(model='ffm', # 指定使⽤的模型k=16, # FM模型中的超参数k，表⽰每个特征对应向量的维度hash_ids=int(1e5), # 使⽤了hash技巧，所有的特征经过hash后分散到1e5个桶中batch_size=64,optimizer="adam", # 指定tensorflow优化器的类型learning_rate=0.0002,num_display_steps=100,num_eval_steps=1000,epoch=3,metric='auc', # ['auc','logloss']init_method='uniform', #['tnormal','uniform','normal','xavier_normal','xavier_uniform','he_normal','he_uniform']init_value=0.1,feature_nums=len(feats)) # 属性（注意不是特征）的个数TensorFlow计算图传⼊计算图的数据bel = tf.placeholder(shape=(None), dtype=tf.float32)self.features=tf.placeholder(shape=(None,hparams.feature_nums), dtype=tf.int32)⾸先说⼀下数据集的格式，数据集可以是pandas格式。