拉普拉斯展开定理(课堂PPT)
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高数第10章 拉普拉斯变换PPT课件
L [sit]n dtarc t t an arc stan
t s t2 1
s2
或
L [stit]n s t2 d 1 令 tt u 11 s 0 1 d u 2u 0 1 s1 d u 2u aru c0 1 s ta arnc 1 st
第三节 拉氏逆变换的运算
❖ 重点：拉氏逆变换的求法 ❖难点：拉氏逆变换的求法
5. 积分性质: L[f(t)]F(s) ,( s 0 ) ，且 f ( t ) 连续，则
L[1f(x)dx]L[f(t)]F(s)
0
s
s
性质5表明，一个函数积分后取拉氏变换，等于这个函数
的拉氏变换除以参数 s .
性质5可以推广到有限次积分的情形：
n次
t t
L[ dt dt 00
t 0
f(t)dt]Fs(ns)
(s1)2 3
(s1)2 3
24
24
f(t)e2 t co3 st3e2 t sin 3t
2
2
例2
求
F(s)s2
s3 3ss
的拉氏逆变换。
解： 先将F (s) 分解为两个简单分式之和，
s 3 s 3 AB s2 3 ss (s 1 )s( 2 ) s 1s 2
其中AB为待定的常数，上式两边同乘以(s1)s(2)，得
1 s
1 ss
e as
1 s
n!
(s ) n1
13
et sin t
14
et cost
15
tet sint
16
tet cost
17
sht
(s )2 2
s (s )2 2
2(s ) [(s )2 2 ]2
拉普拉斯变换PPT课件
9.2 拉普拉斯变换的性质
9.2.1 线性性质 设 ℒ f1(t) F1(s) ℒ f2 (t) F2 (s) , 为常数则
ℒ f1(t) f2 (t) F1(s) F2 (s)
ℒ 1 F1(s) F2 (s) f1(t) f2 (t)
9.2.2 相似性质
tn
n! s n 1
例6 求正弦函数 f (t) sin k t (k R) 的拉氏变换
解 ℒ f (t) sin k t estdt 1 sin k t dest
0
s0
1 s
e s t
sin
k
t
0
k
0
est
cos
k
tdt
1 s2
0
est
cos
k
tdt
则
0
第9章 拉普拉斯变换
9.1 拉普拉斯变换的概念 9.2 拉普拉斯变换的性质 9.3 拉普拉斯逆变换 9.4 拉氏变换的应用及综合举例
§9.1 拉普拉斯变换
§9.1.1 拉普拉斯变换的概念
定义1 设函数 f (t)当 t 0 有定义,而且积分
f (t) estdt (s是一个复参量） 0
f (n1) (0)
特别地,当 f (0) f (0) f (0)
ℒ f (n) (t) snF (s)
可以证明
ℒ (n) (t) sn
f (n1) (0) 0 时,
（2）象函数的微分性质
若 ℒ f (t) F (s), 则
F(s) ℒ tf (t)
从而 ℒ tf (t) F(s)
例7
求函数
u(t
b)
0 1
t b (b 0) 的拉氏变换
《拉普拉斯变换 》课件
详细描述
对于线性时不变控制系统，通过拉普拉斯变换分析其极点和零点，可以判断系 统的稳定性。如果所有极点都位于复平面的左半部分，则系统稳定；否则系统 不稳定。
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DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
05
总结与展望
拉普拉斯变换的重要性和应用前景
拉普拉斯变换在数学、物理和工程领域中具有广泛的应用，是解决线性常微分方程 、积分方程、偏微分方程等数学问题的有力工具。
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DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
03
拉普拉斯变换的运算技 巧
积分性质的运用
积分性质
如果函数f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么对于任意常数a，函数f(at)的拉普 拉斯变换为aF(as)。
应用场景
在求解某些物理问题时，可能需要将 时间变量乘以常数，此时可以利用积 分性质简化拉普拉斯变换的运算。
REPORT
《拉普拉斯变换》 PPT课件
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMARY
目录
CONTENTS
• 拉普拉斯变换的基本概念 • 拉普拉斯变换的应用 • 拉普拉斯变换的运算技巧 • 拉普拉斯变换的实例分析 • 总结与展望
REPORT
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DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
随着科学技术的发展，拉普拉斯变换的应用 领域也在不断拓展，例如在人工智能、机器 学习、数据科学等领域中的应用前景值得关 注。
未来需要进一步加强拉普拉斯变换 的理论研究，提高其在实际问题中 的应用效果，同时探索新的应用领 域，推动科学技术的发展。
对于线性时不变控制系统，通过拉普拉斯变换分析其极点和零点，可以判断系 统的稳定性。如果所有极点都位于复平面的左半部分，则系统稳定；否则系统 不稳定。
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05
总结与展望
拉普拉斯变换的重要性和应用前景
拉普拉斯变换在数学、物理和工程领域中具有广泛的应用，是解决线性常微分方程 、积分方程、偏微分方程等数学问题的有力工具。
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03
拉普拉斯变换的运算技 巧
积分性质的运用
积分性质
如果函数f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么对于任意常数a，函数f(at)的拉普 拉斯变换为aF(as)。
应用场景
在求解某些物理问题时，可能需要将 时间变量乘以常数，此时可以利用积 分性质简化拉普拉斯变换的运算。
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• 拉普拉斯变换的基本概念 • 拉普拉斯变换的应用 • 拉普拉斯变换的运算技巧 • 拉普拉斯变换的实例分析 • 总结与展望
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SUMMAR Y
随着科学技术的发展，拉普拉斯变换的应用 领域也在不断拓展，例如在人工智能、机器 学习、数据科学等领域中的应用前景值得关 注。
未来需要进一步加强拉普拉斯变换 的理论研究，提高其在实际问题中 的应用效果，同时探索新的应用领 域，推动科学技术的发展。
电路原理-拉普拉斯变换PPT课件
收敛域为s平面的右半平面
[ (t)] 1
s
7
例2 求单位冲激函数 (t)的拉普拉斯象函数。
解:
[ (t)] (t)estdt 0
0
(t
)e
st
dt
(t)estdt
0
0
est t0 1
收敛域包括整个s平面。
[ (t)] 1
[sint (t)] s2 2
10
2. 微分定理 (differentiation theorem)
d dt
f (t)
s
f (t) f (0 )
*证明：
d
dt
f (t)
e st d f (t )dt
0
dt
e stdf (t )
f (t)
0
f ()
f (0 )
lim sF(s)
s0
f
(0 )
lim f (t) limsF(s)
t
s0
利用初值定理和终值定理，根据已知的象函数
F(s)可直接在复频域中确定其对应原函数f(t)的初值
和终值。
21
例8 设 f (t) (1 et ) (t) 验证初值定理和终值定理。
2!
t (t)
1 s3
t (n
n1
1)!
(
t
)
1 sn
1
1 sn
t n1 (n 1)!
(t )
16
4. 时域位移定理 (time-shift theorem)
第3章 拉普拉斯变换 128页 6.1M ppt版
6.3 拉氏变换的性质：
揭示信号时域特性与复频域描述的关系，主要讨论 ROC
1、 线性。
ax1(t) bx2 (t) aX1(s) bX 2 (s)
ROC:包括 R1 R2
若 R1 与R2 无公共部分，则表明ax1(t) bx2 (t) 的拉氏变换不存在。
当 aX1(s) bX 2 (s) 中有零极点抵消时，ROC 可能会扩大。
第三章 拉普拉斯变换
本章要点 拉氏变换的定义——从傅立叶变换到拉 氏变换 拉氏变换与傅氏变换的关系 拉氏变换的性质，收敛域 卷积定理(S域) 系统函数和单位冲激响应
1
第六章 拉普拉斯变换
6.0 引言
第四章已经讨论过复指数信号est 是 LTI 系统的特征函数 s j ，并对
s j 的情况进行了研究，即傅立叶分析。本章对更一般的情况（ s j ）
7
例三: x(t) ea t eatu(t) eatu(t)
j
X (s) 0 eatestdt eatestdt
0
1 1 sa sa
( a, a)
-a
a
当 a>0 时，这两部分地收敛域有共同部分
a a
此时
X (s)
1 sa
1 sa
2a s2 a2
存在
当 a<0 时这两个 ROC 无公共区域 x(s)不存在。
立叶变换地推广。
3
如果Xx(s) 在 s j 收敛，则 即 s 可以取j
X ( j) Xx(t))eejjtdt tdt
是x(t) 的拉付氏里变叶换变换
X ( j) X (s) 表明傅立叶变换氏是拉氏变换在j 轴上的特例 s j
由傅立叶反变换得到拉斯反变换
范德蒙行列式拉普拉斯展开克莱姆法则课件
克莱姆法则的条件
总结词
克莱姆法则的应用需要满足一定的条件 ，以确保线性方程组有唯一解。
VS
详细描述
首先，线性方程组中的系数行列式必须不 为零，这是克莱姆法则应用的基本条件。 其次，线性方程组中的未知数个数必须与 方程个数相等，以确保方程组是确定的。 此外，还需要满足线性独立条件，即系数 矩阵的行向量必须是线性独立的。这些条 件共同保证了克莱姆法则的有效性和准确 性。
拉普拉斯展开的应用
拉普拉斯展开在数学、物理和工程等领域有广泛 的应用，如求解二项式定理、计算组合数学中的 一些问题等。
线性方程组的解。
三者之间的区别
范德蒙行列式是一种特殊的行列式，用于求解多元一次方程组，其求解方法基于代数余子式 和代数基本定理。
拉普拉斯展开则是将一个多元多项式表示为其他低阶多项式的和，是线性代数中求解高阶线 性方程组的一种方法。
克莱姆法则则是基于范德蒙行列式的一种求解线性方程组的方法，适用于非齐次线性方程组 。
克莱姆法则的应用
总结词
克莱姆法则是解决线性方程组问题的重要工具，具有 广泛的应用价值。
详细描述
克莱姆法则在数学、物理、工程等多个领域都有应用。 例如，在解析几何中，克莱姆法则可用于解决平面或空 间中的向量和点之间的线性关系问题。在物理学中，克 莱姆法则可用于描述线性系统的动态行为，如电路分析 、波动方程等。在工程领域，克莱姆法则可用于解决各 种线性问题，如结构设计、优化问题等。此外，克莱姆 法则也是研究和应用其他数学工具的基础，如矩阵运算 、特征值计算等。
PART 04
范德蒙行列式、拉普拉斯 展开与克莱姆法则的关系
三者之间的联系
范德蒙行列式、拉普拉斯展开与 克莱姆法则都是线性代数中的重 要概念，它们在解决线性方程组
信号与系统教学第九章拉普拉斯变换PPT课件
80%
幂级数展开
一个解析函数可以展开为幂级数 。
复数域的微积分
01
02
03
导数
复数域函数的导数定义为 函数值的增量与自变量增 量的比值。
积分
复数域函数的积分是函数 值的累积。
微分方程
在复数域中，微分方程是 描述函数行为的一种重要 工具。
03
拉普拉斯变换的求解方法
直接法
定义法
根据拉普拉斯变换的定义， 通过积分计算得出函数的 拉普拉斯变换。
02
01
03
定义法
根据卷积的定义，通过积分计算得出函数的卷积。
表格法
利用卷积表，查表得出函数的卷积。
性质法
利用卷积的性质，简化计算过程。
04
拉普拉斯变换的性质与定理
线性性质
总结词
线性性质是指拉普拉斯变换具有类似于线性代数中的线性性质，即对于两个函 数的和与积，其拉普拉斯变换可以分别通过各自拉普拉斯变换的和与积来获得。
拉普拉斯变换在控制系统稳定性分析中的应用，有 助于设计更加稳定、可靠的控制系统，提高工程实 践中的控制效果。
信号处理中的拉普拉斯变换
在信号处理中，拉普拉斯变换 用于分析信号的频域特性。通 过将信号从时域转换到频域， 可以更好地理解信号的频率成 分和频率特性。
拉普拉斯变换在信号处理中的 应用包括：信号的频谱分析、 滤波器设计、信号调制与解调 等。
如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么f(at)的拉普拉斯变换为 |a|F(s/a)。
如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么f(t-b)的拉普拉斯变换为 e−bF(s)。
如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么f'(t)的拉普拉斯变换为 sF(s)-f(0)。
大一线性代数课件2.3_拉普拉斯展开定理
A1 At
k
A1k k At
返回
A1
可逆的充要条件是 At A1， ，At 可逆 ( Ai为方阵)
1
A1 At A1 A t
DD
1
C A X 1 B O X 3
X 2 CX 1 AX 3 X4 BX 1
CX 2 AX 4 I O . BX 2 O I
CX 1 AX 3 I X 3 A1 CX AX O 1 1 2 4 X 4 A CB O B 1 1 . D 1 A 1 1 X1 O BX 1 O A CB BX 2 I X 2 B 1 返回
A2 1
1 3 4 2 3 5
M2 M2 .
返回
例如，5阶行列式detA中，取子式 S
则其代数余子式为
a22 a52
a24 a54
a11 a41
a13 a43
a15 a35 a45
( 1) ( 25 )( 24 ) a31 a33
对于行列式D中的每一个子式S，它的余子式M 和代数余子式A都由S唯一确定.
大一线性代数课件23拉普拉斯展开定理线性代数拉普拉斯定理线性代数拉普拉斯拉普拉斯定理拉普拉斯展开定理拉普拉斯定理行列式拉普拉斯终值定理拉普拉斯变换终值定理棣莫弗拉普拉斯定理拉普拉斯定理的证明
2.3
拉普拉斯展开定理
返回
2.3
k阶子式：
拉普拉斯展开定理
矩阵A中任取k行、k列，位于这k行、k列交点上的k2 个元按原来的相对位置组成的k阶行列式S, 称为A的 一个k阶子式. S的余子式: 在A中划去S所在的k行、k列，余下的元按原来的 相对位置组成的n-k阶行列式M, 称为S的余子式. S的代数余子式: 设S的各行位于A中第i1,…,ik, S的各列位于A中第 j1,…, jk列，称 (i1 i k ) (j1 jk ) A (1) M 为S的代数余子式.
k
A1k k At
返回
A1
可逆的充要条件是 At A1， ，At 可逆 ( Ai为方阵)
1
A1 At A1 A t
DD
1
C A X 1 B O X 3
X 2 CX 1 AX 3 X4 BX 1
CX 2 AX 4 I O . BX 2 O I
CX 1 AX 3 I X 3 A1 CX AX O 1 1 2 4 X 4 A CB O B 1 1 . D 1 A 1 1 X1 O BX 1 O A CB BX 2 I X 2 B 1 返回
A2 1
1 3 4 2 3 5
M2 M2 .
返回
例如，5阶行列式detA中，取子式 S
则其代数余子式为
a22 a52
a24 a54
a11 a41
a13 a43
a15 a35 a45
( 1) ( 25 )( 24 ) a31 a33
对于行列式D中的每一个子式S，它的余子式M 和代数余子式A都由S唯一确定.
大一线性代数课件23拉普拉斯展开定理线性代数拉普拉斯定理线性代数拉普拉斯拉普拉斯定理拉普拉斯展开定理拉普拉斯定理行列式拉普拉斯终值定理拉普拉斯变换终值定理棣莫弗拉普拉斯定理拉普拉斯定理的证明
2.3
拉普拉斯展开定理
返回
2.3
k阶子式：
拉普拉斯展开定理
矩阵A中任取k行、k列，位于这k行、k列交点上的k2 个元按原来的相对位置组成的k阶行列式S, 称为A的 一个k阶子式. S的余子式: 在A中划去S所在的k行、k列，余下的元按原来的 相对位置组成的n-k阶行列式M, 称为S的余子式. S的代数余子式: 设S的各行位于A中第i1,…,ik, S的各列位于A中第 j1,…, jk列，称 (i1 i k ) (j1 jk ) A (1) M 为S的代数余子式.
拉普拉斯反变换的部分分式展开ppt课件
... Kn ) s pn
令s=p1，得
K1=[(s-p1)F(s)]s=p1
5
同理可求得K2、K3、…、Kn 确定待定系数的公式为
Ki=[(s-pi)F(s)]s=pi
6
例：求F(s)的原函数
F(s)
s3
2s 1 7s2 10s
解：
F(s)
s3
2s 1 7s2 10s
4
二、D(s)=0具有单根的情况
如果D(s)=0有n个单根，设n个单根分别是 p1、p2、…、pn。
于是F(s)可以展开为
F (s) K1 K2 ... Kn
s p1 s p2
s pn
将上式两边都乘以(s-p1)，得
(s p1)F(s)
K1
(s
p1 )(
s
K2 p2
K11 (s p1)q
n i2
Ki (s pi )
式中 K11 = ( s-p1 )qF(s)|s = p1
K12
d ds
[(s
p1 ) q
F
(s)]s
p1
K13
1 2
d2 ds 2
[(s
p1 ) q
F (s)]s
p1
……
K1q
(q
1 1)!
d q1 ds q 1
[(s
10
F(s) s 3 s2 2s 5
p1=-1+j2 p2=-1-j2
K2
s3
=0.5-j0.5
s 1 j2 s1 j2
0.5 2e j45
欧拉公式 e jx cosx j sin x
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§ 2.3 拉普拉斯展开定理
一、k阶子式的概念 二、拉普拉斯展开定理 三、举例
1
一、k阶子式的概念 定义 在n阶行列D式 中，任k行 取k列(1kn)，
位于k这 行k列的交点k上 2个的元素按原来的相 置组成k阶 的行列S， 式称D为 的一k个 阶子式。
在行列 D中式 划S所 去在k行 的 k列，余下的元 原来的相对位 nk置 阶组 行成 列 余块 子块都为,零 且矩 非阵
零子块都是.即 方阵
A1
A
A2
O
O
,
As
其中Ai (i=1 , 2 , … , s)都是方阵,则A为分块对 角阵.
6
分块对角矩阵的行列式具有下述性质:
A A 1A 2 A s.
若 A i 0 i 1 , 2 , , s , 则 A 0 , 并
设S的各行D中 位第 i于 1,i2,,ik(i1i2ik)， S的各列D中 位第 j于 1, j2,, jk(j1j2jk)，那么
A(1)(i1i2ik)(j1j2jk)M为S的代数余子
2
二、拉普拉斯展开定理
若在行列D式 中任意取k个 定行(1kn1)， 则有这 k个行组成的k所 阶有 子式与它们的代数 子式的乘积之和D.等于
设 D 的k行 某组成 k阶的 子所 式 S1,S2有 , 分 ,St(t 别 C n k)， 为 它们相应 分 的 别 A 1,A 代 2, 为 ,A 数 t,则余子式
D S1A 1S2A 2A tSt。
3
例1 计算 2 1 0 0 0 12100
D0 1 2 1 0 0 01 21 0 0 01 2
A1 1
A1
A1 2
o
o
.
A1 s
7
小结
1.k阶子式的概念 2.拉普拉斯展开定理
8
4
利用拉普拉斯定理（P68）可得：
a11 a1k
0
设
D
ak1 c11
akk c1k
b11
b1n
cn1 cnk bn1 bnn
a11 a1k
b11 b1n
D1 deati(j)
,D2 debti(j)
,
ak1 akk
bn1 bnn
证明 DD 1D2.
5
分块对角阵的行列式
设A为n阶矩,阵 若A的分块矩阵只有在
一、k阶子式的概念 二、拉普拉斯展开定理 三、举例
1
一、k阶子式的概念 定义 在n阶行列D式 中，任k行 取k列(1kn)，
位于k这 行k列的交点k上 2个的元素按原来的相 置组成k阶 的行列S， 式称D为 的一k个 阶子式。
在行列 D中式 划S所 去在k行 的 k列，余下的元 原来的相对位 nk置 阶组 行成 列 余块 子块都为,零 且矩 非阵
零子块都是.即 方阵
A1
A
A2
O
O
,
As
其中Ai (i=1 , 2 , … , s)都是方阵,则A为分块对 角阵.
6
分块对角矩阵的行列式具有下述性质:
A A 1A 2 A s.
若 A i 0 i 1 , 2 , , s , 则 A 0 , 并
设S的各行D中 位第 i于 1,i2,,ik(i1i2ik)， S的各列D中 位第 j于 1, j2,, jk(j1j2jk)，那么
A(1)(i1i2ik)(j1j2jk)M为S的代数余子
2
二、拉普拉斯展开定理
若在行列D式 中任意取k个 定行(1kn1)， 则有这 k个行组成的k所 阶有 子式与它们的代数 子式的乘积之和D.等于
设 D 的k行 某组成 k阶的 子所 式 S1,S2有 , 分 ,St(t 别 C n k)， 为 它们相应 分 的 别 A 1,A 代 2, 为 ,A 数 t,则余子式
D S1A 1S2A 2A tSt。
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例1 计算 2 1 0 0 0 12100
D0 1 2 1 0 0 01 21 0 0 01 2
A1 1
A1
A1 2
o
o
.
A1 s
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小结
1.k阶子式的概念 2.拉普拉斯展开定理
8
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利用拉普拉斯定理（P68）可得：
a11 a1k
0
设
D
ak1 c11
akk c1k
b11
b1n
cn1 cnk bn1 bnn
a11 a1k
b11 b1n
D1 deati(j)
,D2 debti(j)
,
ak1 akk
bn1 bnn
证明 DD 1D2.
5
分块对角阵的行列式
设A为n阶矩,阵 若A的分块矩阵只有在