小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)

模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型）

任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：

S 4

S 3

S 2

S 1O D

C

B

A

①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯

②()()1243::AO OC S S S S =++

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△

AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是

6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米

O

D

C

B

A

【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平

方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米

【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，

求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =

任意四边形、梯形与相似模型

B

【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC

S ⨯=⨯，那么6BGC

S

=；

⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． ()

【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的

面积的1

3

，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。

A

B C D

O

H G

A B

C D O

【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已

知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件:1:3ABD

BCD

S

S

=，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已

知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。 解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ∆∆==， ∴236OC =⨯=， ∴:6:32:1OC OD ==．

解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ．

∵1

3ABD BCD S S ∆∆=，

∴1

3AH CG =，

∴1

3AOD DOC S S ∆∆=，

∴1

3AO CO =，

∴236OC =⨯=， ∴:6:32:1OC OD ==．

【例 3】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、

4、4和6。求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积。

O

G

F E

D

C

B

A

【解析】 ⑴根据题意可知，BCD △的面积为244616+++=，那么BCO △和CDO ∆的面积都是1628÷=，

所以OCF △的面积为844-=；

⑵由于BCO △的面积为8，BOE △的面积为6，所以OCE △的面积为862-=， 根据蝴蝶定理，::2:41:2COE COF EG FG S S ∆∆===，所以::1:2GCE GCF S S EG FG ∆∆==， 那么112

21233

GCE CEF S S ∆∆=

=⨯=+．

【例 4】 图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的

面积分别是6公顷和7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷

7

67

6

E

D

C

B

A

【解析】 在ABE ，CDE 中有AEB CED ∠=∠，所以ABE ，CDE 的面积比为()AE EB ⨯:()CE DE ⨯。同

理有ADE ，BCE 的面积比为():()AE DE BE EC ⨯⨯。所以有ABE

S

×CDE

S

=ADE

S

×BCE

S

，也就是

说在所有凸四边形中，连接顶点得到2条对角线，有图形分成上、下、左、右4个部分，有：上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积。 即6ABE

S ⨯=7ADE

S

⨯，所以有ABE 与ADE 的面积

比为7:6，ABE

S

=

7

392167

⨯=+公顷，ADE

S =

6

391867

⨯=+公顷。 显然，最大的三角形的面积为21公顷。

【例 5】 (2008年清华附中入学测试题)如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积

为 。